Chapter 2
4.1. The Basics of Counting
4.2. The Pigeonhole Principle
The Basics of Counting
sub-bab 2.1
to countfind number of
esp. by assigning successive numerals
repeat numerals in order
(the little oxford dictionary)
Prinsip dasar:
Dua macam cara menghitung (counting)
1. Aturan Perkalian
The Product Rule
2. Aturan Penambahan
The Sum Rule
Aturan PerkalianSebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya).
Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n1 cara,
subproses-2 dapat diselesaikan dalam n2 cara,
……………..
subproses-p dapat diselesaikan dalam np cara,
maka ada
(n1) (n2) …..… (np)
cara untuk menyelesaikan proses tersebut
Contoh: lihat Example 1
Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100.
n1 = 26, n2 = 100,
maka ada 2600 nomor kursi:
A001 A002 … A100
B001 B002 … B100
C001 C002 … C100
… …
Z001 Z002 … Z100
Contoh: lihat Example 7Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX
di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9
NXX : 8 x 10 x 10 XXXX : 10 x 10 x 10 x 10 200, 201, …, 299 0000 …
9999300, 301, …, 399
………900, 901, …, 999
Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089
Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) = 6.400.000.000 nomor telepon
Aturan PenambahanSebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu yang sama.
Jika ada n1 cara-1,
n2 cara-2,
……………..
np cara-p,
maka ada
n1 + n2 + …..… + np
kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut
Contoh: lihat Example 10
Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa.
Jurusan Matematika punya 37 dosen
dan 83 mahasiswa.
n1 = 37, n2 = 83
Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat mewakili jurusan Matematika.
Diagram pohon:
Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian.
Contoh: lihat Example 17
Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ?
Daftar bit-string dengan panjang 4
0000 0100 1000 1100
0001 0101 1001 1101
0010 0110 1010 1110
0011 0111 1011 1111
0
1
1
10
0 0 0
0
111
00 0 001 111 01
Soal 48 halaman 312:
Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “000”
0000 0100 1000 1100
0001 0101 1001 1101
0010 0110 1010 1110
0011 0111 1011 1111
Gambarkan tree-nya.
Prinsip Rumah Merpati
(The Pigeonhole Principle)
sub-bab 4.2
Prinsip rumah merpati (the pigeonhole principle):
Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek
Obyek merpati (pigeons)
Kotak rumah merpati (pigeonholes)
Contoh: examples 1 – 3 halaman 313
1. Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada tanggal yang sama.
367 orang merpati
366 hari rumah merpati
2. Dari 27 kata ada dua kata yang dimulai dengan huruf yang sama.
27 kata merpati
26 huruf rumah merpati
3. Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ?
102 mahasiswa merpati
101 nilai (0..100) rumah merpati
Bentuk umum prinsip rumah merpati
(the Generalized Pigeonhole Principle)
Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek
Contoh :
10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang
N = 10, k = 6
Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang yang kosong, maka distribusinya sbb.:
1 1 2 2 2 2
Bentuk umum prinsip rumah merpati
(the Generalized Pigeonhole Principle)Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek
Bukti (dengan kontradiksi)
Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari N/k -1
maka total obyek tidak lebih dari k ( N/k -1)
k ( N/k – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena N/k < N/k + 1
k ( N/k – 1) < k (N/k) atau total obyek < N
Padahal total obyek = N
Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek (terbukti)
(N/k) (N/k)+1
N/k
12 13 14 15
40/3 = 13 1/3
40/3
Contoh 5 & 6 halaman 315:
5. Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9 orang yang lahir pada bulan yang sama.
6. Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama. Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang.
A : 5 B : 5 C : 5 D : 5 E : 5 25 + 1
Soal 13 halaman 318
Lima angka dipilih dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Maka pasti ada sepasang angka yang jumlahnya 9
Rumah merpati (1+8)
(2+7)
(3+6)
(4+5)
Merpati 5 angka yang dipilih
Jadi 5/4 = 2 (sepasang angka) menghasilkan jumlah 9
1 8 2 7 3 6 4 5
I II III IV
Ambil 5 “merpati” dari 4 “rumah merpati”
PR
4.1. no. 37, 40, 47, 48
4.2. no. 2, 4, 6, 14