ZNAČAJ PROVOĐENJA POJMOVNE ANALIZE U NASTAVI MATEMATIKE

PEDAGOGIJA, 3/04. 93

Marijana ZELJIĆ Beograd

ZNAČAJ PROVOĐENJA POJMOVNE ANALIZE U NASTAVI MATEMATIKE

Rezime: Učenje novih pojmova oslanja se na iskustva i znanja koja učenici već

imaju. Učenici se prvo upoznaju sa konkretnim pojmovima (koji se oslanjaju na čulne predstave), a idući iz razreda u razred susreću se sa sve apstraktnijim pojmovima. Za pojam P kažemo da je apstraktniji od pojma Q ako je Q primer za P. Očigledno je da učenici ne mogu usvojiti apstraktnije pojmove ako nisu već usvojili pojmove nižeg stepe-na apstraktnosti. Pojam sintetizujemo iz njegovih primera, a ako učenici ne razumeju primere, neće razumeti ni pojam. Bez provođenja konceptualne (pojmovne) analize ne može se kvalitetno izvoditi nastava.

Ključne reči: pojmovna (konceptualna) analiza, upoređivanje pojmova po ste-penu apstraktnosti, sistem pojmova, reflektivno mišljenje. Nastava matematike treba da bude »istraživačka«. Podrazumeva se da učenici ne mogu samostalno da kreiraju nove pojmove, već da nastavnik osmiš-ljava aktivnosti koje učenike vode ka kreiranju novih pojmova. Prilikom osmiš-ljavanja aktivnosti nastavnik treba da vodi računa o apstraktnosti pojma i da raz-loži složenije zahteve na jednostavnije. Takva razrađenost uslovljava lakoću učenja. Pravo matematičko znanje potiče iz konstrukcije pojmova, a ne iz razmi-šljanja o samim pojmovima.

Stručni rad PEDAGOGIJA LIX, 3, 2004. UDK: 37.015


Engleski psiholog R. Skemp1 izdvaja dva principa koja važe pri učenju matematičkih pojmova: (1) Pojmovi višeg stepena apstraktnosti od onih koje neka osoba već ima ne mogu joj se preneti putem definicije već samo putem predočavanja odabrane kolekcije primera. (2) Pošto su u matematici primeri po pravilu opet pojmovi, mora se pretpostaviti da su već formirani u umu osobe koja uči. Skemp ističe da će dobri matematičari uvek koristiti primere da bi obja-snili pojam. Iz niza pojedinačnih primera apstrahuju se sličnosti i dolazimo do sinteze pojma. Prva faza formiranja pojma jeste njegovo formiranje na intuitiv-nom nivou, tako da dete nije u stanju da osamostali takav pojam. Neke funda-mentalne matematičke ideje formiraju se u ranom uzrastu, kada dete nije u stanju da ih sagleda na višem nivou kognicije, ali su te ideje izuzetno važne za kasniji razvoj pojmova. Drugi navedeni princip ističe da pojmovi nižeg reda moraju biti usvojeni pre usvajanja pojmova višeg reda. Da bi učenik usvojio novi pojam, nastavnik mor znati koji su pojmovi nižeg reda s njim u vezi. Ova pojmovna analiza unutar sistema pojmova izuzetno je značajna. Izgradnja »strukture sukcesivnih apstrak-cija« (sistema pojmova) moguća je ako se postupno razumevaju pojmovi nižeg nivoa. Učenje specifičnih veština bez razjašnjavanja njihovog konteksta u široj strukturi otežava učeniku da uopštava od onoga što je učio ka onome što će učiti kasnije. Navedimo Skempov stav o nastavi matematike: »Dok su oni koji uče još uvek na intuitivnom nivou, oni su uveliko zavi-sni od načina kako im se sadržaji prezentuju. Ako su novi pojmovi sa kojima se susreću suviše udaljeni od njihovih postojećih shema, oni se lako mogu naći u situaciji da ne mogu da ih asimiluju, posebno ako se zahteva njihova rekonstruk-cija, jer ovo znanje isključivo zavisi od reflektivnog mišljenja. Tako u ranim fa-zama konceptualna analiza koju sprovodi nastavnik mora se uzeti kao osnova za osmišljeni plan prezentacije iz koga onaj koji uči može da resintetizuje strukture u svom sopstvenom umu.«2 Koji je značaj konceptualne analize? Nastavnik pri osmišljavanju pojma mora analizirati pojmove koji su ni-žeg stepena apstraktnosti, a na koje se oslanja novi pojam. Isto tako, nastavnik treba imati u vidu pojmove višeg stepena apstraktnosti, u koje će se »razviti« dati pojam. Na primer, pri uvođenju pravila združivanja sabiraka moramo razmi-sliti o tome koje pojmove (sadržaje) učenici pre toga moraju usvojiti, a na koje ćemo se pri uvođenju pravila osloniti. Za navedeni primer to su sledeći pojmovi:

1 Skemp, R., R. (1987): The Psyhology of Learning Mathematics (expand American edition), Hillsdate, New Jersey, Lawrance Erlbaum, str. 30. 2 Isto, str. 63.


– osmišljavanje brojeva do 20 (brojeva do 10 kao pojedinačnih pojmo-va i brojeva od 10 do 20 kao zbira desetice i jedinica);

– osmišljavanje operacije sabiranja; – pravilo zamene mesta sabiraka; – osmišljavanje zbira tri broja; – pojam zagrade kao komande »saberi prvo brojeve u zagradi«.

Tek nakon uvođenja svih navedenih pojmova može se osmišljavati pra-vilo združivanja sabiraka. Neispravno je (čak nemoguće) uvoditi navedeno pra-vilo ako učenici ne znaju ulogu zagrade, ili ako ne znaju da na odgovarajuće sheme reaguju zapisivanjem zbira tri broja. Zašto nastavnik mora imati u vidu i pojmove u koje će se dati pojam razviti? Pojmove u početnoj nastavi matematike ne osmišljavamo kao »završ-ne«. Svi pojmovi dalje se razvijaju u apstraktnije pojmove. Za razmatrano pra-vilo to znači da cilj nije da učenici samo mogu da iskažu pravilo ili ga mehanički primenjuju »pomerajući zagrade«. Pri uvođenju pravila treba osmisliti njegovu primenu kao olakšice u računanju (da bi na toj osnovi učenici razumeli sabiranje preko desetice). Sa druge strane, treba kreirati primere tako da učenici pravilo primenjuju u različitim aritmetičkim situacijama i na taj način intuitivno razume-ju da pravilo važi za bilo koja tri broja. To je dobar put da se ovo pravilo, kasni-je, uopšti i prihvati kao algebarsko svojstvo asocijativnosti. Pojmovnu strukturu Skemp zove shemom. Ovaj termin podrazumeva ne samo kompleksne pojmovne strukture, već i jednostavne strukture na senzomo-tornom razvoju. Funkcija »sheme« jeste da integriše znanje u sistem i da služi kao sredstvo za dalje učenje tako što obezbeđuje razumevanje. Možemo izdvojiti sledeće funkcije sheme: - Integrativna funkcija shema. Sve što saznajemo razumemo zahvaljujući tome što nove informacije asimilujemo u postojeće sheme. Mentalne sheme međusobno su povezane i čine sistem. - Upotreba sheme kao sredstva za dalje učenje. Sve novo što učimo zas-niva se na onome što već znamo. Pri učenju pojmova višeg stepena apstraktnos-ti, moramo znati prvo pojmove nižeg stepena apstraktnosti. - Sheme saznavanja ili »asimilacione sheme« transformišu se, tj. dolazi do akomodacije sheme. Skemp ističe da je znati matematiku jedna stvar, a biti nastavnik sasvim druga. Ta druga komponenta jeste ono što dalje nedostaje i posledica toga je da mnogi ljudi nakon školovanja formiraju doživotnu odboj-nost prema matematici.


Skemp ističe sledeće zadatke nastavnika: – da pomogne učenicima da razviju osnovne sheme, – da podstakne učenike da stvaraju nove sheme, – da nauči učenike da koriste i održavaju sheme koje su razvili, ali i da

su spremni da ih menjaju, tj. rekonstruišu. Na početnom nivou postajemo svesni informacija iz spoljašnje sredine putem receptora (vizuelnih, slušnih itd.). Te informacije automatski se klasifiku-ju i dovode u vezu sa drugim situacijama uz pomoć struktura kojima raspolaže-mo. A na reflektivnom nivou, »mentalne aktivnosti postaju predmet intros-pektivne svesnosti«.3 Kada učenik odgovori da je 16 · 25 = 400, reflektivno miš-ljenje podrazumeva i metod rešavanja. Jedno je da je čovek sposoban nešto da uradi, a sasvim drugo da objasni kako je to uradio. Onog trenutka kad je učenik sposoban da sagleda i da eksplici-ra sheme sopstvenog mišljenja, može se dalje krenuti s učenjem, odnosno mogu mu se ponuditi nove sheme. Ako zna da je 16 · 25 = 4 · (4 · 25) = 4 · 100 = 400, on će znati da uradi i druge zadatke tog tipa. Ako učenik razume proces rešava-nja, on je razvio shemu. Kada jednom razvije shemu, on je može menjati, isprav-ljati, razvijati nove. Na primer, kada učenik razume da je: 152 + 324 = (100 + 300) + (50 + 20) + (2 + 4) = 400 + 70 + 6 = 476, on može usvojiti i algoritam pismenog sabiranja: 152 +324 476 Veoma visok nivo reflektivnog mišljenja prisutan je u matematičkim generalizacijama. Proces matematičke generalizacije jeste »veoma sofisticirana i moćna aktivnost«.4 Sofisticirana je zato što omogućuje razmišljanje o metodu (privremeno se zapostavlja sadržaj), a moćna je jer omogućava svesnost, kontro-lu sheme kojom pojedinac raspolaže. Dalekosežan oblik refleksivne aktivnosti jeste onaj koji vodi matematičkim generalizacijama. Učenik razvija sheme, koje zatim još dalje razvija i nadograđuje. Na primer, ako učenik zna da je 42 = 4 · 4, а 43 = 4 · 4 · 4, lako će zaklju-čiti da je 42 · 43 = 45. Ako učenik razume prethodno, možemo očekivati da će biti u stanju da izvrši dalju generalizaciju iz koje sledi da je а2 · а3 = а5, a zatim i аm · an = am+n. 3 Isto, str. 51. 4 Isto, str. 56.


Da sumiramo. Nastavnik ima tri osnovna zadatka u nastavi: – da matematički sadržaj prilagodi stepenu razvijenosti matematičkih

shema učenika, – da postepeno pospešuje sposobnost analitičkog (refleksivnog) miš-

ljenja, jer ono vodi razumevanju aktivnosti koje provodi, – da prilagodi metod rada »načinima mišljenja«.

Veoma je važno da, pri kreiranju matematičkih pojmova, nastavnik zna koji su pojmovi nižeg stepena apstraktnosti neophodni za usvajanje određenog pojma. Nastavnik se oslanja na znanje i iskustva koja učenici imaju i na osnovu tog znanja on pomaže učenicima da izgrade nove pojmove. Na primer, ne mo-žemo uvoditi množenje dvocifrenog broja jednocifrenim (8 · 23 = 8 · (20 + 3) = 8 · 20 + 8 · 3), ako učenici ne znaju množenje zbira i množenje razlike. Na pro-ceduralno utemeljeno znanje o pravilu množenja zbira brojem, lako će se nado-vezati procedura množenja dvocifrenog broja jednocifrenim. Pre uvođenja pravi-la množenja zbira učenicima mora biti potpuno jasno značenje množenja i sabi-ranja: oni prethodno treba da znaju da na određene sheme i situacije reaguju sa-birajući, odnosno množeći. Na sličnim modelima mišljenja učenici će usvojiti i pravilo množenja razlike. Pored pojmova koje su učenici već usvojili (i na osno-vu kojih izgrađujemo viši pojam), nastavnik mora imati u vidu i sistem viših pojmova kojem on pripada. Konkretno, uzmimo primer pravila množenja zbira brojem, koje ćemo, kasnije, uopštavanjem i generalizacijom videti kao algebar-sko svojstvo distributivnosti množenja prema sabiranju. Nastavnik to mora znati da bi u pravom smeru razvijao pravilo množenja zbira brojem. Znači, cilj i na nižem nivou nije samo mehanička primena, tj. računanje na dva načina, već ra-zumevanje i uopštavanje. Tako dolazimo do problema osmišljavanja odnosa predznanja učenika i sadržaja koje on treba da usvoji, tj. do pitanja kako da predznanje učenika stavi-mo u funkciju razvijanja pojmova. Vigotski je ovaj problem formulisao kao pi-tanje odnosa spontanih i naučnih pojmova. U kontekstu ovog rada teza Vigot-skog da postoji razlika između spontanih pojmova, nastalih uopštavanjem sva-kodnevnog iskustva, i naučnih pojmova, nastalih pod uticajem formalnog (sis-temskog) obrazovanja, od velikog je značaja. Svaki pojam predstavlja čin uopš-tavanja. U početku to su niži nivoi uopštavanja, a zatim se prelazi na više nivoe uopštavanja, što vodi stvaranju naučnih pojmova. Snaga svakodnevnih pojmova jeste u tome što oni omogućavaju lagan prelaz ka naučnim pojmovima: dete ko-risti isto jezičko označavanje kao i odrasli, čime je omogućena komunikacija i obrazovanje, a time i prelazak sa spontanog na naučni pojam. Tok razvoja naučnih pojmova ne ponavlja tok razvoja svakodnevnih pojmova. Usvajanje naučnih pojmova oslanja se na spontane pojmove. Razvoj naučnih pojmova moguć je onda kada spontani pojmovi dostignu određeni nivo.


Da bi nastavnik mogao da strukturiše nastavu koja vodi formiranju naučnih poj-mova, on treba da zna odnose pojmova u sistemu pojmova. Načelno objašnjenje ovih odnosa Vigotski je formulisao na sledeći način: »Ako je svaki pojam uopš-tavanje, onda je očevidno odnos jednog pojma prema drugom odnos opštosti.«5 Spontani pojmovi nastaju uopštavanjem konkretnih stvari, a naučni nas-taju poimanjem pojmova, tj. njihovim uopštavanjem. Svakoj od struktura uopš-tavanja (sinkret, kompleks, pretpojam, pojam) odgovara poseban sistem odnosa opštih i posebnih pojmova. Nova struktura ne nastaje ponovnim uopštavanjem predmeta koji su uopšteni u prethodnoj strukturi. Ona nastaje uopštavanjem uop-štavanja (uopštavanjem veza i odnosa). Pojmovi različitog nivoa opštosti mogući su u istoj strukturi uopštava-nja. Dete često lakše usvoji opšti nego pojedinačni pojam: deca će pre u mate-matici usvojiti intuitivne topološke pojmove (npr. pojam linije) nego pojmove iz klase projektivnih pojmova (npr. linije sa svojstvom pravosti – duž, poluprava, prava). Zahvaljujući postojanju mere opštosti za svaki pojam, moguće je uspos-taviti odnos prema ostalim pojmovima (odnos opštosti). U sistemu pojmova pos-toje odnosi opštosti i ekvivalentnosti (npr. pojam broja u ma kom brojnom sis-temu može se izraziti na bezbroj načina, broj jedan može se izraziti kao razlika ma kog para uzastopnih brojeva). Priroda pojma (sinkretička, kompleksna, pret-pojmovna) najočiglednije se ispoljava u odnosima tog pojma prema drugim pojmovima. »Uopštavanje logičkih odnosa među pojmovima prilikom prosuđi-vanja i zaključivanja zahteva kretanje linijama odnosa opštosti po horizontalama i vertikalama celog pojmovnog sistema.«6 Tako se jedan aritmetički pojam stari-jeg školskog deteta, koje zna algebru, razlikuje od aritmetičkog pojma mlađeg školskog deteta. Starije dete aritmetički pojam posmatra kao poseban slučaj al-gebarskog pojma, pa mu je upotreba slobodnija i nezavisnija od konkretne arit-metičke upotrebe. Kod mlađeg deteta aritmetički pojam jeste završni slučaj. Da-kle, mogli bismo reći da Vigotski vidi algebarske aktivnosti kao metakognitivne u odnosu na aritmetičke aktivnosti. Ilustrujmo odnose opštosti u sistemu pojmova još jednim primerom. Proanalizirajmo formiranje pojma skupa. Skup je najopštiji pojam klasične ma-tematike. U početnoj nastavi pojam skupa obrađuje se na opažajnom nivou, što znači da su svi primeri sadržani u prirodnom ili slikovnom okruženju deteta. Možemo reći da je pojam skupa na opažajnom nivou »fragment« pojma skupa, jer ne obuhvata sve potencijalne primere, tj. uopštavanja. Svi primeri za pojam na određenom su nivou apstraktnosti, a zbog uzrasta učenika i prirode sadržaja nedostupni su svi mogući primeri. Navedeno možemo ilustrovati sledećom she-mom: 5 Vigotski, Lav (1997): Mišljenje i govor, Nolit, Beograd, str. 280. 6 Isto, str. 256.


Okvir primera je nepotpun, nepotpuna je i unutrašnja predstava. Ono što se ne menja jeste naziv. Van sistema pojmova mogu se uspostaviti samo iskustvene veze, tj. veze među predmetima. U sistemu pojmova nastaje odnos pojmova prema pojmovi-ma. Karakteristike spontanih pojmova proističu iz činjenice da se oni nalaze van sistema pojmova i da se zbog toga ne mogu uspostavljati odnosi prema drugim pojmovima ni po horizontali, ni po vertikali. Primer sistema međusobno povezanih pojmova može biti skup prirodnih brojeva, koji bi se mogao predstaviti kao sistem (N, +, -, ·, :, <, =, >). Ovaj sis-tem čine pojmovi pojedinačnih prirodnih brojeva, operacijski i relacijski pomo-vi, koji uključuju niz veza među brojevima u ovom okviru, a koji su izraženi operacijskim i relacijskim znacima. Pojedinačni prirodni brojevi međusobno su povezani mnogostrukim vezama i svaki broj može se izraziti na mnogo ekviva-lentnih načina preko drugih brojeva i operacijskih znakova. Ovaj sistem opisuju neka pravila i odnosi koji važe u konkretnim aritmetičkim situacijama, i koji se mogu uopštavati da važe za svaki prirodan broj. Odnosi koji se uspostavljaju u sistemu ne vezuju se za konkretne skupove predmeta, već za same brojeve kao pojmove. Na višem stupnju odnosi se izražavaju u okviru strukture (N, Z, Q...) i ne vezuju se za konkretne brojeve i aritmetičke situacije. Literatura: 1. Vigotski, Lav (1997): Mišljenje i govor, Nolit, Beograd, 2. Marjanović, Milosav (1996): Metodika matematike, I deo, Učiteljski fakultet, Beograd; 3. Marjanović, Milosav (1999): A broader way through themas of elementary school mathema-

tics, I, The Teaching of Matnematics,Vol. II, 1, p.p. 41-58, Belgrade; 4. Skemp, R., R. (1987): The Psyhology of Learning Mathematics (expand American edition),

Hillsdate, New Jersey, Lawrance Erlbaum.

mentalna slika

naziv

primeri


The Importance of Application Term Analysis in Teaching Mathematics Summary: Learning new terms relies on experience and knowledge already gained by students. They first get to know definite terms (based on senses) and attending higher grades they get to know more abstract terms. We can say that the term P is more abstract than the term Q, although Q is an example for P. It is obvious that student can-not adopt more abstract terms if they have not already adopted terms of lower degree of being abstract. We can synthesise the term from its examples, so if the students do not understand the examples they will not understand the term. Without applying conceptual (term) analysis, teaching cannot be satisfactory. Key words: term (conceptual) analysis, managing terms according to the de-gree of being abstract, system of terms, reflective thinking.

Documents

ZNAČAJ PROVOĐENJA POJMOVNE ANALIZE U NASTAVI MATEMATIKE