Zespół realizujący przedmiot: prof. dr hab. inż. Zbigniew Łucki dr inż. Alicja Byrska-Rąpała

Zespół realizujący przedmiot:

prof. dr hab. inż. Zbigniew Łucki

dr inż. Alicja Byrska-Rąpała

dr inż. Alina Kozarkiewicz-Chlebowska

dr inż. Dionizy Szyba

mgr inż. Paweł Filipowicz

mgr inż. Michał Góralski

mgr Rafał Kusa

mgr Izabella Stach-Janas

mgr inż. Mateusz Wiernek

mgr inż. Jerzy Wąchol

mgr inż. Sebastian Załęcki

pies Benji

Katedra Zarządzania Przedsiębiorstwem

Autor:Autor:Zbigniew ŁuckiZbigniew Łucki

Matematyczne techniki zarządzania - 2Matematyczne techniki zarządzania - 2

PORADY I PROŚBY

• MTZ to część wiedzy człowieka z wyższym wykształceniem (rozumie-nie rozmów, opracowań, artykułów naukowych itp.)• przedmiot jest odmatematyzowany — uczymy rozumienia problemów, posługiwania się tablicami i programami komputerowymi oraz inter- pretacji wydruków• warunkiem sukcesu w opanowaniu wiedzy jest skupienie uwagi na danym przedmiocie — jak masz bezmyślnie przepisywać slajdy, to lepiej idź do kina, a potem ucz się z książek (literatura w skrypcie)• staramy się uczyć Państwa metodą pokazową i metodą „zróbmy razem”, co znacznie ułatwia zapamiętywanie• można nauczyć się przedmiotu w ogóle nie „ucząc się” — wystarczy właściwie wykorzystać wykłady, ćwiczenia i projekty

Gambarelli G., Łucki Z.: Jak przygotować pracę dyplomową lub doktorską.Łucki Z.: Jak zdać egzamin.

Matematyczne techniki zarządzania - 3Matematyczne techniki zarządzania - 3MTZ obejmuje następujące standardowe przedmioty:• rachunek prawdopodobieństwa• statystyka opisowa• statystyka matematyczna• ekonometria• badania operacyjneDlaczego MTZ, a nie oddzielne przedmioty — statystyka, ekonometria i badania operacyjne?Uzasadnienie przedmiotu:• poznawanie i poprawianie rzeczywistości• zarządzanie ilościowe• walka z bombą I (przetwarzanie informacji)

Skrypt do ćwiczeń

Matematyczne techniki zarządzania. Przykłady i zadania. Red. nauk. Z. Łucki. Wyd. AGH, Kraków 1998.

Wykładowcę ubiera: żona Teresa, Wydział GGiIŚ

If you can’t measure it, you can’t manage it...If you can’t measure it, you can’t manage it...Jeśli czegoś nie zmierzysz, nie możesz tym Jeśli czegoś nie zmierzysz, nie możesz tym zarządzać!zarządzać!Robert S. KaplanRobert S. Kaplan


Przykłady praktycznego wykorzystania MTZPrzykład 1. Zmierzono wydajność pracy dwu brygad w pewnej fabryce. Brygada A ma średnią wydajność 45,8, a brygada B wydajność 48,7. Czy można powiedzieć, że brygada B jest lepsza od brygady A i dać jej wyższe wynagrodzenie?

A ? B 45,8 48,7

• TAK, bo B ma lepszy wynik.• NIE, bo pomiar był wyrywkowy i uzyskana różnica może mieć przypadkowy charakter. Powtórny pomiar może dać całkiem odwrotny wynik.

Przykład 2. Grając na giełdzie rozpatrujemy prognozy zachowania się akcji firmy C w ciągu roku. Specjaliści określili, że istnieje szansa 60%, że cena jednej akcji wzrośnie o 30 zł, przy prawdopodobieństwie 40%, że cena spadnie o 50 zł. Czy warto kupić akcje firmy C w celu przechowania przez rok?


Powiązanie MTZ z innymi przedmiotami

MTZ

Matematyka

Organizacja

Informatyka

Ekonomika

Socjologia

zysk, koszt

decyzja, kontrola

kryterium, wartośćprogram, menu

całka, pochodna


RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWARACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Definicja prawdopodobieństwaPrawdopodobieństwo P(A) zajścia zdarzenia A jest to stosunek liczby „n” sytuacji sprzyjających temu zdarzeniu do liczby „N” wszystkich sytuacji możliwych.

P(A) = n/NInne symbole: P, Pi, p, pi, p(B), P(X) itd.

1 P(A) 0P(A) =O: zdarzenie A jest niemożliwe.P(A) = 1: zdarzenie A jest pewne.Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie, zdefiniuj zdarzenie A.

Przykłady: ciągnięcie karty z talii , zapytanie studenta itd.Najczęściej używanym modelem losowania jest urna z kulami - kule mogą reprezentować każdy element: karty, studenta, pracownika, maszynę, złoże geologiczne itd.

Nn


Rozpatrywanie dwu lub więcej zdarzeńW rzeczywistości rozpatrujemy kilka zdarzeń równocześnie.Najprostszym układem są dwa zdarzenia wykluczające i uzupełniające się: A i Ā (nie-A, zdarzenie przeciwne).

P(A) + P(Ā) = 1P (Ā) = 1 — P(A)

W ogólnym przypadku, obliczenia przeprowadza się w zależności od wzajemnego stosunku zdarzeń.Rozróżniamy następujące rodzaje zdarzeń:• ze względu na równoczesność występowania

1. zdarzenia wykluczające się2. zdarzenia niewykluczające się

• ze względu na wzajemne powiązanie (sposób losowania)

1. zdarzenia niezależne (losowanie ze zwracaniem)2. zdarzenia zależne (losowanie bez zwracania)

A B

A

B


Zdarzenia zależne• wpierw zachodzi zdarzenie A, a po nim zdarzenie B• występuje prawdopodobieństwo warunkowe P(BA)Przykład 3. W urnie znajduje jest 15 kul: 10 czerwonych i 5 czarnych. Wylosowanie kuli czerwonej w 1. losowaniu = zdarzenie A. Wylosowanie kuli czerwonej w 2. losowaniu = zdarzenie B. NUMER LOS. ZE ZWRACANIEM LOS. BEZ ZWRACANIALOSOWANIA ZDARZENIA NIEZALEŻNE ZDARZENIA ZALEŻNE

1 P(A) =10/15 P(A) = 10/15 2 P(B) =10/15 P(BA) = 9/14

P(BĀ) = 10/14DZIAŁANIA NA PRAWDOPODOBIEŃSTWACH

Mnożenie prawdopodobieństwPrawdopodobieństwa dwu lub więcej zdarzeń mnożymy w celu obliczenia jaka jest szansa wystąpienia wszystkich tych zdarzeń równocześnie.

P(AB) = P(AB)• zdarzenia wykluczające się: P(AB) = 0


• zdarzenia niewykluczające się niezależne: P(AB) = P(A) P(B)• zdarzenia niewykluczające się zależne: P(AB) = P(A) P(BA)

Przykład 3 cd. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w obu losowaniach?• losowanie ze zwracaniem

P(AB) = (10/15) (10/15)• losowanie bez zwracania

P(AB) = (10/15) (9/14)

Dodawanie prawdopodobieństwPrawdopodobieństwa dwu lub więcej zdarzeńdodajemy w celu obliczenia jaka jest szansazajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń.• zdarzenia wykluczające się:

P(AB) = P(A) + P(B)

A

B

A i B

A B+


• dwa zdarzenia niewykluczające się: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

• trzy zdarzenia niewykluczające się:P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)Kombinowanie wielu zdarzeńPrzez łączenie ze sobą obu działań na prawdopodobieństwach mnożenia i dodawania można rozwiązać dowolnie skomplikowane zadanie z rachunku prawdopodobieństwa.Przykład 4. Rzucamy trzy razy monetą. Jaka jest szansa (P) wyrzucenia jednego orła (O) i dwu reszek (R) w tych trzech rzutach?Szukanemu rozwiązaniu odpowiadają trzy sytuacje:• ORR: P(ORR) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125• ROR: P(ROR) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125• RRO: P(RR0) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125

P = P(OOR) + P(ROR) + P(RRO) = 0,375TAKIE LICZENIE JEST PRACOCHŁONNE I DLATEGO STOSUJE SIĘ

GOTOWE WZORY

P(AB)


Prawdopodobieństwo całkowite i bayesowskieTe dwa pojęcia mają taki sam układ zdarzeń — istnieje szereg zdarzeń wykluczających się Ai oraz zależne od nich zdarzenie B. Pojęcia te różnią się natomiast pytaniem:• p. całkowite: jaka jest szansa zajścia zdarzenia B?• p. bayesowskie: jaka jest szansa, że zaszło zdarzenie Ai, jeśli zaszło B?

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite )()()( ii ABPAPBP

Wzór na prawdopodobieństwo bayesowskie

)( BAP i)(

)()(BP

ABPAP ii

Przykład 5. Do egzaminu z MTZ przystępują studenci studiów dziennych, zaocznych i wieczorowych. Szansa zdania egzaminu przez tych studentów wynosi odpowiednio 0,7, 0,5 i 0,3. Liczebności studentów wynoszą odpowiednio 150, 90 i 60 osób. Jaka jest szansa zdania egzaminu przez dowolnego studenta? Jeśli student zdał egzamin, to jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to student zaoczny?


Definiujemy zdarzenia:• A1— zdawanie egzaminu przez studenta studiów dziennych

• A2— zdawanie egzaminu przez studenta studiów zaocznych

• A3— zdawanie egzaminu przez studenta studiów wieczorowych• B — zdanie egzaminuWyznaczamy prawdopodobieństwa:• P(BA1) = 0,7 P(BA2) = 0,5 P(BA3) = 0,3

• P(A1)=150/300=0,5 P(A2)=90/300=0,3 P(A3)=60/300=0,2

Obliczamy prawdopodobieństwo całkowite zdania egzaminu przez dowolnego studenta:

P(B) = (0,5)(0,7)+(0,3)(0,5)+(0,2)(0,3) = 0,56Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe,że osoba, która zdała egzamin, jest studentem studiów zaocznych:

P(A2B) =(0,3)(0,5)/0,56 =0,27


Wzór dwumianowy (Bernoulliego)Umożliwia on określenie szansy uzyskania określonej liczby sukcesów (k) przy losowaniu ze zwracaniem:

pqqpkn

kP knk

1)(

gdzie:n — liczba losowanych elementówp — prawdopodobieństwo sukcesu w jednym losowaniuLiczba sposobów wylosowania k elementów z n-elementowej próbki jest dana wzorem na liczbę kombinacji

!)!(!kkn

nCkn k

n

Przykład 4 cd. Prawdopodobieństwo jednego sukcesu w trzech losowaniach możemy wyliczyć tym wzorem znacznie szybciej:

375,0)5,0()5,0(!1)!13(

!3)1( 21

kP


Wzór Poissona (zdarzeń rzadkich)Jest to szczególny przypadek wzoru dwumianowego, polegający na tym, że n jest bardzo duże (>100), a p bardzo małe (poniżej 0,05):

npkekp k

!)(

Przykład 6. Producent pewnych wyrobów twierdzi, że jego produkcja zawiera — zgodnie z obowiązującą normą — maksymalnie 1% braków. Klient zakupił 100 losowo wybranych wyrobów i znalazł w nich dwa braki. Oskarża więc producenta o niedotrzymywanie normy. Producent broni się losowością próbki. Kto ma rację?Mamy: n=100, p=0,01, =1, k=2 i obliczamy szansę trafienia na próbkę z dwoma brakami przy produkcji zgodnej z normą:

184,0!21)2(21

ekp

Rację ma więc producent, gdyż klient natrafił na pechowy dla niego układ zdarzeń, który jest możliwy z szansą 18,4%.


Wzór PascalaDotyczy on również losowania ze zwracaniem, ale określa prawdopodobieństwo, że do uzyskania z góry określonej liczby sukcesów k potrzeba będzie n losowań. Wzór geometryczny (probabilistyka egzaminacyjna)Jest to wzór Pascala dla przypadku, gdy interesuje nas jeden tylko sukces (k=1). Przy niezmienionych oznaczeniach mamy:

1)( npqnPPrzykład 7. Studenta, który nie przygotowuje się dokładnie do egzaminu i przy każdej próbie jego zdawania ma szansę p sukcesu, interesuje jakie jest prawdopodobieństwo, że zda egzamin za pierwszym, drugim, trzecim itd. razem. Szanse te (w %) wynoszą:

Który raz zdaje p=0,5 p=0,7 p=0,9

1 50,00 70,00 90,00 2 25,00 21,00 9,00 3 12,50 6,30 0,90 4 6,25 1,89 0,09 5 3,12 0,57 ~0,01


Wzór hipergeometrycznyWzór ten dotyczy losowania bez zwracania. Szansa uzyskania k elementów o sprzyjającej cesze jest zależna od liczby wszystkich elementów w urnie N, od liczby elementów w urnie z tą cechą R i od liczby elementów losowanych z urny n.

nN

knRN

kR

kP )( Pierwszy człon licznika określa liczbę sposobów wylosowania elementów sprzyjających, drugi — elementów niesprzyjających, a mianownik — liczbę sposobów wylosowania próbki z urny.Typowym przykładem jest losowanie Totolotka. Przyjmując N = 49, R = 6, n =6, można obliczyć szanse trafienia trzech i sześciu liczb w losowaniu. Wynoszą one

P(k=3) = 0,017.650.40P(k=6) = 0,000.000.08P(k=0) = 0,435.964.98


ZMIENNE LOSOWE

Definicja zmiennej losowejSymbol: XRealizacje (wartości): x1, x2,...xi.,xn

Zmienna losowa jest to wielkość zależna od przypadku, dla której jesteśmy w stanie określić prawdopodobieństwo pi, że przyjmuje ona wartości z przedziału (a, b).Istnieją dwa światy:• zdeterminowany: wartość stała C = constans• stochastyczny (probabilistyczny): zmienna losowa XSyntetyczny zapis zmiennej losowej:• walka z bombą I (dla celów zarządzania)• rodzaj rozkładu modelowego oraz jego funkcje i parametryKlasyfikacja zmiennych losowych:• skokowe (dyskretne): liczba studentów, awarii, złóż, klientów• ciągłe: ilość czasu, pieniędzy, węglowodorów, produkcji


Funkcje do opisu zmiennych losowychzmienne skokowe zmienne ciągłe

f. rozkładu prawdopodobieństwa f. gęstościdystrybuanta dystrybuanta

Zmienna losowa skokowa — rozkład Jak przetworzyć zebrane dane (obserwacje, pomiary itp.) w rozkład zmiennej losowej?Przykład 8. Asystent zapisuje liczbę studentów obecnych na poszczególnych ćwiczeniach laboratoryjnych:Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Data 4P 11P 18P 25P 8L 15L 22L 29L 6G 13G 20G 3S 10S 17S 24SObecni 8 5 6 6 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 8

TO NIE JEST ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ!!!To jest wykres zmiany liczby obecnych w funkcji czasu!


Aby zbudować rozkład prawdopodobieństwa należy zidentyfikować poszczególne wartości xi zmiennej i policzyć ile razy każda z nich występuje.Uzyskamy w ten sposób liczebności ni dla poszczególnych wartości, które następnie przekształcimy w prawdopodobieństwa pi występowania poszczególnych wartości — według wzoru:

Xi 4 5 6 7 8

ni 1 3 4 2 5

pi 0,067 0,200 0,267 0,133 0,333

nnp i

i

JAK NALEŻY ROZUMIEĆ TENWYKRES?

Jak się go interpretuje:• prawdopodobieństwo, że...• ...procent zajęć ma...

0,067 0,2 0,267 0,133 0,333

4 5 6 7 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

4 5 6 7 8

Wartości x

Praw

dopo

dobi

eńst

wo

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

4 5 6 7 8

Wartości x

Praw

dopo

dobi

eńst

wo

Matematyczne techniki zarządzania - 20Matematyczne techniki zarządzania - 20Zmienna skokowa — dystrybuanta

Dystrybuanta jest to funkcja określająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż określone xi:

)()( ixXPXF Przykład 8 cd. Funkcję dystrybuanty wyznaczamy kumulując wartości kolejne pi:

xi 2 3 4 5 6 7 8 9

pi 0,000 0,000 0,067 0,200 0,267 0,133 0,333 0,000

F(xi) 0,000 0,000 0,000 0,067 0,267 0,534 0,667 1,000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Wartości x

Dyst

rybu

anta

JAK NALEŻY ROZUMIEĆ TENWYKRES?

Jak się go interpretuje:• prawdopodobieństwo, że...• ...procent zajęć ma...

1

1)(

k

iik pxF


• znając dystrybuantę można wyznaczyć rozkład i na odwrót• znajomość funkcji dystrybuanty umożliwia rozwiązanie zadań:

1. jaka jest szansa, że X<xi

2. jaka jest szansa, że x1<X<x2

3. jaka jest szansa, że X>xi

wg definicji= F(x2)—F(x1) ???

= 1—F(xi) ???

Miary do opisu zmiennej losowej X• miary tendencji centralnej• miary rozproszenia (zmienności)Miary tendencji centralnej

1. wartość średnia m, μ a także2. wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna E(X)3. mediana, wartość środkowa Me4. moda, wartość modalna, dominanta Mo

Wartość średniaJest to średnia arytmetyczna:• gdy dane nie są przetworzone

x

n

xm

n

ii

1


• gdy dane są przetworzone w rozkład

k

iii pxm

1

Przykład 8 cd. Obliczamy średnią liczbę osób obecnych na ćwiczeniach:

467,615

8...58 m 465,6)333,0)(8(...)067,0)(4( m

• Interpretacja średniej• Wady średniej:

1. nie występuje w rzeczywistości2. nie odzwierciedla zbioru danych 3. prowadzi do złych decyzji (miraż średniej)

.. ... .. .... .. . ...x . ... ... . .. ...... . . . . . x . . . . . .Wartość oczekiwana

Jest to wartość średnia odnosząca się do bardzo dużej liczby doświadczeń (do populacji generalnej), liczona z wartości xi i pi.

Przykład 9. Obliczamy oczekiwaną liczbę oczek przy rzucaniu kostką do gry:

5,3)654321(61)( XE

Średnia liczba wyrzuconych oczek m odnosi się do określonej liczby rzutów (n=10, 30 lub 100) i nie da się określić a priori, aczkolwiek czasami przyjmuje się, że E(X) = m.


MedianaJest to wartość środkowa zbioru danych, gdy te zostaną ułożone w kolejności rosnącej lub malejącej. Jeśli liczba danych jest parzysta, to mediana jest średnią geometryczną dwu wartości środkowych.

21

ii xxMePrzykład 8 cd. Ustawiamy rosnąco liczbę studentów obecnych na ćwiczeniach:4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6 , 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 Me = 6Dlaczego mediana różni się od średniej? 0,067 0,2 0,267 0,133 0,333

4 5 6 7 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

4 5 6 7 8

Wartości x

Praw

dopo

dobi

eńst

wo

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

4 5 6 7 8

Wartości x

Praw

dopo

dobi

eńst

wo

Me m Mo

Przykład płac w Radzie Miasta!

Moda (dominanta)Jest to wartość, która występuje najczęściej.W przykładzie 8 wartość Mo = 8.

W zależności od mody rozróżniamy rozkłady:• amodalne• jednomodalne• dwumodalne


Miary rozproszenia (zmienności)1. odchylenie standardowe s, sx, s(X), σ, σx, σ(X)

2. wariancja V(X), s2, s2(X), σ2, σ2(X)3. współczynnik zmienności W = s/m4. rozpiętość (rozstęp) R = xmax— xmin

5. kwantyle QOdchylenie standardowe

k

iii

n

ii

pmxs

n

mxs

1

2

1

2

)(

)(

Jest to liczba określająca przeciętną odległość wartości zmiennej losowej od jej wartości średniej:

.. ... .. .... .. . ...x . σ ... ... . .. ..... s duże! . . . . . . x . . . . . . s małe!

• w jakich jednostkach jest wyrażone odchylenie standardowe?• dlaczego w kalkulatorach mamy dwa różne przyciski na odchylenie standardowe?

nmxi

n

2)(

1)( 2

1

n

mxin

Wzór dla całego zbioru, Wzór dla próbki,daje mniejszą wartość daje większą wartość (poprawka)


Przykład 8 cd. Odchylenie standardowe liczby studentów obecnych na ćwiczeniach wynosi:

σn = 1,3098 σn-1 = 1,3558• jak zinterpretować te wartości?• jaką informację one niosą?WariancjaJest to liczba będąca kwadratem odchylenia standardowego.Dla przykładu 8 wariancja wynosi Vn = 1,8382.

W jakich jednostkach wyraża się wariancja?

NIE MYLIĆ WARIANCJI Z WARIACJĄ• wariacja to liczba możliwych układów przy losowaniu

• wariancja to miara zmienności zmiennej)!(!nN

NANn

1)()(2

nmxXV i

Ważnym pojęciem jest też liczba odpowiadająca licznikowi wzoru na wariancję — nosi ona nazwę całkowitej sumy kwadratów (SSTO) lub zmienności całkowitej.Dla przykładu 8 wartość SSTO = 25,7348.

Istnieje oddzielny dział statystyki — ANALIZA WARIANCJI

Matematyczne techniki zarządzania - 26Matematyczne techniki zarządzania - 26Współczynnik zmiennościJest to liczba określająca względną zmienność zmiennej.Dla przykładu 8 współczynnik W = 0,210 = 21%.RozpiętośćJest to miara mało używana, gdyż nie odzwierciedla ona rozkładu.Dla przykładu 8 rozpiętość wynosi 4 studentów.KwantyleSą to liczby dzielące zbiór danych na części jednakowe pod względem liczebności:• kwartyle — 3 liczby dzielące zbiór na 4 równe części: Q1, Q2, Q3

(drugi kwartyl Q2 jest równocześnie medianą Me)• decyle — 9 liczb dzielących zbiór na 10 równych części• percentyle — 99 liczb dzielących zbiór na 100 równych częściLiczba stopni swobody Jest to liczba określająca ile danych ze zbioru można zmienić bez zagrożenia zmianą wyznaczanego parametru. przy obliczaniu średniej ogólnie1n

kn

Matematyczne techniki zarządzania - 27Matematyczne techniki zarządzania - 27 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 m= xi/6 można można można można można nie można nie możnazmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać

Niektóre typowe rozkłady zmiennej losowej skokowejPrzy każdym badaniu statystycznym otrzymujemy inny rozkład. Otrzymany rozkład staramy się dopasować do rozkładu modelowego:

1. rozkład zero-jedynkowy2. rozkład dwumianowy3. rozkład Poissona4. rozkład hipergeometryczny

Rozkład zero-jedynkowy (binarny, dychotomiczny)Zmienna losowa przyjmuje wartości: x1 = 0, x2 = 1 (kobieta-mężczyzna, sprzedany-niesprzedany, zapłacony-niezapłacony itd.).Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)• dotyczy losowania ze zwracaniem n razy z urny• prawdopodobieństwo p sukcesu jest stałe• zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k)• rozkład jest symetryczny dla p = q = 0,5


Przykład 4 cd. Możemy obliczyć prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych liczb wyrzuconych orłów (xi = 0, 1, 2 lub 3).

E(X)=(3)(0,5)=1,5 V(X)=(3)(0,5)2=0,75

• wartość oczekiwana wynosi E(X)=np• wariancja wynosi V(X)=npq• stosuje się go również przy losowaniu bez zwracania z dużych zbiorów

Przykład 10. Szansa udanej inwestycji w pewnym sektorze wynosi p=1/3. Inwestor ma środki tylko na 5 inwestycji. W zależności od pecha lub szczęścia — liczba jego sukcesów może wynieść xi = 0, 1, 2, 3, 4 lub 5. Inwestor obliczył, że warunkiem utrzymania się firmy na rynku jest udanie się co najmniej 3 inwestycji.Oblicz oczekiwaną liczbę udanych inwestycji, ich wariancję oraz szanse firmy inwestora.

Rozkład dwumianowy jest często stosowany do analizy ryzyka przy podejmowaniu decyzji, gdyż pozwala ocenić rozmiary pecha lub szczęścia, na jakie może natrafić decydent, a które są niezależne od jego woli czy umiejętności.


E(X)=(5)(1/3)=1,67V(X)=(5)(1/3)(2/3)=1,11P(X>2)=0,165+0,041+0,004=

=0,21 = 21%• Tablice• Nomogramy• Programy komputerowe

Analiza wrażliwości (czułości) — badanie wpływu zmiany założeń na wynik obliczeń i na decyzję.

Rozkład Poissona• dotyczy zdarzeń rzadkich, n (n>100)• prawdopodobieństwo sukcesu jest bardzo małe, p0 (p<0,05)• zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k)• rozkład jest asymetryczny• wartość oczekiwana wynosi E(X) = np = • wariancja wynosi V(X) = np =

Matematyczne techniki zarządzania - 30Matematyczne techniki zarządzania - 30Przykład 6 cd. Wyznaczamy prawdopodobieństwa wszystkich możliwych liczb braków (xi = k = 0, 1, 2,...,100). Pamiętamy, że = E(X) = V(X) = np = 1,0.Jak zinterpretować wykres?ROZKŁAD POISSONA JEST STABLICOWANY SKRYPT s.154 (tab. I)

Rozkład hipergeometryczny• dotyczy losowania bez zwracania• prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się po każdym losowaniu• zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k)• rozkład jest symetryczny, gdy n=N/2• wartość oczekiwana wynosi E(X)=(nR)/N• wariancja wynosi V(X) = npq (N—n)/(N—1)

ROZKŁAD MA ZASTOSOWANIE W ZARZĄDZANIU DO OCENY RYZYKA PRZY OGRANICZONEJ LICZBIE MOŻLIWYCH INWESTYCJI

Documents

Zespół realizujący przedmiot: prof. dr hab. inż. Zbigniew Łucki dr inż. Alicja Byrska-Rąpała