Actividad Graacuteficos sistemas de ecuaciones
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Sector matemaacutetica Segundo medio
Unidad 5
Semejanza de Triaacutengulos
Obj Reconocer el concepto de semejanza de figuras planas y los criterios de semejanza de triaacutengulos
Semejanza de Triaacutengulos
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten del concepto
de semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y ejemplos del concepto de semejanza
Criterios de semejanza
de triaacutengulos y ejemplos
Una sencilla demostracioacuten
Todos estos elementos son la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos ejercicios sencillos
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Unidad 5
Semejanza de Triaacutengulos
Obj Reconocer el concepto de semejanza de figuras planas y los criterios de semejanza de triaacutengulos
Semejanza de Triaacutengulos
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten del concepto
de semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y ejemplos del concepto de semejanza
Criterios de semejanza
de triaacutengulos y ejemplos
Una sencilla demostracioacuten
Todos estos elementos son la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos ejercicios sencillos
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Semejanza de Triaacutengulos
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten del concepto
de semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y ejemplos del concepto de semejanza
Criterios de semejanza
de triaacutengulos y ejemplos
Una sencilla demostracioacuten
Todos estos elementos son la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos ejercicios sencillos
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos
(correspondientes) es constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales
y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
III Tercer criterioLAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes
entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Algunas aplicaciones de estos conceptos
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjercicioConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
EjercicioTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes