DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA
UPRAVLJANJA
• Dinamika sistema – ponašanje sistema u nestacionarnom režimu kada dolazi do promena procesnih promenljivih u toku vremena.
• Analiza dinamičkog ponašanja sistema pri malim promenama ulaza u odnosu na stacionarno stanje – oko radne tačke:
– Vremenski domen
– Laplasov (kompleksni domen)
– Frekventni domen
– Diskretni domen
• Dinamički modeli: matematički modeli koji definišu vezu izmedju promena izlazne i ulazne promenljive (input-output)
– Jedna ili sistem diferencijalnih jednačina
Klasifikacija dinamičkih modela • Prema načinu dobijanja:
– teorijski– empirijski
• Na osnovu zasnovanosti (rigoroznosti):– deterministički – stohastički
• Na osnovu broja nezavisno promenljivih: – sa nagomilanim parametrima (obične diferencijalne jednačine) – sa raspoređenim parametrima (parcijalne diferencijalne jednačine)
• Na osnovu linearnosti – linearni – nelinearni
• Na osnovu reda jednačine kojom je opisan dinamički model:– sistemi prvog reda– sistemi drugog reda– sistemi višeg reda.
• Na osnovu oblasti definisanisanosti:– kontinualni – diskretni
Formiranje teorijskih determinističkih modela • Bilansne jednačine – najopštiji oblik:
AAKUMULACIJ PONOR IZVOR IZLAZ ULAZ
(1) Jednačina ukupnog materijalnog bilansa (jednačina kontinuiteta)(2) Jednačine materijalnih bilansa pojedinih komponenata. Za N-
komponentni sistem, N-1 jednačina (plus jednačinu ukupnog materijalnog bilansa)
(3) Jednačina energetskog bilansa (4) Jednačina kretanja (bilans količine kretanja)(5) Transportne jednačine (6) Jednačine hemijske termodinamike (7) Jednačine ravnoteže (hemijska ravnoteža i ravnoteža faza)(8) Jednačine hemijske kinetike
Formiranje teorijskih determinističkih modela
Primer: Sistem sa nagomilanim parametrima
Izotermni reaktor sa idealnim mešanjem: reakcija AB
)( Vdt
d = F-F ii
Ukupni materijalni bilans:
dt
dV = F-Fconst i
Materijalni bilans za komponentu A:
)( cVt d
d = c k V - c F - cF A
nAAAii
Formiranje teorijskih determinističkih modela
Primer: Sistem sa rasporedjenim parametrima
Izotermni cevni reaktor (klipno strujanje): reakcija AB
Ukupni materijalni bilans:
zAdt
d = vA vA zzz
0 = vz
+ t
z )(0
Materijalni bilans za komponentu A:
z Ac k - |cvA |cvA = dtcd
z A nAz+zAzA
A
c k -
zc v
- = tcz n
AAA
0
Linearizacija nelinearnih modela
• Evidentiranje nelinearnih članova u jednačinama modela
• Razvoj nelinearnih članova u Tajlorov red oko radne tačke i zanemarivanje članova drugog i višeg reda:
)()(
!2
)()()()(
2
x-xdx
df + xf
... + x-x
dx
fd + x-xdx
df + xf = xf
s
x
s
s
2
2
x
s
x
s
s
ss
Za nelinearnu funkciju 2 promeljive:
)y-(yy
f + )x-(x
x
f + )y,xf(
... + )y-)(yx-(xyx
f +
2!
)y-(y
y
f +
2!
)x-(x
x
f + )y-(y
y
f + )x-(x
x
f + )y,xf( = y)f(x,
s
y,x
s
y,xss
ss
2
y,x
2s
2
2
y,x
2s
2
2
y,x
s
y,x
s
y,xss
ssss
ssss
ssssss
Linearizacija - primer
• Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, reakcija n-tog reda)
c k V - c F - cF = dt
dcV nAAAi
A
Linearizacija FcAi:
F-Fc c-cF cF cF,f = cF ssAi,sAi,AissAi,sAi1Ai Linearizacija FcA:
F-Fc + c-cF + cF cF,f = cF ssA,sA,AssA,sA2A
Linearizacija VkcAn :
)()( ,1
,,3 sAAn
sAn
sAAnA ccVkncVkccfVkc
Ukupno:
c-ccn+ck V F-Fc+c-cF+cF
F-Fcc-cFcF dt
dcV
sA,A1-nsA,
nsA,ssA,sA,AssA,s
ssAi,sAi,AissAi,sA
Promenljive odstupanja (perturbacione, deviacione promenljive)
x-tx tx sp )()(
Primer: Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, rakcija n-tog reda)
c+c=c ,c+c=c ,F+F=F sA,pAAsAi,
pAiAis
p
][][
][
ccn+ck V -Fc+cF+cF -
Fc+cF+cF = dt
dc+dcV
pA
1-nsA,
nsA,
psA,
pAssA,s
psAi,
pAissAi,s
sA,pA
cckn V - Fc+cF-Fc+cF
cckn V - Fc+cF-Fc+cF +Vkc-cF-cF = dt
dcV
pA
1-nsA,
psA,
pAs
psAi,
pAis
pA
1-nsA,
psA,
pAs
psAi,
pAis
nsA,sA,ssAi,s
pA
][0
Promenljive odstupanja – rezultati
• U rezultujućim diferencijalnim jednačinama:– Konstantni članovi postaju jednaki nuli
– Svi početni uslovi su jednaki nuli
ZAKLJUČAK: Posle linearizacije i prelaska na promenljive odstupanja, bilo koji model sa nagomilanim parametrima se može prikazati opštom linearnom diferencijalnom jednačinom n-og reda:
p0
p
11-m
p1-m
1-mm
pm
mp
0
p
11-n
p1-n
1-nn
pn
n xb + dt
dxb + ... +
dt
xdb +
dt
xdb = ya +
dt
dya + ... +
dt
yda +
dt
yda
Za sve realne sisteme n≥m
01 = a +z a + ... +za + za 01n
1-nn
n
Karakteristična jednačina:
DINAMIKA SISTEMA U LAPLASOVOM DOMENULAPLASOVA TRANSFORMACIJA
dte tf = sF tf st-
0
)()()}({
LDefinicija:
01
00)(
t ,
<t, = tu
PRIMER: Stepenasta (Hevisajdova) f-ja
s =
s- = e
s- = dte = dteu(t) = tu = sU st-st
0
st-
0
1)10(
111)}({)(
0
L
f(t) – original - funkcija vremena (t); F(s) – transformacija - funkcija kompleksne promenljive sPrelazak iz vremanskog u Laplasov domen
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA
)()()(11
sFCtfCtfC ii
n
=iii
n
=iii
n
=1i
= =
LL
1. Linearnost
2. Transformacija izvoda
)0()( f- s sF= dt
df(t)
L
)0()0()0()0()( )1()2(21 f - f s- ... - fs - fs sFs = dt
f(t)d nnnnnn
n
L
3.Transformacija integrala
F(s)s
1 = f(t)dt
t
0
L
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA
4. Teorema konačne vrednosti
)(lim)(lim sF s = tf0st
5. Teorema početne vrednosti
)(lim)(lim sF s = tfs0t
6. Translacija transformacije (teorema pomeranja)
Re)()( ,-sF = tfe tL
7. Translacija funkcije (teorema kašnjenja)
)()(L sFe = t-tf st-0
0
TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA
TABELA. Laplasove transformacije najvažnijih funkcija
f(t) F(s)
δ(t) 1
u(t) 1/s
t 1/s2
tn (n=1,2,...) n!/sn+1
e-αt 1/(s+α)
tne-αt n!/(s+α)n+1
sin(ωt) ω/(s2+ω2)
cos(ωt) s/(s2+ω2)
e-αt sin(ωt) ω/((s+α)2+ω2)
e-αt cos(ωt) (s+α)/((s+α)2+ω2)
1 =dt (t) i0
00)(
-
=t ,
t, = t
Jedinična impulsna (Dirakova) f-ja
Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije; inverzna Laplasova transformacija
dssFej2
1 = sF = tf st
j+
j-
)()}({)( 1
LInverzna Laplasova transformacija
Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije - Primer
0 = 2x + dt
dx5 +
dt
xd32
2
0.5 = (0)x 0, = x(0)
REŠENJE:
0LLLL = x 2 + dt
dx 5 +
dt
xd 32
2
0 = X(s) 2 + x(0) - X(s) s 5 + (0)x - x(0) s- X(s)s 3 2 ][][ x(t) = X(s) L
1.5 = X(s) 2)+5s+s(3 2
2/3+s
B +
1+s
A =
2/3)+1)(s+(s
0.5 =
2/3)+1)(s+3(s
1.5
ss = X(s)
253
5.12
2/3)+1)(s+(s
B)+(2/3A + B)s+(A =
2/3)+1)(s+(s
1)+B(s + 2/3)+A(s =
2/3+s
B +
1+s
A
0.5 = B + 2/3A
0 = B + A1.5 = B1.5- = A
1+s
1.5 -
2/3+s
1.5 = X(s) e 1.5 - e 1.5 =
1+s
11.5 -
2/3+s
1 1.5 = x(t) t-t
3
2--
11 LL
e - e = tx t-
t3
2
5.1)(
Dinamički model sistema u Laplasovom domenu - Prenosna funkcija sistema
p0
p
11-m
p1-m
1-mm
pm
mp
0
p
11-n
p1-n
1-nn
pn
n xb + dt
dxb + ... +
dt
xdb +
dt
xdb = ya +
dt
dya + ... +
dt
yda +
dt
yda
y(t) = Y(s)x(t) = X(s) LL ,
Laplasova transformacija
)X(s)b+sb+...+sb+sb( = )Y(s)a+sa+...+sa+sa( 011-m
1-mm
m011-n
1-nn
n
a+sa+...+sa+sa
b+sb+...+sb+sb = G(s) = X(s)
Y(s)
011-n
1-nn
n
011-m
1-mm
m
Prenosna funkcija sistema: Odnos Laplasove transformacije promenljive odstupanja izlaza i Laplasove transformacije promenljive odstupanja ulaza
)(
)(
)}({
)}({)(
sX
sY
tx
tysG
p
pdef
LL
0 = a + sa + ... + sa + sa 011-n
1-nn
n
Karakteristična jednačina
)p-)...(sp-)(sp-(s
)z-)...(sz-)(sz-(s
a
b = G(s)n21
m21
n
m
p1, p2, ... polovi; z1, z2, ...nuleZa sve realne sisteme n≥m
ELEMENTARNI SISTEMI 1. Proporcionalni element
2. Sistem prvog reda (element sa vremenskom konstantom)
3. Kapacitivni element (integrator)
4. Sistem drugog reda
5. Element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje)
6. Diferencijalni element
1. Proporcionalni element
)()( tx K = ty
K = sG = sX
sY)(
)(
)(
Primer: Pneumatski sistem pločica - mlaznica
C=p -
xb+a
b=
x K = x b+a
C b=p -
2. Sistem prvog reda
a
b=K ,a
a= x K =y + dt
dy xb =y a +
dt
dya
0
0
0
1001
1)(
)(
sK
= sX
sY K – pojačanje sistema– vremenska konstanta (s, min)
Primer 1: Protočni rezervoar sa tečnošću (nivo sistem prvog reda)
)()()(
tF-tF = dt
tdhC oi
R
th =tFo
)()(
R
th-tF =
dt
tdhC i
)()(
)(
)()()( sF R sH s sHRC i
1)(
)(
s
R
sF
sH
i 1
1
)(
)(
s
sF
sF
i
o
C (m2) – kapacitet sudaR (min/m2) – otpor isicanja
konstantavremenskaC R =
Primer 2: Termometar sa tečnošću
)( T-TA h dt
dTc m tf
tp
1
1
1
1
)(
)(
+s =
+shAmc
= sT
sTpf
t
hAmc = p
)()()()(
tVkc - tFc - tFc = dt
tdcV AAAiA
)()( sCF = sC V k + F+ sV AiA
11)(
)(
s
K
sV kF
VV kF
F
= V kF sV
F
sC
sC
Ai
A
ck
V kF
F K
1
1
c
c
k
V kF
V
1
B A Primer 3: Izotermni protočni reaktor sa idealnim mešanjem
3. Kapacitivni element (integrator)
x= dt
dyC
sC =
sX
sYsG
1
)(
)()(
dt
dhC =
dt
dV = F
)()( sH sC sF
Cs
sF
sH 1
)(
)(
Primer: Rezervoar za skladištenje tečnosti
C (m2) – kapacitet suda (površina poprečnog preseka)
Ovaj sistem je u stacionarnom stanju samo za F=0 (h=const)
Astatizam
C – kapacitet sistema
4. Sistem drugog reda
xb+ya+ya = dt
dy
xb+ya+ya = dt
dy
22221212
12121111
bx =y a+dt
dya+
dt
yda 012
2
2 Kx =y +
dt
dy2 +
dt
yd2
22
K – pojačanje– vremenska konstanta (s ili min)n=1/ - prirodna (sopstvena) frekvencija- koeficijent prigušenja
1212)(
)()(
+s+s
K =
+s+s
K
sX
sYsG
n2n
222
(1)Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva(2)Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom(3) Inherentni sistem II reda
(1)Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva
Primer: 2 nivo sistema vezana na red
1
1
)(
)(
11
2
s =
sF
sF
CR = ,CR = 222111
1)(
1)1)(1(
1
)(
)()(
212
21
211
31
s + s =
ss
= sF
sFsG
1
1
)(
)(
22
3
s =
sF
sF
ss
R =
sF
sHsG
)1)(1()(
)()(
21
2
1
22
212
2 1
n
Drugi primeri: kaskada 2 reaktora, reaktor sa 2 konsekutivne reakcije A→B→C, …
GENERALIZACIJA: redna veza n sistema I reda
)1()(
)()( n
nn
nsK =
sX
sY = sG
)1(2
2 21
n
(2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom
Primer: 2 nivo sistema vezana na red
)()()(
211
1 tF - tF = dt
tdhC
)()()(
322
2 tF tF = dt
tdhC
1
212
)()()(
R
th-th tF
2
23
)()(
R
th tF
R
sHsHsF sH sC1
21111
)()()()(
R
sH
R
sHsH sH sC2
2
1
2122
)()()()(
1)(
)()(
21212
21
2
1
21
sRC+s
R sF
sHsG
CR = ,CR = 222111
2122 1
n
2121
22 RC
n
Drugi primeri: •Termometar sa zaštitnom oblogom•Kaskada 2 reaktora sa reciklom•Reaktor sa povratnom reakcijom•.....
1
1
)(
)()(
21212
211
32
sRC+s
sF
sFsG
(3) Inherentni sistem II reda
Primer: U-manometar
UBRZANJECEVI U
NOSTICTE MASA =
TRENJA
SILA -
KRAKA OBA U NIVOA
RAZLIKE ZBOG SILA -
KRAK DESNI I LEVI NA DELUJU
KOJI PRITISAKA RAZLIKE SILA
A p = Ap - Ap = F 21p g A h 2 = F g
dt
dhA
D
L32 = A v
D
L32 = Ap = F 22trtr
dt
hd L A =a m2
2
dt
dhA
D
L ghApA
dt
hdL A22
2 322
pg
h + dt
dh
gD
L +
dt
hdg
L
2
116
2 22
2
p K = h + dt
dh +
dt
hd 22
22
g = K ,
gD
L = = ,
g
L = =
nn
2
11622
2
122
21212)(
)(
2
222
nn
s+s
K
s+s
K
sP
sH
5. Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem)
)()()()()( Dtx = Dtf = ty ,tf = tx
e = sX
sYsG Ds
)(
)()(
D (s, min) mrtvo vreme ili čisto kašnjenje
Primer: Cevovod sa klipnim strujanjem fluida x(t) i y(t): promena koncentracije, temperature, gustine, ...
v
L = D
... sD sD
... sD sD =
e
e = e Ds
DsDs
2
2
2/
2/
)2/(2/1)2/(1
)2/(2/1)2/(1Padé-ova aproksimacija:
Drugi primeri: cevni reaktori, razmenjivači tipa cev-u-cevi, uredjaji sa pakovanim slojem(sistemi sa rasporedjenim parametrima)
6. Diferencijalni element
aa= ,ab= s
s =
sX
sYd
d01101
1
//1)(
)(
dt
dxb =y a 10 ab= s =
sX
sYdd 01 /
)(
)(
xb+dt
dxb =y a 010 bb= ,ab=K sK =
sX
sYdd 0100 //)1(
)(
)(
ili
Moguće je realizovati:
aa= ,bb= ,ab=K s
sK =
sX
sYd
d0110100
1
///1
1
)(
)(
ili
Fizički ne mogu da se realizuju
BLOK DIJAGRAMI I ALGEBRA BLOK DIJAGRAMA
Osnovni elementi blok dijagrama
Osnovna pravila:
1. U blok ulazi 1 signal i iz njega izlazi 1 signal
2. U krug ulaze 2 signala, a iz njega izlazi 1 signal
3. Mogu se sabirati samo signali iste vrste (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd.)
4. Signal ne menja vrednost prilikom grananja.
Formiranje blok dijagrama PRIMER 1: Nivo sistem prvog reda
PRIMER 2: Dva sistema prvog reda sa medjudejstvom
R
HF
FFCsH
o
oi
3222
2
23
1
212
2111
FFsCH
R
HF
R
HHF
FFsCH
Rešavanje blok dijagrama - ekvivalentne transformacije
Odabrane transformacije
Rešavanje blok dijagrama - primeri
Rešavanje blok dijagrama - primeri
Rešavanje blok dijagrama - primeri
YGGGG - XGGG + LGG + LG + L =
H) - (XGGG + LGG + LG + L =
FGGG+LGG + LG + L=
E) + L(GG + LG + L =
D) G + L( G + L =
C)+L( G + L =
B G + L =
A + L = Y
4321321232233
321232233
132132233
132233
2233
233
33
3
L GGGG
+ L GGGG
G + L GGGG
GG + X GGGG
GGG = Y 34321
24321
31
4321
32
4321
321
1
1
111