Bellavite Caterina
&
Salvati Federica
Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell’ insieme dato e quelli dell’insieme dei numeri naturali (R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad
ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio.
DOMINIO CODOMINIO
Esempio di Corrispondenza
Univoca
D’ora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è numerico…
Come si definisce una successione, essendo infinita?
N A
…e intendiamo con a[n] un elemento della successione.
1
2
3
4
n
a[0]
a[1]
a[2]
a[n]
La definizione di successione può essere espressa in due modi differenti:
• Fornendo a[0], primo elemento della successione, e la legge che stabilisce il passaggio da un elemento al suo successivo.
• Fornendo la legge che ad ogni numero naturale associa il suo corrispondente
Esempio 1 Esempio 2
ESEMPIO di successione 1
Consideriamo , in quanto è il primo elemento della successione e la legge
si otterrà:
•
•
e così per tutti gli infiniti elementi della successione
3]0[ a
2
1]1[][
nana
22
13
2
1]0[]1[
a
a
2
3
2
12
2
1]1[]2[
a
a
ESEMPIO di successione 2
Consideriamo la legge a[n]=3n
si otterrà:
• a[0]=0
• a[1]=3
• a[2]=6
• e così per tutti gli infiniti elementi della successione
Rappresentazione grafica
Per rappresentare graficamente una
successione si considera un PIANO CARTESIANO e si pongono i valori di N sull’asse delle ascisse e quelli di A sull’asse delle
ordinate. I risultati ottenuti non devono essere uniti in
quanto fra due numeri naturali successivi non ne
è compreso un terzo.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Numeri naturali
A
Come si comporta la successione con N che tende all’infinito?
Grafico 1 Grafico 3
n successione5 3,410 3,215 3,13333333320 3,140 3,05
n successione1 1,510 620 1130 1640 2150 26
A[n] tende all’infinito A[n] tende ad un numero
2
2][
n
nan
nna
23][
Grafico 4Grafico 2
Limite di a[n] è +infinito per n che tende all’infinito
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
In questo caso anche gli elementi della successione tendono all’infinito e quindi il grafico si sposterà sempre, oltre che verso destra, verso l’alto.
2
2][
n
na
Limite di a[n] è -infinito per n che tende all’infinito
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12
n successione0 101 92 63 14 -65 -156 -267 -398 -548 -5410 -90210][ nna
Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 3
2,82,9
33,13,23,33,43,5
1 2 3 4 5 6
In questo caso gli elementi della successione tendono ad un numero (3) e quindi tenderanno a raggiungerlo, (limite).
n
nna
23][
Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 2
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35
21
)sen(][
n
nna
n successione0 21 2,420735492 2,303099143 2,035284 1,84863955 1,840179296 1,96008357 2,082123328 2,109928698 2,1099286910 1,95054354
Ma che cos’è il limite di una successione?
Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive di limite.
+
Limite finito
Limite infinito
-
Attenzione esistono successioni che non ammettono limite
Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è + e si scrive se ][lim nan
0k HnkH /)( Kna ][
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Nell’esempio se si fissa K uguale a 25 H che dipende da K sarà 6, fissando un “tetto” K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di superare un qualsiasi “tetto” K prefissato a patto di prendere H abbastanza
grande.
Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è - e si scrive se ][lim nan
0k HnkH /)( Kna ][
Nell’esempio se si fissa K uguale a 50 H che dipende da K sarà 8, fissando K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di oltrepassare un qualsiasi limite inferiore -K prefissato a patto di prendere H abbastanza
grande. -100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12
Definizioni di limite finitoSi dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è A
(numero finito nell’esempio 2) e si scrive se
Anan ][lim
0 HnH /)( AnaA ][
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35
A=A+
A-
Fissato un piccolo a piacere è possibile trovare un numero H oltre il quale a[n] è sempre compreso tra A- e A+. Se ciò avviene a[n] si avvicina indefinitivamente (quanto vogliamo) ad A a patto di prendere n abbastanza grande.
Successioni che non ammettono limite
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
n successione0 01 0,841470982 0,909297433 0,141120014 -0,75680255 -0,958924276 -0,27941557 0,65698668 0,989358258 0,9893582510 -0,5440211111 -0,9999902112 -0,5365729213 0,4201670414 0,9906073615 0,65028784
)sen(][ nna
La successione oscilla tra -1 e 1 senza avvicinarsi a nessun numero in particolare
Un limite si può...
Calcolare il limite di una successione significa partire dalla legge iniziale e sommare, dividere, moltiplicare o sottrarre i limiti dei singoli elementi fino ad
ottenere il limite complessivo.
Dimostrare il limite di una successione significa fare dei calcoli algebrici a partire dalla definizione per costatare che essa è vera. Questo modo di
procedere non è però conveniente perché per poterlo applicare occorre conoscere il
limite a priori.
caso di limite finito
Calcolarecaso di limite infinito
Dim
ostr
are
ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO
Vogliamo dimostrare che 2
1
12
3lim
n
nn
Si deve di verificare che: 0 HnH /)(
2
1
12
3
2
1
n
n
Si tratta di trovare la funzione che a un generico fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:
2
1
12
3
2
1
n
n, osservato che quest’ultima equivale a
2
1
12
3
n
ne
2
1
12
3
n
n
cioè al sistema
2
1
12
32
1
12
3
n
nn
n
02
1
12
3
02
1
12
3
n
nn
n
0)12(2
241262
0)12(2
241262
n
nnnn
nnn
n
n
427
274
Sempre verificata
4
27 npertanto H()
ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO
Vogliamo dimostrare che 1
lim2
n
nn
Si deve di verificare che: 0k HnkH /)( kn
n
1
2
Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:
H(k) (approssimato all’intero appena maggiore)
kn
n
1
2
01
2
Kn
n0
1
2
n
KKnn02 KKnn
verificata per2
42 KKKn
o
2
42 KKKn
Ininfluente perché n tende a +
Calcolo dei limiti
1 teorema
2 teorema
3 teorema
Esempio di calcolo
I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte
Teorema 1Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti
Lim a[n]=A
Lim b[n]=BLim ( a[n]+b[n] ) = A+B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-) Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-)
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=-(+) indecisione
?
Teorema 2Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue la regola dei segni)
Lim a[n]=A
Lim b[n]=BLim ( a[n]*b[n] ) = A*B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-) o ALim ( a[n]*b[n] ) = +inf
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=-(+)Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=0
indecisione
?
Teorema 3Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti
?
?A0
00 0
0
A
A/B
indecisione
indecisione
0
A B 0
Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n]
FORME DI INDECISIONE
Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una
soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e semplificazioni, si modifica l’argomento del limite in modo da ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per
mezzo dei teoremi.
ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE
ok
?1
1lim
2
n
nn
..1
1lim
2
IFn
nn
11
11
lim1
1
11
lim1
1lim
222
2
n
nn
nn
nn
n
nnnn
11
1.
10
01
11
11
TEOREMA 3 TEOREMA 1
TEOREMA 3TEOREMA 4