Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES(Continuação)
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
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Uso da Decomposição
Refinamentos de soluções e cálculo da matriz inversa.
Uso da Decomposição
▪ Resolver sistemas de equações lineares.
▪ Calcular o determinante de uma matriz.
▪ Refinamento da solução de sistemas.
▪ Cálculo da matriz inversa.
As decomposições LU e de Cholesky são utilizadas para:
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Uso da Decomposição
Refinamento da Solução:
▪ Seja x0: solução aproximada de Ax = b calculada pordecomposição LU com pivotação parcial
▪ Fatores L e U perdem exatidão (erros de arredondamento).
▪ Solução melhorada
▪ c0: vetor de correção
e
Os métodos exatos deveriam fornecer, com um número finito deoperações, a solução exata do sistema linear. Entretanto, devido aoserros de arredondamento obtém-se, em geral, soluções aproximadas,que devem ser refinadas por um processo numérico.
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Uso da Decomposição
▪ c1: solução de Ac1 = r1 obtida por LUc1 = Pr1.
▪ Esquematicamente
▪ Exemplo: Resolver o sistema e refinar a solução até que:
▪ A parcela de correção c0 é a solução do sistema Ac0 = r0:
e
▪ Melhor aproximação
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Uso da Decomposição
Cálculo de x0:
e
Decomposição LU com pivotação parcial:
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Uso da Decomposição
Refinamento da solução:
Final do refinamento: 7
Uso da Decomposição
Cálculo da Matriz inversa:
▪ A matriz inversa satisfaz a:
▪ V = A-1: usado para simplificar a notação.
▪ Cálculo de V pela solução dos n sistemas:
▪ vi e ei i-ésima coluna da matriz inversa e identidade,respectivamente.
▪ Como a matriz dos coeficientes é a mesma para os n sistemasdeve ser feita a decomposição de A usando LLT se A forsimétrica definida positiva ou LU se A for não simétrica.
▪ Os n vetores vi que compõem a inversa são calculadosutilizando substituições sucessivas e retroativas.
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Uso da Decomposição▪ Exemplo: Calcular a inversa da matriz:
Como A é simétrica usar: Decomposição de Cholesky:
Coluna 1:
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Uso da Decomposição
Coluna 2:
Coluna 3:
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Uso da Decomposição
Matriz Inversa:
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Métodos indiretos para resolução de SL
Solução exata obtida através de um número infinito de operações.
Métodos Iterativos e Estacionários
Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existemos métodos iterativos. Em certos casos, tais métodos são melhores doque os diretos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é umamatriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). Eles ainda são maiseconômicos no sentido que utilizam menos memória do computador.Além disso, possuem a vantagem de se auto corrigir se um erro écometido. Podem também, sob certas condições, serem aplicados pararesolver um conjunto de equações não lineares.
Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantesda solução, cada uma das quais obtida das anteriores.
Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtida daanterior sempre pelo mesmo processo.
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Gerar, a partir de x0, uma sequência de vetores:
Um SL Ax = b pode ser resolvido por um processo que consiste em:
▪ Este é um processo iterativo (PI ou MI) pois uma série deoperações é repetida várias vezes.
▪ Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante, tal que:
▪ MI é dito estacionário quando a matriz M for fixa (não sofrealteração durante o processo).
▪ MIE : Jacobi e Gauss-Seidel.
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Teorema (Condição necessária): O MI xk+1 = Mxk + cconverge com qualquer valor inicial x0 se, e somente se, (M)< 1, sendo (M) o raio espectral (maior autovalor em módulo)da matriz de iteração M.
▪ Teorema (Condição suficiente): É condição suficiente para aconvergência dos MI de Jacobi e Gauss-Seidel que a matrizdos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ouseja,
Condição de convergência:
A determinação de (M) pode requerer maior esforço computacional que a solução dosistema Ax = b. Assim os MI utilizam outros métodos para prever a convergência.
Pelos Teoremas pode-se verificar que a convergência não depende de x0. 15
Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Solução exata: o MI é repetido um número finito de vezes.
▪ Na prática o processo deve ser interrompido quando algumcritérios de parada for satisfeito, por exemplo:
= tolerância e kmax= número máximo de iterações.
▪ Adotando-se a norma-:
Critério de parada:
ou
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Decompor a matriz A, tal que:
▪ D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior esuperior com diagonais nulas.
▪ Sistema linear Ax = b escrito na forma:
▪ Essa igualdade pode ser convertida em processo iterativo:
▪ Matriz de iteração do método de Jacobi
Método de Jacobi:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma:
▪ Explicitar xi na i-ésima equação.
▪ Escrevendo na forma de iteração tem-se as equações deiterações do método de Jacobi:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Na forma matricial:
▪ Uma das vantagens do MI é que a convergência independe dovetor inicial x0.
▪ Usualmente faz-se x0=0 o que gera:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:
▪ O processo convergirá pois a matriz dos coeficientes édiagonal estritamente dominante, isto é:
e
▪ Equações de iteração:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Vetor inicial:
▪ Coordenadas do vetor da primeira iteração:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Critério de parada:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Resultados:
▪ Vetor solução:
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Matriz diagonal estritamente dominante:
▪ Equações de iteração:
▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:
e
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Vetor inicial:
▪ Coordenadas do vetor da primeira iteração:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Critério de parada:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Resultados:
▪ Vetor solução:
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Decompor a matriz A, tal que:
▪ D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior esuperior com diagonais nulas.
▪ Sistema linear Ax = b escrito na forma:
▪ Na forma de iteração:
▪ Matriz de iteração do método Gauss-Seidel
Método de Gauss-Seidel:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma:
▪ Explicitar xi na i-ésima equação.
▪ Equações de iterações do método de Gauss-Seidel:
Mesmo vetor inicial de Jacobi:
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Matriz diagonal estritamente dominante:
▪ Equações de iteração:
▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:
e
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Vetor inicial:
▪ Coordenadas do vetor da primeira iteração:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Critério de parada:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Resultados:
▪ Vetor solução:
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Métodos Iterativos e Estacionários
▪ Matriz diagonal estritamente dominante:
▪ Equações de iteração:
▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:
e
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Vetor inicial:
▪ Coordenadas do vetor da primeira iteração:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Critério de parada:
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Resultados:
▪ Vetor solução:
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Métodos Iterativos e Estacionários
Análise de Convergência:
▪ Seja o erro k na k-ésima iteração:
x: solução exata e xk: solução aproximada.
▪ Sendo i um autovalor da Matriz de iteração M e vi o seucorrespondente auto vetor:
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▪ se, e somente se,
▪ Taxa de convergência controlada por
Métodos Iterativos e Estacionários
Comparação dos Métodos Iterativos:
▪ Seja Ax=b
▪ Matriz A não é diagonalmente dominante.
▪ Matrizes de iteração dos dois métodos:
A solução não converge para o método de Jacobi e converge pelo método de Gauss- Seidel.
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Métodos Iterativos e Estacionários▪ Seja Ax=b
▪ Matriz A não é diagonalmente dominante.
▪ Matrizes de iteração dos dois métodos:
A solução converge para o método de Jacobi e não converge pelo método de Gauss- Seidel.
Quanto menor o raio espectral mais rápda é a convergência.40
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Análise de Erro na Resolução de SL
Análise e Erro na Solução de SL
Malcondicionamento:
É importante verificar como pequenas variações nos elementos damatriz dos coeficientes ou no vetor dos termos independentesinfluencia a solução do SL.
▪ Seja o SL Ax=b
▪ solução exata:
▪ Seja Vetor:
▪ A solução exata de
▪ Uma pequena modificação no vetor de temos independentescausou uma grande modificação no vetor solução.
e
é
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Análise e Erro na Solução de SL
▪ Considere agora a matriz:
▪ A solução exata de
▪ Uma pequena modificação na matriz de coeficiente causou umagrande modificação no vetor solução.
▪ Esse problemas são causados porque A é quase singular:
▪ Sistemas desse tipo são chamados mal condicionados.
é
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Análise e Erro na Solução de SL
▪ Três planos definidos por um sistema linear.▪ Dois planos são quase coincidentes.▪ Pequenas variações em qualquer dos três planos causa um
grande deslocamento no ponto de interseção, que é a soluçãodo SL.
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Análise e Erro na Solução de SL
▪ Problemas de malcondicionamento: (sensibilidade à pequenasmudanças no sistema).
▪ A Solução exata de Ax = b é x = [1 1]T .
▪ Resíduo para
▪ Apesar de
▪ Quando a solução for quase exata o resíduo é pequeno,porém a recíproca não é verdadeira. Logo o resíduo não ébom indicador de exatidão de x para SL malcondicionado.
▪ Grande problema: instabilidade da solução.
▪ A e/ou b podem ser medidas experimentais. 45
Análise e Erro na Solução de SL Número de Condição:
▪ O Malcondicionamento é devido a quase singularidade damatriz de coeficientes. Porém, medir a singularidade de A pordet(A) não constitui uma boa prática.
▪ det(A) 0 pode não indicar necessariamente a ocorrência deum malcondicionamento.
▪ Número de condição da matriz é definido como
▪ = uma norma matricial qualquer.
▪ O valor de k(A) depende da norma utilizada.
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Análise e Erro na Solução de SL
▪ Por exemplo:
▪ Desde que:
▪ Um sistema Ax = b é malcondicionado se k(A) >> 0.
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▪ max é o maior autovalor de A em modulo▪ max e o maior valor singular de A, ou seja,
raiz quadrada do maior autovalor emmodulo da matriz ATA).
Análise e Erro na Solução de SL▪ Calcular k2(A) e k2(B) para:
▪ Pela definição de k2(A)
▪ A: sistema linear malcondicionado. B: sistema bem-condicionado.
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Análise e Erro na Solução de SL Sensibilidade da Solução:
▪ Seja o SL Ax = b e uma perturbação b em b.
▪ A Modificação x na solução x = A-1b satisfaz
▪ Pelas propriedades das normas consistentes tem-se:
▪ Combinando:
▪ Essa solução fornece o limite superior ao erro relativo nasolução x devido a perturbação. Quanto mais malcondicionandoum SL maior será o erro relativo na solução.
e
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Análise e Erro na Solução de SL▪ Exemplo: Seja Ax = b com:
▪ Sejam:
▪ O limite superior ao erro em termos da norma-2 é:
▪ Com b, x variou de [1 1]T para [100 -99]T significando:
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Análise e Erro na Solução de SL
▪ Considerando que , na realidade o errorelativo cometido foi:
▪ Está dentro do limite previsto.
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Análise e Erro na Solução de SL▪ Perturbação em A:
▪ Seja:
▪ Tomando as normas consistentes tem-se:
▪ Maior malcondicionamento de Ax = b, maior a influência deA em A na solução x.
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Análise e Erro na Solução de SL▪ Exemplo: Seja Ax = b com:
▪ Sejam:
▪ Erro relativo em termos da norma-2 é:
▪ Com A, x variou de [1 1]T para [2 – 1/99]T. Assim avariação na solução foi:
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Análise e Erro na Solução de SL▪ Erro real relativo:
▪ Está dentro do limite previsto.
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1. Aderito Luis Martins Araujo , Analise Numerica Engenharias Mecânica e de Materiais.
2. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.
Referencias Bibliográficas
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