附录弹性力学数学基础
目录附录 1 张量基础
附录 2 复变函数数学基础
附录 3 变分法概要
附录 1 张量基础§i1 张量 1
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约
偏导数下标记法
特殊张量
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征—— 整体与描述坐标系无关
分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿( Descartes )张量定义一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量 1
三维 Descartes 坐标系中,一个含有 3 个与坐标相关独立变量集合,通常可以用一个下标表示。 位移分量 u, v, w
缩写记为 ui( i=1, 2, 3)表示为 u1, u2, u3
9 个独立变量的集合,两个下标来表示
ij和 ij ——9个应力分量或应变分量
ij,k
——27 个独立变量的集合用三个下标表示
i—— 下标
§i1 张量 2
求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次,则对此下标从 1 到 3 求和。
A
jiija
kkk
a
3
1
i j
jiija
kka
哑标: 出现两次的下标——求和后消失
A
jiji ycx
3332321313
3232221212
3132121111
ycycycx
ycycycx
ycycycx
自由标:非重复下标 自由标个数表示张量表达式代表的方程数
§i1 张量 3
偏导数的下标记法缩写张量对坐标 xi 偏导数的表达式
逗号约定 逗号后面紧跟一个下标 i 时,表示某物理量对 xi 求偏导数。
)()( ,i
i x
利用偏导数下标记法,偏导数均可缩写为
j
iji x
uu
,
§i1 张量 4
k
ijkij x
,
k
ijkij x
,
kj
iiki xx
uu
,
lk
ijklij xx
,
lk
ijklij xx
,
张量的偏导数集合仍然是张量证明: ui , j如果作坐标变换
',' jiu
l j
l
klkki
l x
xun
',' )(
kjkki un ',' )(
l j
l
klkki x
xun
',' )(
'' jiji xnx ijj
i nx
x'
'
l
ljkik
lkji nnuu '',','
由此可证, ui, j服从二阶张量的变换规律
由于 因此
§i1 张量 5
特殊的张量符号 克罗内克尔( Kronecker Delta )记号 ij
ji
jiij
0
1
显然
100
010
001
333231
232221
131111
ij
克罗内克尔记号是二阶张量运算规律
ijmjim
imim
ii
TT
aa
3332211
§i1 张量 6
置换符号 eijk
有相等下标时的奇排列,,为,,的偶排列,,为,,
0
3211
3211
kji
kji
eijk
偶排列有序数组 1 , 2 , 3 逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列
1
1
213321132
312231123
eee
eee
§i1 张量 8
二阶对称张量
反对称张量 jiij TT
jiij TT
任意一个二阶张量,总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质,可以推广到二阶以上高阶张量。
§i1 张量 9
附录 2 复变函数数学基础
复变函数定义
解析函数
保角变换
柯西积分
复变函数定义
复数——两个实数 x, y确定的数 z=x+iy
1i 虚数单位
实部
虚部
模
幅角
zy Im
22|| yxz
x
yarctan
复变函数基础
§i2 复变函数 1
zx Re
函数 f ( z )在某区域 Σ 上的每一点导数存在,称为区域 Σ 上的解析函数。 解析函数 w=u ( x , y ) +iv ( x , y )柯西-黎曼条件
解析函数
x
v
y
u
y
v
x
u
,
解析函数的实部和虚部都是调和函数
§i2 复变函数 2
—— 复变函数的可导性
02
2
2
2
y
u
x
u0
2
2
2
2
y
v
x
v
•保角变换
§i2 复变函数 3
通过函数 w=f ( z )将平面点的集合 g 转换为另一个平面( w 平面)点的集合 G 。
变换——映射
解析函数 w=f ( z )在点 zo所实现的变换点 zo处的所有线素皆按同一比例伸长 任意两个曲线之间的交角保持不变
柯西积分公式
)(d)(
πi2
1zft
zt
tf
c
z为 C外的任一点,则
0d)(
πi2
1
c
tzt
tf
f ( t )在区域 S 内处处解析, C 为 S 内的任一闭曲线,它的内部完全属于 S , z 为包含在C 内的任一点,则
§i2 复变函数 4
如 f( t)在区域 S外,包括无穷远点处处解析, C为 S内的任一闭曲线,它的内部完全属于 S, z为包含在 C内的任一点,
)(d)(
πi2
1
ftzt
tf
c
§i2 复变函数 5
附录 3 变分法概要
泛函与泛函极值
欧拉方程
自然边界条件
泛函运算
泛函和泛函的极值 泛函——其值倚赖于其它一个或者几个函数
—— 函数的函数
变分法——泛函极值
泛函极值条件
J=0
2J≥0 ∆,则 J> 0,泛函 J [y]为极小值;
2J≤0 ∆,则 J< 0,泛函 J [y]为极大值。
§i3 变分法 1
泛函极值的必要条件—欧拉方程
0d)''
(2
1
=
x
x
xyy
Fy
y
FJ
变分 y和 y’不是独立无关的,因此
2
1
2
1
2
1
2
1
d)'
(d
d
'd)
d
d
'd'
'
x
x
x
x
x
x
x
x
xyy
F
xy
y
Fxy
xy
Fxy
y
F =(=
2
1
2
1d)]
'(
d
d[
'
x
x
x
xxy
y
F
xy
Fy
y
FJ
在 x=x1和 x=x2时, J=0
2
1
d)]'
(d
d[
x
x
xyy
F
xy
FJ
§i3 变分法 2
0)'
(d
d =y
F
xy
F
欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件
确定泛函 J为极大值或者极小值,还需要判断其二阶变分 2J大于 0还是小于 0。
由于在区间( x1, x2)是 x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函数在区间( x1,x2)内为零。
§i3 变分法 3
自然边界条件 如自变函数在边界的数值不能确定,则
0)(,0)( 21 xyxy
对于可变边界问题,首先必须满足边界不变的极值条件。为满足极值条件,欧拉方程仍旧必须满足。边界变化的泛函极值问题
0'
,0'
21
xxxxy
F
y
F
§i3 变分法 4
泛函变分的基本运算法则
泛函变分运算与微分运算法则基本相同
2121 )( FFFF
211221 )( FFFFFF
)(1
)( 2112222
1 FFFFFF
F
FnFF nn 1)(
§i3 变分法 5