BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
Desain soal bertipe Pemodelan Matematika Sederhana
Penulis: Dr.rer.nat. Adi Nur Cahyono, S.Pd., M.Pd
Prof. Dr. Hardi Suyitno, M.Pd
Matematika ada di sekitar kita. Berjalan di dunia dengan mata terbuka maka akan
menemukan matematika di mana-mana (Blum 2006). Dalam kehidupan sehari-
hari, banyak hal/masalah yang menggunakan matematika sebagai alat untuk
menyelesaikannya. Permasalahan-permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari
dapat digunakan untuk mendesain soal untuk pelajaran matematika dengan
beberapa kriteria yang harus terpenuhi. Permasalahan-permasalahan tersebut dapat
diselesaikan dengan mengikuti siklus pemodelan matematika dengan kategori
sederhana.
1. Kriteria soal bertipe pemodelan matematika
Menurut Reit dan Ludwig (2013) soal pemodelan matematika memuat beberapa
kriteria, yaitu: konteks yang otentik (Maaß 2007), nilai numerik yang realistis
(Müller dkk. 2007), karakter pemecahan masalah (Maaß 2007), format naturalistik
untuk pertanyaan, keterbukaan terkait dengan ruang lingkup permasalahan. Untuk
membantu pendesainan soal pemodelan, Maaß (2010) mengidentifikasi lima faktor
yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan soal pemodelan yaitu: ruang
lingkup proses pemodelan, jumlah data yang diberikan, sifat dari hubungan tugas
dengan realitas, situasi kontekstual, dan jenis model yang digunakan.
Proses pemodelan yang dilakukan dalam pembelajaran matematika di sekolah,
khususnya bagaimana siswa menghubungkan antara dunia nyata dan pengetahuan
matematika mereka, memerlukan soal pemodelan matematika yang sederhana. Soal
pemodelan matematika untuk sekolah dapat disusun berdasarkan kriteria dari Reit
dan Ludwig (2013) dengan kategori sederhana yang dapat diidentifikasi
berdasarkan faktor-faktor yang ditawarkan oleh Maaß (2010).
2. Contoh soal bertipe pemodelan matematika sederhana
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
2
Berdasarkan kriteria-kriteria dan memperhatikan faktor-faktor yang telah
dijelaskan pada bagian sebelumnya, di bagian ini disajikan beberapa contoh soal
pemodelan matematika kategori sederhana yang dapat digunakan dalam
pembelajaran matematika di sekolah. Berikut ini adalah beberapa contoh soal
bertipe pemodelan matematika sederhana.
Contoh pertama adalah soal tentang berat badan.
Berat badan. Seorang anak dan ibunya ditimbang secara bersamaan menunjukkan
berat 73 kg. Anak tersebut dan ayahnya ditimbang secara bersamaan menunjukkan
berat 91 kg. Ayah dan ibu dari anak tersebut ditimbang secara bersamaan
menunjukkan berat 122 kg. Berapa berat badan ketiga orang tersebut jika
ditimbang secara bersamaan?
Untuk menyelesaikan soal tersebut dapat diawali dengan melakukan identifikasi
variabel, besaran, dan tujuan untuk didefinisikan secara matematis dan membentuk
persamaan-persamaan, kemudian diselesaikan dan hasilnya diinterpretasikan ke
dalam situasi nyata.
Contoh soal kedua adalah soal tentang pasta gigi (Gambar 4) yang didesain oleh
Reit (2016).
Pasta gigi. Menyikat gigi adalah bagian dari rutinitas sehari-hari kita. Dapatkah
Anda memberikan rumus umum untuk berapa hari kira-kira sebuah pasta gigi
dipakai hingga habis? Berikan alasan secara matematis!
Gambar 4. Pasta gigi dan sikat gigi (Reit, 2016).
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
3
Soal ini merupakan soal terbuka yang mengarahkan pada pencarian formula umum
untuk mengetahui berapa lama pasta gigi akan habis jika dipakai. Untuk
menyelesaikan soal ini diperlukan asumsi tentang ukuran sikat gigi dan tempat
pasta gigi.
Soal tentang pemodelan matematika sederhana juga dapat didesain berdasarkan
objek nyata di lingkungan sekitar seperti yang dilakukan dalam proyek
MathCityMap, yaitu proyek math trail yang didukung oleh pemanfaatan GPS-
enabled mobilephone application (Cahyono, 2018). Dalam proyek ini soal bertipe
pemodelan matematika sederhana yang berkaitan dengan suatu objek di lingkungan
sekitar didesain dan diunggah kedalam sebuah portal (www.mathcitymap.eu)
kemudian soal-soal tersebut dapat diakses dan diketahui lokasinya melalui sebuah
aplikasi yang didukung oleh fitur GPS, yaitu MathCityMap App. Salah satu soal
yang ada pada proyek tersebut adalah soal tentang Polder Semarang Tawang
(Gambar 2.2) yang didesain oleh Cahyono & Ludwig (2017).
Polder Semarang Tawang. Polder Semarang Tawang berfungsi mengatasi
masalah banjir di Kawasan Kota Lama Semarang. Andaikan sekarang kawasan
kota lama sedang dalam keadaan darurat, dan anda diminta untuk menaikkan pintu
air satu meter dari posisi semula. Berapa kali kendali pintu air harus diputar?
Gambar 5. Polder Semarang Tawang (Cahyono & Ludwig, 2017).
Soal ini hanya dapat diselesaikan dengan mendatangi dan mengumpulkan informasi
nyata di lokasi. Informasi tersebut dapat berupa cara kerja alat, ukuran dan
informasi lainnya.
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
4
Tong Miring. Sebuah tong berbentuk silinder dengan diameter 2 meter dan tinggi
5 meter dimiringkan sehingga tepi bagian atasnya sama tinggi dengan garis-tengah
alasnya. Jika tong tersebut akan diisi pasir, Berapa maksimal banyak pasir yang
bisa diisikan kedalam tong dengan posisi tersebut?
Salah satu alternatif penyelesaian soal tersebut adalah dengan menggunakan
aplikasi integral, khususnya menghitung volum benda pejal.
Gelas Kopi Raksasa. Contoh soal keempat adalah soal tentang kopi raksasa
(Gambar 6). Di depan sebuah kedai kopi, seorang mahasiswa sedang berfoto
dengan sebuah gelas kopi raksasa. Kira-kira seberapa tinggi raksasa itu agar gelas
tersebut cocok? Jelaskan solusi Anda!
Gambar 6. Gelas Kopi Raksasa
Dengan memanfaatkan informasi tentang perkiraan tinggi orang di sebelah gelas
kopi raksasa pada gambar 6, maka dapat diperkirakan besar gelas kopi tersebut.
Gunakan perbandingan antara perkiraan ukuran gelas yang dipakai orang normal
untuk mengetahui ketinggian raksasa yang mungkin cocok untuk menggunakan
gelas raksasa tersebut.
Memindahkan papan. Sebuah papan berukuran lebar 3 meter, panjang 9,5 meter,
dan tinggi 3 meter. Papan tersebut akan dipindahkan dari suatu ruangan ke ruangan
yang lain melalui sebuah lorong dengan lebar 5 meter dan tingginya 9 meter dan
terdapat sebuah belokan berbentuk siku-siku yang harus dilewati. Dapatkah papan
itu dipindahkan melewati belokan tersebut? Berikan alasan secara matematis!
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
5
Meyelesaikan soal ini dapat dilakukan membuat sketsa grafik yang berdasarkan
model matematis yang dapat dirumuskan dari situasi nyata. Kemudian grafik
tersebut ditafsirkan untuk menarik kesimpulan. Kegiatan ini dapat dimodifikasi
untuk mengarahkan pada penemuan suatu nilai minimum dari suatu fungsi. Prose
melukis grafik sebagai ekspresi matematika pada pemecahan soal tersebut dapat
dilakukan dengan bantuan software komputer.
Buah Pir. Berapakah volum satu buah pir? (Gambar 7)
Gambar 7 Buah Pir (Sumber: Horticultural Society of London dicetak pada 1822)
Tentu saja, ukuran tiap-tiap buah pir berbeda-beda dan strategi dalam menghitung
volum buah pir tersebut juga bermacam-macam sehingga akan menghasilkan
jawaban tak tunggal. Penyelesaian dapat dilakukan dengan memasukkan buah pir
ke dalam tempat penuh berisi air, kemudian diukur berapa volum air yang keluar
dari tempat tersebut setelah buah tersebut dimasukkan. Alternatif lainnya adalah
dengan menggunakan konsep integral, khususnya volum benda putar.
Sebelum melanjutkan untuk mempelajari materi selanjutnya, coba selesaikan soal-
soal bertipe pemodelan matematika diatas. Gunakan berbagai macam cara
penyelesaiannya. Pada bagian materi berikutnya, akan dibahas alternatif solusi dari
beberapa soal diatas.
BAGIAN DARI MODUL PEMODELAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK PPG DALAM JABATAN Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
6
Daftar Pustaka Blum, W. (2006). Die Bildungsstandards Mathematik, Einführung. In W. Blum, R.
Drüke-Noe, & O. Köller (Eds.), Bildungsstandards Mathematik: konkret, Sekundarstufe 1: Aufgaben- beispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (pp. 14–32). Berlin: Cornelsen Verlag Sciptor GmbH & Co. KG.
Pollak, H. O. (1977). The interaction between mathematics and other school subjects (including integrated courses). In H. Athen & H. Kunle (Eds.), Proceedings of the Third International Congress on Mathematical Education (pp. 255–264). Karlsruhe: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik.
Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. (2007). Introduction. In W. Blum, P.L. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study (pp. 3–32). New York: Springer.
Cahyono, A.N. (2018). Learning mathematics in a mobile app-supported math trail environment. New York: Springer.
Cahyono, A. N. & Ludwig, M (2017). MathCityMap: Motivating students to engage in mathematics through a mobile app-supported math trail program. In Institut für Mathematik der Universität Potsdam (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2017 (pp.155–158). Münster: WTM-Verlag
Greefrath, G & Vorhölter, K. 2016. Teaching and Learning Mathematical Modelling. Switzerland: Springer.
Kaiser, G. (2007). Modelling and modelling competencies in school. In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum & S. Khan (Eds.), Mathematical modelling (ICTMA 12). Education, engineering and economics (pp. 110–119). Chichester: Horwood.
Maaß, K. (2007). Mathematisches Modellieren – Aufgaben fu€r die Sekundarstufe. Berlin: Cornelsen Verlag Scriptor.
Müller, M., Leiß, D., Schukajlow, S., Blum, W., & Messner, R. (2007). Auswendiggelernt – Abgehackt – Abgefragt? In Beiträge zum Mathematikunterricht (pp. 723–726). Hildesheim: Franzbecker.
Reit, X.-R & Ludwig, M. (2013) An Approach to Theory Based Modelling Tasks. In G.A. Stillman et al. (eds.), Mathematical Modelling in Education Research and Practice, International Perspectives on the Teaching and Learningof Mathematical Modelling (pp. 81-91).
Reit, X.-R. (2016). Denkstrukturen in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben. Eine kognitionspsychologische Analyse schwierigkeitsgenerierender Aspekte. Heidelberg: Springer.
Schupp, H. (1988). Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I zwischen Tradition und neuen Impulsen. Der Mathematikunterricht, 34(6), 5–16.