Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
MADDESEL NOKTALARIN DNAM
MHENDSLK MEKANBehcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DNAMK
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
NDEKLER1. GR
- Konum, Hz ve vme - Newton Kanunlar
2. MADDESEL NOKTALARIN KNEMAT
- Dorusal Hareket - Dzlemde Erisel Hareket - Bal Hareket (telenen Eksenlerde) - Birbirine Bal Maddesel Noktalarn Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KNET
- Kuvvet, Ktle ve vme - ve Enerji - mpuls ve Momentum
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DNAMDNAMK
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
KNETK
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DNAMDNAMK
3
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
ve Enerji
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN KNETDNAMK
3.2
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAHAN
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 1
F
AA'
r r + d r
d r
Yrnge
O
A A's s + dsr r + d r
dss
F
A
d r
t
n
ds
| d r | = ds
Fn
FtFt = F cos
dU = F d r Elemanter i
dU = F ds cos = F (ds cos)dU = (F cos) ds = Ft ds
dU = Ft ds
U1-2 = Ft dss1s2 F kuvvetinins1 konumundan
s2 konumunakadar yapt i
skaler arpm
}
Ft
s
U1-2
s1 s2
Ft = f(s)Ft - s grafiininaltnda kalan alan
d rFt
U1-2 > 0
ds cos
Maddesel noktannbu yrngeyi izlemesini salayanbaka kuvvetler de var.
, skaler bir byklktr ve birimi Joule'dr. 1 J = 1 Nm
1
2
s1v1
s2v2 d rFt
U1-2 < 0
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAHANMaddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 2
dU = Ft dsFt
ss1 s2
Ft = sb.
Kuvvetin teetsel bileeninin iddeti sabit ise:
U1-2 dU = Ft ds
U1-2 = Ft s
F Fn
Ft
s1
s2s1
2
Ft = sb. iken geerlidir.s
dU = F cos ds
Kuvvet sabit ise:
F FnFt
s1 s2s
Yrnge
Yrnge
F FnFt
s1 s2
1 2
1 2
U1-2 = F cos ds
s cos
Dorusal hareketteF sabit ise sabittir,Ft de sabittir.
dU = F cos ds
U1-2 = F cos s
U1-2 = Ft s
U1-2 = F (s cos) cos ds
F sabit fakat ve Ft deiken
s1s2
s1s2
s1 konumu ile s2 konumuarasndaki
kuvvete paralel uzaklk
dU = F cos ds
s1 konumu ile s2 konumuarasndaki
kuvvete paralel uzaklk
ds
cos ds
Kuvvetin yn de iddeti de deimiyor.
Sabit bir kuvvetin yapt i yrngenin nasl bir eri olduuna bal deildir.ki konum arasndaki kuvvete paralel olarak llen uzakla baldr.
}
Yrng
e
T 0Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAHAN
Kinetik enerjiKinetik enerjiMaddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 3
T = m v221
Yer ekimi potansiyel enerjisiYer ekimi potansiyel enerjisi
Vg = m g hh
h = 0
h > 0
keyfi olarak seilen bir seviye
h daima yukar doru pozitiftir.
Vg = 0deyVg = m g h
Yer ekimi kuvvetine kar yaplan ie"yer ekimi potansiyel enerjisi" denir.
Arlk kuvveti, yn de iddeti de deimeyen sabit bir kuvvettir.Arln yapt i 1 konumundan 2 konumuna kadar hangi yrnge zerinden gidildiine bal deildir.Yapt i yrngeden bamsz olan byle kuvvetlere korunumlu kuvvetler denir.Arln yapt i, arlk kuvveti ile, 1 konumu ile 2 konumu arasndaki dey uzakln arpmna eittir.Aadan yukarya kan bir cisme arln yapt i negatif itir.Arln yapt i yer ekimi potansiyel enerjisindeki deiimin negatifine eittir.
Yrnge
h < 0
(Vg2 Vg1)
Vg2 = m g h2
Vg1 = m g h11
2
W
W
W
dey
Durmakta olan bir cismi v hzna ulatrmak iingerekli olan enerjiye kinetik enerji denir.
Yrnge
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAHANMaddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 4
Elastik potansiyel enerjiElastik potansiyel enerji
Yay kuvvetine (F = k x) kar yaplan ie"elastik potansiyel enerji" denir.
Yay kuvveti de korunumlu bir kuvvettir. Yapt i yrngeye bal deildir.Yay kuvvetinin yapt i elastik potansiyel enerjideki deiimin negatifine eittir.
Ve = k x dx0
x
yayn boyundakideime
Ve = 0x = 0
L + x
Ve = k x 221x > 0
x
Ve 0 Ve = k x221x < 0
L + x
L x = 0
(Ve2 Ve1)
YrngeVe2 = k x222
1
Ve1 = k x1221
1
2
F
F
Ve = k x221
Yrnge
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Behcet DAHAN Behcet DAHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAHANMaddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 5
U1-2 = Ft dss1s2
Ft = m atv dv = at ds
} U1-2 = m at ds = m v dvs1s2 v1v2U1-2 = m (v22 v12 )2
1
U1-2 = T2 T1
T1 + U1-2 = T2
- Enerji Denklemi - Enerji Denklemi
Yrnge
F FnFt
s1
s2m
v1
v2
E1
E2
yapmayan bileenlerintoplam yapan bileenlerin
toplam
U1-2 = U1-2'
Maddesel noktayaetki eden
btn kuvvetlerinyapt i
Arlk kuvvetlerinden veyay kuvvetlerinden baka i yapankuvvetlerin yapt toplam i
Yay kuvvetlerininyapt i
Arlk kuvvetlerininyapt i
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2 (Vg2 Vg1) (Ve2 Ve1) U1-2 = U1-2' (Vg2 Vg1) (Ve2 Ve1)
E = T + Vg + VeToplammekanikenerji E1 + U1-2' = E2
}Enerjinin KorunumuEnerjinin KorunumuEer bir maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin iinde arlk kuvvetlerinden veyay kuvvetlerinden baka i yapan kuvvet yoksa toplam mekanik enerji korunur.
U1-2' = 0} E1 = E 2 T1 + Vg1 + Ve1= T 2 + Vg2 + Ve2E = sb.
1
2
U1-2' = Ft' dss1s2
0.60 kg lk ekildeki kzak, dey dzlemde yer alan erisel bir ubuk zerinde, D deki kkmakaralardan geen ipteki sabit F ekme kuvvetinin tesiri altnda ihmal edilebilir bir srtnmeile kaymaktadr. Eer kzak A dan ilk hzsz olarak serbest braklrsa, kzan B noktasndakidurdurucuya 4 m/s lik bir hzla arpmas iin F kuvvetinin ne olmas gerekir?
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/11rnek Problem 3/11
Verilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 6
F = ?
m = 0.6 kgB
A
Yrnge
F
W
1
2
m
D
v1 = 0v2 = 4 m/s
t
FW
FW Eer hareketi bu ekilde incelemek istersek,F kuvvetinin yapt ii bulmak iin verilenler yeterli olmayacaktr.F kuvvetinin iddeti sabittir ama yn deimektedir.Dolays ile F nin teetsel bileeni deimektedir.Ayrca F nin teetsel bileenini bulmak iin yrngenin bilinmesi gerekir.Yrngenin nasl bir eri olduu da bilinmemektedir.
F kuvvetinin yapt ii kolayca bulabilmek iinsistem snr yandaki gibi seilebilir.
B
A
Sistem snr
F
W
1
2
m
D
Aktif kuvvet diyagram Sadece i yapan kuvvetler gsterilir.
(sabit)
Yrnge
Yrnge
0.60 kg lk ekildeki kzak, dey dzlemde yer alan erisel bir ubuk zerinde, D deki kkmakaralardan geen ipteki sabit F ekme kuvvetinin tesiri altnda ihmal edilebilir bir srtnmeile kaymaktadr. Eer kzak A dan ilk hzsz olarak serbest braklrsa, kzan B noktasndakidurdurucuya 4 m/s lik bir hzla arpmas iin F kuvvetinin ne olmas gerekir?
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/11rnek Problem 3/11
1. zm1. zmVerilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 7
F = 13 N
B
A
Yrnge
FW
Aktif kuvvet diyagramSadece i yapan kuvvetler gsterilir.
s1
s2
v1
v2
1
2
m
U1-2 = Ft dss1s2
U1-2 = F s W cos ds
Her iki kuvvet de sabittir.
s1s2 U1-2 = F s W cos dss1
s2
s = AD BD
D
Arlk kuvveti,aadan yukarya kan bir cisme
negatif i yapar.
s1 konumu ile s2 konumuarasndakikuvvete paralel uzaklk = 400 mm}
Bu noktann yer deitirmesi,ipin makaralardan geen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm200mm
200mm825 mm
283 mm
s = 542 mm
W = m g
T1 + U1-2 = T2
m v12 + 21 U1-2 = m v222
10Arlk kuvveti sabittir vedaima deydir. O haldearlk kuvvetinin yapt iibulmak iinkonumlar arasndakidey uzaklk alnacaktr.
Sistem snr
pteki kuvvetinyapt iikolayca bulabilmekiin sistem snrbu ekildeseilmitir.
}
s
E nin yrngesi
E
F = ?
m = 0.6 kgv1 = 0v2 = 4 m/s
(sabit)
0.60 kg lk ekildeki kzak, dey dzlemde yer alan erisel bir ubuk zerinde, D deki kkmakaralardan geen ipteki sabit F ekme kuvvetinin tesiri altnda ihmal edilebilir bir srtnmeile kaymaktadr. Eer kzak A dan ilk hzsz olarak serbest braklrsa, kzan B noktasndakidurdurucuya 4 m/s lik bir hzla arpmas iin F kuvvetinin ne olmas gerekir?
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/11rnek Problem 3/11
2. zm2. zmVerilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 8
F = 13 N
B
A F
W
Aktif kuvvet diyagramSadece i yapan kuvvetler gsterilir.
s1
h2
h1
v2
1
2
m
U1-2' = Ft' dss1s2
U1-2' = F s
s = AD BD
D
Bu noktann yer deitirmesi,ipin makaralardan geen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm200mm
200mm825 mm
283 mm
s = 542 mm
F s = m v22 + m g h221
Arlk kuvvetlerinden veyay kuvvetlerinden bakai yapan kuvvetlerin yapt toplam i
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E20 00 0
h = h1 = 0
h = h2 = 400 mm
v1
s2
h
F = ?
m = 0.6 kgv1 = 0v2 = 4 m/s
(sabit)
Yrnge
Sistem snr
pteki kuvvetinyapt iikolayca bulabilmekiin sistem snrbu ekildeseilmitir.
}
Dey olan srtnmesiz ubuk zerinde kaymakta olan 10 kg lk kzak, yaylarn boyunun 0.1 muzam olduu A konumundan v1 = 2 m/s lik bir hzla gemektedir.Kzan, B noktasn geerkenki hz v2 yi hesaplaynz.
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/12rnek Problem 3/12
zmzmVerilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 9
m = 10 kg
x1 = 0.1 m
v1 = 2 m/sh1 = 0.3 m
h2 = 0
v2 = ?
W
m
F
B
A
s1h11
2
x1v1F
W
W
F FF F
s2h2x2v2
Arlk kuvvetinden veyay kuvvetlerinden baka
i yapan kuvvet olmad iin enerji korunur.
h = 0
m v12 + m g h1 + 2 ( k x12) = m v22 + 2 ( k x22)21
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0E1 + U1-2' = E2
0
L + 0.1 = 0.4
Yaylarn boyu, L :
L = 0.3 mk = 800 N/m
0.4 m
0.3 m0.5 m
L + x2 = 0.5x2 = 0.2 m
21
21
21
v2 = 2.26 m/s
L + x1 = 0.4
h
Behcet DAHAN
Her birinin ktlesi m olan kk A ve B cisimleri, ktlesi ihmal edilebilen ubuklarla birbirlerine ekildeki gibi balanm ve ilk hzsz olarak serbest braklmlardr. O ile ayn dey hizaya geldii anda A cisminin hz ne olur?Srtnmeleri ihmal ediniz.
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/13rnek Problem 3/13
zmzmVerilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 10
mvA1 = 0 200 mm
W
W
250 mm
60oO
m
m
A
B
1
2
1
2
200 mm
250 mm
O
m
m
A
B
1
2
1
2W
WhA = 0
hB = 0
hB1 = 450 (200cos60o + 250cos)
hA1 = 200 200 cos60o = 100 mm
Arlk kuvvetlerinden bakai yapan kuvvet olmad iin enerji korunur.
m g hA1 + m g hB1 = m vA22 + m vB22
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0E1 + U1-2' = E2
0
21
21
sin = sin60o
200 250 = 43.9o
hB1 = 170 mmAB =
OA =
000
0vA2 = ?
B cismi bu konumdadurup geri dner.
Ulaabilecei en alt konumdadr.
vB2 = 02 (9.81) (0.1 + 0.17) = vA22
vA2 = 2.3 m/s
vB1 = 0
h
h
= 0
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Behcet DAHAN
Dinamikrnek Problem 3/14rnek Problem 3/14
zmzmVerilenler:Verilenler:
stenenler:stenenler:
Behcet DAHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktalarn Kinetii 3.2. ve Enerji 11
srtnmeli ksmk
ks = s = R
R
m
x1min = = ?
Maddesel noktann yol iletemasnn kesilmesi asndanen kritik nokta B noktasdr.
W
N
mt v2
n
B
aR
v2 = v2min iken N = 0 ve a = g olur.
x1 = x2 = 0
Fn = m anN + W = m v2
2
R
an = v2
0 + W = m v2min2
R
v2min2 = g R = v22
E1 + U1-2' = E2
(sabit)U1-2' = F s U1-2' = k N R = k m g R
Nm
a Wy
k N
srtnmeli ksm
Fy = m ay N W = 0
W = m g
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2000
A1 2
B
h = 0
h
2
k x12 k m g R = m v22 + m g h221
21
v1 = 0
k 2 k m g R = m (g R) + m g (2 R)21
21
v2 = v2min
h1 = 0h2 = 2 R
= m g R 5 + 2 kk
Rijitlii k olan ekildeki yay, sktrlm ve aniden serbest braklmtr. Bylece m ktleli maddesel nokta,ekildeki yolu izlemitir. Yolun dey dzlemde yer alan yuvarlak ksmnda maddesel nokta ile yoluntemasnn kesilmemesi iin yayn sktrlmas gereken minimum mesafe y hesaplaynz. Kinetiksrtnme katsays k olan s = R uzunluundaki srtnmeli ksm dnda yolun yzeyi srtnmesizdir.
k N } N = m gs = R