Diese Gleichung enthalt auBer P alle Parameter, die in der LGsung fur den Fall veriinderlicher Dampfgedwin- digkeiten auftreten, und sie gibt in Bereichen, in denen die Lhungskurven Geraden sind, sogar die richtigen Exponenten wieder. (Fur P ist der Exponent null). Abge- sehen vom Faktor 0,709 und vom Exponenten der Reynolds-Zahl, der bei Jakob aus dem Blasiusschen Widerstandsgesetz folgt, stimmt G1. (43) mit der f i r den Teilbereich (36) gefundenen Nkiherungsgleichung (37) uberein. Man erhallt damit das Ergebnis, daD GI. (43) von Jakob, die unter der Voraussetzung konstanter Dampf- geschwindigkeit abgeleitet wurde, doppelt so hohe Werte der mittleren NuDelt-Zahl liefert wie die Gleichung (3?), in der die Abnahme der Dampfgeschwindigkeit berudc- sidxtigt ist. Eingegangen am 16. Febr. 1961 [B 13081

Literatur

W. NuBelt, Die Oberflachenkondensation des Wasserdamp- fs. Z. Ver. dtsm. Ing. 60, 541/546 u. ssS/5i% [1916].

*) M. Jakob, S. Erk u. H. Eck, Verbesserte Messungen und Be- rechnungen des Warmeiiberganges h i m Kondensieren stro- menden Dampfes in einem vertikalen Rohr. Physik. Z. 36,

s, C. Eberle, Versvche iiber den Warme- und Spannungsverlust bei der Fortleitung gesattigten und iiberh+tzten Wasser- dampfes. Z. Ver. dts& Ing. 52, 664 [1908].

4, M. Jakob: Heat Tranafer. Bd. I. New Ymk 1949, S. 675/678. 6, W. Traupel, Des Modellgesetz der Filmkondensation. Allg.

Warmetedm 4, 105'107 [1953]. E. F. Carpenter u. A. P. Colburn, The effect of vapor velo- city on condensation inside tubes. Proc. Gen. Discussion Heat Tramfer, London 1951, S. 2a/26.

73/84 [1935].

Zur Ermittlung der Sinkgeschwindigkeit von Tropfen und der Steiggeschwindigkeit von Blasen

Von Prof. Dr. P . GRASSMANN und DipLIng. A. REINHART

Institut fur kalorische Apparate und Kalteiechnik der Eidgenossischen Technischen Hochschule, Zurich

Es wird ein Diogromm zur Ermittlung der stotionaren Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit von Kugeln in Medien beliebiger Dichte angegeben, bei dessen Benutzung das bisher erforderliche Naherungsverfah- ren vermieden wird. Der Vergleich der berechneten Kurven mit den experimentell ermittelten zeigt gleichreitig, in welchen Gebieten die Widerstondsbeiwerte von Tropfen bzw. Blasen rnit denen volurnen-

gleicher Kugeln irbereinstimrnen.

Solange Tropfen oder Blasen als kugelformig betrach- tet und die inneren Zirkulationsstromungen vernachlassigt werden durfen, lassen sich die stationaren Sink- bzw. Steiggeschwindigkeiten mit Hilfe der bekannten Abhan- gigkeit des Widerstandsbeiwertes der Kugel von der Rey- nolds-Zahl ermitteln. Dieses Verfahren ist nur insofern ist.

erkennt, daD sie fur Re < los mit der theoretischen Kurve fur dele = (100&-1,2)/1,20 = 830 praktisch zusammenfallt. Fur Re > 10' fallt der Tropfen jedoch langsamer als eine volumengleiche Kugel, was durch die VergroDerung seines Widerstandsbeiwertes auf Grund der Abplattung bedingt

etwas zeitraubend, als man bei Benutzung der ublichen Darstellung des Widerstandsbeiwertes als Funktion der Reynolds-Zahl auf ein Naherungsverfahren angewiesen ist. Um namlich den Widerstandsbeiwert aus einem Dia- gramm abzugreifen, muD man zunachst die Reynolds-Zahl schatzen, dann mit dem abgelesenen Widerstandsbeiwert die Geschwindigkeit und mit ihrer Hilfe eine erste Nahe-

In Abb. ist ein Ausschnitt aus diesem Diagramm ver- groDert wiedergegeben. In ihm sind die experimentell er- mittelten') Sinkgeschwindigkeiten verschiedener Flussig- keitstropfen in anderen Flussigkeiten und die Steigge- schwindigkeit Blasen4) mit eingezeichnet. Man er- kennt, daD such bier etwa beginnend mit Re ~ 3oo die

rung der Reynolds-Zahl b e r e h e n . Mit ihr laBt sich d a m wieder eine zweite Naherung des Widerstandsbeiwertes

1 I ermitteln u. s. w.

Dieses Verfahren laBt sich jedoch verein- fachen'), wenn man eine kleine Koordinaten- transformation vornimmt, und zwar derart, daD die Abszisse nur den Kugeldurchmesser d, nicht aber die Gesmwindigkeit w, die Ordinate nur die Geschwindigkeit, nicht aber den Durchmes- ser enthalt. Dazu wahlt man als Abszisse den dimensionslosen Ausdrudr

x = d * - - qn"8 = >- Y%

und als Ordinate 3-

y = w/(gn. Y ) % 3 we * Fr und als Parameter das Dichteverhaltnis

9 ep-ell Ae 9 - . -= - - . Sn ell &' 9 n

Dabei ist d der Durchmesser des Tropfens bzw. der Blase, g,l die Normfallbeschleunigung, Y die kinematische Viscositat des umgebenden Me- diums, w die Geschwindigkeit, g die ortlihe Schwerebeschleunigung (in einer Zentrifuge die Zentrifugalbesdleunigung r d ) , ep die Dichte des Partikels und ell die des umgebenden Me- diums. Dies fuhrt zum Diagramm nach Abb. 2. AuDer den Kurven A @ / @ von bis lo+' ist hier auch die fur Regentropfen von Gunn und Kinzer*) ermittelte Kurve a eingezeichnet. Man

Wh."V"

4 /

Blasen in Wasser AQ/Q=-~,O - .J' o Tetrabrom;ifhan in wdsser 1.955 - / Brombenzol in Wasser 0.4924:

A Benzol in 20proz. Zuckerlsg.-O.1773 - A Chlopbenzol in Wasser 0,1029, t / 0 Wasser in Furfurol -0,117 rn Anilin in Wasser 0,0197 ,i * , , , , , * . I

10' 10 10 d*A*/v'a

Abb. 1. Aussdmitt aus dem Diagramm na& Abb. 2 mit Versuchs- werten fur die Aufstiegs- und Sinkgeschwindigkeit von Blasen

und Tropfen.

348 Chemie-1ng.-Tedm. 33. Jahrg. 1961 / Nr. 5

10'

to '

10-3 LA Abb. 2. Dimensionsloses Diagrarnm zur Ermittlung von Sink- und Steiggeschwindigkeit von Kugeln rnit experimentell ermittelten

Kurven fur in Wasser aufsteigende Blasen und in Luft fallende Wassertropfen. Kurve (I: Nach G u m und Kinzer fur Regentropfen; Kurve b: Blasen in Wasser

experimentellen Ergebnisse nach unten von den theoreti- schen Kurven abweichen, was wieder durch die mit stei- gendem Durchmesser und damit auch steigender Geschwin- digkeit zunehmende Abplattung bedingt ist. Man erkennt ferner, daB die Kurve fur Anilin in Wasser bei Re > 30 hoher liegt als tiie theoretischen Werte. Es ist dies durch die innere Zirkulation4) bedingt, die sich im laminaren Gebiet und bei kugelformigen Blasen oder Tropfen exakt durch die Hadamard-Rybczynski-Korrektur5) wiedergeben 1aBt. Das System Anilin/Wasser hat eine besonders nied- rige Oberflachenspannung.

Einschrankend muB aber no& bemerkt werden, daB das Diagramm wohl fur fallende Tropfen gultig ist, nicht aber fur aufsteigende Tropfene), bei denen dele < 0 ist. Der experimentell ermittelte Kurvenverlauf ist hier vollig ver- schieden von dem der fallenden Tropfen.

Der etwa bei der Reynolds-Zahl 2 . lo5 auftretende KniQ ist durch Eintritt der Turbulenz an der Kugel be- dingt, der sich jedoch in Abhangigkeit vom Turbulenzgrad des umgebenden Mediums zu hoheren oder tieferen Rey- nolds-Zahlen verschiebt.

A n w e n d u n g s b e i s p i e l : Fur einen Wasser- tropfen (@p = 1000 kg/m3) mit einem Durchmesser d =

0,6. 10-3mfolgtinLuft (vu=15,1 ~10-6m2/s;e~=1,2kg/ms) aus x = d . gl/s/vel, = 2,1 fur Ap/e = (1000-1,2)/1,2 aus dem Diagramm y = W / V * / J g*/s = 47. Daraus errechnet sich w = 2-48 mis. Eingegangen am 30. August 1960 [B 1240)

Literatur

I ) Ein etwas anderes Verfahren fur den gleicben Zwedr ist bei R. Jotlrand, Brit. Chem. Engng. 3, 143/46 [19S6] besrfirieben.

*) R. Gunn u. G. D. Kinzer, J. Meteorology 6, 243148 119493

S. Hu u. R. C. Kinfner, Amer. Inst. Chem. Engrs. J. 1,42/48 [ 19551. R. C. Kinfner, Canad. J. Chem. Eng. 37, 29/36 119591.

4, Vgl. z. B. P. Grassmann: Physikaliscbe Grundlagen der Chemie-Ingenieur-Tedmik, 8 10.12, S. 748-755, Aarau und FrankfurVM. 1960.

j) M . J . Hadamard, C. R. hebd. Seances Acad. Sci. Paris 252, 1735/38 [1911]; 254, 109 [1912]. W. Rybczynski, Bull. Acad. Sci. Cracow A (1911) 40-6.

6, W. Licht u. G. S. R. Narasimhamurfy, Amer. Inst. Chem. Engrs. J. 2, 366/73.[1955]. A. J . Klee u. R. E. Treybal, Amer. Inst. Cbem. Engrs. J. 2, 444/47 [ 19561.

Chemie-1ng.-Tech. 33. Jahrg. 1961 I Nr. 5 349