AULA 01LIMITES E CONTINUIDADE
PROFESSOR JOÃO ALESSANDRO
JULHO - 2012
Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)
Noção IntuitivaSucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite
x +
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite
x -
Os termos oscilam sem tender a um limite
,.....6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
,...7,7
6,5,
4
5,3,
2
3,1
Definição de Limites
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a.
c a d
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos
Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figura 1:
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
0x xlim f(x) L
x0
Definição de Limite y
L +
L
L -
0 a - a a + x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer (épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R, > 0, tal que:
I x – a I < I ƒ(x) - L I < .
Exemplo - LimitesSeja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
3)12(lim)(lim11
xxfxx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3
1limx
Limites
No caso da função f(x) = é diferente pois
f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe
e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:
1
22
x
xx
Limites
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +
Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)] axlim
axlim
Limites Laterais
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim1
xfx
4)(lim1
xfx
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
yPela esquerda
Pela direita
)(lim1
xfx
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR IR, definida por
1,3
1,1)(
xparax
xparaxxf
4)(lim1
xfx
2)(lim1
xfx
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.
Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite
2
x 2lim(x ) =4
EXERCÍCIO 1
y
x1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existex 1
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x1 5
3
2
EXERCÍCIO 2
Lim f(x) = L = 2x 1
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)x 1
x1
y
5
2
1
EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?
Uma função f é contínua em um número x0 se
)()(lim 00
xfxfxx
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b) c)
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
ba,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
BIBLIOGRAFIA
1) DEMANA, WAITS, FOLEY, KENNEDY. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.2) DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. Moscou: Mir, 1977. 488 p.3) FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.4) LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: HARBRA, 1982. 5) PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. v. 1. Moscou: Mir, 1977. 6) ROGAWSKI, J. Cálculo. v.1. Porta Alegre: Bookman, 2009.7) STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 577 p.8) SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 744 p.9) THOMAS, G. B. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pearson, 2002.