ใบงานท 3
ชองาน อนพนธ
จงหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดให
1. y = 3x5
2. y = 6x2 – 6x + 5
3. y = x2(2 + 3x)4
4. y = (x3 – 6x)(2 – 4x3)
5. y =x+2
x+3
6. y = 8x5 + 5 x - 3
ใบความร
ชอเรอง อนพนธ (ตอ)
1. 𝑑
𝑑𝑥sin𝑢 = cos𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
2. 𝑑
𝑑𝑥cos𝑢 = − sin𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
3. 𝑑
𝑑𝑥tan 𝑢 = sec2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
4. 𝑑
𝑑𝑥cot𝑢 = − cosec𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
5. 𝑑
𝑑𝑥sec𝑢 = sec𝑢 tan𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
6. 𝑑
𝑑𝑥cosec𝑢 = − cosec𝑢 cot𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
ตวอยาง ก าหนดให y = sin3x + cos 2x จงหาdy
dx
Y = sin 3x + cos 2x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥( sin 3x + cos 2x )
= 𝑑
𝑑𝑥sin 3𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥cos 2𝑥
= cos 3x 𝑑3𝑥
𝑑𝑥 + ( - sin 2x
𝑑2𝑥
𝑑𝑥)
= 3cos 3x - 2 sin 2x
ตวอยาง ก าหนดให y = x sin x จงหา 𝑑𝑦
𝑑𝑥
y = x sin x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 ( xsin x)
= x 𝑑
𝑑𝑥 sin x + sin x
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= x cos x + sin x
ใบงานท 4
ชองาน อนพนธ
จงหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดให
1. y = 3 sin 2 x
2. y = 4 tan 5 x 3. y = sin x - x cos x + x 3 - 4 x +3
4. y = cos 𝑥
𝑥
5. y = ( cos x - 1 )3
6. y = sin x cos x
ใบความร
ชอเรอง อนพนธ( ตอ ) 2.4 การหาอนพนธของฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต
1. 𝑑
𝑑𝑥sin−1 𝑢 =
1
1− 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
2. 𝑑
𝑑𝑥 cos -1 u =
−1
1− 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
3. 𝑑
𝑑𝑥 tan-1 u =
1
1+𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
4. 𝑑
𝑑𝑥 cot-1 u =
−1
1+𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
5. 𝑑
𝑑𝑥 sec-1 u =
1
u 1− 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
6. 𝑑
𝑑𝑥 cosec-1 u =
−1
u 1− 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
ตวอยาง ก าหนดให y = tan-1 3x จงหาอนพนธ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
y = tan -1 3x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 tan -1 3x
= 1
12+(3𝑥)2
𝑑3𝑥
𝑑𝑥
= 3
1+9𝑥2
ใบงานท 5
ชองาน อนพนธ
จงหาอนพนธจากฟงกชนทก าหนดให
1. y = sin -1 x
2. y = x 2 sec -1 x
3. y = tan -1 3
𝑥
4. y = tan -1 ( ln 5 x)
5. y = x 2 cos -1 2
𝑥
ใบความร ชอเรอง อนพนธ ( ตอ ) 2.5 การหาอนพ นธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
1. 𝑑
𝑑𝑥 log u = 1
𝑢log a e
𝑑𝑢
𝑑𝑥 ( a > 0 , a ≠ 1)
2. 𝑑
𝑑𝑥 ln u = 1
𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
ตวอยาง ก าหนดให y = log 3 (3 x - 5) จงหาอนพนธ
y = log 3 (3 x - 5)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 log 3 (3 x - 5)
= 1
3𝑥−5 log 3 e
𝑑
𝑑𝑥 ( 3x - 5)
= (1)
3𝑥−5 (3 log3 e)
ตวอยาง ก าหนดให y = ln sin 3 x จงหาอนพนธ
y = ln sin 3 x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 ln sin 3 x
= 1
sin 3𝑥 𝑑
𝑑𝑥 sin 3x
= 1
sin 3𝑥 (cos 3x
𝑑
𝑑𝑥 3 x)
= 3 cos 3𝑥
sin 3𝑥
= 3 cot 3 x
2.6 การหาอนพนธของฟงกชนลอการทม
1. 𝑑𝑎𝑢
𝑑𝑥 = 𝑎𝑢 ln a
𝑑𝑢
𝑑𝑥
2. 𝑑𝑒𝑢
𝑑𝑥 = 𝑒𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
ตวอยาง ก าหนดให y = 𝑒𝑥 , y = 𝑎3𝑥จงหาอนพนธ
y = 𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑒𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 y = 𝑎3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑎3𝑥
𝑑𝑥
= 𝑎3𝑥 ln 𝑎 𝑑3𝑥
𝑑𝑥
= 3 𝑎3𝑥 ln𝑎
ใบงานท 6
ชองาน อนพนธ
จงหาอนพนธของอนพนธจากฟงกชนทก าหนดให
1. y = ln( 4𝑥 − 5)
2. y = 𝑒5𝑥 3. y = tan x ( e )3x
4. y = 𝑒𝑥 ln x2
5. y = 32x
6. y = x 2 e 2x
ใบความร ชองาน อนพนธ ( ตอ ) 2.7 การหาอนพนธอนดบสง ตวอยาง ให y = 2x3 -3 x2 +5 จงหา y4
y = 2x3 -3 x2 +5
𝑦′ = 𝑑
𝑑𝑥( 2x 3 -3 x2 +5 ) = 6x2 -6x + 0
𝑦′′ = 𝑑
𝑑𝑥( 6x2 -6x) = 12x – 6
𝑦′′′ = 𝑑
𝑑𝑥( 12x - 6) = 12 – 0
𝑦4= 𝑑
𝑑𝑥( 12 ) = 0
ใบงานท 7
ชองาน อนพนธ 2.8 กฎลกโซ ถา y = F (u) เปนฟงกชนทมอนพนธท u และ u = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว y = F ( f ( A) )จะเปนฟงกชนทมอนพนธท x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
ตวอยาง ก าหนดให y = u 3, u = ( 3x2 + 5) จงหาอนพนธ
y = u3
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢3
𝑑𝑥 = 3u
u = ( 3x2 + 5)
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥( 3x2 + 5) = 6x + 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 3 u ( 6x )
= 3 (3 x 2 + 5 ) ( 6x ) = ( 9 x2 +15) (6x) = 5x3+90x
2.9 การหาอนพนธโดยปรยาย
ตวอยาง จงหาอนพนธเมอก าหนดให x2+ y 2 = 4
x2+ y2 = 4
𝑑
𝑑𝑥( x2 + y2 ) =
𝑑4
𝑑𝑥
𝑑𝑥2
𝑑𝑥 +𝑑𝑦2
𝑑𝑥 = 0
2x + 2y𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 0
2y𝑑𝑦
𝑑𝑥 = -2x
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = −2𝑥
2𝑦
= −𝑥
𝑦
ใบงานท 8
ชองาน อนพนธ
1. ก าหนดให y = 2u , u = 5x จงหา dy
dx
2. ก าหนดให y = u 2 + 2u , u = x2 - 1 จงหา dy
dx
3. ก าหนดให x 2 + 3 y3 = 3 จงหา dy
dx
4. ก าหนดให x 3 + 6 x y2 +3 y 2 = 6 จงหา dy
dx
ใบความร ชอเรอง อนพนธ (ตอ) 2.10 ความเรวและความเรง
เมอวตถชนหนงเคลอนทตามแนวเสนตรงให S เปนระยะทาง t เปนเวลา จะมสมการ s = f(t)
ความเรว v , d𝑠
dt = v
ความเรง a , 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = a
ตวอยาง ยงลกปนขนไปในแนวดงดวยความเรว 160 เมตร/วนาท ลกหนเคลอนทตามสมการ S = 160 t – 16t2 จงหาวาลกหนขนไปไดสงทสดเทาใด เพราะวาวตถขนไปไดสงทสด จะหยดนง แสดงวา v = 0
ความเรวขณะเวลา t v = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
S = 160 t – 16 t2 ---------- 1
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡( 160 t - 16 t2)
v = 160 – 32 t ---------- 2
แทนคา v = 0 , ใน 2 , 0 = 160 - 32t 32 t = 160 t = 160
32 = 5
ลกหนขนไปสงสด t = 5 วนาท แทน t = 5 , ใน 1 , s = 160( 5 ) – 16( 5)2
= 800 - 400 ลกหนขนไปไดสงสด = 400 เมตร
2.11 การประยกตอนพนธ ความชนของเสนโคง
อนพนธของฟงกชน y = f (x) ทจดสมผส หรอ m = 𝑓 ′ (x) 1 ความชนของเสนสมผสทจด p1 เทากบ 𝑝′ (x) 2 สมการเสนสมผสทจด p1 ในรปสมการเสนตรง y – y1 = 𝑓 ′ (x1) (x – x1)
ตวอยาง ก าหนดเสนโคง y = x2 – 3x จงหา 1. ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) 2. สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) 1. y = f( x ) = x2 – 3 x f( x ) = 2 x – 3 x =3, f( 3 ) = 2( 3 ) - 3 ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) จะเทากบ f ( 3 ) = 3
2. สมการของเสนสมผสเสนโคง
y - y 1 = f (x1 ) ( x – x1 ) f ( x) = f ( 3) = 3 x = 3, y = 0 y - 0 = 3 ( x - 3) y = 3 x - 9 สมการของเสนสมผส 3 x - y - 9 =
ใบงานท 9 ชองาน อนพนธ
1. จงหาความเรวและความเรงของวตถทเคลอนไปตามแนวนอน โดยมสมการของการ
เคลอนไหว เปน s = 2 t2 +2 เมอเวลา t = 2 วนาท เมอ s เปนระยะทาง (เมตร)และ t เปนเวลา(วนาท)
2. จงหาสมการของเสนสวนโคง y = 1 – 2 x 2 ทจด ( 2, - 7)
3. จงหาสมการของเสนสวนโคง y = x 2– 2 x ทจด ( -3, 1 )
ใบความร ชอเรอง อนพนธ (ตอ) 2.12 อตราสมพทธ หาโดยใชกฎลกโซ ตวอยาง ดานของสเหลยมจตรสเพมขนในอตรา 2 นว/นาทพนทของรปสเหลยมจตรสรปน จะเพมในอตราเทาใดขณะทดานยาว 10 นว
x
ให x แทนความยาวของรปสเหลยมจตรสขณะเวลา t ใดๆ A แทนพนทของรปสเหลยมจตรสขณะเวลา t ใดๆ สตร พนทสเหลยมจตรส = (ดาน) (ดาน) A = x2
อนพนธเปรยบเทยบ 𝑑𝐴
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥
= 2x 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐴
𝑑𝑥 = 2 x นว/นาท
x = 10, 𝑑𝐴
𝑑𝑥 = 2(10) (2)
พนทของสเหลยมจตรสเพมขน = 40 ตารางนว/นาท
x
x
ใบความร
ชอเรอง อนพนธ
1. ถงน ารปกรวยมความสง 24 นว มรศมฐาน 18 นว ถาปลอยใหน าไหลเขาถงดวยอตราคงท 60 ลกบาศกนว/วนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของระดบน าในกรวย เมอน าอยในระดบสง 8 นวจากกนกรวย
2. ถาท าการขยายชนงานรปลกบาศกดวยอตรา 3 ลกบาศกเซนตเมตร/นาท จงหาอตรา
การเปลยนแปลง ขนาดดานในของชนงานนขณะทปรมาตรขกงชนงานเปน 216 ลกบาศกเซนตเมตร
ใบความร
ชอเรอง อนพนธ (ตอ) การหาคาโดยประมาณของฟงกชนโดยใชคาเชงอนพนธ dy = 𝑓 ′( 𝑥) ∆ x f ( k+∆ x) = f(k) +𝑓 ′( 𝑥) ∆ x ตวอยาง จงหาคาประมาณของ 627
4 ให 627
4 = 625 + 2 4 k = 625, x = 2
y = 𝑥4 = 𝑥1/2 f (625) = 625
4 = 5 dy = 1
4𝑥−3/4dx
= 1
4𝑥−3/4∆x
k = 625, ∆𝑥= 2 dy = 𝑓 ′ (x) ∆𝑥 dy = 𝑓 ′ (625) ∆𝑥
= 1
4 (625)−3/4(2)
= 1/250 = 0.004 จากสตร f ( k + ∆ x = f k + 𝑓 ′ (k) ∆ x
f (625 +2) = 5 + 0.004
627 4 = 5.004