ANALIZA STRUCTURALA IN

DOMENIUL NELINIAR

REFERAT

Criterii de cedare pentru materiale fragile

(Rankine, Mohr-Coulomb, Drucker–Prager)

[Type text] BUCURESTI, 2014

Introducere

Relatia dintre incarcare si deformatie se numeste lege constitutiva si poate fi definita atat la

nivelul intregii structuri, cat si la nivelul materialului. Criteriile mentionate aici sunt conditii

de stare limita denumite criterii de cedare.

Genul conditiilor limita folosite pentru un model dat depind de cerintele de proiectare. De

exemplu, daca se doreste ca structura sa ramana in domeniul deformatiilor elastice, starea

limita de incarcare este cea care produce curgerea materialului. Daca in aplicatia respectiva

deformatia plastica este tolerabila, starea limita este ruperea materialului sau pierderea

stabilitatii structurii. Desigur, atat ruperea cat si pierderea stabilitatii sunt limitele superioare

dincolo de care structura nu mai poate fi folosita. In consecinta, un numar mare de teorii

asupra starilor limita au fost dezvoltate, corespunzand diferitelor tipuri de criterii.

Teoriile de rezistenta sunt impartite in trei categorii: cele legate de atingerea limitei de

curgere, cele legate de ruperea materialului si cele legate de pierderea stabilitatii deformatiei.

In continuare voi prezenta 3 teorii referitoare la ruperea fragila a materialului.

Materialele cu comportare fragila (fonta, roca, betonul), cedeaza prin rupere inainte sa ajunga

la curgere. Cu toate ca nu au o structura omogena, se vor considera izotrope.

Forma generala a suprafetei lor de curgere :

𝑓(𝜎1,𝜎2,𝜎3,𝑘) = 0

𝑓(𝐼1, 𝐼2, 𝐼3,𝑘) = 0

Reprezentarile sugestive se pot face in plan deviatoric sau in plan meridian.

Criteriile de cedare sunt dependente de primul invariant al starii de tensiune : 𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 +

𝜎3

2

3

• Rankine

Criteriul de cedare a fost propus de Rankine in 1876 si se mai numeste si criteriul de cedare

pentru efortul normal de tensiune maxim.

Cedarea materialului se va obtine cand magnitudinea efortului de intindere va atinge

o valoare limita la care se produce ruperea fragila in elementul supus unui test monoaxial de

intindere simpla.

𝜎𝑚𝑎𝑥𝑡 = 𝜎𝑘 ,𝑘 = 1,2,3

𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 → 𝜎1 = 𝜎𝑘

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑎𝑥𝑡 , 𝜎2 = 𝜎3 = 0

Din punct de vedere matematic, daca materialul este supus la starea plana de tensiune,

cedarea se va obtine cand:

𝜎1 ≥ 𝜎𝑢𝑙𝑡 𝜎2 ≥ 𝜎𝑢𝑙𝑡

σ1si σ2 sunt eforturi principale

σult = rezistenta ultima la intindere (sau compresiune)

Reprezentand grafic expresiile de mai jos obtinem:

�±𝜎1𝜎𝑢𝑙𝑡

� = 1

�±𝜎2𝜎𝑢𝑙𝑡

� = 1

Orice efort care se incadreaza

4

in spatiul din interiorul patratului din imagine arata ca materialul se comporta elastic. Daca

apare insa pe conturul hexagonului, atunci materialul cedeaza prin separare sau fracturare.

Exemplu Rankine

𝑓𝑦 = 500𝑀𝑃𝑎 (aliaj)

𝜎 =200 0 0

0 100 −300 −30 −50

𝜎1 = 200

𝜎2 = 105.77

𝜎3 = −55.77

→ 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 200𝑀𝑃𝑎

→ 𝑆𝐹 =500200

= 2.5

Exemplu preluat din http://www.mae.ufl.edu/ -University of Florida-Mechanical &

Aerospace Engineering department

5

• Drucker-Prager

Criteriul a fost propus de Drucker si Prager in 1952 si se mai numeste si criteriul de cedare

octaedric.

Cedarea materialului se obtine intr-un punct al corpului deformabil cand combinatia

liniara dintre eforturile octaedrice 𝜎𝑜𝑐𝑡 si 𝜏𝑜𝑐𝑡 atinge o valoare limita 𝜎𝑘.

𝑓(𝐼1, 𝐼2𝑑,𝜎𝑘) = 0

𝜎𝑜𝑐𝑡 =𝐼13

𝜏𝑜𝑐𝑡 = �23∗ 𝐼2𝑑

→ 𝑓(𝜎𝑜𝑐𝑡 , 𝜏𝑜𝑐𝑡,𝜎𝑘) = 0

�3 ∗ 𝐼2𝑑 + 𝛼 ∗ 𝐼1 − 𝜎𝑘 = 0

Unde 𝜎𝑘 ( 𝑘) 𝑠𝑖 𝛼 sunt constante de material obtinute experimental, iar daca 𝛼 = 0 criteriul

Drucker-Prager degenereaza in criteriul Von Mises.

Cand 𝜌𝑐 𝑙𝑎 𝜃 = 60° , coincide cu suprafata limita si:

𝛼 =2 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑

√3 ∗ (3 − 𝑠𝑖𝑛𝜑)

𝑘 =6 ∗ 𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑

√3 ∗ (3 − 𝑠𝑖𝑛𝜑)

Se observa ca suprafata de cedare va deveni circumscrisa piramidei hexagonale si constituie o

limita superioara pentru suprafata de cedare Mohr –Coulomb.

Cand 𝜌𝑡 𝑙𝑎 𝜃 = 0° coincide cu suprafata limita:

𝛼 =2 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑

√3 ∗ (3 + 𝑠𝑖𝑛𝜑)

𝑘 =6 ∗ 𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑

√3 ∗ (3 − 𝑠𝑖𝑛𝜑)

Starea de tensiune plana se obtine intersectand conul circular cu planul 𝜎3 = 0

Plan octaedric= plan care formeaza unghiuri egale cu toate planurile directiilor principale de

tensiune

6

(conform Plasticity - Chen)

Din criteriul energii maxime de deformatie avem:

(𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2 = 2 ∗ 𝜎𝑦2

Efortul tangential octaedric este:

𝜏𝑜𝑐𝑡 =13∗ [(𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2]1/2

Sau:

𝜏𝑜𝑐𝑡 =13∗ �(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)2 + (𝜎𝑥 − 𝜎𝑧)2 + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑧)2 + 6 ∗ 𝜏𝑥𝑦2 + 6 ∗ 𝜏𝑥𝑧2 + 6 ∗ 𝜏𝑦𝑧2�

1/2

Din punct de vedere matematic, daca materialul este supus efortului 3D, cedarea se va

produce cand:

𝜏𝑜𝑐𝑡 =√23∗ 𝜎𝑦

Suprafata limita este un con cu axul de rotatie prima bisectoare.

7

Exemplu Drucker – Prager

𝜎𝑟 = 700𝑀𝑃𝑎 , E=200Gpa, ν=0.29

M=13KNm, T=30KNm

SF=2.6

𝑑𝑚𝑖𝑛 =? Cu metoda octaedrica

Rezolvare:

𝜎𝑥 = 𝑆𝐹 ∗𝑀𝐼

=32 ∗ 𝑆𝐹 ∗ 𝑀𝜋 ∗ 𝑑3

𝜏𝑥𝑦 = 𝑆𝐹 ∗𝑇𝑐𝐽

=16 ∗ 𝑆𝐹 ∗ 𝑇𝜋 ∗ 𝑑3

𝜏𝑜𝑐𝑡,𝑚𝑎𝑥 =√23∗ 𝜎𝑟

13∗ ��𝜎𝑥 − 𝜎𝑦�

2+ (𝜎𝑥 − 𝜎𝑧)2 + �𝜎𝑦 − 𝜎𝑧�

2+ 6 ∗ 𝜏𝑥𝑦2 + 6 ∗ 𝜏𝑥𝑧2 + 6 ∗ 𝜏𝑦𝑧2�

12 =

√23∗ 𝜎𝑟

13∗ �2 ∗ 𝜎𝑥2 + 6 ∗ 𝜏𝑥𝑦2 =

√23∗ 𝜎𝑟

𝜎𝑟 = �𝜎𝑥2 + 3 ∗ 𝜏𝑥𝑦2

𝜎𝑟 =16 ∗ 𝑆𝐹𝜋 ∗ 𝑑3

∗ �4 ∗ 𝑀2 + 3 ∗ 𝑇2

𝑑𝑚𝑖𝑛 = �16 ∗ 𝑆𝐹𝜋 ∗ 𝜎𝑟

∗ �4 ∗ 𝑀2 + 3 ∗ 𝑇2�1/3

𝑑𝑚𝑖𝑛 = 103𝑚𝑚

Exemplu preluat din “Advanced mechanics of materials” –Dr. Sittichai Seangatith

8

• Mohr-Coulomb

Cedarea materialului se obtine intr-un punct al corpului deformabil unde efortul de

tangential τ atinge o valoare limita 𝜏𝑘(𝜎).

Se poate considera o extensie a criteriului Tresca pentru ca ambele criterii limita considera

𝜏𝑚𝑎𝑥 ca marime de control privind atingerea starii limita.

Criteriul Tresca considera 𝜏𝑘 ca o marime constanta indiferent de tipul solicitarii, pe cand

criteriul Mohr-Coulomb considera valoarea limita a lui 𝜏𝑚𝑎𝑥 ca o marime variabila,

dependenta de solicitare.

𝜏𝑘(𝜎) este curba infasuratoare pe care se produce cedarea(ruperea), o functie de material,

dependenta de efortul 𝜎 care actioneaza in combinatie cu τ pe acest plan, determinata

experimental.

𝜏 = |𝜏𝑘(𝜎)| ecuatia curbei limita

|𝜏𝑘(𝜎)| = 𝑐 − 𝜎 ∗ tan𝜑

c= coeziunea

φ=unghiul de frecare interna

→ 𝜏 = 𝑐 − 𝜎 ∗ tan𝜑

Conform Plasticity -Chen

9

La rupere avem:

|𝜏| + 𝜇 ∗ 𝜎 = 𝜏𝑖

Unde σ si τ sunt efortul normal si cel tangential care actioneaza pe planul de rupere, iar μ si 𝜏𝑖

sunt constante de material.

Aceasta este ecuatia unei linii intr-o reprezentare σ vs. |𝜏| cu panta – μ si care intersecteaza

axa τ in punctul 𝜏𝑖, ca in figura de mai jos. Reprezentarea grafica a variatiei starii de tensiune

in jurul unui punct prin cercurile lui Mohr permite identificarea cedarii, intr-un punct al

mediului continuu. Aceasta se realizeaza cand cercul cu raza cea mai mare dintre cele 3

cercuri este tangent cu curba limita infasuratoare f(𝜎)

Se poate obtine o suprafata limita in spatiu functie de invariantii starii de tensiune.

In spatiul tensiunilor rezulta o prisma hexagonala neregulata.

Daca φ=0 se obtine criteriul Tresca : c=k

10

Daca consideram un element supus eforturilor principale 𝜎1, 𝜎2 si 𝜎3, cercul lui Mohr poate fi

reprezentat astfel, iar cedarea se produce daca cercul cel mai mare atinge suprafata de cedare.

Astfel, linia reprezinta infasuratoarea de cedare pentru cercul lui Mohr.

Cum este reprezentat in figura, punctul de intersectie dintre cerc si suprafata de cedare este

(𝜎′, 𝜏′), unde:

|𝜏′| = �𝜎1 − 𝜎3

2� ∗ sin𝜑

𝜎′ =𝜎1 + 𝜎3

2+ �

𝜎1 − 𝜎32

� ∗ cos𝜑

De asemenea, planurile de rupere apar unde efortul principal maxim se comporta cu o rotire

de φ/2 in oricare directie si: tan𝜑 = 1𝜇

Inlocuind 𝜎′, |𝜏′| 𝑠𝑖 tan𝜑 = 1𝜇 in relatia

|𝜏| + 𝜇 ∗ 𝜎 = 𝜏𝑖

vom avea:

|𝜎1 − 𝜎3| + 𝑚 ∗ (𝜎1 + 𝜎3) = 2 ∗ 𝜏𝑢

Unde 𝑚 = 𝜇�1+𝜇2

= cos𝜑 si 𝜏𝑢 = 𝜏𝑖�1+𝜇2

= 𝜏𝑖 ∗ sin𝜑

Pentru testul de torsiune, avem 𝜎1 = −𝜎3 = 𝜏 si 𝜎2 = 0. Astfel:

|𝜏 + 𝜏| + 𝑚 ∗ (𝜏 − 𝜏) = 2 ∗ 𝜏𝑢

𝜏 = 𝜏𝑢

11

𝜏𝑢 este punctul in care forfecarea pura provoaca ruptura. Mai jos, cel mai mare cerc al lui

Mohr corespunzator si planurile de cedare prezise:

Pentru testul de intindere monoaxial, avem 𝜎1 = 𝜎𝑢𝑡 si 𝜎2 = 𝜎3 = 0

|𝜎𝑢𝑡 − 0| + 𝑚 ∗ (𝜎𝑢𝑡 + 0) = 2 ∗ 𝜏𝑢

𝜎𝑢𝑡 =2 ∗ 𝜏𝑢1 + 𝑚

Pentru testul de compresiune monoaxial, avem 𝜎1 = 𝜎2 = 0 𝑠𝑖 𝜎3 = −𝜎𝑢𝑐

|0 + 𝜎𝑢𝑐| + 𝑚 ∗ (0 − 𝜎𝑢𝑐) = 2 ∗ 𝜏𝑢

𝜎𝑢𝑐 =2 ∗ 𝜏𝑢1 −𝑚

De notat ca 𝜎𝑢𝑐 trebuie sa aiba o valoare negativa, fiind un efort de compresiune:

𝜎𝑢𝑐 = − 2∗𝜏𝑢1−𝑚

. Planurile de rupere prezise de criteriul Mohr –Coulomb pentru testele

monoaxiale de compresiune si intindere sunt aratate mai jos:

12

Eliminand 𝜏𝑢 , vom avea:

𝜎𝑢𝑐 =1 + 𝑚1 −𝑚

∗ 𝜎𝑢𝑡

Rezolvand pentru m, obtinem:

𝑚 =𝜎𝑢𝑐 + 𝜎𝑢𝑡𝜎𝑢𝑐 − 𝜎𝑢𝑡

Putem vedea ca pentru o valoare pozitiva a lui m, rezistenta la intindere va fi mai mica ca cea

in la compresiune.

Daca indicii eforturilor principale de tensiune sunt distribuite aleator, atunci:

|𝜎1 − 𝜎3| + 𝑚 ∗ (𝜎1 + 𝜎3) = 2 ∗ 𝜏𝑢

|𝜎2 − 𝜎3| + 𝑚 ∗ (𝜎2 + 𝜎3) = 2 ∗ 𝜏𝑢

|𝜎1 − 𝜎2| + 𝑚 ∗ (𝜎1 + 𝜎2) = 2 ∗ 𝜏𝑢

Pentru starea plana de tensiune:

|𝜎1| + 𝑚 ∗ 𝜎1 = 2 ∗ 𝜏𝑢

|𝜎2| + 𝑚 ∗ 𝜎2 = 2 ∗ 𝜏𝑢

Reprezentarea ecuatiei de mai jos este in

partea stanga.

|𝜎1 − 𝜎2| + 𝑚 ∗ (𝜎1 + 𝜎2) = 2 ∗ 𝜏𝑢

Trebuie notat ca acest criteriu de cedare cu

constanta m=0 va fi echivalent cu criteriul

efortului normal maxim.

13

Concluzii: 1. Materialele fragile pot avea o comportare ductila la compresiune in prezenta unor

presiuni laterale. Prin impiedicarea deformatiilor laterale se realizeaza confinarea

elementelor comprimate. Astfel, cedarea se va realiza prin forfecare in aceasta

situatie.

2. Prin combinarea criteriului Rankine cu Tresca sau von Mises se va obtine o suprafata

limita prin care se poate controla cedarea prin intindere la solicitari de tractiune si

respectiv la forfecare pentru solicitari de compresiune.

3. Se poate obtine o mai buna aproximare in cazul tensiunilor de intindere prin

combinarea criteriului Mohr – Coulomb cu criteriul Rankine. Astfel, vom avea un

criteriu cu 3 parametrii (c, φ, 𝜎𝑘) care se vor determina in 3 stari de tensiune.

4. Avantajul criteriului Drucker-Prager este suprafata laterala continua. Suprafata limita

este un con cu axul de rotatie prima bisectoare. Celelalte criterii –Rankine, Mohr-

Coulomb sau Tresca- conduc la singularitati cand starea limita este pe muchia

generatoare.

(imagine preluata din Ramadas Chennamsetti-Failure Theories)

Criterii de

14

cedare

Incarcare

Teorie monoaxiala forfecare pura Relatie

Rankine,Lame σ_max=σ_yp σ_max=τ_yp σ_yp=τ_yp Deformatie principala maxima Saint-Venant ε_max=σ_yp/E ε_max=5*τ_yp/4E τ_yp=0.8*σ_yp Drucker -Prager τ_oct=σ_yp*√2/3 τ_oct=τ_yp*√2/3 τ_yp=0.577*σ_yp Energie de deformatie maxima Huber-Henky, von Mises τ_yp=0.577*σ_yp Efort de forfecare maxim Tresca, Guest, Coulomb τ_max=σ_yp/2 τ_max=τ_yp τ_yp=0.5*σ_yp

(Conform http://classes.mst.edu/)

In imaginea de mai jos se pot observa urmatoarele: criteriul Tresca este cel mai conservativ

pentru toate materialele, cel von Mises cel mai reprezentativ pentru materialele ductile, iar cel

Rankine pentru cele fragile.

(Conform http://classes.mst.edu/)

15

Bibliografie: 1.Cursuri Analiza structurala in domeniul neliniar-Dr. Ing. D. Cretu

2. “Lectures in Mechanics of materials II” –Dr. Ing. Ion S. Simulescu

3.Plasticity for structural engineers- W.F.Chen

3. Advanced mechanics of materials” –Dr. Sittichai Seangatith (mai 2001)

4. http://www.mae.ufl.edu/

5. Ramadas Chennamsetti-Failure theories

6. http://classes.mst.edu/

16