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5. Les conducteurs electriques
5.1. Introduction
Un conducteur electrique est un milieu dans lequel des charges electriques sont libresde se deplacer. Ces charges sont des electrons ou des ions. Les metaux, les electrolyteset les plasmas (gaz ionises) sont des milieux conducteurs.
5.1.1. Conducteur dans un champ electrique statique
Placons un morceau de metal dans un champ electrique statique. A lāinterieur dumetal, les electrons de conduction, qui sont libres de se deplacer dans tout le volume,sont soumis a une force qui les met en mouvement. Les electrons sont stopppes a leurarrivee sur les parois du metal et sāy accumulent. Leur accumulation cree un champelectrique qui sāadditionne au champ exterieur. Apres cette phase transitoire, on atteintun etat dāequilibre.
A lāequilibre, les electrons qui sont a lāinterieur du conducteur sont immobiles. Celasignifie que le champ electrique auquel ils sont soumis est nul. Le champ electrique est
nul a lāinterieur dāun milieu conducteur a lāequilibre. On deduit immediatement a partirdu theoreme de Gauss que la densite totale de charge est nulle : la densite volumique
de charge est nulle a lāinterieur dāun milieu conducteur. Dans un metal par exemple, ladensite de charge negative due aux electrons compense donc exactement la densite decharges positives due aux noyaux.
Puisquāa lāexterieur du conducteur, le champ electrique nāest pas nul, il y a une dis-continuite du champ electrique a la surface du conducteur. Une partie des charges sāestaccumulee en surface. Le champ cree par cette densite surfacique de charge a lāinterieurdu conducteur y compense exactement le champ electrique exterieur.
Lorsque lāon change le champ electrique exterieur, les charges se deplacent de sorteque le champ electrique reste nul a lāinterieur. Si le changement est lent, les courantselectriques sont des courants surfaciques.
5.1.2. Conducteurs dans un champ electrique variable
Lorsque le champ electrique change, la mise a lāequilibre ne peut pas etre instan-tanee car les charges electriques doivent se mettre en mouvement. Deux phenomenesinterviennent alors : lāinertie des charges est a lāorigine dāun retard de la reponse, lescollisions des porteurs sont a lāorigine de dissipation. Avant dāetudier les conducteursreels, on considerera une situation modele ou ces deux phenomenes sont absents.
31
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32 5. Les conducteurs electriques
Dans cette situation idealisee, on considerera quāil nāy a pas de dissipation et que lareponse est instantanee. On parlera alors de conducteur parfait ou de conducteur ideal.
5.2. Du conducteur parfait aux conducteurs reels
Le conducteur parfait est une idealisation des conducteurs reels. Lāetude des conduc-teurs reels permettra de determiner les domaines de parametres dans lesquels on peutles considerer comme ideaux. Les milieux supraconducteurs ou la dissipation est parfai-tement nulle sont aussi un tres bon exemple de ce que peut etre un conducteur ideal(on notera toutefois que seule la dissipation est absente de ces milieux : les electrons yconservent leur inertie).
5.2.1. Le conducteur parfait
Un conducteur parfait se comporte en regime dynamique de la meme maniere quāunconducteur en regime statique. Pour un conducteur parfait, le champ electrique interieur E intest nul :
E int (r, t) = 0. (5.1)
On deduit de lāequation de Maxwell-Gauss que la densite volumique de charge est nulle :
Ļint (r, t) = Īµ0 div E int = 0. (5.2)
Par consequent, seule la densite surfacique de charge peut etre differente de zero.
Lāequation de Maxwell-Faraday permet de conclure quāa lāinterieur dāun conducteurparfait le champ magnetique ne peut dependre du temps :
ā B
āt = āāā
rot E = 0. (5.3)
Dans un conducteur parfait le champ magnetique est necessairement statique. On no-tera que dans les supraconducteurs, le champ magnetique est nul (effet Meissner : lors-quāun conducteur passe de lāatet normal a lāetat supraconducteur, les lignes de champmagnetiques sont expulsees de sorte que le champ magnetique devient nul a lāinterieurdu supraconducteur).
On deduit alors de lāequation de Maxwell-Ampere que les courants electriques sontnecessairement stationnaires, cāest a dire independants du temps :
j = 1
Āµ0
āārot B ā Īµ0
ā E
āt =
1
Āµ0
āārot B. (5.4)
Les seuls courants qui peuvent dependre du temps sont les courants surfaciques.
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5.3. Modeles de conducteurs reels 33
5.2.2. Reflexion sur un conducteur parfait
Que se passe-t-il lorsquāune onde electromagnetique arrive sur un conducteur parfait ?Cette onde met en mouvement les charges en surface du conducteur. A lāinterieur duconducteur le champ electrique tout comme le champ magnetique restent nuls. Le champelectromagnetique emis par les charges en mouvement a la surface du conducteur com-pense exactement le champ incident a lāinterieur du conducteur : la surface emet uneonde de meme amplitude que le champ incident et en opposition de phase. Si la surfaceest un plan, on deduit par symetrie que le champ emis par ces charges en mouvementvers lāexterieur du conducteur est le symetrique du champ quāil emet vers lāinterieur.On retrouve bien ce que lāon attend dāun miroir, avec en suplement le fait que le champreflechi subit un dephasage de Ļ par rapport au champ incident.
5.3. Modeles de conducteurs reels
Lāetude des milieux nāest pas une theorie āa principesā comme peut lāetre lāelectro-magnetisme dans le vide. Pour lāelectromagnetisme dans le vide, il suffit de prendrecomme postulat les quatre equations de Maxwell, lāexpression de la force de Lorentzet la relation fondamentale de la dynamique. Tout le reste se construit a partir de cesequations et sāen deduit par des raisonnements logiques.
Pour les milieux, on ne dispose pas de systeme dāequations que lāon pourrait considerercomme des postulats. Les theories les plus precises dont on dispose sont extremementcomplexes et font appel a la theorie quantique. Notre but ici est plutot dāetudier desgrandes classes de comportement generiques, en particulier dans des cas limites. Pourcela les materiaux seront decrits dāune part au niveau macroscopique par des āequations
dāetatā (aussi nommees relations constitutives) cāest a dire des coefficients tels que laconductivite electrique, la permittivite, ... On dispose aussi de modeles microscopiquesque lāon qualifie de phenomenologiques car certains aspects ne sont pas deduits despremiers principes mais a joutes āa la mainā de maniere a ce que le comportement obtenumime au mieux le comportement observe dans les materiaux reels. Outre leur aspectpredictif, ces modeles ont le grand interet de nourrir lāintuition physique. Il faut toutefoisrester vigilant et ne pas les prendre forcement au pied de la lettre. On notera aussi quesi certaines justifications parfois donnees pour ces modeles semblent simplistes, il existetres souvent des raisons tres profondes a leur efficacite.
5.3.1. Lāelectron amortiDans le modele propose, on considere que les electrons sont responsables de la conduc-
tion du milieu. Un electron libre de masse me et de charge electrique q = āe obeit alāequation dāevolution suivante :
medv
dt = F L ā Īv. (5.5)
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34 5. Les conducteurs electriques
Le permier terme, F L est la force de Lorentz :
F L = q
E + v Ć B
. (5.6)
Dans la suite, lorsque le champ electrique et le champ magnetique viennent tout deuxdāune meme onde electromagnetique, on negligera en general le terme du au champmagnetique, inferieur a celui du champ electrique dāun facteur v
c qui est tres petit tant
que les vitesses ne sont pas relativistes. Attention, lorsque lāon est en presence dāuneonde electromagnetique et dāun champ magnetique statique, seul le champ magnetiqueprovenant de lāonde peut etre neglige, car lui seul est proportionel au champ electrique.Le champ statique peut conduire a une force comparable a celle du champ electrique delāonde meme si les vitesses ne sont pas relativistes.
Le second terme āĪv est une force de friction visqueuse ajoutee pour des raisonsphenomenologiques. Il rend compte des mecanismes dissipatifs presents dans le milieu.Le coefficient de friction ne peut en general pas etre calcule a partir des premiers principes
(equations de Maxwell, mecanique quantique, ...), on obtient en general sa valeur en lereliant aux parametres macroscopiques du milieu. Dans un plasma, la friction est dueaux collisions des electrons avec les ions et avec les molecules restees neutres. Dans unmetal, il sāagit de lāinteraction entre les electrons et les vibrations mecaniques du reseaucristallin.
Dans un champ electrique statique E 0, lāequation dāevolution de lāelectron a poursolution :
v (t) = v0eā
tĻ +
1 ā eā
tĻ
q
Ī E 0. (5.7)
ou v0 est la vitesse de lāelectron a lāinstant initial t = 0. Le temps caracteristique dāamor-tissement est Ļ
Ļ = me
Ī (5.8)
la vitesse initiale est amortie tandis que la vitesse de lāelectron tend vers une vitesselimite vl :
vl = q
Ī E 0. (5.9)
5.3.2. Conductivite electrique
Lorsque la densite volumique dāelectrons est N e, la densite stationnaire de courant jest
j = qN evl = N ee2
Ī E 0. (5.10)
Cette densite de courant est proportionelle au champ electrique : on retrouve ainsi uncomportement ohmique
j = Ļ0 E 0 (5.11)
correspondant a une conductivite Ļ0 :
Ļ0 = N ee2
Ī . (5.12)
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5.4. Propagation dans les conducteurs 35
Pour un milieu donne, on peut donc reexprimer le coefficient de friction phenomenologiqueĪ a lāaide de constantes fondamentales ou de grandeurs macroscopiques mesurees :
Ī = N ee2
Ļ0
(5.13)
on en deduit aussi le temps caracterisque dāamortissment :
Ļ ā1 = N ee2
Ļ0me(5.14)
Si le champ electrique nāest plus statique mais depend du temps, tant que le tempscaracterique dāevolution du champ electrique est grand devant ce temps dāamortissment,les electrons sont en permanence a leur vitesse limite et le conducteur est ohmique.
De maniere plus generale, on peut analyser la reponse du milieu a un champ electriquesinusoidal. En notation complexe, lāequation du mouvement devient
(āiĻme + Ī) veāiĻt = q E 0eāiĻt (5.15)
soit une vitesse
v = q
Ī ā iĻme
E 0 (5.16)
La densite de courant est alors
j = N ee2
Ī ā iĻme
E 0 = N ee2
Ī
1
1 ā iĻme
Ī
E 0 = Ļ01
1 ā iĻĻ E 0 (5.17)
On en deduit quāen regime sinusoidal la conductivite devient complexe et depend de la
frequenceĻ [Ļ] = Ļ0
1
1 ā iĻĻ . (5.18)
Ce modele propose par le physicien Drude rend tres bien compte de la dependanceen frequence de la conductivite pour de tres nombreux materiaux. On notera toutefoisque si lāon souhaite une description plus precise, il faut aller chercher les valeurs de laconductivite experimentales dans des tables.
5.4. Propagation dans les conducteurs
5.4.1. Les conducteurs ohmiques
Ces conducteurs sont caracterises en volume par lāequation dāetat
Ļ = 0 (5.19)
j = Ļ E (5.20)
avec une conductivite Ļ reelle. Les equations de Maxwell sāecrivent donc :
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36 5. Les conducteurs electriques
div E = 0 (5.21)
div B = 0 (5.22)
āārot E = āā Bāt
(5.23)
āārot B = Āµ0Ļ E + Āµ0Īµ0
ā E
āt (5.24)
De meme quāen lāabsence de charges, on obtient une equation de propagation pour lechamp electrique seul en calculant le double rotationnel du champ electrique
āārot
āārot E
=
āāāgrad div E ā ā E = āā E (5.25)
=
āā
ātĀµ0Ļ E + Āµ0Īµ0
ā E
āt (5.26)
soit
ā E = Āµ0Īµ0ā 2 E
āt2 + Āµ0Ļ
ā E
āt (5.27)
Un terme supplementaire proportionel a la derivee temporelle du champ electriquesāajoute a lāequation de dāAlembert. Cette equation reste toutefois lineaire. Toute so-lution de cette equation peut donc sāecrire comme une superposition de solutions mo-nochromatiques (grace a la transformee de Fourier). En notation complexe, lāamplitudecomplexe E (r, t) dāune solution monochromatique de pulsation Ļ sāecrit
E (r, t) = E (r) eāiĻt
. (5.28)
E (r) verifie lāequation suivante :
ā E = āĀµ0Īµ0Ļ2 E ā iĻĀµ0Ļ E . (5.29)
Si on se restreint a une onde plane se propageant selon lāaxe Oz et polarisee selon Ox E (r) = E (z) ux
cette equation devient
ā 2
āz2E (z) = āĀµ0Īµ0Ļ2E (z) ā iĻĀµ0ĻE (z) . (5.30)
Les solutions de cette equation sāecrivent de maniere semblable a celle des ondesprogressives
E (z) = E 1eikz + E 2eāikz (5.31)
ou la grandeur k verifie lāequation
k2 = Āµ0Īµ0Ļ2 + iĻĀµ0Ļ. (5.32)
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5.4. Propagation dans les conducteurs 37
Ce ānombre dāondeā k nāest pas reel mais a une partie imaginaire non nulle. On parledonc parfois de pseudo vecteur dāonde ou pseudo nombre dāonde.
Plutot que de decrire le cas general, nous allons discuter les deux situations limitescorrespondant aux situations ou lāun des deux termes du second membre est negligeable
devant lāautre. Ces deux situations sont les suivantes :ā Ļ Īµ0Ļ : Il sāagit du cas des mauvais conducteurs electriques aussi appeles milieux
a pertes.ā Ļ Īµ0Ļ : il sāagit des tres bons conducteurs.
Avant de passer a la discussion determinons le champ magnetique. On se sert pour celade lāequation de Maxwell Faraday qui nāest pas modifiee par la presence du conducteur :
āārot E = āā B
āt (5.33)
Soit, si lāon ne considere que la solution E 1eikz
ik uz Ć E 1 = iĻ B (5.34)
Soit
B = k
Ļ uz Ć E 1 (5.35)
Attention k est complexe. Le champ magnetique est donc dephase par rapport au champelectrique.
5.4.2. Propagation dans un mauvais conducteur
Pour les mauvais conducteurs ( Ļ Īµ0Ļ ), le terme supplementaire dans lāequationde propagation peut etre vu comme un terme correctif a la propagation dans le vide. Levecteur dāonde est tres peu different du vecteur dāonde k0 =
ā Āµ0Īµ0Ļ = Ļ
c dans le vide :
k =
Āµ0Īµ0Ļ2 + iĻĀµ0Ļ = Ļā
Āµ0Īµ0
1 + i
Ļ
Īµ0Ļ (5.36)
ā Āµ0Īµ0Ļ
1 + i
Ļ
2Īµ0Ļ
= k0 + i
Ļ
2
Āµ0
Īµ0. (5.37)
Il apparait une longueur caracteristique l p :
l p = 2
Ļ
Īµ0Āµ0
. (5.38)
On peut donc ecrire
k = k0 + i 1
l p. (5.39)
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38 5. Les conducteurs electriques
Les solutions a lāequation de propagation sont donc dans ce cas :
E (z, t) = E 1 exp
i
k0 + i
1
l p
z ā Ļt
(5.40)
+E 2 exp
iāk0 + i
1
l p
z ā Ļt
(5.41)
= eā
zlp ei(k0zāĻt) + E 2e
zlp ei(āk0zāĻt) (5.42)
Soit en revenant a lāamplitude reelle
E (z, t) = E 1eā
zlp cos(k0z ā Ļt + Ļ1) + E 2e
zlp cos(āk0z ā Ļt + Ļ2) (5.43)
Le premier terme correspond a une onde qui se propage vers les z croissants touten sāattenuant tandisque la seconde correspond a une onde qui se propage vers les zdecroissants qui sāattenue elle aussi. Lāamplitude de lāonde decroit de 1/e au bout de ladistance l p. On remarquera que cette distance dāabsorption ne depend pas de la frequence.
Lāenergie perdue par lāonde electromagnetique est transformee en chaleur par effet Joule.
5.4.3. Les bons conducteurs : lāeffet de peau
pour les bons conducteurs ( Īµ0Ļ Ļ ) cāest le second terme qui est dominant :
k2 = iĻĀµ0Ļ (5.44)
dont la solution de partie imaginaire positive est
k = 1 + iā
2
ā ĻĀµ0Ļ = (1 + i)
ĻĀµ0Ļ
2 (5.45)
k sāexprime en fonction dāune longueur caracteristique Ī“
Ī“ =
2
ĻĀµ0Ļ (5.46)
Cette longueur caracteristique est tres petite devant la longueur dāonde dans le vide :
2ĻĪ“
Ī» = k0Ī“ =
ā Āµ0Īµ0Ļ Ā·
2
ĻĀµ0Ļ =
2Īµ0Ļ
Ļ 1 (5.47)
puisque nous avons fait lāhypothese de bon conducteur Īµ0Ļ ĻLa solution de lāequation sāecrit alors :
E (z, t) =
E 1eā
zĪ“ ei(
zĪ“ āĻt) +
E 2e
zĪ“ ei(ā
zĪ“ āĻt) (5.48)
Soit en notation reelle
E (z, t) = E 1eā
zĪ“ cos
z
Ī“ ā Ļt + Ļ1
+ E 2e
zĪ“ cos
āz
Ī“ ā Ļt + Ļ2
(5.49)
La decroissance exponentielle fait penser a ce qui se passe dans le cas du mauvais conduc-teur mais il nāen est rien comme nous allons le voir en etudiant la reflexion dāune ondeelectromagnetique sur un conducteur.
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5.4. Propagation dans les conducteurs 39
5.4.4. La reflexion dāune onde par un conducteur reel
On considere que le demi espace z < 0 est vide tandisquāun conducteur de conductiviteĻ occupe le demi espace z > 0. Pour determiner ce qui se passe lorsquāune onde arrivesur le conducteur, il faut etablir les relations de passage entre les deux milieux.
Avant de traiter les conditions de passage entre milieux de maniere generale, onconsidere ici le cas ou lāonde arrive perpendiculairement a la surface du conducteur. Ilnāy a alors ni charge surfacique, ni courant de surface, de sorte que le champ electriqueet le champ magnetique sont tous deux continus lors de la traversee de lāinterface videconducteur (ne ne justifions pas pour lāinstant ces deux affirmations cela sera fait lorsquenous nous interesseront plus precisement aux relations de passage).
Dans le demi espace z < 0 le champ est la superposition dāune onde progressive etdāune onde regressive
E (r, t) = E inei(k0zāĻ0t)ux + E ref ei(āk0zāĻ0t)ux (5.50)
B (r, t) =
k0
Ļ0E ine
i(k0zāĻ0t)
uy ā E ref ei(āk0zāĻ0t)
uy
(5.51)
En ce qui concerne le conducteur, cāest a dire pour z > 0, comme nous considerons quecelui ci sāetend jusquāa lāinfini, seule la solution qui decroit exponentiellement vers ladroite est acceptable
E (r, t) = E trei(kzāĻ0t)ux (5.52)
B (r, t) = k
Ļ0E inei(kzāĻ0t)uy (5.53)
La continuite du champ electrique et du champ magnetique en z = 0 permet dededuire :
E in + E ref = E tr (5.54)k0
Ļ0(E in ā E ref ) =
k
Ļ0E tr (5.55)
Soit
E ref = k0 ā k
k + k0E in (5.56)
E tr = 2k0
k + k0E in (5.57)
Reprenons le cas du mauvais conducteur
k =
k0 + i 1l p
. (5.58)
Ce qui donne
E ref āi 1
2k0l pE in (5.59)
E tr E in (5.60)
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40 5. Les conducteurs electriques
Il nāy a quasiment pas de reflexion. Le champ se propage dans le conducteur et il estprogressivement absorbe.
Dans le cas du bon conducteur
k = 1 + i
Ī“
(5.61)
E ref = k0Ī“ ā (1 + i)
(1 + i) + k0Ī“ E in = ā
1 ā Ī“k0(1+i)
1 + Ī“k0(1+i)
E in (5.62)
ā
1 ā Ī“k0
(1 + i)
1 ā Ī“k0
(1 + i) + ...
E in ā (1 ā (1 ā i) Ī“k0) E in (5.63)
E tr = 2k01+iĪ“
+ k0E in = (1 ā i) k0Ī“ E in (5.64)
Or
Ī“k0 = 2Īµ0Ļ
Ļ (5.65)
ce qui donne
E ref =
1 ā (1 ā i)
2Īµ0Ļ
Ļ
E in (5.66)
E tr = (1 ā i)
2Īµ0Ļ
Ļ E in (5.67)
Remarques sur lāeffet de peau
Lāepaisseur de peau est inversement proportionelle a la frequence : plus les frequence
sont elevees et moins les ondes penetrent dans les conducteurs. Dans les fils, a partirdāune certaine frequence, la conduction se fait en surface.
5.5. Les plasmas
Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionise. Cāest donc un milieu glo-balement neutre dans lequel on trouve des electrons, des ions et eventuellement desatomes ou des molecules neutres. Comme les ions sont plus de mille fois plus lourds queles electrons, lāamplitue de leurs mouvement et donc le cournat electrique qui leur estassocie est negligeable devant le courant electronique.
Pour les plasma, lāinertie des electrons est un phenomene important. On sāinteressedonc maintenant au cas plus general ou lāinertie compte.soit
j = N ee2
Ī ā imeĻ E (5.68)
On peut distinguer deux regimes : les basses frequences, ou la dissipation est dominanteet les hautes frequences ou les effets dāinertie deviennent dominants. Dans le domaine
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5.5. Les plasmas 41
basse frequence, la prise en compte de lāinertie vient en correction de la dissipation. Celarevient juste a donner une partie imaginaire a la conductivite.
En haute frequence, on rencontre par compte des phenomenes nouveaux. Nous com-mencerons donc a etudier la dynamique dāun plasma libre.
5.5.1. Dynamique dāun plasma libre
Lāequation dāevolution de la vitesse ou, ce qui est equivalent celle de la densite volu-mique de courant est :
Ī j + meā j
āt = N ee2 E. (5.69)
Combinons cette equation avec la relation de conservation de la charge electrique (Nousrappelons que la conservation de la charge est incluse dans les equations de Maxwell).
Cette equation sāecrit :
div j + ā Ļ
āt = 0. (5.70)
Prenons donc la divergence de lāequation dāevolution de la densite de courant j
Īdiv j + meā div j
āt = N ee2div E (5.71)
āĪāĻ
āt ā me
ā 2Ļ
āt2 = N ee2
Ļ
Īµ0(5.72)
soit
ā 2Ļāt2
+ ā Ļāt
+ N ee2
meĪµ0Ļ = 0 (5.73)
On trouve une equation dāevolution locale pour la densite electronique
ā 2Ļ
āt2 +
1
Ļ 0
āĻ
āt + Ļ2
pĻ = 0 (5.74)
Cāest lāequation dāevolution dāun oscillateur harmonique. Le temps Ļ 0 = Īme
est letemps caracteristique dāamortissement de la vitesse.et Ļ p une pulsation appelee pul-sation plasma :
Ļ2 p = N ee2
meĪµ0. (5.75)
En lāabsence de dissipation, un plasma est le siege dāoscillations a cette pulsation. Onremarquera que la densite intervient dans la pulsation plasma : pour les faibles densites,la pulsation plasma est inferieure au temps caracteristique dāamortissement et il nāy apas dāoscillations.
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42 5. Les conducteurs electriques
5.5.2. Propagation dāondes dans un plasma
Comme dans un plasma la densite locale de charges peut etre differente de zero, ladivergence du champ electrique nāest pas necessairement nulle. On distingue deux typesdāondes : les ondes transverses, pour lesquelles la divergence du champ electrique est nul,
ce sont celles que nous considererons dans la suite. Il y a aussi des ondes longitudinales,qui correspondent aux oscillations plasma dans les frequence superieures a la frequenceplasma et aux ondes pseudo-sonores dans le domaine des basses frequences.
Nous nous limitons maintenant aux ondes transverses, cāest a dire les ondes pourlesquelles
div E = 0 (5.76)
sans oublier que la divergence du champ magnetique est elle toujours nulle (Maxwell-flux)
div B = 0 (5.77)
Nous commencerons en nous limitant aux effets inertiels et nous introduirons la dissi-
pation par la suite. Dans cette situation :
meā j
āt = N ee2 E. (5.78)
j = 1
āiĻ
N ee2
me
E = iĻ2 p
Ļ Īµ0 E (5.79)
Si lāon considere des ondes dont lāamplitude complexe est :
E (r, t) = E 0ei( kĀ·rāĻt)u (5.80)
Maxwell-Faraday et Maxwell Ampere deviennent :
i k Ć E = āāiĻ B
(5.81)
i k Ć B = Āµ0 j + Āµ0Īµ0
āiĻ E
=
i Āµ0Īµ0
Ļ2 p
Ļ ā iĻĀµ0Īµ0
E (5.82)
On en deduit lāequation de dispersion suivante
k2 = 1
c2
Ļ2 ā Ļ2 p
(5.83)
La pulsation plasma Ļ p separe deux zones de frequence ou le plasma a des comporte-
ments tres differents.
Domaine des basses frequences : Ļ < Ļ p
Dans ce domaine k2 est negatif. k est donc imaginaire pur :
k = Ā±i1
c
Ļ2 p ā Ļ2 (5.84)
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5.5. Les plasmas 43
Il nāy a aucune propagation dans le plasma. Ce milieu reflechit parfaitement les ondeselectromagnetiques. On citera comme exemple lāionosphere (partie de lāatmosphere situeea quelques centaines de kilometres dāaltitude qui est partiellement ionisee). Celle cireflechit les ondes dont la frequence est inferieure a quelques megahertz.
densite en electrons libres de lāionosphere : 1010
a 1012
electrons/m3
ce qui corresponda des pulsations plasma de 6Ć106 a 6Ć107 rad s-1
Domaine des hautes frequences : Ļ > Ļ p
Dans ce domaine k2 est positif, le nombre dāonde k est donc reel āsi lāon neglige ladissipation). Lāonde se propage dans le plasma sans etre attenuee avec un nombre dāonde :
k = 1
c
Ļ2 ā Ļ2
p. (5.85)
On peut chercher a determiner la vitesse de propagation vĻ
vĻ = Ļk
= c 1 1 ā Ļ2p
Ļ2
. (5.86)
Cette vitesse est superieure a la vitesse de la lumiere dans le vide. Comment cela estil possible sans entrer en conflit avec la relativite ? Pour le savoir, il faut determinera quelle vitesse peut se propager lāenergie ou un signal. En ce qui concerne lāenergie,comme il y a de la matiere la situation est plus delicate que dans le vide. Le plus simpleest de regarder la propagation dāun signal.
Nous allons detailler deux cas : le premier concerne la superposition de deux ondesmonochromatiques planes de pulsation differentes et le second un paquet dāondes.
Propagation dāun battement entre deux ondes On considere la superposition de deuxondes se propageant selon 0z et polarisees selon Ox. La premiere a une pulsation Ļ1 etun nombre dāonde k1 tandisque la seconde a une pulsation Ļ2 et un nombre dāonde k2 .Ces deux ondes ont une meme amplitude E 0
E (r, t) = E 0 cos (k1x ā Ļ1t) ux + E 0 cos (k2x ā Ļ2t) ux (5.87)
= E 0 cos k1 (x ā v1t) ux + E 0 cos k2 (x ā v2t) ux (5.88)
les phase de chacune de ces deux ondes se propagent aux vitesses v1 et v2
v1 = Ļ1
k1, v2 =
Ļ2
k2. (5.89)
Si les deux ondes ont des pulsations proches : (Ļ2 ā Ļ1 = Ī“Ļ Ļ1 ) les deux nombresdāonde seront proches (k2 ā k1 = Ī“k k1 ). Les deux vitesses seront proches
On peut reexprimer le champ electrique de cette onde pour mettre en evidence lesbattements :
E (r, t) = 2E 0 cos
k1 + k2
2 x ā Ļ1 + Ļ2
2 t
cos
k1 ā k2
2 x ā Ļ1 ā Ļ2
2 t
ux (5.90)
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44 5. Les conducteurs electriques
Les oscillations rapides ont une pulsation qui est la moyenne des deux pulsations et unnombre dāonde qui est la moyenne des deux nombres dāonde. Ces oscillations rapides sepropagent a une celerite vr peux differente des celerites v1 et v2
vr =
Ļ1 + Ļ2
k1 + k2 v1 v2. (5.91)
Lāenveloppe a une pulsation egale a la moitie de la difference des deux pulsations et unnombre dāonde egal a la moitie de difference des nombres dāondes. Cette enveloppe sepropage donc avec la celerite vg
vg = Ļ2 ā Ļ1
k2 ā k1=
Ī“Ļ
Ī“k (5.92)
Propagation dāun paquet dāonde Grace a la transformee de Fourier on peut exprimertoute onde comme superposition dāondes monochromatiques de pulsation Ļ et de vecteurdāonde k, ces deux quantites etant reliees par la relation de dispersion propre au milieu
considere. Cette relation permet dāexprimer le vecteur dāonde en fonction de la pulsationou de maniere equivalente la pulsation en fonction du nombre dāonde.
E (z, t) =
dk
2ĻE (k)exp[i (kz ā Ļt)] ux (5.93)
Supposons que les pulsations qui interviennent dans cette onde sont toutes proches dela pulsation Ļ0
E (r, t) = exp [i (k0z ā Ļ0t)]
dk
2ĻE (k0)exp[i ((k ā k0) z ā (Ļ (k) ā Ļ (k0)) t)] ux(5.94)
= exp [i (k0zā
Ļ0t)] dk
2Ļ E (k0)exp i (k
āk0)z
ā Ļ (k) ā Ļ (k0)
(k ā k0) t ux(5.95)
= exp [i (k0z ā Ļ0t)] F (z ā vgt) ux (5.96)
Cāest une onde quasi monochromatique de pulsation Ļ0 modulee par une enveloppe F
F (z) =
dk
2ĻE (k0)exp[i (k ā k0) z] (5.97)
cette enveloppe se propage a la celerite
vg = dĻ
dk =
d
dk (kvĻ) = vĻ + k
dvĻdk
(5.98)
Si lāon developpe la pulsation a lāordre suivant, le terme supplementaire conduit a unetallement du paquet dāonde.Dans notre cas
k = 1
c
Ļ2 ā Ļ2
p. (5.99)
dk = 1
c
1 Ļ2 ā Ļ2
p
ĻdĻ (5.100)
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5.5. Les plasmas 45
vg = dĻ
dk = c
1 ā Ļ2
p
Ļ21. (5.101)
La vitesse de groupe, cāest a dire la vitesse de propagation de lāenergie est plus faible
que la vitesse de la lumiere dans le vide. La causalite est sauvee !
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46 5. Les conducteurs electriques
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