CINEMATICA :
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
LIC.: CARLOS E. JOO GARCÍA
MOTIVACIÓN:MOTIVACIÓN:
• Todo el universo es un forma infinita de formasdistintas de movimiento, los que en efecto le dan a éstauna característica única y general.
• Así pues y con razón podemos afirmar que es elmovimiento el modo de existir de la materia, y en unsentido mas general, por movimiento entendemos atodo cambio producido en el universo, desde loscambios mecánicos, térmicos, químicos,electromagnéticos, biológicos, históricos, hasta llegara los de nuestra conciencia y pensamiento.
DEFINICIÓN DE LA CINEMÁTICADEFINICIÓN DE LA CINEMÁTICA
EsEs unauna susu propósitopropósito eses responderesponde::
SinSin tenertener enen cuentacuenta
QueQue consideraconsidera solosolo sese
LosLos aspectosaspectos
deldel
CINEMATICACINEMATICA
RAMA DE LA RAMA DE LA
MECÁNICA MECÁNICA
CLASICACLASICA
ESTUDIAR EL ESTUDIAR EL
MOVIMIENTOMOVIMIENTO
¿CÓMO? ¿CÓMO?
¿CUÁNDO?¿CUÁNDO?
¿DÓNDE?¿DÓNDE?
GEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS TEMPORALESTEMPORALES
MOVIMIENTOMOVIMIENTO
LAS CAUSAS QUE LAS CAUSAS QUE
LO PRODUCENLO PRODUCEN PRODUCEN LOS PRODUCEN LOS
MOVIMIENTOSMOVIMIENTOS
SISTEMA DE REFERENCIA
Para estudiar un fenómeno es necesario saber entre otrascosas ¿dónde ocurre? , ¿cuándo ocurre? Y ¿cuánto dura?.Sólo podemos contestas estas preguntas si elegimospreviamente un lugar y un instante de referencia desde loscuales haríamos nuestra mediciones.
Existen situaciones en las que la elección del sistema dereferencia espacial puede dar lugar a opiniones distintas de unmismo movimiento o fenómeno.
Así mismo si elegimos un instante de tiempo como nuestrareferencia, sabríamos la duración que tienen los fenómenos;hacer esto es elegir un sistema de referencia horario.
Sistema de Referencia
Para describir (Cinemática) el movimiento o causas (Dinámica) del
movimiento de cuerpos es IMPORTANTE tener un Sistema de
Referencia a partir del cual se hace la descripción o se analizan las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Tales sistemas son:
• Línea Recta (m.r.u. / m.r.u.a / caída libre)
• Plano Cartesiano (tiro parabólico / m.c.u. / dinámica)
• Sistema tridimensional
Todo Sistema de Referencia debe contener:
• Origen
• Convención de signos
• Unidades
Sistema de ReferenciaSistema de Referencia
Plano yzPlano yz
xx
yy
zz
y + ( unidades) y + ( unidades) eje verticaleje vertical
(variable dependiente)(variable dependiente)
x + (unidades)x + (unidades)
eje horizontaleje horizontal
(variable independiente)(variable independiente)
00 11 22 33 44
11
22
--11
--22
--33
--11--22--33--44
sistema de coordenadas cartesiano osistema de coordenadas cartesiano o
sistema de coordenadas rectangularessistema de coordenadas rectangulares
l l l l ll l l l l
l l ll l l
l l l l ll l l l l
l l l ll l l l
3 3
ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL
MOVIMIENTO:MOVIMIENTO:
a)a) MóvilMóvil..--eses elel cuerpo,cuerpo, partículapartícula yy enen generalgeneral cualquiercualquier objetoobjeto quequeexperimentaexperimenta elel fenómenofenómeno deldel movimientomovimiento.. LaLa cinemáticacinemática quequeestudiaremosestudiaremos aquíaquí eses dede partículaspartículas..
b)b) VectorVector posiciónposición ((rr))..-- eses elel vectorvector trazadotrazado desdedesde elel origenorigen dedecoordenadascoordenadas hastahasta lala posiciónposición deldel móvilmóvil..
c)c) TrayectoriaTrayectoria..-- eses lala línealínea queque describedescribe elel móvilmóvil durantedurante susumovimientomovimiento..
d)d) DistanciaDistancia recorridarecorrida..--eses lala medidamedida dede lala longitudlongitud dede lala trayectoria,trayectoria,oo espacioespacio recorridorecorrido..
e)e) DesplazamientoDesplazamiento..-- eses unun cantidadcantidad vectorialvectorial queque nosnos indicaindica dede ununmodomodo gráficográfico elel cambiocambio dede posiciónposición queque experimentoexperimento elel móvil,móvil, desdedesdesusu valorvalor inicialinicial hastahasta elel puntopunto finalfinal..
MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEO
SeSe denominadenomina movimientomovimientorectilíneo,rectilíneo, aquélaquél cuyacuyatrayectoriatrayectoria eses unauna línealínea rectarecta..
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirála posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si elmóvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda delorigen.
Posición .- La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo tmediante una función x=f(t).
Desplazamiento.- Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t’.
VELOCIDADVELOCIDAD
LaLa velocidadvelocidad mediamedia entreentre loslos instantesinstantes tt yyt't' estáestá definidadefinida porpor::
LaLa velocidadvelocidad mediamedia entreentre loslos instantesinstantes tt yyt't' estáestá definidadefinida porpor::
ParaPara determinardeterminar lala velocidadvelocidad enen elel instanteinstantett,, debemosdebemos hacerhacer elel intervalointervalo dede tiempotiempo DDtttantan pequeñopequeño comocomo seasea posible,posible, enen elel límitelímitecuandocuando DDtt tiendetiende aa cerocero..
YY eses derivadaderivada dede xx concon respectorespecto deldeltiempotiempo tt::
t
xvv
tt D
D
DD 00limlim
dt
dxv
t
x
tt
xxv
D
D
'
'
Ejercicio.- Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera quesu posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, dondex se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidadpromedio en el intervalo de tiempo entre:
t
xv
D
D
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t m/s
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en elinstante t=2s.
Ejercicio.- Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera quesu posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde xse expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedioen el intervalo de tiempo entre:
t
xv
D
D
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad enel instante t=2s.
En el instante En el instante tt=2 s, =2 s, xx=21 m=21 mtt’ (s)’ (s) xx’ (m)’ (m) ΔΔx=x'x=x'--xx ΔΔt=t't=t'--tt m/sm/s
33 4646 2525 11 2525
2.12.1 23.0523.05 2.052.05 0.10.1 20.520.5
2.012.01 21.200521.2005 0.20050.2005 0.010.01 20.0520.05
2.0012.001 21.02000521.020005 0.0200050.020005 0.0010.001 20.00520.005
2.0002.000
11
21.00200021.002000
0505
0.00200000.0020000
55
0.0000.000
11
20.000520.0005
...... ...... ...... ...... ......
00 2020
·Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la
velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es
una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a
cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t.
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Dtes x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
La velocidad media es :
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
ttt
tttv D
D
DD 510
5.10 2
m/s.10510limlim00
tttvvtt
DDD
APLICACIÓN: Interpretación geométrica APLICACIÓN: Interpretación geométrica
de la derivadade la derivadaElEl siguientesiguiente appletapplet,, nosnos puedepuede ayudarayudar aa entenderentender elelconceptoconcepto dede derivadaderivada yy lala interpretacióninterpretación geométricageométrica dedelala derivadaderivada ((DERIVADADERIVADA))
t
xvv
tt D
D
DD 00limlim
dt
dxv
ACELERACIÓNACELERACIÓN
SupongamosSupongamos queque enen unun instanteinstante tt lala velocidadvelocidaddeldel móvilmóvil eses vv,, yy enen elel instanteinstante t't' lala velocidadvelocidad deldelmóvilmóvil eses v'v'.. SeSe denominadenomina aceleraciónaceleración mediamediaentreentre loslos instantesinstantes tt yy t't' alal cocientecociente entreentre elelcambiocambio dede velocidadvelocidad DDvv=v'=v'--vv yy elel intervalointervalo dedetiempotiempo enen elel queque sese haha tardadotardado enen efectuarefectuardichodicho cambio,cambio, DDtt=t'=t'--tt.. ..
LaLa aceleraciónaceleración enen elel instanteinstante tt eses elel límitelímite dede lalaaceleraciónaceleración mediamedia cuandocuando elel intervalointervalo DDtt tiendetiendeaa cero,cero, queque eses lala definicióndefinición dede lala derivadaderivada dede vv..
PeroPero dichodicho límite,límite, eses lala definicióndefinición dede derivadaderivada dedevv concon respectorespecto deldel tiempotiempo tt::
t
v
tt
vva
D
D
'
'
t
vaa
tt D
D
DD 00limlim
dt
dva
Dada la velocidad del móvil hallar el Dada la velocidad del móvil hallar el
desplazamientodesplazamiento
SiSi conocemosconocemos unun registroregistro dede lala velocidadvelocidadpodemospodemos calcularcalcular elel desplazamientodesplazamiento xx--xx00 deldelmóvilmóvil entreentre loslos instantesinstantes tt00 yy tt,, mediantemediante lalaintegralintegral definidadefinida..
ElEl productoproducto vdtvdt representarepresenta elel
desplazamientodesplazamiento deldel móvilmóvil entreentre loslos
instantesinstantes tt yy t+dtt+dt,, oo enen elel intervalointervalo dtdt.. ElEl
desplazamientodesplazamiento totaltotal eses lala sumasuma dede loslos
infinitosinfinitos desplazamientosdesplazamientos infinitesimalesinfinitesimales
entreentre loslos instantesinstantes tt00 yy tt..
Dada la aceleración del móvil hallar el Dada la aceleración del móvil hallar el
cambio de velocidadcambio de velocidad DelDel mismomismo modo,modo, queque hemoshemos calculadocalculado elel
desplazamientodesplazamiento deldel móvilmóvil entreentre loslos
instantesinstantes tt00 yy tt,, aa partirpartir dede unun registroregistro dede
lala velocidadvelocidad vv enen funciónfunción deldel tiempotiempo tt,,
podemospodemos calcularcalcular elel cambiocambio dede velocidadvelocidad
vv--vv00 queque experimentaexperimenta elel móvilmóvil entreentre
dichosdichos instantes,instantes, aa partirpartir dede unun registroregistro dede
lala aceleraciónaceleración enen funciónfunción deldel tiempotiempo..
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o
el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el
instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Un movimiento rectilíneo uniforme
es aquél cuya velocidad es
constante, por tanto, la aceleración
es cero. La posición x del móvil en
el instante t lo podemos calcular
integrando :
o gráficamente, en la representación de v en
función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como
cero, por lo que las ecuaciones del movimiento
uniforme resultan
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓNMOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
Movimiento en una dimensión: Definiciones generales,
Movimiento con velocidad constante (MRU)
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo, Adalberto
Mestanza
19
MOVIMIENTOMOVIMIENTO RECTILÍNEORECTILÍNEO
Se denomina movimiento rectilíneo a
aquel movimiento cuya trayectoria es
una línea recta.
Las magnitudes más importantes son:
Posición inicial (xi)
Posición final (xf)
Tiempo transcurrido (Dt)
Desplazamiento: Dx
Con estas magnitudes se define
la tasa media de cambio de la
posición: velocidad media
2 1med
x xxv
t t
D D D
Ejercicios• Ejercicio 1. Un cometa que viaja
directamente hacia el Sol, es detectado
por primera vez en xi = 3,00·1012 m
respecto al Sol. Exactamente un año
después se encuentra en xf = 2,10·1012
m. Determine su desplazamiento y
velocidad media.
• Solución
• Ejercicio 2. Un corredor recorre 100 m en
12,0 s; luego da la vuelta y recorre 50,0 m
más en 30,0 s y en dirección al punto en que
inició su movimiento. ¿cuál es la velocidad
media para toda su trayectoria?
• Solución
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,
Adalberto Mestanza20
m
xv
t
D D
28,5km/smv
D if xxx 119,00 10 mxD 50,0m 0
42,0sm
xv
t
D D
1,19m/smv
Distancia recorrida (d)
2,0
8,0
x m i
d m
D
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,
Adalberto Mestanza21
• Es una magnitud escalar que representa la longitud de la trayectoria recorrida por
el móvil.
• En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida coincide con el valor del
desplazamiento sólo si el móvil no cambia de sentido.
0 5,0 10,07,0
Rapidez media (r)• Rapidez media. Se define como la
distancia recorrida (d) por el móvil en
la unidad de tiempo.
• Ejercicio 3. Observa el movimiento del
deportista y determina su velocidad
media y rapidez media si todo el
movimiento se realiza en t = 3,0 s .
• Solución
• Como Dx = 0-(-3,0)m = 3,0 m
• Como d =15,0 m,
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,
Adalberto Mestanza22
dr
t
3,01,0
3,0
m mv
s s
15,05,0
3,0
m mr
s s
Velocidad
media
Rapidez
media
0
-3,0 6,0
Movimiento rectilíneo uniforme• Es aquel movimiento en el que la
velocidad en cualquier instante
permanece constante. Esto es, que se
desplaza en línea recta, en una sola
dirección y recorriendo intervalos
iguales en tiempos iguales.
• Si se toma en cuenta que en este tipo de
movimiento la velocidad es igual a la
velocidad media, obtendremos la
ecuación del MRU.
• Ejercicio 4
• Un vehículo parte de la posición -25,0 m
de cierta esquina. Al cabo de 70,00 s se
encuentra en la posición 245,0 m . ¿Cuál
ha sido su velocidad si se sabe que se
movió con velocidad constante?
• Solución
• x1 = -25,0 m
• x2 = 245,0 m
• t = 70,00 s
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,
Adalberto Mestanza23
0x x v t 245,0 ( 25,0)
70,00
mv
s
3,86m
vs
MOVIMIENTO RECTILÍNEO MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEUNIFORME
El desplazamiento o cambio de posición es:
Dx = xf - xi
Para un desplazamiento particular:Dx = x3 - x2
Los intervalos de tiempo son:Dt = tf - ti
Donde tf > ti . Por tanto, Siempre ocurre que:
Dt > 0
¡¡¡ No existen tiempos negativos !!!
t(s) 0 2 4 6 8
x (m) 0 30 60 90 120
•El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo
A partir de la observación ( y medir posición y tiempo), se registran los datos en unaTabulación
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
.cttet
x
D
D
Los cambios de posición con respecto al tiempo son uniformes
La gráfica de tiempo contra posición es una línea recta
La expresión matemática de una recta es:
y = b + mxDonde: b es la intersección con el eje vertical. m es la pendiente de la recta.La pendiente de la recta se encuentra
mediante:
En nuestro caso, la pendiente es:0
0
xx
yym
.1508
0120
0
0 cttes
m
ss
mm
t
x
tt
xxm
D
D
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
.0
0 cttet
x
tt
xxvm
D
D
En una gráfica de posición contra tiempo (x vs. t), la pendiente de la recta me da la VELOCIDAD.
La ecuación de la recta se encuentra a partir despejar x de la formula para la pendiente
x = x0 + v (t – t0)
También se le conoce como:
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
(uniforme debido a que la velocidad no cambia, siempre es la misma,es una constante)
Donde a la velocidad se le conoce como velocidad media o velocidaduniforme
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
En el desplazamiento:
Dx = xf – x0
Si xf > x0 entonces Dx > 0 (Mov. Derecha)
Si xf < x0 entonces Dx < 0 (Mov. Izquierda)
Si xf = x0 entonces Dx = 0 (Reposo o Regreso)
Ejemplos:mru derecha (correr video)mru izquierda (correr video)
Analizar el movimiento hacia la izquierda¿Qué valor tiene la velocidad? ¿Qué signo tiene?¿Significa lo mismo velocidad y rapidez?
Gráfico posición-tiempo
2,0 5,0fx t
t (m) x(m)
0 2,0
1 7,0
2 12,0
3 17,0
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,
Adalberto Mestanza28
• El gráfico posición-tiempo (x-t) se
obtiene de tabular las posiciones para
instantes definidos. Por ejemplo, si la
velocidad del móvil es 5,0 m/s y parte
de la posición inicial 2,0 m realizando
un mru, la ecuación correspondiente
es:
• La gráfica en los ejes x-t tiene el siguiente
aspecto:
• Del gráfico puedes saber la posición inicial
del móvil, la posición en cada instante y la
velocidad.
x (m)
t (s)
2,0
7,0
12,0
17,0
1,0 2,0 3,0
Gráfico velocidad-tiempo• Como en el MRU la velocidad es
constante, la gráfica velocidad-tiemposerá una recta horizontal, paralela al ejedel tiempo.
• De este tipo de gráfico puedes obtener
directamente el valor de la velocidad, v= +5,0 m/s .
• También puedes obtener el
desplazamiento total del móvil,
calculando el “área” comprendida entre
el gráfico de la velocidad y el eje del
tiempo.
Dx =vDt = (+5,0 m/s) (3,0 s) = +15,0 m
• Nota:
• Si la velocidad hubiera sido negativa, el
área también lo sería y correspondería a
un desplazamiento negativo.
• Observa que los valores obtenidos de
Dx y v coinciden en ambos gráficos al
tratarse de un mismo caso.
5/15/2011 29
v (m/s)
t (s)
5,0
1,0 2,0 3,0
2,0 5,0fx t
Movimiento rectilíneo uniformemente
Variado Un movimiento uniformemente
acelerado es aquél cuya aceleración es
constante. Dada la aceleración
podemos obtener el cambio de
velocidad v-v0 entre los instantes t0 y
t, mediante integración, o
gráficamente.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como
cero, quedando las fórmulas del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y
sustituyéndola en la tercera, relacionamos la
velocidad v con el desplazamiento x-x0
)(2 0
2
0
2 xxavv
5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo
31
Significado geométrico de la
derivada
La derivada de la función en un
punto se interpreta como la
pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto.
CONOCIMIENTOS PREVIOSCONOCIMIENTOS PREVIOS
Calcule las siguientes antiderivadas:
at dt
28 t dt
25 3 2 t t dt
f´( x )
x
1f ´ 2f ´
1f ´ 0
2f ´ 0
SEMANA 2SEMANA 2
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
Defines velocidad instantánea. Aceleración media. Aceleración
instantánea. MRUV. Caída libre.
Velocidad instantánea
dx
vdt
La velocidad instantánea permite calcularla velocidad que posee el móvil en uninstante determinado, por lo que se definecomo el límite de la velocidad media.
Que a su vez, matemáticamente, es laderivada de la posición respecto deltiempo.
Ejercicio. Si la posición del móvil seexpresa en función del tiempo de lasiguiente manera:
Determine la expresión de la velocidadinstantánea.
Ejercicio. A partir del gráfico x-t (a)determine la velocidad media entre t = 0 s yt = 2,0 s. (b) Determine la velocidadinstantánea en el t = 0,75 s. (c) ¿En quéinstante la velocidad es cero?
Solución
(a)
(b)
(c) t = 1,50 s
t 0
xv lim
tD
D
D
235x tismvm ˆ)/25,2(
000,2
050,4
ismv ˆ)/60,0(00,5
00,3
Ejercicio 115 y 118 Pág. 47
Ejercicio. La velocidad de una partícula vienepor:
(a) Hacer una gráfica de v en función del t yhallar el área limitada por la curva en elintervalo de t = 0 s a t = 5,00 s. (b) Hallar lafunción de posición x(t), Utilizarla paracalcular el desplazamiento durante elintervalo de tiempo t = 0 s a t = 5,00 s
Solución
(a)
(b)
(c)
Ejercicio. Considere el grafico de la figura.Suponiendo que x = 0 cuando t = 0, escribalas ecuaciones algebraicas correctas parax(t), v(t) y a (t) con los valores apropiados detodas las constantes.
Solución
Del gráfico v vs t se determina la aceleración
La velocidad y posición
)/00,3()/00,6()( 2 smtsmtv
tsmtsmtx )/00,3()/00,3()( 22
mxxx 0,90)0()5( D
t(s)
v(m/s)
mA 0,90)05(2
)333(
2/0,10010
5050sma
tsmsmtv )/10()/0,50()( 2
22)/5()/50()( tsmtsmtx
Aceleración mediaLa aceleración media es la tasa media de
cambio de la velocidad en un intervalo de
tiempo Dt.
vf– velocidad final
vi – velocidad inicial
Dt – intervalo de tiempo
Se puede calcular su valor mediante la
determinación de la pendiente de la gráfica
velocidad-tiempo del móvil.
D
f i
media
v va
t
Solución
(a)
(b)
Ejercicio 65 Pag. 45Ejercicio. En el instante t = 5 s, un objeto en x
= 3 m se mueve a +5 m/s. Para t = 8 s, se
encuentra en x = 9 m y su velocidad es de -1
m/s. Determinar la aceleración media para
este intervalo :
Solución
Ejercicio. Determine la aceleración media del
móvil cuya gráfica v-t es la que se muestra en
la figura en los siguientes intervalos de
tiempo:
a)
b) 0 t 4 s
0 t 2 s
2/258
)/5()/1(sm
ss
smsmam
2/102
)/0()/2(sm
ss
smsmam
2/202
)/0()/8(sm
ss
smsmam
Aceleración instantáneaLa aceleración instantánea se obtiene
tomando el límite de la aceleración media.
Ejercicio. La velocidad de un cuerpo está
dada por vx(t) = + t2, donde = 3,0 m/s y
= 0,10 m/s3 . Calcule la aceleración
instantánea en t = 6,0 s .
Solución
Gráficamente, la aceleración instantánea es la
pendiente de la tangente en el punto P1.
2 1
0limt
v va
t
dva
dt
D
D
2/2,1)0,6(
20,02
sma
ttdt
dva
x
x
Ejercicios 36Ejercicio. De los gráficos v en función de t
representados en la figura ¿Cuál describe mejor el
movimiento de una partícula con velocidad positiva y
aceleración negativa?.
Solución
Clave e
Ejercicio. En las gráficas mostradas, indique en qué
casos la aceleración es positiva, en qué caso es
negativa y en qué caso es nula.
Solución
a > 0 cuando la recta tangente a la curva se
de pendiente positiva o forme un ángulo
agudo
a < 0 cuando la recta tangente a la curva se
de pendiente negativa o forme un ángulo
obtuso con la horizontal
a = 0 cuando la recta tangente es horizontal
Ejercicio
La figura muestra la velocidad de un auto
solar en función del tiempo. El conductor
acelera desde una señal de alto, viaja 20 s
con una velocidad constante y frena para
detenerse 40 s después de partir del
letrero. a) Calcule la aceleración media
para los siguientes intervalos: de t = 0 s a t
= 10 s, de t = 30 s a t = 40 s, de t = 10 s a t =
30 s y de t = 0 s a t = 40 s. b) calcule la
aceleración instantánea en los instantes t =
20 s y t = 35 s
Solución:
a) A partir de la gráfica se tiene:
2
50/3 01,7
10 0m x
ma
s
0 ;10s s
30 ;40s s
10 ;30s s
t (s) 0 10 30 40
v (km/h) 0 60 60 0
0 ;40s s
60km
v h
1000
1
m
km
1h
50
3600 3
m
s s
2
0 50/31,7
40 30m x
ma
s
2
50/3 50/30
30 10m x
ma
s
2
0 00
40 0m x
ma
s
20x
ma
s
21,7x
ma
s
Movimiento con aceleración constante
0v v at
f iv va
t
En el movimiento con aceleración constante
se cumple que
Integrando la aceleración se obtiene la
expresión de la velocidad.
Integrando la velocidad resultante en el paso
anterior se obtiene la expresión de la posición
instantánea del móvil.
Relación velocidad-aceleración
0
0
0
( )
x t
x
dx v at dt
2
0 0
1
2x x v t at
v > 0 a > 0
v > 0
a < 0
velocidad disminuyerapidez disminuye
velocidad aumentarapidez aumenta
(A)
2º ecuación del mruv (alternativo)
1
-2
D o f ox v t v v t
21
2D ox v t at
El área de la gráfica velocidad-tiempo tiene
significado de desplazamiento. Por eso, si
calculamos el área de la gráfica velocidad-
tiempo del mruv, tendremos el
desplazamiento del móvil.
En nuestro caso, el desplazamiento es igual
a:
Pero, si, reemplazamos la diferencia de
velocidades por el producto de la aceleración
por el tiempo (1º ecuación), tendremos
finalmente:
t (s)
v (m/s)
“área” =desplazamiento
0t
vo
vf
Ecuación velocidad-tiempoEjercicio. Escriba una ecuación de movimiento para cada caso mostrado en la figura.
v > 0
a > 0
v > 0
a < 0
v < 0
a < 0 v < 0
a > 0
(A)
(B)
(C)
(D)
3º ecuación del mruv
f ov v a t
21
2f o ox x v t a t
Se obtiene despejando el tiempo de la
primera ecuación del mruv y reemplazando
lo que resulta en la segunda ecuación del
mruv.
Es una ecuación escalar y se debe tener
cuidado al utilizarla en el cálculo de las
velocidades, por cuanto resultarán dos
valores siempre que exista solución; por lo
que deberá seleccionar el signo de acuerdo
con el movimiento que se describe en el
problema.
Nota:
A partir de estas ecuaciones (y algunas
veces con ayuda de los gráficos) se
resuelven todos los ejercicios del MRUV.
2 2 2 ( )f o f iv v a x x
Ejercicios
Ejercicio
Un avión recorre 280 m en una pista antes
de despegar; parte del reposo, se mueve
con aceleración constante y está en el aire
en 8,00 s . ¿Qué rapidez tiene cuando
despega?
Solución
Ejercicio
La figura es una gráfica de la aceleración de
una locomotora de juguete que se mueve
en el eje x. Dibuje la gráfica de su velocidad
en función del tiempo si vx = 0 cuando t =
0 s.
Solución
vx
vo = 0
x = 0
x = 280 m
x oxo
v vx( t ) x t
2
70,0xm
vs
t (s)
vx (m/s2)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
CINEMATICA:CINEMATICA:
MOVIMIENTO DE CAÍDA DE LOS MOVIMIENTO DE CAÍDA DE LOS
CUERPOSCUERPOS
LIC. CARLOS E. JOO GARCIALIC. CARLOS E. JOO GARCIA
INTRODUCCIÓN
En esta clase se van a estudiar las ecuaciones del
movimiento rectilíneo uniformemente variado (acelerado), y
en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la
aceleración de la gravedad.
Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los
cursos de Física, desde los más elementales, persisten
algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la
posición del móvil con espacio recorrido.
Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas
tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento
rectilíneo, y que para describir un movimiento se
han de seguir los siguientes pasos:
1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje
a lo largo del cual tiene lugar el movimiento
2. El valor y signo de la aceleración
3. El valor y el signo de la velocidad inicial
4. La posición inicial del móvil
5. Escribir las ecuaciones del movimiento
6. A partir de los datos, despejar las incógnitas
DescripciónDescripción
UnUn cuerpocuerpo eses lanzadolanzado desdedesde elel techotecho dede ununedificioedificio dede alturaaltura xx00 concon velocidadvelocidad vv00,,determinardeterminar laslas ecuacionesecuaciones deldel movimiento,movimiento, lalaalturaaltura máximamáxima yy elel tiempotiempo queque tardatarda elel cuerpocuerpoenen alcanzaralcanzar elel origenorigen..
PrimeroPrimero,, establecemosestablecemos elel origenorigen yy lala direccióndireccióndeldel movimiento,movimiento, elel ejeeje XX..
Después,Después, loslos valoresvalores dede lala posiciónposición inicialinicial yyloslos valoresvalores yy signossignos dede lala velocidadvelocidad inicial,inicial, yydede lala aceleración,aceleración, taltal comocomo sese indicaindica enen lalafigurafigura..
ResultandoResultando laslas siguientessiguientes ecuacionesecuaciones deldelmovimientomovimiento..
DescripciónDescripción Cuando alcanza la altura máxima, la
velocidad del móvil es cero. De la ecuación dela velocidad, se obtiene el tiempo quetranscurre desde que se lanza hasta que llegaa dicha posición. El tiempo transcurrido sesustituye en la ecuación de la posición,obteniéndose la máxima altura que alcanza elmóvil medida desde el suelo.
El tiempo que tarda en llegar al suelo, seobtiene a partir de la ecuación de la posición,poniendo x=0, resolviendo una ecuación desegundo grado:
g
vt 0
g
vxx
2
00
2
1
02
1 2
00 gttvx
SIGNOS:
Signo de la aceleración: Si el ejeX apunta hacia arriba la aceleraciónde la gravedad vale a=-g, g=9.8ó 10 m/s2.
Signo de la velocidad inicial: Si eleje X apunta hacia arriba y elcuerpo es inicialmente lanzadohacia arriba el signo de la velocidadinicial es positivo, en caso de serlanzado hacia abajo el signo esnegativo.
Situación del origen: Se acostumbra a poner en el origen,
en el punto en el que es lanzado elmóvil en el instante inicial. Esto notiene que ser siempre así, si uncuerpo es lanzado desde el techo deun edificio podemos situar el origenen el suelo, la posición inicial delmóvil correspondería a la altura deledificio h.
Si situamos el origen en el techo deledificio y lanzamos el móvil desde elsuelo, la posición inicial sería -h.
Actividades (CAIDA LIBRE)
Caída libre
29,81
m
g js
En el caso de la caída libre (caída de
un cuerpo cerca de la superficie
terrestre), se aplican las mismas
ecuaciones del MRUV, considerando
que
g = 9,81 m/s2
Eso significa que TODOS los
cuerpos, cerca de la superficie
terrestre, caen con la misma
aceleración.
Como es un movimiento con
aceleración constante, debe regirse
por las mismas ecuaciones del MRUV.
0v v at
2
0
1x x vt at
2
0v v 9,81t
2
0
1y y vt ( 9,81)t
2
Ejercicios
Ejercicio
Se deja caer un tabique (rapidez inicial
cero) desde la azotea de un edificio. El
tabique choca con el piso 2,50 sdespués. Se puede despreciar la
resistencia del aire, así que el tabique
está en caída libre. a) ¿Qué altura tiene
el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la
velocidad del tabique justo antes de
tocar el suelo? c) dibuje las gráficas ay-t,vy-t y y-t para el movimiento.
Solución
Ejercicio
Un rifle dispara una bala verticalmente
hacia arriba con una velocidad en la
boca del arma de 300 m/s.
despreciando el rozamiento del aire,
¿cuál es la altura máxima alcanzada por
la bola?
Solución
v0=+300 m/s
vf = 0 m/s
2( 9,81)0 0(2,50) (2,50)
2
H
2( )2
y
o oy
ay t y v t t
30,7H m
2 2
i f iv v 2 9,81 ( y y )
2 2
if i
v 300( y y )
2 9,81 2 9,81
f i( y y ) 4587 m
Ejercicios
Ejercicio
Con una rapidez inicial de 15 m/s se lanza
hacia arriba una pelota desde la azotea de
un edificio de 30 m de altura. Determine: a)
la velocidad y posición de la pelota 1,00 s y
4,00 s después de ser lanzada. b) El instante
en que la pelota se encuentra 5,00 m por
debajo de la azotea.
Solución
a)
b)
Ejercicio
Una maceta cae del borde de una azotea y
pasa frente a una ventana. Se puede
despreciar la resistencia del aire. La maceta
tarda 0,420 s en pasar por la ventana, cuya
altura es 1,90 m. Desde qué altura sobre el
marco superior de la ventana cayó la
maceta.
Solución
Datos
y(1,00 s ) 40,1 m j
v (1,00 s ) 5,19 m / s j
y(4,00 s) 11,5 m j
v ( 4,00 s ) 24,2 m / s j
29,81y( t ) 30,0 15t t 25
2
t 3,36 s
h
1,90 m
t1
t2
2 1
2 1
1
2 y (v v ) t
v v 9,81 t
2 y ( 2v 9,81 t ) t
D D
D
D D D
2 2 2
y 1 02a y v v 2( 9,81)( h ) ( 2,46 )
h 0,309 m
D
m/s ,46v1 2
m -1,90y , s 0,420Δt D
EjerciciosUna grúa levanta una carga de ladrillos avelocidad constante de 5,30 m/s , cuando a6,00 m del suelo se desprende un ladrillo dela carga. a) ¿Cuál es la altura máximarespecto al suelo que alcanza el ladrillo? b)¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? c)¿cuál es su velocidad justo antes de tocar elsuelo? d) En un mismo sistemacoordenado dibuje las gráficas y-t para elmovimiento del ladrillo y para la carga.
Altura máxima:
Tiempo en llegar al suelo
Velocidad antes de chocar al suelo
Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la altura que recorre durante su último segundo en el aire.
Solución
Tiempo en llegar al suelo
La altura que recorre en el último segundoes igual a la altura que tiene un segundoantes de llegar al suelo.
0 y
2
máxima
v( t ) v a t : 0,00 5,30 9,81t t 0,540 s
9,81( 0,540 )y( 0,540 ) 6,00 5,30( 0,540 )
2
H 7,43 m
29,81ty( t ) 6,00 5,30t 0,00
2
t 1,77 s
v(1,77 s ) 5,30 9,81(1,77 s ) v (1,77 s ) -12,1 m / s j
29,81ty( t ) 120 0,00
2
t 4,95 s
29,81( 3,95 )y( 3,95 s ) 120
2
y( 3,95 s) 43,5 m
PROBLEMA 1:
El movimiento rectilíneo de una partícula esta definido porsu vector posición según la expresión r = (2+ 4 t -2 t2) i m.Determinar:
a) Su velocidad y aceleración
b) El tiempo transcurrido hasta que la partícula pasa por elorigen y la distancia recorrida:
PROBLEMA 2: Un coche inicia su movimiento con una aceleración de 6
m/s2 que la mantiene durante 4 s, En los siguientes 8 s semueve con velocidad constante y después, aplicando losfrenos, desacelera a razón de 10 m/s2 hasta pararse.Determinar :
a) la velocidad cuando el movimiento es uniforme
b) la distancia total recorrida
c) la gráfica v-t, comprobando que el área encerrada por la curva y el eje del tiempo es numéricamente igual a la distancia recorrida.
PROBLEMA 3: Una partícula se mueve a lo largo de una recta con
aceleración constante a0 =6 m/s2. En el instante inicial t=0su posición y velocidad son x0=1m y v0= 2 m/s. Determinarsu velocidad y posición:
a) gráficamente,
b) por integración
PROBLEMA 4: La velocidad de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo
varía en función del tiempo según la gráfica adjunta. En elinstante inicial la partícula se encuentra a -12 m del origen.Determinar:
a) las gráficas a-t y x-t en el intervalo 0 < t < 16 s
b) los instantes en que la partícula pasa por el origen
PROBLEMA 5:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta deacuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s.. Calcule lavelocidad y su posición en el instante t0=2 s.
PROBLEMA 6:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una
línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2.Determine la velocidad y aceleración en el instante t0=3 s.
13
43
t
tv
PROBLEMA 7: En el instante T=10s una partícula cuya trayectoria es
rectilínea y su aceleración constante, se encuentra a 80mdel origen de coordenadas, moviéndose con una velocidadde -12m/s. si en el instante inicial se encuentra en elorigen, determinar:
La velocidad y aceleración iniciales.
La distancia recorrida hasta el instante inicial t=10s.
Dibujar las gráficas x(t) y v(t).
PRACTICAS DE LABORATORIO VIRTUAL: TRABAJO EN INTERNET:
ESTUDIO PRÁCTICO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME:(MRU-PRACTICA1) (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica.htm#Experiencia)
ESTUDIO PRÁCTICO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO: (MRUV-PRACTICA)
(http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica1.htm#Experiencia)