1
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
Variáveis
1) Variáveis discretas – São aquelas que caracterizam valores que podem ser contados.
Ex.: Número de pessoas que acessam um caixa eletrônico em uma determinada data e horário.
Exemplos de distribuição de probabilidades discretasBinomialPoissonHipergeométrica
2
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
2) Variáveis contínuas – São aquelas que caracterizam um processo de medição, podendo assumir qualquer valor num intervalo contínuo.
Ex.: Temperatura de uma peça
Exemplos de distribuição de probabilidades contínuasNormalUniformeExponencial
3
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Também chamada de distribuição de Gauss.
É a distribuição contínua mais utilizada no estudo da estatística. Sua utilização se deve ao fato da maioria das variáveis serem poderem ser caracterizadas por sua distribuição e por poder ser utilizada para fazer aproximações para várias distribuições de probabilidades discretas.
4
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Propriedades:
1. Simétrica
2. Apresenta um formato de sino
3. Sua amplitude é infinita
4. Suas medidas de tendência central são coincidentes, ou seja, média, mediana e moda
5. É fortemente caracterizada por sua média μ e seu desvio padrão σ
5
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Variando-se a média e o desvio padrão, obtém-se diferentes distribuições normais.
6
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A variação da média μ desloca a distribuição para a direita ou para a esquerda.
A variação do desvio padrão σ altera a amplitude da distribuição.
7
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL
Onde X é qualquer valor no intervalo contínuo de a .
2
σ
μ)(X
2
1
e2π
1f(X)
σ
8
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
O cálculo da probabilidade é feito através da área sob a curva da distribuição até o valor de X.
Pela utilização da fórmula, o cálculo é feito através de uma integral definida desde até X
9
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A probabilidade de qualquer valor individual é zero.
10
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Etapas para cálculo da probabilidade normal:
1) Transformar a variável aleatória (X) em variável aleatória normal padronizada, ou seja, calcular a diferença (Z) entre o valor de X e a média aritmética μ, expressando o valor em unidades de desvio padrão σ.
Z terá sempre μ = 0 e σ = 1
11
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMALEx.:Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.
12
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMALEx.:Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.
O resultado significa que X = 200 está 2,0 desvios-padrão (2,0 incrementos de 50 unidades) acima da média 100
2,050
100200σμX
Z
13
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
14
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Função Densidade de Probabilidade Normal Padronizada:
Onde Z é qualquer valor na distribuição normal padronizada (valores acima da média são positivos e valores abaixo da média são negativos
2
Z2
e2π
1f(Z)
15
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A área total sob a curva é 1, com metade desse valor acima da média e metade abaixo.
16
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Tabela de distribuição normal padronizada
A tabela irá fornecer a probabilidade de ocorrência do valor de Z, desde até Z, isto é, a área sob a curva desde até Z.
Ex.: Calcular P(Z < 2).
17
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
18
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
19
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXERCÍCIOS:
1) Considere uma distribuição normal padronizada, com média aritmética igual a zero e desvio-padrão igual a um.Qual é a probabilidade de que Z seja menor que 1,59?Qual é a probabilidade de que Z seja maior que 1,68?Qual é a probabilidade de que Z esteja entre 1,59 e 1,68?Qual é a probabilidade de que Z esteja entre -1,59 e 1,68?Entre que dois valores de Z (simetricamente distribuídos
em torno da média aritmética) estarão contidos 68,26% de todos os valores possíveis de Z?
20
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
2) Considere uma distribuição normal padronizada. Qual é o valor de Z para uma probabilidade:menor que 95%?maior que 90%?
21
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL3) Em um curso de Estatística, um conjunto de notas de provas finais foi considerado como normalmente distribuído, com uma média igual a 6,7 e um desvio-padrão igual a 1,8. Qual é a probabilidade de se obter uma nota maior do que 7,4
nessas provas? Qual é a probabilidade de se obter uma nota igual ou menor
do que 9,0? Que percentagem de alunos tirou entre 5,3 e 8,9? Apenas 5% dos alunos que fizeram essas provas obtiveram
pontuação mais alta de que nota?
22
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
4) Considere uma distribuição normal, com média igual a 85 e desvio-padrão igual a 17. Qual é o valor de X para uma probabilidade:menor que 99%?maior que 80%?
23
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
DISTRIBUIÇÃO NORMAL5) Os salários dos gerentes de bancos se distribuem normalmente, com média de $ 14.500 e desvio-padrão de $ 2.100. Qual é a percentagem de gerentes que recebem:
menos de $ 12.350? entre $ 13.400 e $ 16.570?