ANALISE DINAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURACAO DURANTE A
MUDANCA DE CARACTERISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICACAO
DE INCERTEZAS
Daniel de Moraes Lobo
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto
Daniel Alves Castello
Rio de Janeiro
Julho de 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
ANALISE DINAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURACAO DURANTE A
MUDANCA DE CARACTERISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICACAO
DE INCERTEZAS
Daniel de Moraes Lobo
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Aprovada por:
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JULHO DE 2016
de Moraes Lobo, Daniel
Analise dinamica de uma coluna de perfuracao durante
a mudanca de caracterısticas da rocha com quantificacao
de incertezas/ Daniel de Moraes Lobo. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politecnica, 2016.
XIII, 72 p.: il.; 29, 7cm.
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto
Daniel Alves Castello
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2016.
Referencias Bibliograficas: p. 41 – 42.
1. Coluna de perfuracao. 2. Vibracao. 3. Stick-Slip.
4. Mudanca de rocha. I. Gamboa Ritto, Thiago et al..
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso
de Engenharia Mecanica. III. Analise dinamica de uma
coluna de perfuracao durante a mudanca de caracterısticas
da rocha com quantificacao de incertezas.
iii
”Voce precisa fazer aquilo que
pensa que nao e capaz de fazer.”
Eleanor Roosevelt
iv
Agradecimentos
O meu sucesso hoje atingido nao seria possıvel sem o apoio da minha famılia.
A minha noiva por todo o amor, carinho e apoio incondicional. Obrigado por
ter acreditado em mim sempre, por ter me consolado nos momentos difıceis e come-
morado minhas conquistas. Eu nao conseguiria metade do que consegui sem o seu
apoio.
Aos meu pais pelo amor, incentivo e suporte. Gostaria de agradecer tambem por
todo o investimento feito na minha educacao desde pequeno e pela valorizacao da
minha formacao. O apoio deles foi fundamental para mim.
Aos meus orientadores, Thiago Ritto e Daniel Castello, pela confianca, orientacao
e incentivo durante a construcao desse trabalho. Gostaria de agradecer principal-
mente pela orientacao profissional que me permitiu identificar um futuro com mais
clareza.
As professoras Lavınia e Anna Carla pelas orientacoes dadas durante esse meu
percurso e por sempre me receberem bem.
Ao professo Silvio Carlos, do qual fui monitor por 2 anos. Obrigado pelas ori-
entacoes academicas, pessoais e profissionais. Agradeco ainda o suporte, confianca
e incentivo que me foi dado durante todo esse perıodo trabalhando juntos.
Aos amigos que fiz durante meu estagio na Vallourec. Seria inviavel listar todos
os nomes importantes para mim aqui, entao agradeco a todos pelas orientacoes,
trabalhos e oportunidades que me foram dadas durante o estagio. Ainda assim,
gostaria de agradecer especialmente ao Pedro Filgueiras que teve papel fundamental
para meu desenvolvimento dentro da empresa, pela confianca depositada em mim
nesse tempo e por todas as oportunidade que me foram abertas durante esse perıodo.
Agradecp especialmente tambem aos demais estagiarios da equipe a qual pertencia.
Mais do que colegas de trabalho, sei que fiz amigos; amigos de verdade. Obrigado!
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico
ANALISE DINAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURACAO DURANTE A
MUDANCA DE CARACTERISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICACAO
DE INCERTEZAS
Daniel de Moraes Lobo
Julho/2016
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto
Daniel Alves Castello
Programa: Engenharia Mecanica
O processo de perfuracao de pocos de petroleo e um dos mais caros e complexos
presentes na industria. O entendimento dos mecanismos complexos de vibracao da
coluna de perfuracao e crucial para melhorar o controle da operacao e performance.
Neste trabalho, foi proposto um modelo simples com um grau de liberdade para
avaliar a vibracao torcional da coluna. Devido a diversas fontes de incerteza no pro-
cesso, o metodo de Monte Carlo foi usado de forma a considerar essas incertezas nas
analises. A resposta dinamica do sistema foi simulada e um estudo de sensibilidade
das variaveis peso sobre a broca (WOB) e velocidade da mesa rotativa foi realizado,
introduzindo uma proposta de analise atraves de graficos de bifurcacao. Incertezas
foram incluıdas no parametro de peso sobre a broca e analisou-se a probabilidade de
Stick-Slip para cada velocidade de rotacao da mesa, mostrando que velocidades mais
altas resultam em menores probabilidade de Stick-Slip. Em seguida, foram aplica-
das funcoes aos torques de atrito broca-rocha com o objetivo de simular o primeiro
contato broca-rocha e a alteracao de caracterısticas da rocha durante o processo de
perfuracao, observando-se comportamentos caracterısticos para cada funcao. Por
fim, incertezas foram adicionadas a analise para avaliar o impacto para cada funcao
e mostrou-se que a maior influencia ocorre no caso da funcao degrau.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
DYNAMIC ANALYSIS OF A DRILLING STRING DURING THE CHANGE OF
ROCK PROPERTIES WITH UNCERTAINTIES QUANTIFICATION
Daniel de Moraes Lobo
July/2016
Advisors: Thiago Gamboa Ritto
Daniel Alves Castello
Department: Mechanical Engineering
The oil well drilling process is one of the most expensive and complex in the in-
dustry. The understanding of the complex mechanisms of the drill string vibration
is crucial to improve the control of the operation and performance. In this study,
a simple model was proposed with one degree of freedom to analyze the torsional
vibration of the string. Due to several sources of uncertainty in the process, the
Monte Carlo method was used in order to consider these uncertainties in the anal-
ysis. The dynamic response of the system was simulated and the sensitivity of the
variables weight on bit (WOB) and rotary table speed was studied by introducing
a proposal for the use of fork graphics. Uncertainties were included in the weight
on bit parameter and the probability of Stick-Slip for each rotary table speed was
analyzed, showing that higher speeds result in smaller probabilities of Stick-Slip.
Then functions were applied to drill-rock friction torques in order to simulate the
first drill-rock contact and the rock changing during the drilling process, observing
specific behaviors for each function. Finally, they were added to the uncertainty
analysis to assess the impact for each function, showing that the most influence
occurs in the case of the step function.
vii
Sumario
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xiii
1 Introducao 1
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Organizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Modelagem matematica do processo de perfuracao 6
2.1 Processo de perfuracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Modelo computacional do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Consideracao sobre incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Resultados e Discussoes 14
3.1 Resposta determinıstica do sistema: domınio do tempo e bifurcacao . 14
3.2 Bifurcacao Estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Alteracao do contato broca-rocha no tempo . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Resposta determinıstica sem contato inicial . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Resposta determinıstica com mudanca de caracterısticas da rocha . . 30
3.6 Resposta estocastica com mudanca de caracterısticas da rocha . . . . 33
4 Conclusao e Trabalhos futuros 38
4.1 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Referencias Bibliograficas 41
viii
A Codigos em MATLAB 43
A.1 Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2 Representacao dos modelos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.2.1 Modelo simples - sem mudanca de rocha . . . . . . . . . . . . 68
A.2.2 Modelo com multiprocessamento . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2.3 Modelo com mudanca de rocha tipo degrau . . . . . . . . . . . 70
A.2.4 Modelo com mudanca de rocha tipo linear . . . . . . . . . . . 71
A.2.5 Modelo com mudanca de rocha tipo tangente hiperbolica . . . 72
ix
Lista de Figuras
1.1 Evolucao do Petroleo. Adaptado de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tipos de viracao em uma coluna de perfuracao. Adaptado de [2]. . . 3
2.1 Esquema geral de uma sonda de perfuracao. Adaptado de [3]. . . . . 7
2.2 Modelo mecanico proposto para a coluna de perfuracao. . . . . . . . . 9
2.3 Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4]. . . . . 10
2.4 Esquema do metodo de monte carlo. Baseado em [5]. . . . . . . . . . 12
3.1 Resposta determinıstica do sistema para os regimes com e sem Stick-
Slip em (a) velocidade angular da broca e (b) angulo da broca. Linha
cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . 15
3.2 Modelo de atrito seco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total
de simulacao e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω
= 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% na velocidade de rotacao da mesa. Resultados em (a) veloci-
dade de rotacao da broca e (b) angulo da broca. . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% na velocidade de rotacao da mesa. Resultados em (a) veloci-
dade de rotacao da broca e (b) angulo da broca. . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Analise por bifurcacao da resposta do sistema mediante variacao da
velocidade de rotacao da mesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rotacao
da broca e (b) angulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
x
3.8 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rotacao
da broca e (b) angulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9 Analise por bifurcacao da resposta do sistema mediante variacao do
peso sobre a broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10 Analise de estabilidade de acordo com velocidade de rotacao da mesa
e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip. 23
3.11 Analise por bifurcacao estocastica para determinar a probabilidade
de ocorrer o fenomeno de Stick-Slip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.12 Alteracao, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de
atrito estatico e (b) torque de atrito dinamico. . . . . . . . . . . . . . 26
3.13 Alteracao, durante o processo de perfuracao, do (a) torque de atrito
estatico e (b) torque de atrito dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.14 Velocidade da broca com rotacao inicial livre de atrito e aplicacoes
do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . 28
3.15 Detalhe da velocidade da broca com rotacao inicial livre de atrito e
aplicacoes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 29
3.16 Torque de atrito com rotacao inicial livre de atrito e aplicacoes do
tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . . 29
3.17 Detalhe do torque de atrito com rotacao inicial livre de atrito e
aplicacoes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 30
3.18 Velocidade da broca com mudanca de rocha seguindo uma funcao
degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.19 Detalhe da velocidade da broca com mudanca de rocha seguindo uma
funcao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.20 Torque de atrito com mudanca de rocha seguindo uma funcao degrau,
linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.21 Detalhe do torque de atrito com mudanca de rocha seguindo uma
funcao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.22 Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mu-
danca de rocha seguindo uma funcao linear. . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
3.23 Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mu-
danca de rocha seguindo uma funcao tangente hiperbolica. . . . . . . 35
3.24 Envelope de confianca de 99% para o torque de atrito com mudanca
de rocha seguindo uma funcao (a) linear e (b) tangente hiperbolica. . 36
3.25 Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mu-
danca de rocha seguindo uma funcao degrau. . . . . . . . . . . . . . . 37
3.26 Envelope de confianca de 99% para o torque de atrito com mudanca
de rocha seguindo uma funcao degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xii
Lista de Tabelas
2.1 Propriedades da coluna de perfuracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
xiii
Capıtulo 1
Introducao
Inicialmente, o petroleo foi utilizado pelas civilizacoes antigas, como os meso-
potamicos, gregos, persas e egıpcios para aquecimento e iluminacao de casas e es-
tradas, embalsamador de corpos, impermeabilizador de construcoes, entre outros.
O petroleo, desde a sua primeira perfuracao, no dia 27 de agosto de 1859, no estado
americano da Pensilvania, por Edwin Laurentine Drake (conhecido como coronel
Drake), foi tendo sua importancia ampliada com o passar do tempo e o desenvol-
vimento das tecnologias. Na era pos-Drake, observou-se o seu grande potencial e,
assim, passou-se a utiliza-lo com maior amplitude e a pesquisar novas formas e
aplicabilidades. [6]
Hoje em dia, o Petroleo e considerado um dos recursos naturais mais importantes
para o desenvolvimento humano. Derivados do petroleo como a gasolina e o diesel
sao utilizados para mover importantes maquinas como caminhoes, carros, avioes,
navios, entre outros. Alem disso o petroleo ainda e utilizado como uma importante
fonte de energia, inclusive para a producao de energia eletrica. O Petroleo ainda e
utilizado na producao de bens consumo presentes no dia-a-dia da populacao mundial,
como plasticos, ceras, fertilizantes, entre muitos outros. [7]
1.1 Motivacao
Devido a alta e crescente importancia do petroleo para a sociedade, esse recurso
continua a ser explorado hoje em dia e as buscas por novas reservas continuam.
Conforme o passar dos anos, desde a primeira descoberta do petroleo, as reservas
1
descobertas foram se tornando cada vez mais difıceis de serem exploradas, neces-
sitando um investimento alto no desenvolvimento de novas tecnologias. Conforme
pode ser visto na figura 1.1, as profundidades dos novos pocos vem aumentando com
o passar dos anos e, a partir de 2007, quando da descoberta dos primeiros pocos
no pre-sal localizados na bacia de santos, essa profundidade aumentou consideravel-
mente, chegando a incrıveis 4 mil metros de rocha perfurada em um lamina d’agua
de mais de 2 mil metros.
Figura 1.1: Evolucao do Petroleo. Adaptado de [1].
O processo de perfuracao e certamente um dos processos mais importantes na
construcao de um poco de petroleo e, de acordo com KHULIEF et al. [8], a vibracao
da coluna de perfuracao e uma das principais causas para a reducao da performance
do processo. Experiencias de campo ainda revelaram que e crucial o entendimento
dos mecanismos complexos de vibracao apresentados pelo sistema de perduracao
com o intuito de controlar melhor a operacao e melhorar a performance do processo.
[8]
Na coluna de perfuracao, podem ser percebidos tres tipos de vibracao: axial,
lateral e torcional (figura 1.2). Uma das formas mais recorrentes e destrutivas e
a torcional que quando atinge seu estado de maior severidade e conhecida como
Stick-Slip.[8]
O termo Stick-Slip e utilizado pela industria para descrever o fenomeno que
acontece quando a broca apresenta ciclos de velocidade repetidos com valores de
mınimo proximo ou igual a zero e maximos elevados, enquanto que a mesa rotativa
2
continua a girar normalmente. Quando a broca esta travada, a energia torcional
aumente ate atingir um patamar que a broca nao consegue mais resistir, voltando
a girar de forma brusca com altos valores de velocidade angular ate que a energia
torcional reduza e a broca ”trave”novamente, gerando um ciclo. De acordo com
BRETT [9], seus experimentos mostraram que o fenomeno de Stick-Slip apenas
acontece quando a broca esta em contato com a rocha a ser perfurada, ou seja, o
fenomeno de Stick-Slip nao se manifestou antes do contato broca-rocha. Portanto, e
evidente que um dos principais mecanismos de Stick-Slip e a interacao broca-rocha.
KHULIEF et al. [8] tambem diz que as principais razoes para as vibracoes da coluna
de perfuracao sao o contato da broca com a formacao rochosa e o contato da coluna
de perfuracao com a parede do poco.
Figura 1.2: Tipos de viracao em uma coluna de perfuracao. Adaptado de [2].
Sabe-se que o petroleo e gerado a partir do acumulo de materia organica presente
em rochas sedimentares que, quando submetidas a certas condicoes de pressao e
temperatura, formam o petroleo que por sua vez e acumulado em uma rocha com
certos nıveis de porosidade e permeabilidade que e chamada de rocha reservatorio.
[6]
3
1.2 Objetivo
Os objetivos desse trabalho sao: i. propor um modelo simplificado para descrever
o movimento torcional da coluna de perfuracao, baseando-se no modelo proposto
por NAVARRO e LOPEZ [4]; ii. Analisar a resposta determinıstica da dinamica
do sistema modelado e propor um novo tipo de analise por bifurcacao; iii. Analisar
a resposta estocastica do sistema para variacoes nos torques de atrito atraves do
grafico de bifurcacao estocastica; iv. Avaliar a resposta determinıstica quando ha
alteracao no contato broca-rocha e; v. Analisar a resposta estocastica do sistema no
caso de alteracao do contato broca-rocha durante a perfuracao.
1.3 Organizacao
O primeiro capıtulo tem como objetivo introduzir o assunto ao leitor e apresentar a
motivacao do trabalho com uma contextualizacao do problema abordado, o objetivo
do trabalho e a organizacao deste documento.
O segundo capıtulo comeca com uma explicacao breve do processo de perfuracao
com foco na atividade de perfuracao em si, sem aprofundar nos processos laterais
da operacao. O entendimento do processo de perfuracao permite o desenvolvimento
de um modelos simplificado para descrever a coluna de perfuracao e suas condicoes
de contorno. Em seguida e apresentada a modelagem proposta para a mudanca de
caracterısticas da rocha e por ultimo a consideracao das incertezas e abordado.
O terceiro capıtulo comeca apresentando a resposta dinamica do sistema sim-
plificado desenvolvido no capıtulo anterior. Primeiramente a resposta dinamica do
sistema e analisada, seguida de uma analise de sensibilidade dos parametros do mo-
delo. A seguir, uma analise de estabilidade e apresentada com a quantificacao de
incertezas nos parametros de interacao broca-rocha. Apos isso, a resposta do sis-
tema e analisada quando a rotacao inicial nao possui contato com a rocha de forma
a avaliar o comportamento do sistema no momento do contato com a rocha. O
capıtulo entao segue com a analise da resposta do sistema mediante a alteracao da
rocha durante a perfuracao e, em seguida, apresenta a resposta estocastica para esse
caso.
O capıtulo cinco conclui o trabalho e contem algumas sugestoes para trabalhos
4
futuros.
Em anexo pode ser encontrado o programa, codificado em MATLAB, utilizado
para o desenvolvimento desse trabalho.
5
Capıtulo 2
Modelagem matematica do
processo de perfuracao
Com o intuito de possibilitar a realizacao de analises e estudos de um sistema fısico, e
importante que o modelo represente de forma simplificada os fenomenos pertinentes
a serem estudados. Outro ponto importante e a necessidade desse sistema ser o mais
simples possıvel, mas que ainda assim forneca um resultado satisfatorio. Apesar do
modelo usado nesse estudo ser altamente simplificado, ele engloba os fenomenos
mais importantes da vibracao de colunas de perfuracao.
2.1 Processo de perfuracao
Um dos principais sistemas fısicos em um processo de perfuracao e a coluna de per-
furacao que e uma estrutura tubular que liga a sonda de perfuracao ate a rocha. Essa
coluna ainda permite a circulacao da lama de perfuracao, transmissao da rotacao,
sensoriamento, entre outras funcoes. O esquema geral de uma sonda de perfuracao
pode ser visto na figura 2.1.
6
Figura 2.1: Esquema geral de uma sonda de perfuracao. Adaptado de [3].
A coluna de perfuracao consiste do Bottom Hole Assembly (BHA) e dos drillpipes
que sao conectados entre si formando um longo tubo que pode chegar a quilometros
de comprimento. O BHA e composto pela broca, estabilizadores que previnem o
desbalanceamento da coluna, e uma seria de tubos relativamente pesados conhecidos
como drill collars.
Outro elemento muito importante no processo de perfuracao e a lama de per-
furacao que possui, entre outras, as funcoes de limpeza, resfriamento e lubrificacao
da broca. A lama de perfuracao e injetada no topo da coluna de perfuracao, percor-
rendo por dentro dos drill pipes ate chegar na rocha sendo perfurada, onde cumpre
sua funcao e retorna a sonda de perfuracao pelo espaco anular entre os drill pipes e
a parede do poco.
Na extremidade inferior da coluna de perfuracao, encontra-se a broca responsavel
pela perfuracao da rocha. A rotacao e originada na sonda de perfuracao por um
motor eletrico e transmitida atraves dos drill pipes ate a broca. O mecanismo de
rotacao pode ser de dois tipos: mesa rotativa ou top drive.
Durante a perfuracao, o acompanhamento e a analise do sistema mecanico da
7
coluna de perfuracao se da pela interpretacao dos parametros de superfıcie impostos
e medidos. Em poucos cenarios de exploracao sao utilizados sensores proximos a
broca com envio de dados em tempo real para a superfıcie [3]. Normalmente o
operador controla tres parametros: rotacao da mesa, peso sobre a broca (WOB,
abreviacao de Weight on Bit) e vazao do fluido de perfuracao. O peso sobre a broca
e um dos principais fatores na interacao broca-rocha.
2.2 Modelo computacional do sistema
O modelo matematico exposto a seguir foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4]. A
coluna de perfuracao foi modelada como um pendulo torcional simples cuja rotacao
e imposta por um motor eletrico, cuja velocidade angular foi modelada como cons-
tante, e a interacao broca-rocha foi modelada atraves de um modelo de atrito seco.
Os drill pipes sao representados atraves de uma mola torcional linear de rigidez
k e atraves de um amortecimento c que conecta duas inercias, Jc e Jb, representando
a inercia da mesa rotativa e a inercia dos drill pipes junto com o BHA. Apenas a
inercia Jb e representada no esquema da figura 2.2 pois a inercia Jc nao e utilizada
na representacao matematica do modelo proposto devido a hipotese de rotacao cons-
tante da mesa rotativa. A inercia Jb e comumente calculada como sendo a inercia
do BHA mais 1/3 da inercia dos drill pipes [9].
Para a modelagem da interacao broca-rocha considerou-se um modelo de atrito
seco que causa um torque reativo Tfb aliado a um amortecimento cb que representa
o atrito viscoso devido a lama de perfuracao, principalmente.
8
Figura 2.2: Modelo mecanico proposto para a coluna de perfuracao.
Com o intuito de simplificacao do modelo, algumas hipotese foram consideradas:
(i) O poco e a coluna de perfuracao estao perfeitamente na vertical; (ii) Nao existe
nenhum movimento lateral; (iii) O atrito nas conexoes e entre a coluna e a parede do
poco foram desconsiderados; (iv) A lama de perfuracao e simplificada por um atrito
viscoso na broca; (v) O escoamento da lama de perfuracao e considerado laminar.
Finalmente, levando em conta todas as consideracoes feitas ate esse ponto, e
possıvel escrever a equacao de movimento que descreve o modelo mecanico proposto:
Jbθb + c(θb − Ω) + k(θb − Ωt) = −cbθb − Tfb(θb) (2.1)
A equacao acima tambem pode ser representada atraves do espaco de estados,
especialmente util na resolucao de equacoes diferenciais nao-lineares de ordem su-
perior. Considerando y1 = θb e y2 = θb, a representacao no espaco de estados fica
da seguinte maneira:
y =
y1y2
=
y2
− k
Jby1 −
c
Jby2 +
k
JbΩt+
c
JbΩ− Tfb
Jb(y1)−
cbJby2
(2.2)
O modelo utilizado para representar a interacao broca-rocha foi sugerido por NA-
VARRO e SUAREZ [4] e e uma variacao do efeito Stribeck junto com o modelo de
atrito seco. O parametro Tfb e portanto dependente da velocidade da broca.
9
Figura 2.3: Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4].
Na figura 2.3 esta representado o modelo utilizado para o torque resistivo da
interacao broca-rocha. Atraves dessa figura e possıvel identificar o torque Tsb que
caracteriza o atrito estatico e o torque Tcb que caracteriza o atrito dinamico. Os
torques de atrito estatico e dinamico, Tsb e Tcb, dependem do raio da broca (Rb),
do peso sobre a broca (Wob) e dos coeficientes de atrito estatico, no caso do Tsb, e
dinamico, no caso do Tcb. O decaimento presente entre os atritos estatico e dinamico
e modelado por uma funcao exponencial com uma constante positiva γb.
Tfb =
Teb , θb < Dv e |Teb| < Tsb
Tsbsign(Teb) , θb < Dv e |Teb| > Tsb
Tcb + (Tsb − Tcb)e−γbθbsign(θb) , θb > Dv
(2.3)
Teb = c(Ω− θb) + k(Ωt− θb)− cbθb (2.4)
Tsb = RbWobµsb (2.5)
Tcb = RbWobµcb (2.6)
O primeiro caso da equacao 2.3 e chamado de Stick e representa a situacao onde
a broca esta presa solidaria a rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca
10
e nula. O terceiro caso e conhecido como Slip e representa a situacao onde a broca
esta perfurando a rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca e diferente
de zero. O segundo caso descreve a transicao entre os regimes Stick e Slip.
A equacao 2.4 representa o torque reativo no regime Stick que e igual ao torque
aplicado pois o sistema esta em equilıbrio. Como a mesa rotativa continua a girar,
o sistema acumula energia e o torque aplicado aumenta ate que o torque reativo em
equilıbrio atinge um valor maximo definido pelo torque estatico e a broca comeca a
girar, entrando no regime do atrito dinamico (Slip).
O parametro Dv especifica uma vizinhanca ao redor de θb = 0 suficientemente
pequena para compensar erros numericos. Os valores dos parametros utilizados ate
aqui foram retirados de NAVARRO e SUAREZ [4] e estao descritos na tabela 2.1.
Tabela 2.1: Propriedades da coluna de perfuracao
Variavel Valor
Jb 0.0318 kg.m2
c 0.0001 N.m.s/rad
cb 0.03 N.m.s/rad
k 0.073 N.m/rad
Tcb 5 N.m
Tsb 8 N.m
Dv 10−6s
γb 0.9
Ω 19 rad/s
2.3 Consideracao sobre incertezas
A industria do petroleo enfrenta desafios mais complexos a cada dia e e necessario
que as analises realizadas se tornem casa vez mais precisas. Com isso metodos
estocasticos se tornam cada vez mais comuns nas solucoes de problemas.
Os metodos estocasticos permitem a consideracao de incertezas nos modelos
matematicos desenvolvidos, quantificando o impacto destas no comportamento do
sistema e assim, aumentando a confiabilidade nas analises dos resultados. Essas
11
incertezas podem ser provenientes da falta de informacoes ou a ocorrencias nao
previstas no projeto de um poco. Os parametros modelados como variaveis aleatorias
nesse trabalho foram escolhidos devido ao alto grau de dificuldade em identifica-los
de maneira precisa. Esses metodos sao comumente utilizados quando e difıcil ou
impossıvel obter uma formulacao fechada para a resposta do sistema como e o caso
da analise dinamica nao linear de colunas de perfuracao.
As analises estocasticas presentes neste trabalho foram realizadas utilizando o
Metodo de Monte Carlo (MC) que consiste na simulacao de variaveis aleatorias
independentes para os parametros de entrada do sistema afim de realizar analises
probabilısticas de uma resposta desconhecida. As variaveis aleatorias simuladas
devem seguir a distribuicao de probabilidade das variaveis de entrada que represen-
tam. Neste trabalho foram consideradas as seguintes distribuicoes de probabilidade
contınuas: uniforme e normal.
Figura 2.4: Esquema do metodo de monte carlo. Baseado em [5].
A distribuicao contınua uniforme e definida na equacao 2.7, onde a e b repre-
sentam o limite inferior e superior, respectivamente. Essa distribuicao foi utilizada
para descrever as variaveis aleatorias Tcb e Tsb na analise de bifurcacao estocastica.
f(x|a, b) =
1b−a , a ≤ x ≤ b
0 , caso contrario
(2.7)
A distribuicao contınua normal e apresentada na equacao 2.8, onde µ e σ representam
a media e o desvio padrao respectivamente. Essa distribuicao foi utilizada para
descrever os parametros envolvidos na alteracao dos torques de atrito estatico e
12
dinamico na analise estocastica da resposta do sistema.
f(x|µ, σ) =1√
2πσ2e(−
(x−µ2)2σ2
),−∞ < x <∞, σ > 0 (2.8)
No caso da utilizacao da distribuicao contınua normal, a dispersao das variaveis
aleatorias e comumente avaliada atraves de um parametro chamado coeficiente de
variacao (CV), definido na equacao 2.9. Esse parametro permite uma analise mais
compreensıvel do que o desvio padrao ja que e expressado em porcentagem.
CV =
√E([X − E(X)]2)
E(X)=σ
µ(2.9)
13
Capıtulo 3
Resultados e Discussoes
Esse capıtulo possui o objetivo de discutir a simulacao do modelo para diversas
situacoes. Com isso, e possıvel identificar as principais caracterısticas do modelo
utilizado, as diferencas entre os regimes com e sem Stick-slip, alem de fazer uma
analise de sensibilidade das varaveis de interacao broca-rocha e da velocidade de
rotacao da mesa rotativa. Alem disso, e apresentada uma analise estocastica in-
cluindo incertezas nos parametros de interacao broca-rocha com o intuito de avaliar
a probabilidade do regime com Stick-slip se manifestar. Por fim sao comentados os
resultados obtidos quando ha alteracao do contato broca-rocha no tempo.
3.1 Resposta determinıstica do sistema: domınio
do tempo e bifurcacao
A resposta dinamica do sistema, na ausencia de Stick-slip, deve apresentar um regime
inicial com velocidade nula devido ao atrito estatico presente na interacao broca-
rocha, caracterizado pelo fenomeno de Stick. Apos a energia torcional acumulada
na coluna vencer o atrito estatico, o movimento se inicia dando lugar ao atrito
dinamico apresentando o fenomeno de Slip. Com o inıcio do movimento, um regime
transitorio se manifesta devido a elasticidade e amortecimento do sistema seguido
de um regime permanente cujo modulo deve ser igual a rotacao da mesa rotativa ja
que esta e responsavel por impor a rotacao da coluna de perfuracao.
No caso com Stick-slip, o regime inicial com velocidade nula tambem esta pre-
sente porem o inicio do movimento se da de forma brusca devido ao alto acumulo de
14
energia torcional anterior ao movimento, resultando em altas velocidades de rotacao
na broca. Essas altas rotacoes fazem com que o angulo da broca se aproxime rapida-
mente do angulo da mesa rotativa, reduzindo consideravelmente a energia torcional
da coluna, causando assim uma nova parada da broca. Esse ciclo entao se repete
ate que haja uma intervencao.
A figura 3.1 exemplifica os dois casos explicitados anteriormente. Os dados
utilizados foram apresentados na tabela 2.1, com excecao da velocidade de rotacao
da mesa no caso com Stick-slip que foi reduzida em 50% com o objetivo de induzir
o Stick-slip.
E possıvel notar que mesmo com uma reducao de 50% na velocidade de rotacao
da mesa, a broca ainda atinge velocidades bem proximas do caso sem reducao devido
ao Stick-slip. Essa reducao tambem causou um delay no comeco da rotacao pois o
acumulo de energia na coluna demora mais tempo para atingir o nıvel crıtico e vencer
o atrito estatico.
0 10 20 30 400
10
20
30
40
50
60
70
tempo (s)
θb(rad/s)
sem Stick−Slipcom Stick−Slip
(a)
0 10 20 30 400
200
400
600
800
1000
tempo (s)
θb(rad)
sem Stick−Slipcom Stick−Slip
(b)
Figura 3.1: Resposta determinıstica do sistema para os regimes com e sem Stick-Slip
em (a) velocidade angular da broca e (b) angulo da broca. Linha cheia: Ω = 19
rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s.
A figura 3.2 representa o modelo de atrito com os parametros descritos na tabela
2.1. Conforme descrito na secao 2.2, quando a velocidade de rotacao da broca e
proxima de zero, o torque de atrito e igual ao torque reativo da coluna, ate um valor
maximo definido por Tsb. Nesse caso o torque de atrito apresenta um comportamento
linear no tempo pois a velocidade de rotacao da mesa e constante. Para velocidades
nao-nulas na broca, o torque de atrito tende exponencialmente para Tcb.
15
−10 −5 0 5 10−10
−5
0
5
10
θb (rad/s)
Tfb(N
.m)
← Tsb
Tcb
Figura 3.2: Modelo de atrito seco.
O comportamento supracitado pode ser claramente observado na figura 3.3a no
caso sem Stick-slip, pois o torque de atrito sobe linearmente com o tempo ate o valor
maximo de 8N.m e decresce exponencialmente para o valor de 5N.m. O decrescimo
exponencial acontece muito rapidamente devido ao aumento rapido da velocidade.
No caso com Stick-slip, percebe o mesmo comportamento linear seguido de um
decrescimo exponencial. Conforme dito anteriormente, no regime Stick-slip existe
um ciclo de repeticoes de travamento e destravamento da broca. Esse ciclo de
repeticoes pode ser visto na figura 3.3a.
A figura 3.3b apresenta um ciclo de repeticao em detalhe. Percebe-se que ha um
aumento exponencial do torque de atrito devido a parada da broca, que representa
o caminho inverso no grafico da figura 3.2 e e caracterıstico do modelo escolhido. A
obtencao desse valor maximo na parada da broca acontece devido a parte Slip do
modelo de atrito, mais especificamente no inıcio da parte exponencial, e nao possui
relacao com a parte Stick do modelo. Isso se justifica pois a diferenca angular da
mesa rotativa para a broca nao e capaz de produzir um torque reativo Teb proximo
ao torque maximo Tsb logo no inıcio da parada da broca, que tambem explica o salto
do torque de atrito para um valor bem abaixo.
Apos a broca parar completamente, o ciclo continua com a subida linear do
torque de atrito ate o valor maximo Tsb, quando a broca reinicia o movimento e o
torque de atrito decresce exponencialmente para Tcb, reiniciando o ciclo.
16
0 10 20 30 400
2
4
6
8
10
tempo (s)
Tfb(N
.m)
sem Stick−Slipcom Stick−Slip
(a)
21 22 23 24 25 26 27 280
2
4
6
8
10
tempo (s)
Tfb(N
.m)
com Stick−Slip
(b)
Figura 3.3: Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total
de simulacao e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω = 19 rad/s;
Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s.
Na secao anterior foi apresentada a resposta dinamica do sistema com e sem
Stick-Slip. No caso com Stick-Slip, foi necessario reduzir a velocidade de rotacao da
mesa em 50% para produzir tal efeito. Isso ilustra a mudanca de comportamento do
sistema quando ha variacoes nas variaveis de entrada, o que demonstra a importancia
de estudar a sensibilidade do sistema para as variaveis que possuem maior incerteza
ou possibilidade de modificacao durante o processo de perfuracao.
Os graficos presentes nas figuras 3.4 e 3.5 apresentam a resposta do sistema para
uma variacao de 5% na velocidade de rotacao da mesa rotativa nos casos sem e com
Stick-Slip, respectivamente. Ambos os casos foram analisados de forma que nao
houvesse mudanca de regime dentro da variacao de 5%. A variacao de 5% no caso
com Stick-Slip foi obtida em cima da reducao de 50% realizada para induzir esse
regime, ou seja, uma variacao de -5% nesse regime representa 47.5% da velocidade
de rotacao da tabela 2.1.
O grafico da figura 3.4 mostra que a variacao da velocidade de rotacao da mesa
induz uma alteracao igual na resposta permanente da velocidade de rotacao da
broca. Isso acontece pois a velocidade da broca tende para a velocidade de rotacao
da mesa rotativa no regime sem Stick-Slip. Esse mesmo comportamento pode ser
observado no grafico do angulo da broca que muda a inclinacao da reta quando a
velocidade se torna constante.
A resposta transitoria apresenta um pequeno deslocamento no tempo devido a
17
alteracao do tempo necessario para a coluna acumular energia suficiente para vencer
o atrito estatico. O pico de velocidade apresentou uma variacao de 1,4% no modulo
em relacao a velocidade de referencia da mesa.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
ΩΩ + 5%Ω − 5%
(a)
0 20 40 60 800
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
ΩΩ + 5%Ω − 5%
(b)
Figura 3.4: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% na velocidade de rotacao da mesa. Resultados em (a) velocidade de rotacao
da broca e (b) angulo da broca.
A figura 3.5, referente ao regime com Stick-Slip, mostra uma diferenca temporal
da resposta que vai aumentando com o tempo. Isso pode ser explicado pois ve-
locidades inferiores da mesa rotativa demandam um ciclo de Stick-Slip com maior
duracao. Essa diferenca temporal vai acumulando com o tempo e ficando cada vez
maior. O pico apresentou uma variacao de 0,7% no modulo em relacao a rotacao de
referencia utilizada nesse regime.
18
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
ΩΩ + 5%Ω − 5%
(a)
0 20 40 60 800
100
200
300
400
500
600
tempo (s)
θb(rad)
ΩΩ + 5%Ω − 5%
(b)
Figura 3.5: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% na velocidade de rotacao da mesa. Resultados em (a) velocidade de rotacao
da broca e (b) angulo da broca.
O grafico de bifurcacao apresentado na figura 3.6 tem, por sua vez, o objetivo de
avaliar a mudanca de regime mediante a variacao da velocidade de rotacao da mesa
assim como avaliar a sensibilidade do sistema a esse parametro. O eixo das abscissas
apresenta a razao da velocidade real da mesa em relacao a velocidade de referencia,
presente na tabela 2.1. O eixo das ordenadas representa os valores mınimo e maximo
para a velocidade da broca no regime permanente. Essa analise foi inspirada nos
graficos contido no trabalho de CAYRES [10].
O grafico no inıcio apresenta duas curvas que se encontram quando a velocidade
da mesa atinge cerca de 90% da velocidade de referencia. A primeira parte do
grafico, onde ha duas curvas, representa o regime com Stick-Slip pois a velocidade
mınima da broca e zero, a broca esta travada (Stick). A segunda parte, onde ha
apenas uma curva, representa o regime sem Stick-Slip pois o maximo e mınimo sao
equivalentes, representando um regime permanente estavel.
A curva de maximos sobe com o aumento da velocidade da mesa rotativa. No
regime com Stick-Slip, a broca atinge velocidades bem superiores a da mesa rotativa.
Por outro lado, no caso sem Stick-Slip, a broca atinge a mesma velocidade da mesa
rotativa e conforme a velocidade da mesa aumenta, a velocidade da broca aumentar
igualmente.
19
0.5 0.75 1 1.25 1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Ω
Ωref
min,m
ax(
θb
Ωref)(rad/s)
Figura 3.6: Analise por bifurcacao da resposta do sistema mediante variacao da
velocidade de rotacao da mesa.
Outro parametro muito importante no processo de perfuracao que e controlado
pelo operador, alem de possuir diversas fontes de incerteza, e o peso sobre a broca
(Wob). O peso sobre a broca esta presente no modelo atraves dos torques de atrito
Tsb e Tcb nas equacoes 2.5 e 2.6, respectivamente. Devido a dependencia linear de
tais variaveis, uma variacao no peso sobre a broca pode ser modelada diretamente
nos torques de atrito.
O grafico da figura 3.7 mostra a sensibilidade do sistema no regime sem Stick-Slip.
E possıvel notar que, ao contrario da velocidade da mesa, a variacao no peso sobre
a broca nao provoca uma variacao da velocidade da broca em regime permanente.
Isso pode ser confirmado no grafico 3.7b pois nao ha variacao da inclinacao da reta
no regime permanente.
Existe ainda uma leve variacao de 3,5% no modulo do primeiro pico do grafico
3.7a. Alem disso a resposta e levemente deslocada no tempo pois a variacao no
torque de atrito faz com que seja demandada uma energia acumulada maior para
vencer o atrito broca-rocha.
20
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
WobWob + 5%Wob − 5%
(a)
0 20 40 60 800
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
WobWob + 5%Wob − 5%
(b)
Figura 3.7: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rotacao da broca e
(b) angulo da broca.
No caso com Stick-Slip (figura 3.8), os graficos foram gerados considerando tor-
ques de atrito iguais ao dobro dos da referencia. Isso foi feito com o intuito de
induzir o fenomeno Stick-Slip.
Percebe-se um aumento significativo (72%) no modulo do pico de velocidade
em relacao a resposta sem Stick-Slip. Isso mostra a severidade desse fenomeno.
Alem disso, existe uma variacao temporal entre as respostas. Essa variacao possui
a mesma causa explicada no caso sem Stick-Slip, sendo mais evidente aqui devido
aos ciclos de repeticao do Stick-Slip.
21
0 20 40 60 800
20
40
60
80
100
tempo (s)
θb(rad/s)
WobWob + 5%Wob − 5%
(a)
0 20 40 60 800
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
WobWob + 5%Wob − 5%
(b)
Figura 3.8: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma variacao
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rotacao da broca e
(b) angulo da broca.
A figura 3.9 mostra o grafico de bifurcacao para variacoes do peso sobre a broca.
A primeira parte do grafico, referente ao regime sem Stick-Slip, mostra que a veloci-
dade em regime permanente permanece constante nao obstante a variacao do peso
sobre a broca. Isso confirma o fato constatado na figura 3.7a. A segunda parte do
grafico, referente ao regime com Stick-Slip, mostra o agravamento do fenomeno de
Stick-Slip quanto maior e o peso sobre a broca.
0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
WobWobref
min,m
ax(
θb
Ωref)(rad/s)
Figura 3.9: Analise por bifurcacao da resposta do sistema mediante variacao do peso
sobre a broca.
O grafico da figura 3.10 mostra quando ocorre o fenomeno de Stick-Slip para
22
diferentes conbinacoes de rotacao da mesa e peso sobre a broca. A parte vermelha
do grafico representa situacoes com Stick-Slip e a parte azul representa situacoes
sem Stick-Slip. Nota-se que para valores baixos de velocidade da mesa e valores
altos de peso sobre a broca, o fenomeno de Stick-Slip se manifesta.
Esse grafico e obtido atraves do calculo de um parametro chamado ”Stick-Slip
Severity”que por sua vez e calculado da seguinte forma:
SSS =(θbmax − θbmin)
2 · Ω(3.1)
onde θbmax e θbmax sao as velocidades maxima e mınima da broca no regime perma-
nente, respectivamente. Caso o valor de SSS supere 0.8, foi considerado que ocorreu
Stick-Slip; caso contrario, nao houve.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Ω
Ωref
Wob
Wob r
ef
Figura 3.10: Analise de estabilidade de acordo com velocidade de rotacao da mesa
e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip.
3.2 Bifurcacao Estocastica
Na secao 2.3 ficou clara a importancia de modelar as incertezas das variaveis im-
portantes ao problema. Na secao 3.1 foi feito um estudo de sensibilidade dessas
variaveis. Esse estudo foi realizado de forma determinıstica para variacoes de 5%
nos parametros.
O estudo apresentado a seguir foi realizado considerando o peso sobre a broca
como variavel aleatoria, ou seja, essa variavel passa a ter uma funcao de probabili-
dade. A funcao de probabilidade escolhida para modelar tal variavel foi a Uniforme
23
com limites 10% acima e abaixo do valor de referencia mostrado na tabela 2.1. Todas
as demais variaveis foram considerada determinısticas. Esse estudo possui o objetivo
de avaliar a probabilidade de haver instabilidade, ou seja, ocorrer Stick-Slip, para
diferentes velocidades da mesa rotativa.
Tsb ∝ Tsbref · Unif(0.9, 1.1) (3.2)
Tcb ∝ Tcbref · Unif(0.9, 1.1) (3.3)
Utilizou-se o metodo de Monte Carlo para simular a resposta do sistema atraves
de 1000 simulacoes para velocidades de rotacao da mesa com passo de 0,5% da
velocidade de referencia. Em cada simulacao verificou o SSS a fim de determinar
o numero de simulacoes cujo SSS ficou maior que 0,8, caracterizando o numero de
”falhas”. A probabilidade de instabilidade para essa determinada velocidade de
rotacao da mesa foi entao calculada da seguinte maneira:
Pinstabilidade =nº de simulacoes com SSS > 0, 8
nº total de simulacoes [103](3.4)
O grafico da figura 3.11 mostra a probabilidade de instabilidade em funcao da
velocidade da mesa rotativa. Como esperado, a probabilidade de instabilidade reduz
com o aumento da velocidade da mesa. Esse comportamento e compatıvel com a
analise determinıstica que evidenciou o fato do Stick-Slip nao acontecer para velo-
cidade altas da mesa rotativa. A probabilidade de instabilidade atinge os valores
extremos de 0% e 100% devido a escolha da funcao uniforme de probabilidade que,
por sua vez, possui valores limites e agregam essa propriedade ao sistema. O fato
do valor de referencia de 19 rad/s para a velocidade de rotacao da mesa n]ao repre-
sentar 50% de probabilidade e devido ao fato da referencia nao estar no ponto de
instabilidade.
24
12 14 16 18 20 22 0%
20%
40%
60%
80%
100%
Ω (rad/s)
Pro
babi
lidad
e de
Inst
abili
dade
Figura 3.11: Analise por bifurcacao estocastica para determinar a probabilidade de
ocorrer o fenomeno de Stick-Slip.
3.3 Alteracao do contato broca-rocha no tempo
Levando em consideracao a modelagem escolhida e as simulacoes mostradas anteri-
ormente, fica claro que os parametros principais na interacao broca-rocha sao Tsb e
Tcb que representam os atritos estatico e dinamico, respectivamente.
Anteriormente a analise da alteracao de caracterısticas da rocha ao longo do
processo de perfuracao, achou-se oportuna a realizacao de simulacoes do primeiro
contato da broca com a rocha, apos o inıcio de sua rotacao com as superfıcies
separadas. Isso foi realizado devido a ser o procedimento padrao na operacao de
perfuracao. Esse primeiro contato depende principalmente da forma de aplicacao
do peso sobre a broca. Essa aplicacao foi simulada atraves dos parametros Tsb e Tcb,
utilizando tres funcoes diferentes: degrau, linear e tangente hiperbolica.
Antes do inıcio do contato, e importante que o sistema estivesse em regime
permanente para permitir uma analise mais criteriosa. Com esse objetivo, utilizou
um tempo de 20 segundos de simulacao para o inıcio do contato. O contato entao e
aplicado seguindo cada funcao escolhida ate um tempo de 60 segundos. Os torques de
atrito possuem valor nulo (sem contato) ate o tempo inicial de 20 segundos e possuem
valor igual a referencia acima de 60 segundo de simulacao. Esse comportamento esta
representado na figura 3.12.
25
0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tsb(N
.m)
DegrauLinearTanh
(a)
0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
tempo (s)
Tcb(N
.m)
DegrauLinearTanh
(b)
Figura 3.12: Alteracao, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de
atrito estatico e (b) torque de atrito dinamico.
Apos essa analise inicial, sera avaliado o impacto da alteracao de caracterısticas
da rocha durante o processo de perfuracao. Para isso, foram consideradas as mesmas
tres funcoes para descrever esse impacto atraves dos parametros Tsb e Tcb. Esses
parametro foram escolhidos pois a alteracao da rocha sendo perfurada implica em
um novo coeficiente de atrito que possui influencia de diversas propriedades da rocha
como geometria, dureza, rugosidade, entre outros.
Foi utilizado um tempo de 30 segundos de simulacao para o inıcio da alteracao
dos parametros com o intuito de aguardar o regime permanente se consolidar. Essa
alteracao acontece seguindo cada funcao especificada ate o tempo de 70 segundos.
Foi escolhido um aumento de 2N.m para cada torque de atrito, mantendo o valor
final igual a referencia. A figura 3.13 mostra as funcoes utilizadas.
26
0 20 40 60 80
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
tempo (s)
Tsb(N
.m)
DegrauLinearTanh
(a)
0 20 40 60 802.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
tempo (s)
Tcb(N
.m)
DegrauLinearTanh
(b)
Figura 3.13: Alteracao, durante o processo de perfuracao, do (a) torque de atrito
estatico e (b) torque de atrito dinamico.
3.4 Resposta determinıstica sem contato inicial
A simulacao da resposta do sistema com rotacao inicial livre e mostrada na figura
3.14. O tempo entre as linhas azuis e referente ao contato progressivo da broca com
a rocha.
A resposta do sistema no caso da funcao linear apresentou uma nova velocidade
de regime permanente durante a aplicacao do contato. Esse novo regime perma-
nente foi atingido apos uma pequena oscilacao. Esse comportamento e devido ao
modelo escolhido para o sistema ja que, no caso linear, a solucao particular para o
angulo da broca e linear (considerando que nao existe Stick-Slip), sendo constante
na velocidade da broca e, quando somada a solucao homogenea, provoca uma nova
velocidade de regime permanente. E importante ressaltar que a mesa rotativa per-
manece girando na mesma velocidade enquanto que a broca passa a girar em uma
velocidade menor, ou seja, a energia torcional comecar a ser acumulada progres-
sivamente devido a torcao da coluna. Essa energia torcional sendo acumulada e
suficiente para vencer o atrito e manter a broca girando e perfurando.
Quando o contato e aplicado seguindo uma funcao tangente hiperbolica, a ve-
locidade nao atinge um patamar novo como no caso linear. A funcao hiperbolica
possui a caracterıstica de ser bem suave e apresentar um aumento progressivo da
sua derivada seguido de uma diminuicao tambem progressiva. Essa caracterıstica
27
influencia diretamente a resposta do sistema. E possıvel perceber isso na figura
3.14 pois a velocidade da broca reduz gradativamente para compensar o atrito que
aumenta devagar no inıcio ate chegar um valor mınimo que representa o ponto de
inflexao da funcao tangente hiperbolica e maxima e volta a subir gradativamente
quando o atrito se aproxima do valor final.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
DegrauLinearTanh
Figura 3.14: Velocidade da broca com rotacao inicial livre de atrito e aplicacoes do
tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
No caso da funcao degrau, o contato e feito instantaneamente. Nesse caso,
percebe-se um travamento inicial da broca pois, antes do contato, a energia torcional
acumulada na coluna e muito pequena ja que havia uma resistencia bem menor.
Quando o contato e realizado de forma brusca, a energia torcional acumulada nao e
suficiente para vencer o atrito e continuar girando, causando o travamento da broca.
Em outras palavras, a desaceleracao da broca acontece mais rapidamente do que a
coluna acumula energia torcional para vencer esse atrito.
Apesar da funcao de aplicacao do atrito ser degrau, a velocidade da broca nao cai
de forma degrau. Segundo pode ser observado na figura 3.15, a broca e desacelerada
pelo atrito entre os tempos de 20 e 20,13 segundos. Apesar disso, o tempo de
caimento e bem pequeno e pode ser considerado instantaneo.
28
19.9 20 20.1 20.2 20.30
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
DegrauLinearTanh
Figura 3.15: Detalhe da velocidade da broca com rotacao inicial livre de atrito e
aplicacoes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
O grafico da figura 3.16 mostra o torque de atrito ao longo do tempo. Para
as funcoes linear e tangente hiperbolica, percebe-se que o grafico possui a mesa
forma da funcao e isso acontece pois nao ha alteracao de regime Stick-Slip durante
o contato. Portanto, nos casos linear e tangente hiperbolica, o grafico representa o
torque de atrito dinamico (Tcb).
0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
DegrauLinearTanh
Figura 3.16: Torque de atrito com rotacao inicial livre de atrito e aplicacoes do tipo
degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
29
No caso da funcao degrau, a figura 3.17 mostra que o torque de atrito sobe
instantaneamente para o torque de atrito dinamico final. Porem, conforme mostrado
anteriormente, a velocidade da broca cai ate o valor nulo e o torque de atrito portanto
torna-se estatico e entao decai conforme o modelo escolhido. O torque de atrito nao
cai para zero pois ja existe uma energia torcional na coluna, apesar de pequena. A
figura 3.16 mostra entao que a coluna comeca a acumular energia ate vencer o atrito
estatico e sair da inercia, dando lugar para o atrito dinamico.
19.9 20 20.1 20.2 20.30
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
DegrauLinearTanh
Figura 3.17: Detalhe do torque de atrito com rotacao inicial livre de atrito e
aplicacoes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
3.5 Resposta determinıstica com mudanca de ca-
racterısticas da rocha
Esse item abordara a mudanca de caracterısticas da rocha durante o processo de
perfuracao, ou seja, a alteracao da interacao broca-rocha quando a broca ja esta em
contato com a rocha. A metodologia de analise dos graficos e semelhante ao item
anterior.
O grafico da figura 3.18 mostra que o efeito da alteracao do atrito nas funcoes
linear e tangente hiperbolica e significantemente menor que o efeito mostrado no
item anterior. Isso e explicado pois a alteracao dos torques de atrito possuem menor
amplitude e mesmo tempo de duracao, permitindo uma melhor compensacao da
30
energia torcional.
Contudo, o efeito dessa alteracao possui a mesma forma e justificativa que foram
explicadas no item anterior. Levando em conta que nao ha manifestacao de Stick-
Slip, a minimizacao do efeito pode ser atribuıda ao fato da alteracao dos parametros
de atrito possuir menor amplitude.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
DegrauLinearTanh
Figura 3.18: Velocidade da broca com mudanca de rocha seguindo uma funcao
degrau, linear e tanh.
No caso da alteracao seguindo uma funcao degrau, o comportamento do sistema e
bem similar ao observado no estudo com rotacao inicial livre. Isso pode ser explicado
pois a energia torcional necessaria para vencer o atrito estatico nos dois caso e a
mesma, pois o atrito estatico final nos dois casos tambem e igual. Portanto, a
liberacao dessa energia acumulada gera rotacoes de mesma amplitude.
A broca desacelera com o torque de atrito e possui um comportamento bem
similar ao explicado no item anterior, conforme pode ser constatado na figura 3.19.
Nesse caso, o travamento da broca leva mais tempo pois a alteracao do torque de
atrito e menor, permitindo uma maior compensacao do atrito por meio da energia
torcional acumulada.
31
29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.50
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
DegrauLinearTanh
Figura 3.19: Detalhe da velocidade da broca com mudanca de rocha seguindo uma
funcao degrau, linear e tanh.
O grafico da figura 3.20 mostra o torque de atrito para todas as funcoes. Nova-
mente, para os casos linear e tangente hiperbolica, o grafico demonstra comporta-
mento identico a mudanca modelada ja que o regime de atrito permanece dinamico
todo o tempo.
0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
DegrauLinearTanh
Figura 3.20: Torque de atrito com mudanca de rocha seguindo uma funcao degrau,
linear e tanh.
No caso da funcao degrau, o comportamento e bastante semelhante ao do estudo
32
com rotacao inicial livre. A figura 3.21 mostra que o torque aumenta instantanea-
mente para o torque de atrito dinamico final e permanece assim ate o travamento
da broca, onde o atrito cai rapidamente. Apos isso, a energia torcional e acumulada
ate superar o atrito estatico e voltar para o atrito dinamico final.
29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.50
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
DegrauLinearTanh
Figura 3.21: Detalhe do torque de atrito com mudanca de rocha seguindo uma
funcao degrau, linear e tanh.
3.6 Resposta estocastica com mudanca de carac-
terısticas da rocha
Os estudos feitos sobre mudanca de rocha consideraram parametros determinısticos
para descrever essa mudanca. O estudo presente nessa secao visa avaliar a con-
sequencia da incerteza desses parametros na resposta do sistema.
Com o intuito de simular a resposta do sistema levando em conta variaveis
aleatorias, foi utilizado o metodo de Monte Carlo descrito no item 2.3. As variaveis
aleatorias foram considerada normais com coeficiente de variacao igual a 2% e mo-
33
deladas da seguinte forma:
Tcbi ∝ 3 ·Normal(1; 0, 02) (3.5)
Tcbf ∝ 5 ·Normal(1; 0, 02) (3.6)
Tsbi ∝ 6 ·Normal(1; 0, 02) (3.7)
Tsbf ∝ 8 ·Normal(1; 0, 02) (3.8)
ti ∝ 30 ·Normal(1; 0, 02) (3.9)
tf ∝ 70 ·Normal(1; 0, 02) (3.10)
onde Tcbi e Tcbf sao os torques de atrito dinamico inicial e final, respectivamente;
Tsbi e Tsbf sao os torques de atrito estatico inicial e final, respectivamente, e; ti e tf
sao os tempos inicial e final da mudanca de rocha, respectivamente.
Os graficos apresentados a seguir sao conhecidos por envelopes de confianca.
A linha cheia no grafico representa a media dos valores obtidos para determinada
reposta em cada instante de tempo. Por outro lado, as linhas tracejadas delimitam
uma regiao onde 90% dos valores obtidos estao contidos.
O valor de 90% de confianca foi escolhido pois nao apresenta casos com Stick-Slip
em seu domınio. Como os parametros sao modelados como funcoes normais e essas
por sua vez possuem um domınio de (−∞,∞), podem surgir valores que induzem
o Stick-Slip. Observar a ocorrencia desse fenomeno foge ao objetivo desse item, ja
sendo abordado em itens anteriores e, devido a isso, considerou-se os 99% para o
envelope de confianca.
As figuras 3.22 e 3.23 mostram o envelope de confianca para a velocidade da
broca quando a mudanca de rocha segue uma funcao linear e tangente hiperbolica,
respectivamente. Percebe-se nesses graficos que as incertezas impostas nao oferecem
alteracoes expressivas na resposta do sistema. A explicacao desse comportamento
remete a analise feita na figura 3.9 que mostrou que alteracoes nos fatores de atrito
apenas impactam a resposta da velocidade da broca se houver Stick-Slip. Como nos
casos linear e tangente hiperbolica nao ha Stick-Slip, os modulos das velocidades
permanecem muito proximos. Existe apenas um deslocamento no tempo devido as
incertezas nos tempos de inıcio e fim da mudanca de rocha, mas pode ser consideravel
desprezıvel e praticamente imperceptıvel.
34
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
Figura 3.22: Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mudanca
de rocha seguindo uma funcao linear.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
Figura 3.23: Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mudanca
de rocha seguindo uma funcao tangente hiperbolica.
No caso das funcoes linear e tangente hiperbolica, a figura 3.24 mostra os graficos
de envelope de confianca para o torque de atrito. As incertezas embutidas podem
ser claramente identificadas. No caso dessas funcoes, apos vencer o atrito inicial, a
35
broca permanece no regime de atrito dinamico e a incerteza nesse parametro, antes
e depois da mudanca de rocha, pode ser percebida nos graficos.
A incerteza nos tempos inicial e final da mudanca de rocha tambem e percebida
atraves de um leve deslocamento no tempo, quando comparadas as 3 linhas de
cada grafico. As incertezas modeladas nao sao grandes o suficiente para perceber a
dispersao dos valores de torque estatico desses graficos.
0 20 40 60 800
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
(a)
0 20 40 60 800
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
(b)
Figura 3.24: Envelope de confianca de 99% para o torque de atrito com mudanca
de rocha seguindo uma funcao (a) linear e (b) tangente hiperbolica.
No caso da funcao degrau, percebe-se uma dispersao muito maior no resultado
pois o envelope de confianca fica significativamente mais espesso. Isso acontece
devido a manifestacao do Stick-Slip no inıcio da mudanca de rocha. Retornando
novamente a figura 3.9, pode-se atribuir uma maior dispersao no caso degrau pois a
amplitude da resposta e afetada quando existe Stick-Slip. Alem disso tambem esta
presente um leve deslocamento no tempo devido as incertezas nos tempos de inıcio
e fim da mudanca de rocha.
36
0 20 40 60 800
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
θb(rad/s)
Figura 3.25: Envelope de confianca de 99% para a velocidade da broca com mudanca
de rocha seguindo uma funcao degrau.
A figura 3.26 mostra o grafico de envelope de confianca para o torque no caso
da funcao degrau. O envelope de confianca tambem demonstra maior dispersao
no inıcio da alteracao da rocha. Essa dispersao e atribuıda ao Stick-Slip pois esse
fenomeno engloba todos os regimes de atrito e acaba sofrendo maior influencia da
incerteza desses parametros.
0 20 40 60 800
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N
.m)
Figura 3.26: Envelope de confianca de 99% para o torque de atrito com mudanca
de rocha seguindo uma funcao degrau.
37
Capıtulo 4
Conclusao e Trabalhos futuros
4.1 Conclusao
O objetivo do presente trabalho foi de introduzir novas analises sobre o problema da
dinamica de colunas de perfuracao. Primeiramente foi proposto um modelo simples
para descrever a coluna de perfuracao de forma a permite as analises posteriores.
Esse modelo simplificado foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4] com a diferenca
de imposicao de velocidade constante na mesa rotativa.
Apos a definicao do modelo, foram realizadas algumas simulacoes convencionais
de forma a analisar as respostas classicas para esse tipo de estrutura e assim validou-
se o modelo utilizado.
A seguir foi realizado um estudo que avaliou a sensibilidade dos parametros do
modelo na resposta do sistema. Esse estudo introduziu uma nova forma de analise
grafica dessa sensibilidade atraves do que foi intitulado graficos de bifurcacao.
Essa analise mostrou que a velocidade da mesa rotativa influencia a resposta
do sistema independente da presenca de Stick-Slip. Por outro lado, o peso sobre a
broca, descrito atraves dos torques de atrito, apenas influencia a resposta do sistema
no caso com Stick-Slip. Para ambos os parametros (velocidade da mesa rotativa e
peso sobre a broca), a analise mostrou que a broca atinge velocidades bem superiores
na presenca de Stick-Slip.
Para finalizar essa analise, foi introduzida uma nova analise do sistema conside-
rando incertezas nos torques de atrito. Essa analise visou avaliar a probabilidade
de ocorrencia de Stick-Slip para diversas velocidades da mesa rotativa. Percebeu-se
38
que velocidades baixas da mesa rotativa geram uma probabilidade alta de Stick-
Slip, enquanto que altas velocidade da mesa resultam em baixas probabilidades de
Stick-Slip.
Por fim, conforme objetivo do presente trabalho, foi analisado o impacto da
mudanca de rocha no processo de perfuracao. Esse impacto foi avaliado atraves dos
torques de atrito que sao responsaveis pela modelagem da interacao broca-rocha.
A mudanca dos torques de atrito no tempo foi modelado atraves de tres funcoes:
linear, tangente hiperbolica e degrau.
Primeiramente foi analisado o caso onde a broca entra em contato com a rocha
somente apos atingir o regime permanente em rotacao. Esse caso foi avaliado pois
representa as operacoes reais de perfuracao de pocos. A seguir, foi avaliada o caso
onde ha alteracao da rocha durante o processo de perfuracao.
Em ambos os casos, os resultados mostraram que a variacao da velocidade da
broca foi mais suave com a funcao tangente hiperbolica. A funcao linear, por sua
vez, apresentou uma suavidade menor apesar de sua variacao possuir menor ampli-
tude. Por fim, a funcao degrau impos uma resposta tao brusca quanto a excitacao.
Inclusive, a funcao degrau induziu um princıpio de Stick-Slip que nao se manteve
ate o final.
No caso da alteracao da rocha durante o processo de perfuracao, a resposta
do sistema foi mais suave para as funcoes linear e tangente hiperbolica. Isso foi
explicado pois a variacao dos parametros de atrito foram menores. O mesmo nao
aconteceu para a funcao degrau que demonstrou um impacto equivalente em ambos
os casos. Esse acontecimento foi explicado pelo fato dos parametros de atrito finais
serem os mesmos e pela presenca de Stick-Slip.
Como analise final, foram avaliadas as incertezas dos parametros que definem
a alteracao da rocha durante o processo de perfuracao. A principal conclusao a
ser tirada dessa ultima analise e que essas incertezas nao afetaram a velocidade da
broca nas mudancas linear e tangente hiperbolica pois essas nao apresentaram Stick-
Slip. No caso degrau existe Stick-Slip e as incertezas afetam a resposta de maneira
significativa.
39
4.2 Trabalhos futuros
O presente trabalho possuiu o objetivo de introduzir novas metodologias de analise
para esse problema comum na industria do petroleo. Os proximos passos para
tal trabalho seria refinar o modelo e calibra-lo para que seja capaz de descrever
satisfatoriamente o caso real.
Apos isso, seria interessante refazer as analises aqui desenvolvidas e avaliar qual
funcao melhor descreve a mudanca dos parametros de atrito na alteracao da rocha
e como esses parametros de atrito sao alterados dependendo do tipo de rochas e
condicoes que o poco esta submetido. Dessa forma espera-se ser capaz de avaliar os
riscos de forma mais precisa a fim de mitigar gastos excessivos e otimizar o processo
de perfuracao de pocos.
Outra sugestao seria incluir oscilacoes dos parametros de atrito durante o tempo
de simulacao. Dentro de uma mesma rocha, os parametro de atrito podem variar e
seria interessante avaliar a resposta do sistema a essas oscilacoes.
Por fim, sugere-se a utilizacao das analises aqui desenvolvidas para otimizar a
performance e o controle desse tipo de operacao.
40
Referencias Bibliograficas
[1] “Petrobras 60 anos”, http://infograficos.oglobo.globo.com/economia/
petrobras-60-anos-1.html, Online. Acessado em: 2016-06-13.
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ras , Ph.D. Thesis, Pontifıcia Universidade Catolica, Rio de Janeiro, Brasil,
2004.
[3] PERCY, J. G., ANALISE DE INCERTEZAS EM VIBRACOES LATERAIS E
DE TORCAO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURACAO , Mas-
ter’s Thesis, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil, 2014.
[4] NAVARRO-LOPEZ, E. M., SUAREZ, R., “Practical approach to modelling and
controlling stick-slip oscillations in oilwell drillstrings”. In: Control Ap-
plications, 2004. Proceedings of the 2004 IEEE International Conference
on, v. 2, pp. 1454–1460 Vol.2, Sept 2004.
[5] SEUNG-KYUM CHOI, RAMANA V. GRANDHI, R. A. C., Reliability-based
Structural Design. Springer-Verlag London.
[6] “Geologia - Texto produzido pelos alunos da Primeira Turma do Curso de
Engenharia de Petroleo da UFC com base nos livros ”O Universo
da Industria Petrolıfera- Da Pesquisa a Refinacao”, de Jose Salgado
Gomes. Fundacao Calouste-Gulbenkian, Portugal, 2ª Edicao, 2011 e
”Fundamentos de Engenharia de Petroleo”, de Jose Eduardo Thomas.
Editora Interciencia, 2001.” http://www.petroleo.ufc.br/index.php?
option=com_content&task=view&id=394&Itemid=56, Online. Acessado
em: 2016-06-13.
41
[7] “Petroleum”, http://www.scienceclarified.com/Oi-Ph/Petroleum.html,
Online. Acessado em: 2016-06-13.
[8] KHULIEF, Y., AL-SULAIMAN, F., BASHMAL, S., “Vibration analysis of
drillstrings with self-excited stick–slip oscillations”, Journal of Sound and
Vibration, v. 299, n. 3, pp. 540 – 558, 2007.
[9] BRETT, J. F., “The Genesis of Bit-Induced Torsional Drillstring Vibrations”,
Society of Petroleum Engineers .
[10] CAYRES, B. C., Numerical and Experimental Analysis of the Nonlinear Torsi-
onal Dynamics of a Drilling System, Master’s Thesis, Pontifıcia Univer-
sidade Catolica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2013.
[11] L.C. CUNHA LIMA, R.R. AGUIAR, T. R., HBAIEB, S., “Analysis of the
torsional stability of a simplified drillstring”. In: DINAME 2015 - Pro-
ceedings of the XVII International Symposium on Dynamic Problems of
Mechanics , Feb 2015.
[12] RITTO, T., SOIZE, C., SAMPAIO, R., “Non-linear dynamics of a drill-string
with uncertain model of the bit–rock interaction”, International Journal
of Non-Linear Mechanics , v. 44, n. 8, pp. 865 – 876, 2009.
42
Apendice A
Codigos em MATLAB
A.1 Programa principal
1 %% Declarando variaveis globais
2 global k Jb c Vrot Gb Dv cb VrotR TsbR TcbR Tsb Tcb Tsb1 Tcb1 Tsb2 ...
Tcb2 ti tf
3
4 % Variaveis caracteristicas do sistema
5 Jb=0.0318; % Inercia da coluna
6 c=0.0001; % constante de amortecimento da coluna
7 cb=0.03; % constate do atrito viscoso da broca
8 k=0.073; % rigidez da coluna
9 Dv=10ˆ−6; % Correcao de intervalo do modelo de atrito seco ...
(problemas de convergencia)
10 Gb=0.9; % Constante gama do modelo de atrito seco
11
12 % Variaveis controlaveis
13 VrotR = 19; % Velocidade de rotacao da mesa
14 TsbR = 8; % Pico de torque de referencia
15 TcbR = 5; % Torque de atrito referencia
16
17 % Vetor temporal
18 ta = 0:0.001:120;
19
20 %% Analise Dinamica Deterministica do Sistema
43
21
22 % Propriedades de interacao com a rocha iguais a referencia
23 Tsb = TsbR;
24 Tcb = TcbR;
25
26 % Resposta Estavel
27 % Velocidade de rotacao da mesa igual a referencia
28 Vrot = VrotR;
29 % Solucionando o sistema
30 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
31
32 % Resposta Instavel
33 % Velocidade de rotacao da mesa igual a metade da referencia
34 Vrot = 0.5*VrotR;
35 % Solucionando o sistema
36 [te,ye] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
37
38 % Grafico Angulo da broca
39 figure
40 plot(ts,ys(:,1),'k',te,ye(:,1),'k−−','LineWidth',2)
41 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest')
42 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
43 ylabel ('$\theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
44 ylim([0 2500])
45 xlim([0 40])
46 set(gca,'fontsize',20)
47 print −depsc Resposta angulo
48
49 % Grafico Velocidade da broca
50 figure
51 plot(ts,ys(:,2),'k',te,ye(:,2),'k−−','LineWidth',2)
52 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest')
53 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
54 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
55 ylim([0 70])
56 xlim([0 40])
57 set(gca,'fontsize',20)
58 print −depsc Resposta velocidade
59
44
60 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta estavel
61 Vrot = VrotR;
62 Tfbs = zeros(length(ys),1);
63 for i = 1:length(ys)
64 Teb = c*(Vrot−ys(i,1))+k*(Vrot*ts(i)−ys(i,1))−cb*ys(i,2); % ...
Toque Stick
65
66 if and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
67 Tfbs(i)=Teb;
68 elseif and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
69 Tfbs(i)=Tsb*sign(Teb);
70 else % Slip
71 Tfbs(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ys(i,2)))*sign(ys(i,2));
72 end
73 end
74
75 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta instavel
76 Vrot = VrotR*0.5;
77 Tfbe = zeros(length(ye),1);
78 for i = 1:length(ye)
79 Teb = c*(Vrot−ye(i,1))+k*(Vrot*te(i)−ye(i,1))−cb*ye(i,2); % ...
Toque Stick
80
81 if and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
82 Tfbe(i)=Teb;
83 elseif and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
84 Tfbe(i)=Tsb*sign(Teb);
85 else % Slip
86 Tfbe(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ye(i,2)))*sign(ye(i,2));
87 end
88 end
89
90 % Grafico Torque de atrito na broca
91 figure
92 plot(ts,Tfbs,'k',te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2)
93 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest')
94 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
45
95 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
96 ylim([0 10])
97 xlim([0 40])
98 set(gca,'fontsize',20)
99 print −depsc Resposta torque
100
101 % Grafico detalhado do Torque de atrito na broca
102 figure
103 plot(te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2)
104 legend('com Stick−Slip','Location','northwest')
105 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
106 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
107 ylim([0 10])
108 xlim([21 28])
109 set(gca,'fontsize',20)
110 print −depsc Resposta torque detalhado
111
112 %% Grafico do modelo de atrito seco
113 y2 = −10:0.01:10;
114 Tfb=TcbR+(TsbR−TcbR)*exp(−Gb*abs(y2));
115 Tfb=Tfb.*sign(y2);
116 figure
117 plot(y2,Tfb,'k','LineWidth',2)
118 xlabel ('$\dot\theta b$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
119 ylabel ('$T fb$ (N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
120 ylim([−10 10])
121 text(0,8,'$\leftarrow T sb$','Interpreter','latex','FontSize',26)
122 text(8,4,'$T cb$','Interpreter','latex','FontSize',26)
123 set(gca,'fontsize',20)
124 print −depsc Modelo atrito
125
126 %% Analise de sensibilidade para velocidade de rotacao da mesa
127
128 % Torques de atrito iguais a referencia
129 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico
130 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito
131
132 % Resposta Estavel
133 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa
46
134 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
135
136 Vrot = VrotR*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5%
137 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
138
139 Vrot = VrotR*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5%
140 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
141
142 % Grafico angulo da broca
143 figure
144 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2)
145 legend('\Omega','\Omega + 5%','\Omega − 5%','Location','northwest')
146 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
147 ylabel ('$\theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
148 ylim([0 1500])
149 set(gca,'fontsize',20)
150 print −depsc Sensibilidade multiVrot est angulo
151
152 % Grafico velocidade da broca
153 figure
154 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2)
155 legend('\Omega','\Omega + 5%','\Omega − 5%','Location','northeast')
156 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
157 ylabel ('$\dot\theta b$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
158 ylim([0 60])
159 set(gca,'fontsize',20)
160 print −depsc Sensibilidade multiVrot est velocidade
161
162 % Resposta Instavel
163 Vrot = VrotR*0.5; % Velocidade de rotacao da mesa
164 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
165
166 Vrot = VrotR*0.5*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5%
167 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
168
169 Vrot = VrotR*0.5*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5%
170 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
171
172 % Grafico angulo da broca
47
173 figure
174 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2)
175 legend('\Omega','\Omega + 5%','\Omega − 5%','Location','northwest')
176 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
177 ylabel ('$\theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
178 ylim([0 600])
179 set(gca,'fontsize',20)
180 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst angulo
181
182 % Grafico velocidade da broca
183 figure
184 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2)
185 legend('\Omega','\Omega + 5%','\Omega − 5%','Location','northwest')
186 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
187 ylabel ('$\dot\theta b$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
188 ylim([0 60])
189 set(gca,'fontsize',20)
190 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst velocidade
191
192 %% Analise de sensibilidade para peso sobre a broca
193
194 % Velocidade da mesa igual a referencia
195 Vrot = VrotR;
196
197 % Resposta estavel
198 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico
199 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito
200 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
201
202 Tcb = TcbR*1.05; % Torque de atrito dinamico + 5%
203 Tsb = TsbR*1.05; % Pico de torque de atrito − 5%
204 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
205
206 Tcb = TcbR*0.95; % Torque de atrito dinamico + 5%
207 Tsb = TsbR*0.95; % Pico de torque de atrito − 5%
208 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
209
210 % Grafico angulo da broca
211 figure
48
212 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2)
213 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest')
214 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
215 ylabel ('$\theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
216 ylim([0 1500])
217 set(gca,'fontsize',20)
218 print −depsc Sensibilidade multiWob est angulo
219
220 % Grafico velocidade da broca
221 figure
222 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2)
223 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northeast')
224 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
225 ylabel ('$\dot\theta b$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
226 ylim([0 60])
227 set(gca,'fontsize',20)
228 print −depsc Sensibilidade multiWob est velocidade
229
230 % Resposta instavel
231 Tcb = TcbR*2; % Torque de atrito dinamico
232 Tsb = TsbR*2; % Pico de torque de atrito
233 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
234
235 Tcb = TcbR*2*1.05; % Torque de atrito dinamico
236 Tsb = TsbR*2*1.05; % Pico de torque de atrito
237 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
238
239 Tcb = TcbR*2*0.95; % Torque de atrito dinamico
240 Tsb = TsbR*2*0.95; % Pico de torque de atrito
241 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
242
243 % Grafico angulo da broca
244 figure
245 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2)
246 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest')
247 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
248 ylabel ('$\theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
249 ylim([0 1500])
250 set(gca,'fontsize',20)
49
251 print −depsc Sensibilidade multiWob inst angulo
252
253 % Grafico velocidade da broca
254 figure
255 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2)
256 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest')
257 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
258 ylabel ('$\dot\theta b$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
259 ylim([0 110])
260 set(gca,'fontsize',20)
261 print −depsc Sensibilidade multiWob inst velocidade
262
263 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para peso sobre a broca
264
265 %Velocidade da mesa igual a referencia
266 Vrot = VrotR;
267
268 % Criacao de variaveis de suporte
269 x = 0.5:0.005:2.5;
270 V topo = zeros(length(x),1);
271 V topo2 = zeros(length(x),1);
272 i=1;
273
274 % Calculo dos maximos e minimos
275 for f = x
276 Tcb = TcbR*f; % Torque de atrito dinamico
277 Tsb = TsbR*f; % Pico de torque de atrito
278 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
279 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19;
280 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19;
281 i = i + 1;
282 end
283
284 % Geracao do grafico
285 figure
286 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2)
287 xlabel('$\fracWobWob ref$','Interpreter','latex','FontSize',26)
288 ylabel('$min,max(\frac\dot\theta b\Omega ref)$ ...
(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
50
289 ylim([−0.50 7])
290 xlim([min(x) max(x)])
291 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.5:2.5],'YTick',[0:1:7])
292 print −depsc Sensibilidade maxWob
293
294
295 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para rotacao da mesa
296
297 % Torques iguais a referencia
298 Tcb = TcbR;
299 Tsb = TsbR;
300
301 % Criacao de varieveis de suporte
302 x = 0.5:0.005:1.5;
303 V topo = zeros(length(x),1);
304 V topo2 = zeros(length(x),1);
305 i=1;
306
307 % Calculo dos maximos e minimos
308 for f = x
309 Vrot=VrotR*f; % Velocidade de rotacao da mesa
310 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
311 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19;
312 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19;
313 i = i + 1;
314 end
315
316 % Geracao do grafico
317 figure
318 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2)
319 xlabel('$\frac\Omega\Omega ref$','Interpreter','latex','FontSize',26)
320 ylabel('$min,max(\frac\dot\theta b\Omega ref)$ ...
(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
321 ylim([−0.50 3.5])
322 xlim([min(x) max(x)])
323 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.25:1.5],'YTick',[0:0.5:3.5])
324 print −depsc Sensibilidade maxVrot
325
326
51
327 %% Analise de Instabilidade por mapeamento do SSS
328
329 % Criacao de varieveis de suporte
330 SSS = zeros(441,1);
331 x chart = zeros(441,1);
332 y chart = zeros(441,1);
333 filled chart = zeros(21,2);
334 i=0;
335 j=1;
336
337 % Calculo do SSS
338 for p2 = 0.5:0.05:1.5
339 filled chart(j,1) = 1.5;
340 flag = 0;
341 for p1 = 0.5:0.05:1.5
342 if flag == 1
343 continue
344 end
345 i = i + 1;
346 Tcb = TcbR*p1;
347 Tsb = TsbR*p1;
348 Vrot = VrotR*p2;
349 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
350 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrot);
351 if SSS(i) > 0.8
352 flag=1;
353 filled chart(j,1) = p1;
354 filled chart(j,2) = 1.5 − filled chart(j,1);
355 end
356 end
357 j = j + 1;
358 end
359
360 % Geracao do grafico
361 figure
362 ax=0.5:0.05:1.5;
363 area(ax,filled chart,0.5)
364 xlabel ...
('$\frac\Omega\Omega ref$','Interpreter','latex','FontSize',26)
52
365 ylabel ('$\fracWobWob ref$','Interpreter','latex','FontSize',26)
366 ylim([0.5 1.5])
367 set(gca,'fontsize',20,'XTick',0.5:0.1:1.5,'YTick',0.5:0.1:1.5)
368 print −depsc SSS
369
370 %% Bifurcacao Estocastica
371
372 % Criacao de varieveis de suporte
373 Var Tcb = 0.1;
374 Var Tsb = 0.1;
375 n sim = 1000;
376 Vrot array = 0.6:0.005:1.2;
377
378 % Igualar variaveis as referencias
379 VrotRl = VrotR;
380 TcbRl = TcbR;
381 TsbRl = TsbR;
382
383 % Simulacoes utilizando processamento paralelo
384 n = zeros(length(Vrot array),1);
385 matlabpool(4)
386 parfor j=1:length(Vrot array)
387 Tcb sim = (1−Var Tcb)*TcbRl + 2*Var Tcb*TcbRl.*rand(n sim,1);
388 Tsb sim = (1−Var Tsb)*TsbRl + 2*Var Tsb*TsbRl.*rand(n sim,1);
389 Vrotl = VrotRl*Vrot array(j);
390 SSS = zeros(n sim,1);
391 for i=1:n sim
392 Tcbl = Tcb sim(i);
393 Tsbl = Tsb sim(i);
394 disp([i Vrotl Tsbl Tcbl])
395 [ts,ys] = ode23tb(@(t,y) modelo multiproc(t,y,[Vrotl Tsbl ...
Tcbl]),ta,[0 0]);
396 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrotl);
397 end
398 n(j) = sum(SSS>0.8)/n sim;
399 end
400 matlabpool close
401
402 % Criacao do grafico
53
403 figure
404 plot(Vrot array.*VrotR,n,'k','LineWidth',2)
405 xlabel('$\Omega$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
406 ylabel('Probabilidade de Instabilidade','FontSize',26)
407 xlim([min(Vrot array.*VrotR) max(Vrot array.*VrotR)])
408 set(gca,'fontsize',20)
409
410 % Converte o eixo y em percentagem
411 a=[cellstr(num2str(get(gca,'ytick')'*100))];
412 pct = char(ones(size(a,1),1)*'%');
413 new yticks = [char(a),pct];
414 set(gca,'yticklabel',new yticks)
415
416 print −depsc bifurcacao estocastica
417
418 %% Analise Dinamica do Sistema com mudanca de parametros de atrito seco
419
420 Analise = 'alt Tcb Tsb'; % Tipo de analise a ser realizada (output ...
file)
421 Tcb1 = 3; % Torque de atrito dinamico para t < t1
422 TcbR = 5; % Torque de atrito dinamico referencia
423 Tsb1 = 6; % Pico de torque de atrito para t < t1
424 TsbR = 8; % Pico de torque de atrito referencia
425 ti = 30; % Tempo inicial para transicao das ...
propriedades de atrito
426 tf = 70; % Tempo final para transicao das ...
propriedades de atrito
427 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
428 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
429 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
430 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal
431
432 % Solucionando o sistema
433 [t degrau,y degrau] = ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]);
434 [t linear,y linear] = ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]);
435 [t tanh,y tanh] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]);
436
437 % Calculo do torque de atrito
54
438 Tfb = zeros(length(ta),3);
439 y = [y degrau y linear y tanh];
440
441 for j = 1:3
442
443 for i = 1:length(ta)
444 Teb = ...
c*(Vrot−y(i,2*j−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,2*j−1))−cb*y(i,2*j); ...
% Toque Stick
445
446 if j == 3
447 Tcb = Tcb1 + ...
(Tcb2−Tcb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
448 Tsb = Tsb1 + ...
(Tsb2−Tsb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
449 elseif (ti>ta(i))
450 Tsb = Tsb1;
451 Tcb = Tcb1;
452 elseif (ti<ta(i)) && (ta(i)≤tf)
453 if j == 1
454 Tsb = Tsb2;
455 Tcb = Tcb2;
456 elseif j == 2
457 Tcb = Tcb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1);
458 Tsb = Tsb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1);
459 end
460 elseif ta(i) > tf
461 Tsb = Tsb2;
462 Tcb = Tcb2;
463 end
464
465
466 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<Tsb2) % Stick
467 Tfb(i,j)=Teb;
468 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>Tsb2) % ...
Stick−Slip Transition
469 Tfb(i,j)=Tsb*sign(Teb);
470 else % Slip
471 Tfb(i,j)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,2*j)))*sign(y(i,2*j));
55
472 end
473 end
474 end
475
476 % Grafico Angulo da broca
477 figure
478 plot(t degrau,y degrau(:,1),'k',t linear,y linear(:,1),'k−−',t tanh,y tanh(:,1),'k:','LineWidth',2)
479 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
480 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
481 ylabel ('$\theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
482 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])])
483 xlim([0 max(ta)])
484 y1=get(gca,'ylim');
485 hold on
486 plot([ti ti],y1)
487 plot([tf tf],y1)
488 hold off
489 set(gca,'fontsize',20)
490 print(strcat('Resposta angulo ',Analise),'−depsc')
491
492 % Grafico Velocidade da broca
493 figure
494 plot(t degrau,y degrau(:,2),'k',t linear,y linear(:,2),'k−−',t tanh,y tanh(:,2),'k:','LineWidth',2)
495 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
496 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
497 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
498 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])])
499 xlim([0 max(ta)])
500 y1=get(gca,'ylim');
501 hold on
502 plot([ti ti],y1)
503 plot([tf tf],y1)
504 hold off
505 set(gca,'fontsize',20)
506 print(strcat('Resposta velocidade ',Analise),'−depsc')
507
508 % Grafico Torque de atrito na broca
56
509 figure
510 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2)
511 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
512 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
513 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
514 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))])
515 xlim([0 max(ta)])
516 y1=get(gca,'ylim');
517 hold on
518 plot([ti ti],y1)
519 plot([tf tf],y1)
520 hold off
521 set(gca,'fontsize',20)
522 print(strcat('Resposta torque ',Analise),'−depsc')
523
524 % Grafico Velocidade da broca (detalhe)
525 figure
526 plot(t degrau,y degrau(:,2),'k',t linear,y linear(:,2),'k−−',t tanh,y tanh(:,2),'k:','LineWidth',2)
527 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
528 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
529 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
530 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])])
531 xlim([29.9 30.5])
532 y1=get(gca,'ylim');
533 hold on
534 plot([ti ti],y1)
535 plot([tf tf],y1)
536 hold off
537 set(gca,'fontsize',20)
538 print(strcat('Resposta velocidade detalhe ',Analise),'−depsc')
539
540 % Grafico Torque de atrito na broca (detalhe)
541 figure
542 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2)
543 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
544 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
545 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
546 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))])
57
547 xlim([29.9 30.5])
548 y1=get(gca,'ylim');
549 hold on
550 plot([ti ti],y1)
551 plot([tf tf],y1)
552 hold off
553 set(gca,'fontsize',20)
554 print(strcat('Resposta torque detalhe ',Analise),'−depsc')
555
556 %% Analise de sensibilidade da reposta do sistema quando existe ...
variacao de propriedades da interacao broca−rocha
557
558 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
559 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal
560
561 % Criacao de varieveis de suporte
562 n sim = 1000;
563 a = 0.95;
564 b = 1.05;
565 t degrau = zeros(length(ta),n sim);
566 y degrau = zeros(length(ta),n sim*2);
567 t linear = zeros(length(ta),n sim);
568 y linear = zeros(length(ta),n sim*2);
569 t tanh = zeros(length(ta),n sim);
570 y tanh = zeros(length(ta),n sim*2);
571 Tcb1 l = zeros(length(ta),n sim);
572 Tsb1 l = zeros(length(ta),n sim);
573 TcbR l = zeros(length(ta),n sim);
574 TsbR l = zeros(length(ta),n sim);
575 ti l = zeros(length(ta),n sim);
576 tf l = zeros(length(ta),n sim);
577
578 % Simulacoes
579 h = waitbar(0,'calculating . . .');
580 % Solucionando o sistema
581 for j = 1:n sim
582 Tcb1 l(j) = 3*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ...
para t < t1
58
583 Tcb1 = Tcb1 l(j);
584 TcbR l(j) = 5*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ...
referencia
585 TcbR = TcbR l(j);
586 Tsb1 l(j) = 6*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ...
para t < t1
587 Tsb1 = Tsb1 l(j);
588 TsbR l(j) = 8*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ...
referencia
589 TsbR = TsbR l(j);
590 ti l(j) = 30*normrnd(1,0.02); % Tempo inicial para ...
transicao das propriedades de atrito
591 ti = ti l(j);
592 tf l(j) = 70*normrnd(1,0.02); % Tempo final para transicao ...
das propriedades de atrito
593 tf = tf l(j);
594 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
595 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
596
597 index = j;
598
599 [t degrau(:,j),y degrau(:,j*2−1:j*2)] = ...
ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]);
600 [t linear(:,j),y linear(:,j*2−1:j*2)] = ...
ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]);
601 [t tanh(:,j),y tanh(:,j*2−1:j*2)] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]);
602
603 waitbar(j/n sim,h,sprintf('calculating . . . (%d/%d)',j,n sim));
604 end
605 close(h)
606
607 % Calculo do torque de atrito
608 h = waitbar(0,'calculating . . .');
609 for j=1:3
610 if j==1
611 y = y degrau;
612 elseif j == 2
613 y = y linear;
614 else
59
615 y = y tanh;
616 end
617
618 for n = 1:n sim
619 for i = 1:length(ta)
620 Teb = ...
c*(Vrot−y(i,n*2−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,n*2−1))−cb*y(i,n*2); ...
% Toque Stick
621
622 if j == 3
623 Tcb = Tcb1 l(n) + ...
(TcbR l(n)−Tcb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5)−2.5)+1)/2;
624 Tsb = Tsb1 l(n) + ...
(TsbR l(n)−Tsb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5)−2.5)+1)/2;
625 elseif (ti>ta(i))
626 Tsb = Tsb1 l(n);
627 Tcb = Tcb1 l(n);
628 elseif (ti l(n)<ta(i)) && (ta(i)≤tf l(n))
629 if j == 1
630 Tsb = TsbR l(n);
631 Tcb = TcbR l(n);
632 elseif j == 2
633 Tcb = Tcb1 l(n) + ...
((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TcbR l(n)−Tcb1 l(n));
634 Tsb = Tsb1 l(n) + ...
((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TsbR l(n)−Tsb1 l(n));
635 end
636 elseif ta(i) > tf l(n)
637 Tsb = TsbR l(n);
638 Tcb = TcbR l(n);
639 end
640
641
642 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<TsbR l(n)) ...
% Stick
643 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Teb;
644 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>TsbR l(n)) ...
% Stick−Slip Transition
645 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tsb*sign(Teb);
60
646 else % Slip
647 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,n*2)))*sign(y(i,n*2));
648 end
649
650 end
651 waitbar((n)/(n sim),h,sprintf('calculating . . . ...
(%d/%d)',((j−1)*n sim+n),(n sim)));
652 end
653 end
654 close(h)
655
656 % Grafico Angulo da broca (Degrau)
657 figure
658 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,1:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y degrau(:,1:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
659 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
660 ylabel ('$\theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
661 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])])
662 xlim([0 max(ta)])
663 y1=get(gca,'ylim');
664 hold on
665 plot([ti ti],y1)
666 plot([tf tf],y1)
667 hold off
668 set(gca,'fontsize',20)
669 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc')
670
671 % Grafico Angulo da broca (Linear)
672 figure
673 plot(ta,mean(transp(y linear(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,1:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y linear(:,1:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
674 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
675 ylabel ('$\theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
676 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])])
677 xlim([0 max(ta)])
678 y1=get(gca,'ylim');
679 hold on
680 plot([ti ti],y1)
681 plot([tf tf],y1)
61
682 hold off
683 set(gca,'fontsize',20)
684 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc linear','−depsc')
685
686 % Grafico Angulo da broca (Tanh)
687 figure
688 plot(ta,mean(transp(y tanh(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y tanh(:,1:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y tanh(:,1:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
689 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
690 ylabel ('$\theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
691 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])])
692 xlim([0 max(ta)])
693 y1=get(gca,'ylim');
694 hold on
695 plot([ti ti],y1)
696 plot([tf tf],y1)
697 hold off
698 set(gca,'fontsize',20)
699 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc tanh','−depsc')
700
701 % Grafico Velocidade da broca (Degrau)
702 figure
703 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,2:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y degrau(:,2:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
704 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
705 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
706 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])])
707 xlim([0 max(ta)])
708 y1=get(gca,'ylim');
709 hold on
710 plot([ti ti],y1)
711 plot([tf tf],y1)
712 hold off
713 set(gca,'fontsize',20)
714 print('Resposta velocidade alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc')
715
716 % Grafico Velocidade da broca (Linear)
717 figure
718 plot(ta,mean(transp(y linear(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,2:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y linear(:,2:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
62
719 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
720 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
721 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])])
722 xlim([0 max(ta)])
723 y1=get(gca,'ylim');
724 hold on
725 plot([ti ti],y1)
726 plot([tf tf],y1)
727 hold off
728 set(gca,'fontsize',20)
729 print('Resposta velocidade alt Tcb Tsb estoc linear','−depsc')
730
731 % Grafico Velocidade da broca (Tanh)
732 figure
733 plot(ta,mean(transp(y tanh(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y tanh(:,2:2:end)),5),'k−−',ta,prctile(transp(y tanh(:,2:2:end)),95),'k−−','LineWidth',2)
734 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
735 ylabel ('$\dot\theta b$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
736 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])])
737 xlim([0 max(ta)])
738 y1=get(gca,'ylim');
739 hold on
740 plot([ti ti],y1)
741 plot([tf tf],y1)
742 hold off
743 set(gca,'fontsize',20)
744 print('Resposta velocidade alt Tcb Tsb estoc tanh','−depsc')
745
746 % Grafico Torque de atrito na broca (Degrau)
747 figure
748 plot(ta,mean(transp(Tfb(:,1:1000))),'k',ta,prctile(transp(Tfb(:,1:1000)),5),'k−−',ta,prctile(transp(Tfb(:,1:1000)),95),'k−−','LineWidth',2)
749 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
750 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
751 ylim([0 1.1*max(max(Tfb(:,1:1000)))])
752 xlim([0 max(ta)])
753 y1=get(gca,'ylim');
754 hold on
755 plot([ti ti],y1)
63
756 plot([tf tf],y1)
757 hold off
758 set(gca,'fontsize',20)
759 print('Resposta torque alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc')
760
761 % Grafico Torque de atrito na broca (Linear)
762 figure
763 plot(ta,mean(transp(Tfb(:,1000:2000))),'k',ta,prctile(transp(Tfb(:,1000:2000)),5),'k−−',ta,prctile(transp(Tfb(:,1000:2000)),95),'k−−','LineWidth',2)
764 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
765 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
766 ylim([0 1.1*max(max(Tfb(:,1:1000)))])
767 xlim([0 max(ta)])
768 y1=get(gca,'ylim');
769 hold on
770 plot([ti ti],y1)
771 plot([tf tf],y1)
772 hold off
773 set(gca,'fontsize',20)
774 print('Resposta torque alt Tcb Tsb estoc linear','−depsc')
775
776 % Grafico Torque de atrito na broca (Tanh)
777 figure
778 plot(ta,mean(transp(Tfb(:,2000:3000))),'k',ta,prctile(transp(Tfb(:,2000:3000)),5),'k−−',ta,prctile(transp(Tfb(:,2000:3000)),95),'k−−','LineWidth',2)
779 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
780 ylabel ('$T fb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
781 ylim([0 1.1*max(max(Tfb(:,1:1000)))])
782 xlim([0 max(ta)])
783 y1=get(gca,'ylim');
784 hold on
785 plot([ti ti],y1)
786 plot([tf tf],y1)
787 hold off
788 set(gca,'fontsize',20)
789 print('Resposta torque alt Tcb Tsb estoc tanh','−depsc')
790
791 %% Graficos para alteracao dos torques de atrito no tempo
792
793 % Mudanca de caracteristicas da rocha
794 Tcb1 = 3; % Torque de atrito dinamico para t < t1
64
795 TcbR = 5; % Torque de atrito dinamico referencia
796 Tsb1 = 6; % Pico de torque de atrito para t < t1
797 TsbR = 8; % Pico de torque de atrito referencia
798 ti = 30; % Tempo inicial para transicao das ...
propriedades de atrito
799 tf = 70; % Tempo final para transicao das ...
propriedades de atrito
800 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
801 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
802 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
803 tb = 0:0.1:90;
804 tb1 = tb;
805 tb2 = tb;
806 tb3 = tb;
807 j=1;
808 Tsb degrau = zeros(length(tb),1);
809 Tcb degrau = zeros(length(tb),1);
810 Tsb linear = zeros(length(tb),1);
811 Tcb linear = zeros(length(tb),1);
812 Tsb tanh = zeros(length(tb),1);
813 Tcb tanh = zeros(length(tb),1);
814
815 for t = tb
816 if t < ti
817 Tsb degrau(j) = Tsb1;
818 Tcb degrau(j) = Tcb1;
819 elseif t ≥ ti
820 Tsb degrau(j) = Tsb2;
821 Tcb degrau(j) = Tcb2;
822 end
823
824 if t < ti
825 Tsb linear(j) = Tsb1;
826 Tcb linear(j) = Tcb1;
827 elseif (ti≤t) && (t≤tf)
828 Tcb linear(j) = Tcb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1);
829 Tsb linear(j) = Tsb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1);
830 elseif t > tf
65
831 Tsb linear(j) = Tsb2;
832 Tcb linear(j) = Tcb2;
833 end
834
835 Tcb tanh(j) = Tcb1 + ...
(Tcb2−Tcb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
836 Tsb tanh(j) = Tsb1 + ...
(Tsb2−Tsb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
837
838 j = j + 1;
839 end
840
841 %Grafico Tsb
842 figure
843 plot(tb1,Tsb degrau,'k',tb2,Tsb linear,'k−−',tb3,Tsb tanh,'k:','LineWidth',2)
844 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
845 ylabel ('$T sb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
846 ylim([0.8*Tsb1 1.1*Tsb2])
847 xlim([0 max(tb)])
848 set(gca,'fontsize',20)
849 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
850 print('Tsb tempo alt Tsb Tcb','−depsc')
851
852 % Grafico Tcb
853 figure
854 plot(tb1,Tcb degrau,'k',tb2,Tcb linear,'k−−',tb3,Tcb tanh,'k:','LineWidth',2)
855 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
856 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
857 ylabel ('$T cb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
858 ylim([0.8*Tcb1 1.1*Tcb2])
859 xlim([0 max(tb)])
860 set(gca,'fontsize',20)
861 print('Tcb tempo alt Tsb Tcb','−depsc')
862
863 % Rotacao Inicial Livre
864 Tcb1 = 0; % Torque de atrito dinamico para t < t1
865 TcbR = 5; % Torque de atrito dinamico referencia
866 Tsb1 = 0; % Pico de torque de atrito para t < t1
867 TsbR = 8; % Pico de torque de atrito referencia
66
868 ti = 30; % Tempo inicial para transicao das ...
propriedades de atrito
869 tf = 70; % Tempo final para transicao das ...
propriedades de atrito
870 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
871 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
872 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
873 tb = 0:0.1:90;
874 j=1;
875 Tsb degrau = zeros(length(tb),1);
876 Tcb degrau = zeros(length(tb),1);
877 Tsb linear = zeros(length(tb),1);
878 Tcb linear = zeros(length(tb),1);
879 Tsb tanh = zeros(length(tb),1);
880 Tcb tanh = zeros(length(tb),1);
881
882 for t = tb
883 if t < ti
884 Tsb degrau(j) = Tsb1;
885 Tcb degrau(j) = Tcb1;
886 elseif t ≥ ti
887 Tsb degrau(j) = Tsb2;
888 Tcb degrau(j) = Tcb2;
889 end
890
891 if t < ti
892 Tsb linear(j) = Tsb1;
893 Tcb linear(j) = Tcb1;
894 elseif (ti≤t) && (t≤tf)
895 Tcb linear(j) = Tcb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1);
896 Tsb linear(j) = Tsb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1);
897 elseif t > tf
898 Tsb linear(j) = Tsb2;
899 Tcb linear(j) = Tcb2;
900 end
901
902 Tcb tanh(j) = Tcb1 + ...
(Tcb2−Tcb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
67
903 Tsb tanh(j) = Tsb1 + ...
(Tsb2−Tsb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
904
905 j = j + 1;
906 end
907
908 % Grafico Tsb
909 figure
910 plot(tb,Tsb degrau,'k',tb,Tsb linear,'k−−',tb,Tsb tanh,'k:','LineWidth',2)
911 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
912 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
913 ylabel ('$T sb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
914 ylim([0.8*Tsb1 1.1*Tsb2])
915 xlim([0 max(tb)])
916 set(gca,'fontsize',20)
917 print('Tsb tempo rot livre','−depsc')
918
919 % Grafico Tcb
920 figure
921 plot(tb,Tcb degrau,'k',tb,Tcb linear,'k−−',tb,Tcb tanh,'k:','LineWidth',2)
922 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
923 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
924 ylabel ('$T cb$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
925 ylim([0.8*Tcb1 1.1*Tcb2])
926 xlim([0 max(tb)])
927 set(gca,'fontsize',20)
928 print('Tcb tempo rot livre','−depsc')
A.2 Representacao dos modelos utilizados
A.2.1 Modelo simples - sem mudanca de rocha
1 function dy=modelo simples(t,y)
2
3 global k Jb c Vrot Gb Dv cb Tsb Tcb
4
5 Teb = c*(Vrot−y(2))+k*(Vrot*t−y(1))−cb*y(2); % Torque Stick
68
6
7 if and(y(2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
8 Tfb=Teb;
9 elseif and(y(2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
10 Tfb=Tsb*sign(Teb);
11 else % Slip
12 Tfb=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(2)));
13 Tfb=Tfb.*sign(y(2));
14 end
15
16 % Discretizacao em espaco de estados
17 dy = zeros(2,1);
18 dy(1)=y(2);
19 dy(2)=(−k*(y(1)−Vrot*t)−c*(y(2)−Vrot)−cb*y(2)−Tfb)/Jb;
20 end
A.2.2 Modelo com multiprocessamento
1 function dy=modelo multiproc(t,y,p)
2
3 Jb=0.0318; % Inercia da coluna
4 c=0.0001; % constante de amortecimento da coluna
5 cb=0.03; % constate do atrito viscoso da broca
6 k=0.073; % rigidez da coluna
7 Dv=10ˆ−6; % Correcao de intervalo do modelo de atrito ...
seco (problemas de convergencia)
8 Gb=0.9; % Constante gama do modelo de atrito seco
9 Vrot = p(1); % Velocidade de rotacao da mesa
10 Tsb = p(2); % Pico de torque de atrito
11 Tcb = p(3); % Torque de atrito dinamico
12
13
14 Teb = c*(Vrot−y(2))+k*(Vrot*t−y(1))−cb*y(2); % Toque Stick
15
16 if and(y(2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
17 Tfb=Teb;
18 elseif and(y(2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
69
Transition
19 Tfb=Tsb*sign(Teb);
20 else % Slip
21 Tfb=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(2)));
22 Tfb=Tfb.*sign(y(2));
23 end
24
25 % Discretizacao em espaco de estados
26 dy = zeros(2,1);
27 dy(1)=y(2);
28 dy(2)=(−k*(y(1)−Vrot*t)−c*(y(2)−Vrot)−cb*y(2)−Tfb)/Jb;
29 end
A.2.3 Modelo com mudanca de rocha tipo degrau
1 function dy=modelo degrau(t,y)
2
3 global k Jb c Vrot Gb Dv cb Tsb1 Tsb2 Tcb1 Tcb2 ti
4
5 Teb = c*(Vrot−y(2))+k*(Vrot*t−y(1))−cb*y(2); % Torque Stick
6
7 % Mudanca degrau
8 if t < ti
9 Tsb = Tsb1;
10 Tcb = Tcb1;
11 elseif t ≥ ti
12 Tsb = Tsb2;
13 Tcb = Tcb2;
14 end
15
16 if and(y(2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
17 Tfb=Teb;
18 elseif and(y(2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
19 Tfb=Tsb*sign(Teb);
20 else % Slip
21 Tfb=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(2)));
22 Tfb=Tfb.*sign(y(2));
70
23 end
24
25 % Discretizacao em espaco de estados
26 dy = zeros(2,1);
27 dy(1)=y(2);
28 dy(2)=(−k*(y(1)−Vrot*t)−c*(y(2)−Vrot)−cb*y(2)−Tfb)/Jb;
29 end
A.2.4 Modelo com mudanca de rocha tipo linear
1 function dy=modelo linear(t,y)
2
3 global k Jb c Vrot Gb Dv cb Tsb1 Tsb2 Tcb1 Tcb2 ti tf
4
5 Teb = c*(Vrot−y(2))+k*(Vrot*t−y(1))−cb*y(2); % Torque Stick
6
7 %Mundanca Linear
8 if t < ti
9 Tsb = Tsb1;
10 Tcb = Tcb1;
11 elseif (ti≤t) && (t≤tf)
12 Tcb = Tcb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1);
13 Tsb = Tsb1 + ((t−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1);
14 elseif t > tf
15 Tsb = Tsb2;
16 Tcb = Tcb2;
17 end
18
19 if and(y(2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
20 Tfb=Teb;
21 elseif and(y(2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
22 Tfb=Tsb*sign(Teb);
23 else % Slip
24 Tfb=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(2)));
25 Tfb=Tfb.*sign(y(2));
26 end
27
71
28 % Discretizacao em espaco de estados
29 dy = zeros(2,1);
30 dy(1)=y(2);
31 dy(2)=(−k*(y(1)−Vrot*t)−c*(y(2)−Vrot)−cb*y(2)−Tfb)/Jb;
32 end
A.2.5 Modelo com mudanca de rocha tipo tangente hi-
perbolica
1 function dy=modelo tanh(t,y)
2
3 global k Jb c Vrot Gb Dv cb Tsb1 Tsb2 Tcb1 Tcb2 ti tf
4
5 Teb = c*(Vrot−y(2))+k*(Vrot*t−y(1))−cb*y(2); % Torque Stick
6
7 % Mudanca Tangente Hiperbolica
8 Tcb = Tcb1 + (Tcb2−Tcb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
9 Tsb = Tsb1 + (Tsb2−Tsb1)*(tanh((((t−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
10
11 if and(y(2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
12 Tfb=Teb;
13 elseif and(y(2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
14 Tfb=Tsb*sign(Teb);
15 else % Slip
16 Tfb=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(2)));
17 Tfb=Tfb.*sign(y(2));
18 end
19
20 % Discretizacao em espaco de estados
21 dy = zeros(2,1);
22 dy(1)=y(2);
23 dy(2)=(−k*(y(1)−Vrot*t)−c*(y(2)−Vrot)−cb*y(2)−Tfb)/Jb;
24 end
72