UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELEacuteTRICA E DE COMPUTACcedilAtildeO
EE754 ndash ONDAS GUIADAS
Guias de OndaGuias Metaacutelicos RetangularesProf Lucas Heitzmann Gabrielli
Geometria e condiccedilotildees de contorno
120576 120583
119909
119910
119911119886
119887
119886 ge 119887
O guia retangular eacute envolto por um soacute condutorportanto natildeo apresenta modo TEM
O condutor eacute considerado ideal para a soluccedilatildeo modal(mais tarde introduziremos uma resistecircncia superficialpara o caacutelculo aproximado das perdas ocirchmicas comovisto anteriormente) Dessa maneira sabemos que ocampo eleacutetrico tangencial agraves 4 paredes do guia deve sernulo
119854119899 times (119812cond minus 119812) = 0 hArr 119854119899 times 119812 = 0
119909 isin 0 119886 rArr 119854119909 times 119812 = 0 hArr 119864119910 = 119864119911 = 0
119910 isin 0 119887 rArr 119854119910 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119911 = 0
Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos
119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤlowast
Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
Frequecircncias de corte
A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo
1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962
119909 minus 1198962119910
120582119892 = 2120587120573
Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo
119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899
= 2
984975984643119898119886 9846442 + 984643119899
119887 9846442
120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888
2984976984709119898
119886984710
2+ 984709119899
119887984710
2
Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos
119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911
119864119909 prop part119867119911part119910
= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672
119864119910 prop part119867119911part119909
= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0
Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Geometria e condiccedilotildees de contorno
120576 120583
119909
119910
119911119886
119887
119886 ge 119887
O guia retangular eacute envolto por um soacute condutorportanto natildeo apresenta modo TEM
O condutor eacute considerado ideal para a soluccedilatildeo modal(mais tarde introduziremos uma resistecircncia superficialpara o caacutelculo aproximado das perdas ocirchmicas comovisto anteriormente) Dessa maneira sabemos que ocampo eleacutetrico tangencial agraves 4 paredes do guia deve sernulo
119854119899 times (119812cond minus 119812) = 0 hArr 119854119899 times 119812 = 0
119909 isin 0 119886 rArr 119854119909 times 119812 = 0 hArr 119864119910 = 119864119911 = 0
119910 isin 0 119887 rArr 119854119910 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119911 = 0
Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos
119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤlowast
Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
Frequecircncias de corte
A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo
1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962
119909 minus 1198962119910
120582119892 = 2120587120573
Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo
119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899
= 2
984975984643119898119886 9846442 + 984643119899
119887 9846442
120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888
2984976984709119898
119886984710
2+ 984709119899
119887984710
2
Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos
119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911
119864119909 prop part119867119911part119910
= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672
119864119910 prop part119867119911part119909
= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0
Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos
119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤlowast
Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
Frequecircncias de corte
A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo
1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962
119909 minus 1198962119910
120582119892 = 2120587120573
Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo
119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899
= 2
984975984643119898119886 9846442 + 984643119899
119887 9846442
120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888
2984976984709119898
119886984710
2+ 984709119899
119887984710
2
Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos
119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911
119864119909 prop part119867119911part119910
= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672
119864119910 prop part119867119911part119909
= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0
Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Frequecircncias de corte
A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo
1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962
119909 minus 1198962119910
120582119892 = 2120587120573
Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo
119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899
= 2
984975984643119898119886 9846442 + 984643119899
119887 9846442
120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888
2984976984709119898
119886984710
2+ 984709119899
119887984710
2
Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos
119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911
119864119909 prop part119867119911part119910
= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672
119864119910 prop part119867119911part119909
= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0
Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos
119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911
119864119909 prop part119867119911part119910
= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672
119864119910 prop part119867119911part119909
= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672
Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0
Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos TE
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =
119895120573119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)
As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante
bull modo dominante TM TM11
bull modo dominante TE TE10
Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10
Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte
119891
119887 le 1198862
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
119891
1198862 le 119887 le 119886
11989111988810
1198882119886
11989111988820
119888119886
11989111988801
1198882119887
Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0
1205732119898119899 lt 0
11989611988811
11989611988812
11989611988821
11989611988822
11989611988831
11989611988832
11989611988841
11989611988842
119896119909 = 119898120587119886
119896119910 = 119899120587119887
11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840
11989611988801
11989611988802
0 120587119886
2120587119886
3120587119886
4120587119886
0
120587119887
2120587119887
Relaccedilatildeo de dispersatildeo
1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962
119888119898119899
1198962119888119898119899 = 1198962
119909 + 1198962119910
Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899
Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)
120573119898119899 = minus119895120572119898119899
120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE10
119812 119815
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE10
Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores
119817119904 = 119854119899 times 119815
Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)
119817119904
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE20
119812 119815
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE01
119812 119815
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE11
119812 119815
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TE21
119812 119815
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modo TM11
119812 119815
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Velocidades de fase e grupo
120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888
(onda plana)120596 = 119888120573
120573
120596
120596119888 119907119892 = d120596d120573
119907119901 = 120596120573
119907119901 = 119888
9849761minus984687 119891119888119891 984688
2
119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
119891
119907
119888
119891119888
119907119901119907119892 = 1198882
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Impedacircncias
Modos propagantes (119891 gt 119891119888)
120578TE = 120596120583120573
= 120578
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
120578TM = 120573120596120576
= 1205789849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)
120578TE = 119895120596120583120572
= 119895120578
984975984687119891119888119891 984688
2minus 1
120578TM = minus119895120572120596120576
= minus119895120578984977984731119891119888119891
9847322
minus 1
TETM
119891
|120578120577|
120578
119891119888
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10
119812 = minus119895119896119896119909
1205781198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886
984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909
1198670 sin 984709120587119909119886
984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886
984710 119854119911
A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como
120034 sdot 119854119911 = 12
real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12
real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573
21198962119909
120578|1198670|2 sin2 120587119909119886
119875119879 =119886
9849580
119887
9849580
120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784
|1198670|2 119891119891119888
984977984753 119891119891119888
9847542
minus 1 = 1198861198874120578
|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891
9847322
Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica
120572119889 = 1205961205831205901198892120573
= 120578120590119889
29849751 minus 984687119891119888119891 984688
2
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia
120572119888 = 1199011198882119875119879
119901119888 = 984958ℓ
12
119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815
O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia
Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|
Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos
120572119888 = 119877119904120578
9847151119887 + 2
119886 984687119891119888119891 984688
2984716
9849751 minus 984687119891119888119891 984688
2=
984973984972984972
120587120576119891
120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688
2984716
9847891119887
+ 2119886
984731119891119888119891
9847322984790
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Baixas perdas
A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)
Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887
119891 [GHz]
120572 119888[N
pm
]
119891119888
001
002
003
004
005
10 20 30 40 500
WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510
WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]
90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400
7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Acoplamento
Acoplamento eleacutetrico TE10
1205821198924
Acoplamento magneacutetico TE10
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Cavidade ressonante
Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria
119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911
119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911
119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0
119909
119910
119911119886
119887
ℓ
ℓ ge 119886 ge 119887
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos
119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus
0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911
119864119909 = minus1198951205731198961199091198962
119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+
0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666
119864119910 = minus119895120573119896119910
1198962119905
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus
0 119890119895120573119911984666
Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus
0 = 11986402 e 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp
119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0
119864119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =
119895119896119896119910
1198962119905
1198640120578
sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus120573119896119910
1198962119905
1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962
119905
1198640120578
cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Modos TE
Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587
ℓ 119901 isin ℤlowast
119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)
119864119909 =119895119896119896119910
1198962119905
1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962
1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)
119864119910 = minus1198951198961198961199091198962
1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus
119895119896119896119910
1198962119905
1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Frequecircncias de ressonacircncia
Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos
1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962
119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882
984976984709119898119886
9847102
+ 984709119899119887
9847102
+ 984709119901ℓ
9847102
Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)
Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
14
120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
14
120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587
119876 = 2120587 119882119875119871119879
= 2120587119891 119882119875119871
= 120596119882119890 + 119882119898119875119871
A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting
119882119890 = 984958119881
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120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881
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120583|119815|2 d119881
119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda
2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante
a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante
b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia
3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas
5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm
6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila
a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW
b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas
7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo
8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos
9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas