Hi iea manyMT.

- in;

( E 10

Izatt;-mtikti ' tin ) < E¥aHi ' ti . If ECb- a)

okasuje tiq ,Ze indeksiv 2 B mie me 2byt auto

,a pmyuojmuiq

.

odpowiaolojg matym

odintommiys8 . Ee ( ti ' tin ) t.IE (Mimi ) Hi - tin ) f 5th . ) - § (fpi .(

i? ( ti - tin ) < 8 Terror sprobwjemy oszawwec'

vdzhi 's5(Fof# ) - { ( Fof ,t)= .tk#imikti-ti-D=za(M?imi)lti-ti..)t.B2lMimiIHitiD

f ECb- e)+216.8

f E ( b - at 2k ) Fuukqie Fof jest wigc wiekowalme .

9 Tae a8k

Powyzne twierokeerie poawald ponensyi isfotnie sewing those fuukji wekowal -

mydr . 20mW azmy pmede wszystkim ,Ze catkowelue jest ioleutycznosc :

[a ,b] at their Weimy poobiat

[ a ,bJ me n miwnycu aqsci : niech D= b- a

5Cidi⇒ - Slid . ) = [ Caton).sd+(a#'Lt. . - + (attnmotdnh ] - [and+la#n£++ . . .+(a+h¥D£n]=( a%Dn£- ads= ( b-odds= tied ¥0

Biorqc idjakof idowolueciqgre Fdostojemy , stosujqc FAKT 2,

ze funky .e ajgresgcatkowolhe W Senne Riemann a

Pokasywalismy ,Ze jesli f ,geRKa,bJ ) to ftg , fg e R ( [ a ,b ]) . Weimy

x 'Esx2- jest to funky .ecipgta . Stosuypc FAKTZ owttojemy ze caekowae

he sq : ( fig } , f-g)'

fg=tg( ( ftg )? ( f- GP )

Fuukqie ttltl jest apgfa , wobectego jeili f jest aaitowalue to lfl

tezµPowaolto,

2 odpaoiednich nierownosa.

owe sum dolhyari ginnych wyuika ,

Ze jes.li Fte [ a ,b ] f( tjfglt ) I fig catkowalne to-

ff < fgLQ,b ] [ qb ]

.

Poniewez f f If 1 I - ff If 1 to

¥@Ed¥e¥¥¥ia¥E¥f ' mamywisc

Terror sojmienysigmiebieskg osgsciq ,tsn wtosnosaieun

.

sang.

weki :

FAKT 3 Niece FERC tails ] ) I nick Ce Jaibl wtedy feR( [ a ,cD i fER(TgbDon

at.fi#tsaID0woD.aleuyED.SkovofER&aib

]) to istniqie T - podziou [ aib ] taki,

Ze

STFI ) - 5- (f ,I ) < E

Weismypodziat To ={ e, tatz , . . . .

,tm

,. . . , th . , ,b } taki

,ze old pewneyo men

tm=c I Jojestdrobmiejszymiz I. wteoly

54,50 ) - Iff , To ) f 54,5) - { ( f ,I ) ( E Osnaauy tI={ a, ... ,tm }

Bit tm,

. . . ,b]. Is jest podziatem [ a ,cJ

, I podziatem [ 9b]. Many

5(fID=5( fkae ,,R)+ [(ftp. , ,R ) ;£ (

ftp.slfka.o#D+s(figb,F

) ;

STFIDIHIID . 5C fan ,.R) - stfka,,#Dt5(fk* ,

,R ) - £(fkgb,Fu) < E

÷ soI

5C fkae ,E) - stfkae ,#D<E 5Cftp. , ,R ) - £(flank ) 's

I I

feR( [a ,cD feR( LTBJ)

Dla udowoduieuie viwwosa .

caiek weizmy take poobiaiy 5 ; Ia odcinkiw

[ aioli

E ,b] odpowiednio aby 12

stfkaeiddfsuttk 5( flab ]FDf§*ftEwtedy old I=I~uIa many

51ft ) ' a{ of¥b,f+e C .* * )

Jednocsesniemozemy wsigc FtakizeSTF,E ) E | f +E.

Dbe ftdrobniejszegomiz Ii E sadroobg die nierowwosci [ alb ]

⇐ " " "

set ,⇒¥£¥¥+e5Hi⇒e

.La is ]

5K£) - ¥af+fgfh{ e 54M¥.,£ Ee

[atsf [he,f¥↳f

⇒- if ) - E 5C f ,

it )

⇒ lsaottsaisesanke .

on

Dos 'd ocsywiste jest uzosadmienie nostgpujgcego faktu : Jesli f :[ a ,bJ lR

jest wtkowalue we [a ,c]i

[ cis ] alla ce Ja ,b[ to jest wilkowalue me [ aib ]

Uslobamy E >0 I tieremy Is ,Tz ,F poobiaiy IQ ,c ],

[ c ,b ],

[ a,b ] odpowiednio .

Podsiai I jest drobniqiszymiz Izust , ponadto 51 fkae , ,E ) - § ( fkae ,,T

.) ' EE

54 units ) - 2 ( trans ,MD' %

54,5 ) - 2 ( ff ) f 54,5EUR ) - { (t.J.us . )= 5( ftp..

, ,, In ) +5 ( flu,b]MD+- 5H

, , , ,,

5, ) - 5th . ,↳ ,

,J, ) < 42+42 = £ba

Powyzsy fakt pozwabe rozszemyi klasg fuukyi oaikowalnych W sound

Riemahmh

me funky.e Kawakami afore pod waruukiem ze liable"

Kawaikow"

jest skonisona.

Caikowalne me odcimkn domkmigtym sq wigc funky .e majqce skoicseuie

wide puuktiv miecipgtosci . Mozhe wykdzai ,ze catkowalne w Senna Die -

manna we odcinku domkniqtym sq funky .e, Klinger zbiov punktow

mieciqqoscijestconojwyzg.

pmelicsaluy . Robie.

tegomiebgobiemyw tymmomeuae . Powroaimy do two sayowlnieuie pmyokagi catkins funkyi

Wiebe smiennych .

Probujgc liayi catty 2 definigi sazwyag.

Aveng suaeeii { bib ]Wyzuocsauie sup 2 ( f ,

I ) but infs ( f ,I ) po wnystkich poobiouachjest kiopotliwejeduak . Lkwyaoj dreary liayi granite zwykiego ciggu .

Podobuie operowoueie supf i inff me [ tin , ti ) jest ktopotlive .

Dbe

fuukji ciggdych moznetego uuikmgd .

Dbe podsialu J=fto , tz , . . . ,tn } odankd [ a ,b] defimiujemy sreolmig podzie .

tu d.

= max { ti - ii. } . Wypuuktowaniem podziaiu Fnazywamy sbiom

ietu' I .={ sa ...

, }n}c[ aib ] take .

ize tfietn tie Elia ,ti ] . Uzywe rigwypunktowaniepnypomouylewego tonne : Seti . s , prawego

Konica giati .

Uzywa rig takze tour. wypunktowanie Lagrange 'a osywiscie tylko the

funkgimznicskovalmyh : wodcinku [ti% , ti ] wyoieramy Sispeiniejqceftti ) - fan . , ) - ftsi ) ( ti - ti . , )

TWIERDZENIE : fe Cka ,bD ( In ) new ajgpodziaeiw take .

,Ze

don ¥0 In mien osmece dowolue wypuuktowenie In . wtedy.

dhe S ( f ,Tn , In ) = Ike f(5i ) ( ti ' ti . ^ ) zachodzi

nlexs scfisni ED¥a .us

Dow '0D : Fuukqie ciqopa me [ a ,b] jest jednostojnie cigga . suajobieuy wise5>0 lakie ze josh

.

It'

- tlcc to lfct '

) - FHHCE . Wszcsegiluoscijesli ale

podziaiu I d ,t< S to old dowoluego odciukd tego pookiouunothiae ftp.wgfzitn.f.IE,

< a sateen 54,5 ) -

Effiilcefbamozebyc .

olowol -

mie matePopraumy Kong :

He >o 75 : It '- +1<8 ⇒ Iflt'

) .f(t)/< e- 14( b - e)

wteowfg (f ,I ) . § ( f ,J ) < E.

fciggfe wigc wtkowelne . Marny :

5- ( f ,I)fS( fist ,

' I )f5( fist ,'I ) i ICFI )¥↳f < 5( fit )try

H

I SCF,

I,

I ) -

LQ ,bJdue ciggu In takiego ze don - so sawne snag

.

obiemy m to 'K "

ze dstnc S

ayeSHUI, Em) -ff / ( E

TEe ,bJ

cigg zbiezny do catki On

Fuukje mum bye'

ciggra suojdicie kontrpmykied dhemeecigyrych .

Ostatecsuiejestojmygotowi me podstasowe lwierdzeuie.

TWIERDZENIE ( Podstaoowe Nachunku rozhiczkowego I witkowego)

Niech feR( [ a ,b] ) wtedy F :[ a ,b ] 2×1-3

[§ ,×f EIR jest aforePonaouo jes.li fjestciggo . wxo to F jest

vdznicskowalnd w Xo I Ftxotfko )

Dow '0D Pmypomimamyize w pmypadku Kiely b > a §f= - £f ¥,

?,

f jest caikowalue,

wobec two jest afrounisome . Wezimy M3§ayglf1 ygdhe dowolnyurx, ye Elis ] many

Fa - fast It - µ = §fosw . .ae to ,⇐ . jest LipshitotIFE ) - Fly )| = / §f / f MIX - yl d she a to jest wigcq

.

miz afore !

Weimy term xoeja ,b[ takiizef jest ciggtawxo :

nt ( FC xoth ) - FCA)) = th ק+"f 2 ciggosa.

f w × , wuioskujemyre dle

E >o mozemy wziqc' 8 take ,

Ze

dhe XE ]xo -8,Xo+8[ f HE ]f( xo) - E

, FKDH [t

fko) - E ( f ( x ) < f ( xo ) to

toiamifowwwnsex€¥n*+ . vyingXoth

✓ L

(f(xD -e) - h f ff { ( fate )hXu

f- (xo) { fk0thYFlI fflxo ) i.e. Fkxo )=fH , )

on

2powyznego wyuike , ze Kazda funky .e ciggra ma funky .q pierwotug .

W

ton'm dochodzimy do tegojak licsyi catkg osnacsomp .

TWIERDZENIE : Niech fe

C([a ,bD

, Fpierwotme do f me ]a,b[ i

uggra me tail . wtetya{,↳y= fcb ) - FGD +wueTzgTfeRKaisD

olowod jest truanieiszy .