29/09/2018
1
DASAR LOGIKA MATEMATIKAPERTEMUAN 5
HIMPUNAN & DIAGRAM VENN
Prio Handoko, S.Kom., M.T.I.1
OBJECTIVES
Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)
Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan
diagram Venn
2
29/09/2018
2
DEFINISI HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objek
Objek di dalam himpunan disebutelemen, unsur, atau anggota.
Contoh.
Himpunan mahasiswa (HIMA) programstudi Akuntansi.
Sekumpulan hewan bertanduk.
3
George Cantor (1845-1918) seorang matematikawan asal Jerman. Ia adalah orang pertama yang menemukan teori
himpunan.
DEFINISI HIMPUNAN
Set huruf kapital
4
29/09/2018
3
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Penulisan Anggota
Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.
Contoh. Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.
C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = { {} } himpunan K mempunyai anggota himp kosong
5
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Keanggotaan Himpunan
Anggota himpunan ditulis dengan Simbol (elemen)
x A : x merupakan anggota himpunan A.
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
6
29/09/2018
4
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Contoh.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}}.
Maka,
3 A
{a, b, c} R
{} K
7
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
8
29/09/2018
5
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh.
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka jika anggota himpunan A = {1,3, 5} maka A adalah himpunan bagian dari U.
Misalkan U = {Harimau, Singa, Puma, Leopard, Panther}, makajika anggota himpunan B = {Harimau, Leopard}, maka B adalahhimpunan bagian dari U
9
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Notasi Pembentuk Himpunan
Penulisan Anggota himpunan dibatasi oleh oleh kurung kurawal braces { }, setiap anggota dipisahkan dengan koma.
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh.A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5.Jawab:A = { 1, 2, 3, 4}
10
29/09/2018
6
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Atau penulisan dengan notasi :
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau bisa juga ditulis dengan bentuk seperti ini :
A = { x | x P, x < 5 }
Latihan :1. Tuliskan himpunan kelas dasar logika (10 anggota saja)2. Kelompokan dalam beberapa himpunan berdasarkan prodi dari 10 anggota
himpunan yang anda tulis pada soal no.1
11
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Latihan.
1. Tuliskan 10 anggota himpunan mahasiswa kelas dasar logika prodi Akuntansi.
2. Kelompokan dalam beberapa himpunan berdasarkan jenis kelamin dari 10 anggota himpunan yang anda tulis pada soal nomor 1.
12
29/09/2018
7
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Diagram Venn
13
John Venn (4 Ags 1834 - 4 April 1923)
Seorang matematikawan, ahli logika dan filsuf asal
Inggris yang menemukan diagram Venn. Dengan
menggunakan diagram Venn ini, relasi antar himpunan
menjadi lebih mudah dipahami. Ia yang
memperkenalkan diagram Venn, yang dapat digunakan
dalam berbagai bidang seperti: teori set, probabilitas,
logika, statistik, dan ilmu komputer.
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Contoh.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
14
U A B
1
3
4
7
2
5
8
6
29/09/2018
8
RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)
Setiap himpunan dapat berelasi dengan himpunan lainnya untuk menunjukkan adanya hubungan antar himpunan. Suatu himpunan dapat berelasi dengan 1 atau lebih himpunan lainnya. Relasi himpunan terdiri atas:
1. Subset
2. Disjoint
3. Overlapping
15
RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)
A. Subset (Himpunan Bagian)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn:
16
U
A
B
29/09/2018
9
RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)
B. Disjoint (Himpunan Saling Lepas)
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika
keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi: A // B
Diagram Venn:
17
UA
B
RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)
B. Overlapping
Dua himpunan A dan B dikatakan overlapping jika keduanya
memiliki elemen yang sama. Pada bagian elemen yang sama
disebut dengan irisan (intersection)
Notasi irisan:
A B = { x x A dan x B }
Diagram Venn:
18
U A B
29/09/2018
10
RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)
Latihan.
Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn:
1. Menteri dan DPR
2. Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe
3. Atlet dan Mahasiswa
19
KARDINALITAS
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau A
Contoh.
1. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
2. T = {kucing, a,Amir, 10, paku}, maka T = 5
20
29/09/2018
11
HIMPUNAN KOSONG (NULL)
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : atau {}
Contoh. E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}21
HIMPUNAN SAMA
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B
dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah
himpunan bagian dari A.
Notasi : A = B A B dan B A
22
29/09/2018
12
HIMPUNAN SAMA
Contoh.
Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
a. A = A, B = B, dan C = C
b. jika A = B, maka B = A
c. jika A = B dan B = C, maka A = C
23
HIMPUNAN EKIVALEN
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan
hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka
A ~ B sebab A = B = 4.
24
29/09/2018
13
OPERASI HIMPUNAN
1. Irisan (Intersection)
Notasi : A B = { x x A dan x B }
25
OPERASI HIMPUNAN
Contoh.
1) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4,
10}
2) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya:
A // B
3) A= {amir, budi, ani} dan B= {budi, ali, toni} maka A B = {budi}
26
29/09/2018
14
OPERASI HIMPUNAN
2. Gabungan (Union)
Notasi : A B = { x x A atau x B }
27
OPERASI HIMPUNAN
Contoh.
1) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8,
22 }
2) A = A
28
29/09/2018
15
OPERASI HIMPUNAN
3. Komplemen (Complement)
Notasi : A’ = { x x U, x A }
29
OPERASI HIMPUNAN
Contoh.
Misalkan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
1) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A’ = {2, 4, 6, 8}
2) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A’ = { 1, 3, 5, 7 }
30
29/09/2018
16
LATIHAN #1
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya < Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
31
LATIHAN #1
Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi sebagai
berikut:
1) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
2) “semua mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam
negeri atau diimpor dari luar negeri”
3) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum
tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
32
29/09/2018
17
LATIHAN #1
Jawab.
1) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
B C’ D’2) “semua mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam
negeri atau diimpor dari luar negeri”
(E A) (E B) atau E (A B)33
LATIHAN #1
3) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum
tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
A C D
34
29/09/2018
18
LATIHAN #2
1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa ,diantaranya 18 siswa suka IPA , 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya, tentukan:
a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya
b. Gambarkan diagram venn
2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, 15 siswa belajar matematika tentukan:
a. Jumlah siswa yang belajar keduanya,
b. Gambarkan diagram venn
35
TUGAS #1
Perhatikan table berikut.
36
Gambarkan dalam diagram Venn yang menggambarkan:
1. WANITA terhadap BIOLOGI
2. WANITA terhadap BISNIS
3. PRIA terhadap BIOLOGI
4. PRIA terhadap BISNIS
29/09/2018
19
TUGAS #2
Survey dari beberapa pembaca surat kabar di Jakarta:
37
Gambarkan diagram Venn berdasarkan tabel di samping ini:
a. Berapa banyak orang yang membaca kompas dan poskota
b. Berapa banyak orang yang membaca kompas atau sindo
c. Berapa banyak orang yang membaca kompas atau sindo atau poskota
d. Berapa banyak orang yang membaca kompas tapi bukan poskota
DASAR LOGIKA MATEMATIKAPERTEMUAN 5
HIMPUNAN & DIAGRAM VENN
Terima Kasih