TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH

-

-

Nick (¥01) bgolziepmestmeuigmetrycang.Istnieniewyrozne.org.

metrgkiol powooueje , Ze pookbionyxmajgbogatgstrukturq.Pmeakilkeenog.biz sugarwyktaoliowaajmiemysigroolaajamiaoiooo.co wpmestmenimetryosnei.pmypomnig.myriajpieow wazug define

'

gig : Help otwaotg o droolKee w x i

promieuiursonosywamysbiorkcx.ir) -- f ye : day ) er }DEFINI A : Tnbiorem otwaotym w I uaaywamy take poolzbior O

-IIZe spetniony jest waounek

Fx€0 For : KA,n) - O

Ineauej moioigc sbior 8 aoiwieoo Keedy swoj puukt wraz a pewug Kulpo droolKee w tym punkie .

PRZYKTAD : W (IR, l. - - l) K(x, r) = Tx - or, xtrt #¥r

Odcinek bez Kon'

wit Ta,BE jest srbioremotwaotym , poolobriie potpros -

to Jc , OE i wite IR . Otwowty ( no. may uueowy) jest roiouiez 0jake padzbior IR .

Istotnie,alia xe Ta

,BE wedmy

-

or = Emin f b- r, a- r} .wteo.ly Tx-N

,Xt NE a Ja

,be .

Padobuie olla poitprostej be2 Konica .

Odciuek Ea , BE vie jest otwowty , golyz olowoleey odciueko droolKee wQ

i, Wy stage"

10020. EQ , be

] a-or,Qtr E n (IR - Ea, bt) o Ja-r, QE ¥0

PRZYKEAD : W IR-a omehykg euklidesowg of, otwowtesg abiosy , ktore sq

" grube"i bez bueegu :

Te some strong sq otwowte co IR'd2 mehykg dy ido . Wyeeika to 2 riwuowaz -

Moshi metnyk .

PRZYKEAD : Niech I bgobiepmestkeeeigoguaeeicsonychciggo.ws rseceywis -tycle a mehykp supremum :

= { (xn) : Xue IR i snapHula -} of ((xn) , Cgm )) -ftp.nlxu-yulCry sbior 2 Z={ Ctu) : live Xu = O } jest rdbioreeee otwowtgeee ?his-

Okoczuje sig Ze vie - niece or bgobie dowoleep licebg rseceycoistg doolat -wig .

Wea'my takze (Xu ) c- '2 . Wiwcsas cigg yu= rztxu jest eleueeeetem

Keele' o droolKee W (xn) i promiehiu r ale ¥yzyn= Nz to

W olowoleeq'

Keele'

o 5radKee w (xn) Sg wise ciggi, ktore nie realezg do 2.

STWIERDZENIE : Keeler otwaota jest 2biorem otwowtym .

DOWOD :

Nicole ye KCX , n) wowczas of(x , y ) an we2'my 8=21 (or- ol(x, y )) .

Pokazemyize K( y , S ) - K (Xin) .

Istotuie,niece Ze k Cy , 8)

d(xp ) s d( x. g) t Olly ,z ) s ol (x.g) to = okay) t tf (or- day )) s -

C dlxiy ) + (r - day ) ) = or tan ol (x , 2) an ⇒ ZE K (x,N) .

O

STWIERDZENIE : Suma dwocleabiooocdotwowty.ch jest abiovenrotwowtym . Pssecigcie olwocleabioro.co otwowtycu jest abioreeeeotwowtym .

DOWOD :

Nicole O i U 68dg otwaote. Wedmy XE Ou U. Lesli x EO

to istuieje or take,Ze Kcx, n) co c OuU . Jes'll xe U to take

istuieje or take'e,Ze Kann) CUC Ouu .

Uwaga : 2 pmebieguolowookewyeee.tw. Ze seemed olowoleeq'

rooking absorber

otwowtycle , takze taking ' moyigcej reieskouueeeie wide eleeeeeeetow,

jest snbioreeee otwowtym .

Roswazmy teoocz On U. Wybieoaeeey olowoleey x E On U Oros olwou

promieuie : Nz i Ng take'e,ze k(x, m) - O i KK, Na) all . Oaeeeecsmy

r= min frenzy .

Woiwczas :

KCX, N ) CK (x, m ) c O i KE, or)cK(x. Na ) CU ,tan KCX

,r) c On U .

Uwaega : 2 pmebieguolowoolee wyuika , Ze pssecigcie skouicsonej rooking2biouo.co otwowtycee jest srbioreeee otwowtyue , hatomiast nie ow. sigtego Nozseeizyc

'

ha rooking reieskouiceoue, up

8=112,01=1 . - - 1 One T- Lu , It few On = to} Dior jeeduopuukto -

Wy vie jest otwowtyw 112.

o

PODSUMOWANIE : WTASNOSCI 21310120W OTWARTYCH :

Cr ) & i X sp otwaote

G) olla olowoluej rooking (G)*A abiouoiootwowtycuabior

Lea Ox jest otwaoty

(3) olla olowoleeej skouicsouq'

rooking ( Op )peB I BIL A stir

#BOB jest otwowty.

9.io#i:si:::ns:.ee-:n:;::z:::::.::s::.m

IEI.IE#7nainmtE:F:E7I:g7Innie '

STWIERDZENIE : Riwnowazne metryki serology jeolueekowe topologiesDow8D :

' '.

Niece g, i ga bgolp olcoieenet ntwnowazngmimetrykaueiWX. Upewnejmy sig co to 2noisy ujeoluakowetopolog.ie

"

.Queenie

to, zejeilisoioojestotwaotywaglgolemmehykig.to jest otwauty

wzglgoleeee mehykigz i oolwrotuie. Mehykisg roiouowazue jes'llistuiejg ai b e IR, take'e, Ze

at * ) Cx)

try g. Cx,g) f aging) i glay ) f losing)

Rozwazmy KIX ,or ) - Keele o promiieeeiu or wzglgoleeu mehyki g,

Puuktyuoeezgce do toy'

Keele'

spetueiajg waereerek g. (x.g) c r.

a rcieoowuosii (x )wyeeikatakzez-espetuiajgouewaereuekgfx.ly) S b gray ) Cbr tan ualezg do Keele'

Ky (x, brr)

Kzfx, or) c ka (x , brr) (* *)Podobuie Kak, r ) c Ke (x, ar) (* )

Niece teoaz sbior O bgolzieotwaotyw2glg.co/eeeegs.O2eeeeuo. to, ZeKazdy puukt x holeZy ow O wUQ2 2 pewup Keeley w2glgdellemetnyki g.so promrieuiu Ny .

Kula ta zawieoa Cx) keels coughs -delle uuehyke

'

ga o proceeieeeiu Vax = for,× sateen Kzcx, %) c O.

2bio.ro jest otwowty wsrglgdeeee ga

Podobuie, jeili soicsnieeny cool drone Ootwowtegowzgegoleeee gz , stonier-

Okelley Ze koZay punk t x uoclezy do O cores 2 Keely o proueieeeiuPax .2 riievowhosci Ctx *) wyleiko , Ze Ktla Kz ( x, 13×7 soccer

'

ere

Kulig Kae, pm ) Otto. pm = Paya ,sateen Kac x, pm ) C O .

LbiorO jest wigcotwaoty w ga .

o

DEFINICJA : otoceeeeieeee otwaotym puuktu X EX uoizywaeny Herzogsbior otwaoty zouoieooyigcy x.otoueeeieeupuuktuxuazywamykazocgsbio.iraouoieooyigcey x Woaa peony Keely KK, n) .

DEFINICJA : Nicole A CXbgolzieolowoleeyeeepookbiorem.ieA hazywormy puuktem wewngtiznym X jes'll istuieje or so take'e ,Ze KK

, or ) CA . 2biorpceukto.io wewugtrcych A ozuaceo.my Int CA ) ireoidywamy wugthem rsbioru A

XEX uoczywamy puuktem blzegowym abioru A jes'll spetuiouy jestwowuwek

for>O KCX, r ) AA # 0 i KCX, r ) n (x -A) €0

2biorpuukto.co bueegowycee A hazgwamy bnegiem A i 02hamamy 2A

X uazywamy puuktem skupieuia sbioru A jeiei speiuiouy jestwaouuek torso Kcx, n ) n A # 0 . 2biorpuuktowskeepieeee.ie A neazywa -

my domknigciem A iozueaaocmy F.

DEFINICoA : LtiOr ACX no.2ywamyolomkmigtymjes.li A- -A.

STWIERDZENIE : 2tiir jest olomknigty wteoly i tylko wteoly guy jagodopetnieeeie jest otwaote.①OWO'D :

⇒ niece A bgolziedomkhigty tan A- = I . Oaneacsmy D= X -A .

Lato'Z-

my . Ze O vie jest otwowty . Istrciejewteoly XE Otaki,ze olla dowol-

Meego or>o K (Xin) 40 , tan Karen) n A *0 . Wteoly x jest puuktemskeepieuia A ,

sateen x EA . Otuyeuale 's'

hey spnecsuos-

c'

a wowuukiem

XE O.

⇐ Niece A bgobie take; Ze O - XIA jest otwaoty . Herzog puuktxeOwclcooki do O WW2 2 peony Keely, oloktaoleeiej

H) TX E D=XIA Fr : K (x, r) c O.

Niece teoaz y bgobie punkteen skeepieeeie A, Eau y speiuia waouuek

(* * ) for>O K(y,r) n A €0 .

02ham to,Ze y Et O bo Cx) i (* *) sig

wsoyieeeeniewykleewoy.is .

W take'm wgpowlkee YEA ,20AM A jest

olonnkeeigty . oA-eteomatywniemozemytezmys.ee

'

,Ze abiouyolornkeeigte to take'e

, ktorgcuolopetreieeeia Sg otwaote.

PRZYKTADY 21310126W DOMKNIETYCH :

Cn) ( IR , I. - - t ) olouekeigte Sg : oolciuek olomknigty [a , b] , poilprosta own -

knight IQ ,XE

, juden puukt her } . . .

G) ( 1122, da ) olomkreigte sg :

✓ & ✓ \ Kay) : x >og

(3) (X, of ) Keele dormknight jest dormknight . Istotnie , roawazmy doorX ' KTM)

xikcx.ir ) = { ye X : okay) > r }Niece 8 = ta ( d( x.y) - n ) Niece takze ZE K (y , 8) tar ol (yr ) CS

d ( x , y ) f d ( x , 2) tolly ,z ) off xp ) > d ( x.y ) - ol ( yr ) > . . .

- . .

> day) - S > okay) - ( okay) - r ) - r

of ( x. z ) > or tan ZE Xi Thcxir ) i dealer K (y , 8) c Xi Ekin )

Lbior Xikhxir) jest otwowtyo

STWIERDZENIE Suma skovicsouej rooking2biorowolomkhigtyclejestdomkuigte.Pmecigc.eeobowoleeej cooking 2biovo.co olormkuigtycee jest olomknigte.DOWOD :

Podstawpdowodeesguastgpuigcefaktyowtyczp.ee dopeeteeieeiabiouou. Niece A '

02ha Ceo. X ' A

(Au B)'= A'n B ' i (An B)

'= A'u B '

Prawa te uoqileeioyig gig no, olowoleep looking abiouo.co :

( iU¥i )'=

.

Ai'

i lift Ai )'= if Ai

'

Nieve tared As , . . . . An bgolp olomknigte . Roawazamy (AsuAau - - - uAu ).

2bior ten jest ocomkuigty wteoly i tylkowteoly gag jegoaopetuieuiejest otwowte :

(Asu Az U - -- Au ) ' = Az

'n - - - n An

'

. Koizoly 2e abiovoid Ak'

jest otwarty,pnecigcie skouicouq

'

cooking abiouoirotwaotycee jest otwocofe.

Daley' bieueeeey (Ai) ieI - hooking2biorowoloceekeeigtyceeinozwazamy.eeAi ) ' = Yee Ai ' fest to sweet noobiceey abiooocd otwowtyck, awipe abide otwowty . Tego dopetceeieeeie , agei

pmecigcie cooking (Ai ) ieI ebiooowolomkeeigtycee jest rdtioueeuolomknigtym.

(4)

Dignan sierpinskiego jest abioreeudomkeeigtglu

(5)