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물리적물리적 시스템의시스템의 수학적수학적 모델모델
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4.1. 4.1. 개요개요
제어시스테에서 플랜트나 제어기를 미분방정식이나 전달함수 등으로 나타내는 것을
“제어시스템을 모델링한다”고 말한다.
이 책에서 다루는 모든 시스템은 선형이고 시간에 따라 변하지 않는 선형 시불변 시스템
(LTI, Linear Time Invariant)으로 제한한다.
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
라플라스 영역에서 대상 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 함수를 전달함수
(transfer function)라 한다.
아래 그림의 질량-댐퍼-스프링으로 이뤄진 기계시스템은 다음과 같은 이차 미분방정식
으로 표현된다.
tftkxdt
tdxbdt
txdm 2
2
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
초기 변위와 속도를 각각
와
이라 가정한 뒤에, 위 식 전체를
라플라스 변환하면,
이를 정리하면,
이 식은 질량-댐퍼-스프링으로 구성된 기계시스템의 입력 F(s)와 출력 X(s)와의 관계를
나타낸다. 초기 위치와 속도가 모두 0이라면,
sFskXxssXbxsxsXsm 0002
00 xx 00 xx
kbsmsbxxmsmxsF
kbsmssX
2000
2
1
sFkbsms
sX
2
1
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
이 식을 입력인 힘 F(s)와 출력인 위치 X(s) 사이의 비로 표현하면 다음 식과 같고, 이와
같이 입력과 출력과의 관계를 표현한 식을 전달함수(transfer function)라고 부른다.
어떤 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 전달함수는, 시간영역에 있는 미분방정
식을 라플라스 변환을 통해서 구할 수 있다.
sDsN
kbsmssFsXsG
2
1denominator
numerator
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
특성방정식(characteristic equation): 시스템 응답특성은 전달함수 분모식의 형태에 따
라 크게 좌우되는데, 따라서 이를 특성방정식이라 칭한다.
D(s)=0의 근을 극점(pole)
N(s)=0의 근을 영점(zero)
02 kbsmssD
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
MATLAB에서는 전달함수 분자와 분모의 다항식을 다음과 같이 각각 하나의 벡터로 표
현한다. m=1, b=4, k=3.
sDsN
kbsmssG
2
1
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
roots 와 poly 명령어
roots 명령어: 다항식의 근을 구하기
poly 명령어: 근으로부터 다항식 구하기
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
다음 전달함수의 극점과 영점을 s-평면에 표시하시오.
12105
5423
2
sss
sssG
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4[그림 4.4]
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4.2. 4.2. 전달함수전달함수
residue 명령어
전달함수를 다음과 같은 부분분수 형태로 변환한다.
n
n
psr
psr
psrsksG
...
2
2
1
1
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4.3. 4.3. 선형시스템선형시스템
중첩의 원리(principle of superposition)
u1 (t) y1 (t)
u2 (t) y2 (t) 일 때,u1 (t)+u2 (t) y1 (t)+y2 (t)
선형성(linearity)
au1 (t)+bu2 (t) ay1 (t)+by2 (t)
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4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도
블럭선도는 전체 시스템을 여러 개의 작은 단위 블럭들로 나누어 표현하는 방법으로서, 입력신호 및 출력신호를 선과 화살표로 표시하고 시스템 자체의 특성은 사각형 블록 안
에 전달함수나 특성 그래프 등으로 표시한다. 한편, 각 블록과 블록 사이의 상호 연결관
계는, 신호들이 더해지고 나누어지는 원과 점으로 표현한다.
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4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도
series 명령어
C(s) G(s)U(s) Y(s)
CG(s)U(s) Y(s) sGsCsCG
>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG)
[예제 4.5]
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4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도
parallel 명령어
G(s)U(s) Y(s)
sGsGsG 21
G1 (s)
G2 (s)U(s) Y(s)+
+
>> [numG, denG]=parallel(numG1,denG1,numG2,denG2)
[예제 4.6]
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4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도
cloop 명령어
C(s) G(s)R(s) Y(s)-
+
sGsC
sGsCsRsYsT
1
>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG);
>> [numT, denT]=cloop(numCG,denCG,-1);
[예제 4.7]
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4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도
feedback 명령어
C(s) G(s)R(s) Y(s)-
+
sGsCsH
sGsCsRsYsT
1>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG);
>> [numT, denT]=feedback(numCG,denCG,numH,denH,-1)
[예제 4.8]
H(s)
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4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
4.5.1. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (시간영역 모델)
2
2
dttxdmtftkx
dttdxbF
tftkxtxbtxm
mtftxtxtx nn 22
mk
b
2
mk
n 고유진동수감쇠비
textx ntn 2
20 1sin
1 1cos
만약, f(t)=0, 00,0 0 xxx 식 오류! k/m이 아니고, km이 맞음.
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4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
4.5.1. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (시간영역 모델)[EX0411_MechSys]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
kbsmsbxxmsmxsF
kbsmssX
2000
2
1 4.5.1*. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (전달함수 모델)
가정에서 f(t)=0, 라 했으므로 00,0 0 xxx
kbsms
bxsmxsX
2
00
>> y=impulse(numG,denG,t);
Impulse response of dynamic systems.
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4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
4.5.1*. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (전달함수 모델)[EX0411_MechSys_Impulse]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
계자 전류제어 모터
전기자 전류제어 모터
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
ff iK
tiKtiiKKtiKtT amaffam 11발생토크
전기자에 가해진 전압이 Va , 역기전력 전압
(back-emf voltage) 이 Vb 라 할 때,
sVsIsLRsV baaaa
1 sIKsT amm
sKsV bb 이므로,
2 sKsIsLRsV baaaa
모터의 회전 운동방정식은
3 sTsTsbssJ Lmmm 부하토크마찰계수이너셔
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
sKsIsLRsV baaaa
식(2)로부터
sLR
sKsVsIaa
baa
이것을 식(1)에 대입하면,
sLR
sKsVKsIKsTaa
bamamm
sTsLR
sKsVKsTsTsbssJ Laa
bamLmmm
이것을 식(3)에 대입하면,
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
이것을ω(s)에 대해 풀면,
sTsLR
sKsVKsbssJ Laa
bammm
sLRsTsKsVKsLRbsJs aaLbamaamm
sLRsTsVKKKsLRbsJs aaLambmaamm
sT
KKsLRbsJsLRsV
KKsLRbsJK
KKsLRbsJsLRsTsVKs
Lbmaamm
aaa
bmaamm
m
bmaamm
aaLam
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
[예제 4.12]
TL (S)=0이라고 가정하면,
bmaamm
m
a KKsLRbsJK
sVs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t(sec)
w
>> y=step(numG,denG,t);
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4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)
4.5. 4.5. 물리적물리적
시스템의시스템의
수학적수학적
모델모델
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t(sec)
w
[그림 4.20]
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4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
수학적 모델의 출력응답 계산 방법
MATLAB Simulink
전달함수
(주파수
영역)
초기
상태가
0이
아
닌
경우의
응답을
표현할
수
없다.
impulse
step
lsim
transfer function
block
미분방정식
(시간
영역)
일반해를
구하기
어
렵다.
solver
(ode23, ode45, …)Integrator
block
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4.7.1. 전달함수 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
kbsmsbxxmsmxsF
kbsmssX
2000
2
1
kbsmssFsX
2
1
[예제 4.14]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
y
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4.7.1. 전달함수 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1
M.s +B.s+K2
Transfer Fcn
yout
To Workspace
Sine Wave Scope
[그림 4.24]
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4.7.2. 미분방정식 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
tftkxtxbtxm
122
21
11 KxBxtfM
KxxBtfM
xx
xxx
상태방정식 형태로 변환
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4.7.2. 미분방정식 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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4.7.2. 미분방정식 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법
Step ScopeProduct
1s
Integrator2
1s
Integrator1
2
Gain1
1
Gain
1
Constant
Add
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4.7.2. 미분방정식 모델의 시뮬레이션
4.7. 4.7. 수학적수학적
모델의모델의
출력응답출력응답
시뮬레이션시뮬레이션
프로그램프로그램
작성법작성법