1CPV ESPMNov2013
MateMátiCa
21. As soluções da equação x + 3x – 1
= 3x + 1x + 3
são dois números:
a) primos b) positivos c) negativos d) pares e) ímpares
Resolução:
x + 3x – 1
= 3x + 1x + 3
x2 + 6x + 9 = 3x2 – 2x – 1 2x2 – 8x – 10 = 0 x2 – 4x – 5 = 0 x = –1 ou x = 5 S = {–1, 5}
Alternativa E
22. Se a matriz 3 x[ ] 4 x + 1 for multiplicada pelo valor do seu
determinante, este ficará multiplicado por 49.
Um dos possíveis valores de x é:
a) 5 b) –3 c) 1 d) –4 e) 2
Resolução:
Sendo a matriz A = (aij)2x2, temos que:
det(k . A) = k2 . det A, em que k, segundo o enunciado, é o det A.
Assim,
det (det A . (A)) = (det A)2 . det A = 49 . det A
(det A)2 = 49 Þ det A = ± 7
Portanto: 3 – x = 7 x = – 4 det 3 x[ ] 4 x + 1
= ± 7 Þ { ou Þ { ou 3 – x = – 7 x = 10
Alternativa D
23. Os binomiais 11( )4x e
x + 3y( )y são complementares e, por
isso, são iguais. Seu valor é:
a) 165 b) 330 c) 55 d) 462 e) 11
Resolução:
11( )4x =
x + 3y( ) y
x + 3y = 11 x = 2 { Þ { 4x + y = 11 y = 3
Assim, 11( )8 =
11( )3 = 11 . 10 . 93 . 2 . 1
= 165 Alternativa A
24. Se as raízes da equação 2x2 – 5x – 4 = 0 são m e n, o valor
de 1m
+ 1n
é igual a:
a) – 54
b) – 32
c) 34
d) 74
e) 52
Resolução:
Se m e n são as raízes da equação 2x2 – 5x – 4 = 0, temos:
1m +
1n =
m + nm n =
52–2
= – 54
Alternativa A
eSPM Resolvida – PRova e – 10/novembRo/2013
CPV – esPecializado na eSPM
ESPM – 10/11/2013 CPV – esPeCializado na esPM2
CPV ESPMNov2013
25. O trinômio x2 + ax + b é divisível por x + 2 e por x – 1.
O valor de a – b é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Resolução:
Se x2 + ax + b é divisível por x + 2 e x – 1, temos:
4 – 2a + b = 0 2a – b = 4 a = 1 { Þ { Þ { 1 + a + b = 0 a + b = – 1 b = –2
Logo, a – b = 3Alternativa D
26. Se (4x)2 = 16 . 2x2, o valor de xx é:
a) 27 b) 4
c) 14
d) 1
e) – 127
Resolução:
(4x)2 = 16 . 2x2
24x = 24+x2
x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)2 = 0
x = 2
De onde obtemos xx = 22 = 4Alternativa B
27. A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente.
Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a.
O valor de f(3) é:
a) 2 b) 4 c) – 2 d) 0 e) – 1
Resolução:
Dado que f(x) = ax + b, temos:
f(a) = 2b a2 + b = 2b a2 = b b = a2
{ Þ{ Þ { Þ{ f(b) = 2a ab + b = 2a ab + b = 2a a3 + a2 = 2a
a2 = b a2 = b a2 = b{ Þ{ Þ { a3 + a2 – 2a = 0 a(a2 + a – 2) = 0 a = 0 ou a = – 2 ou a = 1
Þ { a = 0 e b = 0 ou a = –2 e b = 4 ou a = 1 e b = 1
Como f é estritamente decrescente, temos que:
f(x) = –2x + 4 e f(3) = – 2Alternativa C
28. As moedas de 10 e 25 centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura.
O menor número possível de pilhas é:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
Resolução:
x Þ quantidade de pilhas de R$ 0,10 y Þ quantidade de pilhas de R$ 0,25 z Þ quantidade de moedas por pilha
z . x = 162 Þ
xy =
95 z . y = 90
Os menores valores para x e y respectivamente são 9 e 5. Então o menor número de pilhas é 14.
Alternativa C
3CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 10/11/2013
ESPMNov2013 CPV
29. Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia.
Esse número de meses corresponde a: a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses.
Resolução:
n Þ quantidade de meses
A quantia guardada pelo primeiro irmão é 50n. A quantia guardada pelo segundo irmão é uma P.A. de razão 5. Assim: a1 = 5 an = 5 + (n – 1) 5 = 5n
Sn = (5 + 5n) n
2 = 5n2 + 5n
2 Como as duas quantias são iguais, temos:
5n2 + 5n
2 = 50n Þ n2 – 19n = 0 Þ n = 0 (não convém) ou n = 19 meses.
Alternativa A
30. Apenas dois candidatos se apresentaram para a eleição ao cargo de prefeito de uma pequena cidade do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos, sendo 70% de mulheres. O candidato B recebeu 35% dos votos, sendo 60% de homens. Sabendo-se que 620 pessoas votaram em branco ou anularam o voto, podemos avaliar que o número de mulheres que votaram em A ou em B foi:
a) 7 816 b) 6 338 c) 8 116 d) 7 228 e) 6 944
Resolução: x = total de pessoas
A B Branco ouNulo
Homens 0,18x 0,21xMulheres 0,42x 0,14x
0,60x 0,35x 0,05x
0,05x = 620 Þ x = 12.400 Total de mulheres: 0,42x + 0,14x = 6.944
Alternativa E
31. A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo.
A B CHomens 42 36 26
Mulheres 28 24 32
Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 25
e) 27
Resolução:
A probabilidade é a razão entre o número de mulheres da classe A (28) e o número total de mulheres (84).
Assim, P = 2884
= 13
Alternativa B32. Durante uma manifestação, os participantes ocuparam
uma avenida de 18 m de largura numa extensão de 1,5 km .
Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por m2, podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente:
a) 70 mil b) 60 mil c) 40 mil d) 30 mil e) 50 mil
Resolução:
A área da avenida é 18 . 1500 = 27.000 m2.
Se há, em média, 1,5 manifestantes por m2, o número de manifestantes é 27.000 . 1,5 = 40.500 –~ 40 mil
Alternativa C
ESPM – 10/11/2013 CPV – esPeCializado na esPM4
CPV ESPMNov2013
33. Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 24 cm2. M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a:
a) 20 cm2
b) 16 cm2
c) 12 cm2
d) 15 cm2
e) 18 cm2
Resolução:
Traçamos PM // AB, NQ // CM e DQ // NM
Na figura obtida, observe que
DPDQ º DNQD º DQNM º DCMN e
DABM º DMPA.
Se a área total do paralelogramo é 24 cm2, podemos fazer a seguinte divisão:
Portanto, a área do polígono pedido é 3 + 3 + 3 + 6 = 15 cm2
Alternativa D
3cm23cm2
3cm23cm2
6cm26cm2
QP
34. Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60º e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 30º, conforme mostra a figura abaixo.
A velocidade desse avião era de:
a) 180 km/h b) 240 km/h c) 120 km/h d) 150 km/h e) 200 km/h
Resolução:
Calculando-se os ângulos do ΔPAA', concluímos que ele é isósceles e, portanto, AP = AA' = 8 km.
A velocidade do avião era 8 km2 min
= 4 km1 min
= 240 km/h
Alternativa B
A
8
8 A'
P30°
30°
30°
5CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 10/11/2013
ESPMNov2013 CPV
35. Os pontos O(0; 0) , P(x; 2) e Q(1; x + 1) do plano cartesiano são distintos e colineares.
A área do quadrado de diagonal PQ vale:
a) 12 b) 16 c) 25 d) 4 e) 9
Resolução:
Pela condição de alinhamento, temos:
0 0 1| | x 2 1 1 x+1 1
= 0 Û x2 + x – 2 = 0 Û x = – 2 ou x = 1
Para x = 1, temos P = Q e portanto não convém.
Para x = –2, temos P = (–2; 2) e Q = (1; –1), de onde esboçamos o gráfico:
A área do quadrado é (3)2 = 9.Alternativa E
y
x
2
01
Q–1
–2
P
36. No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm2 e 10 cm2, respectivamente. O volume desse sólido é de:
a) 8 cm3
b) 10 cm3
c) 12 cm3
d) 16 cm3
e) 24 cm3
Resolução:
Na face ABCD, temos AB . 2 = 6 Þ AB = 3 cm
Na face BCFE, temos BE . 2 = 10 Þ BE = 5 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔABE, temos:
AE2 + 32 = 52 Þ AE = 4 cm
O volume pedido é 12
. 4 . 3 . 2 = 12 cm3
Alternativa C
ESPM – 10/11/2013 CPV – esPeCializado na esPM6
CPV ESPMNov2013
37. A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com BC = CD, DE = EF, FG = GH, HI = IJ e assim por diante.
Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de:
a) 65 m b) 72 m c) 80 m d) 96 m e) 100 m
Resolução:
No triângulo ABC, temos
AC2 = 162 + 122 Þ AC = 20 cm
Observe que os triângulos da sequência são semelhantes entre si.
Então, a razão de semelhança k = CDAB
= 1216
= 34
O segmento AP é a soma limite da P.G
(20; 15; 454
; 13516
; ...) AP =
a1
1 – q =
20
1 – 34
=
20
( 14 )
= 80 m
Alternativa C
38. As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x2 – 4x + (y + 1)2 = 0 são, respectivamente:
a) (– 2, 1) e 4 b) (2, – 1) e 2 c) (4, – 1) e 2 d) (– 1, 2) e 2 e) (2, 2) e 2
Resolução:
Da equação da circunferência, temos:
x2 – 4x + (y + 1)2 = 0 x2 – 4x + 4 + (y + 1)2 = 4 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 22
Portanto a circunferência tem centro C(2; –1) e raio r = 2
Alternativa B
39. Se log x + log x2 + log x3 + log x4 = – 20 , o valor de x é:
a) 10 b) 0,1 c) 100 d) 0,01 e) 1
Resolução:
Sendo x > 0, temos:
log x + log x2 + log x3 + log x4 = – 20
log x + 2 log x + 3 log x + 4 log x = – 20
10 log x = – 20
log x = – 2
x = 0,01Alternativa D
40. Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 mL de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de:
a) 875 mL b) 938 mL c) 742 mL d) 693 mL e) 567 mL
Resolução:
A razão de semelhança é k = 20
100 =
15
.
A razão entre volumes de sólidos semelhantes é k3.
Sendo V0 o volume da garrafa original, temos:
7
V0 = k3 Þ
7V0
= ( 15 )3
Þ V0 = 7 . 125 = 875 mL
Alternativa A
CoMentário da ProVa de MateMátiCa
A prova de Matemática do processo seletivo ESPM / novembro 2013 mostrou-se simples e objetiva.
Com enunciados claros, a prova abrangeu os conceitos clássicos da Matemática, tornando a prova bastante adequada aos propósitos da banca examinadora. A distribuição das questões foi a seguinte:
30% — Geometria
20% — Equações e Funções
10% — Combinatória e Probabilidades
15% — Matrizes, Determinantes e Sistemas
10% — Polinômios
10% — Progressões
5% — Porcentagem