Politecnico di Milano Dipartimento di
Meccanica
ELEMENTI SOLIDI E ASSIALSIMMETRICI
Mario Guagliano
Elementi Solidi e Assialsimmetrici 2
Elementi solidi
• Tetraedri a 4 nodi (TET4)
• Tetraedri a 10 nodi (TET10)
• Esaedri a 8 nodi (HEX8)
• Esaedri a 20 nodi (HEX20)
• …
Ad ogni nodo corrispondono 3 gdl: solo le traslazioni
Sono un’estensione degli elementi piani già descritti
Elementi Solidi e Assialsimmetrici 3
Elementi solidi
Elementi Solidi e Assialsimmetrici 4
Problemi elastici in 3D
( )( )
( )
( )( )
( )
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
xz zx
1 c c c 0 0 01 c c 0 0 0
1 c 0 0 0G 0 0
simm. G 0G
Ec1 1 2EG
2 1
σ ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤− ν ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ ε− ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ ε⎢ ⎥− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
=+ ν − ν
=+ ν
Legame costitutivo in campo elastico lineare (materiale isotropo)
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Elementi solidi tetraedrici
Gli elementi tetraedrici a quattro nodi hanno tre gdl per nodo e quindi un totale di 12 gdl
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
u x y zv x y zw x y z
= β + β + β + β
= β + β + β + β
= β + β + β + β
Sono elementi a spostamento lineare e, quindi, a deformazione costante
Gli elementi tetraedrici a dieci nodi hanno tre gdl per nodo e quindi un totale di 30 gdl
Sono elementi a spostamento quadratico e, quindi, deformazione lineare
Agli spostemenii precedenti aggiungono i termini in x2, y2, z2, xy, xz, yz
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Elementi solidi tetraedrici
Anche per gli elementi tetraedrici, è possibile una rappresentazione isoparametrica
4 nodi
10 nodi
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Elementi solidi: esaedri a 8 nodi
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
u x y z xy yz zx xyzv x y z xy yz zx xyzw x y z xy yz zx xyz
= β +β +β +β +β +β +β +β
= β +β +β +β +β +β +β +β
= β +β +β +β +β +β +β +β
24 gdl
L’espressione dei singoli spostamenti nasce dal prodotto di tre polinomi lineari del tipo
( )( )( )1 2 3 4 5 6c c x c c y c c z+ + +
Sono quindi presenti contributi costanti, lineari, quadratici e cubici
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Elementi solidi: esaedri a 8 nodi
{ } [ ]{ }
( )( )( )
1
1
1 8 1
1 8
1 8 8
8
8
i
uv
u N 0 0 N 0 0 wu N u v 0 N 0 0 N 0
w 0 0 N 0 0 N uvw
a x b y c zN
8abc
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
± ± ±=
LL ML
Come al solito, gli spostamenti possono anche essere definiti mediante le funzioni di forma
Elementi Solidi e Assialsimmetrici 9
Elementi solidi: esaedri a 8 nodi
{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }B u N uε = = ∂ { } [ ]{ }uε = ∂Al solito, vale la dove
x
y
z
xy
yz
zx
0 0x
0 0y
u0 0z v0 wy x
0z y
0z x
∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥
∂⎢ ⎥ε⎧ ⎫ ⎢ ⎥∂⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε⎪ ⎪ ∂⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬γ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂γ
⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪γ⎩ ⎭⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
Infine, la matrice di rigidezza è data da
[ ] [ ] [ ][ ]c b a T
c b a24 24 24 6 6 6 6 24K B E B dxdydz
− − −× × × ×
= ∫ ∫ ∫
Sono elementi che permettono di rappresentare la flessione, ma con le stesse restrizioni viste per i Q4 (shear
locking)
Matrice di rigidezza
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Elementi solidi: esaedri a 20 nodi
Analogo al Q8 però in 3D 20 nodi = 60 gdl
I termini in x3, y3 e z3 non compaiono per lasciare la compatibilità degli spostamenti
Sono possibili tre instabilità del tipo hourglass: una per u, una per v e una per w
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Riduzione dei carichi distribuiti
Come visto nel caso delle travi, i carichi distribuiti vengono ridotti a forze concentrate ai nodi Il criterio è l’equivalenza del lavoro
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Elementi isoparametrici
( )( )( )i1N 1 1 18
= ± ξ ± η ± ζ
[ ] [ ] [ ][ ]1 1 1 T
1 1 124 24 24 6 6 6 6 24K B E B Jd d d
− − −× × × ×
= ξ η ζ∫ ∫ ∫
In questo caso, J rappresenta il rapporto tra i volumi dxdydz e dξdηdζ
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Problemi assialsimmetrici
Classe di problemi 3D (i solidi di rivoluzione) che si può ricondurre ad un caso 2D (in realtà ci sono anche gusci di rivoluzione 2D riconducibili a casi 1D, ad esempio la lampadina) Simmetria assiale di: • geometria • carichi e vincoli • materiale
τzθ = 0 e τθr = 0 per simmetria ed equilibrio
NB: se le deformazioni sono assialsimmetriche, gli spostamenti circonferenziali v sono nulli ! Rimangono solo u=u(r,z) e w=w(r,z)
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Problemi assialsimmetrici
r
z
zr
ururwzw ur z
θε =
∂ε =
∂∂
ε =∂∂ ∂
γ = +∂ ∂
Nei problemi assialsimmetrici è comodo ragionare in termini di coordinate polari
Spostamenti – deformazioni (hp piccoli spostamenti)
E’ interessante notare che, anche se gli spostamenti circonferenziali sono nulli, le deformazioni circonferenziali non lo sono
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Problemi assialsimmetrici
( )( )
( )
( )( ) ( )
r r
z z
zr zr
1 c c c 01 c c 0
1 c 0sym G
E Ec G1 1 2 2 1
θ θ
σ ε⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ν ν ν⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ ε− ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ ε− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
= =+ ν − ν + ν
Legame costitutivo in campo elastico lineare (materiale isotropo)
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Elementi assialsimmetrici
Per l’elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi si ha:
r 2r
11 2 3 2 3
4 5 6 zz 6
zrzr 5 3
r 0zu r z 1 r 0 u
r rw r z 0 z w
z r
θθ
ε = β⎧ ε ∂ ∂⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ β ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪= β + β + β εε = + β + β ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⇒ ⇒ =⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= β + β + β ε ∂ ∂ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ε = β ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪γ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎩ ⎭γ = β + β⎪⎩
A parte per il contributo εθ, gli elementi assialsimmetrici sono molto simili a quelli piani (forma triangolare e rettangolare, stesse forze e debolezze)
E’ tuttavia necessario discutere gli effetti del termine addizionale di deformazione εθ=u/r
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Elementi assialsimmetrici
Non è un elemento a deformazione costante perché l’espressione di εθ contiene termini in r e z
C’è una resistenza alla rotazione nel piano radiale rz, rappresentata dal termine β3 z/r Tale deformazione nasce con l’applicazione di un momento M per unità di lunghezza uniformemente distribuito lungo la circonferenza del componente Per mantenere la congruenza dell’oggetto reale 3D, le deformazioni circonferenziali risulteranno di trazione nella parte bassa dell’elemento e di compressione in quella alta Un elemento piano non è in grado di resistere al momento M che genererebbe una rotazione rigida
L’unico moto rigido possibile è in direzione z: w = β4 perché β4 non compare in nessuna espressione delle ε. Queste ultime sono invece presenti se qualsiasi altra coordinata generalizzata è diversa da zero
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Matrice di rigidezza
[ ] [ ] [ ][ ]2 1 1 T
0 1 12n 2n 2n 4 4 4 4 2nK B E B r J d d d
π
− −× × × ×
= ξ η ϑ∫ ∫ ∫
Nel caso di un elemento assialsimmetrico rettangolare a n nodi isoparametrico
NB: r |J| al posto di t |J|
Rispetto agli elementi piani, la riga in più corrisponde alla εθ
BTEBr contiene termini in 1/r => problemi per l’integrazione numerica? NO, a condizione che nessun punto di Gauss si trovi sull’asse z, ovvero a r=0
( )1 1 2 2 n n1 Nu N u ... N urθε = + + +
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Vincoli e carichi
A differenza dei modelli piani, per impedire moti rigidi è sufficiente vincolare un solo nodo in direzione z Attenzione al vincolo radiale in corrispondenza dell’asse z:
Disco pieno r
z
Disco con foro infinitesimo o compenetrazione
r
z
Disco forato r
z
Per quanto riguarda i carichi, bisogna fare attenzione perché le logiche di applicazione sono due (e ogni software ne adotta una): • si applica alla sezione 2D il carico totale integrato su 2π • si applica alla sezione 2D il carico per unità di angolo (segmenti di 1 rad) Alcuni software permettono di applicare carichi non assialsimmetrici e di sviluppare spostamenti fuori piano (torsione). La tecnica è però complicata e va oltre i nostri scopi
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Problematiche specifiche
I punti sull’asse di rivoluzione hanno coordinata e spostamento radiali nulli così definendo εθ=0/0 se tali punti corrispondono ai punti di Gauss
Tale situazione può essere superata calcolando εr=∂u/ ∂r ed introducendo il requisito teorico che debba essere εr=εθ
Gli elementi assialsimmetrici rettangolari a quattro nodi possono sviluppare modi incompatibili (instabilità tipo hourglass)
Elementi assialsimmetrici snelli possono promuovere il mal-condizionamento della matrice di rigidezza perché la resistenza alle deformazioni nella sezione può divenire molto grande rispetto a quella della deformazione circonferenziale