Zákony Booleovy algebry

Střední odborná škola Otrokovice

www.zlinskedumy.cz

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš ZatloukalDostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Charakteristika DUM

Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice

Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /2

Autor Ing. Miloš Zatloukal

Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-PE-CT/1-EL-5/5Název DUM Zákony Booleovy algebry

Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání

Kód oboru RVP 26-41-L/52

Obor vzdělávání Provozní elektrotechnika

Vyučovací předmět Číslicová technika

Druh učebního materiálu Výukový materiál

Cílová skupina Žák, 15 – 16 let

Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce učitelem, případně jako materiál pro samostudium, nutno doplnit výkladem; náplň: seznámení se základními pravidly pro řešení matematických vztahů mezi logickými proměnnými –zákony Booleovy algebry

Vybavení, pomůcky Dataprojektor

Klíčová slova Algebra, Boole, logická proměnná, negace, logický součin, AND, logický součet, OR, NAND, NOR, De Morganovy zákony, De Morganovo pravidlo.

Datum 10. 11. 2012

Náplň výuky

- Booleova algebra

- Základní a rozšířené logické funkce pro 2 proměnné

- Zákony Booleovy algebry (pro logický součet a součin)

- De Morganovo pravidlo

- Převod libovolné funkce na tvar typu NOR (NAND)

Zákony Booleovy algebry

Zákony Booleovy algebry

Booleova algebra

Je to soustava pravidel k popisu vztahů mezi dvouhodnotovými logickými proměnnými.

Pravidla popisují nejčastější logické operace.

Používá jen tři logické funkce (negace, konjunkce, disjunkce), ale lze jimi vyjádřit libovolnou funkci.

Každou složitější logickou funkci je žádoucí zjednodušit (minimalizovat) pomocí zákonů Booleovy algebry.

Pozn. George Boole byl britský matematik a filozof (1815 – 1864)

Základní logické funkce pro dvě proměnné „a“ a „b“ jsou:

- logický součin – označovaný jako AND se zapisuje

- logický součet – označovaný jako OR se zapisuje

- negace – označovaná jako NOT se zapisuje

Rozšířené logické funkce pro dvě proměnné „a“ a „b“ jsou:

- negovaný logický součin – označovaný jako NAND se zapisuje

- negovaný logický součet – označovaný jako NOR se zapisuje

- rovnost – označovaná jako XNOR se zapisuje

- nerovnost – označovaná jako XOR se zapisuje

Zákon Pro součet Pro součin

Idempotence

Součet nebo součin 2 a více stejných proměnných je jako 1 proměnná

Absorbce

Pohlcení druhé proměnné při střídání součtu a součinu (součinu a součtu)

Absorbce negace

Pohlcení negace téže proměnné při střídání součtu a součinu (součinu a součtu)

Zákon Pro součet Pro součin

Komutativní

Asociativní

Distributivní

Na pořadí nezáleží – libovolné členy lze zaměnit

Libovolné členy lze sdružovat do skupin – závorek – na pořadí nezáleží

O roznásobení – pozor varianta pro součet v aritmetice neplatí!!

Zákon Pro součet Pro součin

Neutrálnost nuly a jedničky

Stav proměnné se nezmění přičtením nuly nebo vynásobením jedničkou (logický součet a součin)

Agresívnost nuly a jedničky

Jednička je určující pro log. součet (vynutí výslednou 1 bez ohledu na stav „a“), nula je agresívní pro log. součin (vynutí nulu bez ohledu na stav „a“)

Vyloučeného třetího

Log. součet proměnné a její negace je vždy jedna, log. součin pak nula

Zákon Pro součet Pro součin

Negace

Dvojité negace

Negace vytvoří opačnou hodnotu – k nule jedničku a naopak (k jedničce nulu)

Dvojitá negace – neboli negace negace je popřením negace a je tedy rovna původnímu stavu (a)

Zákon Pro součet Pro součin

De Morganovo pravidlo

Říká, že se „velká“ negace nad funkcí typu součet nebo součin rozdělí na „malé“ negace a původní znaménko se změní na doplňkové – tj. „plus“ na „krát“ a naopak.

NOR lze tedy rozepsat na AND negovaných proměnných.

NAND lze tedy rozepsat na OR negovaných proměnných.

Použitím dvou zákonů – a sice „dvojité negace“ a De Morganova pravidla, je možné libovolnou logickou funkci převést na tvar pouze s členy NAND nebo NOR (nebo na jejich kombinaci)

Příklad převodu logické funkce na tvar pouze s členy NAND

Poznámka: Ověření platnosti jakéhokoliv zákona Booleovy algebry je možné pomocí tabulky pravdivostních hodnot.

Kontrolní otázky:

1. Distributivní zákon stejný jako v aritmetice: a) platí pro logický součetb) platí pro logický součinc) v Booleově algebře neplatí

2. Doplňkovou logickou funkcí k logickému součinu je :a) Logický součetb) Implikacec) Rovnost

3. Logická nula se chová “agresívně“ pro:a) Nerovnostb) Logický součet (OR)c) Logický součin (AND)

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury:

[1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN Praha, 2001, ISBN 80-7232-206-0

[2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982

[3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN 80-7300-075-X

Děkuji za pozornost