Upload
streptomicin
View
306
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 1/324
ZBIRKAza prijemni ispit na Vojnoj akademiji
ZADATAKA IZ MATEMATIKE
\URI[I] DU[AN BRKI] NADA
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 2/324
MINISTARSTVO ODBRANE
UPRAVA ZA [KOLSTVO
SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE
VOJNA AKADEMIJA
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 3/324
JEZI^KI REDAKTOR
Gordana Bawac, profesor
TEHNI^KI UREDNIK
@eqko Hr~ek, potpukovnik
AUTORI
Du{an \uri{i}, profesor
Nada Brki}, profesor
RECENZENTI
van. prof. dr Nikola Toma{evi}
mr Ne|eqko Jankovi}
UREDNIK
mr Slavi{a Savi}, pukovnik, dipl.in`.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 4/324
Beograd, 2005.
DU[AN \URI[I] NADA BRKI]%
IZ MATEMATIKEZA PRIJEMNI ISPIT NA
VOJNOJ AKADEMIJI
ZBIRKA ZADATAKA
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 5/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 6/324
5
SADR@AJ
Predgovor.......................................................................................................11
Gr~ki alfabet...............................................................................................12
Prvi deoTeorijski podsetnik iz elementarne matematike
1. Logika i skupovi. Relacije i funkcije................................................151.1. Iskazi i logi~ke operacije ............................................................15
1.2. Skupovi................................................................................................161.3. Relacije ...............................................................................................171.4. Funkcije .............................................................................................18
2. Skupovi brojeva. Proporcionalnost ................................................. 212.1. Realni brojevi....................................................................................212.2. Kompleksni brojevi ..........................................................................252.3. Proporcionalnost ............................................................................27
3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi ........................................ 293.1. Polinomi.............................................................................................29
3.2. Racionalni algebarski izrazi....................................................... 324. Linearne jedna~ine i sistemi linearnih jedna~ina. Linearnenejedna~ine ................................................................................................334.1. Linearna jedna~ina ......................................................................... 334.2. Sistemi linearnih jedna~ina .........................................................334.3. Linearne nejedna~ine .......................................................................35
5. Kvadratne jedna~ine i nejedna~ine ......................................................365.1. Kvadratne jedna~ine..........................................................................365.2. Kvadratne nejedna~ine .....................................................................38
6. Linearna i kvadratna funkcija.............................................................40
6.1. Linearna funkcija ............................................................................406.2. Kvadratna funkcija...........................................................................41
7. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jedna~inei nejedna~ine..............................................................................................457.1. Eksponencijalna funkcija ..............................................................457.2. Eksponencijalne jedna~ine..............................................................457.3. Eksponencijalne nejedna~ine .........................................................46
8. Logaritam. Logaritamska funkcija. Logaritamske jedna~inei nejedna~ine..............................................................................................46
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 7/324
6
8.1. Logaritam ............................................................................................468.2. Logaritamska funkcija ....................................................................488.3. Logaritamske jedna~ine ...................................................................48
8.4. Logaritamske nejedna~ine ...............................................................499. Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijskiidentiteti ..................................................................................................509.1. Ugao.......................................................................................................509.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla .............................................529.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla.....................................549.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla..559.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla
na funkcije o{trog ugla ..................................................................579.6. Osnovni trigonometrijski identiteti ........................................59
9.7. Adicione formule ............................................................................599.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija
u proizvod ............................................................................................619.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija
u zbir ....................................................................................................619.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija......................619.11. Inverzne trigonometrijske funkcije ........................................64
10. Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine ......................................6810.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine..........................................68
10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine .....................................6911. Primena trigonometrije u planimetriji i stereometriji...........77
11.1. Povr{ina trougla ...........................................................................7711.2. Sinusna i kosinusna teorema ........................................................7711.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.............................7711.4. Primena trigonometrije u stereometriji .................................79
12. Vektori. Podudarnost. Homotetija i sli~nost ...............................8012.1.Vektori ...............................................................................................8012.2. Podudarnost ......................................................................................8112.3. Homotetija i sli~nost....................................................................84
13. Geometrija trougla, ~etvorougla i mnogougla. Krug......................8513.1. Trougao...............................................................................................8513.2. ^etvorougao ......................................................................................8813.3. Mnogougao..........................................................................................9013.4. Krug.....................................................................................................91
14. Poliedri...................................................................................................9414.1. Prizma................................................................................................9414.2. Piramida ...........................................................................................9514.3. Zarubqena piramida .......................................................................97
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 8/324
7
15. Obrtna tela..............................................................................................9815.1. Vaqak..................................................................................................9815.2. Kupa.....................................................................................................99
15.3. Zarubqena kupa ..............................................................................10115.4. Sfera i lopta .................................................................................10216. Analiti~ka geometrija u ravni.........................................................104
16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu ........104Povr{ina trougla .........................................................................104
16.2. Prava u ravni..................................................................................10416.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) ................................................10616.4. Elipsa...............................................................................................10716.5. Hiperbola........................................................................................10916.6. Parabola..........................................................................................111
17. Binomni obrazac. Elementi kombinatorike .................................11317.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac .............................11317.2. Elementi kombinatorike ............................................................114
18. Realni nizovi. Aritmeti~ka i geometrijska progresija.............11718.1. Realni nizovi .................................................................................11718.2. Aritmeti~ka progresija ..............................................................11818.3. Geometrijska progresija...............................................................119
19. Grani~na vrednost i neprekidnost funkcije.................................12120. Izvod funkcije i wegova primena ....................................................123
20.1. Izvod i pravila diferencirawa ...............................................12320.2. Tabli~ni izvodi.............................................................................12520.3. Primena izvoda ..............................................................................126
Drugi deoRe{eni zadaci sa prijemnih ispita iz matematike
1. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1311. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 132
2. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1372. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1383. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1453. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1464. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1534. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1545. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1615. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1626. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................168
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 9/324
8
6. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1697. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1787. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................179
8. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1858. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1869. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1929. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................19310. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ........................................................20310. grupa 2000. god. (re{ewa) .................................................................... 2041. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2101. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2112. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2182. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................219
3. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2253. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2264. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2334. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2345. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2435. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................244
Tre}i deoZadaci sa prijemnih ispita iz matematike
(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)
1. grupa 1997. god. ........................................................................................2532. grupa 1997. god. ........................................................................................2553. grupa 1997. god. ........................................................................................2574. grupa 1997. god. ........................................................................................2595. grupa1997. god. ........................................................................................2616. grupa 1997. god..........................................................................................2637. grupa 1997. god. ........................................................................................265
1. grupa 1998. god..........................................................................................2672. grupa 1988. god..........................................................................................2693. grupa 1998. god..........................................................................................2714. grupa 1998. god..........................................................................................2731. grupa 1999. god..........................................................................................2752. grupa 1999. god..........................................................................................2773. grupa 1999. god..........................................................................................2794. grupa 1999. god..........................................................................................2811. grupa 2002. god..........................................................................................283
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 10/324
9
2. grupa 2002. god..........................................................................................2853. grupa 2002. god..........................................................................................2874. grupa 2002. god..........................................................................................289
5. grupa 2002. god..........................................................................................2916. grupa 2002. god..........................................................................................2937. grupa 2002. god .........................................................................................2958. grupa 2002. god..........................................................................................2979. grupa 2002. god .........................................................................................29910. grupa 2002. god........................................................................................3011. grupa 2003. god .........................................................................................3032. grupa 2003. god..........................................................................................3053. grupa 2003. god..........................................................................................3074. grupa 2003. god..........................................................................................309
5. grupa 2003. god..........................................................................................3116. grupa 2003. god..........................................................................................3137. grupa 2003. god..........................................................................................3158. grupa 2003. god..........................................................................................3179. grupa 2003. god .........................................................................................31910. grupa 2003. god .......................................................................................321
Literatura. ..................................................................................................323
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 11/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 12/324
11
PREDGOVOR
Osnovna namena ove zbirke je da se kandidati za Vojnu akademiju{to uspe{nije pripreme za prijemni ispit iz matematike.
Zbirka se sastoji iz tri dela. U prvom delu dat je teorijskipodsetnik iz elementarne matematike. Tu se mo`e na}i pregledosnovnih pojmova, stavova i formula, ~ije je poznavawe neophodno priizradi zadataka na prijemnom ispitu. Istovremeno, sadr`aj ovog
podsetnika ukazuje i na to kojim matemati~kim oblastima je pridatve}i zna~aj. U drugom delu nalazi se 150 kompletno re{enih zadataka,koji su raspore|eni u 15 grupa. Tre}i deo ~ine zadaci za koje su datakona~na re{ewa ili uputstva za wihovo re{avawe. Zadaci u drugom itre}em delu su sa prijemnih ispita za Vojnu akademiju koji su odr`aniu periodu od 1997. do 2003. godine. Zbirka obiluje velikim brojemslika, koje ilustruju odre|ene pojmove, postupke u re{avawu zadatakaili kona~na re{ewa.
Ovom prilikom se posebno zahvaqujemo recenzentima dr Ni-koli Toma{evi}u i mr Ne|eqku Jankovi}u, koji su detaqno pregledalitekst zbirke, ukazali na izvesne propuste i dali niz korisnih saveta.
Autori
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 13/324
12
GR^KI ALFABET
α
β
γ
δ
ε
ζ
η θ
ι
κ
λ
μ
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
etateta
jota
kapa
lambda
mi
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ υ
ϕ
χ
ψ
ω
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
ϒ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ni
ksi
omikron
pi
ro
sigma
tauipsilon
fi
hi
psi
omega
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 14/324
Prvi deo
TEORIJSKI PODSETNIK IZELEMENTARNE MATEMATIKE
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 15/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 16/324
15
1. LOGIKA I SKUPOVI. RELACIJE I FUNKCIJE
1.1. Iskazi i logi~ke operacije
Iskazi su re~enice koje su ili ta~ne ili neta~ne.Ozna~avamo ih iskaznim slovima p,q,r ,... . Ako je iskaz p ta~an,
onda je wegova istinitosna vrednost ("te") i pi{emo ( ) ; pτ =
istinitosna vrednost neta~nog iskaza q je ⊥ (''не те'') i pi{emo
( )qτ =⊥ .
Osnovne logi~ke operacije su: negacija ( ⎤ – ne), konjunkcija( ∧ − i), disjunkcija( ∨ − ili), implikacija(⇒ − povla~i, implicira,ako...onda) i ekvivalencija ( ⇔ − ekvivalentno, ako i samo ako).Definicije logi~kih operacija date su slede}im istinitosnimtablicama:
p p⎤
⊥
⊥
p q p q∧
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
p q p q∨
⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
p q p q⇒
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
p q p q⇔
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
.
Polaze}i od iskaznih slova i primewuju}i kona~an broj putalogi~ke operacije, dobijaju se iskazne formule.
Tautologija je iskazna formula koja je ta~na za sve vrednostiiskaznih slova koja u woj u~estvuju.
Simboli ∀ i ∃ zovu se univerzalni i egzistencijalni kvan-tifikator (kvantor). Zapis
( ) ( ) x x α ∀
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 17/324
16
~itamo "za svaki x va`i ( ) x α ", a
( ) ( ) x x α ∃
kao "postoji x za koji va`i ( ) x α ".
1.2. Skupovi
Skupove naj~e{}e ozna~avamo velikim slovima
, , ,..., , , ,... . A B C X Y Z Uobi~ajeni su slede}i zapisi u vezi sa skupovi-
ma:
x X ∈ − element x pripada skupu , X
x X ∉ − element x ne pripada skupu , X
( ){ } X x x α = − X je skup svih elemenata x za koje va`i
( ) , x α
∅ − prazan skup, tj. skup koji nema elemenata.
Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente. Skup A je
podskup skupa B , u oznaci , A B⊂ ako je svaki element skupa A
istovremeno i element skupa B . Va`i
. A B A B B A= ⇔ ⊂ ∧ ⊂
Za skupove A i B defini{u se unija , A B∪ presek A B∩ irazlika \ A B na slede}i na~in:
{ }
{ }
{ }
,
,
\ .
A B x x A x B
A B x x A x B
A B x x A x B
∪ = ∈ ∨ ∈
∩ = ∈ ∧ ∈
= ∈ ∧ ∉
Ako je , A B∩ = ∅ onda za skupove A i B ka`emo da su disjunktni.
Partitivni skup skupa X je skup svih wegovih podskupova.
Ozna~ava se sa ( ). X P Ako se razmatraju samo podskupovi odre|enog
skupa X , onda se X ~esto zove univerzalni skup. U tom slu~aju se za
skup ( ) A X ∈P defini{e wegov komplement sa
\ .c
A A X A= =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 18/324
17
U op{tem slu~aju, skupove obi~no predstavqamo takozvanimVenovim dijagramima (sl. 1).
Ure|eni par ( ),a b dobijamo ako elemente dvo~lanog skupa
{ },a b pore|amo u niz i pri tome preciziramo da je a prvi, a b
drugi element tog niza. Sli~no se formiraju ure|ene trojke,~etvorke ili, uop{te, n -torke.
Dekartov proizvod skupova A i , B u oznaci , A B× defini{e
se sa:
( ){ }, . A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈
Uop{te, Dekartov proizvod skupova1 2, , ..., n A A A dat je sa
( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ... .n n n n A A A a a a a A a A a A× × × = ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ∈
1.3. Relacije
Relacija sa jednog skupa u neki drugi skup je svaki podskup
Dekartovog proizvoda tih skupova. Dakle, ρ je relacija sa skupa A
u skup B ako je . A B ρ ⊂ × Ako je 2, A A A ρ ⊂ × = onda ka`emo da je
(binarna) relacija na . A Umesto ( ),a b ∈ pi{emo a b i
ka`emo da je element a u relaciji ρ sa elementom .b
Neka je 2 A ρ ⊂ . Tada za ka`emo da je:
( ) R refleksivna ako ( )( ) ,a A a a ρ ∀ ∈
( )S simetri~na ako ( )( ), ,a b A a b b a ρ ρ ∀ ∈ ⇒
( ) A antisimetri~na ako ( )( ), ,a b A a b b a a b ρ ρ ∀ ∈ ∧ ⇒ =
( )T tranzitivna ako ( )( ), , .a b c A a b b c a c ρ ρ ρ ∀ ∈ ∧ ⇒
X
c A∩ A B
B
\ A B
B B
∪ A B
Sl. 1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 19/324
18
Za relaciju ka`emo da je relacija ekvivalencije ako jerefleksivna, simetri~na i tranzitivna (skra}eno: RST ). Ako je
relacija ekvivalencije na skupu A , onda se skup
{ }aC x A a x = ∈
zove klasa ekvivalencije elementa .a Svake dve klase ekvivalencijesu ili disjunktne ili se poklapaju. Skup svih klasa ekvivalencije
odre|enih nekom relacijom ρ na skupu A zove se koli~ni~ki skup i
ozna~ava sa / . A
Relacija koja je refleksivna, antisimetri~na i tranzitivnazove se relacija poretka (skra}eno: RAST ).
1.4. Funkcije
Funkcija (preslikavawe) f sa skupa A u skup B , u oznaci
: , f A B→ je takva relacija f A B⊂ × kod koje je svaki element
skupa A u relaciji sa ta~no jednim elementom skupa B . Dakle,funkcija : f A B→ je okarakterisana slede}im svojstvima:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
, ,
, , , .
x A y B x y f
x A y z B x y f x z f y z
∀ ∈ ∃ ∈ ∈
∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒ =
Skup A se zove domen (oblast definisanosti) funkcije f i ~esto
ga ozna~avamo sa f D . Skup B je kodomen funkcije f . Ako
( ), x y f ∈ , onda pi{emo ( ) y f x = i x nazivamo originalom, a y
wegovom slikom pri preslikavawu f .
Preslikavawe : f A B→ mo`emo smatrati ure|enom trojkom
( ), , f A B pri ~emu je f pravilo tog preslikavawa koje se obi~no
zadaje analиti~ki (formulom), tabli~no ili grafi~ki.
Funkcije : f A B→ i :g C D→ su jednake ako imaju iste
domene, iste kodomene i isto pravilo preslikavawa, tj.
( ) ( ) ( ). f g A C B D x f x g x = ⇔ = ∧ = ∧ ∀ =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 20/324
19
Preslikavawe : f A B→ je 1 1− (injekcija) ako razli~itim
originalima odgovaraju razli~ite slike, tj.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
је 1 1 ,
, .
f x x A x x f x f x
x x A f x f x x x
− ⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠
⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
Preslikavawe : f A B→ je na (surjekcija) ako svaki element
kodomena ima svoj original , tj.
( ) ( ) ( )( ) је на . f y B x A y f x ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =
Funkcija je bijekcija ako je i 1 1− i na.
Skup vrednosti funkcije : f A B→ je skup
( ){ } ( ). f R f x x A f A= ∈ =
Identi~no preslikavawe skupa A je funkcija : Ai A A→ za
koju je
( ) ( ) . A x A i x x ∀ ∈ =
Kompozicija (slo`ena funkcija) funkcija : f A B→ i
:g B C → je funkcija h , u oznaci h g f = , takva da je
( ) ( )( ) ( )( )( ). x A g f x g f x ∀ ∈ =
Inverzna funkcija funkcije : f A B→ je funkcija1: f B A−
→ (ako postoji) za koju je
1
A f f i−= i 1
. B f f i−=
Funkcija ima inverznu ako i samo ako je bijekcija.
.
Graf (grafik ) funkcije : f A B→ je skup
( )( ){ }, . f G x f x x A= ∈
Ako su A i B podskupovi skupa realnih brojeva R , onda za
funkciju : f A B→ ka`emo da je realna funkcija realne
promenqive. Za wu se defini{u pojmovi nadgrafa ( f G ) i podgrafa
( f G ) (sl. 2):
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 21/324
20
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
2
2
, ,
, .
f
f
G x y R y f x
G x y R y f x
= ∈ >
= ∈ <
Preslikavawe 2: f A A→ zove se binarna operacija na skupu . A
Umesto ( ),c f a b= obi~no pi{emo c afb= . Naj~e{}e oznake za
operacije su , , , :, , , ... .+ − ⋅ ∗
Sl. 2
0
f G
f
G
f D
f R
f G
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 22/324
21
2. SKUPOVI BROJEVA. PROPORCIONALNOST
2.1. Realni brojevi
Skup (poqe) realnih brojeva ozna~avamo sa R . Wegovi va`-niji podskupovi su:
{ }1 2 3 N , , ,...= − skup prirodnih brojeva,
{ }00 N N = ∪ − skup nenegativnih celih brojeva,
{ }03 2 1 Z N ..., , ,= ∪ − − − − skup celih brojeva,
mQ m Z n N n
⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈ −⎨ ⎬⎩ ⎭
skup racionalnih brojeva,
Ir R \ Q= − skup iracionalnih brojeva, tj. brojeva koji
se ne mogu predstaviti u obliku razlomka.
Za ( )a,b R a b∈ < defini{u se intervali:
[ ] { }( ) { }
[ ) { }( ] { }( ] { }( ) { }
затворени интервал (сегмент),
отворени интервал,
полуотворени (полузатворени) интервал,полуотворени (полузатворени) интервал,
a,b x R a x b
a,b x R a x b
a,b x R a x ba,b x R a x b
,a x R x a ,
,a x R x a ,
a
= ∈ ≤ ≤ −
= ∈ < < −
= ∈ ≤ < −
= ∈ < ≤ −
−∞ = ∈ ≤
−∞ = ∈ <
[ ) { }( ) { }( )
, x R x a ,
a, x R x a ,
, R.
+∞ = ∈ ≥
+∞ = ∈ >
−∞ +∞ =
Za svaki m Z ∈ i n N ∈ postoje jednozna~no odre|eni
brojevi k ,r Z ∈ za koje va`i
0 1m kn r , r n .= + ≤ ≤ −
Broj k zove se koli~nik, a broj r ostatak pri deqewu broja m sa n.
Ako je 0r = , onda je m deqiv sa n , tj. n se sadr`i u m (u oznaci
n m ).
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 23/324
22
Broj oblika
( )
{ }( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 9
m n p p m n p
i j k
a a ...a ,b b ...b c c ...c c c ...c ... a a ...a ,b b ...b c c ...c ,
a ,b ,c , , ,
=
∈…
zove se beskona~ni periodi~ni decimalni broj sa periodom1 2 p
c c ...c .
Broj je racionalan ako i samo ako se mo`e predstaviti u obliku be-skona~nog periodi~nog decimalnog broja. Beskona~ni neperiodi~nidecimalni brojevi su iracionalni brojevi.
Jednakost razlomaka je data sa:
( )0a c a d b c, b,d .b d
= ⇔ ⋅ = ⋅ ≠
Za operacije sa razlomcima va`i:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 : 0
0 0
a b a b a c ad bcc , b,d ,
c c c b d bd
a c a c a c a d a d b,d , b,c,d ,
b d b d b d b c b c
a c a a a ab,c , b .
b c b b b b
± ±± = ≠ ± = ≠
⋅ ⋅⋅ = ≠ = ⋅ = ≠
⋅ ⋅
⋅ −= ≠ − = = ≠
⋅ −
Apsolutna vrednost broja x R∈ je
0
0
x, x x
x, x .
≥⎧= ⎨
− <⎩
Za apsolutnu vrednost va`e slede}e osobine:
x x , x x ,− = ≤
( )
( )
0
0
x a a x a a ,
x a x a x a a ,
x y x y x y .
≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥
≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − ≥
− ≤ + ≤ +
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 24/324
23
Signum broja x R∈ je
1 0
0 0
1 0
, x
sgn x , x .
, x
>⎧
⎪= =⎨⎪
− <⎩
Va`i da je x x sgn x.=
Grafici funkcija y x = i y sgn x = dati su na slikama (sl. 3
i sl. 4)
Sl. 3 Sl. 4
Stepenovawe celobrojnim izlo`iocem je definisano sa:
( )
( ) ( )
пута
0 1 11 0 0
n
n
n
n
a a a a а R, n N ,
a a , a a, a a .a
−
−
= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ∈ ∈
= ≠ = = ≠
Za a R, n N ∈ ∈ svako re{ewe jedna~ine po x
n x a=
(ako postoji) je n -ti koren broja a .
Ako je n neparan broj, onda za svaki a R∈ postoji ta~no jed-no re{ewe i ozna~ava se sa n a . Za parno n i 0a < jedna~ina nema
re{ewa u R ; za parno n i 0a = jedino re{ewe je 0 , tj. 0 0n .= Ako
je n paran broj i 0a > , tada jedna~ina ima dva re{ewa, i pozitivno
re{ewe ozna~avamo sa n a . Drugo re{ewe je n a− . Prema tome, u
ovom slu~aju va`i
x y =
0
0
1
1 y sgn x =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 25/324
24
n n x a x a .= ⇔ = ±
Za korenovawe va`e slede}e osobine:
( )
( )2 2 2
: :n n n n n n
m npn nm m mpnn m nm
n n
a b a b , a b a b ,
a a , a a , a a ,
x x , x x x R ,
⋅ = ⋅ =
= = =
= = ∈
( )0;a,b m,n, p N > ∈ .
Stepenovawe racionalnim izlo`iocem uvodi se sa:
( )0
m
n mna a n N , m Z , a= ∈ ∈ > .
Osnovne osobine stepenovawa su:
( )
( )
y x y x y x xy
x x x x x
x
a a a , a a ,
a aa b a b ,
b b
+⋅ = =
⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0;a,b x, y R> ∈
Pribli`an broj (pribli`na vrednost) nekog ta~nog broja jebroj koji se od wega "neznatno" (malo, zanemarqivo) razlikuje. Ako
je * x pribli`na vrednost broja x , onda ka`emo da je x
aproksimiran brojem * x . Broj
( )* * x x x Δ = −
naziva se apsolutna gre{ka broja * x . Bilo koji nenegativan broj *
x A
koji nije mawi od apsolutne gre{ke broja * x , tj. za koji je
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 26/324
25
( ) *
* *
x x x x A ,Δ = − ≤
zove se granica apsolutne gre{ke. Relativna gre{ka ( )* x δ pribli-
`nog broja * x defini{e se sa
( )( )
( )0
*
*x
x x . x
δ Δ
= ≠
Svaki nenegativan broj * x R koji nije mawi od relativne gre{ke, tj.
za koji je
( ) *
*
x x R ,δ ≤
zove se granica relativne gre{ke broja * x .
Pri odre|ivawu pribli`nog broja za dati decimalni brojobavqa se operacija zaokrugqivawa. Zaokrugqivawe decimalnihbrojeva na n decimala vr{i se po slede}im pravilima:
(1) Ako je 1n + -va decimala mawa od 5, onda prvih n decimala osta- je nepromeweno;
(2) Ako je 1n + -va decimala ve}a od 5, onda se n -ta decimala uve}a-
va za 1, a prvih 1n − ili ostaje nepromeweno (ako je n -ta decimalabila mawa od 9) ili se mewaju na odgovaraju}i na~in (ako je n -ta de-cimala jednaka 9);
(3) Ako je 1n + -va decimala jednaka 5 i bar jedna cifra posle wenije jednaka nuli, onda se n -ta decimala uve}ava za 1;
(4) Ako je 1n + -va decimala jednaka 5 i sve cifre posle we su je-dnake nuli, onda se n -ta decimala ne mewa ako je parna, a uve}ava seza 1 ako je neparna (pravilo parne cifre).U svim ovim slu~ajevima izostavqa se 1n + -va decimala i sve cifre
desno od we.
2.2. Kompleksni brojevi
Skup (poqe) kompleksnih brojeva ozana~avamo sa C. Alge-barski oblik kompleksnog broja z je
( ) ( )21 z a,b a bi , a,b R, i ,= = + ∈ = −
pri ~emu je:
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 27/324
26
( )0 1i ,= − imaginarna jedinica,
a Re z= − realni deo kompleksnog broja z ,
b Im z= − imaginarni deo kompleksnog broja z ,
bi − ~isto imaginaran broj (za 0b ≠ ).
Sl. 5
Po{to su kompleksni brojevi definisani kao ure|eni paro-vi, to je jednakost kompleksnih brojeva data sa:
1 2 1 2 1 2 z z Re z Re z Im z Im z= ⇔ = ∧ = .
Za operacije nad kompleksnim brojevima1
z a bi= + i
2 z c di= + va`i:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1
2 2 2 2
2
0 0
z z a c b d i,
z z a c b d i,
z z a bi c di ac bd ad bc i,
z a bi a bi c di ac bd bc ad i , c,d ,
z c di c di c di c d c d
+ = + + +
− = − + −
⋅ = + ⋅ + = − + +
+ + − + −= = ⋅ = + ≠ ⋅
+ + − + +
Celobrojni stepeni imaginarne jedinice odre|eni su sa:
( )4 4 1 4 2 4 31 1
k k k k i , i i, i , i i k Z .+ + +
= = = − = − ∈
Za konjugovawe i moduo kompleksnih brojeva1
z i2
z va`i:
Kompleksne brojeve pred-stavqamo u kompleksnoj (Gausovoj)ravni (sl. 5).Konjugovano kompleksni broj broja
z a bi= + je broj . z a bi= −
Moduo kompleksnog broja
z a bi= + je 2 2. z a b ρ = = +
z a bi= +
z a bi= −
z
z
a
b
b−
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 28/324
27
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
21 12
2 2
111 2 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
0 ;
0
nn
z z z z , z z z z
z z , z , z z , z z z z z
z z z z , z z z z , , z ,
z z
z z z z z z .
± = ± ⋅ = ⋅
⎛ ⎞ = ≠ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ = ⋅ = ≠
− ≤ + ≤ +
2.3. Proporcionalnost
Koli~nik realnih brojeva a i ( )0b b ≠ , tj. broj
:aa b ,b
=
zove se razmera brojeva a i b .
Jednakost dveju razmera, tj. jednakost oblika
: :a b c d = ,zove se proporcija. Proporcija : :a b c d = ( )0a,b,c,d ≠ je ekviva-
lentna svakoj od slede}ih jednakosti:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 : :
3 : :
4 : : 0
5 : :
a d b c,
a c b d ,
b a d c,
ak bk c d k ,
ak b ck d .
⋅ = ⋅
=
=
= ≠
=
Za brojeve1 2 1 2
0n n
a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b ≠ defini{e se pro{irena
proporcija:
1 1 2 2: : :
n na b a b a b= = = .
Zapisujemo je i u obliku
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 29/324
28
1 2 1 2: : : : : ... :
n na a ... a b b b .=
Za pro{irenu proporciju va`i:
( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 1: : : : :
n n n na b a b a b a a b b a b= = = ⇒ + + + + = .
Jedan posto broja a R∈ je broj
0 01100
a , a=
i ozna~avamo ga sa 1% od a.
U procentnom ra~unu osnovne veli~ine su: glavnica G,
procentna stopa p i procentni iznos P. Va`i proporcija
: 100:G P p,=
pa se pojedine veli~ine ra~unaju po formulama:
100 100100
G pP PG , P , p p G
⋅= = = ⋅
Neka su m i n dati fiksirani brojevi ( )0m,n ≠ , a x i y
nepoznati brojevi. Za x i y ka`emo da su direktno proporcionalni
ako je: : x m y n= ;
u slu~aju da je: : x m n y=
ka`e se da su x i y obrnuto proporcionalni. Direktno
proporcionalne veli~ine x i y odre|uju funkciju
( )0 y kx k ,= ≠
a obrnuto proporcionalne funkciju
( )0a y a . x
= ≠
Grafici funkcija direktne i obrnute proporcionalnosti dati su naslici (sl. 6).
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 30/324
29
(a) (b)
(v) (g)
3. POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI
3.1. Polinomi
Polinom (polinomna funkcija) stepena n je svaka funkcija
:nP R R→ takva da je
( )
( )
1
1 1 0
0 1 1 0; 0
n n
n n n
n n n
P x a x a x a x a ,
n N , a ,a ,...,a ,a R a .
−
−
−
= + + + +
∈ ∈ ≠
Pri tome su:
1 1 0n n
a ,a ,...,a ,a−
− koeficijenti polinoma,
n
a − najstariji (vode}i) koeficijent,
Sl. 6
0 x
a y x
= ( )0a >
0 x
a y x
=
( )0a <
0 x
0k <
y kx =
x0
y kx =
0k >
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 31/324
30
n
na x − najstariji (vode}i) ~lan,
0
a − slobodan ~lan,
nn stP= − stepen polinoma .nPZa nulti polinom 0P ≡ ne defini{e se stepen.
Dva polinoma su jednaka ako su istog stepena i ako su im od-govaraju}i koeficijenti (tj. koeficijenti uz iste stepene od x ) je-dnaki.
Drugim re~ima, ako je ( ) 1
1 1 0
m m
m m mQ x b x b x b x b−
−= + + + + , tada
va`i:
( ) ( ) ( )n m i iP x Q x n m i a b .= ⇔ = ∧ ∀ =Polinomi se sabiraju tako {to im se odgovaraju}i koefici-
jenti saberu i pri tome je
( ) { }n mst P Q max n,m .+ ≤
Mno`ewe dva polinoma obavqa se primenom distributivno-sti realnih brojeva, tj. tako {to se svaki ~lan jednog polinoma po-mno`i svakim ~lanom drugog polinoma. Va`i da je
( )n mst P Q m n.⋅ = +
Broj x a C = ∈ je nula (koren) polinoma P ako je ( ) 0P a .=
Pri tome je
( ) ( ) ( )P x x a Q x ,= −
za neki polinom Q , za koji je 1stQ stP= − . Broj x a C = ∈ je nula
(koren) k -tog reda( )k N ∈ polinoma P ako je
( ) ( ) ( ) ( )( )0k
P x x a Q x , Q a= − ≠ ,
za neki polinom Q za koji je stQ stP k .= −
Faktorisani oblik polinoman
P je
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
sk k k
n n sP x a x x x ,= − α − α − α
pri ~emu su1 2 s , ,...,α α α sve razli~ite nule tog polinoma vi{estru-
kosti ( )1 2 1 2s sk ,k ,...,k , k k ... k n .+ + + =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 32/324
31
Kompleksan broj z iα β = + je nula polinoma nP (sa realnim
koeficijentima) ako i samo ako je nula tog polinoma i wegov
konjugovano kompleksan broj . z iα β = − Prema tome,
( ) ( )0 0.n nP z P z= ⇔ =
Za polinome P i Q postoje jednozna~no odre|eni polinomi
S (wihov koli~nik) i R (ostatak) takvi da je
( )или 0P Q S R, stR stQ R .= ⋅ + < ≡
Prethodnu relaciju mo`emo zapisati u obliku
P R
S ,
Q Q
= +
i ona va`i za sve x za koje je ( ) 0.Q x ≠
Ako je ( ) 0 R x ,≡ tada je polinom P deqiv polinomom Q , tj.
Q je sadr`an u .P
Deqewe polinoma obi~no se obavqa tako {to se postupnodele wihovi najstariji ~lanovi, i sam postupak je sli~an deqewuvi{ecifrenih brojeva.
(Bezuov stav) Ostatak pri deqewu polinoma P = ( )P x sa
x a− je ( )P a . Specijalno, ako je ( ) 0P a ,= tada je P deqiv sa x a.−
Najve}i zajedni~ki delilac polinoma P i Q , tj. ( ) NZD P,Q ,
je polinom koji ima najvi{i stepen me|u svim polinomima koji susadr`ani i P i u Q .
Najmawi zajedni~ki sadr`alac polinoma P i Q tj.
( ) NZS P,Q , je polinom koji ima najni`i stepen me|u svim
polinomima koji su deqivi i sa P i sa Q .
Polinomi P i Q su uzajamno prosti ako je ( ) NZD P,Q =1.
Ako kod polinoma jedne promenqive u izrazima za neki ste-
pen od x oblika
пута r
x x x
−
⋅ ⋅ ⋅…
promenqivu x zamenimo na k pozicija
( )1 k r ≤ ≤ nekom drugom promenqivom , ,... y z , dobijamo polinome
vi{e promenqivih.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 33/324
32
3.2 Racionalni algebarski izrazi
Racionalni algebarski izrazi su izrazi u kojima u~estvujukonstante (realni brojevi), promenqive( ), , , ..., , , , ... x y z a b c i opera-
cije sabirawa, oduzimawa, mno`ewa, deqewa i stepenovawa promen-qivih celobrojnim izlo`iocem.
Srediti racionalni algebarski izraz zna~i svesti ga na
oblikP
Q, pri ~emu su P i Q uzajamno prosti.
Za izraze A,B,C i D va`i:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2
2
3 3
0
A B C A B A C ,
A B C D A C B C A D B D,
A B A B A B ,
A B A AB B ,
A B A A B AB B ,
A B A B A A B B ,
A A C B,C ,
B B C
⋅ ± = ⋅ ± ⋅
+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ + = −
± = ± +
± = ± + ±
± = ± ⋅ ⋅ +
⋅= ≠
⋅
∓
( )
( )
( )
0
0
: 0
A C A D B C B,D ,
B D B D
A C A C B,D ,
B D B D A C A D A D
B,C ,D . B D B C B C
⋅ ± ⋅± = ≠
⋅
⋅⋅ = ≠
⋅⋅
= ⋅ = ≠⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 34/324
33
4. LINEARNE JEDNA^INE I SISTEMI LINEARNIHJEDNA^INA. LINEARNE NEJEDNA^INE
4.1. Linearna jedna~ina
Osnovni oblik linearne jedna~ine po nepoznatoj x je
ax b= ( a,b R∈ ).
Pri tome va`i:
1 jedna~ina nema re{ewa ako je 0a = i 0b ≠ ;
2 jedna~ina ima beskona~no mnogo re{ewa (svako x R∈
je re{ewe) ako je 0a b= = ;
3 jedna~ina ima jedinstveno re{ewe b x
a= ako je 0a .≠
4.2. Sistemi linearnih jedna~ina
Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate je konjunk-cija jedna~ina oblika
( )( )
1 1 1
2 2 2 1 1 2 2 1 2; непознате
a x b y c
a x b y c , a ,b ,a ,b ,c ,c R x, y .
+ =⎧⎪∗ ⎨
+ = ∈ −⎪⎩
Ure|eni par realnih brojeva ( ) ,α β je re{ewe sistema ako za-
menom x sa α i y sa β svaka jedna~ina sistema postaje numeri~ki
identitet.Sistem od tri linearne jedna~ine sa tri nepoznate je konjun-
kcija jedna~ina oblika
( )( )
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 31 2 3 ; непознате
i i i i
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d , a ,b ,c ,d R, i , , x, y, z .
⎧ + + =⎪⎪
+ + =⎨⎪
+ + = ∈ = −⎪⎩
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 35/324
34
Ure|ena trojka realnih brojeva ( ) , ,α β γ je re{ewe sistema
ako zamenom x sa α , y sa β i z sa γ svaka od jedna~ina sistema
postaje numeri~ki identitet.Sistem od m linearnih jedna~ina sa n nepoznatih
( ),m n N ∈ je konjunkcija jedna~ina oblika
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
...
a x a x ... a x b ,
+ + + =⎧⎪
+ + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =
⎩
pri ~emu su:
( )
( )
1 2
1 2 ; 1 2 коефицијенти уз непознате,
1 2 слободни чланови,
непознате.
ij
j
n
а R i , ,...m j , ,...,n
b R j , ,...,n
x ,x ,...,x
∈ = = −
∈ = −
−
Re{ewe sistema je svaka ure|ena n -torka realnih brojeva
( )1 2 n , ,...,α α α takva da zamenom 1 x sa 1α , 2 x sa 2α , ... , n x sa nαsvaka od jedna~ina sistema postaje numeri~ki identitet.
Re{iti sistem linearnih jedna~ina zna~i na}i skup svihwegovih re{ewa.
Razmatraju}i skup re{ewa, sistem linearnih jedna~ina mo`ebiti:
− saglasan (mogu}) ako ima bar jedno re{ewe,− odre|en ako ima samo jedno (jedinstveno) re{ewe
tj. po jednu vrednost za svaku nepoznatu,
− neodre|en ako ima beskona~no mnogo re{ewa,− nesaglasan (nemogu}, protivre~an) ako nema re{ewa.
Elementarne transformacije sistema linearnih jedna~inasu:
(1) zamena mesta bilo kojim dvema jedna~inama sistema,(2) mno`ewe bilo koje jedna~ine sistema realnim brojem
razli~itim od nule,
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 36/324
35
(3) dodavawe proizvoqnoj jedna~ini sistema bilo koje drugejedna~ine prethodno pomno`ene nekim realnim brojem.
Primenom elementarnih transformacija sistem linearnih jedna~ina ne mewa skup re{ewa.Neka je za sistem (∗ ) od dve linearne jedna~ine sa dve nepo-
znate
1 1
1 2 2 12 2
a b D a b a b
a b= = − (determinanta sistema),
x
D = 1 1
1 2 2 12 2
c bc b c b
c b= − i 1 1
1 2 2 12 2
y
a c D a c a c .
a c= = −
Tada va`i:(1) ako je 0 D ≠ , sistem ima jedinstveno re{ewe koje se dobija
formulama
y x
D D x , y
D D= = (Kramerove formule);
(2) ako je 0 D = i bar jedna od determinanti x y
D ,D razli~ita
od nule, sistem je nemogu};
(3) ako je 0 x y
D D D= = = , tada je sistem ili neodre|en, tj.
ima beskona~no mnogo re{ewa, ili je nemogu}.
4.3 Linearne nejedna~ine
Osnovni oblici linearnih nejedna~ina po nepoznatoj x su:
( )
,
,
,
, .
ax b
ax b
ax b
ax b a b R
≤
<
≥
> ∈
Za nejedna~inu ax b≤ va`i:
1 za 0a > re{ewe je svaki realan broj x za koji je
b x ,
a≤
2 za 0a = i 0b ≥ re{ewe je svaki realni broj,
3 za 0a = i 0b < nejedna~ina nema re{ewa,
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 37/324
36
4 za 0a < re{ewe je svaki realan broj x za koji je
b x
a≥ ⋅
Sli~no se re{avaju i nejedna~ine ,ax b ax b< ≥ i .ax b>
Pri re{avawu nejedna~ina koristimo se osnovnim svojstvima
relacija , ,≤ < ≥ i .> Tako, na primer, za relacije ≤ i ≥ va`i:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
a a,
a b b a a b,
a b b c a c,
a b a c b c,
a b c ac bc,
a b c ac bc,
ab a b a b ,
ab a b a b ,
aa b a b ,
b
a a b a b , a,b,c R .b
≤
≤ ∧ ≤ ⇒ =
≤ ∧ ≤ ⇒ ≤
≤ ⇒ + ≤ +
≤ ∧ > ⇒ ≤
≤ ∧ < ⇒ ≥
≥ ⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤
≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ ∨ ≤ ∧ ≥
≥ ⇔ ≥ ∧ > ∨ ≤ ∧ <
≤ ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≤ ∧ > ∈
5. KVADRATNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE
5.1. Kvadratne jedna~ine
Osnovni oblik kvadratne jedna~ine po nepoznatoj x je
( )20 0ax bx c , a,b,c R, a .+ + = ∈ ≠
Re{ewa jedna~ine dobijamo po formuli
2
1 2
4
2 ,
b b ac x
a
− ± −= ⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 38/324
37
U specijalnim slu~ajevima imamo:
( )2
2
2
0 0 0
0 за 0
0 за 0
bax bx x ax b x x ,
a
c cax c x ,
a a
c cax c x i .
a a
+ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −
+ = ⇔ = ± − ≤
+ = ⇔ = ± >
Izraz2
4 D b ac= − zove se diskriminanta kvadratne jedna~i-ne.
U zavisnosti od znaka diskriminante razlikujemo slede}e slu-~ajeve:
(1) ako je 0 D > , re{ewa su realna i razli~ita,
(2) ako je 0 D ,= re{ewa su realna i jednaka, tj.
imamo jedno dvostruko realno re{ewe,(3) ako je 0 D < , re{ewa su konjugovano kompleksni
brojevi 1 2 , x i.= α ± βZa re{ewa kvadratne jedna~ine va`e Vietove formule:
1 2
1 2
b x x ,
a
c x x
a
+ = −
⋅ = ⋅
Znak re{ewa kvadratne jedna~ine odre|en je sa:
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
b c
x x D ,a a
b c x x D ,
a a
c x R x R x x D ,
a
c x R x R x x D .
a
> ∧ > ⇔ ≥ ∧ − > ∧ >
< ∧ < ⇔ ≥ ∧ − < ∧ >
∈ ∧ ∈ ∧ ⋅ < ⇔ > ∧ <
∈ ∧ ∈ ∧ ⋅ > ⇔ ≥ ∧ >
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 39/324
38
Trinomna jedna~ina je jedna~ina oblika
( )20 0
n nax bx c , a,b,c R, a , n N ,+ + = ∈ ≠ ∈
i ona se smenom nt x = svodi na kvadratnu jedna~inu
20at bt c .+ + =
Za 2n = trinomna jedna~ina postaje bikvadratna jedna~ina 4 2
0ax bx c .+ + =
5.2. Kvadratne nejedna~ine
Osnovni oblici kvadratnih nejedna~ina su:
2
2
2
2
0
0
0
0
ax bx c ,
ax bx c ,
ax bx c ,
ax bx c .
+ + ≥
+ + >
+ + ≤
+ + <
( )0a ≠
Ako su1
x i2
x realna i razli~ita re{ewa kvadratne
jedna~ine
2 0ax bx c ,+ + =
onda odgovaraju}u kvadratnu nejedna~inu re{avamo kori{}ewem fa-ktorisanog oblika kvadratnog trinoma, tj. oblika
( )( )2
1 2ax bx c a x x x x + + = − −
i analizom znaka dobijenog proizvoda.
U ostalim slu~ajevima va`i:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x R ax bx c a D ,
x R ax bx c a D ,
x R ax bx c a D ,
x R ax bx c a D .
∀ ∈ + + > ⇔ > ∧ <
∀ ∈ + + ≥ ⇔ > ∧ ≤
∀ ∈ + + < ⇔ < ∧ <
∀ ∈ + + ≤ ⇔ < ∧ ≤
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 40/324
39
Ako je 0a > i 0 D > i ako su1
x i ( )2 1 2 x x x < realni i
razli~iti koreni kvadratnog trinoma 2ax bx c+ + , tada va`i:
( )( )
( )
( ) ( )
( )
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1
1 2
0 0
( 0 0) 0 0
ax bx c a x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x , x x , .
+ + ≥ ⇔ − − ≥
⇔ − ≥ ∧ − ≥ ∨ − ≤ ∧ − ≤
⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤
⇔ ≥ ∨ ≤
⎤ ⎡⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣
Sli~no se re{avaju i ostali slu~ajevi kvadratnih nejedna~i-na. Slu~aj 0a < svodimo na slu~aj 0a > mno`ewem kvadratne neje-
dna~ine sa 1− i vode}i ra~una da se pri tome mewa smer nejednako-sti. Ipak, kvadratnu jedna~inu je najjednostavnije re{avati skicira-wem odgovaraju}eg grafika kvadratne funkcije.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 41/324
40
0k =
6. LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA
6.1. Linearna funkcija
Op{ti oblik linearne funkcije je
( ) ( ) y f x kx n, k ,n R .= = + ∈
Domen funkcije je ( ) f D R , ,= = −∞ +∞ a skup wenih vrednosti
f R R= za 0k ≠ i { } f
R n= za 0k .=
Grafik svake linearne funkcije je prava (sl. 7).Broj k tg= α je koeficijent pravca prave tj. tangens ugla α
koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x -ose. Veli~ina n jeodse~ak na y -osi, tj. ordinata prese~ne ta~ke prave sa y -osom.
Nula linearne funkcije jen
x k
= − za 0k .≠ Za 0k = i 0n ≠
funkcija nema nula. Ako je 0k n= = , funkcija se svodi na 0 y = i
wen grafik je x -osa.
Funkcija je striktno rastu}a za 0k > , striktno opadaju}a za
0k < i konstantna za 0k .=Nije svaka prava grafik neke linearne funkcije. Prave pa-
ralelne sa y -osom, tj. prave sa jedna~inom ( ) x a a R= ∈ ne predstav-
qaju grafik nijedne linearne funkcije
(a) (b)
(v) (g)Sl. 7
nk
−
n
0
0<k
nkx y +=
α
n y =
0
n
0
a x =
a
n
0
0>k
nkx y +=
α
n
k
−
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 42/324
41
6.2. Kvadratna funkcija
Op{ti oblik kvadratne funkcije je
( ) ( )2 0 y f x ax bx c, a,b,c R, a .= = + + ∈ ≠
Domen funkcije je ( ) f D , ,= −∞ +∞ a skup wenih vrednosti
24
4 f
ac b R ,
a
⎡ ⎞−= + ∞ ⎟⎢
⎣ ⎠za 0a > i
24
4 f
ac b R ,
a
⎛ ⎤−= −∞⎜ ⎥
⎝ ⎦za 0a .<
Grafik svake kvadratne funkcije je parabola (sl. 8). Teme
parabole je wena ta~ka2
4
2 4
b ac bT , .
a a
⎛ ⎞−−⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sl. 8
Ako je 0a ,> funkcija je konveksna, opada za2
b , ,
a
⎛ ⎞∈ −∞ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
raste za2
b x ,
a
⎛ ⎞∈ − +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠i za
2
b x
a= − ima minimum
24
4min
ac b y
a
−= ⋅
Teme parabole je wena najni`a ta~ka.
Ako je 0a < , funkcija je konkavna, raste za2b , ,a
⎛ ⎞∈ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
opada za2
b x ,
a
⎛ ⎞∈ − +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠i za
2
b x
a= − ima maksimum
24
4max
ac b y
a
−= ⋅
Teme parabole je wena najvi{a ta~ka.
Ordinata prese~ne ta~ke parabole sa y -osom je ( )0 y f c.= =
a
b
2−
c
0
T 0a <
c
T
0
a
b
2−
0a >
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 43/324
42
Skicirawe grafika kvadratne funkcije omogu}uje jednosta-vno re{avawe odgovaraju}e kvadratnie nejedna~ine. Pri tome su odzna~aja samo broj realnih nula funkcije i znak koeficijenta а .
Broj realnih nula kvadratne funkcije, tj. broj realnih re{e-wa jedna~ine 2
0ax bx c ,+ + = zavisi od znaka diskriminante2
4 D b ac.= −Ako je 0 D ,> funkcija ima dve razli~ite realne nule i para-
bola u dvema ta~kama se~e x -osu (sl. 9).
Sl. 9
U ovom slu~aju (pod pretpostavkom da je1 2
x x < ) va`i:
( )
( ) ( )
( )
2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2
0
0
0
0
ax bx c x , x x , ,
ax bx c x , x x , ,
ax bx c x x ,x ,
ax bx c x x , x ,
⎫⎤ ⎡+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣ ⎪⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ⎪⎬
⎡ ⎤+ + ≤ ⇔ ∈ ⎪⎣ ⎦⎪
+ + < ⇔ ∈ ⎪⎭
(za 0a > )
i
( )( ) ( )
( )
21 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2
0
0
0
0
ax bx c x ,x x , ,
ax bx c x ,x x , ,
ax bx c x x , x ,
ax bx c x x , x .
⎫⎤ ⎡+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣ ⎪⎪+ + < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ⎪⎬
⎡ ⎤+ + ≥ ⇔ ∈ ⎪⎣ ⎦⎪
+ + > ⇔ ∈ ⎪⎭
(za 0a < )
0 2 x 1 x
T
0a >
0 1 x 2 x
0a <T
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 44/324
43
Za 0 D = (sl. 10) kvadratna funkcija ima jednu dvostruku re-alnu nulu, parabola svojim temenom dodiruje x -osu i va`i:
( )
( )
2
2
2
2
0
02 2
02
0 нема реалних решења
ax bx c x , ,
b bax bx c x , , ,
a a
bax bx c x ,
a
ax bx c x ,
⎫+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ +∞⎪
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎬⎪+ + ≤ ⇔ = −⎪⎪
+ + < ⇔ ∈∅ ⎪⎭
(za 0a > )
i
( )
( )
2
2
2
2
02
0 нема реалних решења
02 2
0
bax bx c x ,
a
ax bx c x ,
b bax bx c x , , ,
a aax bx c x , .
⎫+ + ≥ ⇔ = − ⎪
⎪+ + > ⇔ ∈∅ ⎪⎪
⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ + < ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪
+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎭
(za 0a < )
Sl. 10
Ako je 0 D < (sl. 11), kvadratna funkcija nema realnih nula i
parabola se nalazi ili iznad (za 0a > ) ili ispod (za 0a < ) x -ose iva`i:
0
a
b
2−
0a >
T
0
a
b
2−
T
0a <
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 45/324
44
( )
( )( )
( )
2
2
2
2
0
0
0 нема реалних решења
0 нема реалних решења
ax bx c x , ,
ax bx c x , ,
ax bx c x ,
ax bx c x ,
⎫+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ +∞⎪
⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎬+ + < ⇔ ∈∅ ⎪
⎪+ + ≤ ⇔ ∈∅ ⎪⎭
(za 0a > )
i
( )
( )
( )( )
2
2
2
2
0 нема реалних решења
0 нема реалних решења
0
0
ax bx c x ,
ax bx c x ,
ax bx c x , ,
ax bx c x , .
⎫+ + ≥ ⇔ ∈∅⎪⎪+ + > ⇔ ∈∅ ⎪⎬
+ + < ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎪+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎭
(za 0a < )
Sl. 11
Kanonski oblik kvadratne funkcije je
( )( )2
y a x ,= − α + β
pri ~emu je2
b
aα = − a
2
2
4
4
ac b
a
−β = ⋅
0
0a <
T 0
0a >
T
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 46/324
45
7. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA. EKSPONENCIJALNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE
7.1. Eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika
( ) ( )0 1 x y f x a , а , a .= = > ≠
Domen funkcije je ( ) f D R , ,= = −∞ +∞ a skup vrednosti
funkcije ( )0 f
R , .= +∞
Za 1a > funkcija je strogo rastu}a, a za 0 1a< < strogo
opadaju}a.Grafici eksponencijalnih funkcija dati su na slici (sl. 12).
Sl. 12
7.2. Eksponencijalne jedna~ine
Eksponencijalne jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepozna-ta nalazi u izlo`iocu (eksponentu) stepena.
Pri re{avawu eksponencijalnih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti eksponencijalne funkcije:
1 2
1 2
x x a a x x .= ⇔ =
0
1
a
1
x a 1a >
0
1 a
1
x a
0 1a< <
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 47/324
46
Za date funkcije g i h , re{ewe eksponencijalne jedna~ine
( ) ( )g x h x a a=
je { }g h x R x D D∈ ∈ ∩ za 1a = i ( ) ( ){ }g h
x R x D D g x h x ∈ ∈ ∩ ∧ = za
0 1a .< ≠
7.3. Eksponencijalne nejedna~ine
Eksponencijalne nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih senepoznata nalazi u izlo`iocu (eksponentu) stepena.
Pri re{avawu eksponencijalnih nejedna~ina koristimo se
svojstvom stroge monotonosti eksponencijalne funkcije x y a= :
ra{}ewa za 1a > i opadawa za 0 1a< < .
Za date funkcije g i h va`i:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )ако је 1
g x h x
g h
g x h x
g h
a a x D D g x h x ,a
a a x D D g x h x ,
⎫< ⇔ ∈ ∩ ∧ < ⎪>⎬
> ⇔ ∈ ∩ ∧ > ⎪⎭
i
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )ако је 0 1
g x h x
g h
g x h x
g h
a a x D D g x h x ,a
a a x D D g x h x .
⎫< ⇔ ∈ ∩ ∧ > ⎪< <⎬
> ⇔ ∈ ∩ ∧ < ⎪⎭
Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ,≤ odnosno .≥
8 . LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA.LOGARITAMSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE
8.1. Logaritam
Logaritam broja 0b > za datu osnovu (bazu) a ( )0, 1a a> ≠ , u
oznaci alog b , je broj kojim treba stepenovati osnovu a da bi se
dobio broj b . Broj b se zove numerus logaritma.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 48/324
47
Prema tome, imamo da je
( )0 1 0c
ac log b a b , a ,a , b= ⇔ = > ≠ > ,
odnosno a
log ba b= .
Osnovne osobine logaritma su:
( )
1 0
1
1
1k
a
a
a a a
a a a
x
a a
ca
c
a b
aa
log ,
log a ,
log b c log b log c,
blog log b log c,
c
log b x log b,
log blog b ,
log a
log b ,
log a
log b log b.k
=
=
⋅ = +
= −
=
=
=
=
(U svim navedenim relacijama pretpostavqamo da su osnove
logaritama iz ( ) ( )0 1 1 , , ,∪ +∞ da su svi numerusi pozitivni i da su
imenioci razlomaka razli~iti od nule).Dekadni logaritmi su logaritmi sa osnovom 10. Po dogovoru
pi{emo
10
log x log x.=
Prirodni logaritmi su logaritmi sa osnovom
( )2 7182818e e , ... .= Uobi~ajeno je pisati
e
log x ln x.=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 49/324
48
8.2. Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcija je funkcija oblika ( ) ( )0 1
a y f x log x, a , a .= = > ≠
Domen logaritamske funkcije je ( )0 f
D , ,= +∞ a skup
vrednosti funkcije ( ) f R , .= −∞ +∞
Funkcija je strogo rastu}a za 1a ,> a strogo opadaju}a za
0 1a .< <
Grafici tipi~nih logaritamskih funkcija dati su na slici(sl. 13).
Sl. 13
Nula svake logaritamske funkcije je 1 x = , tj. grafik loga-
ritamske funkcije se~e x -osu u ta~ki sa apscisom 1 x .=
Logaritamska funkcijaa
y log x = je inverzna eksponenci-
jalnoj funkciji
x
y a=
, i zato su wihovi grafici simetri~ni u od-nosu na pravu y x.=
8.3. Logaritamske jedna~ine
Logaritamske jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepoznata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.
Pri re{avawu logaritamskih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti logaritamske funkcije, kao i ~iwenicom da nu-
0
1
a1
0 1a< <
a y log x =
0 1 a
1
1a >
a y log x =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 50/324
49
merus svake logaritamske funkcije mora biti pozitivan realanbroj. Prema tome, za 0 1a , a> ≠ i za date funkcije g i h , va`i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0a alog g x log h x g x h x g x h x .= ⇔ = ∧ > ∧ >
8.4. Logaritamske nejedna~ine
Logaritamske nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepo-znata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.
Pri re{avawu logaritamskih nejedna~ina koristimo se svoj-stvom stroge monotonosti logaritamske funkcije (ra{}ewa za 1a >
i opadawa za 0 1a< < ), kao i ~iwenicom da numerus svake logari-tamske funkcije mora biti pozitivan realan broj.
Ako su g i h date funkcije, onda va`i:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
a a
a a
log g x log h x g x h x g x ,
log g x log h x g x h x h x ,
⎫< ⇔ < ∧ > ⎪⎬
> ⇔ > ∧ > ⎪⎭(za 1a > )
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
a a
a a
log g x log h x g x h x h x ,
log g x log h x g x h x g x .
⎫< ⇔ > ∧ > ⎪⎬
> ⇔ < ∧ > ⎪⎭(za 0 1a< < )
Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ≤ , odnosno .≥
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 51/324
50
9. OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I
OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI
9.1. Ugao
Ugao je unija dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom i jedneod dve oblasti na koje te dve poluprave dele ravan (sl. 14).
Zajedni~ki po~etak O je teme ugla, a poluprave Op i Oq su kraci
ugla. Oznaka ugla je α , pOq∠ ili AOB∠ , pri ~emu je p A ∈ , a
q B ∈ . Oznaka za teme ugla pi{e se izme|u p i q , odnosno , izme|u
A i B , dok redosled oznaka p i q , odnosno A i B nije bitan. Da
bi smo naglasili koja od dve oblsti ravni je oblast ugla, ako je topotrebno, mo`emo to u~initi navo|ewem bilo koje ta~ke iz unutra-
{wosti te oblasti.Ako se poluprave Op i Oq poklapaju i ako je oblast ugla ra-
van bez poluprave Op, onda se dobijeni ugao naziva pun ugao, a ako jeoblast ugla prazan skup, onda se dobijeni ugao nazivanula-ugao. Ako
je unija polupravih Op i Oq prava, a oblast ugla poluravan, onda se
dobijeni ugao naziva opru`en ugao. Dva ugla u ravni, pOr ∠ i rOq∠ ,
sa zajedni~kim krakom Or nazivaju se susednim uglovima (sl.15), akoosim ta~aka zajedni~kog kraka nemaju drugih zajedni~kih ta~aka.
q
Op
r
Sl. 15 Sl. 17O
pq
r
Sl. 16
q
α
pO
Sl. 14
B α
O
q
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 52/324
51
Ugao pOr je mawi od ugla pOq, ako se krak Or ugla pOr nalazi u
oblasti ugla pOq, a oblast ugla pOr je podskup oblasti ugla pOq .Ako je unija krakova, koji nisu zajedni~ki, prava, za uglove ka`emo
da su naporedni (sl. 16). Ugao je prav ako je podudaran svomnaporednom uglu (sl. 17), a o{tar ili tup ako je mawi ili ve}i odsvog naporednog ugla.
Neka je AB du` u ravni ugla pOq∠ , takva da je Op A ∈ i
Oq B ∈ . Ugao pOq∠ je konveksan (ispup~en) ako je pOq AB ∠⊂
(sl.18; sl.20), a nekonveksan (udubqen) ako je { } B A pOq AB ,=∠∩
(sl.19; sl.21).
Dva ugla su jednaka ako se izometrijskim transformacijamamogu dovesti do poklapawa.
Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 22).
Sl. 22
q
α
pO
B
Sl. 18
q
α
pO
B
Sl. 20
α
q
pO
BSl. 21
Sl. 19
α
O
Bq
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 53/324
52
Uglovi sa normalnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 23).
9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla
Ako kraci ugla pOq ~ine ure|en par ( )OqOp, , onda se ka`e
da je ugao pOq orijentisan i ozna~ava se sa ( )Op,Oq∠ . Ako se prvi
krak rotira oko temena O do poklapawa sa drugim krakom u smerusuprotnom od kretawa kazaqki na ~asovniku (pozitivni smer), ugao
je pozitivan ; ina~e je negativan .
Ako se posle rotacije od punog ugla nastavi rotacija u pozitivnomsmeru do poklapawa sa drugim krakom, dobija se ugao ve}i od punogugla.
Ako se prvo izvr{i ( )k k N ∈ rotacija za pun ugao i nastavi
rotacija do poklapawa sa drugim krakom, dobija se proizvoqnoveliki pozitivni ugao. Ako se rotacije vr{e u negativnom smeru,dobijaju se negativni uglovi.
Ugao koji je 90 -ti deo pravog ugla ima meru jedanstepen ( )
1 .
Mawe merne jedinice su jedan minut ( )1′
i jedan sekund ( )1′′
, pri ~emu je:
061 ′= i 061 ′′=′ , odakle sledi da je
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =′
60
11 i
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=
′
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =′′
60
1
60
1
60
11 .
Sl. 23
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 54/324
53
Prema tome, pun ugao ima 360 stepeni (
360 ), a opru`en ugao ima
180 stepeni (
180 ).
Neka je pOq∠ centralni ugao kruga ( )11 , r Ok i neka je ( )22 , r Ok
bilo koji, wemu koncentri~an krug (sl. 24). Odnos kru`nog luka uoblasti ugla i odgovaraju}eg polupre~nika kruga je stalan
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
2
2
1
1
r
l
r
l, pa se mo`e uzeti za meru ugla. Ova mera se naziva
radijanska mera ugla. Ako je 1=r
l, odgovaraju}i ugao ima meru jedan
radijan (1 rad ili samo 1). Za kru`ni luk koji odgovara punom ugluva`i π r l 2= , pa pun ugao ima π 2 radijana, a opru`en ugao ima π
radijana. Ako je polupre~nik kruga 1=r , onda se radijanska meraugla svodi na merni broj du`ine odgovaraju}eg kru`nog luka uoblasti ugla. U narednoj tablici navedene su radijanske iodgovaraju}e stepene mere nekih uglova:
30 2
6 4 3 2 2
0 30 45 60 90 180 270 360
π π π π π π π
radijanska
mera ugla
stepena
mera ugla
.
Sl. 24
q
O
1r
2r 2l
1l
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 55/324
54
9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla
Neka je o{tar ugao pravouglog trougla ABC sa pravim
uglom kod temena C , katetom a naspram ugla , katetom b koja jekrak ugla i hipotenuzom c (sl. 25). Tada je:
c
a=α sin ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
hipotenuza
katetanaspramna,
c
b=α cos ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
hipotenuza
katetanalegla,
b
atg =α ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
katetanalegla
katetanaspramna,
a
bctg =α ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
katetanaspramna
katetanalegla.
Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih o{trih uglova date suu narednoj tablici, a s tim u vezi treba obratiti pa`wu na slike 26i 27.
30 45 60
1 2 3sin
2 2 2
3 2 1cos
2 2 2
33 1
3
31 3
3
tg
ctg
α
α
α
α
•
a
b
c
C
B
Sl. 25
Sl. 26
2
1
1
2
3
30
60•
Sl. 27
1
2
1
45
45
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 56/324
55
9.4. Definicija trigonometrijskih funkcijaproizvoqnog ugla Neka je k jedini~ni krug sa centrom u koordinatnom po~etku
i ( )q p OO ,∠ orijentisani ugao, gde je prvi krak pO pozitivnideo x -ose, a drugi krak qO se dobija rotacijom kraka pO za ugao
oko temena O . Neka je { } M k Oq =∩ i neka su M M y x и koordinate
ta~ke M ( sl. 28). Ako je α radijanska mera ugla ( )q p OO , , tada je za
svako R∈α po definiciji:
sin M
yα = ; cos M
x α = ; , 0 M
M
M
ytg x
x α = ≠ ; , 0 M
M
M
x ctg y
yα = ≠ .
Polo`aj drugog kraka qO ne}e se promeniti posle rotaci-
je od punog ugla , a odnos M
M
y
x , kao ni odnos M
M
y
x , kada su definisani,
ne}e se promeniti posle rotacije od polovine punog ugla, pa na os-novu prethodne definicije sledi da su trigonometrijske funkcije
proizvoqnog ugla periodi~ne. Za funkcije R x x y ∈= ,sin i
R x x y ∈= ,cos osnovni period je π 2 , a za funkcije
Z k k x tgx y∈+≠=
,2, π
π
i ctgx y=
, Z k k x ∈≠
,π osnovni period je π .
Sl. 28
1
1
1
0 1 x
t
M y
q
M x
M
y
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 57/324
56
Za funkcije ( )sin y x ω ϕ = + i ( ) R x x y ∈+= ,cos ϕ ω i 0ω ≠
osnovni period jeω
π 2=T , a za funkcije ( ) y tg x ω ϕ = + ,
2 x k
π ω ϕ π + ≠ + i ( )ϕ ω += x ctg y ,
2 x k
π ω ϕ π + ≠ + osnovni period
jeω
π =T .
Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova date su u nared-
noj tablici (oznaka − zna~i da funkcija nije definisana za odre-|eni ugao).
30 2
6 4 3 2 2
1 2 3sin 0 1 0 1 0
2 2 2
3 2 1cos 1 0 1 0 12 2 2
33 1 0 0 0
3
31 3 0 0
3
tg
ctg
π π π π π π π
α
α
α
α
−
−
− −
− − −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 58/324
57
9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog uglana funkcije o{trog ugla
Kako su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vre-dnosti ovih funkcija za proizvoqan ugao mogu izraziti pomo}u vre-dnosti trigonometrijskih funkcija za o{tar ugao :
( )π β insk sinsin =+= 2 , k Z ∈ ; α α π
β cos2
sinsin =⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ;
( )π β cos2 =+= k oscosc , k Z ∈ ; α α
π β ins
2oscosc =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ;
α α π
β cos2
sinsin =⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ; ( ) α α π β inssinsin =−= ;
α α π
β ins2
oscosc −=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ; ( ) α π β coscoscos −=−= ;
α β
p
q
0
Sl. 29
β p
q
0
Sl. 31
α β p
q
0
Sl. 32
α
β p
q
0
Sl. 30
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 59/324
58
( )π β inssinsin−=+= ;
α α π
β cos
2
sinsin −=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
3
( )π β coscoscos −=+= ; α α π
β sincoscos −=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2
3;
α α π
β cos2
sinsin −=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
3; ( ) α α π β inssinsin −=−= 2 ;
α α π
β sincoscos =⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
2
3; ( )π β cososcosc =−= 2 .
Za ugao α − va`i :
( ) β sinsinsin −=−= 0 ;
( ) α β coscoscos =−= 0 .
β
q
0α
p β
q
0
Sl. 34Sl. 33
p β
q
0
Sl. 35
β p
q
0
Sl. 36
β p
q
0
Sl. 37
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 60/324
59
Za ostale trigonometrijske funkcije svo|ewe se vr{i naosnovu prethodno navedenih formula i trigonometrijskihidentiteta.
9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti
1. 1cossin22
=+α
2. α
α cos
sin=tg , Z k k ∈+≠ ,
2π
π α
3. α α
sin
cos=ctg , Z k k ∈≠ ,π
4. 1=⋅ α ctgtg ,2
π α
k ≠
5. 1
1
cossin
cos
1
coscos
222
22
2
+=
+==
α α α
α α α
tg,
Z k k ∈+≠ ,2
π π
α
6. 1cossin
sin
1
sinsin
2
2
22
22
2
+=
+==
α
α
α α
α α α
tg
tg,
Z k k ∈+≠ ,2
π π α
9.7. Adicione formule
1. ( ) β α β β α sincoscossinsin +=+
1.а) α cossin22sin =
2. ( ) β α β α β α sincoscossinsin −=−
3. ( ) β α β α β sinsincoscoscos −=+
3.а) α 22sincos2cos −=
4. ( ) β α β α β α sinsincoscoscos +=−
5. ( ) β α
β β α
tgtg
tgtgtg
−
+=+
1, Z k k ∈+≠+ ,
2,, π
π β α β α
5.а) α
α 2
1
22
tg
tgtg
−=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 61/324
60
6. ( ) β α
β β α
tgtg
tgtgtg
+
−=−
1, Z k k ∈+≠− ,
2,, π
π β α β α
7. ( ) β α
β β α ctgctg
ctgctgctg
+
−
=+
1, Z k k ∈≠+ ,,, π β α β α
7.а) α
α α
ctg
ctgctg
2
12
2−
=
8. ( )α β
β α β α
ctgctg
ctgctgctg
−
+=−
1, Z k k ∈≠− ,,, π β α β α
9. Из 1cos2sincos2cos222
−=−= α α следи да је
2
2cos1
cos
2
α
+=
.
Из α α α 222sin21sincos2cos −=−= следи да је
2
2cos1sin
2 α α
−= .
Из претходне две формуле следи да је
α
α 2cos1
2cos12
+
−=tg и α
2cos1
2cos12
−
+=ctg .
10.
12
22
2cos
2sin
2cos
2sin2
sin222
+
=
+
=α
α
α α
α α
α
tg
tg
,
21
21
2cos
2sin
2sin
2cos
cos2
2
22
22
α
α
α α
α α
α
tg
tg
+
−
=
+
−
= .
Из претходне две формуле следи да је
21
22
2 α
α
α
tg
tg
tg
−
= и
22
21
2
α
α
α
tg
tg
ctg
−
= .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 62/324
61
9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija uproizvod
1.
2cos
2sin2sinsin
β α β β α
−+=+
2.2
sin2
cos2sinsinβ β α
β α −+
=−
3. 2
cos2
cos2coscosβ α β α
β α −+
=+
4. 2
sin2
sin2coscosβ β α
β α −+
−=−
5.( )
β α
β α
β α coscos
sin ±
=± tgtg , Z k k ∈+≠ ,2, π
π
β α
6. ( )
β α
α β β α
sinsin
sin ±=± ctgctg , Z k k ∈≠ ,, π β α
9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija uzbir
1. ( ) ( )[ ] β α β α β α −++= sinsin2
1cossin
2. ( ) ( )[ ] β α β α β α −++= coscos2
1coscos
3. ( ) ( )[ ] β α β α β α −−+−= coscos2
1sinsin
9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija
1. x sin y =
Основни период функције sin y = је π 2 .
0
y
1
-1
x π π 2
Sl. 38
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 63/324
62
2. x cos y =
Основни период функције osx c y = је π 2 .
x cos x sin =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
2
π
3. y=tgx
Основни период функције y=tgx је π .
0
1
-1
y
π x π 2
Sl. 39
0 xπ 2−π 2−
2π 23π − 23π 2π − 25π
Sl. 41
0
1
-1
π
y
x π 2
Sl. 40
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 64/324
63
4. y=ctgx
Основни период функције y=ctgx је π .
π 2− 0 xπ π 2 π 3π −
2π 23π − 23π 2π − 25π
Sl.42
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 65/324
64
9.11. Inverzne trigonometrijske funkcije
1. arcsin y =
Функција
[ ] [ ]1,12,2: −→− π π f
( ) sinx x f =
је бијeкција (обострано-
једнозначно пресликавање).
Инверзна функција функције
f је функција
[ ] [ ]2,21,1:1
π π −→−−
f
( ) arcsinx x f =
−1
.
Графици функција f и 1− f су
симетрични у односу на
праву x y = .
0 2π
-1
2π −
1
Sl. 43
0 1-1
2π
2π −
Sl. 44
0 1
1
-1
-1
2π
2π
2π −
2π −
Sl. 45
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 66/324
65
2. x arccos y =
Функција
[ ] [ ]1,1,0: −→π f
( ) cosx x f =
је бијeкција (обострано-
једнозначно пресликавање).
Инверзна функција функције
f је функција
[ ] [ ]π ,01,1:1
→−−
f
( ) arccosx x f =−
1 .
Графици функција f и 1− f
су симетрични у односу на
праву x y = .
0 2π
1
1
π
Sl. 46
0
2π
1 1
π
Sl. 47
0
2π
1
1
11
2π
π
π
Sl. 48
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 67/324
66
3. arctgx y =
Функција
( ) ( )∞∞−→− ,2,2: π π f
( ) tgx x f =
је бијeкција (обострано-
једнозначно пресликавање).
Инверзна функција
функције f је функција
( ) ( )2,2,:1
π π −→∞∞−− f
( ) arctgx =− x f 1
.
Графици функција f и 1− f
су симетрични у односу на
праву x y = .
0 2π 2π −
Sl. 49
0
2π
2π −
Sl. 50
0
2π
2π −
2π −
2π
Sl. 51
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 68/324
67
4. arcctgx y =
Функција
( ) ( )∞∞−→− ,2,2: π π f
( ) ctgx x f =
је бијeкција (обострано-
једнозначно
пресликавање).
Инверзна функција
функције f је функција
( ) ( )
1: , 0, f π
−−∞ ∞ →
( ) arcctgx x f =−1
.
Графици функција f и1− f су симетрични у
односу на праву x y = .
π 2π 0
Sl. 52
0
π
2π
Sl. 53
π 0
π
2π
2π
Sl. 54
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 69/324
68
10. TRIGONOMETRIJSKE JEDNA^INE INEJEDNA^INE
10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine
1 1≤= a ,asinx 2 , x arcsina k π = + ili
2 , x arcsina k k Z π π = − + ∈
2 1≤= a ,acosx Z k k aarccos x ∈+±= ,2 π
3 Raatgx ∈= , Z k ,k arctga x ∈+= π
4 Raactgx ∈= , Z k k arcctga x ∈+= ,π
5 ( ) 0=t Pn
{ }ctgx tgx,cosx,sinx,t ∈
Одговарајућом сменом своде
се на алгебарске једначине.
6 0=± sinbx sinax
0=± cosbx cosax
0=± tgbx tgax
0=± ctgbx ctgax
Трансформацијом збира и
разлике тригонометријских
функција у производ своде се
на једначине типа 1,2,3,4.
7 000 ≠≠=+ b ,a ,bcosx asinx
За Z k k x ∈+≠ ,2
π π
дељењем
са cosx , једначина се сводина једначину типа 3.
8
,cbcosx asinx =+
0,0,0 ≠≠≠ cba
22 bac +<
Дељењем са 22 ba +
једначина се своди на
једначину типа 1.
90
=++x ccossinxcosx b x asin
22
За 0≠a deqewem sa
0
2
cos x ≠
своди се на једначину0=++ cbtgx x atg 2
(тип 5)
10 d x ccossinxcosx b x asin 22=++
Ако десну страну једначине
напишемо у облику
( ) x cos x sind 22+ , сређивањем
добијамо једначину типа 9.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 70/324
69
10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine
Nejedna~ine a x ≤sin i a x ≤cos za 1−<a nemaju re{ewa, dok su
za 1>a re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.Nejedna~ine a x ≥sin i a x ≥cos za 1>a nemaju re{ewa, dok su
za 1a < − re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.
Nejedna~ine a x ≤sin , a x ≤cos , a x ≥sin i a x ≥cos za 1≤a ,
zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcija, mo`emo re{avatiprvo u bilo kom intervalu du`ine π 2 , a zatim odrediti skup svihre{ewa. Osnovni interval treba pogodno izabrati, tako da skupre{ewa iz tog intervala opet bude jedan interval.
1.Nejedna~inu 1,sin ≤≤ aa x prvo re{avamo u intervalu
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2,
2
3 π π , (sl. 55). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊂
2,
2
3,
π π β α , pri ~emu je aarcsin= β i aarcsin−−= π , onda
je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala
[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skupre{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .
Pri re{avawu trigonometrijskih nejedna~ina, osim grafika trigo-nometrijskih funkcija pogodno je koristiti i trigonometrijskikrug.
-1
1
023π − 2π α β
a
x
Sl. 55
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 71/324
70
Na slici 56 oznake2
3,
2,,
π π β α − su radijanske mere uglova.
2. Nejedna~inu 1,sin ≤≥ aa x prvo re{avamo u intervalu
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− 2
3
,2
π π
,(sl. 57). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊂
2
3,
2,
π π β α , pri ~emu je aarcsin= i aarcsin−= π β , onda je
skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala
[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .
1
α β a
2
π
2
3π −
Sl. 56
-1
0
x23π 2π − α β
1 a
Sl. 57
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 72/324
71
Na slici 58 oznake2
3,
2,,
π π β α − su radijanske mere uglova.
3. Nejedna~ina 1,cos ≤≥ aa x prvo se re{ava u intervalu
[ ]π π ,− ,(sl. 59). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
[ ] [ ]π π β α ,, −⊂ , pri ~emu je aarccos−=α i aarccos= β , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala
[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .
1
α β
a
2π −
23π
0
Sl. 58
0
1
-1
x
a
π π − α β
Sl. 59
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 73/324
72
Na slici 60 oznake π π β α −,,, su radijanske mere uglova.
4. Nejedna~inu 1cos x a , a≤ ≤ prvo re{avamo u intervalu
[ ]π 2,0 ,(sl. 61). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
[ ] [ ]π β α 2,0, ⊂ , gde je aarccos=α i aarccos−= π β 2 , onda je skup
svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala
[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .
0 1
α
β
aπ −
π
Sl. 60
0
1
-1
a
xα β π 2
Sl. 61
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 74/324
73
Na slici 62 oznake 0 и 2 , ,α β π su radijanske mere uglova.
Nejedna~ine atgx ≤ , actgx ≤ , atgx ≥ i actgx ≥ imaju
re{ewa za svako realno a . Ove nejedna~ine prvo se re{avaju u
nekom (pogodnom) intervalu du`ine π , a zatim se nalaze i svaostala re{ewa.
5. Nejedna~ina Raatgx ∈≤ , prvo se re{ava u
intervalu ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2,
2
π π , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine
interval ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⊂⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ −
2,
2,
2
π π α
π , pri ~emu je arctga= , onda je skup
svih re{ewa date nejedna~ine unija
intervala Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ ++− ,,
2π α π
π .
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala Z k k k ∈⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++− ,,
2π α π
π .
1
α
β
π 20
a 0
Sl. 62
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 75/324
74
0 xπ 2−π 2−
2π 23π − 23π 2π − 25π
α
a a y =
Sl. 63
0
1
α
a
2
π
2
π −
Sl. 64
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 76/324
75
Na slici 64 oznake2
,2
,π π
α − su radijanske mere uglova.
6. Nejedna~ina Raatgx ∈≥ , prvo se re{ava u interva-
lu ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2,
2
π π , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⊂⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡
2,
22,
π π π α , pri ~emu je arctga= ,onda je skup svih re{ewa
date nejedna~ine unija intervala2
k , k , k Z π
α π π ⎡ ⎞
+ + ∈⎟⎢⎣ ⎠.
Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala Z k k k ∈⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ++ ,
2, π π π α .
7. Nejedna~ina Raactgx ∈≤ , prvo se re{ava u intervalu
( )π ,0 , (sl. 65). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval [ )π α , ,
pri ~emu je arcctga= , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine
unija intervala [ )π π π k k ++ , , Z k ∈ .
Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,, π π π .
π 2− 0
xπ 2 π 3π −
23π − 23π 2π − 25π 2π
π α
a y =
Sl. 65
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 77/324
76
.
Na slici 66 oznake 0 и ,α π su radijanske mere uglova.
8. Nejedna~ina Raactgx ∈≥ , prvo se re{ava u intervalu
( )π ,0 . Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval( ]α ,0 , pri ~emu
je arcctga=α , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija
intervala ( ]π α π k k +, , Z k ∈ .
Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈+ ,, π α π .
0
1
α
a
π 0
1-1
Sl. 66
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 78/324
77
11. PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI ISTEREOMETRIJI
11.1. Povr{ina trougla
Kako je sinah
c β = , to je sinah c β = , pa je
sin
2 2 ABC
aah acP
β = =
(sl. 67). Sli~no se dobija da je
sin
2 2 ABC
cch cbP
α = = i
sin2 2
ABC bbh baP γ = = .
11.2. Sinusna i kosinusna teorema
Ako su ba, i c naspramne stranice uglova β α , i γ
proizvoqnog trougla ABC , a R polupre~nik opisanog kruga oko togtrougla (sl. 68) , onda va`i :
a) Rcba
2sinsinsin
===
γ β α
(sinusna teorema)
b) α cos2222 bccba −+=
β cos2222 accab −+=
γ cos2222 abbac −+=
(kosinusna teorema).
11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Kompleksni broj bia z += , kao ta~ka u Gausovoj ravni (sl.69),
odre|en je realnim brojevima a i b , a za ( ) ( )0,0, ≠ba mo`emo ga
odrediti i pomo}u rastojawa ρ ta~ke z od koordinatnog po~etka i
ugla ϕ koji radijus-vektor ta~ke z gradi sa pozitivnim delom
x -ose :
R
c
ba
C
B β α
γ
O
Sl. 68
β
cb
a
ah
C B
Sl. 67
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 79/324
78
2 2 z a b ρ = = + ( ρ − moduo kompleksnog broja),
0, ≠= a
a
btgϕ , [ )π ϕ 2,0∈ (ϕ − argument kompleksnog broja).
Kako iz sinb ϕ
ρ = sledi da je sinb ϕ = , a iz cos
a ϕ ρ
= sledi da je
cosa ϕ = , to je cos sin z i ρ ϕ ρ ϕ = + , tj. ( )cos sin z i ρ ϕ ϕ = + {to
predstavqa trigonometrijski oblik kompleksnog broja . z
Za 0 02
a bπ
ϕ = > =i je (sl. 70), a za3
0 02
a bπ
ϕ = < =i je (sl. 71).
Ako je ( )2111 sincos ϕ ϕ i z += i ( )2222 sincos ϕ ϕ += z , tada je:
1. =⋅ 21 z z ( ) ( )( )222121 sincos ϕ ϕ ϕ ϕ ρ +++ i ,
2. ( ) ( )( ) 0,sincos22121
2
1
2
1≠−+−= ρ ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ z
z,
3. ( ) N nnin z nn∈+= ,sincos ϕ ϕ ρ ,
(Muavrova formula)
4. { }1,...,2,1,0,2
sin2
cos −∈⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
+= nk
n
k
n
k z nn π ϕ π ϕ
ρ .
bi z =
Sl. 71
bi z =
Sl. 70
a
ϕ
x 0
b bia z +=
ρ
Sl. 69
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 80/324
79
11.4. Primena trigonometrije u stereometriji
Ako je H visina, h apotema, r polupre~nik upisanog, a R
polupre~nik opisanog kruga osnove pravilne piramide, i ψ nagibniugao bo~ne strane piramide (sl. 72), onda va`i:
sin ; cos ; ;r r
r
H H tg ctg
h h H ψ ψ ψ ψ = = = = .
Ako je s bo~na ivica piramide (sl. 73), a ϕ nagibni ugao
bo~ne ivice prema ravni osnove, onda je :
sin ; cos ; ;
R R
R
H H
tg ctgs s H ϕ ϕ ϕ ϕ = = = =
.
Ako je r polupre~nik osnove kupe(sl.74), H visina kupe, s izvodnica,a ϕ nagibni ugao izvodnice prave
kupe prema ravni osnove, onda je:
sin ; cos ; ;r r
r
H H tg ctg
s s H
ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = .
2a ψ
O
H h
a
Sl. 72
r
a
2d
ϕ
O
H
s
Sl. 73
R
r
H s
ϕ O
Sl. 74
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 81/324
80
12. VEKTORI, PODUDARNOST, HOMOTETIJA ISLI^NOST
12.1. Vektori
Za du` AB ka`emo da je usmerena (orijentisana) ako je
precizirano {ta je wena po~etna, odnosno krajwa ta~ka. Ako je A
wena po~etna a B krajwa ta~ka, tada se ta usmerena du` ozna~ava sa
AB
i zove se vektor.Svaki vektor karakteri{u pravac, smer i intenzitet.Pravac vektora je odre|en pravom (nosa~em) kojoj vektor
pripada. Za vektore koji le`e na istoj pravoj ili na paralelnim
pravima, ka`e se da imaju isti pravac ili da su kolinearni.Smer vektora je odre|en izborom po~etne, odnosno krajwe
ta~ke vektora. Za dati pravac postoje dva me|usobno razli~ita(suprotna) smera.
Intenzitet (du`ina) vektora je rastojawe izme|u wegovih
krajwih ta~aka. Intenzitet vektora a AB=
ozna~ava se sa .a AB=
Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer iintenzitet. Jednakost vektora je relacija ekvivalencije u skupu svih
vektora u prostoru. Zbog toga, vektor AB
mo`emo poistovetiti sawegovom klasom ekvivalencije, tj. sa skupom svih vektora koji su sawim jednaki. Iz definicije jednakosti proizlazi da se radi oslobodnim vektorima, odnosno o vektorima koji se ne mewaju ako separalelno pomeraju kroz prostor.
Suprotan vektor vektoru AB
, u oznaci AB BA− =
, je vektor
koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB
, ali suprotansmer.
Nula vektor, u oznaci 0
, je vektor ~ija se po~etna ta~ka po-klapa sa krajwom. Nula vektor nema odre|en ni pravac ni smer i we-gov intenzitet je nula.
Jedini~ni vektor (ort) je vektor intenziteta jedan.Tri ili vi{e vektora su komplanarni ako le`e u istoj ravni.
Zbir vektora a
i b
, u oznaci a b+
, je vektor koji se od ve-
ktora a
i b
dobija po pravilu nadovezivawa ili po pravilu parale-lograma (sl. 75).
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 82/324
81
Po pravilu nadovezivawa na kraj vektora a
stavqa se po~e-
tak vektora b
, pa vektor a b+
ima po~etak u po~etku vektora a
a
kraj u kraju vektora b
. Po pravilu paralelograma vektor a b+
je
odre|en dijagonalom paralelograma koji obrazuju vektori a
i b
.
Proizvod skalara (broja) k R∈ i vektora a
je vektor, u ozna-
ci ka
, odre|en sa:
(1) ka
i a
su kolinearni,
(2) ka k a= ⋅
,
(3) za 0k > vektori a
i ka
su istosmerni, a za 0k <
suprotnih smerova,
(4) 0 0.a =
12.2. Podudarnost
Du`i AB i CD su podudarne (jednake), u oznaci AB CD= ,ako su wihove du`ine (rastojawa izme|u krajwih ta~aka) jednake.
Izometrijsko preslikavawe (izometrija) je svako bijektivno
preslikavawe figure F u figuru1
F koje du`i preslikava u wima
podudarne du`i. Ako postoji izometrija koja figuru F prevodi u
figuru1
F , ka`e se da je figura F podudarna figuri1
F i pi{e se
1F F .≅
a
ba b+
a
b
a b+
Sl. 75
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 83/324
82
Dva ugla α i β su podudarna (jednaka), u oznaci ,α β = ako
su im jednake wihove mere (npr. u stepenima).Za podudarnost trouglova (sl. 76) va`e slede}a pravila:
(1) (Pravilo SSS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imajuodgovaraju}e stranice jednake, tj.
ABC A B C a a b b c c .′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =
(2) (Pravilo SUS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao zahva}en wima, tj.
ABC A B C b b c c .α α ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =
(3) (Pravilo USU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovaraju}a ugla nalegla na tustranicu, tj.
ABC A B C c c .α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =(4) (Pravilo SSU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju
jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram jedne od wih, auglovi naspram druge stranice u oba trougla su ili oba o{tra ilioba prava ili oba tupa. Prema tome,
и су оба или
оштра или права или тупа.
ABC A B C a a b b α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ = ∧
Sl. 76
Dva mnogougla su podudarna ako su im sve odgovaraju}estranice jednake i svi odgovaraju}i uglovi jednaki.
Dva kruga su podudarna ako imaju jednake polupre~nike.
b
C
B
α
γ
β
a
c A′ c′
C ′
B′
′ β ′
γ ′
a′ b′
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 84/324
83
Osna simetrija (sl. 77a) u odnosu na pravu (osu) s je preslika-
vawe ravni koje svaku ta~ku A te ravni preslikava u ta~ku A′ koja je simetri~na sa A u odnosu na pravu s.
Centralna simetrija (sl. 77b) ravni π sa centrom S je pre-slikavawe koje svaku ta~ku A ravni π preslikava u ta~ku A′ koja je
simetri~na sa A u odnosu na ta~ku S .
Rotacija (sl. 77v) sa centrom u ta~ki S za orijentisani ugao
α je preslikavawe koje svaku ta~ku A ravni preslikava u ta~ku A′
iste ravni, tako da je SA SA′ = i ASA .α ′ =
Translacija (sl. 77g) ravni za vektor v
je preslikavawe te
ravni kojim se svaka ta~ka A te ravni preslikava u ta~ku A′ tako da
je AA v .′ =
(a) (b)
(v) (g)
Sl. 77
Osna simetrija, centralna simetrija, rotacija i translacijasu izometrije.
A′
s S
A′
S
A′
α
A′v
v
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 85/324
84
12.3. Homotetija i sli~nost
Homotetija sa centrom S i koeficijentom 0k ≠ je presli-
kavawe ravni koje svaku wenu ta~ku A prevodi u ta~ku A′
isteravni, tako da je SA k SA.′ =
Sli~nost (transformacija sli~nosti) sa koeficijentom0k > je preslikavawe ravni koje svake dve wene ta~ke A i B prevo-
di u ta~ke A′ i B′ iste ravni, tako da je A B kAB.′ ′ =
Figure F i1
F su sli~ne, u oznaci1
F F ,∼ ako postoji tran-
sformacija sli~nosti koja figuru F prevodi u figuru1
F .
Za sli~nost trouglova (sl. 78) va`e slede}a pravila:
(1) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}estranice proporcionalne, a uglovi zahva}eni tim stranicama jednaki, tj.
: : ABC A B C b c b c .α α ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ =∼
(2) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im odgovaraju}e straniceproporcionalne, tj.
: : : : ABC A B C a b c a b c .′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ =∼
(3) Dva trougla su sli~na ako i samo ako imaju jednaka po dvaodgovaraju}a ugla, tj.
ABC A B C .α α β β ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ =∼(4) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e
stranice proporcionalne, uglovi naspram dveju od tih odgovaraju}ihstranica jednaki, a uglovi naspram drugih dveju stranica u obatrougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,
: : и су оба или
оштра или права или тупа.
ABC A B C a b a b α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ = ∧∼
Sl. 78
b
C
B
α β
γ a
c c′
β ′
A′
α ′
B′
C ′
γ ′
b′ a′
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 86/324
85
13. GEOMETRIJA TROUGLA, ^ETVOROUGLA IMNOGOUGLA. KRUG
13.1. Trougao
Navodimo neke osnovne elemente trougla.Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta dveju
stranica trougla. Ona je paralelna tre}oj stranici i upola je kra}aod we.
Te`i{na du` je du` koja spaja teme trougla sa sredi{tem na-spramne stranice. Sve te`i{ne du`i se seku u ta~ki koja se zove te-`i{te trougla. Te`i{te deli svaku te`i{nu du` u odnosu 2:1 (ra~u-
naju}i od temena).Visina trougla je du` koja spaja teme trougla sa podno`jemnormale iz tog temena na naspramnu stranicu. Sve visine se seku uta~ki koja se zove ortocentar trougla. ^esto se termin visina kori-sti i za du`inu visine.
Presek simetrala stranica trougla je centar opisanog krugatrougla.
Centar upisanog kruga trougla nalazi se u preseku simetrala(bisektrisa, raspolovnica) unutra{wih uglova trougla.
Zbir unutr{wih uglova trougla je180
, a zbir spoqa{wih360 . Svaki spoqa{wi ugao trougla jednak je zbiru dva unutra{wawemu nesusedna ugla. Naspram ve}e stranice trougla le`i ve}i ugaoi obrnuto, naspram ve}eg ugla le`i ve}a stranica trougla.
Svaka stranica trougla mawa je od zbira a ve}a od razlikedruge dve stranice trougla.
Jednakokraki trougao je trougao koji ima dve stranice jedna-ke. Jednake stranice zovu se kraci, a tre}a stranica je osnovica tro-ugla.
Jednakostrani~ni trougaoima sve stranice i sve unutra{wei spoqa{we uglove jednake. Svaki unutra{wi ugao jednakostrani-
~nog trougla ima 60 . Kod jednakostrani~nog trougla se poklapajucentar opisanog kruga, centar upisanog kruga, te`i{te i ortocen-tar.
Pravougli trougao je trougao koji ima jedan unutra{wi ugaoprav. Najdu`a stranica pravouglog trougla, koja se nalazi nasprampravog ugla, zove se hipotenuza, dok su preostale dve katete.
Obim trougla je zbir du`ina wegovih stranica.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 87/324
86
Uobi~ajene su slede}e oznake za elemente trougla (sl. 79):
a,b,c − du`ine stranica,
, ,α β γ − unutra{wi uglovi,
1 1 1 , ,α β γ − spoqa{wi uglovi,
a b ch ,h ,h − visine (du`ine visina),
полуобим,
полупречник уписаног круга,
полупречник описаног круга.
s
r
R
−
−
−
Sl. 79
Za obim i povr{inu trougla va`e slede}e formule:
( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2
Херонов образац
4
1 1 1
2 2 2
a b c
О a b c s,
a h b h c hP ,
P s s a s b s c ,
a b cP r s, R
P a b sin a c sin b c sin .
= + + =
⋅ ⋅ ⋅= = =
= − − −
⋅ ⋅= = ⋅
= ⋅ γ = ⋅ β = ⋅ α
C B
a h c
b
a
β γ
1α
1 β
1γ
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 88/324
87
Za pravougli trougao (sl. 80) sa katetama а i b i hipotenu-zom c va`i da je:
2 2 2a b c ,+ =(Pitagorina teorema)
2 2
2
2
ca c p, h p q
cb c q, R
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
Sl. 80
U slu~aju jednakostrani~nog trougla stranice a imamo:
2
33
2
3 32
6 3
3
4
aO a, h ,
a ar , R r ,
aP .
= =
= = =
=
Za sli~ne trouglove va`i da se obimi odnose kao du`ine wi-hovih odgovaraju}ih stranica, a povr{ine kao kvadrati tih du`ina
(i kao kvadrati visina). Prema tome, ako su a,b,c i h , odnosno
1 1 1a ,b ,c i
1h odgovaraju}i elementi sli~nih trouglova, tada je:
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
и
O a b c
O a b cP a b c h
P a b c h
= = =
= = = = ⋅
c h
BC
c b
a
q
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 89/324
88
13.2. ^etvorougao
Navodimo neke osnovne pojmove i ~iwenice u vezi ~etvorou-
glova.Zbir unutra{wih uglova svakog ~etvorougla je 360
.
Zbir spoqa{wih uglova konveksnog ~etvorougla je360 .
Paralelogram (sl. 81) je ~etvorougao ~ije su naspramne stra-nice paralelne. I svaki od slede}ih uslova mo`e se uzeti za defi-niciju paralelograma:
− naspramne stranice ~etvorougla su jednake,− naspramni uglovi ~etvorougla su jednaki,− dve naspramne stranice ~etvorougla su jednake i dva
naspramna ugla su jednaka,− dijagonale ~etvorougla se me|usobno polove.Romb je paralelogram ~ije su sve stranice jednake. Dijagonale
romba se me|usobno polove pod pravim uglom.Pravougaonik je paralelogram ~iji su svi unutra{wi uglovi
pravi.Kvadrat je pravougaonik sa jednakim stranicama.
Sl. 81
Trapez (sl. 82a) je ~etvorougao sa jednim parom paralelnihstranica. Paralelne stranice su osnovice, a ostale dve su kraci tra-peza. Trapez je jednakokrak ako ima jednake krake. Sredwa linija
a h
b h
a C B
b a h
a
a
B
C
1 d
2 d
a
a b
a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 90/324
89
trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova. Ona je paralelnaosnovicama i jednaka wihovom poluzbiru.
Deltoid (sl. 82b) je ~etvorougao koji ima dva para jednakih
susednih stranica. Dijagonale deltoida su me|usobno normalne.
(b)(a)
Sl. 82
Tangentni ~etvorougao (sl. 83a) je ~etvorougao u koji se mo`eupisati krug. ^etvorougao je tangentan ako i samo ako su mu zbirovinaspramnih stranica jednaki.
Tetivni ~etvorougao (sl. 83b) je ~etvorougao oko koga se mo-
`e opisati krug. ^etvorougao je tetivan ako i samo ako su mu zbiro-vi naspramnih uglova jednaki.
(a) (b)Sl. 83
Neka su a i b du`ine stranica paralelograma,a
h ib
h odgo-
varaju}e visine i α jedan wegov unutra{wi ugao. Tada za obim ipovr{inu paralelograma va`e slede}e formule:
m
b
a B
d c
h
C
b
a
C
B
1 d
2 d
r
C
B
b
a
d
c
O
R
C
B
α
β
γ
δ O
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 91/324
90
2 2
a b
O a b,
P a h b h a b sin .
= +
= ⋅ = ⋅ = ⋅ α
U specijalnim slu~ajevima va`i:− za romb
( )1 2
1 2
4
дужине дијагонала ;2
a
O a,
d d P a h d ,d
=
⋅= ⋅ = −
− za pravougaonik
2 2
;
O a b,
P a b
= +
= ⋅
− za kvadrat
2
4O a,
P a .
=
=
Ako su a i b du`ine osnovica trapeza, m du`ina sredwe
linije i h visina (rastojawe izme|u osnovica), tada je
2 2
a b a bm , P m h h.
+ += = ⋅ = ⋅
Povr{ina deltoida, ~ije su du`ine dijagonala1
d i2
d ,
ra~una se po formuli1 2
2
d d P
⋅= ⋅
13.3. Mnogougao
Zbir unutra{wih uglova n -tougla je ( )2 180n .− ⋅
Zbir spoqa{wih uglova konveksnog n -tougla je 360 .
Broj dijagonala konveksnog n -tougla je( )3
2
n n −
⋅
Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi unutra-{wi uglovi jednaki.
Tangentni mnogougao je mnogougao u koji se mo`e upisatikrug.
Tetivni mnogougao je mnogougao oko kojeg se mo`e opisatikrug.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 92/324
91
Svaki pravilni mnogougao je i tangentan i tetivan. Kod wegase poklapaju centri upisanog i opisanog kruga.
Ako je a du`ina stranice pravilnog n -tougla i r polupre-
~nik upisanog kruga, tada se wegov obim i povr{ina ra~unaju poformulama:
2
a r O na, P n
⋅= = ⋅
13.4. Krug
Krug (kru`nica, kru`na linija) (sl. 84) je skup svih ta~aka uravni koje se nalaze na podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta-~ke. Kru`na povr{ (ili jednostavno krug) je deo ravni ograni~en
kru`nom linijom. Fiksirana ta~ka je centar kruga, a du` koja spajacentar sa nekom ta~kom na krugu je polupre~nik kruga. Termin polu-pre~nik ~esto koristimo i za du`inu polupre~nika. Du` koja spajadve razli~ite ta~ke na krugu je tetiva. Simetrala svake tetive sadr-`i centar kruga. Najdu`a tetiva, tj. tetiva koja sadr`i centar jepre~nik kruga .
Sl. 84
Kru`ni luk je deo kru`ne linije izme|u dve wene razli~iteta~ke. Deo kru`ne povr{i ograni~en tetivom i odgovaraju}im
Prava koja se~e krugu dvema razli~itim ta~ka-ma je se~ica kruga.
Tangenta kruga jeprava koja sa krugom ima sa-mo jednu zajedni~ku ta~ku.Polupre~nik koji odgovaradodirnoj ta~ki tangente jenormalan na tu tangentu.Kroz svaku ta~ku van krugamo`emo povu}i dve tan-gente. Tangentna du` je od-
se~ak tangente od ta~ke izkoje je ona konstruisana nadati krug do ta~ke dodira.Tangentne du`i konstrui-sane iz iste ta~ke van datogkruga su jednake.
MA=MB
O
M
C
B
t
s
r
1C
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 93/324
92
kru`nim lukom je kru`ni odse~ak (sl. 85a). Dva razli~ita polupre-~nika i odgovaraju}i kru`ni luk odre|uju kru`ni ise~ak (sl. 85b).
(a) (b)
Sl. 85
Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi neki luk (tetiva) jecentralni ugao koji odgovara tom luku (tetivi). Ugao pod kojim se izneke ta~ke na krugu vidi luk, kojem ne pripada ta ta~ka, zove seperiferijski ugao nad tim lukom. Svi periferijski uglovi nadistim lukom su jednaki. Svakoj tetivi odgovaraju dva periferijska
ugla koji su suplementni (u zbiru daju opru`en ugao) (sl. 86a).Centralni ugao je dva puta ve}i od odgovaraju}eg (nad istim
lukom) periferijskog ugla. Periferijski ugao nad pre~nikom jeprav.
O{tar (tup) ugao koji je odre|en tetivom i tangentom ukrajwoj ta~ki tetive kruga jednak je o{trom (tupom) periferijskomuglu nad tom tetivom (sl. 86b).
(a) (b)Sl. 86
O
α
α 2
α −
180
O
O
r
O
r r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 94/324
93
Sl. 87
Obim i povr{ina kruga polupre~nika r ra~unaju se poformulama
22O r , P r .= π = π
Neka kru`nom luku odgovara centralni ugao ~ija mera ustepenima iznosi α , a u radijanima ϕ . Tada je du`ina luka data sa
180
r l , l r ,
πα= = ϕ
a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka je2
21
360 2
r P , P r .
πα= = ϕ
Povr{ina kru`nog prstena odre|enog krugovima
polupre~nika1
r i ( )2 1 2r r r > jednaka je
( )2 2
1 2P r r .= − π
Krugovi neke ravni su kon-
centri~ni ili ekscentri~ni u zavi-snosti od toga da li im se centripoklapaju ili ne. Deo ravni izme|udva nejednaka koncentri~na kruga(kru`ne linije) zove se kru`ni pr-
sten (sl. 87) .
O
1r
2r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 95/324
94
14. POLIEDRI
14.1. Prizma
Svaka prizma (sl. 88) ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove~ine dva podudarna mnogougla koji se nalaze u paralelnim ravnima, aomota~ je skup bo~nih strana prizme, pri ~emu je svaka bo~na stranaparalelogram. Ako su osnove neke prizme n -touglovi, onda je re~ o n -tostranoj prizmi. Stranice osnova su osnovne ivice, dok suostale ivice bo~ne ivice prizme. Dijagonala prizme je du` kojaspaja teme jedne osnove prizme sa nesusednim temenom druge osnove.Prizma je prava ako su bo~ne ivice normalne na ravni osnova; u
protivnom je prizma kosa.
Sl. 88
Pravilna prizma je prava prizma ~ije su osnove pravilnimnogouglovi.
Ako su osnove prizme paralelogrami, onda se ta prizma zoveparalelepiped. Kvadar (sl. 89) je pravi paralelepiped ~ije su osnovepravougaonici. Kocka (pravilni heksaedar) (sl. 90) je kvadar ~ije susve ivice jednake.
Sl. 89 Sl. 90
a
b
c
a
a
a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 96/324
95
Koristimo se standardnim oznakama: B − povr{ina baze prizme,
M − povr{ina omota~a prizme,
H − visina prizme (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina prizme ra~unaju se po formulama:
2P B M ,
V B H .
= +
= ⋅
Ako su a, b i c du`ine ivica kvadra, onda su povr{ina i
zapremina kvadra date sa:
( )2P a b a c b c ,
V a b c.
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅
Za kocku, ~ija je du`ina ivice a , va`i:
2
6P a= i3
V a .=
14.2. Piramida
Svaka piramida (sl. 91) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova piramide je mnogougao, a omota~ je skup bo~nih stranapiramide. Svaka bo~na strana je neki trougao. Ako je osnovapiramide n -tougao, onda je re~ o n -tostranoj piramidi. Straniceosnove su osnovne ivice, dok su ostale ivice bo~ne ivice piramide.Zajedni~ka ta~ka svih bo~nih strana je vrh piramide.
Sl. 91
H
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 97/324
96
Piramida je pravilna ako joj je osnova pravilan mnogougao iako se podno`je normale kroz wen vrh na ravan osnove poklapa sasredi{tem osnove. Sve bo~ne ivice pravilne piramide su jednake.
Visine bo~nih strana pravilne piramide zovu se apoteme. Trostrana piramida zove se i tetraedar. Pravilni tetraedar je tetraedar ograni~en sa ~etiri jednakostrani~na trougla.
Koristimo se slede}im standardnim oznakama:
B − povr{ina baze piramide, M − povr{ina omota~a piramide,
H − visina piramide (odstojawe vrha piramide odravni osnove),
s − du`ina bo~ne ivice pravilne piramide,
h −
apotema pravilne piramide.Povr{ina i zapremina piramide ra~unaju se po formulama:
3
P B M ,
B H V
= +
⋅= ⋅
Sl. 92 Sl. 93
Za pravilnu n -tostranu piramidu (sl. 92) va`i:
2 2 2
2 2
a r a h B n , M n , s H R ,
⋅ ⋅= = = +
pri ~emu su r i R polupre~nici upisane, odnosno opisane
kru`nice osnove piramide.Za pravilni tetraedar (sl. 93) ivice a imamo da je:
23P a= i
32
12
aV = ⋅
a
a
R
s
h
H
a
a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 98/324
97
14.3. Zarubqena piramida (sl. 94)
Ako piramidu prese~emo nekom ravni paralelnom sa ravni
osnove i koja ne sadr`i vrh piramide, onda se deo piramide sa onestrane ravni sa koje nije vrh zove zarubqena piramida. Svakazarubqena piramida ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove (dowa igorwa) su sli~ni mnogouglovi koji se nalaze u paralelnim ravnima.Omota~ je skup bo~nih strana, pri ~emu je svaka od wih neki trapez.Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale su bo~ne ivice zarub-qene piramide. Zarubqena piramida je n -tostrana ako su joj osnoven -touglovi.
Sl. 94
Zarubqena piramida je pravilna ako je takva piramida odkoje je ona nastala.
Za zarubqenu piramidu obi~no se koriste slede}e oznake:
1
B − povr{ina dowe baze,
2
B − povr{ina gorwe baze,
M − povr{ina omota~a,
H −
visina (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina zarubqene piramide ra~unaju se poslede}im formulama:
( )
1 2
1 1 2 23
P B B M ,
H V B B B B .
= + +
= + +
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 99/324
98
15. OBRTNA TELA
15.1. Vaqak
Svaki (kru`ni) vaqak (sl. 95) ima dve osnove (baze) i omota~.Osnove vaqka su podudarni krugovi koji le`e u paralelnim ravni-ma, a izvodnice su mu ili normalne na ravan osnove (pravi vaqak)ili nisu (kosi vaqak). Omota~ pravog vaqka (u razvijenom obliku) jepravougaonik ~ije su dimenzije odre|ene obimom osnove i du`inomizvodnice (visine).
Uobi~ajene su slede}e oznake:
R – polupre~nik osnove (baze) vaqka,
H –
visina vaqka, B – povr{ina baze vaqka,
M – povr{ina omota~a vaqka.
Sl. 95
Za svaki vaqak je
2 B R= π ,
a za pravi vaqak 2 M R H = π ⋅ .
Povr{ina i zapremina vaqka ra~unaju se po formulama:
2
2P B M ,
V B H R H .
= +
= ⋅ = π ⋅
Ako je vaqak prav, onda je
( )22 2 2P R R H R R H = π + π ⋅ = π + .
R
H
H
R
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 100/324
99
Sl. 96
15.2. Kupa
Svaka (kru`na) kupa (sl. 97) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova kupe je krug, a wene izvodnice zaklapaju sa ravni osnove ilikonstantan ugao (prava kupa) ili ne (kosa kupa). Omota~ prave kupe(u razvijenom obliku) je kru`ni ise~ak ~iji je polupre~nikodgovaraju}eg kruga jednak du`ini izvodnice, a du`ina luka jednakaobimu osnove. Kod prave kupe se podno`je normale kroz vrh kupe naravan osnove poklapa sa centrom osnove.
Koristimo se slede}im standardnim oznakama: R − polupre~nik osnove (baze) kupe,
H − visina kupe,s − du`ina izvodnice prave kupe,
B − povr{ina baze kupe,
M − povr{ina omota~a kupe.
Pravi vaqak je pravilan (sl. 96) ako je 2 R H = , tj. ako je wegovosni presek kvadrat.
2R
H=2R
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 101/324
100
Sl. 97Za svaku kupu je
2 B R= π ,
a za pravu kupu M R s= π ⋅ .
Povr{ina i zapremina kupe ra~unaju se po formulama:
2
3 3
P B M ,
B H R H V
= +
⋅⋅ π ⋅= =
Ako je kupa prava, onda je
( )2P R R s R R s= π + π ⋅ = π + .
Sl. 98
Prava kupa je pravilna (sl. 98) ako je
2 R s= , tj. ako je wen osni presek je-dnakostrani~ni trougao.
H
R
sH
R
s H
2R
s=2R
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 102/324
101
15.3. Zarubqena kupa
Zarubqena (kru`na) kupa (sl. 99) nastaje presecawem (kru`-
ne) kupe nekom ravni koja je paralelna sa osnovom kupe. Ima dve os-nove (baze) i omota~. Osnove su krugovi koji se nalaze u paralelnimravnima. Zarubqena kupa mo`e biti prava ili kosa, u zavisnosti odtoga da li je nastala presecawem prave ili kose kupe.
Obi~no se koristimo slede}im oznakama za zarubqenu kupu:
1 B – povr{ina dowe baze,
2 B – povr{ina gorwe baze,
M – povr{ina omota~a,
R – polupre~nik dowe osnove,r – polupre~nik gorwe osnove,
H – visina zarubqene kupe (rastojawe izme|u osnova),s – du`ina izvodnica prave zarubqene kupe.
Sl. 99
Za svaku zarubqenu kupu je
2 2
1 2 B R , B r = π = π ,
a za pravu zarubqenu kupu
( ) M s R r .= π +
Povr{ina i zapremina zarubqene kupe ra~unaju se po formu-lama:
r
H
R
s H
r
R
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 103/324
102
( ) ( )
1 2
2 2
1 1 2 2
1
3 3
P B B M ,
H V B B B B R Rr r
= + +
π= + + = + + ⋅
Ako je zarubqena kupa prava, onda je
( )2 2P R r s R r .= π + π + π +
5.4. Sfera i lopta
Sfera (sferna povr{) je skup svih ta~aka u prostoru koje suna podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Fiksiranata~ka je centar sfere, a pomenuto odstojawe je polupre~nik sfere.Deo prostora ograni~en sferom zove se lopta (kugla) (sl. 100).
Sl. 100Ako loptu preseca neka ravan, onda se deo lopte sa jedne
strane ravni zove loptin odse~ak, a odgovaraju}i deo sferne povr{i je kapica ili kalota (sl. 101).
Сл. 101
Neka je R polupre~nik lop-te. Tada su wena povr{ina i zapre-mina date formulama:
2
3
4
43
P R ,
V R .
= π
= π
Neka je h visina kalote.Tada je povr{ina kalote
2P R h,= ⋅π
a zapremina loptinog odse~ka
( ) ( )2
2 23 3
3 6
h hV R h r h ,= − = +
π π
pri ~emu je r polupre~nik osno-ve (prese~nog kruga) loptinogodse~ka.
R
h
R
r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 104/324
103
Ako se lopta prese~e sa dve paralelne ravni, onda se deo lop-te izme|u tih ravni naziva loptin sloj, a odgovaraju}i deo sfernepovr{i je loptin (sferni) pojas (sl. 102).
Sl. 102
Neka je h visina sloja i
neka su1
r i2
r polupre~nici
prese~nih krugova. Tada je povr-{ina sfernog pojasa 2P R h,= ⋅π
a zapremina loptinog sloja
( )
2 2 2
1 23 3
6
hV r r h .
π = + +
2r
O R
1r h
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 105/324
104
16. ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI
16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu.
Povr{ina trougla
Rastojawe izme|u ta~aka ( )1 1
A x , y i ( )2 2
B x , y dato je sa
( ) ( ) ( )2 2
2 1 2 1d A,B AB x x y y .= = − + −
Ako ta~ka ( )C x , y deli du` AB u odnosu λ , tj. ako je AC
, BC
= λ tada
je1 2 1 2
1 1
x x y y x , y
+ λ + λ= = ⋅
+ λ + λU specijalnom slu~aju, za λ =1, tj. ako je C sredi{te du`i AB, va`i
1 2 1 2
2 2
x x y y x , y
+ += = ⋅
Povr{ina trougla sa temenima ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 A x , y , B x , y , C x , y
ra~una se po formuli( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
2P x y y x y y x y y .= − + − + −
16.2. Prava u ravni
Op{ti (implicitni) oblik jedna~ine prave je
( )2 20 0 Ax By C , A B .+ + = + >
Eksplicitni (glavni) oblik jedna~ine prave je y kx n,= +
pri ~emu je k koficijent pravca prave, a n odse~ak na y -osi.
Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ku ( )1 1 1
M x , y i ~iji je
koeficijent pravca k data je sa
( )1 1 y y k x x .− = −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 106/324
105
Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ke ( )1 1 1
M x , y i
( )2 2 2
M x , y je
( ) ( )2 1
1 1 2 1
2 1
0 y y
y y x x , x x . x x
−− = − − ≠
−
Segmentni oblik jedna~ine prave je
( )1 0 x y
, m,n ,m n
+ = ≠
pri ~emu su m i n odse~ci koje prava ~ini na koordinatnim osama.
Odstojawe ta~ke ( )0 0 M x , y od prave 0 Ax By C + + =
ra~unamo po formuli
0 0
2 2
Ax By C d
A B
+ += ⋅
+
Neka su1 1 1
0 A x B y C + + = i2 2 2
0 A x B y C + + = jedna~ine dve
prave koje se seku u ta~ki S . Sve prave koje prolaze kroz S date su jedna~inom oblika
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2
0 0 0 A x B y C A x B y C , , , .α + + + β + + = α β ≠
To je jedna~ina pramena pravih sa centrom u ta~ki S . Jedna~inupramena mo`emo zapisati i u obliku
( )1 1 2 2 2 2 2 2
0 0 A x B y C A x B y C A x B y C , R.+ + + λ + + = ∨ + + = λ ∈
Za prave 1 1 1:
l y k x n= + i 2 2 2:
l y k x n= + va`i:
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
11
2 услов паралелности
3 1 услов нормалности
k k tg l ,l tg ,
k k
l l k k ,
l l k k , .
−= ϕ =
+
⇔ =
⊥ ⇔ = −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 107/324
106
16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug)
Jedna~ina kru`nice sa centrom u ta~ki ( )C a ,b i
polupre~nikom r data je sa
( ) ( )2 2 2 x a y b r .− + − =
Specijalno, kru`nica sa centrom u koordinatnom po~etku ipolupre~nikom r ima jedna~inu
2 2 2 x y r .+ =
Sve ta~ke unutar kru`nice 2 2 2 x y r + = zadovoqavaju relaciju
2 2 2 x y r ,+ < dok za ta~ke van te kru`nice va`i da je 2 2 2
x y r .+ >
Jedna~ina oblika
2 20 x y mx ny p+ + + + =
predstavqa jedna~inu kru`nice u ravni ako je 2 24 0m n p .+ − >
Uslov dodira prave y kx n= + i kru`nice
( ) ( )2 2 2 x a y b r − + − = je
( ) ( )22 2
1r k ka b n .+ = − +
Specijalno, ako je re~ o kru`nici 2 2 2 x y r + = , taj uslov glasi
( )2 2 21r k n .+ =
Ako je ( )0 0 M x , y ta~ka kru`nice ( ) ( )
2 2 2 x a y b r − + − = , tada je
jedna~ina tangente kru`nice u toj ta~ki
( )( ) ( )( ) 2
0 0 x a x a y b y b r ,− − + − − =
koja u slu~aju kru`nice 2 2 2 x y r + = postaje
2
0 0 xx yy r .+ =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 108/324
107
16.4. Elipsa
Elipsa (sl. 103) je skup svih ta~aka u ravni ~iji je zbir
odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantan. Fiksirane ta~ke zovuse `i`e ili fokusi elipse. Ako je taj zbir odstojawa 2a i ako su
`i`e ( )1
0F c,− i ( )2
0F c, , ( )0 c a ,< < tada je jedna~ina elipse
2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = ili
2 2
2 21
x y
a b+ = ,
pri ~emu je 2 2 2b a c .= − To je tzv. kanonski oblik jedna~ine elips e.
Sve ta~ke unutar elipse
2 2
2 2 1 x ya b
+ = zadovoqavaju relaciju
2 2
2 21
x y ,
a b+ < dok za ta~ke van te elipse va`i da je
2 2
2 21
x y.
a b+ >
Sl. 103
r < d
d
r
0
M
b
a
1r 2r
2F 1F
ε
a x =
ε
a x −=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 109/324
108
Parametri a i b su du`ine velike, odnosno male poluoseelipse.
Du`ine potega (fokalni radijusi) ta~ke ( ) M x, y na elipsi
su:
( )1 2 1 2
2c c
r a x, r a x, r r a .a a
= + = − + =
Linearni ekscentricitet (rastojawe `i`e od centra elip-
se) je parametar 2 2c a b= − .
Numeri~ki ekscentricitet je parametar2 2
1c a b
.a a
−ε = = <
Direktrise elipse su prave a x =ε
i a x = −ε
, tj.2
a x c
= i2
a x c
= − ⋅
Osnovno svojstvo direktrisa je da va`i 1r
,d
= ε < pri ~emu je r
fokalni radijus proizvoqne ta~ke elipse, a d odstojawe te ta~keod odgovaraju}e (istostrane) direktrise.
Uslov dodira prave y kx n= + i elipse2 2
2 21
x y
a b+ = je
2 2 2 2a k b n .+ =
Jedna~ina tangente elipse u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je
0 0
2 21
xx yy.
a b+ =
Povr{ina dela ravni ograni~enog elipsom2 2
2 21
x y
a b
+ = je
P ab .= π
Ako je centar elipse u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wene poluose
(du`ina a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena jedna~ina
( ) ( )
2 2
0 0
2 21
x x y y.
a b
− −+ =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 110/324
109
16.5. Hiperbola
Hiperbola (sl. 104) je skup svih ta~aka u ravni ~ija je apsolu-
tna vrednost razlike odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantna.Fiksirane ta~ke zovu se `i`e ili fokusi hiperbole. Ako je apsolu-
tna vrednost razlike odstojawa 2a i ako su `i`e ( )1
0F c,− i
( )2
0F c, , ( )0 a c ,< < tada je jedna~ina hiperbole
2 2 2 2 2 2b x a y a b− = ili2 2
2 21
x y
a b− = ,
pri ~emu je
2 2 2
b c a .= − To je tzv. kanonski oblik jedna~inehiperbole.
Sl. 104
Parametri a i b su du`ine realne, odnosno imaginarnepoluose hiperbole.
Du`ine potega (fokalni radijusi) ta~ke ( ) M x, y na hiperboli su:
d M
r
b
a1F
r > d
0
1r
2r
2F
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 111/324
110
( )1 2 1 22
c cr x a, r x a, r r a
a a= + = − − = (za desnu granu),
( )1 2 1 2 2
c c
r x a, r x a, r r aa a= − − = − + − = (za levu granu).
Linearni ekscentricitet (rastojawe `i`e od centra
hiperbole) je parametar 2 2c a b= + .
Numeri~ki ekscentricitet je parametar2 2
1c a b
.a a
+ε = = >
Direktrise hiperbole su pravea
x =ε
ia
x = −ε
, tj.2
a x
c= i
2a x
c= − ⋅ Osnovno svojstvo direktrisa je da va`i 1
r ,
d = ε > pri ~emu
je r fokalni radijus proizvoqne ta~ke hiperbole, a d odstojawete ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise.
Jedna~ine asimptota hiperbole su:b
y x a
= ib
y x.a
= −
Uslov dodira prave y kx n= + i hiperbole
2 2
2 2 1
x y
a b− = je
2 2 2 2a k b n .− =
Jedna~ina tangente hiperbole u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je
0 0
2 21
xx yy.
a b− =
Ako je centar hiperbole u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wenepoluose (du`ina a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena
jedna~ina
( ) ( )
2 2
0 0
2 21
x x y y.
a b
− −− =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 112/324
111
16.6. Parabola
Parabola (sl. 105) je skup svih ta~aka u ravni koje su
podjednako udaqene od jedne fiksirane ta~ke i fiksirane prave kojane sadr`i tu ta~ku. Fiksirana ta~ka je `i`a (fokus), a fiksiranaprava direktrisa parabole.
Ako je `i`a parabole u ta~ki 02
pF ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, a direktrisa prava
2
p x = − , tada je jedna~ina parabole
22 y px.=
To je tzv. kanonski oblik jedna~ine parabole sa parametrom{ }0 p R\ .∈
Ekscentricitet parabole je 1r .d
ε = =
Sl. 105
M
F
0
d r =
2
p
d
r
0> p
2
p x −=
2
p x −=
F
0
0< p
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 113/324
112
Uslov dodira prave y kx n= + i parabole 22 y px = je
2 p kn .=
Jedna~ina tangente parabole2
2 y px = u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je
( )0 0
yy p x x .= −
Parabola, ~ija je `i`a u ta~ki 02
pF ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
i direktrisa prava
2
p y = − , ima jedna~inu 2
2 x py= (sl. 106).
Sl. 106
0
>0
0
<0
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 114/324
113
17. BINOMNI OBRAZAC. ELEMENTI KOMBINATORIKE
17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac
Faktorijel prirodnog broja n , u oznaci !n , je proizvod svihuzastopnih prirodnih brojeva od 1 do n . Dakle,
! 1 2 3n n .= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
Po definiciji je 0!=1.
Binomni koeficijenti se defini{u sa:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
01 1!
! ! !
1 11
0 !
n n n n k n n,k N , n k ,k k n k k
k , R, k N .
k k
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − +
⎛ ⎞ = = ∈ ≥⎜ ⎟−⎝ ⎠
α α α ⋅ α − ⋅⋅ ⋅ α − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = α ∈ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠Za binomne koeficijente va`e slede}e osobine:
10 1 1
1
1 1
n n n n , n,
n nn n
,k n k
n n n.
k k k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Za stepenovawe izraza ( )a b a,b C + ∈ prirodnim brojem n
va`i tzv. binomni obrazac (Wutnova binomna formula):
( ) 0 1 1 1 1 0
0
0 1 1
n n n n n
n
n k k
k
n n n na b a b a b ... a b a b
n n
na b .
k
− −
−
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 115/324
114
U specijalnim slu~ajevima dobijamo:
( )
( )( )
( )
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
2
3 3
4 6 4
a b a b,
a b a ab b ,
a b a a b ab b ,
a b a a b a b ab b .
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
17.2. Elementi kombinatorike
Neprazan skup A je kona~an ako za neko n N ∈ postoji bije-
ktivno preslikavawe { }: 1,2,..., f n A.→ U tom slu~aju skup A ima nelemenata, tj. wegov kardinalni broj je n . Ka`emo i da je A jedan
n -skup. Kardinalni broj skupa A ozna~ava se sa A . Prazan skup je
kona~an i va`i 0.∅ =
(Formula ukqu~ivawa-iskqu~ivawa) Za kona~ne skupove
1 2 n A ,A ,...,A va`i da je
( )
1 2
1
1
1 21
n
n i i j i j k
i i j i j k
n
n
A A ... A A A A A A A ...
... A A ... A .
= < < <
−
∪ ∪ ∪ = − ∩ + ∩ ∩ −
+ − ∩ ∩ ∩
∑ ∑ ∑
U specijalnim slu~ajevima (za 2n = i 3n = ) imamo:
A B A B A B
A B C A B C A B A C B C A B C .
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
(Pravilo zbira) Ako su1 2 n
A ,A ,...,A me|usobno disjunktni
skupovi , tj. ako je ( )i j A A i j ,∩ ≠ tada je
1 2 1 2n n
A A ... A A A ... A .∪ ∪ ∪ = + + +
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 116/324
115
(Pravilo proizvoda) Za kona~ne skupove1 2 n
A ,A ,...,A va`i da
je
1 2 1 2.n n A A A A A A× × ⋅ ⋅ ⋅× = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Partitivni skup skupa A je skup svih wegovih podskupova i
ozna~avamo ga sa ( ) A .P Va`i
( ) 2n
A n A .= ⇒ =P
Multiskup veli~ine m ( m -multiskup ), ~iji je nosa~ u
skupu { }1 2 n A a , a ,...,a= , je kolekcija
1 1 2 2
; ;...;n n
a ,...,a а ,...,а а ,...,a ,
pri ~emu se ia javqa ik puta, ( 0 11 ; ;i ni ,...,n k N k k m= ∈ + + =
).
Za multiskup ka`emo da ima specifikaciju 1 2
1 2n
k k k
na a ...a .⎡ ⎤
⎣ ⎦Dva multiskupa su jednaka ako imaju istu specifikaciju.
Kombinacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je
svaki wegov podskup od k elemenata. Wihov ukupan broj je
k n nC
k
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Kombinacija sa ponavqawem k -te klase nekog n -skupa je sva-
ki k -multiskup ~iji je nosa~ u tom n -skupu. Ukupan broj kombinaci-
ja bez ponavqawa k -te klase n -skupa je
1k
n
n k C
k
+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Varijacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je svaka
ure|ena k -torka (ure|eni niz du`ine k ) razli~itih elemenata iztog skupa. Wihov ukupan broj je
( )( ) ( )!
1 1!
k
n
nV n n n k n k
= = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − +−
.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 117/324
116
Varijacija sa ponavqawem k -te klase nekog n - skupa je svaka
ure|ena k -torka (ne obavezno razli~itih) elemenata iz tog skupa.Wihov ukupan broj je
k k n
V n= .
Permutacija n -skupa je svaka wegova varijacija bez ponavqa-wa n -te klase. Zato je wihov ukupan broj
( )1 2 1 !n
n nP V n n n= = ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ = .
Permutacija sa ponavqawem je permutacija m -multiskupa sa
specifikacijom 1 21 2
n
k k k
na a ...a⎡ ⎤⎣ ⎦ . Wihov ukupan broj je
( ) ( )1 2 1 21 2
!
! ! !m n nn
mP k ,k ,...,k k k ... k m .k k ...k
= + + + =
Isak Wutn1643–1727
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 118/324
117
18. REALNI NIZOVI. ARITMETI^KA I
GEOMETRIJSKA PROGRESIJA
18.1. Realni nizovi
Realni (beskona~ni) niz je svako preslikavawe :a N R.→
Slika broja n N ∈ ozna~ava se san
a i zove se op{ti ili n -ti ~lan
niza. Prirodan broj n je indeks ~lanan
a . Niz se ozna~ava sa
( )n n N a
∈ili ( )n
a , smatraju}i da su wegovi ~lanovi1 2 n
a ,a ,...,a ,... .
Niz ( )na je:
rastu}i ako ( )1n n
n N a a ,+
∀ ∈ ≥
strogo rastu}i ako ( )1n n
n N a a ,+
∀ ∈ >
opadaju}i ako ( )1n n
n N a a ,+
∀ ∈ ≤
strogo opadaju}i ako ( )1n n
n N a a .+
∀ ∈ <
Niz je monoton ako je rastu}i ili opadaju}i, a strogo monoton ako
je strogo rastu}i ili strogo opadaju}i.
Niz ( )na je konstantan ako postoji takav realan broj c R∈
da je
( ) nn N a c.∀ ∈ =
Niz ( )na je ograni~en ako postoje takvi realni brojevi
m,M R∈ da je
( ) nn N m a M .∀ ∈ ≤ ≤
Realan broj a je grani~na vrednost niza ( )na , u oznaci
nnlim a a
→∞
= ili ( )na a n ,→ → ∞ ako se skoro svi ~lanovi niza ( )n
a
nalaze u proizvoqno zadatoj okolini broja a . Preciznije:
( )( )( )( )0 00
n nnlim a a n N n n n a a .
→∞
= ⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ − < ε
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 119/324
118
Ako jen
nlim a a
→∞
= , tada se ka`e da je niz ( )na konvergentan i da
konvergira ka broju a.
Ako niz ne konvergira nijednom realnom broju, onda se ka`eda je divergentan.
Pojam beskona~ne grani~ne vrednosti niza ( )na defini{e se
na slede}i na~in:
( )( )( )( )0 00
n nnlim a K n N n n n a K ,
→∞
= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≥
( )( )( )( )0 00
n nnlim a K n N n n n a K .
→∞
= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤ −
U slu~aju da jen
n
lim a→∞
= +∞ ilin
n
lim a ,→∞
= −∞ za niz ( )na ka`e se i
da odre|eno divergira.
Neka su ( )na i ( )n
b konvergentni nizovi. Tada va`i:
( )
( )
( )( )0
n n n nn n n
n nn n
n n n nn n n
nn n
nn
n nn
lim a b lim a lim b ,
lim ca c lim a c R ,
lim a b lim a lim b ,
lim aalim b , b .
b lim b
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞
→∞
→∞
± = ±
= ∈
⋅ = ⋅
= ≠
18.2. Aritmeti~ka progresija
Kona~an ili beskona~an niz ( )na je aritmeti~ka progresija
(ili aritmeti~ki niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobi- ja tako {to se prethodnom ~lanu doda uvek isti broj. Taj broj se zoverazlika aritmeti~ke progresije. Razlika aritmeti~ke progresijeobi~no se ozna~ava sa d .
Aritmeti~ka progresija je jednozna~no odre|ena svojim pr-
vim ~lanom1
a i razlikom d .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 120/324
119
Za aritmeti~ki niz ( )na va`i:
( )( )
( )
( )
1
1
1 1
1
општи члан низа
2
22
n
n
n n
n nn
a a n d ,
a
a a d n ,
a aa n .
−
− +
= + −
−
− = ≥
+= ≥
(Svaki ~lan aritmeti~kog niza (osim prvog) je aritmeti~ka sredinasvojih susednih ~lanova).
Zbir prvih n ~lanova aritmeti~kog niza ( )na , u oznaci nS ,
ra~una se po formuli
( ) ( )( )1 12 1
2 2n n
n nS a a a n d = + = + − .
Aritmeti~ki niz je rastu}i za 0d ,> opadaju}i za 0d < i
konstantan za 0d .=
18.3. Geometrijska progresija
Kona~an ili beskona~an niz ( )na je geometrijska progresija
(ili geometrijski niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobi- ja tako {to se prethodni ~lan pomno`i uvek istim brojem. Taj brojse zove koli~nik geometrijske progresije. Koli~nik geometrijskeprogresije obi~no ozna~avamo sa q .
Dakle, geometrijska progresija je jednozna~no odre|ena
svojim prvim ~lanom 1a i koli~nikom q.Za geometrijski niz ( )n
a va`i:
( )
( )
1
1
1
општи члан низа
2
n
n
n
n n
a a q ,
a
a q a n ,
−
−
= ⋅
−
= ⋅ ≥
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 121/324
120
( )
( )
2
1 1
1 1
2
0
n n n
n n n n
a a a n ,
a a a a .
− +
− +
= ⋅ ≥
= ⋅ ≥
(Svaki ~lan geometrijskog niza (osim prvog) je geometrijska sredi-na svojih susednih ~lanova).
Zbir prvih n ~lanova geometrijskog niza ( )na , u ozna-
cin
S , ra~una se po formuli
( )
( )
1
1
11
1
1
n
n
n
qS a q ,
q
S n a q .
−= ⋅ ≠
−
= ⋅ =
Ako je 1 1q ,− < < onda postojin
nlim S
→∞
, tj. zbir svih ~lanova
geometrijskog niza je (kona~an) realan broj. Ozna~avaju}i ga saS ∞
,
imamo da je
( )2 1 1
1 1 1 1 за 1 11
n
nn
a
S lim S a a q a q a q q .q
−
∞→∞= = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = − < <−
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 122/324
121
19. GRANI^NA VREDNOST I NEPREKIDNOST
FUNKCIJE
Pod ε -okolinom ( )0ε > ta~ke a R∈ podrazumeva se svaki in-
terval oblika ( )a , a .− ε + ε Ta~ka a R∈ je ta~ka nagomilavawa sku-
pa D R⊂ ako postoji ε -okolina te ta~ke za koju je
( ) { }a , a a D .− ε + ε ∩ ≠ ∅
Neka : f D R→ i neka je a ta~ka nagomilavawa skupa D.
Broj A R∈ je grani~na vrednost (limes) funkcije f kad x te`i a
ako va`i ( )( )( ) ( )0 0 0 x D x a f x A∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ⇒ − < ε
i pi{emo
( ) x alim f x A
→
= ili ( ) f x A→ (kad a→ ).
Neka je ( ) x alim f x A
→
= i ( ) x alim g x B.
→
= Tada va`i:
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )( )0 0
x a
x a
x a
x a
lim c f x c A, c R
lim f x g x A B,
lim f x g x A B,
f x Alim g x ,B .
g x B
→
→
→
→
⋅ = ⋅ ∈
± = ±
⋅ = ⋅
= ≠ ≠
Funkcija : f D R→ je neprekidna u ta~ki a D∈ ako je
( ) ( ) x alim f x f a .
→
=
Funkcija : f D R→ je neprekidna na D ako je neprekidna u svim
ta~kama iz D.Sve elementarne funkcije su neprekidne u svim ta~kama
svojih domena.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 123/324
122
Navodimo osnovne (tabli~ne) grani~ne vrednosti:
( ) ( )
( )
20 0 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1 1 1 10 1
2
0
0
11
x x x x
n n n
n n n n x x
n n n
n n nn mm m m x x
m m m
x
x
sin x cos x lim , lim , lim , lim ,
x x x x
lim a x a x ... a x a lim a x , a
a x a x ... a x a a x lim lim , a ,b
b x b x ... b x b b x
lim li x
→∞ →± → →
−
−→∞ →∞
−
−
−→∞ →∞
−
→±∞
−= = ±∞ = =
+ + + + = ≠
+ + + += ≠
+ + + +
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠( )
( ) ( )
1
0
0 0
0 0
1
1 11
1 11
x
x
aa
x x
x x
x x
m x e,
log x ln x lim log e, lim ,
x x
a elim ln a , lim .
x x
→
→ →
→ →
+ =
+ += =
− −= =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 124/324
123
20. IZVOD FUNKCIJE I WEGOVA PRIMENA
20.1. Izvod i pravila diferencirawa
Neka je data funkcija ( ): f a,b R→ i neka ( )0 x a,b .∈ Grani-
~na vrednost (ako postoji)
( ) ( )0 0
0 0 x x
f x x f x ylim lim
x x Δ → Δ →
+ Δ − Δ=
Δ Δ
je prvi izvod ili izvod funkcije f u ta~ki0
x i ozna~ava se sa
( )0 f x .′ Za funkciju f ka`emo da je diferencijabilna u ta~ki0
x .
Funkcija f je diferencijabilna u intervalu ( )a,b ako je diferen-
cijabilna u svakoj ta~ki tog intervala.
Izvod funkcije f u ta~ki0 x geometrijski predstavqa
koeficijent pravca tangente grafika funkcije f u ta~ki za0
x x =
(sl. 107).
Sl. 107
Postupak nala`ewa izvoda naziva se diferencirawe.
M
0
0 M
0 x
( )0 f x
( )0 f x +Δ x
Δ x
Δ y
0 x + Δ x
t
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 125/324
124
Ako su funkcije f i g diferencijabilne u ta~ki x , tada
va`e slede}a pravila diferencirawa:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )2
0
f x g x f x g x ,
c f x c f x c const. ,
f x g x f x g x f x g x ,
f x f x g x f x g x g x .
g x g x
′ ′ ′± = ±
′ ′⋅ = ⋅ =
′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅
′⎛ ⎞ ′ ′⋅ − ⋅= ≠⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(Izvod slo`ene funkcije) Neka je funkcija ( ) ( ):u a,b c,d →
diferencijabilna u ta~ki ( ) x a,b ,∈ a funkcija ( ): f c,d R→ u ta-
~ki ( ) y u x = . Tada je slo`ena funkcija ( ): f u a,b R→ diferenci-
jabilna u ta~ki x i va`i
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) f u x f u x f u x u x .′′ ′ ′= = ⋅
(Izvod inverzne funkcije) Neka je funkcija f neprekidna i
strogo monotona u nekoj okolini ta~ke0
x . Ako f ima izvod
( )00 f x ,′ ≠ tada wena inverzna funkcija 1 f − ima izvod u ta~ki
( )0 0 y f x = i va`i
( )( ) ( )1
0
0
1 f y f x
− ′ = ⋅′
Izvodi proizvoqnog reda defini{u se sa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 1n n f x f x , f x f x ,..., f x f x .
− ′′′′ ′= = =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 126/324
125
20.2. Tabli~ni izvodi
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1 1
2 2
изводи основних ф ункција изводи сложених функција
0
1 1 1 11;
1 1
2 2
0 1 x x u u
x x
d y d u y f x , y f x u u x , u u x
dx dx
c c con st
x x R u u u R
x u x x u u
x u u x u
a a ln a a a a u ln
e e
α α α α
α α α α − −
′ ′ ′ ′= = = = = =
′ = =
′ ′′= ∈ = ⋅ ∈
′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= = − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
′ ′′
= = ⋅
′ ′′= < ≠ = ⋅
′=
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0 1
1 10 1 0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
u u
a a
a a
e e u
lo g x a log u u a x ln a u ln a
ln x ln u u x u
sin x cos x sin u u cos u
co s x sin x co s u u sin u
tg x tg u ucos x co s u
ctgx ctg u usin x sin u
a rcsin x arcsin u
x u
< ≠
′′= ⋅
′ ′ ′= < ≠ = ⋅ < ≠
′ ′ ′= = ⋅
′ ′ ′= = ⋅
′ ′ ′= − = − ⋅
′ ′ ′= = ⋅
′ ′ ′= − = − ⋅
′ ′= = ⋅
− −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
u
a rccos x a rccos u u x u
a rctg x a rctg u u x u
a rcctg x a rcctgu u x u
′
′ ′ ′= − = − ⋅
− −
′ ′ ′= = ⋅+ +
′ ′ ′= − = − ⋅+ +
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 127/324
126
20.3. Primena izvoda
Ako funkcija f ima pozitivan (negativan) izvod u intervalu
( )a,b , onda je f strogo rastu}a (strogo opadaju}a) u ( )a,b .
Funkcija ( ): f a,b R→ u ta~ki ( )0 x a,b∈ posti`e lokalni
maksimum (lokalni minimum) ako postoji okolina oko0
x u kojoj je
( )0 f x najve}a (najmawa) vrednost funkcije f . Lokalni maksimum i
lokalni minimum zovu se lokalni ekstremumi funkcije (sl. 108).
.
Sl. 108
(Fermaova teorema) Ako ( ): f a,b R→ u ta~ki ( )0 x a,b∈ ima
lokalni ekstremum i ako je diferencijabilna u toj ta~ki, tada je
( )00 f x .′ =
Ta~ke u kojima je izvod funkcije jednak nuli nazivaju se sta-
cionarne ta~ke te funkcije. Neka je0
x stacionarna ta~ka funkcije
f . Ako je ( )0 0 f x ,′′ > tada funkcija f u 0 x posti`e lokalni mini-
mum; ako je ( )00 f x ,′′ < tada f u
0 x ima lokalni maksimum. U slu-
~aju da je ( )00 f x ′′ = , ispitivawe prirode ta~ke
0 x vr{i se pomo}u
izvoda vi{eg reda ili ispitivawem monotonosti funkcije f .
max
0 x0 ε
0 x +ε
0 x -
( )0 f x
0 x0
( )0 f x
ε 0
x - ε 0
x +
min
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 128/324
127
Za odre|ivawe grani~nih vrednosti funkcija ~esto sekoristi slede}a teorema.
(Lopitalova teorema) Neka su funkcije ( ): f , g a,b R→
diferencijabilne i neka je ( ) 0g x ′ ≠ za sve ( ) x a,b∈ . Ako je
( ) ( ) 0 x a x alim f x lim g x
→ →
= = (ili ( ) ( ) x a x alim f x lim g x
→ →
= = ∞ ) i ako postoji
( )
( ) x a
f x lim
g x →
′
′, tada je
( )
( )
( )
( )
0
0 x a x a
f x f x lim , lim
g x g x → →
′∞⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟
′∞
⎝ ⎠
(Lopitalova pravila)
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 129/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 130/324
Drugi deo
RE[ENI ZADACI SA PRIJEMNIHISPITA IZ MATEMATIKE
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 131/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 132/324
131
1. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati
2
2
1 3 9 7
: :1 0 06255 4 5 30 log , .
−
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
b) Uprostiti( )
.44
2
22 y x
y x y
y x
x
−
−−
+
2. Re{iti jedna~ine:
a) ,23
25
4
2
5
12 x
x x x −
+=
+−
+
b) ( )( ) ( ) ,02 =+ x f x f ako je ( )1 2
1 2
x , x f x
x , x .
+ <⎧= ⎨ − ≥⎩
3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu 23 1cos x sin xcos x − = − .
4. Re{iti nejedna~inu22 23 1
8log x log x
x − +
< .
5. Na}i jedna~ine zajedni~kih tangenti parabole x y 82
= i kru`nice
222 =+ y x .
6. Izra~unati obim i povr{inu jednakokrakog trapeza opisanog okokruga ako je du`ina ve}e osnovice 3cm, a jedan wegov unutra{iugao je °60 .
7. Povr{ina prave kupe je 296 cmπ , a du`ina izvodnice je 10cm.
Izra~unati zapreminu kupe.
8. Zbir svih ~lanove beskona~ne geometrijske progresije je 16, azbir kvadrata ~lanova te iste progresije je 153,6. Na}i peti ~lani koli~nik te progresije.
9. Izra~unati 20 40 60 80cos cos cos cos° ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° .
10. Od 5 oficira, 4 podoficira i 10 vojnika treba formirati grupuod 4 osobe u kojoj }e biti bar po jedan oficir i podoficir. Nakoliko na~ina je to mogu}e u~initi?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 133/324
132
1. grupa 2000. god. (re{ewa)
1.a)
2
2
1 3 9 7
1 0 06255 4 5 30: : log ,
−
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )2
2
2
1 3 5 300 25
5 4 9 37log ,
−
⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2
22
12 25 302 0 5
60 37log ,
−+⎛ ⎞
⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
12
37 302 2 2
60 37log
−
−⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠( )
21
4 1 4 4 02
−
⎛ ⎞+ − = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
b) ( ) ( )( )( )2222
2
2244
2
22 y x y x y x y
y x x
y x y x y
y x x
+−
−−
+=
−
−−
+=
( )
( )( )2 2 2 2
y x y x
x y x y x y
−= − =
+ + +
( ) ( )( )( ) ( )( ) y x y x y x
y xy xy x
y x y x
y x y y x x
+=
++
+−+=
++
−−+=
122
22
22,
uz uslov y y x ≠∧−≠ .
2.a) Ako se data jedna~ina pomno`i sa ( )3,4,5 NZS , tj. sa 60 , dobija
se:
( ) ( ) ( )2 1 2 5 2
2 12 2 1 15 2 20 5 2 1205 4 3
x x x x x x x x
+ + +− = − ⇔ + − + = + −
9 18 20 40 x x ⇔ − = − +
2. x ⇔ =
b) Ako je 2< x , jedna~ina glasi ( ) ( ) 0112
=+++ x x . Tada je
( ) ( ) 2011
2<∧=+++
x x x 2013
2<∧=++⇔
x x x ( ) 221 <∧−=∨−=⇔ x x x
21 −=∨−=⇔ x x .
Ako je 2≥ x , jedna~ina glasi ( ) 0112
=−+− x x . Tada je
( ) ( ) 20112
≥∧=−+− x x x 202
≥∧=−⇔ x x x
( ) 210 ≥∧=∨=⇔ x x x
x ⇔ ∈ ∅ .(jedna~ina nema re{ewa)
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 134/324
133
Re{ewa jedna~ine su 1−= x ili 2−= x .
3. Za 0cos x = ili 0sin x = , tj. za Z k k x ∈⋅= ,2
π jedna~ina je
nemogu}a. Daqe, data jedna~ina je ekvivalentna sa:
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2
3 1
1 3 0
3 0
2 3 0
дељењем са 0
2 3 0
3 2 0
2 1
2 1
24
cos x sin xcos x
cos x sin x cos x
cos x sin x cos x sin xcos x
cos x sin x sin xcos x
cos x
tg x tgx
tgx t t t
tgx t t t
tgx tgx
x arctg k , k Z x l , l Z .π
π π
− = −
⇔ + − =
⇔ + + − =
⇔ + − =
≠
⇔ + − =
⇔ = ∧ − + =
⇔ = ∧ = ∨ =
⇔ = ∨ =
⇔ = + ∈ ∨ = + ∈
4. Nejedna~ina2
2 23 1 8log x log x x − +
< ima smisla za 0> x . Ako uvedemosmenu
2log x t = , onda je t x 2= , pa dobijamo:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2
3 1
3 3
3 2
3 2
2
2
2 8
2 2
3 3
3 3 0
3 3 0
3 1 0
3
t t t
t t t
t t t
t t t
t t t
t t
t .
− +
− +
<
⇔ <
⇔ − + <
⇔ − + − <
⇔ − + − <
⇔ − ⋅ + <
⇔ <
Prema tome, 2 3log x < , tj. 3
2 2 2log x log ,< odakle sledi da je 8< x i,
kako je 0> x , skup re{ewa nejedna~ine je interval )8,0( .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 135/324
134
5. Uslov dodira prave nkx y += i kru`nice 222r y x =+ je
( ) 2221 nr k =+ . Uslov dodira prave nkx y += i parabole px y 2
2= je
kn p 2= . Kako je 22
=r i 4= p , re{avawem sistema( )
⎭⎬⎫
=
=⋅+
kn
nk
24
2122
dobija se da je
2=n i 1=k ili 2−=n i 1−=k .Prema tome, jedna~ine tra`enihzajedni~kih tangenti su:
1
2
: 2
: 2
t y x
t y x .
= +
= − −
6.
Dakle, bac +=2 ,22
bac −= i 3=a , odakle je
⎭⎬⎫
=
=⇒
⎭⎬⎫
−=
=⇒
⎭⎬⎫
−=
+=−⇒
⎭⎬⎫
−=
+=
2
1
3
33
3
326
3
32
c
b
bc
b
bc
bb
bc
bc.
Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED :
32
32
2
360sin ===°⋅=
cch . To zna~i da je obim trapeza
2 2 2 3 1 8 ,O c a b cm= + + = ⋅ + + = a povr{ina trapeza
23 13 2 3
2 2
a bP h cm
+ += ⋅ = ⋅ = .
Neka je E podno`je visine h iz
temena D (sl. 2). Tada je
602
c AE x c cos= = ⋅ ° = .
Trapez je jednakokraki, pa je
2
ba
x
−
= , odnosno 22
bac −
= , a
kako je trapez tangentni, to je
bac +=2 .
h
r
E
c
a
b
B
C
x F x
r
c
Sl.2
Sl.1
1t
2
2
-2
0
2t
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 136/324
135
7. Na osnovu formule za povr{inu kupe2P B M r rsπ π = + = + dobijamo da je
( )1096 += r r π π , odnosno, da je
210 96 0r r + − = i 6r cm= .
Kako je 222 r s H −= , to je cm H 8= .Zapreminu kupe izra~unavamo po formuli
H BV ⋅=3
1, pa je 86
3
1 2⋅⋅= π V , tj. 3
96V cmπ = .
8. Prema uslovu zadatka je 162
111 =+++ …qaqaa i 1<q , jer
progresija ima sumu. Kvadrati ~lanova geometrijske progresijeobrazuju, tako|e, geometrijsku progresiju sa koli~nikom
10,22
<< qq i prvim ~lanom2
1a za koju je
6,15342
1
22
1
2
1 =+++ …qaqaa . Zbir svih ~lanova progresije izra~unava
se po formuliq
aS
−=
∞
1
1 , pa iz
2
1 1
216 и 153 6
1 1
a a ,
q q= =
− −sledi:
( )
( ) ⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−
−
−=
6,1531
1256
116
2
2
1
q
q
qa
( )
( ) ( )⇒
⎭⎬⎫
+=−
−=
qa
16,1531256
1161
⇒ ( )
⇒⎭⎬⎫
=
−=
q
qa
6,4094,102
1161
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
4
1
121
q
a
.
Dakle,4
1=q i
64
3
256
12
4
112
4
4
15==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=⋅= qaa .
9. Znaju}i da je2
2
sincos
sin
α α
α
= i ( )180sin sinα α ° − = , dobijamo da
je
20 40 60 80cos cos cos cos° ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° =
s
r
H
Sl.3
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 137/324
136
40 80 120 160
2 20 2 40 2 60 2 80
sin sin sin sin
sin sin sin sin
° ° ° °= ⋅ ⋅ ⋅ =
° ° ° °
1 120 160
16 60 20
sin sin
sin sin= ⋅ ⋅
( ) ( )180 60 180 201 1
16 60 20 16
sin sin.
sin sin
− −= ⋅ ⋅ =
10. Mogu}e sastave grupa prika`imo pomo}u skupova (jer redoslednije bitan):
{ } { } { } { } { } { }V POOV PPOV V POPPPOPPOOPOOO ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,
gde O ozna~ava oficira, P podoficira i V vojnika.
Od 5 oficira mo`emo izabrati 3 oficira na5 5 4 3
103 1 2 3
⎛ ⎞ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟
⋅ ⋅⎝ ⎠na~ina. ^etvrti ~lan grupe mora biti podoficir, za ~iji izbor
imamo4 4
41 1
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠mogu}nosti. Svakom izboru tri oficira od pet
oficira odgovaraju ~etiri izbora podoficira, pa za ovukombinaciju imamo 10 4 40⋅ = mogu}a na~na formirawa grupe..
Sli~no rasu|ivawe primewuje se i u ostalim slu~ajevima. Ukupanbroj tra`enih na~ina je
5 4 5 4 5 4 5 4 10 5 4 10
3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠5 4 10
2 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠40 60 20 900 300 400 1720+ + + + + = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 138/324
137
2. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati15 4 12 1
:6 1 6 2 3 6 6 11
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
+ − − +⎝ ⎠.
b) Uprostiti2 2 2 2
2 2
a b a b
ab ab b a ab
+− +
− −.
2. Re{iti jedna~ine:
a)6
1
3
42
4
13
2
1 ++
−=
−+
− x x x x , b) ( ) ( )222
47124 x x x x −=+−
3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
6 6 15 12
8 2
cos x sin x cos x .+ = −
4. Re{iti nejedna~inu ( )3 1
3
13
4
x log x log
+− < .
5. Ta~ka )0,3( A polovi tetivu kru`nice 012422
=++−+ y x y x .
Odrediti jedna~inu prave kojoj pripada tetiva navedene kru`ni-ce.
6. Stranice trougla su ,13=a 14=b i 15=c . Dve od wih (a i b)
su tangente kruga ~iji je centar na tre}oj stranici. Odreditipolupre~nik kruga.
7. Izvodnica prave zarubqene kupe je ,5cms = a polupre~ni-
ci osnova su cm R 5= i 2r cm.= U kupu je upisana pravilna zarub-qena ~etvorostrana piramida tako da je dowa osnova piramideupisana u dowu osnovu kupe, a gorwa osnova piramide u gorwu os-novu kupe. Izra~unati zapreminu zarubqene piramide.
8. Odreditidu`ine stranica trougla ako se zna da one obrazuju aritme-
ti~ku progresiju sa razlikom 4=d i ako jedan unutra{wi ugaotrougla ima °120 .
9. Data je funkcija ( )( )
( ] [ )
2
2
1 1 1
11 1
2
x , x ,
f x ln x , x , , .
⎧ − ∈ −⎪
= ⎨∈ −∞ − ∪ ∞⎪
⎩a) Skicirati grafik funkcije f .b) U zavisnosti od realnog parametra a, odrediti broj realnih
re{ewa jedna~ine ( ) a x f = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 139/324
138
10. Izra~unati grani~ne vrednosti:
a) 2 2 2
2
2 4 2n
n
log log loglim
n→+∞
+ + +, b)
3 2
20
1 1
x
x lim
x →
+ −.
2. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a)15 4 12 1
:6 1 6 2 3 6 6 11
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
+ − − +⎝ ⎠=
= ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
−−
+
+−
−⋅
11669
6312
46
264
16
1615
( ) ( ) ( ) ( )3 6 1 2 6 2 4 3 6 6 11⎡ ⎤= − + + − + ⋅ +⎣ ⎦
=
( ) ( )6 11 6 11 6 121 115= − ⋅ + = − = − .
b)
2 2 2 2
2 2
a b a b
ab ab b a ab
+− + =
− − ( ) ( )=
−+
−−
+
baa
b
bab
a
ab
ba 2222
=( )( )
( )=
−
+−−+
baab
bababa 3322
( )
=−
+−−−+
baab
babbaaba 333223
=( )( )
1−=−
−
baab
abab, uz uslov 0,0 ≠≠ ba i ba ≠ .
2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa ( )6,4,3,2 NZS ,tj. sa 12 ,
dobijamo:
1 3 1 2 4 1
2 4 3 6
x x x x − − − ++ = + ⇔
( ) ( ) ( ) ( )6 1 3 3 1 4 2 4 2 1 x x x x ⇔ − + − = − + + ⇔
1551410915 −=⇔−=⇔−=−⇔ x x x x .
b) Ako uvedemo smenu t x x =− 42 , dobijamo da je
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 140/324
139
( ) ( )22247124 x x x x −=+− 01274
22=++∧=−⇔ t t t x x ⇔
( ) ⇔−=−∨−=−⇔−=∨−=∧=−⇔ 4434434222 x x x x t t t x x
2 24 3 0 4 4 0 3 1 2 x x x x x x x ⇔ − + = ∨ − + = ⇔ = ∨ = ∨ = .
3. Koriste}i identitete:
( )( )2233 babababa +−+=+ ,
( ) 2222242243 bababbaa −+=+− ,
2 2sin xcos x sin x = i
2 21sin x cos x = − ,
transformi{imo levu stranu jedna~ine na slede}i na~in:
6 6cos x sin x + = ( ) ( )3 3
2 2cos x sin x + =
( )( )2 2 4 2 2 4cos x sin x cos x cos xsin x sin x = + − + =
( )2 2
22 2 2 2 4
1 3 1 34
sin x cos x cos x sin x cos x sin x ⎡ ⎤= ⋅ + − = − ⋅ =
⎢ ⎥⎣ ⎦
= ( )2 23 3
1 2 1 1 24 4sin x cos x − = − − .
Data jedna~ina sada ima oblik ( )23 15 11 1 2 2
4 8 2cos x cos x − − = − ,
odakle se sre|ivawem dobija ekvivalentna jedna~ina, odnosno2
2 2 5 2 2 0cos x cos x − + = . Uvo|ewem smene 2cos x t = dobija se
jedna~ina 02522
=+− t t , ~ija su re{ewa 2=t ili2
1=t . Jedna~ina
2 2cos x = je nemogu}a, a jedna~ina1
22
cos x = ima re{ewa
Z k k x ∈+±= ,26
π π
.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 141/324
140
4. Nejedna~ina ( )3 1
3
13
4
x log x log
+− < ima smisla ako je 03 >− x
i ,04
1>
+ x odnosno ako je ( )3,1−∈ x . Kako je 1 n
n
log a log a= − bi}e
1 3
3
1 1
4 4
x x log log
+ += − =
1
3 3
1 4
4 1
x log log
x
−+⎛ ⎞
=⎜ ⎟+⎝ ⎠
.
Osnova logaritma je ve}a od 1 , pa je logaritamska funkcija rastu}a ,
a nejedna~ina ( )3 3
43
1log x log
x − <
+se svodi na nejedna~inu
1
4
3 +<−
x . Odavde dobijamo da je 01
4
3<
+−−
x x , odnosno
01
122
>+
+− x x ili
( )0
1
12
>+
−
x
x . Re{ewa posledwe nejedna~ine su
svi brojevi ve}i od 1− i razli~iti od 1. Ako uzmemo u obzir da je
( )3,1−∈ x , kona~no re{ewe date nejedna~ine je ( ) ( )3,11,1 ∪−∈ x .
5. Kanonski oblik jedna~ine kruga je ( ) ( ) .41222
=++− y x Centar
kruga je ta~ka ( )1,2−
C , a polupre~nik je r =2. Jedna~ina prave l,
odre|ene ta~kama A i C , prema formuli ( )1
12
121 x x
x x
y y y y −
−
−=− ,
glasi ( )332
010 −
−
−−=− x y , odnosno 3−= x y . Prava l i prava p,
kojoj pripada tetiva, su ortogonalne {to sledi iz podudarnosti
trouglova PAC i QAC (sl. 4).Koeficijent pravca prave l je k l=1,
a prave p
je k p. Iz uslova ortogonalnostipravih 1−=⋅
⋅ l p k k sledi da je 1−= pk .
Jedna~ina prave p kojoj pripada ta~ka ( )0,3 A ,
sa koeficijentom pravca 1−= pk je
( )310 −⋅−=− x y , odnosno 3+−= x y .
6. Kako su poznate sve tri stranice trougla, wegovu povr{inumo`emo izra~unati pomo}u Heronovog obrasca
r
r
C
l
Q
P
Sl.4
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 142/324
141
( )( )( )csbsassP −−−= , pri ~emu je2
cbas
++= poluobim
trougla ~ije su stranice ,a b i c . U ovom zadatku je 21=s , pa je
( )( )( ) 8415211421132121 =−−−= ABC P . Na osnovu uslova zadatka ,
povr{inu trougla ABC mo`emo dobiti i kao zbir povr{ina
trouglova AOC i BOC , gde je O centar upisanog polukruga(sl.5).
Dakle, BOC AOC ABC PPP += ,
odnosno22
ar br P ABC += ,
odakle je ( ) 841413
2
=+r
,
pa je9
56=r .
7. Na osnovu Pitagorine teoreme (sl. 6) dobijamo da je
( )222r Rs H −−= , tj. 4= H . Pre~nik dowe osnove zarubqene kupe
je R2 , a kako je i dijagonala D dowe osnove upisane zarubqene pi-
ramide tako|e jednaka R2 (sl. 7), to }e biti 2102 a R D === , pa je 25=a . Sli~no se iz 242 br d === dobija da je 22=b .Povr{ine baza zarubqene piramide su :
221 50cma B == i 22
2 8cmb B == , pa je zapremina zarubqene
piramide ( ) ( ) .1048850503
4
3
32211 cm B B B B
H V =+⋅+=++=
r
a
O
C
B
r
c
b
Sl.5
Sl.7
R
a
a
R
Sl.6
H
s
R
r
H
R-r
a
b
a
Sl.8
60
4−a
a x 4+a
120
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 143/324
142
8. Neka su stranice trougla 4, −= aba i 4+= ac . Sa slike 8 vidi
se da je 2
3a
x = i 2
a
y = . Prema Pitagorinoj teorimi je
( ) ( )22244 +=−++ aa y x , pa je ( )2
22
4422
3+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ aa
aa,
odakle se sre|ivawem dobija jedna~ina 02022
=− aa , ~ija su
re{ewa 0=a ili 10=a . Dakle, stranice trougla su 10 6a , b= =
i 14c = .
9. Kako je ( )1
2 2 221
2ln x ln x ln x ln x = = = i
⎩⎨⎧
<−
≥=
0,
0,
x x
x x x ,
funkcija f bi}e zadata formulom
( )
( )
( )2
1
1 1 1
1
ln x , x
f x x , x ,
ln x, x
⎧ − ≤ −
⎪= − ∈ −⎨⎪
≥⎩
.
Grafik funkcije f je prikazan na slici 10.
Do jedna~ine 02022
=− aa smo mogli do}i i nadrugi na~in. Na osnovu kosinusne teoreme va`i(sl. 9):
( ) ( ) ( )
120cos4244222
−−−+=+ aaaaa . Kako
e1
1202
cos = − (sl. 6), sre|ivawem prethodne
edna~ine dobija se jedna~ina 02022
=− aa .
120
2
1−
Sl. 9
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 144/324
143
U istom koordinatnom sistemu, na slici 11, predstavqenisu grafici funkcija
( ) Raa x g ∈= , i ( ) = x f
( )
( ) ( )2
1
1 1 1
1
ln x , x
x , x ,
ln x, x
⎧ − ≤ −
⎪⎪− − ∈ −⎨
⎪≥⎪⎩
.
Apscise zajedni~kih ta~aka grafika funkcija f i g predstavqa}e
re{ewa date jedna~ine. Na slici 8 to su ta~ke A i B . To zna~i,
za 0<a jedna~ina nema re{ewa, za ( ) { }0,1 ∪∞∈a ima 2 re{ewa,
za 1=a jedna~ina ima 3 re{ewa, za ( )1,0∈a jedna~ina ima 4 re{ewa.
-1 1
1
-e e0
-1
Sl. 10
-1 1
1
-e e0
-1
a B
Sl. 11
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 145/324
144
10. a)( )2
2 2 2
2 2
2 4 8 22 4 2nn
n n
log ....log log ... loglim lim
n n→∞ →∞
⋅ ⋅ ⋅+ + += =
( )1 2
2
2
2... n
n
log
limn
+ + +
→∞
= =( ) 2
2
1 2 2
n
... n loglim
n→∞
+ + +=
( )2
2 2
1 11
12
2 22n n n
n n
n n nlim lim lim
n n←∞ →∞ →∞
++
+= = = = .
b)3 2
20
1 1
x
x lim
x →
+ −=
( )
( )
232 233 2
2 232 20 3
1 1 11 1
1 1 1 x
x x x lim
x x x →
+ + + ++ −
⋅ =
+ + + +
( )( )
33 2 3
232 2 23
1 1
1 1 1 x
x
lim
x x x →∞
+ −
= =⎛ ⎞
+ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2
230 2 2 23
1
31 1 1
x
x lim
x x x →
= =⎛ ⎞
+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 146/324
145
3. grupa 2000. god.
1. a) [ta je ve}e: 13% od 200 ili 30% od 90?
b) Uprostiti izraz22
111
22
11
22
:ba
ba
ab
ba
ba
ba
−
−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅
+
+ −−
−
−−
−−
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
23
4
3
25
4
4
31
x x x
x
−
=
−
+
+
− ; b) ( )21
3
2 1log x x + = − .
3. Dokazati identitet 43 4 2 4 8cos cos cosα α α + + = .
4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )x
x
x −
+
−
−≤+ 1212 1
66
.
5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 100422
=+ y x povu~enih iz
ta~ke )7,2( A .
6. Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne.
Izra~unati wegovu povr{inu ako je krak cmc 52= , a odnos
osnovica je 3:1.
7. Osnova piramide je trougao ~ije su stranice 12 16a cm, b cm= =
и 20c cm,= a bo~ne ivice su jednake i imaju du`inu 26 cm .Izra~unati zapreminu piramide.
8. Deveti ~lan aritmeti~ke progresije je pet puta ve}i od drugog~lana, a pri deqewu trinaestog ~lana sa {estim ~lanom dobija sekoli~nik 2 i ostatak 5. O kojoj progresiji je re~?
9. Odrediti najmawu i najve}u vrednost funkcije
( )⎩⎨⎧
>++−
≤=
0 ,18
0 ,22 x x x
x x f
x
na segmentu [ ]8,1− .
10. Skicirati grafike funkcija:
a) 2 y sinx = ; b)2
x y cos= ; v)
22 y log x = ; g)
x y
1= .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 147/324
146
3. grupa 2000. god. (re{ewa)
1.a)100
30902726
100
13200 ⋅=<=⋅ .
b) =
−
−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅
+
+−−
−
−−
−−
22
111
22
11
22
:ba
ba
ab
ba
ba
ba=
−
−⋅
+
⋅
+
+
ba
ba
ba
ab
ba
ba1111
1122
22
22
( )( )
2 2
2 2
2 2
b aa b a baba b
a b b aa b
ab ab
+
− += ⋅ ⋅ =
+ −+
( )
( )( )
( )
2 2
2 2
a b a bb a ab
ab a b a ba b
− ++⋅ ⋅ =
+ − −+
ab= − , uz uslov 0, ,ab a b a b≠ ≠ − ≠ .
2. a) Ako jedna~inu3
23
4
3
25
4
4
31
x x x
x
−
=
−
+
+
− pomno`imo sa
( )4,3 NZS , tj. sa 12 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu
0
2
34
3
253
4
31312 =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−
x x x x
odakle sre|ivawem dobijamo da je 04
39= x , odnosno da je 0= x .
b) Jedna~ina ima smisla za 022
>+ x x , tj. za ≠ 0 i, kako je
⎩⎨⎧
<−
≥=
0,
0,
x x
x x x , bi}e ( )
1
2 2
1
3
12 1 2
3log x x x x
−
⎛ ⎞+ = − ⇔ + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠⇔
( ) ( )00320032
22<∧=−−∨>∧=−+⇔
x x x x x x ⇔
( )( ) ( ) 013031 <∧−=∨=∨>∧−=∨=⇔ x x x x x x 11 −=∨=⇔ x x .
3. Koriste}i formule 2 22cos cos sinα α α = − ,
2 2sin sin cosα α α = ,
2 21sin cosα α + = i
( ) 22222442 bababa −+=+ , dobijamo da je
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 148/324
147
3 4 2 4cos cosα α + + =
= ( )2 2 2 23 4 2 2cos sin cos sinα α α α + − + −
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
3 4 2cos sin cos sin sin cosα α α α α α = + − + − −
( ) ( )2 2 2 2 4 4 2 23 4 6sin cos cos sin cos sin sin cosα α α α α α α α = + + − + + −
( )2
2 2 2 2 2 2 2 27 2 6cos sin cos sin cos sin sin cosα α α α α α α α = − + + − −
2 2 2 27 1 8cos sin sin cosα α α α = − + −
2 2 2 2 2 27 8cos sin sin cos sin cosα α α α α α = − + + −
2 2 28 8cos sin cosα α α = −
( )2 2
8 1cos sinα α = −2 2
8cos cosα α =
=4
8cos α .
4. Zadatak ima smisla ako je 1−≠ x . Tada je :
( ) ( ) x x
x −
+
−
−≤+ 1212 1
66
( ) ⇔⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
≤+⇔ +
− x
x
x
12
112 1
66
( ) x
x
x
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+⋅
−
≤+⇔ +
−
12
12
12
112 1
66
( ) ( ) x x
x
1212 1
66
+≤+⇔ +
−
⇔
( osnova eksponencijalne funkcije je ve}a od jedan )
01
66
1
662
≤
+
−−−⇔≤
+
−⇔
x
x x x x
x ⇔
( )( )2 2 35 60 0
1 1
x x x x
x x
+ +− +⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔
+ +
(videti slike 12 i 13 i tablicu)
Sl. 12
10
6
32 x
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 149/324
148
( ] [ )1,2 3, . x ⇔ ∈ − ∪ +∞
( ) ( ) ( ) ( )2
2
, 1 1,2 2,3 3,
5 6
1
5 6
1
x
x x
x
x x
x
−∞ − − +∞
− + + + − +
+ − + + +
− +− + − +
+
5. Neka je nkx y += jedna~ina tangente elipse 100422
=+ y x ,
~iji je kanonski oblik 1510
2
2
2
2
=+ y x . Uslov dodira ove elipse i
prave nkx y += je 2225100 nk =+ . Ta~ka ( )7,2 A pripada pravoj
nkx y += , pa je nk += 27 . Re{avawem sistema jedna~ina
2225100 nk =+ ∧ nk += 27 dobijamo da je
8
3=k i
4
25=n , ili da je
3
2−=k i
3
25=n , pa su jedna~ine tra`enih tangenti:
05083:1 =+− y x t i 02532:2 =−+ y x t .
6. Trouglovi ABO i CDO su sli~ni jer su im svi odgovaraju}i
uglovi jednaki, pa su im parovi odgovaraju}ih stranica proporcio-
nalni. Kako je OC OBCD AB :: = , tj. OC OB :1:3 = ,bi}e
OC OB 3= . Ozna~imo du`iOB , OC i BC redom sa y, x i c. (sl. 14)
Sl. 13
-1
0
1
x
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 150/324
149
Trougao BOC je pravougli, pa je:
( ) ( ) 23522222222
=⇔+=⇔+= x x x y x c ,
iz ~ega sledi da je 2= x . Dijagonale jednakokrakog trapeza su
uzajamno normalne i jednake, pa , ako ozna~imo dijagonaleAC i BD
sa d , sledi da je
( ) ( ) ( )
2
2222
16224
2232
22cm y x d P ABCD ==
+=
+==
7. Iz podudarnosti trouglovaVOB , VOC i VOA (sl. 15; podudarne su
po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram ve}e od wih)
zakqu~ujemo da se podno`je visine piramide nalazi u centru
opisanog kruga oko trougla ABC . Povr{ina baze mo`e se
izra~unati pomo}u Heronovog obrasca:
( )( )( ) 296481224 cmcsbsassP B ABC =⋅⋅⋅=−−−== . Kako je
R
abcP
4=
Δ, to je .10
964
201612
4cm
P
abc R =
⋅
⋅⋅==
Δ
Sl. 14
b
a
c
O
c
C
B
.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 151/324
150
Visinu piramide (sl. 16) izra~unavamo pomo}u Pitagorine teoreme:
( )( ) 24641026102610262222
=⋅=+−=−=−= Rd H .
Sada mo`emo izra~unati zapreminu piramide:
.7682496
3
1
3
1 3cm BH V =⋅⋅==
Napomena: Ako uo~imo da je bazni trougao pravougli, jer je
222201612 =+ , mo`emo koristiti formulu
2
c R = .
8. Neka je 1a prvi ~lan, a d razlika date aritmeti~ke progresije.
Prema uslovu zadatka sledi da je
⇒⎭⎬⎫
+=
⋅=
52
5
613
29
aa
aa ( )⇒
⎭⎬⎫
++=+
+=+
510212
58
11
11
d ad a
d ad a⇒
⎭⎬⎫
=−
=
1
1
52
43
ad
ad
Sl. 16
H d
R
V
O B
Sl. 15
a b
c B
C
V
H
O R
d
d d
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 152/324
151
( )⇒
⎭⎬⎫
−=
−=
52
5243
1 d a
d d
⎭⎬⎫
=
=
3
4
1a
d
.
Prvih nekoliko ~lanova progresije
je 3, 7, 11, 15, 19, ... .
9. Funkcija x y 2= je rastu}a i
( ) ( ) 10,2
11 ==− f f . Koordinate
temena parabole 182
++−= x x y
su :
42
=−=a
b x T
i 17
4=
−=
a
D yT .
Grafik funkcije prikazan je na slici 17. Najmawa vrednost funkci-
je je 12
i posti`e se u ta~ki 1 x = − , a najve}a vrednost date funkci-
je je 17 i posti`e se u ta~ki 4. x =
10. a) 2 0
22 0
sinx, sinx y sin x
sinx, sinx
≥⎧= = ⎨
− <⎩
0
y
1
-1
x π π 2
2
-2
sinx
sinx −
2sinx −
2sinx
2 sinx
Sl. 18
Sl. 17
8 40
1
-1
17 T
x 2
18
2
++− x x
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 153/324
152
b) Osnovni period funkcije2
x y cos= je
2 24
1 2T
π π π
ω
= = = .
0 2 3 4
30 2
2 2 2
1 0 1 0 1
x
x
y
π π π π
π π π π
−
Grafik funkcije prikazan je na slici 19.
v)2
2 y log x,= 0 x >
1 1
1 2 44 2
1 0 1 2 3
x
y −
g)⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
>
=
0,1
0,1
x x
x x y
1
- 1 π
0
π 4
π 2
π 3
Sl. 19
Sl. 20
0
1
1
2
2
1
1
1
1 0
x
1
x
1−
Sl. 21
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 154/324
153
4. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati:22
222:2
−−− .
b) Za 003,0=a i 994,5=b odrediti vrednost izraza
( ) =ba I , ( )
22229
2:
9
6
3
1
3
1
ba
bab
ba
b
baba −
+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+
+−
−.
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
1
21
54
3
23
7
12−
+=
−−
+ x x x ;
b) ( )( ) ( ) 02
=+ x f x f ako je ( ) 21
1 1
log x, x f x
x , x
≥⎧= ⎨
− <⎩.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 22 3 1sin x sin x + = .
4. Za koje vrednosti realnog parametrak jedna~ina
( ) 01222
=−+−− k kx x k ima pozitivna re{ewa?
5. Na krivoj 724322
=− y x odrediti ta~ku najbli`u pravoj
0123 =++ y x .
6. U trouglu ABC je ,8,5 == AC BC °=∠ 30 BAC i .90°<∠ ABC
Odrediti AB.
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine
wenih osnova 225 cmπ i 2
4 cmπ , a povr{ina omota~a 235 cmπ .
8. Hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla je 1. Nad wegovomkatetom, kao nad hipotenuzom, konstruisan je novi jednakokrakipravougli trougao. Nad katetom novog trougla, kao nadhipotenuzom, konstruisan je, opet, jednakokraki pravouglitrougao, itd. do beskraja. Koliki je zbir povr{ina svih takodobijenih trouglova (ukqu~uju}i i polazni)?
9. Re{iti sistem jedna~ina2
2
2
y x log x log y
x y
+ = ⎫⎬
− = ⎭.
10. U xOy -ravni za Rk ∈ skicirati linije odre|ene jedna~inama:
a) ,k x y += b) 12
=+ y y x , v) 122
++−= k kx kx y .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 155/324
154
4. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a) 22222:22:2
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2222
==⋅==−
−−−
.
b) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 3 6 9 12,
2 29
a b a b b a b b I a b
b a b b a ba b
+ − − + −= ⋅ = =
+ +−
=
12, , 0
2 2
ba b
a b≠ − ≠
+.
( ) 26
12
994,5003,02
12994,5;003,0 ==
+⋅= I .
2.a) Ako jedna~inu3
1
21
54
3
23
7
12−
+=
−−
+ x x x pomno`imo sa
( )3,7 NZS ,tj. sa 21 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu
( ) ( ) 754237123 −+=−−+ x x x , koja se sre|ivawem svodi na
jedna~inu 01919 =+− x , a weno re{ewe je 1= x .
b) 1° Za 1≥ x je ( ) 2 f x log x = .
2
2 2 0log x log x + =
( )2 2 1 0log x log x ⇔ + =
2 2
0 1log x log x ⇔ = ∨ = −
2
11 =∨=⇔ x x ,
pa je , zbog uslova 1≥ x , jedino re{ewe ove jedna~ine 1= x .
2° Za 1< x je ( ) 1−= x x f .
( ) ( ) 0112
=−+− x x ( ) ( )( )1 1 1 0 x x ⇔ − − + =
001 =∨=−⇔ x x
01 =∨=⇔ x x ,
pa je, zbog uslova 1< x , jedino re{ewe ove jedna~ine .0= x
Dakle, skup re{ewa date jedna~ine je { }1,0 .
3. Koriste}i identitete:
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 156/324
155
2 1 2
2
cos x sin x
−= i 2
2 2cos cos cos cos
α β α β α β
+ −+ =
dobija se:
2 22 3 1sin x sin x + =
1 4 1 61
2 2
cos x cos x − −⇔ + =
4 6 0cos x cos x ⇔ + =
2 5 0cos x cos x ⇔ =
5 0 0cos x cos x ⇔ = ∨ =
Z ll x Z k k x ∈+=∨∈+=⇔ ,2
,2
5 π π
π π
Z ll x Z k k x ∈+=∨∈+=⇔ ,2
,510
π π π π
.
4.Da bi re{ewa1
x i2
x jedna~ine 02
=++ cbx ax bila pozitivna,
treba da budu ispuweni slede}i uslovi: 021
>+ x x , 021
> x x i 0≥ D .
( ) 02
21
21>
−=−=+
k
k
a
b x x ,tj. ( ) 022 >−k k ,
pa je ( ) ( )∞∪∞−∈ ,20,k .
( ) 02
12
21>
−
−==
k
k
a
c x x ,tj. ( )( ) 021 >−− k k ,
pa je ( ) ( )∞∪∞−∈ ,21,k .
( ) ( ) ( )2 23 4 4 4 2 1 0 D b ac k k k = − = − − − ≥ ,
08124422
≥−+− k k k
( ) ⇒≥− 0234 k ⎟
⎠
⎞
⎢⎣
⎡∞∈ ,
3
2k .
Presek skupova re{ewa uslova (1),(2) i (3) je tra`eno re{ewe inalazimo ga koriste}i sliku 22:
0 2
0 21
3
2
0 1 23
2
Sl. 22
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 157/324
156
Prema tome,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞∈⇔∞∪∞−∈∧∞∪∞−∈∧⎟ ⎠
⎞⎢⎣
⎡∞∈ ,2,21,,20,,
3
2k k k k .
5. Data kriva je hiperbola ~iji je kanonski oblik 11824
22
=−y x
.
Dodirna ta~ka hiperbole i wene tangente, paralelene datoj pravoj
bi}e tra`ena ta~ka. Data prava ima koeficijent pravca2
3−= pk .
Tangenta mora biti paralelna sa pravom p , pa je2
3−=t k . Uslov
dodira prave nkx y += i hiperbole 12
2
2
2
=−b
y
a
x je 2222 nbk a =− . Iz
jedna~ine 2
2
182
324 n=−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅ dobija se da je 6=n ili 6−=n .
Tangente hiperbole, paralelne pravoj p , imaju jedna~ine:
01223:1
=−+ y x t i 01223:2
=++ y x t .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−+
=−
01223
7243 22
y x
y x i
⎭⎬⎫
=++
=−
01223
7243 22
y x
y x
dobijaju se ta~ke ( )3,61
−P i ( )3,62
−P . Prema formuli za rastojawe
ta~ke od prave sledi da je
( )1
3 6 2 3 1 13,
9 4 13d P p
⋅ − ⋅ += =
+i ( )2
3 6 2 3 1 11,
9 4 13d P p
− ⋅ + ⋅ += =
+.
Dakle, ta~ka ( )3,62 −P je tra`ena ta~ka.
6. Na osnovu sinusne teoreme va`ia b
sin sinα β = , tj.
5 8
1
2
sin β =
(sl. 23). Na osnovu implikacije
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 158/324
157
4 16 30 1
5 2 25 5sin cos
π β β β = ∧ < < ⇒ = − =
i na osnovu kosinusne teoreme va`i2 2 2
2b a c ac cos β = + − , odnosno
5
3522564
2⋅⋅⋅−+= cc , odakle je 0396
2=−− cc . Re{avawem
kvadratne jedna~ine i uzimaju}i u obzir da je 0>c , proisti~e da je
343 +=c .
7. Kako je poznato da je
2
1 4 cm B π =
i
2
2 25 cm B π =
, to se moguodrediti polupre~nici baza:
cmr r 241
2
1=⇒= π π ,
cmr r 5252
2
2=⇒= π π .
Sada, iz 235 cm M π = mo`e se odrediti izvodnica zarubqene kupe:
( ) cmssr r 53521 =⇒=+ π π .
Pomo}u Pitagorine teoreme (sl.2) nalazi se visina zarubqene kupe:
( ) cmr r s H 49252
122
=−=−−= .
Na osnovu poznatog obrasca za zapreminu zarubqene kupe sledi da
je ( ) ( ) 32211 524425253
4
3cm B B B B
H V π π π π π =+⋅+=++=
8.2
11
1
2
1
2
1=⇒=+ aaa , pa je
4
1
2
2
1
1==
aP .
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2==⇒=+
aaaaa , pa je
2
1
8
1
21
2
2
2⋅=== P
aP .
8
C
B c β
30
Sl. 23
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 159/324
158
22
1
2
2
3
2
2
2
3
2
3==⇒=+
aaaaa , pa je
2
1
2
3
32
1
16
1
2⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=== P
aP .
Indukcijom se mo`e dokazati da je niz ,.......,.......,,321 nPPPP
geometrijski niz sa koli~nikom2
1=q . Kako je
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅=++=n
n
nn PPPS
2
11
2
1
211
2
11
4
1.....
21,
prelaskom na grani~nu vrednost, kada se n neograni~eno uve}ava,
dobijamo da je1 1 1
12 22
n nn nlim S lim
→∞ →∞
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
9. Sistem ima smisla za 1,0,0 ≠>> x y x i 1≠ y .
2
2
2
y x log x log y
x y
+ = ⎫⎪⎬
− = ⎪⎭⇒
2
12
2
y
y
log x log x
x y
⎫+ = ⎪
⎬⎪
− = ⎭
⇒
2
2
1 2
2
y ylog x log x
x y
⎫+ = ⎪⎬
− = ⎪⎭
⇒
⇒( )
2
2
1 0
2
ylog x
x y
⎫− = ⎪⎬
⎪− = ⎭
⇒ 2
1
2
ylog x
x y
= ⎫⎪⎬
− = ⎪⎭
⇒
⎭
⎬⎫
=−−
=
02
2
x x
y x .
Iz druge jedna~ine se dobija da je 2= x ili 1−= x . Prema uslovu
zadatka, jedino re{ewe sistema je 2,2 == y x .
Sl. 24
1
1 a
1 a
3 a
2 a 2 a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 160/324
159
10. a) Linije u − xOy ravni odre|ene jedna~inama Rk k x y ∈+= , su
prave paralelne sa pravom y = , (sl. 25).
b) Jedna~inu 122
++−= k kx kx y napi{imo u obliku
( ) 1122 ++−= x x k y , odnosno u obliku ( ) 11 2 +−= x k y . Sada se vidi
da su linije odre|ene ovim jedna~inama parabole koje prolaze kroz
ta~ku ( )1,1 M za 0≠k , i prava 1= y , za 0=k , (sl.26).
v) Kako je⎩⎨⎧
<−
≥=
0 ,
0 ,
y y
y y y , to jedna~ina 1
2=+ y y x za 0≥ y
glasi 122
=+ y x , a linija koja joj odgovara je deo kru`nice u
Sl.25
Sl. 26
x
1
10
2
2
y
k = 0
k > 0
k < 0
Sl. 27
1 x
y
0-1
-1
1
x10
1
y
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 161/324
160
prvom i drugom kvadrantu (sl. 27). Za 0< y dobija se deo
hiperbole 122
=− y x u tre}em i ~etvrtom kvadrantu.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 162/324
161
5. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e: 64
500 ili 32000?
b) Izra~unati
3
5 4
1 1764 1: 0 3 :3 5
2 1 21
5 7 11
,
−−⎛ ⎞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎜ ⎟⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
2. Re{iti jedna~ine:
a) ,2
5
7
113
3
25 x
x x x +
−=
+−
−b) .1
2
2−=
+ x
x
3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina a x x =+66
cossin
ima realna re{ewa?
4. Re{iti nejedna~inu ( )21135235
−−+−>−
x x x x .
5. Odredtiti koordinate ta~ke B simetri~ne ta~ki )2,1( − A u odnosu
na pravu koja prolazi kroz ta~ke )0,5(C i ).1,8( − D
6. Oko kruga polupre~nika 2cm opisan je jednakokraki trapezpovr{ine 20cm
2. Odrediti du`ine stranica tog trapeza.
7. Izvodnice prave kupe grade sa ravni osnove ugao od .60° U kupu jeupisana lopta polupre~nika r . Izra~unati povr{inu i zapreminukupe.
8. Re{iti jedna~inu 2 31.cosx cos x cos x + + + =
9. Re{iti sistem jedna~ina⎭⎬⎫
=++
=++
37
48122
4224
y xy x
y y x x .
10. Skicirati grafike funkcija:
a) ,2
x x y −= b) , x x sin y ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −=
2 v) y ln x .=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 163/324
162
5. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a) ( ) ( ) 20001000
210001000500
2500 3398864 ==<== .
b)
3 3
5 54 41 176 13 10 54 1: 0,3 :
3 5 3 3 176
7 252 1 21
5 775 7 11
− −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⋅⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
4 3
4
5
111765 176
11
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3 3 3
3 1 14 4 34 4 4116 16 2 2 8
16
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.
2. a) Ako jedna~inu x x x x
+−
=+
−−
2
5
7
113
3
25pomno`imo sa
( )7,3,2 NZS , tj. sa 42, dobijamo da je
x x x x
+−
=+
−−
2
5
7
113
3
25⇔
( ) ( ) ( ) x x x x 4252111362514 +−=+−−⇔ ⇔
042105216782870 =−+−−−−⇔ x x x x
07171 =+−⇔ x
1=⇔ x .
b) Jedna~ina ima smisla za 02 ≥+ x i 01 ≥− x , tj. za 1≥ x .
12
2−=
+ x
x 12
4
2 2+−=
+⇒ x x
x
02942
=+−⇒ x x
4
12 =∨=⇒ x x .
Re{ewe jedna~ine je 2= x .
3. Koristi}emo identitete:
( )( )2233 babababa +−+=+ , ( ) 22222442 bababa −+=+ i
2 2sin x sin x cos x = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 164/324
163
Kako je ( ) ( )3 3
6 6 2 2sin x cos x sin x cos x + = + =
( )( )
2 2 4 2 2 4sin x cos x sin x sin x cos x cos x = + − + =
( )2
2 2 2 21 3sin x cos x sin x cos x
⎡ ⎤= ⋅ + − =
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2 23 3
1 2 1 24 4
sin x cos x sin x = − = − ,
to se data jedna~ina svodi na jedna~inu 231 2
4sin x a− = , tj. na
jedna~inu ( ) 241 2
3
a sin x − = , ~ija su re{ewa realna, ako je
( ) 113
40 ≤−≤ a . Iz ( )a−≤ 1
3
40 dobijamo da je 1≤a , a iz ( ) 11
3
4≤− a
dobijamo da je4
31 ≤− a , odnosno da je
4
1≥a . Dakle, 1≤a i
4
1≥a ,
pa je ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈ 1,
4
1a .
4. Deqewem nejedna~ine ( )211
35235−−+
−>−x x x x
sa x
3 (x
3 >0)
dobijamo da je9
2
3
5
5
23
3
5−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅>−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x
, odnosno9
23
3
5
5
2
3
5−>⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x
,
odakle je3
5
9
25
3
5⋅>⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x
, ili
3
3
5
3
5⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ >⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x
.
Osnova eksponencijalne funkcije j e ve}a od 1, pa je funkcijarastu}a, iz ~ega proisti~e da je 3> x .
5. Jedna~ina prave p , odre|ene dvema ta~kama je
( )1
12
121 x x
x x
y y y y −
−
−=− ,
pa je za ta~ke ( )0,5C i ( )1,8 − D jedna~ina odgovaraju}e prave
( )558
010 −
−
−−=− x y ,
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 165/324
164
odnosno 053 =−+ y x . Koeficijent pravca prave p je3
1−= pk .
Prava n koja prolazi kroz ta~ku ( )2,1 − A i normalna je na pravu p
ima jedna~inu ( ) ( )12 −=−− x k y n ,
pri ~emu je 31
=−=
p
nk
k , pa
jedna~ina prave n glasi:
( )132 −=+ x y , odnosno 053 =+− x y .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−−
=−+
053
053
y x
y x
dobija se ta~ka ( )1,2S koja je presek
pravih n i p . Koordinate ta~ke B dobijaju se iz uslova da je S
sredi{te du`i AB (sl. 28). Dakle, iz s B A x
x x =
+
2dobija se da je
314 =−= B x , a iz s B A y
y y=
+
2da je 422 =+= B y . Tra`ena
ta~ka je ta~ka ( )4,3 B .
6. Neka su a i b osnovice, c krak i h visina trapeza, a
r polupre~nik kruga. Krug je upisan u trapez (sl. 29), pa je r h 2= .
Kako je cmr 2= , to je cmh 4= . Iz formule za povr{inu trapeza
hba
P ⋅+
=2
dobijamo da je 42
20 ⋅+
=ba
, tj. da je .10=+ ba Trapez je
tangentni , pa je bac +=2 . Na osnovu prethodnog zakqu~ujemo da je
cmc 5= . Kako je trapez jednakokraki,
to je2
ba AE
−
= , gde je E podno`je
visine spu{tene iz temena D na
osnovicu AB . Prema Pitagorinojteoremi , za trougao AED va`i:
916252
22
2
=−=−=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −hc
ba,
odnosno .6=− ba
S
B
A
n
Sl. 28
r
c c
b
a F E
C
B
h
r
2
ba −
Sl. 29
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 166/324
165
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−
=+
6
10
ba
badobija se da je 8cma = i cmb 2= .
7. Iz podudarnosti trouglova ADO i AEO (sl. 30) zakqu~ujemo da
je:
30=∠ DAO i
60=∠ AOD , pa je r AO 2= i( )
32
32r
r R == .
Trougao ACB je jednakokraki sa uglom na osnovici od
60 , pa je
322 r R BC AB AC s ===== i r R R
H 332
32=== . Dakle,
( ) 22293233 cmr r r r s R R Rs R M BP π π π π π =+=+=+=+= i
332333
3
1
3
1cmr r r BH V π π =⋅⋅== .
Napomena:
330 r R R
r tg =⇒=
8. Jedna~ina 2 31cos x cos x cos x ....+ + + = ima smisla za Z k k x ∈≠ ,π .
Leva strana jedna~ine predstavqa zbir ~lanova beskona~negeometrijske progresije za koju je
1a cos x = i q cos x = . Kako je 1<q , bi}e
2 3
1cos x cos x cos x cos x ....
cos x + + + =
−.
Iz jedna~ine 11
cos x cos x
=−
dobijamo da
je 1cos x cos x = − , odnosno 2 1cos x = ,
ili1
2cos x = . Re{avawem posledwe jedna~ine
Sl. 31
0 121
3π
3π −
Sl. 30
s
R
H
60
B
30
C
O
R
r
r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 167/324
167
b) Kako je x x =2 , a
⎩⎨⎧
<−
≥=
0,
0,
x x
x x x , to }e za 0≥ x biti
( )2
y sin x x = − ( )sin x x = − ( )sin x x = − 0 0sin= = , dok za 0< x
imamo da je ( )2 y sin x x = − ( ) ( )( ) 2sin x x sin x x sin x = − = − − = .
Grafik funkcije je prikazan na slici 33.
v) Funkcija y ln x = ima smisla za 0≠ x .
Kako je( )
0
0
ln x, x ln x
ln x , x
>⎧= ⎨
− <
⎩
, to }e biti 0ln x ≥ za
( ] [ )∞∪−∞−∈ ,11, x , a za ( ) ( )1,00,1 ∪−∈ x }e biti 0ln x < (vidi
sliku 34).Sada mo`emo detaqno zadati funkciju x y ln= . Dakle,
y ln x = = ( )
( )
1
0 1
1 0
1
ln x, x
ln x, x
ln x , x
ln x , x
≥⎧⎪
− < <⎪
⎨− − − < <⎪⎪ − ≤ −⎩
Grafik funkcije je prikazan na slici 34.
Sl. 33
x
3 2π − 2π −
-1
1
0 π −2π −
Sl.34
y
xe-e 1-1
1
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 168/324
168
6. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e: 25
500 ili 22000?
b) Izra~unati
4
3
8
32
13:7,0:2
7
61
75
135
53
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −
.
2. Re{iti jedna~ine:
a) ,12
71
3
17
2
12
4
3+
−=
−−
+ x x x b) .112 −=+ x x
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu4 4
4cos x sin x cos x.+ =
4. Za koje vrednosti realnog parametra p jedna~ina2
43 6 2 0 x x log p− − = ima oba pozitivna re{ewa?
5. Odrediti jedna~inu kru`nice koja prolazi kroz ta~ke).5,5(),1,7(),6,2( C B A
6. U trapsez sa kracima 13=c i 15=d upisan je krug polupre~nika 6.
Izra~unati du`ine onovica tog trapeza.
7. Ta~kasti izvor svetlosti udaqen je 4m od centra loptepolupre~nika 2m. Izra~unati povr{inu neosvetqenog dela lopte.
8. Zbir svih ~lanova beskona~ne geometrijske progresije je ,3
2a
zbir kvadrata ~lanova iste progresije je .3
4Koja je to progresija?
9. Izra~unati
20012001
2
3
2
1
2
3
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +− ii (i je imaginarna
jedinica).10. U xOy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
a) ( )( ) 042 ≤−+− x y y x , b) ( )( ) 01 ≥−−x
e y y ,
v) ( )( ) 012
≤−+− y x x y .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 169/324
169
6. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a) ( ) ( ) 2000100021000100050025002245525 ==>== .
b)
( )( )
33
44 3
34 4 4
8 8
39 25 5 14 1
15 13 7 13 7 2 8.32 1613 2 10 32 1137 7 13
−−
−−
−
−−
⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⋅⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2. a) Ako jedna~inu12
71
3
17
2
12
4
3+
−
=
−
−
+ x x x pomno`imo sa
( )12,4,3,2 NZS , tj. sa 12, dobijamo ekvivalentnu jedna~inu
( ) ( ) ( ) 1917412633 +−=−−+ x x x . Sre|ivawem ove jedna~in dobija
se da je 037 =− x , odnosno 0= x .
b) Jedna~ina 112 −=+ x x ima smisla ako je 012 ≥+ x i 01 ≥− x ,
tj. ako je21−≥ x i 1≥ x . Dakle, re{ewa tra`imo za sve 1≥ x .
112 −=+ x x 12122
+−=+⇔ x x x ∧ 1≥ x
042
=−⇔ x x ∧ 1 x ≥
( ) 04 =−⇔ x x ∧ 1≥ x
( ) 140 ≥∧=∨=⇔ x x x
4=⇔ x .
3. 4 4 4cos x sin x cos x + = ⇔
( )2
2 2 2 2 2 22 2 2cos x sin x cos x sin x cos x sin x ⇔ + − = − ⇔
2 211 2 1 2 2
2sin x sin x ⇔ − = − 23
2 02
sin x ⇔ = 2 0sin x ⇔ = ⇔
Z k k x ∈=⇔ ,2 π Z k k
x ∈=⇔ ,2
π .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 170/324
170
4. Jedna~ina 2
43 6 2 0 x x log p− − = ima smisla za 0> p . Prema
Vietovim formulama je3
621 =−=+
a
b x x , a 4
1 2
2
3
c log p x x
a
−= = .
Zadatak se svodi na re{avawe sistema nejedna~ina
021 >+ x x , 021 >⋅ x x , 0≥ D i 0> p , tj.
43
4 24
4
60 0 10 0 13
2 3 10 4
3 2 80
36 24 0 0 0
0
plog p p
log plog p p p
plog p p p
p
−
⎫> < <⎪ ⎫< < <⎫ ⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪> ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥⎬ ⎬ ⎬ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪>+ ≥ > >⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭ ⎭
⎪> ⎭
.
Dakle,1
, 18
p⎡ ⎞
∈ ⎟⎢⎣ ⎠.
5. Koordinate ta~aka A, B i C zadovoqavaju jedna~inu kruga
( ) ( ) 222r q y p x =−+− , pa je:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 6
7 1 .
5 5
p q r
p q r
p q r
⎫− + − =⎪⎪
− + − = ⎬
⎪− + − = ⎪⎭Re{avawem ovog sistema dobijamo da je 2, 1, 5 p q r = = = .
Jedna~ina kruga je ( ) ( ) 222512 =−+− y x .
II na~in (sl. 35)
Odrediti jedna~ine simetrala 1s i 2s tetiva AC i BC . Presek
simetrala je ta~ka O - centar kruga. Polupre~nik kruga je rastojawe
ta~ke O od ta~ke A . Jedna~ina prave AC je: ( )225
656 −
−
−=− x y ,
odnosno ( )23
16 −−=− x y . Koeficijent pravca prave AC je
3
1−= AC k , pa }e koeficijent pravca prave
1s ( 1s je normalna na
AC ) biti 3 . Jedna~ina prave CB je:
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 171/324
171
( )557
515 −
−
−=− x y , odnosno ( )525 −−=− x y . Koeficijent pravca
prave CB je 2−=CBk , pa }e koeficijent pravca prave 2s ( 2s je
normalna na CB ) biti2
1. Prava
1s prolazi kroz sredi{te du`i
AC , tj. kroz ta~ku ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
2
56,
2
52 M ,
odnosno ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
11,
2
7 M , a prava 2s
prolazi kroz sredi{te du`i CB ,
tj. kroz ta~ku ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ++
2
15,2
75 N ,
odnosno ( )3,6 N .
Jedna~ine pravih1s i 2s su :
1s : ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−
2
73
2
11 x y ; 2s : ( )6
2
13 −=− x y .
Presek pravih 53:1 −= x ys i2
:2 x ys = dobijamo re{avawem
sistema⎭⎬⎫
=−
=−
02
53
y x
y x . Iz druge jedna~ine je y x 2= , pa se zamenom u
prvu jedna~inu, dobija da je 523 =−⋅ y y , odnosno da je 1= y . Dakle,
koordinate ta~ke O su 2= x i 1= y . Du`ina du`i OA je
polupre~nik kruga, pa je ( ) ( ) 5162222
=−+−=r , a jedna~ina
tra`enog kruga je ( ) ( )222
512 =−+− y x .
6. Kako je trapez tangentni , to }e zbirosnovica biti jednak zbiru krakova,tj. 28=+=+ d cba , a visina trapeza
h bi}e jednaka r 2 (sl. 36). Du`ineosnovica nalazimo re{avawemsistema:
2s
1s
C
BO
Sl. 35
M N
a
c d
b
r
Sl. 36
r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 172/324
172
( )
( ) ⎭⎬⎫
=
=
⇒⎭⎬⎫
=−
=+
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=+
=
=
=+
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=++
−=
−=
+=+
7
21
14
28
14
9
5
28
2
2
222
222
b
a
ba
ba
ab
y
x
ba
ab y x
r d y
r c x
d cba
.
7. Neka je R polupre~nik lopte, a h visina loptinog odse~ka i
R h= − . Povr{ina lopte je 24 RP L π = . Povr{ina loptinog
odse~ka je 2od P R hπ = . Kako je OABOBC ΔΔ ~ (trouglovi
OBC i OAB su pravougli i uglovi kod temena O su im jednaki ,
sl. 37), to jeOA
OB
OB
OC = , pa je
4
2
2=
x ,
odnosno 1 x m= . Iz x Rh −=
sledi da je 1h m= .
Sada mo`emo izra~unati povr{inuneosvetqenog dela lopte:
2 24 2 16 4 12 NOP R Rh mπ π π π π = − = − = .
8. Zbir svih ~lanova geometrijske progresije postoji ako je 1<q .
Kvadrati ~lanova takve geometrijske progresije tako|e ~ine
geometrijsku progresiju ~iji je koli~nik 2qq =′ , a prvi ~lan
2
1 1a a′
= i zbir svih ~lanova te progresije je isto kona~an. Zato je
( )
12 11 1 1
22
2 2 2 2 4 11 1 1 2
2
22 (1 )2... 31 33
414 4 4... 9
3 31 31
a a qa a q a q
q
qaa a q a q
q q
⎫⎫ = −⎫ = ⎪+ + + = ⎪⎪ − ⎪⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬
−⎪ ⎪ ⎪+ + + = = =⎪ ⎪ ⎪⎭ − ⎭ − ⎭
h
R
B
x
O C
Sl. 37
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 173/324
173
( )
( )
( )11
2 22
221
133 .
11 2 1 4 2 2 03
a qa q
q q q q q
⎫ ⎫= − ⎪ = −⎪ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬
⎪ ⎪− + = − − − = ⎭⎪⎭
Iz druge jedna~ine dobijamo da je 1=q ili2
1−=q . Prema uslovu
zadatka , q mora biti mawe od 1, pa je re{ewe zadatka2
1−=q i
11 =a . Prvih nekoliko ~lanova progresije je ,...8
1,
4
1,
2
1,1 −− .
9. Odredimo trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva
2
3
2
11 i z +−= i
2
3
2
12 i z −−= (sl. 38).
12
3
2
1,
3
2,
2,3
2
12
322
1111 =⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==<<−=
−
= r tgπ
ϕ π ϕ π
ϕ
22
2 2 2 2
33 4 1 32 3, , , 1
1 2 3 2 2
2
tg r π π
ϕ π ϕ ϕ
− ⎛ ⎞⎛ ⎞= = < < = = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−
Primenom Muavrove formule dobija se:
200120012 2 4 4
3 3 3 3cos i sin cos i sin
π π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
200120012 2 2 2
3 3 3 3cos i sin cos i sin
π π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2001 2 2001 2 2001 2 2001
3 3 3 3cos i sin cos i sin
π π π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )2 2 667 2 667 2 2 1 2cos cosπ π = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 174/324
174
10. a) ( )( ) 042 ≤−+− x y y x
( ) ( )04200420 ≤−+∧≥−∨≥−+∧≤−⇔ x y y x x y y x
( ) ( )4242 +−≤∧≤∨+−≥∧≥⇔ x y x y x y x y
Sl. 39 Sl. 40 Sl. 41
Na slici 39 predstavqen je skup ta~aka za ~ije koordinate va`i
2 4 y x y x ≥ ∧ ≥ − + , a na slici 40 je predstavqen skup ta~aka za ~ije
koordinate va`i 2 4 y x y x ≤ ∧ ≤ − + . Skup ta~aka koji zadovoqavajudatu relaciju predstavqen je na slici 41.
b) ( )( ) 01 ≥−−x
e y y ( ) ( )001001 ≤−∧≤−∨≥−∧≥−⇔x x e y ye y y
( ) ( ) x x e y ye y y ≤∧≤∨≥∧≥⇔ 11
1 z
2 z
21−
32π −
32π
34π
Sl. 38
0
1
4 3
0 2
1 2
x
y
1
4 3
0 2
1 2
x
y
1
4 3
0 2
1 2
x
y
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 175/324
175
Skup ta~aka za koje je 1≥ y predstavqen je na slici 42, skup ta~aka
za koje je x
e y ≥ predstavqen je na slici 43, a wihov presek na slici44.
Skup ta~aka za koje je 1≤ y predstavqen je na slici 45, skup ta~aka
za koje je x
e y ≤ predstavqen je na slici 46, a wihov presek na slici
47.
Unija skupova sa slika 44 i 47, tj. tra`eno re{ewe, prikazano je na
Sl.48
0 1
1
e
-1
0 1
1
e
Sl.44
-10 1
1
e
Sl. 43
-1
Sl. 42
0 1
1
e
-1
0 1
1
e
Sl. 45
-1 0 1
1
e
Sl. 46
-1 0 1
1
e
Sl. 47
-1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 176/324
176
slici 48.
v) ( )( ) ⇔≤−+− 012 y x x y
( ) ( )2 2
0 1 0 0 1 0 y x x y y x x y⇔ − ≤ ∧ + − ≥ ∨ − ≥ ∧ + − ≤
( ) ( )2211 x y x y x y x y −≤∧≥∨−≥∧≤⇔ .
x y ≤ 21 x y −≥ x y ≤ ∧
21 x y −≥
Na slici 51 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama 49i 50.
x y ≥ 21 x y −≤ x y ≥ ∧
21 x y −≤
Sl.49
0 1-1
1
Sl.50
0 1-1
1
Sl.51
0-1 1
1
Sl.53
0
1
1-1
Sl.54
0-1
1
1
Sl.52
0-1 1
1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 177/324
177
Na slici 54 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama52 i 53.
( )( )01
2≤−+−
y x x y
Na slici 55 prikazana je unija skupova predstavqenih na slikama 54i 51, {to je i re{ewe zadatka.
Sl. 55
0
1
1-1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 178/324
178
7. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e 49
500 ili 23000 ?
b) Izra~unati
3
2
4
108
7:6,0:1
3
22
1110
73
51
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ +
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)2
16
2
23
13
92
2
23−
−=
−−
− x x x , b) 31 −=− x x .
3. Dokazati identitet
4 42
22 1
sin sin cos coscostg
α α α α
α α
+ −
=− .
4. Re{iti nejedna~inu 2
3 21
x log x
−< .
5. Odrediti ta~ku krive 2322
=− y x koja je najbli`a pravoj
13 −= x y .
6. U jednakostrani~ni trougao stranice a tri podudarna kruga suupisana tako da se me|usobno dodiruju i da svaki od wih dodiruje dvestranice tog trougla. Odrediti polupre~nike tih krugova.
7. Prava kru`na kupa je opisana oko pravilne ~etvorostrane
piramide. Visina piramide je 7cm , a zapremina 370cm . Izra~unati
povr{inu i zapreminu kupe.
8. Odrediti zbir svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske
progresije ako je zbir prvog i ~etvrtog ~lana 54, a zbir drugog i
tre}eg 36.
9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnihre{ewa jedna~ine 3 2
2 9 x x a− = .
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~e vrednosti:
a)0
1 1
3 x
x lim
sin x →
+ −, b)
20
2
x
cos x cos x lim
x →
−, v)
31
1 3
1 1 x lim
x x →
⎛ ⎞−⎜ ⎟
− −⎝ ⎠.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 179/324
179
7. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a) 3000500249 < , jer je
( ) ( ) 3000100031000100050025002287749 ==<== .
b)
3
2
4
108
7:6,0:1
3
22
11
10
7
3
5
1−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
3
2
4
7
108
3
5
3
8
11
10
35
22
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅
=
3
2
7
108
7
4−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
2
3
127
−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2
3 33−
−= = 932= .
2. a) Ako se jedna~ina2
16
2
23
13
92
2
23−
−=
−−
− x x x pomno`i sa
( )13,2 NZS , tj. sa 26 , sledi da je
2
16
2
23
13
92
2
23−
−=
−−
− x x x ⇔
( ) ( ) ( ) 131323139222313 ⋅−−=−−−⇔ x x x
12261 −=⇔ x 2−=⇔ x .
b) Jedna~ina 31 −=− x x ima smisla za 01 ≥− x i 03 ≥− x , tj.
za 3≥ x . Tada je
31 −=− x x 39612
≥∧+−=−⇔ x x x x
301072
≥∧=+−⇔ x x x
( ) 325 ≥∧=∨=⇔ x x x
5=⇔ x .
3.4 4
2
2 1
sin sin cos cos
tg
α α α α
α
+ −=
−
( )( )2 2 2 22
2 1
sin cos sin cos sin cos
tg
α α α α α α
α
− + +=
−=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 180/324
180
2 22
2 1
sin cos sintg
α α α
α
− +=
−
2 2
2 1
cos sintg
α α
α
− +=
−
2 2
21
2
sin cos
sin
cos
α α
α
α
− += =
−
( )2 2 2
2 2
sin cos cos
cos sin
α α α
α α
− +=
−2cos α = .
4. Nejedna~ina 2
3 21
x log x
−< ima smisla , ako je 123,0 ≠−≠ x x i
023 >− x tj. ako je ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∪∪∞−∈
2
3,11,00, x .
1) Za ( )0,∞−∈ x ( )1,0∪ osnova logaritma je ve}a od 1, pa je
logaritamska funkcija rastu}a. Prema tome,
( )2
3 21 0
x log x x ,
−< ∧ ∈ −∞ ( )0,1∪ ⇔
( ) ( )2
3 2 3 23 2 0
x x log x log x x ,
− −⇔ < − ∧ ∈ −∞
( )0,232
∞−∈∧−<⇔ x x x ( )1,0∪
( )0,0322
∞−∈∧<−+⇔ x x x ( )1,0∪
( )( ) ( ) ( )1,00,031 ∪∞−∈∧<+−⇔ x x x
( ) ( )0,1,3 ∞−∈∧−∈⇔ x x ( )1,0∪ ( )0,3−∈⇔ x ( )1,0∪ .
2) Za ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈
2
3,1 x osnova logaritma je pozitivna i mawa od 1, pa je
logaritamska funkcija opadaju}a. Dakle, u ovom slu~aju je
2
3 21
x log x
−< ⇔⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈∧
2
3,1 x ( ) ( )2
3 2 3 2
33 2 1
2 x x log x log x x ,
− −< − ∧ ∈
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈∧−>⇔ 2
3,123
2
x x x
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈∧>−+⇔
2
3,1032
2 x x x
( )( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈∧>+−⇔
2
3,1031 x x x
1-3
1-3
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 181/324
181
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈∧∞∪−∞−∈⇔
2
3,1,13, x x
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈⇔
2
3,1 x
Skup re{ewa nejedna~ine je ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∪∪−
2
3,11,00,3 .
5. Kanonski oblik hiperbole 2322
=− y x je 12
3
2
22
=−y x
.
Koeficijent pravca date prave p je 3= pk . Tangenta krive koja je
paralelna datoj pravoj dodiriva}e krivu u tra`enoj ta~ki. Zna~i,
3=t k . Uslov dodira prave nkx yt +=: i hiperbole 1:2
2
2
2
=−b
y
a
x h je
2222 nbk a =− , odakle sledi da je 2223
3
2n=−⋅ , tj. 2=n ili
2−=n . Jedna~ine tangenti su: ,23:1
−= x yt i ,23:2
+= x yt a
odgovaraju}e dodirne ta~ke su ( )1,11P i ( )1,11−−
P .Primenom formule za rastojawe ta~ke od prave dobija se da je
( ) ( )( )
10
3
19
1113,
10
1
19
1113,
21=
+
−+−⋅=<=
+
−−⋅= pPd pPd .
Tra`ena ta~ka je ( )1,11
P .
6. Neka je x
rastojawe od temena uglatrougla do dodirne ta~ke kruga upisanog
u taj ugao . Tada je x r a 22 += (vidi
sliku 56) . Kako je
30ctgr
x = , to je
3r x = , pa je ( )312 += r a , odakle
je( )132 +
=a
r , odnosno( )
4
13 −=
ar .
a
2r
30
r r r
r
r
Sl. 56
a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 182/324
182
7. Neka je p H visina i a osnovna ivica piramide, a k H visina i
r polupre~nik osnove kupe. Prema uslovu zadatka je 7 p k H H cm= = ,
a kvadrat stranice a je upisan u krug polupre~nika r (sl.57). Izformule za zapreminu piramide 21 1
3 3 p p p pV B H a H = = ⋅ sledi da je
23 p
p
V a
H = , tj.
32 23 70
307
cma cm
cm
⋅= = .
Pre~nik kruga 2r je dijagonala kvadrata stranice a , pa je
2 2r a=
, iz ~ega se kvadrirawem dobija da je
2 2
4 2r a=
. Kako je230a = , to je 2
15r = , pa je zapremina kupe
2 31 1 115 7 35
3 3 3k k k k V B H r H cmπ π π = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = . Prema Pitagorinoj
teoremi je 222 H r s += (sl. 58), odakle dobijamo da je cms 8= .
Povr{ina kupe je ( ) ( ) 215 15 8k P r r s cmπ π = + = + .
8. Prema uslovu zadatka va`i:
( )( )
( )( )( )
( )
2
13311 1
12
1 1 1 3
1
1 1 541 5454
1 36
36 1 361 54
a q q qa qa a q
a q qa q a q a q q
a q
⎫+ − +⎫ ⎪⎫ =+ =+ = ⎪ ⎪ ⎪
+⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬+ = + =⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎭
+ = ⎪⎭
⇒
r
H s
Sl. 58
a
r
r
Sl. 57
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 183/324
183
( )
2
3
1
36 90 36 0.
1 54
q q
a q
⎫− + = ⎪⇒ ⎬
+ = ⎪⎭
Iz prve jedna~ine dobijamo da je 2=q ili
2
1=q . Progresija je opadaju}a, pa je
2
1=q . Tada je 48
1=a i
148
9611
12
aS
q∞
= = =−
−
.
9. Analizira}emo krivu ( ) ( )922
−= x x x f .
1) f
D R= ,
2) ( )2
900 =∨=⇔= x x x f ,
3) ( ) 3 92
x x lim f x lim x
x →∞ →∞
⎛ ⎞= − = ∞⎜ ⎟
⎝ ⎠,
( ) 3 92
x x lim f x lim x
x →−∞ →−∞
⎛ ⎞= − = −∞⎜ ⎟
⎝ ⎠,
4) ( ) ( )26 18 6 3 f x x x x x ′ = − = − ,
( ) 0 0 3 f x x x ′ = ⇔ = ∨ = .
( ) ( ) ( )
( )
( )
,0 0,3 3,
x
f x
f x
−∞ ∞
′ + − +
5) ( ) 12 18 f x x ′′ = −
( )0 18 f ′′ = − , pa f ima lokalni maksimum ( )0 0 f = .
( )3 18 f ′′ = , pa f ima lokalni minimum ( )3 27 f = − .
Grafik funkcije f prikazan je na slici 59.
Neka je ( ) a x g = . Grafik funkcije g je prava paralelna sa x -osom.
Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa
jedna~ine. Prema tome,
( ) ( )
22 9 f x x x = −
9/2 3
-27
0
Sl. 59
( )g x a=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 184/324
184
1) za 0>a ili 27−<a jedna~ina ( ) ( ) x g x f = ima jedno
re{ewe,
2) za 0=a ili 27−=a jedna~ina ima dva re{ewa,
3) za 027 <<− a jedna~ina ima tri re{ewa.
10. a)
( )( )( ) ( )0 0 0
1 1 1 11 1 1 1
3 3 1 1 3 1 1 x x x
x x x x lim lim lim
sin x sin x x sin x x → → →
+ − + ++ − + −= = =
+ + + +
=
( )0
3 1 1
2 3 63 1 1 3 x
x lim
sin x x →
= =
⋅+ + ⋅
,
jer je0 0
3 1 11
3 3 1
3
x x
x lim lim
sin x sin x x
→ →
= = = .
b)2 2
0 0
2 22
2 2 2
x x
x x x x sin sin
cos x cos x lim lim
x x → →
− +− ⋅
−= =
2
0
32
2 2
x
x x sin sin
lim x →
−⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠=
( )0
32
2 2 2 3
3 2 2 22 2
2 2 3 3
x
x x sin sin
lim x x →
− − ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅
.
v)2 2
3 3 31 1 1
1 3 1 3 2
11 1 1
x x x
x x x x lim lim lim
x x x x
→ → →
+ + − + −⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟
− − − −⎝ ⎠
=( ) ( )
( )( )21
1 2 31
31 1 x
x x lim
x x x →
− += − = −
− + +.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 185/324
185
8. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati 2
12:4,0
40
312,435,1:7,27,2:
20
71 ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++
.
b) Uprostiti( )
22
332
:3ba
ba
a
b
b
a
ab
ba −⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−.
2. Re{iti jedna~ine:
a) 1122 =−−+ x x ; b) ( )( ) 3= x f f ako je ( ) x x x f 22
−= .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2 25 4 4sin x sin x cos x cos x .− − =
4. Za koje vrednosti realnog parametra p nejednakost
21
22
2
<+−
−+
x
px x
va`i za svaki realni x ?
5. Odrediti ta~ku krive x y 82
= koja je na najkra}em odstojawu od
prave 4+= x y . Koliko iznosi to odstojawe?
6. Du`ina osnovice jednakokrakog trougla je 60cm, a polupre~nikupisanog kruga 15cm. Izra~unati povr{inu ovog trougla.
7. Na}i visinu trostrane jednakoivi~ne piramide zapremineV .
8. Zbir prvog i sedmog ~lana aritmeti~ke progresije je 2, a razlikaizme|u {estog i drugog ~lana je 8. Koliko ~lanova progresije trebasabrati da bi wihov zbir bio 16?
9. Re{iti sistem jedna~ina( )
2
3 2 576
4
x y
log y x
⎫⋅ = ⎪⎬
− = ⎪⎭.
10. U xOy -ravni za Rk ∈ skicirati linije odre|ene jedna~inama:
a) 1−= kx y , b) 12
=− y y x , v) 122
+++= k kx kx y .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 186/324
186
8. grupa 2000. god. (re{ewa)
1
.a)
7 3 1
1 : 2,7 2,7 :1,35 4,2 1 0,4 : 220 40 2
⎛ ⎞+ + − ⋅ =
⎜ ⎟⎝ ⎠
27 10 270 100 42 43 4 2 1 168 43 4
220 27 100 135 10 40 10 5 2 40 25
−⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
32
1
2
5
25
4
40
125
2
5=+=⋅+= .
b)( )
22
332
:3
ba
ba
a
b
b
a
ab
ba −⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−=
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 3a ab b ab a b a b
ab ab a b a ab b
− + + −= ⋅ ⋅ =
− + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
a ab b a b a ba b
a ab b a b
+ + − +
= = +
+ + −
, uz uslov da je 0, ≠≠ abba .
2. a) Kako je
( )⎩
⎨⎧
−<+−
−≥+=+
2,2
2,22
x x
x x x i
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<−−
≥−
=−
2
1,12
21,12
12
x x
x x
x ,
jedna~inu 1122 =−−+ x x }emo re{avati u svakom od tri
intervala:( ), 2−∞ − ,1
2,2
⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠
i1,
2
⎡ ⎞+∞ ⎟⎢⎣ ⎠
. Dakle,
1)
( )( ) ( )( )11222 =−−−+−∧−< x x x
( )⇔=−∧−∞−∈⇔ 042, x x
( ) 42, =∧−∞−∈⇔ x x x ⇔ ∈ ∅ ,
2) 11222
12 =−++∧<≤− x x x 0
2
1,2 =∧⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡−∈⇔ x x 0=⇔ x ,
3) 11222
1=+−+∧≥ x x x 2,
2
1=∧⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡∞∈⇔ x x 2=⇔ x .
Skup re{ewa jedna~ine je { }2,0 .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 187/324
187
b) Kako je ( ) x x x f 22
−= , to je ( )( ) ( ) ( ) x f x f x f f 22
−= , pa je
( ) ( ) 322
=− x f x f ( ) ( ) ⇔=−−⇔ 0322
x f x f
( ) ( )2
1242
2
1242 +−=∨
++=⇔ x f x f
( ) ( ) ⇔−=∨=⇔ 13 x f x f
⇔=+−∨=−−⇔ 01203222 x x x x
( ) 012
1242
2
1242 2=−∨⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=∨
++=⇔ x x x
113 =∨−=∨=⇔ x x x
Skup re{ewa jedna~ine ( )( ) 3= x f f je { }3,1,1− .
3. 2 25 4 4sin x sin xcos x cos x − − = ⇒
⇒ ( )2 2 2 25 4 4sin x sin x cos x cos x sin x cos x − − = + ⇒
2 24 5 0sin x sin xcos x cos x ⇒ − − = 054
2=−−⇒ tgx x tg ⇒
4 16 20 4 16 20
2 2
tgx tgx + + − +
⇒ = ∨ = ⇒
15 −=∨=⇒ tgx tgx ⇒
Z ll x Z k k arctg x ∈+−=∨∈+=⇒ ,4
,5 π π
π .
4. Trinom 12
+− x x je pozitivan za svako R x ∈ , jer je 01 >=a i
041 <−= D , pa je
( )( )
222
2 2
2 422 0 2 4 0
1 1
x p x x px x p x
x x x x
− + + −+ −< ⇔ < ⇔ − + + − < ⇔
− + − +
( ) 0422
>++−⇔ x p x .
Da bi kvadratni trinom ( ) 422
++− x p x
bio pozitivan za svaki realni broj,
mora biti ( ) 01622
<−+= p D ,
odnosno 01242
<−+ p p , tj. ( )( )6 2 0 p p+ − < (sl. 60).
Sl. 60
6 2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 188/324
188
Re{ewa ove nejedna~ine su svi brojevi iz intervala ( )2,6− .
5.
Tra`ena ta~ka je dodirnata~ka parabole x y 8
2= i
tangente te parabole kojaje paralelna datoj pravoj l
(sl. 61).
14: =⇒+= lk x yl
1: =⇒+= k nkx yt
Uslov dodira parabole
px y 22
= i prave nkx y +=je kn p 2= .
Sl. 61 Dakle, 212
4
2=
⋅==
k
pn .
Jedna~ina tangente je 2+= x y .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=
+=
x y
x y
8
2
2dobijaju se koordinate 2= x , 4= y
dodirne ta~ke P. Rastojawe ta~ke ( )4,2P od prave : 4 0l x y− + = je,
prema formuli za rastojawe ta~ke od prave,
( )
( )22
1 2 1 4 4 2 4 4 22
1 1 21 1
d ⋅ + − ⋅ + − +
= = = =++ −
.
6. Kako je, prema slici 62,2
1
30
15
2
2===
a
r tg
α ,
to je prema formuli za tangens
dvostrukog ugla3
4
4
11
2
12
21
22
2
=
−
⋅
=
−
=α
α
α
tg
tgtg .
h
r
b
a
2α
Sl. 62
p d
0
y
x
P
2
2
4
2− 4−
lt
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 189/324
189
Iz
2
htg
aα = sledi da je 40h cm= , pa je 2
12002
4060
2cm
ahP =
⋅==
Δ.
II na~inNeka je AB=a osnovica, AC=BC=b krak i CD=h visina koja
odgovara osnovici (sl. 63) i neka je O centar upisanog kruga.Izsli~nosti trouglova OCE i BCD sledi da je
2::
ahr x = , odnosno
3015
30 hb=
−, pa je ( ) hb =− 302 .
Povr{inu trougla ABC izra~una}emo na dva na~ina:
( ) 15 602 15 450 152 2 2ra br I P b bΔ
⋅= + = + ⋅ = +
( )( )
( )30602
30260
2−=
−⋅==
Δb
bahP II
Re{avawem jedna~ine ( )306015450 −=+ bb
dobijamo da je45 2250b = , odnosno 50b cm= ,
pa je 2450 15 50 1200P cm .
Δ= + ⋅ =
7. Neka je a ivica date piramide (sl. 64). Kako je3
2
ah = i
2
2 2 1
3 H h h
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠, to je
3
2
4
3
9
8
9
822
22 aah H =⋅== , odnosno
2.
3
a H =
Na osnovu formule za zapreminu piramide dobijamo da je
32
12
2
3
2
4
3
3
1
3
1a
aa BH V =⋅== , iz ~ega sledi da je
2
123 V a = , tj.
33 26
2
12V
V a == .
Sada se mo`e izrazitivisina H prekozapremine V :
O
C
B
h
r
r
b
a
2α
E
30
30
Sl. 63
a a
a
h H a
a a
h 3
1
H h
Sl. 64
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 190/324
190
333
32
33
2426
3
2
3
2 V V V
a H ==⋅==
.
8. Prema uslovu zadatka va`i:
⎭⎬⎫
=
−=⇒
⎭⎬⎫
=
=+⇒
⎭⎬⎫
=−−+
=++⇒
⎭⎬⎫
=−
=+
2
5
84
262
85
26
8
211
11
11
26
71
d
a
d
d a
d ad a
d aa
aa
aa.
Kako je zbir prvih n ~lanova aritmeti~ke progresije
( )12 1
2
n
nS a n d ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ , n N ∈ ,
to je ( )16 10 1 22
nn⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ , iz ~ega sledi da je 2
6 16 0n n− − = ,
odnosno 8n = ili 2n = − . Dakle, treba sabrati osam ~lanova dateprogresije da bi wihov zbir bio 16.
9. Zadatak ima smisla ako je 0 y x − > . Tada je
( ) ( )
4
4
2
3 2 5763 2 576 3 2 576
4 42
x y x y x x
log y x y x y x
+⎫⋅ =
⎫⋅ = ⎫⋅ =⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬− = = + ⎪− = ⎭⎪ ⎪⎭ ⎭
43 2 2 576
4
x x
y x
⎫⋅ ⋅ = ⎪⇒ ⎬
= + ⎪⎭ ⎭⎬⎫
=
=⇒
⎭⎬⎫
+=
=⇒
⎭⎬⎫
+=
=⋅⇒
6
2
4
366
4
576166
y
x
x y x y
x x
.
10.a) Grafici funkcija 1 y kx , k R= − ∈su prave ravni xOy koje prolaze kroz
ta~ku ( )0, 1 A − , pri ~emu y-osa ne
pripada ovom pramenu pravih (sl. 65).
k > 0
k = 0
k < 0y
x
0
1−
A
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 191/324
191
b) Kako je, 0
, 0
y y y
y y
≥⎧= ⎨
− <⎩, to je
12
=− y y x 2 20 1 0 y x y y∧ ≥ ⇔ − = ∧ ≥ , i
12
=− y y x 2 20 1 0 y x y y∧ < ⇔ + = ∧ < .
Odgovaraju}a linija je prikazana na slici 66.
v) Jedna~inu 22 1 y kx kx k , k R= + + + ∈ napi{imo u obliku
( ) 11
2++=
x k y .Grafici ovih linija su parabole koje imaju teme u ta~ki ( )1,1T − ,
kada je 0k ≠ , a za 0k = , to je prava 1 y = (sl. 67).
Sl. 66
1 x
y
01−
1−
Sl. 67
x
1
1− 0
y
k = 0
k > 0
k < 0
T
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 192/324
192
9. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati ( )
22
112 322
2 9 81 3log−−
−
− + − + .
b) Uprostiti( )
22
332
:3ba
ba
b
a
a
b
ab
ba +⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +− .
2. Re{iti jedna~ine:
a) 1213 =−−− x x , b)2
14
1
132
−=
++++
x
x x x
.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 22cos x sin x cos x + = .
4. Re{iti nejedna~inu12
2
1
1
−>
+ x
x
x .
5. Odrediti ta~ku krive 3222
=+ y x koja je na najkra}em odstojawu
od prave 042 =+− y x .
6. Kroz proizvoqnu ta~ku u datom trouglu povu~ene su prave para-lelne stranicama i tako dobijena tri mawa trougla ~ije su povr-
{ine P1, P2 i P3. Kolika je povr{ina datog trougla?
7. U pravu kru`nu kupu sa polupre~nikom osnove 4r cm= i visinom
6 H cm= upisan je vaqak maksimalne zapremine. Izra~unati tu za-
preminu.
8. Tre}i ~lan aritmeti~ke progresije je 9, a razlika izme|u sedmog idrugog ~lana je 20. Koliko ~lanova progresije treba sabrati da biwihova suma bila 91?
9. Re{iti sistem jedna~ina⎭⎬⎫
=++
=++
84
1422
y xy x
y xy x .
10. U xOy-ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:
a) ( ) ( ) 012
≤+−⋅+ x y y x , b) ( ) ( )1 0 y ln x x − ⋅ − ≥ ,
v) ( ) ( ) 0122
≤+⋅−+ x y y x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 193/324
193
9. grupa 2000. god. (re{ewa)
1. a) ( )
2
32
11 12 2322 41
2 9 81 3 2 81 39
loglog−− −−
− + − + = − + − + =
= ( )1
4 41 1 12 3 2 2 2 4
3 3 3
−
+ − + = + − + = .
b)( ) ( )
23 3
2 23 :
a b b a a bab a b a b
⎛ ⎞+ +− ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=2 2 2 2 2 2
3 3
3 2ab a ab b b a a bab ab a b
− − − −⋅ ⋅ =
+
( )( )( )
( )( )
2 2
2 2
a ab b b a b aa b
a b a ab b
− − + − += = −
+ − +, uz uslov baab −≠≠ ,0 .
2. a) Kako je
( )
13 1,
33 1
13 1 ,
3
x x
x
x x
⎧− ≥⎪⎪
− = ⎨⎪− − <⎪⎩
, i( )
2 , 22
2 , 2
x x x
x x
− ≤⎧⎪− = ⎨
− − >⎪⎩,
jedna~inu 1213 =−−− x x }emo re{avati posebno u slede}im
intervalima:1,3
⎛ ⎞−∞⎜ ⎟
⎝ ⎠,1,2
3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
i ( )2,+∞ .
I) ( ) 1223
11213
3
1−=⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=∧<⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+−+−∧< x x x x x x
II) ( ) 14423
1
121323
1
=⇔⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=∧≤≤⇔⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=+−−∧≤≤ x x x x x x
III) ( )( )[ ] [ ] ∅∈⇔=∧>⇔=+−−−∧> x x x x x x 02212132
Prema tome, skup re{ewa date jedna~ine je { 1,1− .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 194/324
194
b) Kako zbir ~lanova beskona~ne geometrijske progresije postoji
samo za 1q < , a kvadratni koren postoji za nenegativne brojeve, to
}e, s obzirom na to da leva strana ne mo`e biti 0 , jedna~ina
2
14
1
132
−=
++++
x
x x x
imati smisla za 014 >− x i 1< x , tj.
za1
14
x < < . Kako je q x = pozitivno, to }e biti1
1S
x ∞
=−
, pa va`i:
( ) 14142
14
1
1
1
2
14
.....1
1 2
32−=−⇒
−=
−
⇒−
=++++
x x x
x
x
x x x
21
2505124 2
=∨=⇒=+−⇒ x x x x .
Prema uslovu zadatka, re{ewe jedna~ine je samo2
1= x .
3. 22cos x sin x cos x + =
2 2 2cos x sin x sin x cos x ⇔ − + =
20cos x cos x ⇔ − =
( )1 0cos x cos x ⇔ − =
0 1cos x cos x ⇔ = ∨ =
Z ll x Z k k x ∈π=∨∈π+π
=⇔ ,2,2
.
4. Nejedna~ina12
2
1
1
−>
+ x
x
x ima smisla za 1−≠ x i
2
1≠ x .
( ) ( )
21 2 1 2 2 1
0 0
1 2 1 1 2 1 1 2 1
x x x
x x x x x x
− −> ⇒ − > ⇒ > ⇒
+ − + − + −
( )( ) ( )
22 1
01 2 1
x
x x
− +⇒ > ⇒
+ −( ) ( )
11 2 1 0 1,
2 x x x
⎛ ⎞+ − < ⇒ ∈ −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
5. Tra`ena ta~ka je dodirna ta~ka elipse 3222
=+ y x i wene
tangente koja je paralelna datoj pravoj : p 042 =+− y x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 195/324
195
Koeficijent pravca tangente jednak je koeficijentu pravca prave
p . Eksplicitni oblik jedna~ine prave p je 2 4 y x = + , iz ~ega
sledi da je 2 pk = , pa je i 2t k = . Iz kanonskog oblika jedna~ine
elipse 13
2
3:
22
=+y x
e nalazimo da je 2 3
2a = i 2
3b = , pa iz uslova
dodira 2222 bk an += prave nkx y += i elipse 12
2
2
2
=+b
y
a
x , gde je
2=k , dobijamo da je 92
=n . Jedna~ine tangenti su:
32:1 += x yt i 32:2 −= x yt .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−
=+
32
3222
y x
y x i
⎭⎬⎫
−=−
−=+
32
3222
y x
y x dobijamo
dodirne ta~ke ( )1,11 −P i ( )1,12 −P . Rastojawa ovih ta~aka do prave
: p 042 =+− y x su:
( )( )
5
1
14
4112
,1 =+
+−−⋅
= pPd i ( ) 5
7
14
4112
,2 =+
++⋅
= pPd .
Dakle, ta~ka ( )1,11 −P je ta~ka elipse koja je najbli`a datoj pravoj p
6.
B
1 A
2 A
1 B
2 B
1C
2C
Sl. 68
C
A
M
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 196/324
196
Trouglovi21 B MB ,
21 MA A i M C C 12su sli~ni trouglu ABC (sl. 68),
jer su im svi odgovaraju}i uglovi jednaki kao uglovi sa paralelnim
kracima. Ako je CB a= , 2 1 B M a= , 2 1 2 A A a= i 1 3 A B a= , prema
uslovu zadatka sledi da je aaaa =++ 321.
Povr{ine sli~nih trouglova se odnose kao kvadrati odgovaraju}ihstranica, pa je
2 2
1 1 1 11 12 2
P a P a aP P P
P a a a
⋅= ⇒ = ⇒ = (1)
2 2
2 2 2 22 22 2
P a P a aP P P
P a a a
⋅= ⇒ = ⇒ = (2)
2 2
3 3 3 3
2 23 3
P a P a aP P P
P aa a
⋅= ⇒ = ⇒ = (3)
Iz (1), (2) i (3) se dobija da je ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=++
a
aaaPPPP 321
321,
iz ~ega sledi da je ( )2321 PPPP ++= .
7. Neka je 1 H visina vaqka upisanog u kupu (sl. 69). Prema uslovu
zadatka, visina kupe je 6 H cm= , a polupre~nik osnove kupe je
4 .r cm= Na osnovu sli~nosti trouglova osen~enih na slici 69,
sledi da je4
624
4
61
1
1
1
1
1 r H
r
H
r
H −=⇒
−=
−. Zapremina vaqka je
funkcija od 1r , tj. ( )1r f V = i
2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
3 36 62 2
vV B H r H r r r r π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Iz ( ) 21 1 1
912
2 f r r r π π ′ = − + i ( )1 1 1
80 0
3 f r r r ′ = ⇔ = ∨ =
sledi da funkcija f prima svoju maksimalnu vrednost za 1
8
3r = ,
pa je 364 1282
9 9max V cm
π π = ⋅ ⋅ = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 197/324
197
8. Zbir prvih n ~lanova aritmeti~ke progresije izra~unava se po
formuli ( )[ ]d nan
S n 122
1 −+= , n N ∈ . Kako je po uslovu zadatka
⎭
⎬⎫
=
=⇒
⎭
⎬⎫
=+
=⇒
⎭
⎬⎫
=+
=−−+⇒
⎭
⎬⎫
=
=−
1
4
92
205
92
206
9
20
111
11
3
27
a
d
d a
d
d a
d ad a
a
aa,
to je ( )91 2 1 1 42
nn⎡ ⎤= ⋅ + −⎣ ⎦ , odnosno 2
2 91 0n n− − = . Re{ewa
jedna~ine su 7n = ili27
4n = − . Dakle, treba uzeti 7 ~lanova
progresije da bi wihov zbir bio 91.
9. Sistem ima smisla za 0≥ xy . Kako je ( )
2 2 2 214 14 2 14 2 14 2 x y x y x y xy− − = + + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
2 2196 28 28 2 x y x y xy= + + − − + ,
to je ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
+−−++=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
−−=
84
22828196
84
14
22
22
22 y xy x
xy y x y x xy
y xy x
y x xy
Sl. 69
16 H −
r
14 r −
1r
1 H
H
r
s
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 198/324
198
( ) ( )2 2
2 22 2
28 196 8428 196
8484
x y x xy y x y
x xy y x xy y
⎫ ⎫+ = ++ + = + − ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬
+ + =+ + = ⎪⎪ ⎭⎭
2 2
10
84
x y
x xy y
+ = ⎫⎪⇒ ⇒⎬
+ + = ⎪⎭ ( ) ( )2 2
10
10 10 84
x y
y y y y
= − ⎫⎪⇒⎬
− + + − = ⎪⎭
2
10.
10 16 0
x y
y y
= − ⎫⎪⎬
⇒ − + = ⎪⎭
Re{avawem druge jedna~ine sistema dobijamo da je 8= y ili 2= y .
Skup re{ewa sistema je ( ) ( ){ }8,2,2,8 .
II na~in:
Kako je ( )22 2 x xy y x y xy+ + = + − , to }e dati sistem biti
ekvivalentan sistemu:
( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
=−+
=++
84
14
2
xy y x
xy y x . Uvo’|ewem smene
ya += , xyb = dobija se da je
( )( )2 2
1414 14 10
84 6 484
a ba b a b a
a b a b a b ba b
+ =+ = ⎫⎫ + = =⎫ ⎫⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬ ⎬
− + = − = =− = ⎪ ⎪ ⎭ ⎭⎭ ⎭.
Prelaskom na stare promenqive , jednostavno se dolazi do re{ewa
sistema.
10.a) ( )( )21 0 x y y x + − + ≤ ⇔
( ) ( )01001022
≤+−∧≥+∨≥+−∧≤+⇔ x y y x x y y x
( ) ( )1122
−≤∧−≥∨−≥∧−≤⇔ x y x y x y x y .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 199/324
199
Presek skupova prikazanih na slikama 70 i 71 predstavqen je naslici 72.
Presek skupova prikazanih na slikama 73 i 74 predstavqen je naslici 75.
- 1
10
2 1 y x y x ≤ − ∧ ≥ −
Sl. 72
10
-1
1 y x ≥ −
Sl. 71
1 y x = −
0 1
-1
-1
2 y x ≥ −
Sl. 73
-1
0 1
Sl. 70
2 y x =
2 y x ≤ −
0 1
-1
1 y x ≤ −
Sl. 74
0 1
-1
21 y x y x ≥ − ∧ ≤ −
Sl. 75
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 200/324
200
Sl. 76Unija skupova prikazanih na slikama 72 i 75 ,tj. kona~no re{ewe,prikazano je na slici 76.b)
( )( )1 0 y ln x x − − ≥ ( ) ( )0 1 0 0 1 0 y ln x x y ln x x ⇔ − ≥ ∧ − ≥ ∨ − ≤ ∧ − ≤
( ) ( )1 1 y ln x x y ln x x ⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤
Presek skupova prikazanih na slikama 77 i 78 predstavqen je na
slici 79.
0 1
-1
( ) ( )2 2
1 1 y x y x y x y x ≤ − ∧ ≥ − ∨ ≥ − ∧ ≤ −
0
1
1 e
Sl. 79
1 y ln x x ≥ ∧ ≥
10
1
e
Sl. 80
1 x ≤
0 1 e
1
Sl. 81
y ln x ≤
0 1 e
1
Sl. 82
1 y ln x x ≤ ∧ ≤
y ln x ≥
0
1
1 e
Sl. 77
y ln x =
10
1
e
Sl. 78
1 x ≥
1 x
=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 201/324
201
Presek skupova prikazanih na slikama 80 i 81 predstavqen je naslici 82.
Unija skupova prikazanih na slikama 79 i 82 predstavqena je naslici 83, {to je i kona~no re{ewe zadatka.
v)
( )( )2 21 0 x y y x + − + ≤ ⇔
( ) ( )0010012222
≤+∧≥−+∨≥+∧≤−+⇔ x y y x x y y x
( ) ( ) x y y x x y y x −≤∧≥+∨−≥∧≤+⇔ 112222
Presek skupova prikazanih na slikama 84 i 85 predstavqen je naslici 86.
0
1
1 e
Sl. 83
( ) ( )1 1 y ln x x y ln x x ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤
0
1
1
Sl. 84
2 21 x y+ ≤
2 21 x y+ =
0 1
1
Sl. 85
y x ≥ −
y x = y x = −
0 1
1
Sl. 86
2 21 y y x + ≤ ∧ ≥ −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 202/324
202
Presek skupova prikazanih na slikama 87 i 88 predstavqen je naslici 89.
Unija skupova prikazanih na slikama 86 i 89 predstavqena je naslici 90, {to je i kona~no re{ewe zadatka.
0
1
-1
Sl. 87
2 21 x y+ ≥
0 1
-1
Sl. 88
y x ≤ −
0 1
-1
Sl. 89
2 21 y y x + ≥ ∧ ≤ −
0 1
-1
0
Sl. 90
( ) ( )2 2 2 21 1 x y y x x y y x + ≤ ∧ ≥ − ∨ + ≥ ∧ ≤ −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 203/324
166
(sl. 31) dobija se da je Z k k x ∈+= ,23
π π
ili Z ll x ∈+−= ,23
π π
.
9. Koristi}emo identitet ( ) 22222442 y x y x y x −+=+ .
⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
=++
37
481
22
4224
y xy x
y y x x ⇒
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
=−+
37
481
22
22222
xy y x
y x y x ⇒
( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=+
=−−
xy y x
y x xy
37
48137
22
222
⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=+
=−+−
xy y x
y x y x xy
37
481741369
22
2222
⇒
⇒ ⎭⎬⎫
=+
=
25
12
22 y x
xy⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−+
=
025144
12
24 x x
x y
⇒
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=+−
x y
x x
12
014425222
.
Iz prve jedna~ine, uvo|ewem smene t x =2 , dobijamo se jedna~ina
014425
2=+−
t t ~ija su re{ewa 161=
t i 92=
t , odakle sledi da je
{ }3,3,4,4 −−∈ x . Kako je x
y12
= , to }e skup re{ewa datog sistema biti
( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3,4,3,3,4,3,4 −−−− .
10. a) Kako je⎩⎨⎧
<−
≥=
0,
0,
x x
x x x , to je
x x y −= 2 ( )12 −=−= x x x x , za 0≥ x , i
x x y −=2 ( ) ( )1
22+=+=−−= x x x x x x ,
za 0< x . Grafik je prikazan na slici 32.
Sl. 32
-1 10
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 204/324
203
10. grupa 2000. god.
1. a) Izra~unati 2% broja
1
21
1
3 1 7 12: :7 2 2 3 18
−
−⎛ ⎞⎜ ⎟
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
b) Uprostiti⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
+
++ 1
11:
1
1
1
1
a
a
aaaa.
2. Re{iti jedna~ine:
a) …121212,011
6= x , b)
( )2
1
33 2log x x − +
= .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 6 5 1cos x cos x cos x − + = .
4. Za koje vrednosti parametra Ra ∈ realni koreni x 1 i x 2 jedna~ine
012
=++ ax x zadovoqavaju uslov 71
2
2
1<+
x
x
x
x .
5. Odrediti ta~ku krive 3222
=+ y x koja je najvi{e udaqena od
prave 42 +−= x y .
6. Tri kruga polupre~nika r me|usobno se dodiruju u ta~kama M , N i
P. Izra~unati povr{inu krivolinijskog trogula MNP.
7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe upisane u jednakoivi~nu~etvorostranu piramidu du`ine ivice 2 cm .
8. Zbir prva tri ~lana aritmeti~ke progresije je 18, a zbir slede}atri ~lana je 0. Odrediti zbir prvih dvadeset ~lanova te progresije.
9. Date su realne funkcije:
( ) x x f =1 , ( ) x
x x f 2
2 = , ( ) x x x f
2
3= , ( ) 2
4 2log x f x = i 2
5 )( x x f = .
Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih, a zatim skici-rati grafik funkcije ( ) ( ) ( ) x f x f x f 13 −= .
10. Odrediti sve prirodne brojeve koji su deqivi brojem 8, ~iji jezbir cifara jednak 7, a proizvod cifara jednak 6.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 205/324
204
10. grupa 2000. god. (re{ewa)
1.a)2
12418
6
1
7
22
7
3
18
1:
3
2
1
2
7:
2
1
7
3 11
2
12
12
1
1
==
=
⋅+⋅+=
+
+
−
−−
−
−
.
01,0100
1
100
2
2
1==⋅ .
b) Zadatak ima smisla za 0101,0 >−∧>+> aaa tj. za 1>a .
=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛
−++⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
−−+
++ 111:
11
11
aa
aaaa
( ) ( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−++
+−
+−=
1
11:
1
1
1
1
a
aa
aa
aa
aa
aa=
( ) 111
111 −=
++−
−⋅−++−+= a
aa
aaaaa .
2. a) ...121212,011
6= x ...1212,12
11
600=⇔ x ...1212,012
11
600+=⇔ x ⇔
600 612
11 11 x x ⇔ = + 12
11
6
11
600=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⇔ x 12
11
594=⇔ x
594
1112 ⋅=⇔ x
9
2=⇔ x .
II na~in
...10
12
10
12
10
12
11
6642
+++= x
Na desnoj strani jedna~ine je beskona~na geometrijska progresija, za
koju je:1 2 2
12 11
10 10a , q= = < i
21
2
12
1011
110
aS
q∞
= =−
−
, pa je
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 206/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 207/324
206
2,
5 x l l Z π = ∈ (naime, za 5 ,l k k Z = ∈ dobijaju se svi brojevi iz skupa
2 , x s s Z π = ∈ ).
4. Koreni1
x i2
x kvadratne jedna~ine 012
=++ ax x su realni, ako
je 01142
≥⋅⋅−= a D tj. ako je ( )( )2 2 0a a− + ≥ , odnosno
( ] [ )∞∪−∞−∈ ,22,a (sl. 91).
Prema Vietovim formulama je a x x −=+ 21 i 121 = x x .
Kako je 71
2
2
1<+
x
x
x
x ( )7
2
21
21
2
21<
−+⇔
x x
x x x x , to je
22 1
71
a − ⋅< , odnosno 2
9 0a − < , tj.( ) ( )3 3 0a a− + < ,
pa je ( )3,3a ∈ − (sl. 92).
Dakle, ( ] [ )( ) ( )3,3,22, −∩∞∪−∞−∈a , odnosno, ( ] [ )3,22,3 ∪−−∈a .
5. Videti 5. zadatak 9. grupe 2000. godine.
Re{ewe: :1t 32 +−= x y , ( )1,11P , ( )5
1,11 = pPd
:2t 32−−=
x y , ( )1,12−−
P , ( ) 5
7
,22=
pPd
Najudaqenija ta~ka elipse od date prave je ta~ka ( )1,12−−P .
6. Centri krugova su temena jednakostrani~nog trougla stranice
r 2 (sl. 93). Povr{inu krivolinijskog trougla MNP dobijamo kada
od povr{ine trougla 1 2 3O O O oduzmemo povr{ine podudarnih
kru`nih ise~aka 1O MN , 2O NP i 3O PM . Prema tome,
-2 2
Sl. 91
-3 3
Sl. 92
2−3− 320
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 208/324
207
=−= MN OOOO MNP PPP1321
3( )
2 22 3 603
4 360
r r π ⋅ ⋅− ⋅ =
2 2
4 34 2
r r π ⋅= − =
=2
23
2
r r
π − = ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
23
2 π r .
7. Baza piramide je kvadrat stranice 2a cm= , a baza upisane kupe je
krug upisan u taj kvadrat, pa je polupre~nik 12
ar cm= = (sl. 96).
Visina piramide H i visina kupe se poklapaju. Kako je piramida jednakoivi~na, wene bo~ne ivice su jednake osnovnim. Iz pravouglogtrougla (sl. 94 i sl. 95) ~ija je jedna kateta visina piramide, drugakateta polovina dijagonale baze i hipotenuza bo~na ivicapiramide, na osnovu Pitagorine teoreme, nalazimo da je
2
22
2
2⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
aa H , tj.
2
22 a
H = , odnosno2
22
a H = = . Visina h
bo~ne strane piramide je izvodnicas kupe ,pa, kako je bo~na strana
jednakostrani~ni trougao, to je3 2 3
32 2
ah = = = . Sada mo`emo
da izra~unamo povr{inu i zapreminu kupe:2 2 B r cmπ π = = ; 2
1 3 3 M r s cmπ π π = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
( ) 21 3P B M cmπ = + = + , 31 1
23 3
V BH cmπ = = ⋅ ⋅ .
Sl. 95
H a
a 2
2
Sl. 94
H
a
a
a
h a
r
h
Sl. 96
a
r O
a 2
2
a
Sl. 93
3O
M
1O2O
P
N
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 209/324
208
8. Neka je 1a prvi ~lan , a d razlika date aritmeti~ke progresije.
Prema uslovu zadatka je
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 11 2 3
4 5 6 1 1 1
2 1818
0 3 4 5 0
a a d a d a a a
a a a a d a d a d
⎫+ + + + = −+ + = − ⎫ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬
+ + = + + + + + =⎭ ⎪⎭
⇒ 1 1 1
1
3 3 18 3 3 18 8
3 12 0 9 18 2
a d a d a
a d d d
+ = − + = − = −⎫ ⎫ ⎫⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬
+ = = =⎭ ⎭
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 210/324
209
( ) 2
42
log x f x x = = , 0> x .
Grafik funkcije 4 f prikazan na slici 100.
( ) x x x f ==2
5, R x ∈ .
Grafik funkcije 5 f prikazan na slici 101.
Me|u datim funkcijama nema jednakih.
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
<−
>=−=
0 ,2
0 0, 13
x x
x x f x f x f .
Grafik funkcije f dat je na slici 102.
10. Posledwa cifra tra`enog prirodnog broja n mora biti parna, jer je k n ⋅= 8 , N k ∈ paran broj.Posledwa cifra ne mo`e biti 8, jer je zbir cifara 7, a ne mo`ebiti ni 0, jer je proizvod cifara 6.Jedine mogu}nosti su: 16, 1132, 1312 i 3112.Kako 1132 nije deqiv sa 8, re{ewe zadatka su brojevi : 16, 1312 i3112.
0
Sl. 100
0
Sl. 101
2
-1 0
Sl. 102
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 211/324
210
1. grupa 2001. god.
1. Izra~unati:
a)1
2,0:5
2
2
1
2
110:25,5
2
17:
4
33
−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −+− , b) ( )
4log21
32
22
1
2482 +−+−−−
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)2
37
3
25
5
32 x x x −=
−+
+, b)
( )2
1
31
36
log x x +
= ⋅
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu:3
4=+ ctgx tgx .
4. Re{iti nejedna~inu ( )0 2
2 123
15
,
x log
x −
+
> .
5. Na krivoj 92 22=+ y x odrediti ta~ku najbli`u pravoj
0104 =−− y x .
6. Izra~unati povr{inu paralelograma ~iji je obim cm20 , o{tar
ugao
30 , a visine se odnose kao 3:2 .
7. Visina H i izvodnica s prave kupe odnose se kao 5:3 , a wena
zapremina je 3128 cmπ . Izra~unati povr{inu kupe.
8. Re{iti jedna~inu 2 3 13
sin x sin x sin x ...− + − = .
9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih re-
{ewa jedna~ine k x x =−23 3 .
10. Izra~unati grani~ne vrednosti:
a)3
1
1 31 1 x
lim x x →
⎛ ⎞−⎜ ⎟
− −⎝ ⎠, b)
5
1 25 x
x lim
x →
− −
−, v)
30 x
tgx sin x lim
x →
−⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 212/324
211
1. grupa 2001. god. (re{ewa)
1. a)
13 1 1 1 2
3 : 7 5,25 :10 : 0,24 2 2 2 5
−
⎛ ⎞⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
115 15 21 21 1 2
: : :4 2 4 2 10 10
−
⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
22
1
2
1
2
1
2
10
10
1
21
2
4
21
15
2
4
1511
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅−⋅=
−−
b) ( ) ( ) ( )( )
2
1 1
2 2
12 12 1 42 23 23 23 22 8 4 2 2 2 2 2log log
−
− −− −
− + − + = − + − + =
2
4
1
2
1
4
122222 212
=+−+=+−+=−−−
2.a) Pomno`imo levu i desnu stranu jedna~ine sa ( )2,3,5 NZS = 30 .
( ) ( ) ( ) x x x x x x
371525103262
37
3
25
5
32−=−++⇔
−=
−+
+
x x x 4510520501812 −=−++⇔
0107107 =−⇔ x 1=⇔ x .
b) Jedna~ina ima smisla za 0≠ x . Tada je
( )
( )( )2
12
31
3
11 1 1
36 3 6
log x x log x x
+−+ ⎛ ⎞
= ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )
12
1
31 13 6
log x x −
+
⇔ =
611
2=
+⇔
x x
.
.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 213/324
212
( )( ) ( )
22
2
032
32
06
066
2
22
−=∨=⇔
⊥∨=⇔
>∧=∧−=∨=∧=⇔
=∧−=∨=⇔
=∧=−+⇔
=−+⇔=+⇔
x x
x
x x t t x t t
x t t t
x t t t
x x x x
3.Jedna~ina ima smisla za Z ll x Z k k x ∈+≠∧∈≠ ,2
, π
π
π .Tada je:
3
4=+ ctgx tgx
3
41=+⇔
tgx tgx
03
412
=−+⇔ tgx x tg
013
42=+−∧=⇔ t t t tgx
0343 2=+−∧=⇔ t t t tgx
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =∨=∧=⇔
3
33 t t t tgx
3
33 =∨=⇔ tgx tgx
.,6
,3
Z ss x Z ll x ∈+=∨∈+=⇔ π π
π π
4. Nejedna~ina ima smisla za 02
12>
+
−
x
x , odnosno za
( )( )2 1 2 0 x x − + > ,
tj. za ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞∪−∞−∈ ,
2
12, x , (sl. 103).
.
-2 1/2
Sl. 103
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 214/324
213
( ) ( ) ( )0 2 0 2
2 1 2 10
2 23 3 31
5 5 5
, ,
x x log log
x x − −
+ +
> ⇒ > (osnova eksponencijalne
funkcije je
iz intervala ( )0,1 )
0 2
2 10
2 ,
x log
x −
⇒ <+
(osnova logaritamske funkcije
je iz intervala ( )0,1 )
12
12>
+
−⇒
x
x
012
12>−
+
−⇒
x
x
02
3>
+
−⇒
x
x
( )( ) 023 >+−⇒ x x
( ) ( )∞∪−∞−∈⇒ ,32, x .Re{ewe nejedna~ine je presek skupova
( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞∪−∞− ,
2
12, i ( ) ( )∞∪−∞− ,32, .
Dakle, skup re{ewa date nejedna~ine je skup ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞ .
5. Kanonski oblik elipse 92 22=+ y x je 1
2
99
22
=+y x
. Dodirna ta~ka
elipse i wene tangente, paralelne datoj pravoj bi}e tra`ena ta~ka.
Data prava 0104 =−− y x ima koeficijent pravca4
1= pk . Tangenta
je paralelna sa pravom p , pa je4
1=t k . Uslov dodira prave
nkx y += i elipse 12
2
2
2
=+b
y
a
x je 2222 nbk a =+ . Dakle,
0 3-22
1
Sl. 104
-2 3
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 215/324
214
2
2
9
16
19 n=+⋅ , pa je
4
9=n ili
4
9−=n . Jedna~ine tangenti elipse,
paralelnih datoj pravoj su:
4
9
4
1:1 += x yt
ili 094 =+− y x
4
9
4
1:2 −= x yt ili 094 =−− y x .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=+−
=+
094
92 22
y x
y x i
⎭⎬⎫
=−−
=+
094
92 22
y x
y x dobijaju se
dodirne ta~ke ( )1
1 2P ,− i ( )2
1 2P ,− , a na osnovu formula za pastojawe
ta~ke od prave sledi da je
( )17
19
161
1081,1 =
+
−−−= pPd i ( ) .
17
1
161
1081,2 =
+
−+= pPd
Ta~ka ( )2,12 −P date elipse je najbli`a pravoj p .
6. Kako je baO 22 += , to je ( ) 202 =+ ba , pa je 10=+ ba .
Iz 2
130sin ⋅=⇒= bhb
ha
a
i 2
160cos ⋅=⇒= aha
hb
b
, (sl. 105)
dobija se da je 3:2:2
:2
: === abab
hh ba ili ab 23 = .
Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−
=+
032
10
ba
badobija se da je 6=a i 4=b , pa je
2ah = i 3bh = .
Povr{ina paraleloggrama je :
.12 2cmhbhaP ba =⋅=⋅=
b
b
a
a
ah
bh
3060
Sl. 105
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 216/324
215
7. Kako je 5:3: =s H , to je5
3s H =
pa
}e na osnovu Pitagorine teoreme biti
222 H sr −= , odnosno
25
9 222 s
sr −= ,
tj. 25
1622⋅= sr . Iz formule za zapreminu
kupe H r V π 2
3
1= , prema datim podacima
dobija se da je H r 2
3
1128 π π = , odnosno H r 21283 =⋅ ,
tj.5
3
25
161283 2 s
s ⋅=⋅ ili125
16128
3s= , iz ~ega sledi da je 12583
⋅=s ,
tj. 10=s . Sada nalazimo da je 6= H i 8=r . Povr{ina kupe je
( ) 2144188 cmsr r M BP π π π =⋅⋅=+=+= .
8. Leva strana jedna~ine predstavqa zbir svih ~lanova
beskona~ne geometrijske progresije ( )na za koju je 1a sin x = i
q sin x = − . Ako je 1q sin x = − < , onda je taj zbir kona~an, pa }e na
osnovu formule 1
1
aS
q∞
=−
biti 2 3
1sin x
sin x sin x sin x sin x
− + − = ⋅+
Prema uslovu zadatka je1
1 3sin x
,sin x
=+
odakle
dobijamo da je
2
1sin = x , a re{ewa ove
jedna~ine (sl. 107) su svi brojevi oblika
Z k k x ∈+= ,26
π π
ili .,26
5 Z ll x ∈+= π
π
s
r
H
Sl. 106
1/2
10
Sl. 107
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 217/324
216
9.Analizira}emo krivu ( ) 23 3 x x x f −= .
1) R D f =
2) ( ) ( ) 030 2 =−⇔= x x x f
30 =∨=⇔ x x
3) ( ) ( )3 31
x x lim f x lim x
x →+∞ →+∞
= − = +∞
( ) ( )3 31
x x lim f x lim x
x →−∞ →−∞
= − = −∞
4) ( ) x x x f 63 2−=′
( ) ( ) 0230 =−⇔=′ x x x f
20 =∨=⇔ x x
Prvi izvod funkcije je pozitivan za ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,20, x , a
negativan za ( )2,0∈ x , pa je funkcija rastu}a u intervalima
( )0,∞− i ( )+∞,2 , a opadaju}a u intervalu ( ).2,0 (sl. 108)
5) ( ) 66 −=′′ x x f
( ) ( )0 6 0 0max
f f ′′ = − ⇒ =
( ) ( )2 6 2 4min
f f ′′ = ⇒ = −
Prava ( ) k x g = je paralelna sa x -osom.
Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa jedna~ine.
Sada je jasno (sl. 109) da jedna~ina k x x =−23 3 , Rk ∈ ima:
( )23
3 x x x f −=
-4
3 20
( ) k x g =
Sl. 109
( ) 23 3 x x x f −=
-4
3 20
Sl. 108
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 218/324
217
1) jedno re{ewe, ako je ( ) ( ), 4 0, ,k ∈ −∞ − ∪ ∞
2) dva re{ewa, ako je { }0,4−∈k ,
3) tri re{ewa, ako je ( )0,4−∈k .
10. a) 1− , (videti VII grupu iz 2000. god.)
b)( )( )
( )( )5 5
1 2 1 21 2
5 5 1 2 x x
x x x lim lim
x x x → →
− − − +− −= =
− − − +
( ) ( )5
1 4 1
45 1 2 x
x lim
x x →
− −= = ⋅
− − +
( )
( )
3 2 20 0 0
2
20 0
0 0 0
0
11
1в)
2 22 2 2
2 22 2
1 1 12 1 1 12 2 2
2
1
x x x
x x
x x x
x
sin x tgx sin x cos x sin x cos x
lim lim lim x x x x x cos x
x x x sin sin sin
sin x sin x lim lim
x x x x x cos x cos x
x sin
sin x lim lim lim
x x cos x
sin x lim
x
→ → →
→ →
→ → →
→
−− −
= = ⋅ =⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 219/324
218
2. grupa 2001. god.
1. a) Koje su od slede}ih jednakosti ta~ne:
( )i 1 1sin sin= , ( )ii ( ) 22 2 =− , ( )iii 162 22 =
−− ,
( )iv ( ) ( )2 3 6log log log− + − = , ( )v 12
arcsinπ
= ?
b) Izra~unati2
627627 ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
+−− .
2. Re{iti jedna~ine:
a)
2
43
4
2
3
45 −=
+−
− x x x , b) 53
22=+− x x .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 3 1sin x sin x = .
4. Re{iti nejedna~inu
123
2
1
4
1+−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x
.
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki )3,2( − A u odnosu na pravu
012 =−+ y x .
6. Oko kruga polupre~nika cm2 opisan je jednakokraki trapez
povr{ine 220 cm . Odrediti du`ine stranica trapeza.
7. Povr{ina omota~a prave pravilne trostrane piramide i
povr{ina wene osnove odnose se kao 1:3 . Odrediti kosinus
ugla pod kojim je strana piramide nagnuta prema osnovi.
8. Zbir prva 4 ~lana rastu}eg aritmeti~kog niza je 26, a proizvoddrugog i tre}eg ~lana je 40. O kojem nizu je re~?
9. Izra~unati2 4
5 5cos cos
π π + ⋅
10. Date su funkcije:
( ) x
x x f
2
1 = , ( ) 2
2 x x f = , ( )3
ln x f x e= , ( )
1
2
4−
−=
x
x x x f , ( )
1
5
1−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
x x f .
Ispitati da li me|u wima ima jednakih , a zatim skicirati
grafike za 51 f f + i 51 f f ⋅ .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 220/324
219
2. grupa 2001. god. (re{ewa)
1.a) (i) Data jednakost nije ta~na, jer2
1 1360 180
sin sin sin sinπ π
= = ≠ .
(ii) Jednakost ( ) 222
=− je ta~na, jer ( ) 2222
=−=− .
(iii) Jednakost 1622
2=
−−
nije ta~na, jer 1622244
1
2 2
=≠=−
−−
.
(iv) Jednakost 2 3 6log( ) log( ) log− + − = nije ta~na, jer izraz na
levoj strani nije definisan.
(v) Jednakost 12
arcsinπ
= je ta~na, jer je 1 12 2
sin arcsinπ π
= ⇔ = .
b) ( )2
7 2 6 7 2 6− − + =
( ) ( )2 2
7 2 6 2 7 2 6 7 2 6 7 2 6= − − − ⋅ + + + =
42521462764492627 =−=++⋅−−−= .
2.a) Ako se data jedna~ina pomno`i sa ( )2,4,3 NZS ,tj. sa 12 , dobija se:
( ) ( ) ( )43623454 −=+−− x x x 02418631620 =+−−−−⇔ x x x 02 =+−⇔ x
2=⇔ x .
b) 0503532222
≥−∧≥−∧=+− x x x x
53102532422
≤≤∧+−=−⇔ x x x x
5302811224
≤≤∧=+−⇔ x x x
5302811222
≤≤∧=∧=+−⇔ x x t t t
42=⇔ x
22 −=∨=⇔ x x .
3. ( )( )1
2 3 1 2 2 4 12
sin x sin x cos x cos x = ⇔ ⋅ − − =
2 4 1cos x cos x ⇔ − =
2 1 4cos x cos x ⇔ = +
22 2 2cos x cos x ⇔ =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 221/324
220
( ) 02cos212cos =−⇔ x x
2
12cos02cos =∨=⇔ x x
Z ll x Z k k x ∈+±=∨∈+=⇔ ,23
2,2
2 π π
π π
Z ll x Z k k x ∈+±=∨∈+=⇔ ,6
,24
π π π π
.
4.Uzimaju}i u obzir da je⎩⎨⎧
−<−−
−≥+=+
1,1
1,11
x x
x x x i da je osnova
eksponencijalne funkcije iz intervala ( )1,0 , pa je ona opadaju}a(sl. 111), sledi da je
123
2
1
4
1+−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x 146
2
1
2
1+−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⇔
x x
146 +≥−⇔ x x
( ) ( )11461146 −<∧−−≥−∨−≥∧+≥−⇔ x x x x x x
( ) ( )10371055 −<∧≥−∨−≥∧≥−⇔ x x x x
( )
−<∧≥∨−≥∧≥⇔ 1
7
311 x x x x
[ ) ∅∈∨∞∈⇔ x x ,1
[ )∞∈⇔ ,1 x .
5. Ta~ka B bi}e na pravoj n koja je normalna na datu pravu p ,
prolazi kroz ta~ku A , a presek prave p i prave n je sredi{te du`i
AB (sl. 112). Eksplicitni oblik prave p je2
1
2
1+−= x y , iz ~ega
se dobija da je2
1−= pk . Koeficijent pravca normale n na datu
0 1 21
Sl. 110
0
10 1a< <
x a
Sl. 111
10-1 -1
3/7
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 222/324
221
pravu je 21
=−=
p
nk
k . Kako prava n prolazi kroz ta~ku A ,
jedna~ina prave n bi}e ( )223−=+
x y ili 072=−−
y x .
Presek pravih p i n nalazimo re{avawem
sistema jedna~ina:
⇒⎭⎬⎫
=−−
=−+
072
012
y x
y x ⇒
⎭⎬⎫
=−−
=−+
055
012
y
y x
⎭⎬⎫
−=
=
1
3
y
x
Sredi{te du`i AB je ta~ka ( )1,3 −
S . Ako sa i y ozna~imokoordinate ta~ke B , bi}e prema formulama za sredi{te du`i:
32
2=
+ x i 1
2
3−=
+− y, iz ~ega sledi da je 4= x i 1= y .
Dakle, tra`ena ta~ka je ta~ka ( )1,4 B .
6. Videti 6. zadatak iz 2000-te godine.
7. U pravouglom trouglu VOS (sl.113) je:
1 3
3 2
OS acos , OS , VS h.
VS α = = ⋅ =
Kako za bazu i omota~ date piramide
va`e formule2
3
4
a B = i 3
2
ah M = ,
prema uslovu zadatka }e biti
1:3: = B M , odnosno 1:3
4
3:
2
32
=aah
.
Odavde dobijamo da je4
3
2
32
aah= , tj.
2
ah = .
Dakle,
3
36
3
2
a
cosa
α = = .
OS
α
V
h H
Sl. 113
S
B
A
n
Sl. 112
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 223/324
222
8. Neka je 1a prvi ~lan , a 0>d razlika rastu}eg aritmeti~kog
niza. Prema uslovu zadatka bi}e 264321 =+++ aaaa i
4032
=⋅aa . Za ~lanove aritmeti~kog niza va`i da je
( )1
1n
a a n d , n N ,= + − ∈ na osnovu ~ega iz prethodnih jedna~ina
dobijamo sistem( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 1 1
1 1
2 3 26
2 40
a a d a d a d
a d a d
⎫+ + + + + + = ⎪⎬
+ ⋅ + = ⎪⎭
, koji je
ekvivalentan sistemu⎭⎬⎫
=++
=+
403
26642
1
2
1
1
d d aa
d a. Iz prve jedna~ine je
2313
1d a −= , {to ,zamenom u drugu, daje jedna~inu .09 2
=− d Kako je
0>d , jedino re{ewe sistema je 2,3 1 == ad . Dakle,
8,5,2 321 === aaa , itd.
9. Koriste se formule:
1) 2
2 2
cos cos cos cosα β α β
α β + −
+ = ,
2) 2 2sin cos sinα α α = ,
3)6
5 5 5sin sin sin
π π π π
⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠(sl. 114),
4)3 2 2
5 5 5sin sin sin
π π π π
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠(sl. 115).
Dakle, dobijamo da je
2 4 2 42 4 5 5 5 525 5 2 2
cos cos cos cos
π π π π π π
+ −
+ = =
3
25 5
cos cosπ π ⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
25 5
cos cosπ π
=
0
Sl.114
5π
65
π
0
Sl. 115
25
π 35
π
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 224/324
223
=
3 32
5 5 5 523
25 5
cos sin cos sin
sin sin
π π π π
π π ⋅ =
26 2
1 15 55 53 22 2
25 5 5 5
sin sinsin sin
sin sin sin sin
π π π π
π π π π
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠= = ⋅ = − .
10. Funkcije B A f →: i DC g →: su jednake ako i samo ako je
( ) ( ) DC g B A f ,,,, = .
( )22
1 , 0 x x
f x x x x x
= = = ≠ , odnosno
( )1
, 0
, 0
x x f x
x x
>⎧= ⎨
− <⎩.
Grafik funkcije 1 f prikazan je na slici 116.
( ) R x x x x f ∈== ,2
2 , odnosno
( )2
, 0
, 0
x x f x
x x
≥⎧= ⎨
− <⎩.
Grafik funkcije 2 f prikazan je na slici 117.
( )3
0ln x f x e x, x = = > .
Grafik funkcije 3 f prikazan je na slici 118.
0
Sl. 116
0
Sl. 117
0
Sl. 118
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 225/324
224
( )( )
,1
1
1
2
4 x x
x x
x
x x x f =
−
−=
−
−= 1≠ x .
Grafik funkcije 4 f prikazan je na slici 119.
( ) 0,1
1
5 ≠=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
−
x x x
x f .
Grafik funkcije 5 f prikazan je na slici 120.
Me|u datim funkcijama nema jednakih.
( )( ) ( ) ( ) 0,5151 ≠+=+=+ x x x x f x f x f f ,
odnosno
( ) ( )1 5
0 0
2 0
, x f f x
x, x
<⎧+ = ⎨
>⎩.
Grafik funkcije 1 5 f f + prikazan je
na slici 121.
( )( ) ( ) ( ) 0,5151 ≠⋅=⋅=⋅ x x x x f x f x f f ,
odnosno
( )( ) x f f 51 ⋅ =2
2
0
0
x , x
x , x
⎧ >⎨
− <⎩Grafik funkcije 1 5 f f ⋅ prikazan je na
slici 122.
10
1
Sl. 119
0Sl. 120
20
-4
-2
4
Sl. 122
2
0 1
Sl.121
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 226/324
225
3. grupa 2001. god.1. Izra~unati:
a) ⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −−−⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
5
2
8
1
:8
3
:2
3
2
1
5
4
3
22
; b) 57
57
57
57
−
+
++
−
;
v) ( )4
2
10 5
2 , log
−
− + .
2. Re{iti jedna~ine:
a)6
1
7
52
3
52 +=
−−
+ x x x ; b) 93 =+− x x .
3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2 23 2 3 1cos x sin x sin xcos x + + = .
4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )2
1 1
3 3
4 2 1log x log x − ≥ − .
5. Na pravoj 02 =++ y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od
ta~aka ( )2,1 − A i ( )6,3 B .
6. Podno`je visine koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougladeli tu hipotenuzu na odse~ke du`ina cm6,25 i cm4,14 .
Izra~unati povr{inu kruga upisanog u taj trougao.
7. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka?
8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz kod kojeg je zbir drugog i
petog ~lana 1− , a proizvod ~etvrtog i {estog ~lana 16 .
9. Re{iti sistem jedna~ina2
2
3 2 7
3 2 77
y
x
x y
.⎫⎪− =⎬⎪− = ⎭
10. U xOy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine:
a) 1++= k kx y , k R∈ ; b) x
y−
= 2 ; v)( )2 2ln x x
y e−
= .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 227/324
226
3. grupa 2001. god. ( re{ewa)
1. a)
22 4 1 3 3 1 2
: :3 5 2 2 8 8 5
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
23 4 1 3 8 5 16
:2 5 2 2 3 40 40
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
9 4 1 11 45 16 10 80 404 :
4 5 2 40 20 20 20 20 11
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − = − − + ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
99 4018
20 11
⎛ ⎞= ⋅ − = −
⎜ ⎟⎝ ⎠.
b) =+
+⋅
−
++
−
−⋅
+
−=
−
++
+
−
57
57
57
57
57
57
57
57
57
57
57
57
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
7 5 7 5 7 2 35 5 7 2 35 512
2 27 5 7 5
.− + − + + +
= + = + =
− −
v) ( )
44 1
2 2
1 1
0 5 22 2 , log log
−− −⎛ ⎞
− + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )4 4
22 2 2 1 16 1 15log= − − = − = − = .
2. a)Ako datu jedna~inu pomno`imo sa ( ) 426,7,3 = NZS , dobijamo da je
( ) ( ) ( )1752652146
1
7
52
3
52+=−−+⇔
+=
−−
+ x x x
x x x
7730127028 +=+−+⇔ x x x
05151 =+⇔ x
1−=⇔ x .
b) Jedna~ina ima smisla za 03 ≥− x i 09 ≥− x , tj. za 93 ≤≤ x .
93 =+− x x 9393 ≤∧≥∧−=−⇔ x x x x
93188132
≤≤∧+−=−⇔ x x x x
93084192
≤≤∧=+−⇔ x x x
( ) 93712 ≤≤∧=∨=⇔ x x x
7=⇔ x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 228/324
227
3. 2 2
3 2 3 1cos x sin x sin xcos x + + =
( )2 2 2 2 22 2 3 0cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x ⇔ + + + − + =
( )2 3 0sin x sin x cos x ⇔ + =
0 3 0sin x sin x cos x ⇔ = ∨ + =
( )0 3 0sin x tgx cos x ⇔ = ∨ = − ∧ ≠
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈+≠∧∈+=∨∈=⇔ Z ss x Z ll x Z k k x ,
2,
3
2, π
π π
π π
Z l x Z k k x ∈=∨∈=⇔ ,
3
2,
π π .
Za 0cos x = data jedna~ina bila bi nemogu}a. Na primer, za2
π = x
dobili bismo da je1
2 3sin
π = , {to je neta~no.
4. Logaritamska funkcija sa osnovom3
1je opadaju}a. Dakle,
( ) ( )2
1 1
3 34 2 1log x log x − ≥ − ⇔
0120412422
>−∧>−∧−≤−⇔ x x x x
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞∪⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∞−∈∧∞∪−∞−∈∧≤−−⇔ ,
2
1
2
1,,22,032
2 x x x x
( ) ( )∞∪−∞−∈∧≤≤−⇔ ,22,31 x x
[ ] ( ) ( )∞∪−∞−∈∧−∈⇔ ,22,3,3 x x
[ ) ( ]3,22,3 ∪−−∈⇔ x .
Napomena:
1) R x x x ∈= ,22
,
2) 03203222
≤−−∧=⇔≤−− t t t x x x
0 1-3
-2 -1 3
2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 229/324
228
( )( )1 3 0 x t t t ⇔ = ∧ + − ≤
[ ]3,1−∈∧=⇔ t t x (sl. 123)
31 ≤≤−⇔ x
31 ≤∧−≥⇔ x x
( ) [ ]3,3, −∈∧∞∞−∈⇔ x x
[ ]3,3−∈⇔ x .
5. I na~in: (Vidi sliku 124.)Tra`ena ta~ka M je presek simetrale s du`i AB i date prave p .
Sredi{te du`i AB je ta~ka ( )2,2S ~ije koordinate dobijamo kao
poluzbirove odgovaraju}ih koordinata krajwih ta~aka du`i A i B .Simetrala s sadr`i ta~ku S i normalna je na pravoj l koja je
odre|ena ta~kama A i B .
Iz uslova 1−=⋅ sl k k i( )
13
26
−
−−=lk dobijamo da je
4
1−=sk . Dakle,
jedna~ina prave s je ( )24
12 −−=− x y , odnosno 0104 =−+ y x .
Re{avawem sistema jedna~ina
⎭⎬⎫
=++
=−+
02
0104
y x
y x dobijamo koordinate
ta~ke M : 4,6 =−= y x .
II na~in: (Vidi sliku 125.)
Proizvoqna ta~ka P na pravoj p ima koordinate x x P = i
x yP −−= 2 . Iz uslova ( ) ( ) BPd APd ,, = dobijamo da je:
( ) ( ) ( ) ( )2222623221 −−−+−=+−−+− x x x x odakle sledi da je
6−= x . Dakle, ta~ka P ima koordinate: 6 4 x , y= − = .
Sl. 124 Sl. 125
( ) x x P −−2, x −− 2
0
t
f t
-1 30
Sl. 123
S
M
B
l
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 230/324
229
6. Neka je D podno`je visine iz temena B (sl. 126) na hipote-
nuzu AC, cm AD 4,14= i cm DC 6,25= i neka je r polupre~nik upisa-
nog kruga datog trougla. Tada iz sli~nosti trouglova ADB i ABC sle-
di da je AB AC AD AB :: = , odnosno AC AD AB ⋅=2 , a iz sli~nostitrouglova BCD i ABC sledi da je BC AC DC BC :: = , odnosno
AC DC BC ⋅=2 .
Kako je
cm DC AD AC 40=+= ,
cm AC AD AB 24=⋅= i
cm AC DC BC 32=⋅= ,
to je2
AC BC ABs ++
= cm48= .
Povr{inu trougla mo`emo izra~unati na dva na~ina:2
BC ABP
⋅=
Δ
tj. 2384cmP =
Δili sr P ⋅=
Δ. Iz toga proisti~e da je cmr 8= , a
povr{ina kruga je 2P r π = , odnosno 264P cmπ = .
II na~in:Iz sli~nosti trouglova ABD i BCD sledi da je : : BD AD DC BD= ,
odnosno DC AD BD ⋅=2 , odakle dobijamo da je
19, 2 . BD AD DC cm= + = Kako je 2 2 2 BC BD DC = + i 2 2 2 AB AD BD= + ,
to je BC = 32cm i AB = 24 cm.
III na~in:
Kada se odrede stranice AB i BC , prema oznakama sa slike
( ) AE x, EC y= = bi}e:
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+
=+
=+
40
32
24
y x
r y
r x
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+
=++
=+
40
562
24
y x
r y x
r x
cmr 8=
Sl. 126
h
r r
r
C
B
E
r r
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 231/324
230
7. Neka je r polupre~nik osnove vaqka, a H visina vaqka upisanog u
sferu polupre~nika R ( R je konstanta). Primenom Pitagorine
teoreme izrazimo H u funkciji od r (sl. 127) .
22
2
2r R
H −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
22
2r R
H −= (jer je 0> H )
222 r R H −=
Zapremina vaqka je funkcija od r, tj.
( ) 2222 r Rr H Br V V −⋅=⋅== π .
( )3
2 2 2 2 2
2 2 2
22 2 2 2
2
r r V r r R r r r R r
R r R r π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−′ = − + = − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )2
2 2 32 3
2 2 2 2
22 3
2 2
r R r r rR r
R r R r π π
− −−
= ⋅ = ⋅ ⋅
− −
( ) 0V r ′ = za3
6 Rr = .
( )2 3
2 2
4 6 R r r V r
R r
π π ′⎛ ⎞−
′′ = =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) ( )2 2 2 2 2 3
2 2
2 2
24 18 4 6
2
r R r R r R r r
R r
R r
π π π π −
− − − − ⋅
−= ⋅
−
Budu}i da je6
03
RV
⎛ ⎞′′ <⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠, za
3
6 Rr = vaqak }e imati
maksimalnu zapreminu.
2
H
r
R H
Sl. 127
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 232/324
231
8. Neka je 1a prvi ~lan i 0<d razlika opadaju}eg aritmeti~kog
niza. Tada va`i:
⎭⎬⎫
=⋅
−=+
16
1
64
52
aa
aa⇒
( )( ) ⎭⎬⎫
=++
−=+++
1653
14
11
11
d ad a
d ad a⇒
⎭⎬⎫
=++
−=+
16158
1522
1
2
1
1
d d aa
d a⇒
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=+−−
+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
−−=
16152
518
2
51
2
51
2
2
1
d d d d
d a
⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−−
−−=
06365
2
51
2
1
d d
d a
⇒
⇒ ⎭⎬⎫
−=
=
3
71
d
a.
Tra`eni opadaju}i niz je: ,...5,2,1,4,7 −− .
9. Uvedimo smene: u x
=3 i v
y
=22 .Tada }e biti:
⎭
⎬⎫
=−
=−
77
7
22
vu
vu⇒
( )( ) ⎭
⎬⎫
=+−
=−
77
7
vuvu
vu⇒
⎭
⎬⎫
=+
=−
11
7
vu
vu⇒
⎭
⎬⎫
=
=−
182
7
u
vu⇒
⇒ ⎭⎬⎫
=
=
9
2
u
v.
Dakle,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
22
93
2
y
x
⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
12
2
22
33
y
x
⇒
⎭⎬⎫
=
=
2
2
y
x .
10. a) Jedna~inu Rk k kx y ∈++= ,1
napi{imo u obliku
( ) Rk x k y ∈+=− ,11
Sve prave ovog skupa prolaze kroz
ta~ku )1,1(− M . Prava 1−= x je jedina
prava date ravni koja prolazi krozta~ku M , ali nije iz zadatog skupa(sl. 128).
-1
1
0
M k=0
k>0
k<0
Sl. 128
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 233/324
232
b)Grafik funkcije
⎩⎨⎧
<
≥==
−
−
0,2
0,22
x
x y
x
x
x
prikazan je na slici 129.
v)
Funkcija( )2
2ln x x y e
−= definisana je za 02
2>− x x i va`i:
( )
( ) ( )2
2 22 2 2 0
ln x x y e x x x x , x x
−
= = − = − − > .
Grafik funkcije prikazan je na slici 130.
20
Sl. 130
x −2
1
2
0-2 -1 2
x 2
1
Sl. 129
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 234/324
233
4. grupa 2001. god.1. a) Izra~unati %5 broja A , ako je
A = ( )
12
1
25,0
4
35:
32
51:
972256
21
−−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
−−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ .
b) Uprostiti
ba
abba
ba
ba
abba
ba
−+−
+−
+−+
−3333
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)4
1
3
47
2
35 −=
−−
− x x x ; b) 12
4324
=−− x x )( R x ∈ .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu: 2 8 6 1cos x cos x cos x − + = .
4. Re{iti nejedna~inu ( )2
1
2
4 3 3log x x − + ≥ − .
5. Odrediti jedna~ine tangenti krive 6222
=+ y x konstruisanih
iz ta~ke )1,4( − A .
6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su du`ine wegovih osnovica cm44 i cm16 a krakova cm25 i cm17 .
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine
wenih osnova 264 cmπ i 2
4 cmπ , a povr{ina omota~a .1002cmπ
8. Na}i rastu}i aritmeti~ki niz u kome je zbir prva tri ~lana 27 , a
zbir wihovih kvadrata 275 .
9. Re{iti sistem jedna~ina( )
( )
2
2
2
2
2 1
9 6
y x
x y
x y
x y
−
−
⎫+ = ⎪⎬
+ = ⎪⎭
.
10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:
a) ( )( ) 012
≥+−− y x y x ; b) ( )( ) 0422
<−−+ x y y x ;
v) ( )( )( )4 1 0 x y y ln x − − − > .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 235/324
234
4. grupa 2001. god. (re{ewa)
1. a) Ozna~imo dati broj sa A . Tada je :
( ) =⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
−− 12
1
4
14
3
5:
3
2
5
1:
9
25256
2
1 A
( )1
2 112
4 2 45 1 2 3
2 16 :3 5 3 5
⋅ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 3 5 5
16 4 : 12 : 12 1 133 5 3 3
−
⎛ ⎞= − + = + = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
65,010065
100513
1005%5 ====⋅ A A .
b)3 3 3 3a b a b
ab aba b a b
a b a b
− +− =
+ − − ++ −
( ) ( )( )
( )( )( )
2 2 2 2
2 2
a b a ab b a b a ab b
a b ab a b ab
a b a b
− + + + − +
= − =+ − − +
+ −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a ab b a b a ab b
a ab b a ab b
− + + − − +
= − =+ + − +
2 2 2 2
0a b a b= − − + =
pod uslovom da je ba ±≠ .2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa ( ) 124,3,2 = NZS , dobijamo da
je4
1
3
47
2
35 −=
−−
− x x x ( ) ( ) ( )13474356 −=−−−⇔ x x x
3316281830 −=+−−⇔ x x x
01 =+−⇔ x
1=⇔ x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 236/324
235
b) 1243
24
=−− x x 043
2224
=⇔−− x x
04324
=−−⇔ x x
22043 x t t t =∧=−−⇔
2
2
1693
2
1693 x t t t =∧⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=∨
++=⇔
⇔ ( ) 214 x t t t =∧−=∨=
42
=⇔ x (jer je R x ∈ )
22 −=∨=⇔ x x .
3. 2 8 6 1cos x cos x cos x − + = ( )2 6 1 8 0cos x cos x cos x ⇔ + − + =
22 4 2 2 4 0cos x cos x cos x ⇔ − =
( )2 4 2 4 0cos x cos x cos x ⇔ − =
( )2 4 2 3 0cos x sin xsin x ⇔ =
4 0 3 0 0cos x sin x sin x ⇔ = ∨ = ∨ =
4 3 , , ,2
x k x l x s k l s Z π
π π π ⇔ = + ∨ = ∨ = ∈
8 4 3
k l
x , k Z x , l Z
π π π
⇔ = + ∈ ∨ = ∈ .
(Re{ewa oblika x s , s Z π = ∈ ukqu~ena su u skup3
l x , l Z
π = ∈ za
Z ssl ∈= ,3 .)
4.
( ) =+−= 342
x x x f
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<++
≥+−
0,34
0,34
2
2
x x x
x x x
-1-3
3
1 3
3
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 237/324
236
Data nejedna~ina ima smisla ako je 0342
>+− x x .
( ) ( )[ ]03400340034222
>++∧<∨>+−∧≥⇔>+− x x x x x x x x
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∞−∪−∞−∈∧<∨∞∪∞−∈∧≥⇔ ,13,0,31,0 x x x x [ ) ( ) ( ) ( )0,13,,31,0 −∪−∞−∈∨∞∪∈⇔ x x
( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−∈⇔ ,31,13, x
Neka je ( ) ( ) ( ) D=∞∪−∪−∞− ,31,13,
( )2
1
2
4 3 3log x x − + ≥ − ( )3
2
1 1
2 2
14 3
2log x x log x D
−
⎛ ⎞⇔ − + ≥ ∧ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠(osnova logaritma mawa od 1)
D x x x ∈∧⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ≤+−⇔
−3
2
2
134
( ) ( )( ) D x x x x x x x ∈∧<∧≤++∨≥∧≤+−⇔ 0834083422
( ) ( )( ) D x x x x x x x ∈∧<∧≤−+∨≥∧≤−−⇔ 0054005422
[ ]( ) [ ]( )01,505,1 <∧∈∧+−∈∨≥∧∈∧−∈⇔ x D x x x D x x
[ ) ( ] [ ) ( )0,13,55,31,0 −∪−−∈∨∪∈⇔ x x
[ ) ( ) ( ]5,31,13,5 ∪−∪−−∈⇔ x .
5. Kanonski oblik jedna~ine elipse 6222
=+ y x je
163
22
=+y x
. Uslov dodira prave nkx y += i elipse 12
2
2
2
=+b
y
a
x je
2222 nbk a =+ , pa je 2263 nk =+ . Ta~ka ( )1,4 − A pripada pravoj
nkx y += , pa je nk +=− 41 . Re{avawem sistema⎭⎬⎫
=−−
=+
nk
nk
41
6322
1-5
0
-1 5
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 238/324
237
dobijamo da je ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
13
33,
13
5, 11 nk i ( ) ( )3,1, 22 −=nk . Jedna~ine
tra`enih tangenti su: 033135:1
=++− y x t i 03:2
=−+ y x t .
6. Neka je cmCBcm ADcm DC cm AB 25,17,16,44 ==== , F podno-
`je visine h iz temena D i E ta~ka osnovice AB takva da je
CB DE || (sl.131). Tada je cm DE 25= i cm AE 28= . Kako su poznate
sve tri stranice trougla AED , wegovu povr{inu nalazimoprimenom Heronovog obrasca. Poluobim trougla AED je cm35 , pa je
( ) ( ) ( ) 2210710183528352535173535 cmP AED =⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅= .
S druge strane je2
DF AE P AED⋅
= , iz ~ega sledi da je
cmh DF 15== . Povr{ina trapeza je
245015
2
1644
2cmh
baP ABCD =⋅
+=⋅
+= .
7. Neka je r polupre~nik gorwe baze 2 B , a R polupre~nik dowe ba-
ze 1 B zarubqene kupe (sl. 132). Tada iz π 2
1 R B = i π 641 = B dobi-
jamo da je cm R 8= , a iz π 2
2 r B = i π 42 = B dobijamo da je cmr 2= .
Povr{ina omota~a zarubqene kupe izra~unava se po formuli
( ) M s r Rπ = + , pa, kako je π 100= M , odavde dobijamo da je
10s cm= . Visinu zarubqene kupe izra~unavamo primenom Pitago-
rine teoreme. Prema podacima sa slike imamo da je
( )222 r Rs H −−= , odnosno cm H 8= .
Sada mo`emo izra~unati zapreminu zarubqene kupe:
h
B
C D
E F
Sl. 131
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 239/324
238
( )22113
B B B B H
V ++= , tj.
( ) 38 64 64 4 4 2243
V cmπ π π π π = + ⋅ + = .
8. Neka je 0>d (jer je niz rastu}i) i aad aa =−= 21 , i d aa +=3.
Tada:
⎭⎬
⎫
=++
=++
275
27
2
3
2
2
2
1
321
aaa
aaa
⇔ ( ) ( ) ⎭⎬
⎫
=+++−
=+++−
275
27
222d aad a
d aad a
⇔
⎭⎬⎫
=+
=
27523
273
22 d a
a⇔
⎭⎬⎫
=+⋅
=
2752813
9
2d
a⇔
⎭⎬⎫
=
=
16
92d
a.
Kako je 0>d , bi}e 9=a i 4=d . Prvih nekoliko ~lanova niza
glasi: ,...21,17,13,9,5
9. ( )( )
2
2
2
2
2 1
9 6
y x
x y
x y
x y
−
−
⎫+ = ⎪ ⇔⎬
+ = ⎪⎭
⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅=⋅
=+
−−−
−
y x y x y x
y x y x 222
2
3229
22
⇔ ⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=+
−
−
y x
y x y x 2
2
33
2
2
2
⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
=−
=+−
2
2
2
22
y x
y x y x
⇔
⎭
⎬⎫
=−
=+
2
42
2
y x
y x ⇔
⎭
⎬⎫
=−
=
2
6 2 2
2
y x
x ⇔
⎭
⎬⎫
=
=
1
32
y
x .
Re{ewa sistema su ure|eni parovi 1,3 i 1,3− .
10. a) ( )( ) 012
≥+−− y x y x
( ) ( )01001022
≤+−∧≤−∨≥+−∧≥−⇔ y x y x y x y x
( ) ( )1122
+≥∧≥∨+≤∧≤⇔ x y x y x y x y
H
s
R
r
H
R-r
Sl. 132
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 240/324
239
2 x y ≤ 1 y x ≤ + 1
2+≤∧≤ x y x y
Sl. 133 Sl. 134 Sl. 135
Na slici 133 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije
koordinate va`i 2 x y ≤ .Ovaj skup se naziva podgraf grafa (ili
grafika ) funkcije 2 x y = . Na slici 134 je prikazan podgraf grafa
funkcije 1+= x y , a na slici 135 je prikazan presek ova dva skupa.
2 x y ≥ 1+≥ x y 12
+≥∧≥ x y x y
Sl. 136 Sl. 137 Sl. 138
Na slici 136 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije koordinate
va`i 2 x y ≥ . Ovaj skup se naziva nadgraf grafa (ili grafika)
funkcije 2 x y = . Na slici 137 je prikazan nadgraf grafa funkcije
1+= x y , a na slici 138 je prikazan presek ova dva skupa.
Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 135 i 138, jeprikazano na slici 139.
0 1
1
-1 0 1
1
-1 0 1
1
-1
0 1
1
-1 0 1
1
-10 1
1
-1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 241/324
240
( )12
+≤∧≤ x y x y ∨ ( )12
+≥∧≥ x y x y
Sl. 139
b) ( )( ) 0422
<−−+ x y y x
( ) ( )0040042222
<−∧>−+∨>−∧<−+⇔ x y y x x y y x
( ) ( ) x y y x x y y x <∧>+∨>∧<+⇔222222
22
Na slici 142 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 140 i141, a na slici 145 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama143 i 144. Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 142i 145, prikazan je na slici 146.
2222<+ y x x y > 222
2<+ y x ∧ x y >
Sl. 140 Sl. 141 Sl. 142
0 1
1
-1
0 2 0 20 2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 242/324
241
2222>+ y x x y < 222
2>+ y x ∧ x y <
Sl. 143 Sl. 144 Sl. 145
( ) ( ) x y y x x y y x <∧>+∨>∧<+222222
22
Sl. 146
Granice osen~ene oblasti ozna~ene su isprekidanom linijom i nepripadaju tra`enoj oblasti, jer relacija kojom je opisan tra`eniskup sadr`i znak stroge nejednakosti.
v) Funkcija y ln x =
je definisana za0>
x . ( ) ( ) ( )4 1 0 x y y ln x − − − > ⇔
( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 1 0 0 4 1 0 0 x y y ln x x y y ln x ⎡ ⎤⇔ − − > ∧ − > ∨ − − < ∧ − <⎣ ⎦
( ) ( )( ){ 4 1 4 1 x y x y y ln x ⎡ ⎤⇔ > ∧ > ∨ < ∧ < ∧ > ∨⎣ ⎦
( ) ( )( ) }4 1 4 1 x y x y y ln x ⎡ ⎤∨ < ∧ > ∨ > ∧ < ∧ <⎣ ⎦
0 2
0 2 0 2 0 2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 243/324
242
( ) ( )1414 >∧>∨<∧< y x y x y ln x >
Sl. 147 Sl. 148 Sl. 149
( ) ( )1414 >∧<∨<∧> y x y x y ln x <
Sl. 150 Sl. 151 Sl. 15 2
Na slici 149 prikazan je presek skupova osen~enih naslikama 147 i 148, a na slici 152 prikazan je presek skupovaosen~enih na slikama 150 i 151. Kona~no re{ewe, unija skupovaprikazanih na slikama 149 i 152, prikazan je na slici 153.
Sl. 153
10
1
e 4 0 1 e 4
1
0 1 e 4
1
0 1 e 4
1
0 1 e 4
1
0 1 e 4
1
0 4
1
1 e
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 244/324
243
5. grupa 2001. god.
1. a) Izra~unati4
3od razlike kvadrata brojeva A i B , ako je
= A
12 3
2 3 1 11 : :
5 5 2 10
−
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
i = B ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−
3
5:
3
45
2
1 1
2
;
b) Uporediti brojeve ( ) 10049i i 600
2 ; ( ) 338ii i 50
4 .
2. Re{iti jedna~ine:
a)4
2
7
31
8
32 +=
−−
− x x x ; b) ( ) 222
8812 x x x x =++− .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu1
sin x cos x sin x
+ = .
4. Re{iti nejedna~inu
323
4
1
2
1−+
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x
.
5. Odrediti jedna~inu tetive parabole x y 202
= koja prolazi kroz
ta~ku ( )5,2 A i podeqena je tom ta~kom na dva jednaka dela.
6. Stranice trougla ABC su 28= AB , 25= BC i 17= AC .Odrediti polupre~nike opisanog i upisanog kruga tog trougla.
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{inaomota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su
3r cm= i 6 R cm= .
8. Re{iti jedna~inu
2 3
4 4 4
1
3log x log x log x − + − =
.
9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih
re{ewa jedna~ine k x x =−+ 4323 .
10. Razmatramo ~etvorocifrene brojeve u dekadnom zapisu.a) Koliko ih ukupno ima?b) Koliko wih u zapisu ima samo jednu cifru 1?v) Koliko ih je deqivo sa 25?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 245/324
244
5. grupa 2001. god.(re{ewa)
1. a) Kako je
5102
1108102
5
3
5
7
10
1:
2
1:
5
3
5
21 3
13
1
23
1
2
=⋅=⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−−−
A i
35
4
5
14
5
3
3
4
5
14
3
5:
3
45
2
1 1
2
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
−
−
B , to je
( ) ( ) ( ) 12164
3925
4
335
4
3
4
3 2222=⋅=−=−=− B A .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6002003200100210021002288749 ===<=i ;
( ) ( ) ( ) 5050250210099333334222228 ===<==
⋅ii .
2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa ( )4,7,8 NZS ,odnosno sa56 ,
dobijamo da je
4
2
7
31
8
32 +=
−−
− x x x ( ) ( ) ( )214318327 +=−−−⇔ x x x
02211 =−−⇔ x 2−=⇔ x .
b) ( ) 2228812 x x x x =++− ( ) ( ) 0128
222=+−−−⇔ x x x x
012822
=+−∧=−⇔ t t t x x
( )262
=∨=∧=−⇔ t t t x x
2622
=−∨=−⇔ x x x x
020622
=−−∨=−−⇔ x x x x
1223 −=∨=∨−=∨=⇔ x x x x .
3. Jedna~ina ima smisla za 0sin x ≠ , odnosno za Z k k x ∈≠ ,π .
1sin x cos x
sin x + =
21sin x sin x cos x ⇒ + =
2 2 2sin x sin xcos x sin x cos x ⇒ + = +
( ) 0sin x cos x cos x ⇒ − =
0 02
sin x sin x cos x π ⎛ ⎞
⇒ − − = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 246/324
245
2 0 04 4
cos sin x cos x π π ⎛ ⎞
⇒ − = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 2 x k , k Z x l , l Z π π
π π ⇒ − = ∈ ∨ = + ∈
4 2
x k , k Z x l , l Z π π
π π ⇒ = + ∈ ∨ = + ∈ .
4.Uzimaju}i u obzir da je( )⎩
⎨⎧
−<+−
−≥+=+
3,3
3,33
x x
x x x i da je osnova
eksponencijalne funkcije iz intervala( )1,0 , pa je funkcija
opadaju}a(sl. 154), sledi da je
323
4
1
2
1−+
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x ( )3223
2
1
2
1−⋅+
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⇔
x x
643 −≥+⇔ x x
( ) ( )364)3(3643 −<∧−≥+−∨−≥∧−≥+⇔ x x x x x x
( ) ( )335393 −<∧−≥−∨−≥∧−≥−⇔ x x x x
( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −<∧≤∨−≥∧≤⇔ 3
5
333 x x x x
[ ] ( )3,3,3 −∞−∈∨−∈⇔ x x ( ]3,∞−∈⇔ x .
5. Neka su ( )11, y x M i ( )22 , y x N prese~ne ta~ke prave l ~ija je jedna-~ina y=kx+n, i parabole p, ~ija je jedna~ina x y 20
2= . Sredi{te du-
`i MN je ta~ka ( )2 5 A , , pa je 52
21=
+ y y(sl. 155). Ako izrazimo x iz
jedna~ine prave i tu vrednost uvrstimo u jedna~inu parabole, dobija-
mo kvadratnu jedna~inu 020202
=+−k
n y
k y . Prema Vietovim for-
0
1
0 1a< <
x a
Sl. 154
3-3
0 3 0 3 5
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 247/324
246
mulama, za re{ewa 1 y i 2 y ove jedna~ine va`ik
y y20
21 =+ . Dakle,
10
20
=k , tj. k =2. Kako ta~ka A(2,5) pripada pravoj y=2 x +n, bi}e
522 =+⋅ n , tj. n=1. Jedna~ina tra`ene prave je y=2 x +1.
6. Poluobim trougla je2
cbas
++= 35= . Povr{inu trougla
mo`emo na}i pomo}u Heronovog obrasca ( )( )( )csbsassP −−−= .
Dakle, ( ) ( ) ( )35 35 17 35 25 35 28 210PΔ
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = , pa iz rsP =Δ
(sl. 156) sledi da je 210 35r,= odnosno 6r ,= a iz R
abcP
4=
Δsledi
da je85
6 R = ⋅
7. Povr{inu omota~a zarubqene kupe dobijamo prema obrascu
( ) M s r Rπ = + .Prema uslovu zadatka je 21 B B M += , odnosno
( )2 2 M r Rπ = + . Dakle, ( ) ( )2 2r R s r Rπ π + = + , iz ~ega dobijamo da
R
a
C
B
r
c
b
Sl. 156
l
0
N
M
Sl. 155
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 248/324
247
je cms 5= . Primenom Pitagorine teoreme (sl. 157) nalazimo
visinu : ( )22r Rs H −−= cm4= . Zapremina zarubqene kupe je
( )22113
B B B B H
V ++= , odnosno
( ) 384363699
3
4cmV π π π π π =+⋅+= .
8. Leva strana jedna~ine je zbir beskona~no mnogo ~lanova
geometrijskog niza za koji je 1 4a log x = i 1 4q log x = − , pri ~emu je
0≠ x .
Za4 1log x − < zbir svih ~lanova niza postoji i
4
41
log x S
log x ∞
= ⋅+
Prema uslovu zadatka va`i:
4
4
4
1 1
1 3 2
log x log x
log x = ⇒ =
+
2
1
4=⇒ x 22 −=∨=⇒ x x .
9. Neka je ( ) 4323
−+= x x x f .
Analizirajmo ovu funkciju i
skicirajmo wen grafik.
1) R D f = .
2) ( ) ( ) ( )1 0 1 f x f x = ⇒ − .
( ) ( ) ( )2
1 2 f x x x = − + ;
( ) 210 −=∨=⇔= x x x f .
H s
R
r
H
R-r
Sl. 157
-4
-2 0 1
Sl. 158
( ) 4323
−+= x x x f
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 249/324
248
3) ( )3 2 3
3
3 43 4 1
x x lim x x lim x
x x →∞ →∞
⎛ ⎞+ − = + − = ∞⎜ ⎟
⎝ ⎠.
( )3 2 3
33 43 4 1
x x lim x x lim x
x x →−∞ →−∞
⎛ ⎞+ − = + − = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
4) ( ) ( )23632
+=+=′ x x x x x f ;
( ) 200 −=∨=⇔=′ x x x f .
Prvi izvod funkcije f pozitivan je za ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,02, x , a
negativan za ( )0,2−∈ x , pa je funkcija f rastu}a u intervalima
( )2,−∞− i ( )∞,0 , a opadaju}a u intervalu ( )0,2− .
5) ( ) 66 +=′′ x x f
( ) ( )0 6 0 4min
f f ′′ = ⇒ = − .
( ) ( )2 6 2 0max
f f ′′ − = − ⇒ − = .
Grafik funkcije f je prikazan na slici 158.
Neka je ( ) Rk k x g ∈= , . Grafik funkcije g je prava paralelnasa Ox -osom, a apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su
re{ewa jedna~ine ( ) k x f = , Rk ∈ (sl. 159). Prema tome, jedna~ina
( ) k x f = ima:
1) jedno re{ewe, ako je ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,04,k ,
2) dva re{ewa, ako je { }4,0 −∈k ,
3) tri re{ewa, ako je ( )0,4−∈k .
-4
-2 0 1( ) k x g =
( ) 43 23 −+= x x x f
Sl. 159
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 250/324
249
10. a) ^etvorocifreni brojevi na mestu hiqada mogu imati bilo koju
cifru iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2,1 , a na mestu stotina, desetica ili
jedinica bilo koju cifru iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 . Dakle,
razli~itih ~etvorocifrenih brojeva ima 90001010109 =⋅⋅⋅ .
b) Cifra 1 mo`e biti samo na jednom od ~etiri dekadna mesta, a
ostale tri cifre mogu biti iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2 ili iz skupa
{ }9,8,7,6,5,4,3,2,0 . Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji u dekadnom
zapisu imaju samo jednu cifru 1 ima
26731998919899189991 =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ .
v) Neka je abcd ~etvorocifren broj sa dekadnim ciframa a,b,c i d,
pri ~emu a nije 0.
1000 100 10abcd a b c d = ⋅ + ⋅ + ⋅ +
( ) d cba +⋅+⋅+⋅= 1010010
( ) d cba +⋅+⋅⋅+⋅= 1025410
Broj abcd bi}e deqiv sa 25 ako je d c +⋅10 jedan od brojeva 100, 75,
50 ili 25, tj. ako se broj abcd zavr{ava sa 00, 25, 50 ili 75. Za svakuod te ~etiri mogu}nosti cifra a mo`e uzeti vrednosti iz skupa
{ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 a cifra b iz skupa { }.9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji su deqivi sa 25 ima
3601094 =⋅⋅ .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 251/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 252/324
Tre}i deo
ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZMATEMATIKE
(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 253/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 254/324
253
1. grupa 1997. god.
1. Izra~unati: ( )3,07,0:79,6:400:0325,0
80
17
12
7:
8
1175,1
3
2:75,1
+
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−
.
2. Re{iti jedna~inu 57142 +=−−+ x x x .
3. Dokazati jednakost( )4 4
1602
100 40 40
sin
sin cos sin
°=
° ° − °.
4. Re{iti sistem jedna~ina:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
101 13
3 2
log x y log log x log x
log x y log x y log .
+ = + =
+ = − +
5. Odrediti ta~ku parabole x y 42
= koja je najbli`a pravoj
03 =+− y x .
6. Izra~unati povr{inu paralelograma ako su mu stranice15cm i34cm i jedna dijagonala 35cm.
7. Osnovne ivice pravilne trostrane zarubqene piramide sua i b,
(a > b), a bo~ne ivice zaklapaju sa ve}om osnovom ugao α . Izra~u-nati zapreminu te zarubqene piramide.
8. Aritmeti~ka progresija ima 20 ~lanova. Suma ~lanova na parnimmestima je 250, a na neparnim mestima 220. Odrediti dva sredwa~lana progresije.
9. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka?
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati:
a)3
3 21
2
1 x
x x lim
x x x →
+ −
− − +, b)
0
5
3 x
sin x lim
sin x →
⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 255/324
254
1. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. 250
2. 11= x
3. 160 20 2 10 10sin sin sin cos= =
100 10sin cos=
2 240 40 80 10cos sin cos sin− = =
4. 7,9 == y x
5. ( )2,1 M
6. 2504cmP =
7. ( ) α tgbaV 33
12
1−=
8. 25,22 1110 == aa
9.3
6 Rr =
10. a) ( ) ( )1 1 x x
lim f x , lim f x + −
→ →
= +∞ = −∞
b)3
5= L
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 256/324
255
2. grupa 1997. god.
1. Izra~unati
7 5 7 7 9
40 38 :10 9 1 4 230 12 8 30 11
0 08
, ,
,
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ⋅ ⋅
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⋅
2. Re{iti nejedna~inu 12
>+− x x x .
3. Odrediti realne brojeve x i y tako da va`i010)2()34( =−−−+ i yi x i .
4. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu1
sin x cos x tgx cos x
+ + = ⋅
5. Odrediti ta~ku elipse 20422
=+ y x koja je najbli`a pravoj
07 =−+ y x .
6. Zbir kateta pravouglog trougla je 32cm. Ako se mawa kateta uve}aza 4cm, a ve}a umawi za 5cm, tada se povr{ina trougla ne mewa.
Odrediti stranice tog trougla.
7. Metalnu {upqu loptu, ~iji je spoqa{wi pre~nik 2 18r cm= , adebqina cmd 2= , treba pretopiti u masivnu loptu. Koliki je wenpolupre~nik?
8. Re{iti jedna~inu 1
3 (3 2 3 ) 2 2 x log x +
− ⋅ = + .
9. Odrediti geometrijski niz …,,, 321 aaa za koji va`i:
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
31
62
a a a a a
a a a a a .
+ + + + =
+ + + + =
10. Skicirati grafike funkcija:
a) )(,1)( Rk kx x f ∈+= , b) 1)( −= x x x f , v) 2
2( ) f x log x = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 257/324
256
2. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. 70 2. ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,11, x
3. 2= x , 4= y 4. π k x = , Z k ∈
5. ( )1,4 A 6. cma 12= , cmb 20= , cmc 344=
7. 3 386=r 8. 1−= x
9. 11=a , 2=q
10. (sl. 1) a) b)
( y-osa ne pripada skuputra`enih pravih)
v)
Sl. 1
4 20.
2
1
31
x
y
10
−1
−1
k > 0
k = 0
k < 0
y
x0
1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 258/324
257
3. grupa 1997. god.
1. Izra~unati: a) )40312,4()
212:4,0(35,1:7,27,2:
2071 −⋅++
b)57
22
57
1
75
9
+
+
+
−
−
2. Re{iti jedna~inu 3242 =++− x x .
3. Odrediti realni parametar k tako da re{ewa jedna~ine
( ) ( ) ( ) 02512
=+−−+− k x k x k zadovoqavaju uslov 211
21
>+ x x
.
4. Ako su α , β i γ unutr{wi uglovi nekog trougla, onda je:2 2 2
2 2sin sin sin cos cos cosα β γ α β γ + + − = . Dokazati!
5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 1615
22
=−y x
, koje su
paralelne pravoj 07 =−+ y x .
6. Oko kruga polupre~nika cm2 opisan je jednakokraki trapez
povr{ine 220cm . Odrediti stranice tog trapeza.
7. Na odstojawu d od centra lopte polupre~nika R ( )d R < , nalazi
se svetla ta~ka S . Koliki deo povr{ine lopte osvetqava ta~ka S ?
8. Re{iti jedna~inu 4 163 4 2 4 3 4 0 x x x log log log+ + = .
9. Du`ine ivica kvadra ~ija je dijagonala 6 D m= , a povr{ina2
72mP = , obrazuju geometrijski niz. Odrediti du`ine ivica.
10. Skicirati grafike slede}ih funkcija:
a) ( ) x x x f −−= 2 , b) ( ) x x x f −=2
, v) ( ) 2
2
1
2 f x log x = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 259/324
258
3. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. a)2
13 b) 6
2. Data jedna~ina nema re{ewa.
3. ( )2,9 −−∈k
4. −
5. 3,3 −−=+−= x y x y
6. 8 , 2 , 5a cm b cm c cm= = =
7.2
o l
d RP P
d
−= ⋅
8.2
11 = x i
8
12 = x
9. 2 3a b c m= = =
10. (sl. 2) b)
a)
v)
Sl. 2
10
2
1
1
2
2
y
x 42–2
1
–4
2
11 0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 260/324
259
4. grupa 1997. god.
1. Izra~unati: a) ( ) 5,2:25,121
6
55
14
33
5
36
−
⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
b)
( ) ( )131
3
10
3
1
2
3
2
3
1,06,0−−
−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
.
2. Odrediti realni parametar a tako da re{ewa jedna~ine
012
=++ ax x zadovoqavaju uslov 71
2
2
1<+
x
x
x
x , ( ) R x x ∈21 , .
3. Re{iti sistem jedna~ina ( )1997
3 5 225 0
1 0
x y
log x y .
⋅ − =
− + =
4. Ako su β , i γ unutra{wi uglovi nekog trougla, onda je:2 2 2
2 1cos cos cos cos cos cosα β γ α β γ + + + = . Dokazati!
5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 1615
22
=−y x
koje su
paralelene pravoj 0=− y x .
6. Stranice trougla su cm25 , cm24 i cm7 . Izra~unati polupre~nikupisanog i opisanog kruga tog trougla.
7. Na kojoj udaqenosti od centra neprozirne lopte polupre~nika
m4 treba da bude svetlosni izvor koji osvetqava3
1povr{i lopte?
8. Dokazati jednakost3 1
5 5 2cos cos
π π + =
9. Zbir prva tri ~lana geometrijskog niza je 91. Ako tim ~lanovimadodamo redom 25, 27 i 1 dobi}emo tri broja koji obrazujuaritmeti~ki niz. Odrediti sedmi ~lan datog geometrijskog niza.
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati:
a)3
21
2
8 1
6 5 1 x
x lim
x x →
−
− +; b)
20
2 1
x
cos x lim
sin x →
− +⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 261/324
260
4. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. a) 5,2 b) 5,1−
2. Videti re{ewe 4. zadatka 10. grupe iz 2000. g.
3. 2,2 == y x
4. −
5. 3,3 −=+= x y x y
6. cm Rcmr 5,12,3 ==
7. m12
8.
2 42 2
2 2 15 5 52 225 5 5 5 2
2 2 25 5 5
sin sin sin
cos cos cos cos
sin sin sin
π π π π π π π
π π π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
9. 1o 51037 =g za 71 =g i 3=q 2o
81
77 =g za 631 =g i
3
1=q
10. a) 6 b)8
2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 262/324
261
5. grupa 1997. god.
1. Izra~unati:
a) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
−− 125,1411:25,0
231 , b) ( ) ( )
11
11
132132
−−
−−
⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
++ .
2. Re{iti nejedna~inu1
2
2
3
+
+<
+
+
x
x
x
x .
3. Odrediti funkciju f ako je )0(,1
3)(2
≠=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ + x x
x f x f .
4. Dokazati identitet
( )
2
2 2
1 2 2
11
sin cos cos
sin cos tgcos tg
α α α
α α α α α
+ +− = ⋅
− +−
5. Odrediti jedna~ine onih tangenti kru`nice
02541022
=+−−+ y x y x koje prolaze kroz koordinatni po~etak
(slika!).
6. Uglovi trougla ~ine aritmeti~ku progresiju. Koliki su ti uglovi
ako je zbir wihovih kosinusa jednak2
13 +?
7. Kanal za vodu duga~ak je 5m i mo`e prihvatiti 1440l vode.Popre~ni presek kanala je jednakokraki trapez (sa kra}omosnovicom pri dnu) ~iji je krak 52cm, a visina 48cm. Koliko litaravode prihvata kanal do polovine svoje visine?
8. Re{iti sistem jedna~ina
4 2
2 2
0
5 4 0
log x log y
x y .
− =
− + =
9. U numerisani red od 12 sedi{ta treba da sedne {est devojaka i{est mladi}a. Na koliko razli~itih na~ina oni mogu da se raspore-de tako da nikoje dve osobe istog pola ne sede jedna pored druge?
10. U Oxy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine:
a) 1=+ y x , b) )(,22
Rk k y x ∈=− .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 263/324
262
5. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. a) 9− b) 1 2. ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,12, x
3. ( )2
4
8
3
x
x x f
−= 4. −
5. x y y21
20,0 == 6.
2,
3,
6
π π π
7. l600
8. ( )2,4 i ( )1,1
9. ( ) 1036800!62 2 =⋅
10. (sl. 3)a) b) 1)
b) 2) b) 3)
Sl. 3
y
x0
1
1
y = x
y x = −
k = 0
x1
1
1−
1−
0
y = x + 1
1 x − y =
1 y x = − +
1 y x = − −
y
y
x0 k
k > 0
k y
x
0 − k
k < 0
− k
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 264/324
263
6. grupa 1997. god.
1. Izra~unati:
a)22 )2(2
225:225−−
−− , b)1
13
1
33
23
33
1
13
23−
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+⋅⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
+.
2. Re{iti nejedna~inu3
1
43
22
>−+
−
x x
x .
3. Odrediti funkciju f ako je )0(,1
2)( ≠=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ + x x
x f x f .
4. Dokazati identitet
4 4
6 6 1 231sin cossin cos
α α
α α
+ −= ⋅
+ −
5. Date su prave 0332:1 =−− y x p i 0932:2 =−+ y x p .
a) Izra~unati povr{inu trougla koji odre|uju prave p1 i p2 i y-osa.
b) Odrediti jedna~inu prave p koja prolazi kroz presek pravih p1
i p2 i normalna je na pravoj p1.
6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su mu osnovice 8=a i 4=b , a
unutra{wi uglovi na ve}oj osnovici 45
0
i 30
0
.
7. Ako su a, b i c du`ine ivica, a P povr{ina kvadra, tada va`i
implikacija3
22
k Pk cba ≤⇒=++ . Dokazati!
8. Re{iti jedna~inu ( ) ( ) ( )12 2 1 5 1 5 5
x x log log log .−− + + = +
( )10
log x log x =
9. Tri broja obrazuju aritmeti~ki niz i wihov zbir je 15. Ako prvomdodamo 1, drugom 4 i tre}em 19, onda se dobijaju brojevi koji ~inegeometrijsku progresiju. Odrediti te brojeve.
10. Skicirati linije u ravni ~ije su jedna~ine:
a) )(,422
Rk k y x ∈=− , b) 12
−= x y , v) 10log x
y .−=
( )10
log x log x =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 265/324
264
6. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. a)15
1b) 1 2. ( )1,4−∈ x
3. ( )x
x f 3
2 2−=
4.
3
2
5. a) 6=Δ
P b) 3,1 == x y 6. 1312 −=P
7. ( )bcacabP ++= 2 8. 9= x
( ) ( ) ( )2 2 2
0a b a c b c− + − + − ≥
( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
9. 8,5,2 321 === aaa za 3=d
16,5,26 321 −=== aaa za 21−=d
10. (sl. 4)
a)
b) v)
Sl. 4
0 1−1
2
y
x
y = 2x− y = 2x
k = 0
0 1
1
−1
−1
x
y
x0 4 3 21
1
3
4
2
y
k 2
k > 0
k y
x0
− k
k < 0
− k 2
y
x0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 266/324
265
7. grupa 1997. god.
1.a) Odrediti broj ~ijih je 12% jednako 4,2% broja
( )3 4 2 : 0 1
71 : 0 3 0 1253
, ,
, ,
+⋅
− ⋅
b) Izra~unati222
1
2169)2(
−−
−
−+− .
2. Za koje vrednosti realnog parametra k jedna~ina2
43 6 2 0 x x log k − − = ima:
a) realna re{ewa,b) oba pozitivna re{ewa?
3. Re{iti jedina~inu1997 1
19974 4 25
3 3 12
log x log x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4. Odrediti ona re{ewa jedna~ine 7 3 5cos x sin x cos x sin x = koja se
nalaze u [ ]π ,0 .
5. Date su ta~ke )3,2(),5,2( −− B A i prava 01943: =−+ y x l . Odrediti
jedna~inu kruga koji sadr`i ta~ke A i B i dodiruje pravu l, a zatimodrediti koordinate zajedni~ke ta~ke pravel i tra`enog kruga.
6. Du`ina osnovice jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nikupisanog kruga 7,5cm. Izra~unati povr{inu ovog trogula.
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine we-
nih osnova 225 cmπ i 2
4 cmπ i povr{ina omota~a 235 cmπ .
8. Re{iti sistem jedna~ina
4 2 2 4
2 2
481
37
x x y y
x xy y
⎫+ + = ⎪⎬
+ + = ⎪⎭.
9. Odrediti prirodan broj n ako se zna da je zbir n++++ 321
trocifren broj ~ije su sve cifre jednake.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 267/324
266
10. Date su realne funkcije:
1 f ( x ) log x = , 2
2
1
2 f ( x ) log x = , 3
1
10 x
f ( x )log
= , 2
4 f ( x ) log x = ,
25
2 10
log x f ( x )
log= ⋅
a) Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih. Odgovorobrazlo`iti.
b) Skicirati grafike funkcija f 2 i f 4 ( )10log x log x = .
7. grupa 1997. god. (re{ewa)
1. a) 126 b)6
112. a)
1
8k ≥ b) ⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡∈ 1,
8
1k
3.1997
1,1997 21 == x x
4.8
7,
8
5,
8
3,
8,,
2,0 7654321
π π π π π
π ======= x x x x x x x
5. ( ) 252
22=++
y x ili ( ) ( ) 6251022
22=+++
y x ( )4,1P ( )9,7−P
6. 2300cm 7. 3
52 cmV π=
8. ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,3,4,4,3,4,3 −−−−=s R 9. 36=n
10. (sl. 5) a)51 f f =
b)
Sl. 5
−1
1
1
x
y
10−10 0
1 x
y
1010
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 268/324
267
1. grupa 1998. god.
1. a) Izra~unati
5 5 2 1
1 : 1 7: : 3 7512 2 9 8 , ,
⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
b) Uprostiti ( ) ( )2
11
3232−
−−
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
−⋅+ .
2. Re{iti jedna~ine:
a)6
5
28
3
4
2
123
14−
−=
−
+−
− x
x ; b) ( )2
1
2
1log x x + = − .
3. Dokazati identitet2 2
62 2
sin tg tgcos ctg
α α α
α α
− =−
.
4. Re{iti nejedna~inu
4364
9
1
3
1−−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ≥⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ x x
.
5. Kvadrat i jednakostrani~ni trougao imaju jednake obime.
Povr{ina trougla je 34 . Kolika je dijagonala kvadrata?
6. Na}i povr{inu prave kru`ne kupe koja je opisana oko loptepre~nika R2 , a ~ija je visina dva puta ve}a od pre~nika lopte.
7. Na krivoj 724322
=− y x odrediti ta~ku najbli`u pravoj
0123 =++ y x .
8. Zbir prvih pet ~lanova aritmeti~kog niza je 25, a wegov drugi~lan je 3. Koliki je zbir prvih dvadeset ~lanova tog niza?
9. Re{iti sistem jedna~ina4 2 2 4
2 2
481
37
x x y y
x xy y .
+ + =
+ + =
10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
a) ( )( ) 0122
≤−−+ y x y x ; b) ( )( )1 0 y y ln x − − ≥ ; v) 1=+ y x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 269/324
268
1. grupa 1998. god. (re{ewa)
1. a) 3= A b)16
1= B
2. a) 5= x b) 1,1 21−== x x
3.2 2
2 2
sin tg
cos ctg
α α
α α
−=
−
( )( )
2 22 2
2 6
2 2 2
2
11
11
sin sinsin cos tg tgcos cos cos
sin
α α α α
α α
α α α
α
− −
⋅ = ⋅ =
−−
4. ⎟ ⎠ ⎞
⎢⎣⎡ +∞∈ ,
5
7 x
5. 23,4 == d b
6. π 2
8 RP =
7. ( )3,6−P
8. 40020 =S
9. ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,3,4,4,3,4,3 −−−−=s R
10. (sl. 6)a) b) v)
Sl. 6
1 0
1
1
11
1
y
x0 x
y
1
1
0 2 e
lnx
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 270/324
269
2. grupa 1998. god.1. Izra~unati:
a) ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −⋅+
25834,1
871
4032:81,5 , b) ( )
13
1
1 4
253 11
log−
⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
2. Re{iti jedna~ine:
a) ,136
98
16
2
61
32
−
+−
+=
− x
x
x x b) 02
2=−+ x x .
3. Dokazati identitet1
14 2
sintg
cos
π α α
α
−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
4. Re{iti nejedna~inu 3 1 02 1
x log x
−<
+. ( )10
log x log x =
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A(1,2) u odnosu na pravu
052 =+− y x .
6. Stranice trougla su 5 6cm, cm i 9 cm . Izra~unati polupre~nike
upisanog i opisanog kruga tog trougla.
7. Pravougli trapez sa osnovicama 10a cm= i 2b cm= rotira okomaweg kraka. Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog tela ako jevisina trapeza 15h cm= .
8. Odrediti sumu svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijskeprogresije ako je poznato da je suma prvog i ~etvrtog ~lana 54, a sumadrugog i tre}eg 36.
9. U zavisnosti od realnog parametara a odrediti broj realnih
re{ewa jedna~ine 06 23 =+− a x x .
10. Ispitati da li me|u funkcijama :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
1 2 3 4 51
ln x x x x x f x e , f x x , f x ln e , f x , f x
x x
−= = = = =
−,
ima jednakih, a zatim skicirati grafike funkcija
( ) ( ) ( ) x f x f x f 32 += i ( ) ( ) ( ).32 x f x f x g ⋅=
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 271/324
270
2. grupa 1998. god. (re{ewa)
1. a)5
4− b)
2
12. a)
3
1= x b) 1,1
21
−== x x
3.1
4 2
sintg
cos
π α α
α
−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2 2
14 2 4 2
4 2 4 2 2 2
sin cos cos sinsin
cos cos sin sin cos sin
π α π α
α
π α π α α α
+−
⋅ =
− −
2
1 12 2 21
12
2 2 2 22 2 2
cos sinsin sin
sincos sin cos sincos sin
α α
α α
α α α α α α α
⎛ ⎞+⎜ ⎟
− −⎝ ⎠= ⋅ = =
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− +− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
4. ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈ 2,
3
1 x 5. ( )4,3− B
6.27 2
2 ,8
r cm R cm= = 7. 321650,780 cmV cmP π π ==
8. 96=∞
S 9. Jedna~ina ima:
1) jedno re{ewe za 0>a
2) dva re{ewa za { }0,32−∈a
3) tri re{ewa za ( )0,32−∈a
4) nema re{ewa za ostalevrednosti a
10. (sl. 7) Me|u datim funkcijama nema jednakih.
( ) ( )2 3
2 , 0
0, 0
x x f x f x
x
≥⎧+ = ⎨
<⎩ ( ) ( )
2
2 3 2
, 0
, 0
x x f x f x
x x
⎧ ≥⎪⋅ = ⎨
− <⎪⎩
Sl. 7
x
y
1
0−1
−1
1
0 1
2
y
x
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 272/324
271
3. grupa 1998. god.
1. a) Izra~unati9
54
10
1
15
4
5
2
4
3
2
11:
3
1
2
11 ⋅−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− ;
b) Uprostiti( ) ( )
2 23 3
4 1a b a b a b
:ab ab ab
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
4
4
3
8
1
2
5 −+
−=
−+
− x x x x ; b) 42
2
=− x x
.
3. Odrediti ona re{ewa jedna~ine 1 2sin x cos x sin x + = +
koja senalaze u intervalu ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2,
2
π π .
4. Re{iti nejedna~inu1
2
2
32 1
x log
x −< .
5. Na krivoj 20422
=+ y x odrediti ta~ku najbli`u pravoj 7=+ y x .
6. Oko kruga polupre~nika 2 cm opisan je jednakokraki trapez
povr{ine 220 cm . Odrediti du`ine stranica trapeza.
7. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka?
8. Re{iti jedna~inu 83 3 3
=⋅⋅⋅ … x x x x .
9. Izra~unati2 5
9 9 9cos cos cos
π π π ⋅
10. Skicirati grafike funkcija:
a) 2
2
1( )
2 f x log x = ; b)
x e x f
−=)( ; v) 2( ) 2
log x f x −
= .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 273/324
272
3. grupa 1998. god. (re{ewa)
1. a) 0 b)ab
ba −
2. a) 13= x b) 22 =∨−= x x
3.2
,0,4
π π ==−= x x x
4. ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,33, x
5. ( )1,4P
6. Osnovice su 8 2a cm, b cm,= = a krak 5c cm= .
7.3
6 Rr = 8. 4= x 9.
8
1−
10. (sl. 8) a) ( ) 2 f x log x =
b) ( ) x e x f
−
= v) ( ) ( )01
>= x
x
x f
Sl. 8
00
1
x
y xe
− xe
− 2 −1
1
1 20 x
y
2log x ( )2
log x −
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 274/324
273
4. grupa 1998. god.
1. Izra~unati: a) 5% broja )03,0(:125,14
11:25,02
31 −⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− ;
b) ( )1
22
1 42 223 4 16 2
log−−
−− + − + .
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
)7(2
2
3
5
)3(2
2
114
−−=
+−
x x x ; b) 02
2=−− x x
3. Na}i ona re{ewa jedna~ine2
121
1
2
cos x
x cos x cos
π ⎛ ⎞−
⎜ ⎟⎝ ⎠= −
+koja se nalaze
u intervalu [ ]π 3,0 .
4. Re{iti nejedna~inu 12 1 x log x + > .
5. Na krugu 204222
=−−+ y x y x na}i ta~ku A najbli`u pravoj
03443 =++ y x i izra~unati odstojawe ta~ke A od te prave.
6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ako su mu du`ine os-
novica 39 cm i 21cm a kraka 41cm .
7. Odrediti prostornu dijagonalu zarubqene pravilne ~etvorostra-ne piramide ako su povr{ine wenih osnova 2,8 21 == B B i zapremi-
na 28=V .
8. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{e-
wa jedna~ine a x =− 2 .
9. Ako brojevi 0,,0,0 21 ≠≠≠ naaa…
obrazuju aritmeti~ku progresi-
ju, tada jennn aa
n
aaaaaa 113221
1111 −=+++
−
… . Dokazati!
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vredno-sti:
a)0
5
1 1 x
sin x lim
x → + −
; b)3
0 x
tgx sin x lim
x →
−⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 275/324
274
4. grupa 1998. god. (re{ewa)
1. a) 15%5,300 == A A b)4
13
2. a) 7= x b) 22 =∨−= x x
3.2
5,2,
2,0
π π
π ==== x x x x
4. ( )4,1∈ x 5. ( ) 4,2,2 =−− d A
6. 21200cmP =
7. 53= D
8. (sl. 9) Jedna~ina ima:0 re{ewa za 0<a
2 re{ewa za 0 2a a= ∨ >
4 re{ewa za ( )2,0∈a
3 re{ewa za 2a =
Sl. 9
9. =⋅
−⋅
−++
⋅
−⋅
−+
⋅
−⋅
−−
−
− 1
1
123
23
2312
12
12
1...
11
nn
nn
nn aa
aa
aaaa
aa
aaaa
aa
aa
nn
n
nn aa
n
aa
aa
d aaaaaad 11
1
13221
1111
...
11111 −=
−⋅=
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−+−=
−
10. a) 10 b)2
1
2
x
y
2− 2
y = a
− 2
0
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 276/324
275
1. grupa 1999. god.
1. Izra~unati:
a) 4,0:3
1
2
1
2
3
2
11 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ − ; b)
11 1
2 29 161 1
16 25
−
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)10
1
3
2
5
32 +=
−+
− x x x ; b) ( )2
4
1
2log x x + = ⋅
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 3 1sin x cos x + = .
4. Re{iti nejedna~inu
3 2
11 1
2 4
x
x
−
−⎛ ⎞> ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
5. Na pravoj 022 =−− y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od
ta~aka )6,1( A i )4,3( B .
6. Na}i obim jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga ako je ve}a
osnovica 12cm i o{tar ugao 60 .
7. Trougao sa temenima )1,0( A , )4,0( B i )2,2( −C rotira oko y-ose.
Izra~unati povr{inu i zapreminu tako nastalog tela.
8. Tri broja obrazuju geometrijski niz ~iji je zbir 65. Ako se sredwi~lan uve}a za 10, niz postaje aritmeti~ki. Odrediti niz.
9. Ispitati da li me|u realnim funkcijama
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 3 4 52 2
1 1 1 1
2
ln x
log x
x f x , f x , f x e , f x , f x
x x x x
−−= = = = =
−
ima jednakih.
10. Odrediti najmawi prirodan broj deqiv brojem 7 koji prilikomdeqewa brojevima 2, 3, 4, 5 i 6 daje ostatak 1.
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 277/324
276
1. grupa 1999. god. (re{ewa)
1. a)3
1b)
13
15−
2. a) 1−= x b) 1±= x
3. 2 26 2
x k , k Z x l , l Z π π
π π = − + ∈ ∨ = + ∈
4. ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈
5
4,0 x
5. ( )8,5 M
6. cmO 32=
7. ( )2 2 10 13 , 4P V π π = + =
8. ( )45,15,5 ili ( )5,15,45
9.53 f f =
10. 301=n
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 278/324
277
2. grupa 1999. god.
1. a) Izra~unati2
1
2
1
3
1
2
1
21
4812716 ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ +⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −+ ;
b) [ta je ve}e: 2300 ili 3
200? Obrazlo`iti.
2. Re{iti jedna~ine:
a)2
1
6
12
23
1−
−=−
+ x x x ; b) 64
2
12
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ − x x
.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu2 23 2 0cos x sin x sin x − − = .
4. Re{iti nejedna~inu ( ) 2 3 11000
log x log x x − +
> . ( )10log x log x =
5. Odrediti jedna~ine tangenti konstruisanih iz ta~ke )0,2( A na
hiperbolu 198
22
=−y x
.
6. Zbir kateta pravouglog trougla je 17, a du`ina wegove hipotenuze je 13. Kolika je povr{ina trougla?
7. Prava 01 =−+ y x gradi sa koordinantnim osama trougao. Na}i po-
vr{inu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom trougla oko dateprave.
8. Izra~unati …+
+
++
−
+
−
+
224
1
2
1
22
1
12
12.
9. Skicirati grafike funkcija:
a) x x x f −+= 3)( ; b) x
e x f =)( ; v) ( ) 21
2 f x ln x = .
10. Ne koriste}i se Lopitalovim pravilom, izra~unati:
a)2
3 23
4 3
5 7 3 x
x x lim
x x x →
− +
− + −; b)
0
1 1
x
sin x sin x lim
tgx →
+ − −⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 279/324
278
2. grupa 1999. god. (re{ewa)
1. a) 3 b) 2003
2. a) 2= x b) 3±= x
3. ( ) Z k k x Z llarctg x ∈+=∨∈+−= ,4
,3 π π
π
4. 1000> x
5. 32
3
,32
3
+−=−= x y x y
6. 30=P
7. π π
6
2,2 == V P
8. 423 +=S
9. (sl. 10)a) b) v)
Sl. 10
10. a)2
1b) 1
x1 e0 1
1
e
3 4 x
y
0
3
0 x
y
1
xe− x
e
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 280/324
279
3. grupa 1999. god.
1. a) Izra~unati
1
4 24 3 3
:9 4 2
−−⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ;
b) Cigla je te{ka kilogram i pola cigle. Koliko je te{ko petcigala?
2. Re{iti jedna~ine:
a)14
25
7
1
4
67
2
35 +−
+=
−+
+ x x x x ; b) ( )2
1
2
1log x x − = − .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
1
sin x cos x sin x + = ⋅
4. Re{iti nejedna~inu 112
772
<−
−+−
x
x x .
5. Odrediti ta~ku na elipsi 4422
=+ y x najbli`u pravoj
03032 =+− y x .
6. Izra~unati povr{inu trapeza ~ije su paralelne stranice 44cm i16cm, a neparalelne 17cm i 25cm.
7. Trougao sa temenima )0,4( ),0,1( B A i )2,2(−C rotira oko x -ose.
Na}i povr{inu i zapreminu tako nastalog tela.
8. Re{iti jedna~inu 4=… x x x x .
9. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Odrediti polupre~nik osnove vaqka u funkciji od R.
10. U xy-ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
a) ( ) ( ) 02422
≥−−⋅−+ x y y x ; b) ( ) ( ) 01 ≥−⋅− ye yx .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 281/324
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 282/324
281
4. grupa 1999. god.
1. a) Izra~unati22
2)2(16:16
−−−− ;
b) [ta je ve}e: 25% od 200 ili 30% od 180?
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
2
3
2
2
1
4
23−
−=
++
− x x x ; b) 93
2
=− x x
.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 3cos x cos x sin x − = .
4. Re{iti nejedna~inu 223
2
2≥
+−
−
x x
x .
5. Na}i jedna~ine tangenti kruga 0158622
=+−−+ y x y x koje su
normalne na pravu x y 3= .
6. Osnovica jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nik upisanogkruga 7,5cm. Kolika je povr{ina ovog trougla?
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{inaomota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su 3r = i
6= R .
8. Re{iti jedina~inu 2 3
2 2 2 1log x log x log x + + + =… .
9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih
re{ewa jedna~ine 033
=+− a x x .
10. Od 5 in`ewera, 4 matemati~ara i 3 tehni~ara treba formiratiekspertski tim od 4 ~lana u kojem }e biti bar po jedan in`ewer imatemati~ar. Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 283/324
282
4. grupa 1999. god. (re{ewa)
1. a) 4 b) %30 od 180
2. a) 0= x b) 2±= x
3.2
23 2 4
k x , k Z x l , l Z x s , s Z
π π π π π = ∈ ∨ = − + ∈ ∨ = + ∈
4. ⎟ ⎠
⎞⎢⎣
⎡∈ 1,
2
1 x
5. 53,253 =+=+ y x y x
6. 2300P cm
Δ=
7. 34 84 H cm, V cmπ = =
8. 2= x
9. (sl. 12)Jedna~ina ima:
1) tri re{ewa, ako je ( )2,2−∈a
2) dva re{ewa, ako je 22 −=∨= aa
3) jedno re{ewe, ako je 22 −<∨> aa
Sl. 12
10. Na390 na~ina
1−1 0− 3 3
− 2
2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 284/324
283
1. grupa 2002. god.
1. a) Izra~unati
1
24 10,8 : 1
1 2 1 15 4: : : 0,4 .
1 2 3 2 30,64
25
−
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Uporediti brojeve 2 i 3 3 .
2. Re{iti jedna~ine:
a) ,6
5
123
14
28
3
4
2=
−−
−+
−
+
x x x
x b) ( )2
31 1
3 2
log x x +
⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
3. Ako su γ β α и, unutra{wi uglovi trougla, tada je
,γ β α γ β tgtgtgtgtgtg ⋅⋅=++ )90,,( °≠γ β α . Dokazati!
4. Re{iti nejedna~inu 245
181732
2
≤+−
+−
x x
x x .
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki ( )5, 1 A−
u odnosu na pravukoja prolazi kroz ta~ke ( )1 1,2 M i ( )2 1,6 M − .
6. Du`ina mawe katete pravouglog trougla je30 cm , a nad ve}om
katetom kao nad pre~nikom konstruisan je krug ~ija je prese~nata~ka sa hipotenuzom (a koja nije teme trougla) udaqena odtemena pravog ugla 24cm . Izra~unati obim tog kruga.
7. Oko lopte opisana je prava kupa ~ija je izvodnica jednaka pre~ni-ku osnove. Odrediti odnos povr{ina lopte i kupe.
8. Tri broja ~iji je zbir 19 ~ine gemetrijski niz. Ako se posledwibroj smawi za 1, dobija se aritmeti~ki niz. Koji su to brojevi?9. Odrediti sve kompleksne brojeve iy x z += za koje je
( )( ) ( )5 3 2 1i i z z− + = + ( z je konjugat od z ).
10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
a) 1≤+ y x ; b) ( )( )1 0 y sin x y− − ≥ ; v) 0)44)(( 222≥−+− y x x y .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 285/324
284
1. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а)2
1 б) 2 < 3 3
2. а) 5= x б) { }1,1 x ∈ −
3. =−
+−+=+−+=++
β α
β α β α β α β α γ β α
tgtg
tgtgtgtgtgtgtgtgtgtg
1)(
γ β α β α
β β α tgtgtg
tgtg
tgtgtgtg =
−
+−= )
1(
4. ( ] ( ]5,42,1 ∪∈ x
5. ( )3,1 − B
6. cmO π 40=
7. 9:4: =K L PP
8. 4, 6, 9a b c= = = или 9, 6, 4a b c= = =
9. 1 24 , 3 z i z i= − − = −
10. (сл.13) б)
а)
в)
Сл. 13
1
1
0
1
1 2
1
0
1
2
1
0
1
π
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 286/324
285
2. grupa 2002. god.
1. a) Izra~unati
1
22 41,08 :
1725 7 :5 1 2 7
6 3 19 4 7
−
⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟
− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Uporediti brojeve 1032 i 7128 .2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina
4
4
22
)(22
2
−
−+
−=
+
+
x
a x
x
x
x
a x
ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu .1321 =+++ x x
3. Dokazati identitet2
1 2 32
2 1
cos cos coscos .
cos cos
α α α α
α α
+ + +=
+ −
4. Re{iti nejedna~ine:
a) ,1
24
x x
−≤− b) ( )1
2
2 1log x − > − .
5. Odrediti ta~ku na krugu 054222=−+−+ y x y x najbli`u ta~ki
( )3,4 A . Kako glasi jedna~ina tangente kruga u tra`enoj ta~ki?
6. Osnovica jednakokrakog trougla je 48cm , a polupre~nik upisanog
kruga 8cm . Izra~unati obim i povr{inu tog trougla.
7. U sferu polupre~nika 6 upisan je vaqak maksimalne zapremi-
ne. Izra~unati povr{inu i zapreminu tog vaqka.
8. Odrediti rastu}i geometrijski niz ,...,,321 aaa za koji je
14321 =+− aaa i 16852 =+ aa .
9. Re{iti sistem jedna~ina:
1723 2=−
x y
1732 2 =+
y
x .10. U xy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:
a) 0))(1( ≥−−x
e y y x , b) 0))(1( 2≥−− x y y , v) 12 22
<+− y xy x .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 287/324
286
2. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a)7
17 b) 710 12832 >
2. a) 3=a ; } ( ) ( ){ ( ) \ 2, 2 , 2 2,2 2, x R∈ − = −∞ − ∪ − ∪ +∞
б) 1−= x .
( )
2 22 3 2 2 23
2 2
2 22
2
cos cos cos cos cos cos.
cos cos cos cos
cos cos coscos .
cos cos
α α α α α α
α α α α
α α α α
α α
+ + += =
+ +
+= =
+
4. а) ( ) [ ]3,21, ∪∞−∈ x , б) 42 << x
5. ( )1,2 M ,3
5
3
1+−= x y .
6. 2 108O a b cm= + = , 24322
ahP cm= = .
7. )21(8 += π P , π 28=V .
8. 2,6,18,54,...
9. 3= x , 4= y .
10. (сл. 14)
. а) б) в)
Сл. 14
1
0
1
1
00 1
1
1
1
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 288/324
287
3. grupa 2002. god.
1.a) Izra~unati ( ) ( )2
12 23
1
2
3 8 16 8log−−
−− + − − + .
b) Uprostiti)(
1
1
1:
1
1
1
caabcb
ba
cb
a++
−
+
+
+
.
2. Re{iti jedna~ine:
a)3
4
4
3
6
2
2
32 −=−
++
− x x x x , b) )3(8)3(20 222 x x x x −=−− .
3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
3 3 2
8sin x cos x sin x cos x − = ⋅
4. Re{iti nejedna~inu 223
42
2
≥+−
−
x x
x .
5.Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 72 22=− y x
konstruisanih iz ta~ke ( )1, 2 M − .
6. Osnovice trapeza su 5cm i 3cm , a uglovi na ve}oj osnovici °30
i 45 . Izra~unati povr{inu trapeza.
7. U poluloptu polupre~nika 5 R cm= upisana je pravilna trostra-
na prizma ~ija je visina 3 H cm= (jedna baza prizme je u osnovi
polulopte). Izra~unati povr{inu i zapreminu te prizme.
8. Re{iti jedna~inu 21...842 +=+++x x x .
9. Cifre jednog trocifrenog broja obrazuju rastu}i aritmeti~kiniz. Ako se ovaj broj podeli zbirom svojih cifara, dobija se ko-li~nik 30 i ostatak 6. Ako se broju doda 198 , dobija se broj napi-
san istim ciframa, ali obrnutim redom. O kom broju je re~?
10. Skicirati grafike slede}ih funkcija: a) 12)( 2+−= x x x f ,
b) 12)( 2−++= k kx kx x f )( Rk ∈ , v) ( )2( ) 2 f x sin x = .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 289/324
288
3. grupa 2002. god. (re{ewa)1. а) 1 б) 1
2. а) 2−= x б) }{ 5,2,1,2−∈ x
3. ,216
π π k x +=
216
3 π π l x += , ),( Z lk ∈
4. ( ) ( ]4,22,1 ∪∈ x
5. ( ) 0723:1 =−− y x t , ( ) 0765:2 =++ y x t
6. 24( 3 1)P cm= −
7. 260 3P cm= , 336 3V cm= 8.2
1−= x
9. 456
10. (сл. 15) а) б)
в)
Сл. 15
0
1
1
1
01
k=0
k>0
k<0
1
1
02
π −
2
π
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 290/324
289
4. grupa 2002. god.
1.a) Izra~unati
1 1 1 7 5 25
: 205 2 3 5 5 5
+⎛ ⎞+ − ⋅
⎜ ⎟− + −⎝ ⎠
b) Uprostiti ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⋅
+
−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+−1
2:1
233
33
22 ba
b
ba
ba
baba
ab.
2.Re{iti jedna~ine:
a)22
1711
2
35
1
75
x x
x
x
x
x
x
−+
+=
−
+−
+
+, b)
( )
4 2
2
13 360
3
x x
log x
− +=
−.
3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina4 4sin x cos x a+ =
ima re{ewa? Za najve}u dozvoqenu vrednost parametra a re{iti je-dna~inu.
4. Re{iti nejedna~inu1
2
1
22 4
x log
x
−
+
< .
5. Odrediti ta~ku hiperbole 154 22=− y x najbli`u pravoj
018 =−− y x .
6. Katete pravouglog trougla su 3cm i 4cm . Odrediti polupre~ni-
ke upisanog i opisanog kruga tog trougla.7. Izra~unati povr{inu i zapreminu prave zarubqene kupe ako je
wena visina 8 H cm= i ako se izvodnica s i polupre~nici osno-
va R i r odnose kao 5:4:1.8. Pedeset brojeva ~ini aritmeti~ku progresiju. Zbir ~lanova na
neparnim mestima je 50, a na parnim 25. Odrediti prvi i drugi~lan progresije.
9. Re{iti sistem jedna~ina
7=++ y xy x ,
2122=++ y xy x .
10. Ispitati da li me|u realnim funkcijama: x
x x f
3
1 )( = ,
1)(
2
2−
−=
x
x x x f , ( )
1
23
ln x
f x e= , 4 2
4 )( x x f = , x x f =)(5 ima
jednakih i skicirati grafik funkcije4 f .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 291/324
290
4. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а) 2 б) 1
2. а) } ( ) ( ){ ( ) \ 1, 2 , 1 1,2 2, x R∈ − = −∞ − ∪ ∪ +∞ , б) { }3,3 x ∈ −
3. 12
1≤≤ a ; re{ewe za 1a = je Z k
k x ∈= ,
2
π
4. ( ) ( )2
, 2 2, 2,5
x ⎛ ⎞
∈ −∞ − − +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
∪ ∪
5. ( )1,2 M
6. cm R 5,2= , cmr 1=
7. 2168 cmP π = , 3224V cmπ =
8. 1 226, 25a a= =
9. ( ) ( )}{ 1,4,4,1
10. )()( 31 x f x f = ; ( )4 2
4 f x x x = = (сл.16)
Сл. 16
1 410 4
1
2
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 292/324
291
5. grupa 2002. god.
1. a) Izra~unati ( ) ( )
2
170
270 4
35
2 1 12 0 5
2 1 2
log
,−− ⎛ ⎞
− − + − + ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠.
b) Uprostiti2 2
1 2 3:
1 1 2 1 1
x x
x x x x x
−⎛ ⎞− + ⋅⎜ ⎟
− − − + +⎝ ⎠
2. Re{iti jedna~ine:
a) 3212 −=+−− x x x , b) x x =++ 24 .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 12 22=−− x cos x cos x sin x sin .
4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )1
1 65 2 5 2
x x
x
−
++ ≤ − .
5. Na elipsi 204 22=+ y x odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od
prave 07 =−+ y x .
6. Oko kruga polupre~nika 6cm opisan je jednakokraki trapez ~ija
je du`ina kraka 13cm . Izra~unati du`ine osnovica tog trapeza.
7. Osnova prave prizme je paralelogram ~ije su stranice 9cm i
10 cm , a jedna dijagonala17cm . Izra~unati zapreminu prizme ako je
wena povr{ina 2334 cm .
8. Tri broja ~iji je zbir 15 ~ine aritmeti~ku progresiju. Akoprvom dodamo 4, od drugog oduzmemo 1 i tre}em dodamo 3, dobijamogeometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?
9. Odrediti vrednost realnog parametra a tako da sistem
1222 ≤++ x y x
0=+− a y x
ima jedinstveno re{ewe.
10. Za okruglim stolom sedi 12 qudi, pri ~emu niko od wih negovori sa susednim osobama. Na koliko na~ina mo`emo odabrati 5osoba, a da me|u wima ne bude onih koji me|usobno ne govore?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 293/324
292
5. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a)17 б) ( ) 21 x −−
2. { }0,1 x ∈ б) 5 x =
3. ( )2 , ,4
x arctg k x l k l Z π
π π = + ∨ = − + ∈
4. ( ) [ ], 1 2,3 x ∈ −∞ − ∪
5. ( )4, 1 M − −
6. 18 , 10a cm b cm= =
7. 3360V cm=
8. 3,5,13 12,5, -2− ili
9. { }1,3a ∈ −
10. Na 36 na~ina
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 294/324
293
6. grupa 2002. god.
1.a) Izra~unati
2
3 31 5
: 0,1 3: 7 :
7 27 2 144
9 5 17
−−⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎜ ⎟⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Uporediti brojeve 10011002 − i 10001001 − .
2. Re{iti jedna~ine:
a)
42
)3(2
22
2
−
−=
+
+−
− x
x
x
x
x
x , b)
2
1
21
2
20
log x x ⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅
3. Dokazati identitet 2442
48122
2
=−+
−− α α
sinsin
coscos.
4. Re{iti nejedna~inu)1(
2332
+
−<
−
x x
x
x
x .
5. Ta~ka ( )5, 2P − je sredi{te tetive parabole x y 82
= . Odrediti je-
dna~inu prave kojoj pripada ta tetiva.6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ~ije su osnovice
10cm i 6cm , a ugao na ve}oj osnovici 750 .
7. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadr-`i jedno wegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici trougla.Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog obrtnog tela.
8. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina
a x x x x
=+−+− ...16842
ima re{ewa?9. Izra~unati
2 5
9 9 9cos cos cos
π π π ⋅ ⋅ ⋅
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vredno-sti:
a) ( )2
x lim x x x →+∞
+ − , b)2
3 21
3 2
3 3 x
x x lim
x x x →
− +
− − +, v)
20
3 5
x
cos x cos x lim
x →
−⋅
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 295/324
294
6. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a) 4 b) 10011002 − < 10001001 −
2. a) x ∈ ∅ (nema re{ewa) b) { }5, 5 x ∈ −
3.2
2 2
1 8 4
2 4 4
cos cos
sin sin
α α
α α
− −=
+ −
2
2 2 2
1 4 8
4 4 4
cos cos
sin cos sin
α α
α α α
− −=
+ −
( )
2 2
2 2 2
2 2 8
4 4 1
sin cos
sin cos sin
α α
α α α
−= =
+ −
2 2 2
2 2 2
8 82
4 4
sin cos cos
sin cos cos
α α α
α α α
−=
−
4. ( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −−∈
2
3,01,2 ∪ x
5. 82 +−= x y
6. 23216 cmP +=
7.2
2 3P a π = , 2
3π a
V =
8. ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈
2
1,0a
9.
92
9
2
π
π
sin
sin
A =8
1
9
9
8
1
9
5
2
9
10
9
2
2
9
4
−=
−
⋅=⋅⋅π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
sin
sin
sin
10. a)2
1b)
2
1v) 8
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 296/324
295
7. grupa 2002. god.
1. a) Izra~unati
1
3
12
5 1 14
7 6 23
1 3 1: 0,2 :
9 2 9
−
−−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟
− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) [ta je ve}e : 5% od 300 ili 4% od 400?2. a) Odrediti parametar Ra ∈ tako da jedna~ina
422
)(22
2
−=
−−
+
+
x
x
x
x
x
a x
nema re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu( )
25,02232
2
=+−+ x x
.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 1sin x cos6 x sin5x − − = .
4. Odrediti realni parametar k tako da je
)( R x ∈∀ 01)1(2
>+−−+ k x k kx .
5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 16422
=+ y x normalnih na
pravu 01823 =+− y x .
6. Du`ine stranica trougla su 27cm , 29cm i 52cm . Izra~unati po-lupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla.
7. Na kom odstojawu od centra lopte polupre~nika R treba da budeta~kasti svetlosni izvor koji osvetqava jednu ~etvrtinu povr{i-ne lopte?
8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz ,...,, 321 aaa za koji je
554321 −=++++ aaaaa i 2854 =⋅ aa .
9. U xy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:
a) x sin y = , b) 22 0 x ln y− = , v) 02
22=+− ykx x )( Rk ∈ .
10. Razmatramo petocifrene brojeve (u dekadnom zapisu).a) Koliko je me|u wima parnih u ~ijem zapisu nema ponavqawa
cifara?b) Koliko je onih ~ije nikoje dve susedne cifre nisu jednake?v) Koliko ih je deqivo sa 25?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 297/324
296
7. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а) 3 б) 16400100
415300
100
5=⋅<=⋅
2. а)3
,32
a⎧ ⎫
∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭
б) }{ 0,1,3,4 −−−∈ x
3.3 2
, 2 ,6 3 2 10 5
k m x x l x
π π π π π π = + = + = + ; Z mlk ∈,,
4. ( )+∞∈ ,1k 5. 01032 =−+ y x , 01032 =++ y x
6. cmr 5= , cm R 7,37= 7. Rd 2=
8. 7,4,1,2,5 −−−
9. (сл.17)
a)
б) в)
Сл. 17
10. а) 13776678846789 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
б) 5904999999 =⋅⋅⋅⋅
в) 3600101094 =⋅⋅⋅
0
1
1
0
k=0
k>0 k<0
1
y
x 0
1
π π − π 2π 2−
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 298/324
297
8. grupa 2002. god.
1.a) Izra~unati
123 1 7 1 1 5 18
: : 35 4 10 2 3 7 29
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.
b) Uprostiti
11
2
1 3 2
2 2
1 1 1: :
11 1
x
x x x x
−
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟ −⎜ ⎟
+ + −⎝ ⎠2. Re{iti jedna~ine:
a)
13331 −=−−−x x x , b) ( ) ( )
0112712836
=−−+−x x .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 02542
=−− x cos x sin .
4. Re{iti dvostruku nejedna~inu 145
65
9
12
2
<+−
+−≤
x x
x x .
5. Odrediti ta~ku krive 522
=+ y x najvi{e udaqenu od prave
0102 =−+ y x .
6. Centar upisanog kruga jedanakokrakog trougla deli visinu kojaodgovara osnovici tog trougla na odse~ke du`ine 5cm i 3cm ,ra~unaju}i od temena. Izra~unati obim i povr{inu tog trougla.
7. Pravilna trostrana prizma upisana je u vaqak. Polupre~nikosnove vaqka je 6 R cm= , a dijagonala osnog preseka vaqka je
13 D cm= . Izra~unati povr{inu i zapreminu prizme.
8. Re{iti jedna~inu 12...16842 −=+−+−x x x x .
9. Re{iti sistem jedna~ina
9 31 2 9log x log y− =
2821
=⋅−− y x .
10. Na polici je pore|ano 12 kwiga. Na koliko na~ina mo`emoodabrati 5 kwiga, tako da me|u wima ne budu nikoje dve koje subile jedna do druge?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 299/324
298
8. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a)21 b) 1+ x
2. a) 5 x = b)⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈ 0,4
3 x
3. π π
π π
l x k x 26
5,2
6+=+= ; ( ) Z lk ∈,
4. 52
x =
5. ( )2,1 −− M
6. 232 , 48O cm P cm= =
7. 2 3144 3 , 135 3P cm V cm= =
8.1
2 x = −
9.1
2,6
x y= =
10. Na 56 na~ina
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 300/324
299
9. grupa 2002. god.
1. Koji su od slede}ih iskaza ta~ni:
( )i 13 12cos cos>
, ( )ii 32)3)(2( −⋅−=−− , ( )iii 1 1
2 2
6 5log log> ,
( )iv ( )4
3 2 9log log− = , ( )v3
π arcsin je realan broj?
Odgovore ukratko obrazlo`iti.
b) Izra~unati2
872728 ⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−−+ .
2. Re{iti jedana~ine:
a)6765
263
367 x x x x −+=++− , b) ( ) ( )222 510556 x x x x −=−− .
3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu
( ) ( )21 3 3sin x tgx sin x cos x sin x + = − + .
4. Odrediti realni parametar k tako da kvadratna funkcija
( ) 222)(2
++++= k x x k x f
bude negativna za sve vrednosti R x ∈ .
5. Na pravoj 062 =++ y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od
ta~aka ( )3, 1 A − i ( )5, 3 B − .
6. Povr{ina jednakokrakog tangentnog trapeza je 2156cm , a visina
12cm . Odrediti du`ine stranica tog trapeza.
7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kru`ne kupe ako su povr-
{ine wenih osnova 264 cmπ i 2
9 cmπ i povr{ina omota~a
2143 cmπ .
8. Odrediti aritmeti~ki niz ~iji je zbir prvih ~lanova uvek jednaktrostrukom kvadratu broja tih ~lanova.
9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re-{ewa jedna~ine
a x x =− 55 .
10. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva kod kojih se samo jednacifra pojavquje 2 puta?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 301/324
300
9. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а) ( i ) ⊥ , ( ii ) ⊥ , ( iii ) ⊥ , ( iv ) , ( v ) ⊥ ; б) 4
2. а) ( ), x R∈ = −∞ +∞ б) { }7,4,1,2−∈ x
3. π π
π π
l x k x +±=+=3
,4
; ( ) Z lk ∈,
4. ( )3,−∞−∈k
5. ( )4,2 − M
6. 18 , 8 , 13a cm b cm c cm= = =
7.3
388 cmπ
8. 3, 9, 15, 21, ...
9. Једначина има:
1) једно решење за 44 −<∨> aa ;
2) два решења за { }4,4−∈a ;
3) три решења за ( )4,4−∈a
10. 3888
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 302/324
301
10. grupa 2002. god.
1.a) Uprostiti
11
4 34 16 : : .2 2 22 8 16
a a aaa a aa a a
−−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠b) Bazen se napuni vodom iz 4 cevi za 21 sat. Za koliko sati se
napuni tre}ina bazena vodom iz 7 cevi?
2. Re{iti jedna~ine:
a)34
73
1
2
3
12
+−
−=
−+
− x x
x
x x , b) 0
2
91024
=−
+−
x
x x .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 132
22=+− x cos x cos x sin x sin .
4. Re{iti nejedna~inu ( )1
2
9 2 3 x log x − > − .
5. Na elipsi 22222
=+ y x odrediti ta~ku najbli`u pravoj
0153 =++ y x .
6. U kvadratu stranice a sme{tena su 4 podudarna kruga. Svaki odwih dodiruje dve susedne stranice kvadrata i dva od tri preosta-la kruga. Izra~unati povr{inu krivolinijskog ~etvorougla odre-|enog lukovima sva ~etiri kruga.
7. Izra~unati zapreminu kose kru`ne kupe ~ija je najdu`a izvodnica
361 =s cm , najkra}a 62 =s cm , a ugao koje one zaklapaju je °30 .
8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz ,...,, 321aaa za koji je
1452 =+ aa i 4543 =⋅ aa .
9. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina a x x =−2
ima maksimalan broj re{ewa?10. Od 5 u~enika, 6 studenata i 3 profesora treba izabrati peto-
~lanu delegaciju u kojoj }e biti bar po jedan student i profesor.Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 303/324
302
10. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а) 2+a б) Za ~etiri сата
2. а) { } ( ) ( ) ( ) \ 1,3 ,1 1,3 3, x R∈ = −∞ ∪ ∪ ∞ ; б) 3= x
3. π π
π l x k x +==3
, ; ( ) Z lk ∈,
4. ( ) ( )20 3 9 x , ,log∈ −∞ ∪
5. ( )2,3 −− M
6. (sl. 18) ( )π −= 416
2a
P
Sl. 18
7.3
39 cmV π =
8. ,...13,9,5,1,3−
9.(sl. 1 9) Шест решења за ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∈
4
1,0a
Sl. 19
10. Na 1485 na~ina
4
1
1 10
y a=
4a
a
a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 304/324
303
1. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati1 1 57 1 7 2
:20 407 3 7 2 5 3 3 2
⎛ ⎞ +− − ⋅
⎜ ⎟− + −⎝ ⎠.
b) Uporediti brojeve 3 124 i1
1
3
13 :3
2log .
−
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. Re{iti jedna~ine :
a)3 5 5 8 1 3 2
;4 3 6 4
x x x x − − − −− + = b) ( ) ( )
6 3
1 7 1 8 0 x x .+ + + − =
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
1cos x sin x ctgx
sinx + − = ⋅
4. Za koje su vrednosti realnog parametra m re{ewa jedna~ine
( )22 2 3 0mx m x m− − + − =
istog znaka ?5. Na pravoj 4 0 x y+ − = odrediti ta~ku podjednako udaqenu od
ta~aka ( )1 3 A , i ( )3 7 B , .
6. Du`ina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12cm , a ugao izme|u
dijagonale i osnovice tog trapeza je 30 .
Izra~unati povr{inutrapeza .7. Sfera sa centrom u vrhu kupe i polupre~nika jednakog visini
kupe deli omota~ kupe na dva dela jednakih povr{ina. Odreditiugao izme|u izvodnice i visine kupe.
8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz 1 2 3, , ,a a a … za koji je
1 2 3 4 5 5a a a a a+ + + + = i 2 4 8.a a⋅ = −
9. Uspravni stub, koji se nalazi na horizontalnom terenu, posmatra
se iz ta~ke na povr{ini zemqe. Sa rastojawa od 8m vidi se poddva puta ve}im uglom nego sa rastojawa od 25m . Kolika je visinastuba?
10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:
a) ( )2 24 2 ; x y x y≤ + ≤ + b) ( ) ( )2 0 x y y log x .+ − ≥
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 305/324
304
1. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. a) 2 b)
1
3 3
1
3
1
124 3 : 3 5 1252log
−
⎛ ⎞< + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2. a) 2= x b) { }0,3−∈ x
3. Z k k x ∈+= ,2
π π
4. ( ] ( ]4,30, ∪∞−∈m
5. ( )8,4− M 6.2
336 cmP =
7.
45=α 8. ( ),...7,4,1,2,5 −−
9. (сл. 20)
α tg x
=25
α
α
α 21
2
28 tg
tg
tg
x
−
==
Сл. 20
10. (сл. 21)
a) b)
Сл. 21
2
2
2
2
20
1
1
α 2α
25
8
15 x m⇒ =
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 306/324
305
2. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati ( )1
16 2
31
2
2 16 125 3:4log
−−
− + − + .
b) Uprostiti .bb
b
aabbbaab
b1
22234
3
22
2
2
−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
+⋅
−−+−
−
2. a) Odrediti parametar a R∈ tako da jedna~ina
2
1
1 2 3 2
x a x
x x x x
+− =
− − − +
nema re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu 5 7 x x − − = .3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2 4 6 0cos x cos x cos x .− + =
4. Re{iti nejedna~inu
2
1
221
3
x log
x .
−
+⎛ ⎞>⎜ ⎟
⎝ ⎠
5. Odrediti jedna~ine tangenti krive 2 22 8 x y− = paralelnih
pravoj 4 0 x y− − =
. Skicirati odgovaraju}u sliku.6. Izra~unati povr{inu trougla ako du`ine wegovih stranica
obrazuju aritmeti~ku progresiju sa razlikom 2d = i ako je
jedan unutra{wi ugao trougla 120 .
7. Pravougli trapez sa osnovicama 10cm i 2cm i povr{ine 290cm
rotira oko ve}e osnovice Izra~unati povr{inu i zapreminunastalog tela.
8. Odrediti opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje je zbirprvog i ~etvrtog ~lana 35 , a drugog i tre}eg 30.
9. Data je funkcija
( )
( )
( )
2
2
4 0
8 3 0 393 3
x x , x
f x x x , x
x, x .
⎧− + ≤
⎪⎪= − < ≤⎨⎪
− >⎪⎩Skicirati grafik funkcije f i koriste}i se wim, odrediti
broj realnih re{ewa jedna~ine ( ) ( ) f x a a R .= ∈
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 307/324
306
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~nevrednosti:
a)21
1;
3 4 x
x lim x x →
−
+ −
b)20
7;
x
cos x cos x lim x →
− v)3
0
1 1
x
x x lim x →
+ − −⋅
2. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. a) 5, b) 1 под условом да је 0, 1, 3 и 2a a b b b a≠ ≠ − ≠ − ≠
2. a) 21 −=∨= aa , b) 4−= x
3. ( ) Z lk l x k
x ∈+±=∨+= ,648
π π π π
4. ( )1, x ∈ +∞
5.02:
02:
2
1
=+−
=−−
y x t
y x t
6. (sl. 22)
( ) ( ) ( )2 22
2 2 2 2 120a a a a a cos+ = + − − −
5=a
( )1 15 32 1202 4P a a sin= − =
Sl. 22
7.2
2 382 1050
3T V K
RV V V R cm
π π π
⋅= + = ⋅ + =
2540 cmPPPP
K V V M M B π =++=
8. 27, 18, 12, 8, ...
9. Jedna~ina ima(sl.23):4 re{ewa za 02 <<− a
3 re{ewa za 20 −=∨= aa
2 re{ewa za 102 <<∨−< aa
1 re{ewe za 1=a
0 re{ewa za 1>a Sl. 23
10. a)1
10, b) 24, v)
5
6
120a–2
a+2
a
2
31
1
0
=a
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 308/324
307
3. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati ( ) ( )3
1150
50 3325
3 4 13 0 12533 2
log
, .−− ⎛ ⎞− − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠+
b) Uprostiti2
2 2
1 3 10:2 24 4 4
x x x x x x x x
⎛ ⎞ −− + ⋅⎜ ⎟
− +⎝ ⎠− − +
2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina2
2
2 81 2 2
x a x x x x x x
+ +− =
− + − −
ima beskona~no mnogo re{ewa i navesti ta re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu 4 12 x x .+ =3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
( )22 4 2 2 3 1sin x sin x cos x sin x .+ = −
4. Re{iti nejedna~inu2
2
4 31
1
x x . x x
− −≤
+ +
5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 2 22 9 x y+ = konstruisanih
iz ta~ke ( )9 0 M , .
6. Tetiva kruga je za 2 mawa od pre~nika, a odstojawe centra krugaod tetive je za 2 mawe od polupre~nika kruga. Odrediti du`inutetive, obim i povr{inu kruga.
7. U pravilnu trostranu prizmu upisana je lopta koja dodiruje svebo~ne strane i osnove prizme. Na}i odnos povr{ina lopte
prizme.8. Re{iti jedna~inu
( )13 9 27 3 1
2 x x x .− + − = −
9. Ispitati da li me|u funkcijama: ( ) ( ) 21 21 1 f x x , f x x ,= + = +
( )2
3
2 3
3
x x f x
x
− −=
−
, ( ) ( ) ( )2 1 24 52 2 1
log x f x , f x x x
+= = + + ima jednakih,
a zatim skicirati grafik funkcije ( ) ( ) ( )2 5 f x f x f x .= ⋅
10. Koliko se ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 3 mo`eformirati od cifara 0,1,2,3,4 i 5, ako nijedan broj nema jednakihcifara?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 309/324
308
3. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. a) 3 b)
( )22
1
−
−
x x
2. a) za 4−=a skup re{ewa je { }1,2 \ − R b) 81= x
3.2 2 7 2
, , , , , , ,2 6 3 18 3 18 3
l m n x k k l m n Z
π π π π π π π π
⎧ ⎫∈ + + − + + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
4. [ )∞∪⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−∈ ,2
2
1,
5
4 x 5. ( )9
4
1:1 −= x yt , ( )9
4
1:2 −−= x yt
6. π π 25,10,8 === POt 7. 39:2: π =PR L PP
8.2
1−
9. (sl. 24)
( ) R x x x f ∈+= ,11
( ) R x x x f ∈+= ,12
( ) { }3 \ ,13 R x x x f ∈+=
( ) 1,14 −>+= x x x f
( ) R x x x f ∈+= ,15
Me|u datim funkcijamanema jednakih.
( ) ( )
( )
2
2
2
1, 1
1 1 1 , 1 0
1 , 0
x x
f x x x x x
x x
⎧ − ≤ −⎪⎪
= + ⋅ + = − − < ≤⎨⎪
+ >
⎪⎩
10. Zbir cifara mora biti deqiv sa 3. ^etvorocifrenih brojeva
formiranih od cifara skupa { }5,4,2,1 bez ponavqawa cifara
ima 4!=24. ^etvorocifrenih brojeva formiranih od cifara
skupova{ }3,2,1,0 ,{ } { } { }0,3,4,5и4,3,2,0,5,3,1,0 bez ponavqawa cifa-
ra ima ( ) 7212334 =⋅⋅⋅⋅ .
Dakle, tra`enih brojeva ima 9641824 =⋅+ .
(vidi sliku 24)
11
1
0
Sl. 24
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 310/324
309
4. grupa 2003. god.
1. a) Ispitati ta~nost slede}ih iskaza:
( i ) Ako je svaki pravougaonik kvadrat, onda je 3<2;
( ) { } { }{ } ( ) ( ) ( ) 2 4
3 32 1 2 <1, 3 8
5 2 2ii , , iii tg iv , v log log
π − −⊂ = <
− −.
Odgovore ukratko obrazlo`iti.
b) Izra~unati ( )2
6 2 5 2 5 6 .+ − −
2. Re{iti jedna~ine:
a)2
2
2 1 2 2
2 1 2
x x x x
x x x x
− + −− =
− + − −
, b)
( )
4 210 9 02
x x .log x
− +=
−
3. Re{iti jedna~inu
2
29 9 4cos x cos x .+ =
4. Re{iti nejedna~inu
2 2 3 3 3 x x x .− − < −
5. Na}i jedna~inu kruga ~iji je centar u ta~ki ( )5 4 A , i koji spoqa
dodiruje krug 2 2 4 5 0 x y x + − − = .
6. Jedan ugao trougla je 120 , a stranica naspram tog ugla ima
du`inu 2 7cm. Odrediti du`ine preostale dve stranice ako je
povr{ina trougla 22 3 .cm
7. Ta~kasti svetlosni izvor udaqen je 8m od centra lopte polupre-
~nika 4m . Na}i odnos povr{ina osvetqenog i neosvetqenog de-la lopte.
8. Tri broja ~iji je zbir 38 ~ine opadaju}u geometrijsku progresiju.Ako se od prvog broja oduzme 2, dobija se aritmeti~ka progresija.
Koji su to brojevi?9. Re{iti sistem jedna~ina
4 3
32
x ylog y log x
xy .
− =
=
10. Ukrotiteq zveri treba da izvede na cirkusnu arenu u koloni 5lavova i 4 tigra, a da pritom nikoja dva tigra ne budu jedan zadrugim. Na koliko na~ina on to mo`e u~initi?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 311/324
310
4. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а) ( )i ( )ii ⊥ ( )iii ( )iv ⊥ ( )v ⊥; б) 4
2. а) 1= x б) { }1,3 −−∈ x
3. ( ) Z k k
x ∈+=24
π π
4. ( )5,2∈ x
5. ( ) ( ) 44522
=−+− y x
6. 4 , 2a cm b cm= =
7. (сл. 25)
d
R
R
x = , 2= x , 2=−= x Rh
π π 162 == RhPosv
π π 4842
=−= osvneosv P RP
3:1: =neosvosv PP
Сл. 25
8. 18,12,8
9. ( ){ }16,2
10. Ukupan broj na~ina je 65! 4! 120 15 24 43200
4
⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
R x h d O
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 312/324
311
5. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati
3
2 5
1
3 32 1 : 0 7
7 160
2 4 71 :
25 3 9
,
−−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b)Tri radnika su zaradila 3780 dinara. Prvi radnik je radio 5sati, drugi radnik 6 sati, a tre}i radnik 7 sati. Kako treba dapodele zaradu?
2. Re{iti jedna~ine
a)2
2 1 6;
4 1 3 4
x
x x x x
+− =
− + − −
b)( )2
2 21 1
2 3
log x х−⎛ ⎞
= ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
5 9 0cos x cos x cos x .+ + =
4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da re{ewajedna~ine
( )2 2 2 1 0mx m x m− + + − =
budu pozitivna.
5. Na elipsi 2 22 3 14 x y+ = odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od
prave 3 8 0 x y .+ − =
6. U trapez sa kracima 15cm i 13cm i ve}om osnovicom 21cm
upisan je krug. Izra~unati povr{inu trapeza.7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kru`nog vaqka upisanog u
pravu trostranu prizmu ~ije su osnovne ivice 9a cm,= 10b cm=
i 17c cm,= a visina 10 H cm.=
8. Odrediti beskona~nu opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje
je drugi ~lan 4, a suma svih wenih ~lanova je 3
16
sume kvadrata
tih ~lanova.9. Re{iti sistem jedna~ina
2 2
6
84
x xy y
x xy y .
− + =
+ + =
10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama
a) ( ) ( )2 2 2 29 9 4 0; x y x y+ − + − ≤ b) ( )( )1 0 x x y e x y .− + − ≥
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 313/324
312
5. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а) 8 б) 1050, 1260, 1470
2. а) { }4,1 \ −∈ R x б) { }3,3−∈ x
3. ( ) Z lk l
x k
x ∈±=∨+= ,62510
π π π π
4. ( )∞∈ ,1m 5. ( )2,1 −− M
6. 2168 cmP = 7. 248 cmP π = , 340 cmV π =
8. ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ,
4
1,
2
1,1,2,4,8 9. ( ) ( ) ( ){ }2,8,8,2, ∈ y x
10.(сл. 26)
а) б)
Сл. 26
21 1
2
2
2
3
3
0
0 1
1
e
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 314/324
313
6. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati
3
21 1 3:4 5 8
5 22 1:1,4 5
7 5
−
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Koliki su unutra{wi uglovi trougla ako se odnose kao
7:14 :15 ?
2. Re{iti jedna~ine
a)2
2
3 5 8
5 2 3 10
x x x
x x x x
+ −− =
− + − −
; b) 1 3 2 1 x x − + − = .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2 22 5 2sin x sin x cos x + + = .4. Re{iti nejedna~inu
2
2
113
2
x log
x
−
+⎛ ⎞<⎜ ⎟
⎝ ⎠.
5. Ta~ka ( )2 1 A , je sredi{te tetive parabole 2 4 y x = . Odrediti
jedna~inu prave kojoj pripada ta tetiva.6. Du`ine stranica trougla su 13 14cm, cm i 15cm. Odrediti
polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla.7. Izra~unati zapreminu zarubqene kupe ako je wena povr{ina
2216 cmπ , razlika polupre~nika osnova 5cm , a izvodnica 13cm.
8. Ako tri broja istovremeno obrazuju aritmeti~ku i geometrijskuprogresiju, onda su oni jednaki. Dokazati!
9. Dokazati jednakost
5 55 65 2 3tg tg tg .⋅ ⋅ = −
10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama
a) ( )21 0 xy x y+ − ≤ ; b) ( )( )2 2
2 1 0 x y y x y+ − + − ≤ ;
v) ( )( ) ( )2 3 0sin x y ln x y x + + − ≥ .
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 315/324
314
6. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а) 27 б)
75,70,35 === γ β α
2. а) Nema re{ewa б) 1= x
3. ( ) Z lk l x k arctg x ∈+−=∨+= ,4
3 π π
π
4. ( )5 7
, 1 1, ,4 2
x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. 32 −= x y 6. cm R 125,8=
7. (sl. 27) 3
388 cmV π =
8.2
2a cb b ac+= ∧ = ⇒ cba ==
9.
5 55 655 55 65
5 55 65
sin sin sintg tg tg
cos cos cos⋅ ⋅ = =
( )
( )
11 5 105 10 12022
1 15 10 120 5 10
2 2
sin cossin cos cos
cos cos cos cos cos
⎛ ⎞+− ⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
( )
1 1 15 10 5 15 5 5
2 2 21 1 1
5 10 5 15 5 52 2 2
sin cos sin sin sin sin
cos cos cos cos cos cos
+ − +
= =
− + −
15 2 3tg = −
10.(сл. 28)
a) б) в)
H
R–r
Sl. 27
1
110
10 e
1
Sl. 28
1
1 10
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 316/324
315
7. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati
1
3
5
2 1 7 1: 4
7 2 8 2
1 73 1:0 4 :
2 8 ,
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅
⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Koliki su spoqa{wi uglovi trougla ako se oni odnose kao 7:11:12 ?
2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina
2
2
2 213 2 6
x x a x x x x x
+ +− =
+ − + −
ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu 2 3 3 x x .− + + =
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
( ) ( )25 6 4 4 5 1sin x sin x sin x cos x − = + .
4. Re{iti nejedna~inu
( )21 1
2 2
4 3log x log x − ≥ .
5. Na krivoj
2
8 y x =
odrediti ta~ku najbli`u pravoj 4 0 x y− + =
.Skicirati odgovaraju}u sliku.
6. Du`ina sredwe linije trapeza je 10cm . Ona deli trapez na
delove ~ije se povr{ine odnose kao 5 : 3. Odrediti du`ineosnovica trapeza .
7. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilne ~etvorostrane
piramide ~ija je visina 8cm, a povr{ina dijagonalnog preseka
248 2 cm .
8. Nenulti brojevi 1 2 3a ,a ,a ,…
obrazuju aritmeti~kuprogresiju. Dokazati da je
1 2 2 3 1 1 1
1 1 1
n n n
na a a a a a a a+ +
+ + + = ⋅
9. Odrediti sve kompleksne brojeve z x y i= + za koje je
( ) ( ) ( )2 3 3 11 13 1i i z z− + = − , ( z je konjugat od z ).
Za 0 x > izra~unati i ( )2003
2 z .−
10. U xOy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 317/324
316
a) 2 y cos x = ; b) 1 y xe = ; v) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 y k x kx , k R .= + − − ∈
7. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а)3
2 б)
144,132,84 111 === γ β α
2. а) { }2,3 \ ,7 −∈−= R x a б) 21 −=∨= x x
3. ( )2
,15 5
l x k x k l Z
π π π = ∨ = ± + ∈ 4. [ ) ( ]4,22,4 ∪−−∈ x
5. ( )4,2P 6. cmbcma 5,15 == 7.3
384cmV = ,2
384cmP =
8. 3 2 12 1
1 2 1 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 n n
n n n n
a a a aa aa a a a d a a d a a d a a
+
+ +
− −−+ + = + + + =
1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n
a nd a n
d a a a a d a a d a a a a+ + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −= − + − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9. ( ) i zi zi z −=−−−=−=
2003
21 2,1,2
10.(sl. 29)
a)
б) в)
Sl. 29
x
2
10
k<0
k>0
k=0
02
π −
2
π
1
e10
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 318/324
317
8. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati
2
33 2 455 7 11
1 71:0 3 1 :
3 36 ,
−
⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Uporediti brojeve 4 22
log i 27 33
log.
2. Re{iti jedna~ine
a) 2 1 2 1 x x x − − − = +
; b) 3 1 3 x x + + =
.3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2 28 5 2 14 6sin x sin x cos x − + = .4. Re{iti nejedna~inu
( ) ( )6
13 2 3 2 x
x .−
++ ≤ −
5. Odrediti jedna~ine tangenti kruga 2 2 2 4 0 x y x y+ − + =
konstruisanih iz ta~ke ( )4 3 M ,− .
6. Visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli tuhipotenuzu na odse~ke du`ina 16 cm i 9 cm . Na}i povr{inu
kruga upisanog u taj trougao.7. Bo~ne ivice pravilne zarubqene trostrane piramide nagnute
su prema ravni osnove pod uglom od 45 . Izra~unati zapreminu
te piramide ako su wene osnovne ivice 4a cm= i 2b cm= .
8. Tri broja ~ine rastu}u geometrijsku progresiju. Uve}avawemdrugog ~lana za 8, data progresija postaje aritmeti~ka. Ako unovoj progresiji tre}i ~lan uve}amo za 64, dobijamogeometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?
9. U zavisnosti od realnog parametra a , odrediti broj realnihre{ewa jedna~ine
3 3 1 0ax ax − − = .10. Koliko ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 5 mo`emo
formirati od cifara 0, 1, 2, 5, 6 i 7, a da nijedan od tih brojevanema istih cifara?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 319/324
318
8. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а) 4 б)3log3662log 274 339822 ==<==
2. а) { } [ )1 2, x ∈ − ∪ +∞ б) 1 x =
3. ( )4 ,4
x k x arctg l k l Z π
π π = + ∨ = + ∈ ; 4. [ ) [ )3, 1 2, x ∈ − − ∪ +∞
5.⎭⎬⎫
=−+
=++
022
052
y x
y x 6. 225 cmP π =
7. 3
3
14cmV = 8. 36,12,4
9.(sl. 30) Једначина има:
1) два решења за ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=±=
2
12
1a
a
2) три решења за ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞∪⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∞−∈<<− ,
2
1
2
1,2
12 a
a
3) једно решење за ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∪⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∈−<∨>
2
1,00,
2
12
12
1a
aa
4) нула решења за 0=a
Sl. 30
10. 60!335 =⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ( 0 на крају)
24!334
=⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ (5 на крају, а 0 не учествује)
( ) 242!324
=−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ (5 на крају и 0 учествује)
Укупно има 108 таквих бројева.
x x y 33−=
0,1
≠= aa
y
3− 3
2
2
1 10
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 320/324
319
9. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati ( )
1
2
5 1 7 1 1: 0 25 1 : -1:0,58 2 6 4 2
,
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Uprostiti4 3
2 13 :
1 1 11
x x x x
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠2. Re{iti jedna~ine:
a) 3 1 2 5 ; x x x − − − = + b) ( ) ( )2
2 2 3 2 2 x x x x − − = − .
3. Dokazati identitet
( )6 68 3 4 5sin x cos x cos x + − = .
4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da je
( ) ( ) ( )22 1 2 1 0 x R m x m x m∀ ∈ − + + + − < .
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki ( )3 5 A , u odnosu na pravu
2 6 0 x y+ − = .
6. U trapez sa kracima 6cm i 10 cm upisan je krug. Sredwa linija
trapeza deli trapez na dva dela ~ije se povr{ine odnose kao
11:5. Odrediti du`ine osnovica trapeza.
7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe ako je wena izvodnica za 1cm du`a od visine, a pre~nik osnove je 1 dm .
8. Re{iti jedna~inu
1
2 4 8 1615
x x x x + + + + = ⋅
9. Re{iti sistem jedna~ina
( ) ( )2 3
2 2
1
2
log x y log x y
x y .
+ − − =
− =
10. Igra~ igra 5 razli~itih igara, pri ~emu u svakoj igri obaveznoosvaja tri, ~etiri ili pet poena. Na koliko na~ina on mo`eosvojiti ukupno 20 poena?
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 321/324
320
9. grupa 2003. (re{ewa)
1. а) 2 б) 1+ x
2. а) { }4,2−∈ x б) { }3,1,1−∈ x
3. ( ) =−+ x cos x cos x sin 438 66
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−−⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
+= x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin 43232433
228 4
( ) 543418
318432
4
318 2
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= x cos x cos x cos x sin
4. ( )0,∞−∈m
5. ( )3,1− B
6. 14 , 2a cm b cm= =
7. 290P cm ,π = 3100V cmπ =
8. 4−= x
9.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
1,
2
3
10. Ukupan broj na~ina je 5130201
!2!2
!5
!3
!51 =++=++
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 322/324
321
10. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati ( )
1
214 11 7 52 : 0 8 1 0,9
5 5 3 9 ,
−
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
b) Uprostiti4 3
6 1: 9
3 3 33 27 81
x x x x
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞− + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠2. a) Odrediti sve vrednosti parametra a R∈ za koje jedna~ina
2
2
2 3
1
x x a x
x x x x
+ −− =
− −
nema re{ewa.
b) Re{iti jedna~inu ( ) ( )1 1
2 41 1 2 x x − − − = .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
( ) ( )24 4 2 4 3 3sin x sin x sin x cos x − = + ⋅
4. Re{iti nejedna~inu
( )2 2
100 01log x log x x , log x log x .
+ +< =
5. Na krivoj 2 2 10 x y+ = odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od prave
3 12 0 x y+ − = i izra~unati tu udaqenost. Skicirati
odgovaraju}u sliku.6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trougla ~ija je osnovica
du`ine 30 cm , a polupre~nik upisanog kruga 10cm.
7. Izra~unati zapreminu pravilne ~etvorostrane zarubqene
piramide ~ija je dijagonala 9 D cm= , a osnovne ivice 7a cm= i
5b cm.=
8. Tri broja ~iji je zbir 6 obrazuju rastu}u aritmeti~ku progresiju.
Ako se prvom broju doda 5, a drugom i tre}em po 1, dobija segeometrijska progresija. Koji su to brojevi?
9. Oko sfere polupre~nika R opisana je prava kupa minimalnezapremine. Odrediti wenu visinu.
10. U xOy - ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:
a) y cos x ,= b)( )2ln x x
y e ,−
= v) ( )2 2kx y k k R .+ = ∈
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 323/324
322
10. grupa 2003. god. (re{ewa)
1. а) 3 б) 3+ x 2. а) { }3,2∈a ; б) 17
3. ( ) Z mk m
x k x ∈+±=∨= ,3
2
9
π π π 4. ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
∈10
1,0 x
5. ( )3,1 −− M ,10
22=d 6. 2540 cmP =
7. 3109 cmV = 8. 8,2,4−
9. ( )4 4minV V R , H R= =
10. (Сл. 31)
а)
б)
в)
Сл. 31
0
k=0
1 1
0
k<0
1
0
1
11
k −−
k −
0
1
1
y
x
2
π
2
π
−2
5π −
2
5π
2
3π
2
3π
−
k>0
1
1
1 10
k −
k
7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 324/324
323
LITERATURA
[ ]1 @. Ivanovi} , S. Ogwanovi}: Matematika 1, Zbirka re{enih za-
dataka za I razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beograd1995.
[ ]2 @. Ivanovi}, S. Ogwanovi}: Matematika 2, Zbirka re{enih za-
dataka za II razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beo-grad 1997.
[ ]3 S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}, L. Milin: Matematika 3, Zbirka
re{enih zadataka za III razred gimnazija i tehni~kih {kola,"Krug", Beograd 1992.
[ ]4 S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}: Matematika 4, Zbirka zadataka i
testova za IV razred gimnazija i tehni~kih {kola, »Krug«, Beo-grad 1999.
[ ]5 Vene T. Bogoslavov: Zbirka re{enih zadataka za IV razred gi-
mnazija i tehni~kih {kola, Zavod za uxbenike i nastavna sred-stva, Beograd 1999.
[ ]6 S. Ogwanovi}: Matematika 4+, Re{eni zadaci sa prijemnih ispi-
ta na univerzitetima u Srbiji 1995– 2000, "Krug", Beograd 2001.
[ ]7 \. Dugo{ija, @. Ivanovi}: Matematika 5, Re{eni zadaci iz ma-tematike sa prijemnih ispita na univerzitetima u Srbiji,Dru{tvo matemati~ara Srbije, Beograd 1991.
[ ]8 \. Vukomanovi}, D. Georgijevi}, A.Zoli} i dr.: Zbirka zadataka
i testova iz matematike za pripremawe prijemnog ispita za upis na tehni~ke i prirodno-matemati~ke fakultete, Zavod zauxbenike i nastavna sredstva, Beograd 2000.
[ ]9 V. T. Vodnev, A. F. Naumovi~, N. F. Naumovi~: Osnovn∫e maтema-
тi~eskie formul∫ , Minsk′′V∫{eŸ{a® {kola
″1988.
[ ]10 N. P.Antonov, M.Â. V∫godskiŸ, V. V. Nikitin, A. I. Sankin:
Sbornik zada~ пo Ì lemenтarnoй maтemaтike, Moskva, 1962.