Aplicatii ale proprietatilor geometriceale parabolei si catenarei

Introducere

Scopul acestei lucrari este de a prezenta cateva proprietati geomet-rice ale parabolei si catenarei, care au numeroase aplicatii ın fizica, as-tronomie, inginerie si arhitectura. Obiectivele noastre sunt:

• sa aratam echivalenta definitiei algebrice (y = ax2 + bx + c) aparabolei cu cea geometrica (prin focar si directoare),

• sa demonstram proprietatea parabolei de a strange raze paralele delumina ın focar,

• sa exemplificam numeroasele aplicatii ale acestei proprietati, careutilizeaza paraboloizi de rotatie pentru a focaliza undele electromag-netice: antene astronomice de observatii, proiectoare de lumina, an-tene parabolice de comunicatii, panouri solare de forma parabolica,

• sa examplificam utilizarea ın aplicatii a proprietatii paraboloiduluihiperbolic si a hiperboloidului cu o panza de a fi suprafete riglate,

• sa demonstram ca cablurile de sustinere ale podurilor suspendate auforma parabolei,

• sa prezentam pe scurt mecanismul functionarii podurilor suspendatesi exemple de astfel de poduri,

• sa introducem notiunea de catenara si sa demonstram ca lanturile,cablurile si firele suspendate ıntre doi stalpi au forma acestei curbe,

• sa motivam audienta sa nu caute aplicatii artificiale ale unor franturidin matematica, dar sa cunoasca bogatia aplicatiilor reale ale mate-maticii (inclusiv ale proprietatilor geometrice ale parabolei, parabo-loizilor si catenarei), ın toate domeniile nazuintei umane, trecand,ın cazul nostru, prin fizica, astronomie, ingineria constructiilor si atelecomunicatiilor, arhitectura, energetica.

1

1 Parabola ca loc geometric de puncte ıntrun plan

Definitie. Parabola se numeste multimea punctelor din plan, echidistante fatade o dreapta fixata l (numita directoarea parabolei) si fata de un punct fixatF (numit focarul parabolei).

Fara a pierde din generalitate, situam parabola ın planul de coordonate Oxy,astfel ıncat focarul F sa fie punctul (0, d), d > 0, iar dreapta directoare l sa fiey = −d. Observam ca originea (0, 0) a planului de coordonate este un punct depe parabola, deoarece distanta sa pana la focar si pana la directoare este aceeasi,egala cu numarul d. Ce alte puncte mai putem gasi? Vrem sa caracterizam algebricpunctele de pe parabola.

Teorema 1. Parabola definita de dreapta directoare y = −d si focarul (0, d) esteexact multimea punctelor din planul Oxy, ale ccaror coordonate satisfac relatiay = ax2, unde a = 1

4d.

Demonstratie. Fie (x, y) un punct de pe parabola. Distanta pana la dreapta direc-toare y = −d este lungimea segmentului perpendicular la dreapta dus din punctul(x, y), adica distanta de la punctul (x, y) la punctul (x,−d). Aceasta distanta este√

(x− x)2 + (y − (−d))2 =√

(y + d)2 = |y + d|. Pe de alta parte, distanta dela (x, y) pana la punctul focar (0, d) este

√(x− 0)2 + (y − d)2 =

√x2 + (y − d)2.

Cele doua distante trebuie sa fie egale, prin urmare:

|y + d| =√x2 + (y − d)2

(y + d)2 = x2 + (y − d)2

y2 + 2yd+ d2 = x2 + y2 − 2yd+ d2

2yd = x2 − 2yd

4yd = x2

y =1

4dx2

Toate aceste relatii sunt echivalente intre ele. Asadar, un punct (x, y) se aflape parabola data de directoarea y = −d si focarul (0, d) daca si numai dacacoordonatele sale satisfac realtia y = ax2, unde a = 1

4d .

Exemplu. Sa observam ca punctele care satisfac ecuatia patratica y = x2 (adicaa = 1) formeaza o parabola cu focarul (0, d) si directoare y = −d, unde 1

4d = 1,adica d = 1

4 . Focarul este (0, 14), iar directoarea este dreapta y = −14 .

2

Exemplu. Sa consideram punctele care satisfac ecuatia patratica generala y =ax2 + bx+ c = a(x2 + 2 b

2ax+ b2

4a2 )−b2

4a + c = a(x+ b2a)

2 + (c− b2

4a). Ele se obtin dinpunctele care satisfac ecuatia y = ax2 prin translatie la dreapta cu − b

2a unitati

si in sus cu c − b2

4a unitati. Prin urmare si ele formeaza o parabola, iar focarul sidirectoarea ei pot fi obtinute din focarul si directoarea lui y = ax2 prin translatiela dreapta cu − b

2a unitati si in sus cu c − b2

4a unitati. Focarul (0, d) = (0, 14a) se

misca in punctul (− b2a ,

14a + (c − b2

4a)) = (− b2a , c + 1−b2

4a ), iar dreapta y = − 14a se

misca in dreapta y = − 14a + (c− b2

4a), adica y = c− 1+b2

4a .

Observatie. Dreapta care trece prin focarul F si este perpendiculara pe dreaptadirectoare l a unei parabole formeaza o axa de simetrie a parabolei: dacaparabola contine un punct P , atunci ea contine si reflectia sa prin axa de simetrie.Aceasta proprietate rezulta din faptul, utilizat si mai sus, ca putem alege coordo-nate in plan astfel incat parabola sa fie data de ecuatia y = ax2, pentru care axade simetrie este axa Oy: un punct (x, ax2), dar si reflectia sa prin axa 0y, punctul(−x, a(−x)2 = ax2), apartin parabolei.

Observatie. Sa consideram parabola y = ax2, pentru care, dupa cum deja stimdistanta focala, adica distanta de la origine pana la focar, este |d| = | 14a |. Saducem prin focar, adica prin punctul (0, 1

4a), dreapta paralela la axa Ox, adicadreapta y = 1

4a . Sa determinam punctele de intersectie ale parabolei cu aceastadreapta: {

y = 14a

y = ax2

De aici obtinem ax2 = 14a , sau x2 = 1

4a2 , sau x = ± 12a . Atunci y = ax2 =

a(± 1

2a

)2= 1

4a . Prin urmare, cele doua puncte de intersectie sunt ( 12a ,

14a) si

(− 12a ,

14a).

Observam ca distanta de la focar (0, 14a) pana la puntele de intersectie (± 1

2a ,14a)

este | 12a | = 2 · | 14a|, de doua ori mai mare decat distanta focala.Dreapta tangenta la parabola in punctul (x, ax2) are panta 2ax. Folosind acest

fapt, panta dreptei tangente la parabola in cele doua puncte simetrice de mai suseste 2ax = ±2a· 12a = ±1, adica cele doua drepte tangente formeaza unghiuri de 45◦

cu axele de coordonate. Aceste doua drepte tangente la parabola se intersecteazaexact pe dreapta directoare y = − 1

4a si formeaza unghi de 90◦ intre ele.

Se poate demonstra ca, in general, doua drepte tangente la parabola se inter-secteaza sub unghi drept daca si numai daca ele se intersecteaza pe drepta direc-toare. Aceasta se numeste proprietatea ortoptica a directoarei unei parabole:

3

punctele de pe dreapta directoare sunt exact punctele din plan, astfel incat dacaprivim parabola din asa puncte, parabola ocupa 90◦ din campul vizual.

2 Proprietatea reflectiva a parabolei

Teorema 2. Fie P un punct pe parabola cu focar F si dreapta directoare l. Ducemprin P dreapta AP paralela la axa de simetrie a parabolei. Atunci dreptele AP siFP formeaza unghiuri egale cu dreapta tangenta la parabola in punctul P .

Demonstratie. Fie B punctul de intersectie al dreptei AP cu dreapta directoarel. Deoarece axa de simetrie a parabolei este perpendiculara pe directoare, iardreapta AP a fost construita paralela cu axa de simetrie, AP este perpendicularape directoare, si atunci distanta de la punctul P la directoarea l este exact lungimeasegmentului PB. Deoarece punctul P este pe parabola, FP = PB.

A

B

C

D

F

P

L

EB

C

Q

F

P

L

Construim segmentul FB si dreapta mediana a acestui segment, adica dreaptaa carei puncte sunt echidistante fata de F si B. Punctul P verifica aceasta propri-etate, prin urmare el se afla pe dreapta mediana a segmentului FB. Un segmentintersecteaza mediana sa sub unghi drept. Fie C punctul de intersectie a seg-mentului FB cu mediana sa, PC. Astfel, PC este inaltimea triunghiului isoscel4FPB. Prin urmare ∠FPC = ∠BPC.

Pe de alta parte, ∠BPC = ∠APD ca unghiuri opuse la varf. Obtinem∠FPC = ∠APD, adica AP si FP formeaza unghiuri egale cu dreapta CP .

Ramane sa demonstram ca dreapta CP este tangenta la parabola. Fie Q unpunct arbitrar pe parabola (dar altul decat P ), cu QE perpendiculara pe direc-toare. Atunci QE = QF . Deoarece, QB > QE, avem QB > QF , adica punctulQ este mai aproape de F decat de B. Asta inseamna ca fata de dreapta medianaCP a segmentului FB, punctul Q se afla de aceeasi parte cu punctul F . DeoareceQ a fost ales arbitrar pe parabola cu singura conditie ca sa fie diferit de punctulP , toata parabola se afla de aceeasi parte a dreptei CP ca si focarul F . Numaipunctul P se afla si pe parabola, si pe dreapta CP . Asta inseamna ca CP estedreapta tangenta la parabola in punctul P .

4

Sa intelegem sensul fizic al acestei teoreme: daca o raza de lumina AP sereflecta de parabola, dupa reflectie raza va trece prin punctul F , focarulparabolei. Intradevar, cand o raza de lumina se reflecta de o curba, ea se reflectade dreapta tangenta la curba in punctul de reflectie, iar unghiul de incidenta esteegal cu unghiul de reflectie. Teorema de mai sus spune ca unghiul de incidenta∠APD este egal cu unghiul dintre FP si dreapta tangenta in P la parabola.Aceasta inseamna ca dupa reflectie, raza AP devine PF .

Acest lucru este adevarat pentru orice punct P de pe parabola, prin urmarelumina care cade pe o parabola se va focaliza in punctul F , focarulparabolei. Si invers, limina emanata de o sursa de lumina situata infocarul parabolei se va reflecta de parabola formand un fascicol de razeparalele de lumina. Acest fapt are numeroase aplicatii in fizica, astronomie siinginerie, dupa cum vom vedea mai jos.

Figura 1: Parabola este locul geometric al punctelor echidistante de focar si directoare

Figura 2: Raze paralele de lumina reflectate de parabola se focalizeaza in focarul parabolei

5

3 Parabola ıntre elipsa si hiperbola

Alaturi de elipsa si hiperbola, parabola este una din cele trei curbe conice nede-generate. O curba in plan se numeste conica nedegenerata daca este multimeapunctelor care satisfac o ecuatie patratica in variabilele x si y. Cuvantul nede-generata indica faptul ca coeficientii termenilor patratici sunt nenuli, iar conica ingeneral inseamna multimea punctelor care satisfac o ecuatie de grad cel mult 2,inclusiv de grad 1 in x si y.

Ecuatia x2

a2 + y2

b2 = 1 defineste o elipsa in plan. Geometric ea se obtine din cerculunitate centrat in origine prin dilatare de a ori in directia axei Ox si de b ori indirectia axei Oy. Vom presupune b > a > 0, adica ca dilatarea in directia Oy estemai mare decat cea in directia Ox. Punctele F1(0,

√b2 − a2) si F2(0,−

√b2 − a2)

situate pe axa Oy se numesc focarele sale. Orice elipsa poate fi obtinuta dinaceasta elipsa particulara prin rotatie si translatie.

O elipsa poate fi caracterizata geometric ca multimea punctelor P din plan, pen-tru care suma distantelor pana la F1 si F2 este constanta, adica PF1+PF2 = const.Acest fapt se demonstreaza in mod analog cu proprietatea similara a parabolei pecare am demonstrat-o mai sus in Teorema 1. In cazul particular al elipsei date deecuatia de mai sus, pentru care F1 este (0,

√b2 − a2), iar F2 este (0,−

√b2 − a2),

constanta este 2b, adica PF1 + PF2 = 2b.Ecuatia x2

a2 −y2

b2 = 1 defineste o hiperbola in plan. Schimband coordonatele(x, y) in coordonatele (u, v) prin substituirea x = u−v√

2, y = u+v√

2, ceea ce geomeric

inseamna a roti curba cu 45◦ de grade in directia acelor de ceasornic, obtinemecuatia famililara a hiperbolei: uv = 2, adica u = 2

v , forma geometrica a careia ocunoastem. Hiperbola originala se obtine din aceasta rotind invers, adica cu 45◦

impotriva acelor de ceasornic, asimptotele careia vor fi dreptele y = x si y = −x.Orice hiperbola poate fi obtinuta din aceasta hiperbola particulara prin rotatie,

translatie sau intindere.Parabola ocupa un loc intermediar intre elipsa si hiperbola, iar acest fapt are

numeroase aplicatii practice. Pentru a intelege acest fenomen vom apela la sectiuniconice. Adica com considera conul infinit cu doua ramuri cu varful in origine dinspatiul 3-dimensional. El poate fi caracterizat prin ecuatia z2 = x2 + y2.

Vom taia conul cu diverse plane. In cazul cand alegem planul sa fie paralelcu o dreapta de pe con, sectiunea obtinuta este o parabola. Dar daca ınclinamacest plan sub un mic unghi, obtinem o elipsa cand ınclinam intro directie sio hiperbola cand ınclinam in cealalta directie. Aceste fapte pot fi demonstratealgebric fara greutati din informatiile deja prezentate mai sus. Pe noi, insa, neintereseaza interpretarea lor geometrica: parabola este un fel de situatie de granita

6

Figura 3: Sectiunile conului cu un plan pot fi: parabole, elipse (inclusiv cercuri), hiperbole

dintre elipsa si hiperbola, dupa cum vedem unitandu-ne la unghiul de ınclinatie aplanului fata de o dreapta de pe con.

Exista si o alta interpretare geometrica a acestui fenomen. Sa ne reamintimca elipsa este multimea punctelor, pentru care suma distantelor pana la douapuncte date F1 si F2, numite focarele elipsei, este constanta. Penru simplitate sapresupunem ca ele se afla pe axa Oy. Daca fixam unul din cele doua focare, F1 si ilindepartam pe celalalt spre infinit de-a lungul axei Oy, F2 →∞, elipsa se ıntindesi la limita devine o parabola. Nu vom insista asupra demonstratiei acestui fapt,pentru ca pe noi ne intereseaza aici intelegerea fenomenului geometric.

In mecanica, conicele caracterizeaza orbitele miscarii unui corp sub influentafortei de gravitatie exercitata de alt corp. De exemplu, in astronomie, sub influentagravitatiei Soarelui un planetoid, adica o planeta, un satelit sau un alt obiectsimilar, se va misca dupa o traiectorie care este fie elipsa, fie hiperbola, fie parabola.Asta rezulta din legea gravitatiei universale si legile lui Newton.

Forma exacta este determinata de viteza obiectului. Daca viteza atinge fixviteza cosmica, traiectoria va fi o parabola, daca depaseste viteza cosmica traiec-toria sa va fi o hiperbola, iar daca nu reuseste sa atinga viteza cosmica traiectoriava fi o elipsa. In ultimul caz obiectul ramane pe o orbita eliptica in jurul Soarelui.In celelalte cazuri se spune ca el scapa gravitatiei solare. Vedem astfel ca parabolaeste un caz ideal. In practica, orbita va fi fie o elipsa, fie o hiperbola, pentruca numai daca viteza obiectului este exact viteza cosmica, traiectora sa va fi oparabola. La cea mai mica variatie, se obtine o hiperbola sa o elipsa. Insa anumecazurile limita, unde traiectoria obiectului se schimba calitativ sunt cele mai in-teresante si importante de studiat. In aceste cazuri (aproape de limita) devinefoarte dificil de prezis comportamentul calitativ al obiectului pe termen lung: de

7

exemplu el se poate invarti indelungat in jurul soarelui si apoi brusc, la o foartemica schimbare a vitezei, poate capata o traiectorie hiperbolica. Stiinta studiazaanume fenomenele greu de prezis ca acesta.

Viteza cosmica poate fi exprimata prin formula

vc =

√2GM

r

unde G este constanta gravitationala universala, M este masa soarelui, iar r estedistanta de la Soare la obiect. In cazul unui obiect care se afla la o distanta deSoare egala cu cea a Pamantului, vc ≈ 42, 1 km/s. In mod similar, putem consideramiscarea unui obiect in jurul Pamantului. Pentru a scapa gravitatiei Pamantului,trebuie sa-i comunicam obiectului o viteza de cel putin vc ≈ 11, 2 km/s.

4 Paraboloidul de rotatie si paraboloidul hiperbolic

Traiectoria miscarii unui corp fizic sub actiunea fortei gravitationale este o parabo-la. De exemplu, daca aruncam o minge in sus, pozitia sa S(t) la timpul t va fi

S(t) = gt2

2 , unde g ≈ 9.8ms2 este o constanta numita acceleratia gravitationala. Dacaaruncam mingea sub un unghi, adica daca ii comunicam si o componenta orizontalav0 (nu doar una verticala) vitezei initiale, atunci (in cazul cand rezistenta aeruluieste neglijabila) inaltimea mingii deasupra punctului de la sol situat la distanta xfata de punctul de plecare va fi S(x) = g

2v20x2.

Aceste proprietati sunt larg studiate la micanica si au numeroase aplicatii, cade exemplu miscarea proiectilelor de artilerie sau a jeturilor de apa. Drumurile siautostrazile sunt adesea proiectate astfel incat profilul lor vertical, cand se trecepeste un deal sau vale, sa fie portiuni de parabola. Asta asigura o miscare cat mailina.

Pentru a antrena astronautii in condii de gravitatie zero sau pentru a efectuadiverse experimente (ingineresti, chimice, biologice, etc) in conditii de gravitatiezero se folosesc avioane in interiorul carora se creaza conditii naturale de gravitatiezero pentru perioade scurte de timp (20-30 de secunde). Pentru aceasta avionulurmeaza o traiectorie parabolica in plan vertical. Aceste avioane repeta acesttip de traiectorie parabolica de zeci de ori la intervale de 2-3 minute, permitandefectuarea cu succes a experimentelor.

In combinatie, insa, cu proprietatile geometrice ale parabolei mentionate insectiunile anterioare, se obtin aplicatii si mai variate, si chiar spectaculose, cumar fi de exemplu oglinzile cu mercur (lichid) folosite in telescoapele astronomice.

8

Figura 4: Jeturile de apa au forma parabolica

Figura 5: Traiectoria (rosu) a cometei Kahoutek prin sistemul solar (1973-1974) a avut forma foarteapropiata de cea a unei parabole. Traiectoria parabolcica este granita dintre zona traiectoriiloreliptice (corpurile raman in orbita in jurul soarelui) si a celor hiperbolice (corpurile scapa gravitatieisolare). Orbita pamantului este indicata cu albastru.

Pentru a intelege principiul lor de functionare trebuie in primul rand sa intelegemgeneralizarea 3-dimensionala a parabolei numita paraboloid de rotatie.

Notiunea de parabola, care este o curba in plan, poate fi generalizata la suprafa-ta in spatiul 3-dimensional. Si anume, putem inlocui ecuatia

y = ax2

9

cu ecuatiaz = c(x2 + y2)

sau cu ecuatiaz = c(y2 − x2)

Prima ecuatie determina in spatiu un parab0loid eliptic, mai exact un parabo-loid circular sau de rotatie: suprafata ce se obtine prin rotatia parabolei injurul axei sale de simetrie. Sectiunea paraboloidului eliptic cu un plan paralelcu planul Oxy este o elipsa, iar in cazul particular al paraboloidului de rotatie(circular), sectiunea este o elipsa particulara, si anume un cerc. Aceasta suprafataare numeroase aplicatii in fizica, astronomie, inginerie.

Figura 6: Paraboloidul de rotatie este suprafata obtinuta prin rotatia unei parabole in jurul axeisale de simetrie

A doua ecuatie determina un paraboloid hiperbolic in spatiu, o suprafata subforma de sa de cal. Sectiunile sale cu plane paralele cu planul Oyz sunt parabolecu ramurile in sus (de exemplu z = cy2), sectiunile sale cu plane paralele cu planulOxz sunt parabole cu ramurile in jos (de exemplu z = −cx2), iar sectiunile salecu plane paralele cu planul Oxy sunt hiperbole (y = const

x rotite cu 45◦), afara desectiunea cu 0xy care este formata din doua drepte perpendiculare y = ±x.

Paraboluidul hiperbolic este o suprafata dublu-riglata: prin fiecare punctal sau trec doua drepte situate integral pe suprafata. Aceasta suprafata are nu-meroase aplicatii in arhitectura, de exemplu la constructia acoperisurilor unorcladiri, deoarece forma sa estetica este usor de construit, fiind e compusa dinsegmente de dreapta.

Vom discuta acum unele din aplicatiile paraboluidului de rotatie, incepand cutelescoapele cu oglinda lichida.

10

Figura 7: Paraboloidul hiperbolic are forma de sa

Figura 8: Paraboloidul hiperbolic este o suprafata dublu-riglata, astfel ca acoperisurile sub formade sa pot fi construite din grinzi drepte

Cand un vas cu lichid este rotit, lichidul ajunge in echilibru dinamic cand ca-pata forma unei farfurii parabolice. Vom demonstra acest lucru. Asupra uneipicaturi de apa de masa m de pe suprafata lichidului actioneaza trei forte: fortagravitationala F = mg actioneaza vertical in jos, forta centrifuga generata de ro-tatia vasului actioneaza orizontal (dinspre axa de rotatie spre exterior) si o fortade respingere din partea picaturilor vecine, normala la suprafata lichidului. Com-ponenta verticala a fortei normale echilibreaza forta de gravitatie, iar componenta

11

Figura 9: Acoperisul arenei sportive (hochei pe gheata si patinaj artistic) Saddledome din Calgary,Canada are forma unui paraboloid hiperbolic

Figura 10: Hiperboloidul cu o panza este alt exemplu de suprafata dublu-riglata: prin price punctal suprafetei trec doua drepte situate integral pe supprafata. Acest tip de constructie poate fifolosit pentru sutinerea unor greutati la inaltimi foarte mari. In imagine este Turnul PortuluiKobe din Japonia, de 90 metri inaltime, avand forma unui hiperboloid cu panza.

orizontala (centripeda) a fortei normale echilibreaza forta centrifuga.Forta centrifuga este mv2

r = mω2r, unde r este distanta de la axa de rotatie lapicatura, v = ωr este viteza de rotatie a picaturii in metri pe secunda, iar ω esteaceeasi viteza in radiani pe secunda (numita viteza unghiulara).

Din desen (Figura 12) se vede ca panta dreptei tangente la suprafata lichiduluiin punctul nostru (adica tangenta unghiului formata de dreapta tangenta cu axaOx) este raportul dintre valoarea fortei centripete (egala cu cea a fortei centrifuge)

12

Figura 11: Un vas continand doua lichide de densitati diferite se roteste in jurul axei verticale desimetrie. Zona de contact dintre lichidul mai dens de dedesupt (straveziu) si mai putin dens dedeasupra (rosu) capata, datorita rotatiei, forma unui paraboloid de rotatie.

Figura 12: Forta de gravitatie (rosu), forta normala la suprafata lichidului (verde), si rezultanta lorforta centripeta (albastru), care echilibreaza forta centrifuga cauzata de rotatia vasului cu lichid

si valoarea fortei de gravitatie: mω2rmg = ω2r

g .Pe de alta parte, fie h(r) inaltimea lichidului masurata in raport cu nivelul in

punctul central (de pe axa de rotatie) ca functie de r raza, adica distanta pana laaxa de rotatie. Panta dreptei tangente la graficul functiei h(r) este derivata sa inacest punct dh

dr . Astfel obtinem ecuatia:

dh

dr=ω2r

g

Integrand aceasta functie de r, si punand conditia h(0) = 0, obtinem:

h(r) =ω2

2gr2

Aceasta arata ca suprafata lichidului capata o forma, sectiunea careia cu un planprin axa de rotatie este o parabola. Adica, suprafata lichidului in rotatie esteun paraboloid circular.

13

In plus, stiind din Sectiunea 1 ca distanta focala f este 4 inmultit cu coeficientullui r2, obtinem

f =2ω2

g

unde g ≈ 9, 81 m/s2. Aceasta formula ne permite ca cream orice distanta focalape care o dorim modificand viteza unghiulara (de rotatie) a vasului cu mercur saugaliu lichid.

Sa recapitulam: forta centrifuga cauzata de rotatia vasului cu lichid il facesa ”urce peretii vasului”. Suprafata lichidului capata forma unui paraboloid derotatie. Pe de alta parte, razele de limina care cad pe paraboloidul de rotatie, con-form Teoremei 2, se vor focaliza in focar. Acest principiu sta la baza sunctionariitelescoapelor cu oglinda lichida.

Figura 13: Antena parabolica de la Erdfunkstelle Raisting din Bavaria, Germania este cea maimare antena de comunicare cu satelitii. Observati focarul paraboloidului de rotatie.

Paraboloizii de rotatie au diverse aplicatii pratice, deoarece aceste suprafete vorcolecta limina sau alte unde electromagnetice in focar. Si invers, radiatia de la osursa de radiatie electromagnetica situata in focar va fi reflectata de pe suprafataparaboloidului de rotatie ca un fascicol de raze paralele, putand fi astfel indreptatain directia dorita.

Pentru a confectiona paraboloizii de rotatie adesea se foloseste acelasi fenomendemonstrat mai sus: suprafata unui lichid in rotatie cu viteza unghiulara corectaleasa va capata forma unui paraboloid de rotatie cu distanta focala dorita. Ininginerie acest procedeu se numeste spin casting (engl. turnare prin rotatie).

14

Figura 14: Fierbator solar cu reflector parabolic. Lumina soarelui este reflectata in focar, incalzindvasul.

Figura 15: Proiector clasic construit de Edison. Lumina de la un bec puternic este reflectata desuprafata parabolica si iese din reflector sub forma unui fascicol de raze aproape paralele. Ea poatefi astfel indreptata in directia dorita.

Aplicatiile au inceput cu primele telescoape performante in secolul 17. Astaziparaboloizii de rotatie, confectionati foarte precis, se folosesc in antenele parabolicepentru transmiterea si primirea comunicatiilor, pentru observatii astronomice, insursele de radiatie in infrarosu, in lasere, etc, oriunde este nevoioe de a focalizaradiatia primita sau de a indrepta un fascicol de radiatie intro directie.

15

Figura 16: Lumini proiectoare in Tokio, Japonia indicand in 2007 unde urma sa fie construit turnulde transmisiune Tokyo Skytree, de 634 metri, cel mai inalt turn din lume (2011). Observati cafascicolele constau din raze de lumina aproape paralele.

Figura 17: Radiotelescopul Observatorului Astronomic Arecibo din Puerto Rico, SUA este cel maimare din lume, avand un diametru de de 305 metri

16

5 Forma cablurilor de sustinere ale podurilor suspendate

Podurile suspendate sunt construite dupa urmatorul principiu. Se construiesc doistalpi verticali de sustinere, tipic de inaltime 100-200 metri din beton armat. Intrecei doi stalpi se suspenda cabluri de sustinere, impletite din fire foarte rezistente deotel. Cablurile pot fi foarte groase, de diametru pana la un metru. De obicei suntdoua cabluri paralele, de o parte si de alta a drumului. De cablurile de sustineresunt prinse zeci de cabluri de suspendare, mai subtiri ca primele (”doar” 10-20cm), dar totusi destul de rezistente. De cablurile de suspendare este prins drumul.

Cablurile de suspendare sunt pozitionate la distante egale unul de urmatorulde-a lungul drumului. Astfel greutatea drumului este transmisa prin cablurilede suspendare catre cablul de sustinere. Asupra punctului de prindere a unuicablu de suspendare Pi de cablul de sustinere actioneaza trei forte: in jos fortagravitationala

−→F data de greutatea portiunii de drum sustinuta in acel punct,

iar de-a lungul cablului de sustinere doua forte de tensiune, una din ele−−−→Ti,i−1

indreaptata catre punctul de prindere precedent Pi−1, alta−−−→Ti,i+1 indreptata catre

punctul de prindere ulterior Pi+1. Cele doua forte de tensiune nu sunt opuse unaalteia, ci sunt orientate sub un mic unghi. Suma tuturor trei forte este zero:−→F +

−−−→Ti,i−1 +

−−−→Ti,i+1 =

−→0 , punctul Pi se afla in echilibru.

Prin acest mecanism forta de greutate ce actioneaza asupra drumului estetransmisa prin cabluri catre stalpii verticali de sustinere. Dupa ce trec pe dea-supra stalpilor de sustinere, cablurile de sustinere sunt ancorate la capetele po-dului. Asupra punctelor de ancorare actioneaza forta de tensiune din cablurilede sustinere. Asupra unui stalp vertical de sustinere actioneaza in jos, adica princompresiune, forta indusa de forta de tensiune din cele doua cabluri de sustinerecare trec peste el.

Podurile suspendate au cateva avantaje importante fata de alte tipuri de poduri,de exemplu:

• De doi stalpi de sustinere de inaltime de circa 200 m se poate suspenda unpod cu o deschidere de circa 1 km. In alte tipuri de poduri stalpii de sustineretrebuie sa fie sau mai apropiati, sau mai inalti. Deoarece exista limita cat deinalti pot fi construiti stalpii, deschiderea (adica distanta dintre doi stalpide sustinere) altor tipuri de poduri este mai mica comparativ cu podurilesuspendate.

Podul cu cea mai mare deschidere din lume este un pod suspendat: PodulAkashi Kaikyo din Japonia uneste orasul Kobe de insula Awaji. Distantadintre cei doi stalpi de sustinere, care au inaltimea 283 metri, este 1991 metri.

17

Drumul cu sase benzi (cate trei in fiecare directie) este suspendat la 65 metrideasupra apei, permitand trecerea libera a numeroase nave sub el. Podula fost construit timp de 10 ani (1988-1998) si are o lungime totala de 3911metri, incluzand si lungimile celor doua portiuni dintre fiecare din cei doistalpi de sustinere construiti in mare si mal.

• Podurile suspendate sunt mai rezistente la cutremure, deoarece ele pot oscila.Alte tipuri de poduri sunt mai rigide, si atunci cutremurile mai usor pot creadaune.

• Podurile suspendate necesita mai putin material de constructie fata de altetipuri de poduri la aceeasi deschidere, iar in timpul constructiei nu necesitaridicarea unor schele care sa le sprijine dedesupt.

Podurile suspendate au doua dezavantaje:

• Vanturile puternice pot mai usor crea daune. De exemplu, primul pod pesteTacoma Narrows din statul Washington, din vestul SUA, cu o deschidere de853 metri si o lungime totala de 1810 metri, construit in 1940, a fost distrusla numai 4 luni de vantul foarte puternic care a provocat un fenomen derezonanta. Podul reconstruit in 1950 in acelasi loc a inclus mecanisme deamortizare a oscilatiilor si sta in picioare si astazi.

• Podurile suspendate oscileaza usor, ceea ce nu pune probleme pentru masinisau pietoni, dar nu e bine pentru trenuri. Din aceasta cauza, aproape toatepodurile suspendate au doar drum obisnuit, in timp ce pentru trenuri seconstruiesc alte tipuri de poduri.

Figura 18: Schema unui pod suspendat

Rolul important al podurilor cu suspensie necesita buna cunoastere a formei pecare o capata cablurile de sustinere. Aceasta problema este surprinzator de simpla(comparativ cu alte probleme care apar in constructia podurilor). Vom arata ca

18

Figura 19: Podul Golden Gate din san Francisco, SUA este un pod suspendat. Cele doua cabluride sustinere au forma de parabola.

Figura 20: Podul Rainbow (Curcubeu) peste raul Niagara care desparte SUA de Canada estesustinut pe un arc din beton armat sub forma de parabola. Spre deosebire de podurile suspendate,unde forta de gravitatie actioneaza prin intinderea cablurilor, la acest pod ea actioneaza princompresia acrului de sustinere. Afara de schimbarea orientarii, calculele fortelor facute in aceastalucrare se aplica identic si acestui tip de poduri.

daca greutatea drumului suspendat este uniform distribuita de-a lun-gul sau, iar greutatea cablurilor de sustinere este neglijabila comparativcu greutatea drumului, atunci cablurile de sustinere ale unui pod sus-pendat au forma parabolei. In practica, cablurile de sustinere sunt foarte

19

grele (mii pana la zeci de mii de tone), dar totusi de multe ori mai usoare decatgreutatea propriu zisa a drumului suspendat. Prin urmare, devierea de la formaparabolei este extrem de mica.

Fie O centrul podului. Fie Ox axa drumului, orientata spre dreapta, si Oy axade simetrie a cablului de sustinere, orientata in sus. Fie a distanta dintre cablurilede suspendare. Fie (xi, yi) coordonatele punctului Pi de prindere a cablului desuspendare i de cablul de sustinere. Astfel, x1 = a

2 , x2 = a2+a, x3 = a

2+2a, . . . , xi =a2 + (i− 1)a.

Primul segment, situat la stanga de punctul P1, este orizontal. Fie T0 forta detensiune in acest segment. Fie α1, α2, . . . , αi−1 unghiurile dintre axa orizontala Oxsi segmentele P1P2, P2P3, . . . , Pi−1Pi, si fie T12, T23, . . . , Ti−1,i fortele de tensiunedin fiecare din aceste segmente. Forta de greutate in fiecare punct este F si esteorientata in jos.

Punctul P1 este in echilibru sub actiunea a trei forte: F orientata in jos, T0orientata orizontal la stanga si T12 orientata spre dreapta-sus sub unghi α1 fatade axa Ox. Prin urmare: {

T12 sinα1 = F

T12 cosα1 = T0

De aici rezulta tg α1 = FT0

. De asemenea FT12

= sinα1.Punctul P2 este in echilibru sub actiunea a trei forte: F orientata in jos, T12

orientata in stanga-jos sub unghi α1 fata de axa Ox si T23 orientata spre dreapta-sus sub unghi α2 fata de axa Ox. Prin urmare:{

T23 sinα2 = F + T12 sinα1

T23 cosα2 = T12 cosα1

De aici rezulta tg α2 = FT12 cosα1

+ tg α1 = sinα1

cosα1+ tg α1 = 2 tg α1 = 2F

T0. De

asemenea FT23

= sinα2 − T12T23

sinα1 = sinα2 − cosα2

cosα1sinα1 = cosα2(tg α2 − tg α1) =

cosα2 tg α1.Punctul P3 este in echilibru sub actiunea a trei forte: F orientata in jos, T23

orientata in stanga-jos sub unghi α2 fata de axa Ox si T34 orientata spre dreapta-sus sub unghi α3 fata de axa Ox. Prin urmare:{

T34 sinα3 = F + T23 sinα2

T34 cosα3 = T23 cosα2

De aici rezulta tg α3 = FT23 cosα2

+ tg α2 = tg α1 + tg α2 = 3 tg α1 = 3FT0

. De

asemenea FT34

= sinα3 − T23T34

sinα2 = sinα3 − cosα3

cosα2sinα2 = cosα3(tg α3 − tg α2) =

cosα3 tg α1.

20

Repetand rationamentul, obtinem tg αi = i tg α1 = iFT0

.Acum putem calcula coordonatele punctelor Pi. Punctul P1 are x1 = a

2 si fiey1 = b. Atunci: {

xi = xi−1 + ayi = yi−1 + a tg αi−1

Prin urmare:{xi = a

2 + (i− 1)a

yi = b+ a(tg α1 + · · ·+ tg αi−1) = b+ aFT0

(1 + 2 + · · ·+ (i− 1)) = b+ aFT0· i(i−1)2

Exprimand din prima ecuatie i in functie de xi si substituind in a doua ecuatieobtinem:

yi = b+aF

T0·

(xia −12)(xia + 1

2)

2

= b+aF

2T0· (x

2i

a2− 1

4)

=F

2aT0x2i + (b− aF

8T0)

Adica toate punctele (xi, yi) verifica ecuatia parabolei:

y =F

2aT0x2 + (b− aF

8T0)

.Forta de tensiune T0 din segmentul central al cablului de sustinere poate fi

exprimata in functie de inaltimea h a punctului Pn unde cablul de sustinere trecepeste stalpul de sustinere. Din h = yn = b+ aF

T0· n(n−1)2 obtinem:

T0 =n(n− 1)aF

2(h− b)

6 Forma cablurilor suspendate sub propria greutate

In natura, sar si in arhitectura si inginerie, exista multe aplicatii ale unei curberenumite, numita catenara, care pot fi privite ca aproximari ale parabolelor. Maiexact, exista o legatura foarte precisa intre cele doua curbe. In timp ce un podsuspendat de un cablu de sustinere ıi va conferi acestui forma unei parabole, uncablu suspendat sub greutatea sa va capata forma unei catenare.

Acest fapt rezulta din echilibrul fortelor. Astfel, o constructie sub forma decatenara va fi stabila. In antichitate si evul mediu, cand formul exacta a catenarei

21

Figura 21: Cel mai simplu exemplu de catenara: catena in limba latina inseamna lant

Figura 22: Parabola y = x2 (albastru) comaprativa si catenara y = 1(cosh(1)−1)

(cosh(x)− 1) (rosu)

nu era cunoscuta, arhitectii si inginerii aveau multe batai de cap pentru a asigurastabilitatea fortelor dintro constructie. Cei mai buni dintre ei, care cunoasteaufenomenul fizic, dar nu aveau formula matematica, obtineau desenul curbei prinsuspendarea unui lant sub greutatea sa si apoi il trasau la o scara mai mare.

Astazi, se pot construi arce (sub forma de catenare inversate) foarte inalte deo stabilitate foarte ridicata. Totodata, cunoasterea formulei permite calculareaimediata a lungimii de cablu necesar, de exemplu pentru retelele de transmisiunea curentului electric sau pentru transportul furnicular (cu telecabina) in munti.

In timpul constructiei podurilor suspendate, cand cele doua cabluri de sustineresunt fixate, fiecare din ele capata forma catenarei. La urmatoarea etapa, cand deele se agata si drumul, forma se schimba si devine parabola. Astfel se poatecunoaste exact ce lungime de cablu e nevoie si cu cat vor trebui stranse cablurileodata ce se prinde si drumul.

22

Figura 23: Fortele ce determina catenara (in tentiune)

Figura 24: Fortele ce determina catenara (in compresiune)

Definitie. Catenara se numeste curba ce reprezinta graficul functiei cosinushiperbolic:

y = cosh(x) =ex + e−x

2

In restul sectiunii vom demonstra proprietatea enuntata la inceput.Asupra unei portiuni foarte mici a cablului suspendat (fie punctul acesta situat

la dreapta axei de simetrie) actioneaza trei forte: doua de tensiune (una indrep-tata spre stanga-jos si alta spre dreapta-sus) si forta de gravitatie. Aceste forteinsumate trebuie sa ne dea zero pentru ca cablul sa se afle in echilibru.

Fie f(x) functia cautata. Lungimea unui segment foarte mic (de lungime ∆x) alcurvei este data de

√1 + f ′(x)2∆x. Prin urmarea forta de gravitatie ce actiioneaza

ascupra acestui segment este ρg√

1 + f ′(x)2∆x, unde ρ este densitatea liniara acablului.

Pe de alta parte fie T tensiunea in cablu. Atunci componenta verticala arezultantei celor doua forte de tensiune care actioneaza asupra segmentului este

23

Figura 25: Arcuri parabolice sau catenare sunt adesea folosite in arhitectura si ingineria construc-tiilor pentru ca asigura echilibrul fortelor si prin urmare constructiile sunt mult mai stabile

Figura 26: Firele dintre stalpii de electricitate au forma catenarei

T (f ′(xi+1)− f ′(xi)), unde xi si xi+1 sunt capetele segmentului nostru de lungime∆x.

Egaland cele doua forte si trecand la limita obtinem o ecuatie diferentiala degradul 2, necunoscuta careia este functia f(x):

f ′′(x) =ρg

T

√1 + f ′(x)2

Este acum elementar sa verificam ca functia

y = f(x) =T

ρgcosh

(ρgTx)

este o solutie a acestei ecuatii, unde ρ, g si T sunt constante.

24

Figura 27: Gateway Arch din St. Louis, Missouri, SUA, 192 metri a fost proiectata sa aiba formacea mai stabila: catenara

Bibliografie

[1] �. S. Petrov, Vis�qie mosty, Kvant (1985), no. 8, p. 22-24

[2] Nathan Wisdom, Reflective property of a parabola, http://jwilson.coe.uga.

edu/EMAT6680Fa08/Wisdom/EMAT6690/Parabolanjw/ reflectiveproperty.htm

[3] Hanging With Galileo, http://whistleralley.com/hanging/hanging.htm

[4] http://hexdome.com/essays/catenary domes/index.php

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Rotating furnace

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Ruled surface

25