Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi
1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogene
Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene este:
(1)
unde coeficienţii , iar este funcţia reală de o variabilă reală (
) necunoscută (apare liniar ca atare şi în derivatele sale până la ordinul n inclusiv). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) formează o structură de spaţiu liniar (vectorial) real de dimensiune n. Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei (1) este necesară găsirea unei baze în acest spaţiu (formate din n soluţii liniar independente ale ecuaţiei). Căutând soluţii de forma
, (2)
din (1) se obţine ecuaţia caracteristică:
(3)
care este o ecuaţie algebrică de grad n cu coeficienţi reali. Această ecuaţie (3) are exact n rădăcini (în general complexe, simple sau multiple).După natura rădăcinilor se determină soluţiile liniar independente. Astfel: Unei rădăcini reale simple: a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o singură soluţie liniar
independentă a ecuaţiei (1): .
Unei rădăcini reale multiple de ordin de multiplicitate : a ecuaţiei caracteristice (3) îi
corespund m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .
Unei perechi de rădăcini complex conjugate simple : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi
corespunde o pereche de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .
Unei perechi de rădăcini complex conjugate multiple de ordin de multiplicitate : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund 2m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1):
Astfel celor n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) le corespund n soluţii liniar independente (soluţii fundamentale), care constituie baza spaţiului liniar (vectorial) al soluţiilor ecuaţiei (1):
(4)
Prin urmare, orice soluţie a ecuaţiei (1) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor fundamentale (vectorii bazei). În concluzie, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) se scrie:
, (5)
unde sunt constante reale arbitrare.
1
Exemplul 1: Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin doi, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz: . Această ecuaţie de gradul al doilea are rădăcinile reale
distincte: ( Formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea este
). Prin urmare soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia
generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare. Exemplul 2:
Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile . Aşadar soluţiile
fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.
Exemplul 3:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin trei, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz cu rădăcinile .
Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date
este , unde C1, C2 ,C3
sunt constante reale arbitrare.
Exemplul 4:
Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile complex conjugate .
Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date
este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare.
Exemplul 5:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin patru, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz cu rădăcinile duble (de multiplicitate
m = 2): . Aşadar soluţiile fundamentale sunt
şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este
,
unde C1, C2 , C3 , C4 sunt constante reale arbitrare.
2
Exemplul 6:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin opt, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz: şi
, o ecuaţie de grad 7 pe care se rezolvă cu ajutorul schemei lui Horner. Se caută rădăcinile întregi ale ecuaţiei printre divizorii termenului liber (50):
1 -4 11 -6 -25 88 -115 50 ---------------------------------------- 1 | 1 -3 8 2 -23 65 -50 0 1 | 1 -2 6 8 -15 50 0 -2 | 1 -4 14 -20 25 0
Deci rădăcini întregi mai sunt (rădăcină dublă) şi . Celelalte rădăcini sunt date de
ecuaţia:
(rădăcini duble). Soluţiile fundamentale sunt atunci:
iar soluţia generală este:
, unde C1, C2 , C3, C4, C5, C6,
C7, C8 sunt constante reale arbitrare. Temă. Să se scrie soluţiile generale ale următoarelor ecuaţii diferenţiale de ordin superior, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene (în paranteză sunt indicate rădăcinile ecuaţiilor caracteristice corespunzătoare):
3
2. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi neomogene
Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, neomogene este:
(6)
unde coeficienţii , iar funcţia (neidentic nulă, pentru ).
Dacă se notează
, (7)
atunci ecuaţia (6) se scrie: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei (6) este ecuaţia (1):
sau echivalent:
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:
(8)
unde y0 este soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate (1), iar yp este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene date (6). Ecuaţia diferenţială omogenă (1) se rezolvă după cum s-a arătat anterior, obţinându-se astfel y0, iar pentru găsirea unei soluţii particulare yp a ecuaţiei neomogene (6):
(9)
se foloseşte una din următoarele metode:
A. Metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange
Dacă conform (5):
este soluţia generală a ecuaţiei omogene (1), atunci o soluţie particulară yp a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:
(10)
unde sunt soluţiile sistemului:
(11)
Din sistemul (11) se obţin funcţiile , apoi prin integrare funcţiile .
Observaţie: Această metodă se aplică şi dacă în ecuaţia (6) coeficienţii sunt variabili:
, dar este determinată soluţia generală a ecuaţiei omogene y0.
4
Exemplu.
Rezolvare: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată este: .
Ecuaţia caracteristică acestei ecuaţii diferenţiale este: cu rădăcinile: .
Soluţiile fundamentale sunt atunci: şi prin urmare soluţia generală a ecuaţiei omogene
este .
O soluţie particulară a ecuaţiei neomogene se caută de forma: , unde
sunt soluţiile sistemului:
. Se integrează folosind schimbarea de
variabilă ( ): şi
Aşadar şi atunci soluţia generală a ecuaţia neomogenă dată
este: , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare.
Temă: 1.
2.
3.
Răspunsuri: 1.
2.
3.
5
B. Metoda coeficienţilor nedeterminaţi (metoda identificării)
Dacă funcţia f(x) din ecuaţia neomogenă (6) este de forma unui cvasipolinom:
(12)
(unde Pp(x) este un polinom de grad p, iar Qq(x) – un polinom de grad q) sau o sumă de cvasipolinoame,atunci soluţia particulară yp a ecuaţiei diferenţiale neomogene (6) este un cvasipolinom sau o sumă de cvasipolinoame de acelaşi tip:
- Dacă , atunci ecuaţia neomogenă (6):
admite o soluţie particulară de forma:
(13)
unde k este ordinul de multiplicitate a numărului , dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice
ataşată ecuaţiei omogene, , iar sunt polinoame generale de grad m, cu
coeficienţi reali nedeterminaţi. Înlocuind acest yp în ecuaţia neomogenă (6) se obţine (9): .
Prin identificare se obţin coeficienţii polinoamelor şi , apoi este determinat yp.
- Dacă şi dacă sunt soluţii particulare ale ecuaţiilor neomogene respective
, atunci este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (6):
.
Exemplul 1.
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia
generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt constante
reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul I) , iar acestei
exponenţiale îi corespunde care este rădăcină simplă (k = 1) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o
soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A şi B nedeterminaţi.
Se introduce acest yp în ecuaţia dată:
.
Prin identificare
În final soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.
6
Exemplul 2:
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi
deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare. Ecuaţia neomogenă dată are termenul al doilea , unde
iar . Atunci o soluţie particulară yp se caută de forma: , unde
este o soluţie particulară a ecuaţiei (*) , iar
este o soluţie particulară a ecuaţiei (**) .
Astfel se caută de forma (= polinom de gradul zero , deoarece este
rădăcină simplă a ecuaţiei caracteristice)
.Înlocuind în (*) de
unde .
se caută de forma (= polinom de gradul întâi , deci nu se înmulţeşte cu
x, deoarece nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice)
.Înlocuind în (**)
de unde
.
Aşadar şi în final soluţia generală a ecuaţiei
neomogene date este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare.
Observaţie: Soluţia particulară yp se poate căuta direct de forma , care se
înlocuieşte în ecuaţia neomogenă dată pentru identificare. (
).
Exemplul 3. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: , precum şi soluţia care
satisface condiţiile: (problema lui Cauchy).
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi
deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul 0) , iar acestei
exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o
7
soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A nedeterminat. Se introduce
acest yp în ecuaţia dată: .
Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare. Se impun
condiţiile iniţiale date: ;
. Aşadar soluţia problemei lui Cauchy este un y particular şi anume:
.
Temă:
Răspunsuri:
3. Ecuaţii diferenţiale liniare de tip Euler
Sunt ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi variabili de forma:
8
(14)
unde coeficienţii , iar
Prin schimbarea de variabilă:
, (15)
derivatele funcţiei y în raport cu variabila x se exprimă în funcţie de derivatele lui y în raport
cu noua variabilă t astfel:
(16)
(17)
, etc.
Şi astfel ecuaţia se reduce la o ecuaţie diferenţială liniară de ordin n cu coeficienţi constanţi.
Exemplu:
Rezolvare: Schimbarea de variabilă conform (15), este în acest caz . Atunci
derivatele se înlocuiesc conform (16) şi (17): şi ecuaţia dată devine
care este o ecuaţie liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă.
Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile
. Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei
omogene este , unde C1, C2 sunt constante
reale arbitrare. Pentru ecuaţia liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă obţinută (polinom de
gradul 0) , iar acestei exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei
caracteristice. Atunci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A
nedeterminat. Se introduce acest yp în ecuaţia dată:
.
9
Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei
neomogene date este: , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare.
Temă:
Răspunsuri:
10