เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 1 (ค31101)
ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2560
เรอง จ านวนจรง
ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………………….
ชน ม.4 หอง……………………….. เลขท ………………………….
โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
1
จ านวนจรง (Real numbers) แผนผงจ านวนจรงแสดงความสมพนธชนดตางๆ
จ านวนจรง (Real number ) ( )
เชน
สวนประกอบของจ านวนจรงสามารถสรปไดดงน
แทน เซตของจ านวนนบ จะได
I แทน เซตของจ านวนเตม จะได { , 2, 1,0,1,2,3, }I
I แทน เซตของจ านวนเตมบวก จะได {1,2,3, }I
I แทน เซตของจ านวนเตมลบ จะได { 1, 2, 3, }I
จ านวนอตรรกยะ (irrational number) ( )
เชน
จ านวนตรรกยะ (rational number) ( )
เชน
จ านวนเตม (Integers) ( )
เชน
จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม
(non-Integers ) เชน
จ านวนเตมลบ (Negative-Integers) ( )
เชน
ศนย (zero) จ านวนเตมบวก (Natural number)
เชน
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
2
แทน เซตของจ านวนเฉพาะทเปนบวก จะได
Q แทน เซตของจ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนเปนเศษสวนได
เชน จ านวนเตม(บวก ลบ ศนย) เศษสวน(เศษแท เศษเกน เศษคละ) ทศนยม ทศนยมซ า รากทถอดลงตว
Q แทน เซตของจ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนเปนเศษสวนไมได
เชน รากทถอดไมลงตว ทศนยมไมซ า และ e
R แทนเซตของจ านวนจรง คอจ านวนทประกอบดวยจ านวนตรรกยะกบจ านวนอตรรกยะ
ตวอยางท 1 จงพจารณาจ านวนทก าหนดใหในแตละขอวาเปนจ านวนอะไรบาง
จ านวนนบ จ านวนเตมลบ จ านวนเตม จ านวน ตรรกยะ
จ านวน อตรรกยะ
1. 0
2. 6
2
3. 2
5
4. 0.7
5. 2
6. 3
5
7. 9 25
8. 1
9. 5 3
10. 1 4
11. 22
7
12. 3.14 13. 3.666 14. 1.121231234
15. 12
3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
3
ตวอยางท 2 จงบอกวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ
…………………….1. 0.010101010... เปนจ านวนตรรกยะ
…………………….2. 0.210210210210... เปนจ านวนตรรกยะ
…………………….3. 0.434334334... เปนจ านวนตรรกยะ
…………………….4. 0.46666... เปนจ านวนตรรกยะ
…………………….5. 0 เปนจ านวนเตมบวก
…………………….6. 0 เปนจ านวนจรง
…………………….7. จ านวนทเขยนไดในรปทศนยมซ าไมเปนจ านวนตรรกยะ
…………………….8. จ านวนทเขยนไดในรปทศนยมซ าไมเปนจ านวนอตรรกยะ
…………………….9. 2a a ไมวา a เปนจ านวนจรงใดใด
…………………….10. มจ านวนจรง x ท x 1 2
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
4
2. สมบตของจ านวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ
2.1 การเทากนในระบบจ านวน
ใชสญลกษณ “ = ” แทนการเทากน เชน 5 2 7 , 40.5
8
คณสมบตของการเทากนของจ านวนจรง เมอ a,b และ c เปนจ านวนจรงใดๆ
สมบต นยาม ตวอยาง 1. สมบตการสะทอน a a 2. สมบตสมมาตร ถา a b แลว b a 3. สมบตถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 4. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c = b c 5. สมบตการคณดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว ac bc
ตวอยางท 3 ก าหนดตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงใดๆ จงพจารณาขอความในแตละขอวาใชคณสมบตใด
ขอความ คณสมบต 1. 5 a a 5 2. ถา a 2c 2a c แลว 2a c a 2c 3. ถา a 2c 2a c แลว a 2c 2 2a c 2 4. ถา a b 10 และ 10 2b c แลว a b 2b 10 5. ถา a 2c 2a c แลว 5(a 2c) 5(2a c) 6. 5 a a 5 7. ถา 2ac 4b c แลว 2ac 4 4b c 4 8. ถา 2a 3b d c และ d c a 2b แลว
2a 3b a 2b
9. ถา 2ac 4b c แลว 2ac 1(4b c)
2 2
10. ถา 2ac 4b c แลว 4b c 2ac
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
5
ตวอยางท 4 ก าหนดตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงใดๆ จงพจารณาขอความในแตละขอแลวใชเปนคณสมบตชวย
เตมขอความใหสมบรณ
ใชคณสมบตการถายทอด
1. ถา 2a 3b c และ c a 2b แลว 2a 3b = ……………………………………..
2. ถา d c 2(a 3b) และ d c 3(a 2b) แลว 2(a 3b) = ……………………………………..
3. ถา 2(5 3x) 3x และ 3x 7 2x 2(5 3x) = ……………………………………..
4. ถา 7 3x x 2y และ 2x 5 x 2y แลว 7 3x = ……………………………………..
ใชคณสมบตการบวกเขาและการคณเขา
5. ถา x 4 แลว x 3 = ……………………………………..
6. ถา x y 10 แลว ……………………. = 10 ( 4)
7. ถา 3x 4 แลว 1(3x)
3 = ……………………………………..
8. ถา 3xy y ab แลว ……………………. = abc
9. ถา a b xy 5y แลว a b c = ……………………………………..
10. ถา 2a b2xy 5y
5
แลว 2a b
5( )5
= ……………………………………..
ตวอยางท 5 จงพจารณาวาแตละขนตอนใชคณสมบตอะไรเขามาแกปญหา
1. ก าหนดให a 2x 5 และ a 13 จงหาคา x
วธท า a = 2x 5
2x 5 = a (1) …………………………………………………………………
a = 13 (2) …………………………………………………………………
2x 5 = 13 (3) …………………………………………………………………
2x 5 ( 5) = 13 ( 5) (4) …………………………………………………………………
2x = 8
12x
2 = 1
82 (5) …………………………………………………………………
x = 84
2
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
6
2. ก าหนดให 7(2x y) 14 , a 3 3b 1 และ a 3 2x y จงหาคา b
วธท า 7(2x y) = 14 (1) …………………………………………………………………
17(2x y)
7 = 1
147 (2) ………………………………………………………………
2x y = 2
a 3 = 2x y (3) ………………………………………………………………
a 3 = 2 (4) ………………………………………………………………
a 3 = 3b 1 (5) ………………………………………………………………
3b 1 = 2 (6) ………………………………………………………………
3b 1 1 = 2 1 (7) ………………………………………………………………
3b = 3
13b
3 = 1
33 (8) ………………………………………………………………
b = 1
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
7
2.2 สมบตของจ านวนจรง
หมายเหต เครองหมาย แทนดวย , , ,
1. สมบตปด (Closed Property)
บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตปด กตอเมอ a b U
เชน
2. สมบตการสลบท (Commutative Property)
บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตสลบท กตอเมอ a b b a
เชน
3. สมบตการจดหม (เปลยนกลม) (Associative Property)
บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตจดหม กตอเมอ (a b) c a (b c)
เชน
4. สมบตการมเอกลกษณ (Identity Property)
บทนยาม a,e U ถา e เปนเอกลกษณและเปนคาคงทเพยงคาเดยว
ภายใตการกระท า จะไดวา a e a e a
ดงนน เอกลกษณการบวกคอ…………………………
ดงนน เอกลกษณการคณคอ………………………………
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
8
5. สมบตการมอนเวอรส (Inverse Property)
อนเวอรสการบวก ในระบบจ านวนจรงอนเวอรสการบวกของจ านวนจรง a หมายถง จ านวนจรงทบวกกบ
a แลวไดผลลพธเปน 0 จะใชสญลกษณ a นนคอ a ( a) 0 ( a) a
ตวอยางท 6 อนเวอรสการบวกของจ านวนจรง
จ านวนจรง (a) อนเวอรสการบวก ( a) a ( a) 0 ( a) a
5 5
0.3 3
2 1
4
อนเวอรสการคณ ในระบบจ านวนจรงอนเวอรสการคณของจ านวนจรง a โดยท a 0 หมายถง จ านวน
จรงทคณกบ a แลวไดผลลพธเปน 1 จะใชสญลกษณ 1a แทนอนเวอรสการคณของจ านวนจรง a นนคอ 1 1a a 1 a a
ตวอยางท 7 อนเวอรสการคณของจ านวนจรง
จ านวนจรง (a) อนเวอรสการคณ 1(a ) 1 1a a 1 a a
8 1
8
1
2
2 1.3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
9
6. สมบตการแจกแจง
นนคอ a(b c) ab ac
เชน
สรปสมบตของระบบจ านวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ
สมบต(Property) การบวก(Addition) การคณ(Multiplication) 1. สมบตปด (Closed Property)
a b a b
2. สมบตการสลบท (Commutative Property)
a b b a ab ba
3. สมบตการเปลยนหม (Associative Property)
(a b) c a (b c) (ab)c a(bc)
4. การมเอกลกษณ (Identity Property)
a 0 a 0 a เอกลกษณการบวกส าหรบทกๆ a คอ 0
a 1 a 1 a เอกลกษณการคณส าหรบทกๆ a คอ 1
5. การมอนเวอรส (Inverse Property)
ส าหรบ a จะมจ านวน a โดยท
a ( a) ( a) a 0 เรยก a วาเปนอนเวอรสการบวก หรอตวผกผนการบวกส าหรบ a
ส าหรบ a และa 0 จะมจ านวน 1a โดยท 1 1a a a a 1
เรยก 1a วาเปนอนเวอรสการคณ หรอตวผกผนการคณส าหรบ a
6. สมบตการแจกแจง (Distributive Property)
a(b c) ab ac
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
10
Worksheet 1 สมบตของจ านวนจรง
1. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด
……………….1) ผลบวกของจ านวนเตมเปนจ านวนเตม
……………….2) ผลบวกของจ านวนนบเปนจ านวนนบ
……………….3) ผลบวกของจ านวนเตมลบเปนจ านวนจรง
……………….4) มคาประมาณ 22
7 และ เปนจ านวนตรรกยะ
……………….5) สามารถหาจ านวนนบทมากทสดซงนอยกวา 10 ได
……………….6) มจ านวนเตมทมากกวา -1 แตนอยกวา 1
……………….7) 0.1234567... เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….8) ถา x เปนจ านวนตรรกยะแลว x เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….9) ผลคณของจ านวนเตมเปนจ านวนเตม
……………….10) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนค
……………….11) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนค
……………….12) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะแลว x เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….13) เซตของจ านวนอตรรกยะมสมบตปดการคณ
……………….14) เซตของจ านวนอตรรกยะมสมบตปดการบวก
……………….15) a,b เปนจ านวนอตรรกยะแลว ab เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….16) a,b เปนจ านวนตรรกยะแลว a b เปนจ านวนตรรกยะ
……………….17) a,b เปนจ านวนตรรกยะแลว a b เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….18) a,b เปนจ านวนอตรรกยะแลว a b เปนจ านวนอตรรกยะ
……………….19) 0.123เปนจ านวนตรรกยะ
……………….20) ถา a b เปนจ านวนตรรกยะแลว a,b เปนจ านวนตรรกยะ
……………….21) ผลคณของจ านวนจรงเปนจ านวนจรง
……………….22) จ านวนเตมหารจ านวนเตม ไดจ านวนตรรกยะ
……………….23) ไมมจ านวนเตมทนอยทสดในจ านวนนบ
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
11
2. จงบอกสมบตของจ านวนจรงตอไปน
ค าถาม คณสมบต
1. 3 เปนจ านวนจรง
2. 5 เปนจ านวนจรง
3. 8 (2 3) 8 (3 2) 4. (3 5) 7 7 (3 5) 5. (1 8) 6 1 (8 6) 6. 3 0 3 7. มจ านวนจรงทบวกกบ 8.666... แลวได 0 8. (ab)c (ba)c 9. (ab)c c(ab) 10. (ab)c a(bc) 11. 1 3 3 12. 1 1 1
13. 1 4 1 4203 107 (203 107) ( )
5 5 5 5
14. (10 a)(10 b) 10(10 a b) ab
3. ก าหนด U จงหาอนเวอรสการบวกภายใตการกระท าตอไปน
ค าถาม อนเวอรสการบวก ค าถาม อนเวอรสการบวก 1. 7 2. 5 3. 9 4. 10 5. 3.25 6. 2.5 7. 9.999... 8. 1.332 9. 10. 3
4
11. 8
7 12. 4
13. 2 14. 5 2
3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
12
4. ก าหนด U จงหาอนเวอรสการคณภายใตการกระท าตอไปน
ค าถาม อนเวอรสการคณ ค าถาม อนเวอรสการคณ 1. 7 2. 5
3. 1
3 4. 1
8
5. 3
4 6. 7
6
7. 2 8. 5
9. 3
5
10. 7
5
11. 1 2
3
12. 2
3 5
5. ในแตละระบบทประกอบดวยเซตค าตอบตอไปนและกระท าดวยการบวกและการคณของสมาชกในเซต
จงตรวจสอบวามคณสมบตดงกลาวหรอไม
เซต การบวก การคณ ปด เปลยน
กลม เอกลกษณ อน
เวอรส ปด เปลยน
กลม เอกลกษณ อน
เวอรส 1. 2. I 3. 4. {0,1,2,3,...} 5. { 1,0,1} 6. {0,1,2,3,4,5} 7. {0,2,4,6,...} 8. {0,1,2} 9. { 1,1} 10. {0}
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
13
3. การแกสมการก าลงสอง
พหนาม (Polynomial) คอ ผลบวกของกลมตวแปรทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก
การแยกตวประกอบของพหนาม คอ การท าพหนามใหเปนวงเลบคณกน โดยทแตละวงเลบนนจะเปนพห
นามทดกรต ากวาพหนามดกรทก าหนดและการแยกตวประกอบ (แยกเปนวงเลบคณกน)
2.1 การแยกตวประกอบของพหนามในรป 2ax bx c โดย a 0,b 0 และ c 0
ถาพหนามมการแยกใหเปนวงเลบคณกน มวธการท า 3 วธ คอ
1. วธการดงตวรวม
2. วธการอางองจากสตร ผลตางก าลงสอง มสตรดงน 2 2a b (a b)(a b)
3. วธการอางองจากสตร ก าลงสองสมบรณ มสตรดงน 2 2 2(a b) a 2ab b
1. การดงตวรวม (คณสมบตการแจกแจง)
ตวอยางท 9 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน
พหนาม แยกตวประกอบ พหนาม แยกตวประกอบ
1. 24x 3x 7. 239y 26y
2. 212x 4x 8. 2625z 75z
3. 2x 5x 9. 3 2x 5x
4. 221x 14x 10. 25x 10x
5. 29x 15x 11. 23x 9x
6. 2x 3x 12. 81x 54
ตวอยางท 10 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน
1. 23x 6x = 2. 3 2x x x 1 =
3. 210x 15x = 4. 27x 12x =
5. 3 22x 7x 3x = 6. 3 2x 5x 16x 80 =
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
14
2. ใชหลกของ ผลตางก าลงสอง มสตรดงน 2 2a b (a b)(a b)
ตวอยางท 11 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน
1. 2x 4 = 2. 2x 9 =
3. 29x 25 = 4. 249x 4 =
5. 225x 81 = 6. 22x 1 =
7. 4 2x x = 8. 3x 16x =
9. 4x 16 = 10. 32x 8x =
11. 29a 25 = 12. 225y 144 =
3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง 2 2 2(a b) a 2ab b
ตวอยางท 12 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน
1. 2x 4x 4 = 2. 2x 4x 4 =
3. 2x 6x 9 = 4. 2y 8y 16 =
5. 24x 12x 9 = 6. 225x 20x 4 =
7. 2x 5x 6 = 8. 2x 4x 3 =
9. 2x 5x 4 = 10. 2x x 12 =
11. 22x 3x 1 = 12. 22x 5x 2 =
13. 22x 9x 10 = 14. 23x 17x 10 =
15. 24x 5x 6 = 16. 24x 8x 3 =
17. 26x 35x 6 = 18. 210x 19x 6 =
ใชหลกของ ก าลงสองสมบรณ มสตรดงน 2 2 2(a b) a 2ab b
การท าพหนาม 3 พจนใหเปนก าลงสองสมบรณ มขนตอนการท าดงน
1) ท าใหสมประสทธของ 2x เปน 1
2) น า “2” หาร ส.ป.ส ของ x ไดเทาใด น ามายกก าลงสองแลวบวกเขาและลบออก
3) ยบ 3 พจนใหเหลอ 2 พจนโดยใชสตรของผลบวกและผลตางทงหมดยกก าลงสอง
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
15
3.1 การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณโดยไมเขาฟอรม
การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ สามารถท าโดยใชแนวคดดงน
ตวอยางท 13 2x 2x 5 =
=
=
ดงนน 2x 2x 5 =
จาก 2 2x a = (x a)(x a)
จะได 2(x 1) 6 =
=
ตวอยางท 14 จงใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณแยกตวประกอบของพหนามตอไปน
1) 2x 6x 2 2) 2x x 1
3) 2x 6x 5 4) 2x 4x 4
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
16
3.2 การแกสมการก าลงสองโดยใชสตร
ถา 2ax bc c 0 แลว 2b b 4ac
x2a
1. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ทไดเปนจ านวนจรงและไดคา x 2 คา
2. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ทไดเปนจ านวนจรงและไดคา x เพยง 1 คา
3. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง คาทไดเปนจ านวนจนตภาพ
ตวอยางท 15 จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยใชสตร
1) 23x 11 0
2) 2x x 5 0
3) 2x 6x 9 0
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
17
3.2 การแกสมการพหนามก าลงสองตวแปรเดยว
ถา a และ b เปนจ านวนจรงและ ab 0 แลว a หรอ b อยางนอยหนงตวตองเปนศนย
ตวอยางท 16 จงหาค าตอบของสมการ x(x 2) 0
ตวอยางท 17 จงหาค าตอบของสมการ (x 2)(x 3) 0
ตวอยางท 18 จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน
1. 2x(x 3) 0 2. (2x 1)(x 4) 0
3. x(x 2) 0 4. (x 1)(x 5) 0
5. (3x 2)(5x 3) 0 6. 3x(x 5) 0
7. (x 3)(x 2) 0 8. 2(x 2) 0
9. (3x 2)(5x 3) 0 10. 3x(x 5) 0
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
18
ตวอยางท 19 จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน
1. 22x 15 x 2. 2x 1 x 1
3 4
3. 2 25x 4x 21 (x 2) 4. x 1 2
21 x
5. 2 2(3x 2) 6x x 6 6. 2 2(2 x 3) (x 2)
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
19
ตวอยางท 20 ในหอประชมของโรงเรยนแหงหนงพบวา จ านวนเกาอในแตละแถวนอยกวาจ านวนแถวทงหมดใน
หอประชมอย 8 ถามเกาอทงหมด 609 ตว อยากทราบวาในแตละแถวมเกาอกตว
วธท า
ตวอยางท 21 จงหาความยาวของดานประกอบมมฉากของรปสามเหลยม ABC จากรปทก าหนด
วธท า
x 3 x 1
x 2
A
B C
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
20
ตวอยางท 22 ตองการน าลวดหนามยาว 25 วา มาลอมทดนรปสเหลยมผนผา โดยลอมเพยงสามดานเทานน
เนองจากอกดานหนงตดกบแมน า จะตองลอมทดนใหกวางยาวเทาไร จงท าใหไดพนทเทากบ 75 ตารางวา
วธท า
ตวอยางท 23 ทดนรปสเหลยมพนผา กวาง 15 วา ยาว 20 วา ตองการท าถนนรอบทดนแปลงน โดยกวางของ
ถนนเทากนโดยตลอด สวนทดนทเหลอตรงกลางมพนท 126 ตารางวา จงหาความกวางของถนน
วธท า
ตวอยางท 24 จงหาจ านวนเตมบวกสองจ านวนซงตางกนอย 6 และผลบวกก าลงสองของแตละจ านวนเปน 306
วธท า
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
21
ตวอยางท 25 จงหาจ านวนคบวกสองจ านวนทเรยงตดกน ทมผลคณเทากบ 165
วธท า
ตวอยางท 26 นกเรยนทงหมดในหองหนงตองการสงบตรอวยพรใหเพอนทกคนในหองคนละหนงใบ พบวาใชบตร
อวยพรทงหมด 420 ใบ นกเรยนในหองนมทงหมดกคน
วธท า
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
22
Worksheet 2: การแยกตวประกอบของพหนาม
1.จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน (แสดงวธท าลงสมด)
1. 2x 7x 12 2. 2x 4x 12 3. 2x x 2 4. 2x 2x 3
5. 2x 5x 4 6. 2x 6x 5 7. 2x 7x 12 8. 2x 5x 6
9. 2x 3x 10 10. 2x 6x 8 11. 2x 4x 12 12. 2x 5x 14
13. 2x 7x 18 14. 2x x 12 15. 2x 2x 15 16. 2x 9x 18
17. 2x x 20 18. 2x 3x 28 19. 2x 2x 48 20. 2x 16x 63
21. 25x 45 22. 24x 9 23. 22x 5x 3 24. 22m 7m 4
25. 23x 3x 36 26. 235m 18m 8 27. 2(4 x 3) 49 28. 212m 8m 1
29. 22n n 3 30. 3 23x 9x 31. 2(x 2) 12(x 2) 36
32. 2 2 2(x 2) 18(x 2 x) 81x
2. จงหาคา m ของพหนามในรปก าลงสองสมบรณในแตละขอตอไปน
1. 2 2x mx 4 (x 2) 2. 2 2x mx 16 (x 4)
3. 2 2x 2mx 100 (x 10) 4. 2 2x 3mx 81 (x 9)
5. 2 2x 4x m (x 2) 6. 2 2x 8x m (x 4)
7. 2 2x 10x m (x 5) 8. 2 2(x mx m) (x 2)
9. 2 24x mx 16 (2x 4) 10. 2 29x mx 4 (3x 2)
3. จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ
1. 2x 6x 16 2. 2x 2x 15
3. 2x 5x 2 4. 2x 8x 14
5. 2x 5x 8 6. 2x 4x
6. 2x 3x 7. 28 4x x
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
23
4. จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสตร
1. 22x 8 0 2. 23x 6x 0
3. 2x 4x 12 0 4. 2x 3x 28 0
5. 24x 5x 6 0 6. 23x 27 0
7. 2x x 20 0 8. 23x 17x 10 0
9. 2x 4x 2 0 10. 23x 5 0
11. 2x 5x 4 0 12. 2x 7x 11 0
5. จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยการแยกตวประกอบ
1. 22x 5x 3 0 2. 22m 7m 4 0
3. 22n 9n 18 0 4. 25n 7n 0
5. 2(x 3) 4 6. 2x
x 49
7. 21x 7x 12
2 8. n(n 1) 32
6. จงหาค าตอบของสมการโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ
1. 2x 4x 2 0 2. 2x 5x 3 0
3. 2x 7x 2 0 4. 2x 7x 4 0
5. 2x 3x 2 0
7. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน
1. (x 5)(x 3) 0 2. 7x(2x 3) 0
3. (x 3)(x 3) 0 4. (2x 3)(5x 4) 0
5. (7 x 2)(5x 1) 0 6. 2(x 3) 0
7. 2 2(5 x) (3x 1) 8. 2 2(x 4) (2 x 1)
9. 2 2(2 x 3) (x 2) 10. 3x 1 0
2x
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
24
การไมเทากน ในการเปรยบเทยบจ านวนสองจ านวน นอกจากการเปรยบเทยบวาเทากนหรอไมเทากนแลวยงมการ
เปรยบเทยบวา มากกวาหรอนอยกวาไดโดยเขยนใหอยในรปสญลกษณ
เชน ให n เปนจ านวนเตม เชน
n 5 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..
n 1 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..
n 3 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..
n 10 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..
n 5 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..
ประโยคทมสญลกษณ , , , หรอ ขางตน เรยกวา อสมการ
ตวอยางท 27 การเขยนสญลกษณการไมเทากนแทนขอความ
1. n มากกวา 4 เขยนแทนดวย
2. m นอยกวา 1
2 เขยนแทนดวย
3. x นอยกวาหรอเทากบ 8 เขยนแทนดวย
4. y นอยกวาหรอเทากบ 2 เขยนแทนดวย
5. x มากกวาหรอเทากบ 0 เขยนแทนดวย
6. x ไมเทากบ 3 เขยนแทนดวย
สรปบทนยาม a b หมายถง a ไมมากกวา b
a b หมายถง a ไมนอยกวา b
a b c หมายถง a b และ b c
a b c หมายถง a b และ b c
a b c หมายถง a b และ b c
a b c หมายถง a b และ b c
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
25
สมบตการไมเทากน
ให a,b,c เปนจ านวนใดๆ
1. สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c
เชน
2. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c b c
เชน
3. สมบตการลบดวยจ านวนเทากน ถา a c b c แลว a b
เชน
4. สมบตการคณดวยคาคงททเทากน
4.1 ถา a b และ c 0 แลว ac bc
4.2 ถา a b และ c 0 แลว ac bc
เชน
5. สมบตการหารดวยคาคงททเทากน
4.1 ถา ac bc และ c 0 แลว a b
4.2 ถา ac bc และ c 0 แลว a b
เชน
6. ถา ab 0 แลว (a 0 แลว b 0) หรอ (a 0 และ b 0)
เชน
7. ถา ab 0 แลว (a 0 แลว b 0) หรอ (a 0 และ b 0)
เชน
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
26
ชวง (Interval) ชวงเปนสบเซตของจ านวนจรง เราสรางชวงขนเพอใชเปนสญลกษณแทนจ านวนจรงทอยในรปของอสมการ “ชวง” จงเปนเซตและเราสามารถเขยน ชวง แทนไดดวยเสนจ านวนจรง บทนยาม ให a,b และ a b 1. ชวงเปด (a,b) หมายถง {x | a x b} 2. ชวงปด [a,b] หมายถง {x | a x b} 3. ชวงครงเปด (a,b] หมายถง {x | a x b} 4. ชวงครงเปด [a,b) หมายถง {x | a x b} 5. ชวงอนนต (a, ) หมายถง {x | a x } = {x | x a} [a, ) หมายถง {x | a x } = {x | x a} ( ,a) หมายถง {x | x a} = {x | x a} ( ,a] หมายถง {x | x a} = {x | x a} 6. ชวง ( , ) หมายถง {x | x } = เซตของจ านวนจรง ( )
การเขยนชวงบนเสนจ านวนจรง
(a,b) =
[a,b] =
[a,b) =
(a,b] =
(a, ) =
[a, ) =
( ,a) =
( ,a] =
( , ) =
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
27
ชวง (Interval)
ชนดของชวง สญลกษณ หมายถง ตวอยาง แสดงเสนจ านวน
ชวงเปด (a,b) {x | a x b} (2,5)
ชวงปด [a,b] {x | a x b} [2,5]
ชวงครงเปด (a,b] {x | a x b} (2,5]
ชวงครงเปด [a,b) {x | a x b} [2,5)
ชวงอนนต (a, ) {x | x a} (2, )
ชวงอนนต [a, ) {x | x a} [2, )
ชวงอนนต ( ,a) {x | x a} ( ,2)
ชวงอนนต ( ,a] {x | x a} ( ,2]
ชวงอนนต ( , ) {x | x } ( , )
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
28
ตวอยางท 28 จงเตมขอมลในตารางใหสมบรณ
ขอ กราฟบนเสนจ านวน เซต ชวง 1.
{x | 4 x 5} ( 4,5)
2.
3.
4.
{x | 2 x 7}
5.
{x | 5 x 1}
6.
{x | 3 x 1 x 3}
[ 3,1) [3, )
7.
8.
{x | 8 x 5 x 3}
9.
[ 12, 5)
10.
[ 5, 3] [2,4] 11.
( , 8) [ 2,3) [5, )
4 5
10
1
3 3
4 4 8
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
29
ตวอยางท 29 จงเขยนชวงตอไปนบนเสนจ านวนจรง
1. A (2,5) 2. B [ 1,4]
3. C [2,5) 4. D ( 1,5]
5. E (2, ) 6. F ( ,3]
Worksheet4: สมบตการเทากนและชวง
1. พจารณาขอความตอไปนวาถกหรอผด โดยท a,b,c
……………………… 1. ถา a b แลว a b เปนจ านวนจรงลบ
……………………… 2. ถา a b แลว a b เปนจ านวนจรงบวก
……………………… 3. ถา a b และ b c แลว a c
……………………… 4. ถา a b แลว a c b c
……………………… 5. ถา a c b c แลว a b
……………………… 6. ถา a b แลว ac bc
……………………… 7. ถา a b และ c 0 แลว ac bc
……………………… 8. ถา a b และ c 0 แลว ac bc
……………………… 9. ถา ac bc แลว a b
……………………… 10. ถา ab 0 แลว a 0 และ b 0
……………………… 11. ถา ab 0 แลว a 0 และ b 0
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
30
2. จงเตมขอมลในตารางใหสมบรณ
ขอ กราฟบนเสนจ านวน เซต ชวง 1.
2.
3.
4(m 3) 3(m 2) {x | 3 x 9}
4.
{x | x 6}
5.
{x | x 10}
6.
{x | x 1 3 x 7}
7. (3,8)
8. ( 10,2] (2,10]
9. [ 9, 1] (7,15)
10.
( , 2) (1,4] (8, )
10
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
31
3. จงเขยนชวงค าตอบตอไปน แทนกราฟบนเสนจ านวน
1. (1,3) 2. ( 3,6]
3. [ 2,4) 4. [ 3,0]
5. ( ,6] 6. (8, )
7. ( , ) 8. ( ,0)
9. [0,5) 10. ( 2,3]
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
32
การแกอสมการของจ านวนจรง
การแกอสมการคอ การหาเซตค าตอบของอสมการ
ตวอยางท 30 จงแกสมการตอไปนและแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน
1. x 5 2 2. x 1 0
3. 2n 8 4. x2
3
ตวอยางท 31 จงแกอสมการตอไปน พรอมทงแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน
1. x 3 9 2. x 5 3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
33
การแกอสมการพหนาม
ขนตอนการแกอสมการพหนาม จะใชคณสมบตพนฐานเรองการบวกลบคณและหารคาคงทเขาไปทง 2 ขาง
ในอสมการ ซงสามารถสรปออกมาได 2 ขอ คอ
1. ยายขาง บวก ลบ ท าไดเลย เครองหมายอสมการเหมอนเดม
2. ยายขาง คณหาร ท าไดแตตองมขอตองระวงดงตอไปน
2.1 ตวทคณหรอหารหรอยายไปคณหรอหารเปนบวก เครองหมายอสมการเหมอนเดม
2.2 ตวทคณและหาร หรอยายไปคณหรอหาร เปนคาลบ เครองหมายอสมการตองเปลยนเปนตรงขาม
2.3 ตวทคณหรอหารทง 2 ขาง ไมทราบวาเปนบวกหรอลบ
สรป สมบตการคณดวยจ านวนลบ จะท าใหเครองหมายของอสมการเปลยนไปดงน
1) เครองหมาย เปลยนเปน เชน
2) เครองหมาย เปลยนเปน เชน
ตวอยางท 32 จงแกอสมการตอไปนและตอบในรปชวง
1. x 2 2) x7 1
2
ตวอยางท 33 จงแกอสมการและตอบในรปชวง
1) 4(x 1) 8 2) 5x 7 3x 1
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
34
ตวอยางท 34 จงหาเซตค าตอบของอสมการ
1. 7 x 6
10 2 5 2. 8 3x 4
3. 3(2x 5) 16 4(3x 2) 8 4. 2(8 5x) 9 3(4x 7) 1
ตวอยางท 35 จงแกอสมการ 3 6x 1 3 และตอบในรปชวง
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
35
ตวอยางท 36 จงหาเซตค าตอบของอสมการ
1. 3x 5 2x 3 2
4 9 3
2. 2(3x 1) 4 2(6 x)
5 7 3
3. 2 3x 7 20 4. 5 4x 9 7
5. 7 3 2x 5 6. 3 x 6 2x x 3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
36
การแกอสมการก าลงสองตวแปรเดยว
ใชหลกในการหาค าตอบ
ขนท 1 ท าใหสมการทางขวามอเปน 0
ขนท 2 ท าใหการแยกตวประกอบของพหนาม เชน (x a)(x b)(x c) 0
ขนท 3 หาคาวกฤตของอสมการ เชน คาวกฤตของ x 2 คอ x 2 0 ดงนน x 2
คาวกฤตของ x 2 คอ x 2 0 ดงนน x 2
ขนท 4 น าคาวกฤตไปลงบนเสนจ านวน เชน (x a)(x b)(x c) 0
จะไดคาวกฤตดงน x a 0 หรอ x b 0 หรอ x c 0
แสดงวา x a หรอ x b หรอ x c
ขนท 5 เขยนเสนจ านวนแลแบงตามชวง โดยก าหนดเครองหมายทอยขวาสดเปนบวกแลวสลบชวงตอมาทางซาย
เปนลบ บวก ดงน
ขนท 6 ค าตอบขนกบเครองหมายของอสมการ
ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงเปด (บวก) ไปตอบ
ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงปด (บวก) ไปตอบ
ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงเปด (ลบ) ไปตอบ
ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงปด (ลบ) ไปตอบ
ตวอยางท 37 จงหาเซตค าตอบในรปชวงของอสมการ
1. (x 1)(x 3) 0 2. (x 1)(x 2) 0
3. (x 2)(x 2) 0 4. (x 1)(x 4) 0
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
37
5. x(x 2) 0 6. 3x(x 3) 0
7. (2x 1)(3x 2) 0 8. (5x 2)(4x 3) 0
9. (3x 4)(5x 6) 0 10. (3 x)(5 x) 0
ตวอยางท 37 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2x 2x 3
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
38
ตวอยางท 38 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 1
3 x x 2
ตวอยางท 39 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2
2x 25xx 9
2
ตวอยางท 40 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3 x 15
x x
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
39
ตวอยางท 42 จงหาเซตค าตอบของอสมการ
1. 2 221 5x 4x x 5x 4 2. 2 25x 7x 50 3x x 50
3. 2 28x 9x 12 3(x 2) 4. 214 x x 2
6. 22(24 x) x 8. x(2x 1) 2x 1
3 7
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
40
9. 2 24x 10x 19 x 10x 1 10. 2 2x 2x 5 5x 2x 3
11. 2x
1 x4 12.
2x3x 5
2
13. x 1 3
x 2x
14. x 1
02 x
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
41
Worksheet5: การแกอสมการพหนาม
แสดงวธท าลงสมด
1. จงหาคา x ทสอดคลองกบอสมการในแตละขอตอไปน
1) 2x 4 0 2) 7x 5 0 3) 5x 1 0
4) 3x 9 0 5) 3 7x 2 6) 8 2x 4
7) 4x 6 2x 7 8) 6 5x 4 5x 9) 2x 15 7x 8 6x
10) 2(7x 8) 7(2 x) 26 11) 3 x 5x 3x 2 12) 7(x 3) 6(2x 3) 2
13) (x 2)(x 3) x(x 4) 14) (x 3)(x 1) x(x 6) 15) 3x 2 9x 11
3 7
16) 2x 1 2 x 8
5 3 6
17) 5(x 9) 3(x 1)
136 4
18) 3(x 3) 2(x 2)5
4 5
19) 2 x 3 6 20) 4 3x
5 12
21) 3 5 4x 9 22) 2 x 2x 1 3x 5
23) 2 x 5 2x 8 5x 24) x 12 2x 5 17 4x
2. จงแกอสมการตอไปนและแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน
1) 3x 2 4 6x 2) 6x 5
3) 2x 5 3 4) 4(m 3) 3(m 2)
5) 2x 16 6) 2x 4
7) 2x 6x 9 0 8) (x 3)(x 2) 0
9) 2x 5x 4 0 10) (x 3)(x 2) 0
11) (x 2)0
(x 8)
12)
2
2
x0
x 1
13) 1 1
x 2x 3
14) 3 1
x 3 4 2x
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
42
3. จงหาเซตค าตอบในรปชวงของอสมการในแตละขอตอไปน
1) (x 3)(x 4) 0 2) (x 4)(x 5) 0
3) (x 4)(x 8) 0 4) (x 2)(x 4) 0
5) (3x 5)(2x 3) 0 6) (2x 1)(4x 5) 0
7) x(x 3) 0 8) x(x 6) 0
9) 2x 4x 21 0 10) 214 5x x 0
11) 23x 4 13x 12) 26x 19x 10
4. จงหาเซตค าตอบของสมการ
1) 2 22x 3x 8 x 3x 8 2) 2 23x 6x 10 6x 6x 12
3) 2 22x 6x 10 6x 9x 10 4) 2 24(2 x 1) (2 3x)
5) 2 220 10x 3x 2 3x 2x 6) 2 19x5x 3
2
7) 2x 1x
6
8)
2x 12 x
2
9) 2x1 x
2 10) 3 2 x
2x x
11) 2 3x x
2 12) 2x 1
0x 3
13) x 11
2x 1
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
43
คาสบบรณ (Absolute Value)
คาสมบรณของจ านวนจรง a เขยนแทนดวย | a | หมายถง ระยะหางระหวางจด 0 ถงจด a บนเสนจ านวน
เชน | 2 | หมายถง ระยะจากจด 0 ถงจดทแทนจ านวน 2 ซงเทากบ 2 หนวย
| 2 | หมายถง ระยะจากจด 0 ถงจดทแทนจ านวน 2 ซงเทากบ 2 หนวย
บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง
a a 0
| a | 0 a 0
a a 0
หรอ a ; a 0| a |
a ; a 0
สมบตของคาสมบรณ
ให a,b เปนจ านวนจรงใดๆ
1. | a | = | a |
2. | ab | = | a || b |
3. a
b = | a |
| b | เมอ b 0
4. | a b | = | b a |
5. 2| a | = 2 2| a | a
ถา ถา
ถา
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
44
ตวอยางท 43 จงหาคาของคาสมบรณตอไปน
1. |7| = 2. | 7 | =
3. | 0 | = 4. | 5 | =
ตวอยางท 44 จงหาคาสมบรณตอไปน
1. |3 x 4| = 2. | ( 2)(5) | =
3. 7
3 = 4. 36
3
=
5. | 2 3 | = 6. 2| 4 | =
7. 2| 3 | = 8. | 2 6 | =
ตวอยางท 45 จงหาคาของคาสมบรณตอไปน
1. | 8 2 | = 2. | 2 8 | =
3. | 4 8 |
| 2 |
= 4. | 48 | =
5. |15 32 | = 6. | 32 15 | =
7. | 18 12 | = 8. | 18 |
| 36 |
=
9. | 25 |
| 50 |
= 10. | 4 ( 12) | =
ตวอยางท 46 จงหาคาของคาสมบรณตอไปน
1. | 15 10 |
| 20 |
= 2. | 10 5 |
| 20 |
=
3. | 5 10 |
| 20 |
=
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
45
การแกสมการคาสมบรณ
ทฤษฎบท ถา a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ ถา | x | a แลว x a หรอ x a
ขอควรระวง ตองรวา “ a เปนเลขบวก” จงจะกระจายไดหรอถอดจากคาสมบรณ
ตวอยางท 47 จงหาคา x จากสมการตอไปน
1. | x | = 5 2. | x 3 | 7
3. | x 2 | 9 4. | x 2 | 3
5. | x 8 | 12 6. 1 1
| x 3 | 15
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
46
การแกอสมการคาสมบรณ
โดยทวไป ถา a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
| x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ a x a
และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ a x a
เชน | x | 2 หมายความวา ระยะทางจากจด x ไปยงจด 0 บนเสนจ านวนทนอยกวา 2 หนวย
เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………………………………………………..
เชน | x | 2 หมายความวา ระยะทางจากจด x ไปยงจด 0 บนเสนจ านวนทนอยกวา 2 หนวย
เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………………………………………………..
| x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ x a และ x a
และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ x a และ x a
เชน | x | 3 เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ…………………………………………
เชน | x | 3 เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………….
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
47
ตวอยางท 48 จงหาเซตค าตอบของ
1. | x 3 | 2 2. | 3x 1| 5
3. | 2x 5 | 8 4. | 4x 3 | 6
5. | 2x 1| 3 6. 1 | 2x 1| 7
7. 2 | 2 3x | 5 8. 2x 3| | 1
5
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
48
Worksheet 6: การแกสมการและอสมการคาสมบรณ
1. จงพจารณาขอความตอไปนถกและผด โดยท a,b
……………………1) 12 |12 | ………………………2) | 6 | 6
……………………3) | 2 5 | | 2 | | 5 | ………………………4) | 2 5 | | 2 | | 5 |
……………………5) | 2 5 | | 5 2 | ………………………6) | 2 5 | | 2 | | 5 |
……………………7) 2 2| 6 | ( 6) ………………………8) 3 3| 5 | ( 5)
……………………9) | 6 | | 6 | ………………………10) | (2)( 3) | | 2 || 3 |
……………………11) 2 | 2 |
3 | 3 |
………………………12) | 3 | | 3 |
……………………13) | 2 | | 2 | ………………………14) | 4 | | 3 |
……………………15) 2 2| 5 | | 5 | ………………………16) | 7 | 7
……………………17) 3 3| 3 | | 3 | ………………………18) | a | 0
……………………19) | a | a ………………………20) ถา | a | a แลว a
……………………21) ถา | a | a แลว a 0 ………………………22) ถา | a | | b | แลว a b
……………………23) ถา | a | | b | แลว 2 2a b ………………………24) ถา | a | | b | แลว a b
……………………25) ถา | a | 2 แลว a 2 ………………………26) ถา | a | 2 แลว | a | 2
(แสดงวธท าลงสมด)
2. จงหาผลลพธตอไปน
1) | 2 | | 3 4 | 2) || 3 | | 3 2 6 ||
3) || 4 ( 8 6) | | 2 (4 1 2 3) || 4) | 4 |
5) | 5 | | 3 | 2 1||
3. จงแสดงคา x บนเสนจ านวน เมอก าหนดให
1) | x | 5 2) | x | 4 3) | x | 7 4) | x | 3
5) | x | 5 6) | x | 0 7) | x | 0 8) | x | 0
วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง
49
4. จงหาค าตอบของสมการคาสมบรณตอไปน
1) | x 2 | 6 2) | x 2 | 3 3) | 2x 4 | 8
4) | 4 2x | 6 5) | 3 5x | 1 6) | 2x 1| 2 3x
5. จงแกอสมการคาสมบรณตอไปน
1) | x | 4 2) | x 2 | 5
3) | x 4 | 3 4) | 3x 6 | 3
5) | 5x 10 | 10