étodos uméricos - ufsj.edu.br · max e o maior valor singular de A, ou seja, raiz quadrada do maior autovalor em modulo da matriz ATA). Análise e Erro na Solução de SL Calcular

Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES(Continuação)

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

1

2

Uso da Decomposição

Refinamentos de soluções e cálculo da matriz inversa.


▪ Resolver sistemas de equações lineares.

▪ Calcular o determinante de uma matriz.

▪ Refinamento da solução de sistemas.

▪ Cálculo da matriz inversa.

As decomposições LU e de Cholesky são utilizadas para:

3


Refinamento da Solução:

▪ Seja x0: solução aproximada de Ax = b calculada pordecomposição LU com pivotação parcial

▪ Fatores L e U perdem exatidão (erros de arredondamento).

▪ Solução melhorada

▪ c0: vetor de correção

e

Os métodos exatos deveriam fornecer, com um número finito deoperações, a solução exata do sistema linear. Entretanto, devido aoserros de arredondamento obtém-se, em geral, soluções aproximadas,que devem ser refinadas por um processo numérico.

4


▪ c1: solução de Ac1 = r1 obtida por LUc1 = Pr1.

▪ Esquematicamente

▪ Exemplo: Resolver o sistema e refinar a solução até que:

▪ A parcela de correção c0 é a solução do sistema Ac0 = r0:

e

▪ Melhor aproximação

5


Cálculo de x0:

e

Decomposição LU com pivotação parcial:

6


Refinamento da solução:

Final do refinamento: 7


Cálculo da Matriz inversa:

▪ A matriz inversa satisfaz a:

▪ V = A-1: usado para simplificar a notação.

▪ Cálculo de V pela solução dos n sistemas:

▪ vi e ei i-ésima coluna da matriz inversa e identidade,respectivamente.

▪ Como a matriz dos coeficientes é a mesma para os n sistemasdeve ser feita a decomposição de A usando LLT se A forsimétrica definida positiva ou LU se A for não simétrica.

▪ Os n vetores vi que compõem a inversa são calculadosutilizando substituições sucessivas e retroativas.

8

Uso da Decomposição▪ Exemplo: Calcular a inversa da matriz:

Como A é simétrica usar: Decomposição de Cholesky:

Coluna 1:

9


Coluna 2:

Coluna 3:

10


Matriz Inversa:

11

12

Métodos indiretos para resolução de SL

Solução exata obtida através de um número infinito de operações.

Métodos Iterativos e Estacionários

Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existemos métodos iterativos. Em certos casos, tais métodos são melhores doque os diretos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é umamatriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). Eles ainda são maiseconômicos no sentido que utilizam menos memória do computador.Além disso, possuem a vantagem de se auto corrigir se um erro écometido. Podem também, sob certas condições, serem aplicados pararesolver um conjunto de equações não lineares.

Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantesda solução, cada uma das quais obtida das anteriores.

Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtida daanterior sempre pelo mesmo processo.

13


▪ Gerar, a partir de x0, uma sequência de vetores:

Um SL Ax = b pode ser resolvido por um processo que consiste em:

▪ Este é um processo iterativo (PI ou MI) pois uma série deoperações é repetida várias vezes.

▪ Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante, tal que:

▪ MI é dito estacionário quando a matriz M for fixa (não sofrealteração durante o processo).

▪ MIE : Jacobi e Gauss-Seidel.

14


▪ Teorema (Condição necessária): O MI xk+1 = Mxk + cconverge com qualquer valor inicial x0 se, e somente se, (M)< 1, sendo (M) o raio espectral (maior autovalor em módulo)da matriz de iteração M.

▪ Teorema (Condição suficiente): É condição suficiente para aconvergência dos MI de Jacobi e Gauss-Seidel que a matrizdos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ouseja,

Condição de convergência:

A determinação de (M) pode requerer maior esforço computacional que a solução dosistema Ax = b. Assim os MI utilizam outros métodos para prever a convergência.

Pelos Teoremas pode-se verificar que a convergência não depende de x0. 15


▪ Solução exata: o MI é repetido um número finito de vezes.

▪ Na prática o processo deve ser interrompido quando algumcritérios de parada for satisfeito, por exemplo:

= tolerância e kmax= número máximo de iterações.

▪ Adotando-se a norma-:

Critério de parada:

ou

16


▪ Decompor a matriz A, tal que:

▪ D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior esuperior com diagonais nulas.

▪ Sistema linear Ax = b escrito na forma:

▪ Essa igualdade pode ser convertida em processo iterativo:

▪ Matriz de iteração do método de Jacobi

Método de Jacobi:

17

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma:

▪ Explicitar xi na i-ésima equação.

▪ Escrevendo na forma de iteração tem-se as equações deiterações do método de Jacobi:

18

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Na forma matricial:

▪ Uma das vantagens do MI é que a convergência independe dovetor inicial x0.

▪ Usualmente faz-se x0=0 o que gera:

19

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:

▪ O processo convergirá pois a matriz dos coeficientes édiagonal estritamente dominante, isto é:

e

▪ Equações de iteração:

20

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Vetor inicial:

▪ Coordenadas do vetor da primeira iteração:

21

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Critério de parada:

22

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Resultados:

▪ Vetor solução:

23


▪ Matriz diagonal estritamente dominante:


▪ Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com:

e

24



25


26



27


▪ Decompor a matriz A, tal que:

▪ D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior esuperior com diagonais nulas.

▪ Sistema linear Ax = b escrito na forma:

▪ Na forma de iteração:

▪ Matriz de iteração do método Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel:

28

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma:

▪ Explicitar xi na i-ésima equação.

▪ Equações de iterações do método de Gauss-Seidel:

Mesmo vetor inicial de Jacobi:

29





e

30



31


32



33





e

34



35


36



37


Análise de Convergência:

▪ Seja o erro k na k-ésima iteração:

x: solução exata e xk: solução aproximada.

▪ Sendo i um autovalor da Matriz de iteração M e vi o seucorrespondente auto vetor:

38

▪ se, e somente se,

▪ Taxa de convergência controlada por


Comparação dos Métodos Iterativos:

▪ Seja Ax=b

▪ Matriz A não é diagonalmente dominante.

▪ Matrizes de iteração dos dois métodos:

A solução não converge para o método de Jacobi e converge pelo método de Gauss- Seidel.

39

Métodos Iterativos e Estacionários▪ Seja Ax=b

▪ Matriz A não é diagonalmente dominante.

▪ Matrizes de iteração dos dois métodos:

A solução converge para o método de Jacobi e não converge pelo método de Gauss- Seidel.

Quanto menor o raio espectral mais rápda é a convergência.40

41

Análise de Erro na Resolução de SL

Análise e Erro na Solução de SL

Malcondicionamento:

É importante verificar como pequenas variações nos elementos damatriz dos coeficientes ou no vetor dos termos independentesinfluencia a solução do SL.

▪ Seja o SL Ax=b

▪ solução exata:

▪ Seja Vetor:

▪ A solução exata de

▪ Uma pequena modificação no vetor de temos independentescausou uma grande modificação no vetor solução.

e

é

42


▪ Considere agora a matriz:

▪ A solução exata de

▪ Uma pequena modificação na matriz de coeficiente causou umagrande modificação no vetor solução.

▪ Esse problemas são causados porque A é quase singular:

▪ Sistemas desse tipo são chamados mal condicionados.

é

43


▪ Três planos definidos por um sistema linear.▪ Dois planos são quase coincidentes.▪ Pequenas variações em qualquer dos três planos causa um

grande deslocamento no ponto de interseção, que é a soluçãodo SL.

44


▪ Problemas de malcondicionamento: (sensibilidade à pequenasmudanças no sistema).

▪ A Solução exata de Ax = b é x = [1 1]T .

▪ Resíduo para

▪ Apesar de

▪ Quando a solução for quase exata o resíduo é pequeno,porém a recíproca não é verdadeira. Logo o resíduo não ébom indicador de exatidão de x para SL malcondicionado.

▪ Grande problema: instabilidade da solução.

▪ A e/ou b podem ser medidas experimentais. 45

Análise e Erro na Solução de SL Número de Condição:

▪ O Malcondicionamento é devido a quase singularidade damatriz de coeficientes. Porém, medir a singularidade de A pordet(A) não constitui uma boa prática.

▪ det(A) 0 pode não indicar necessariamente a ocorrência deum malcondicionamento.

▪ Número de condição da matriz é definido como

▪ = uma norma matricial qualquer.

▪ O valor de k(A) depende da norma utilizada.

46


▪ Por exemplo:

▪ Desde que:

▪ Um sistema Ax = b é malcondicionado se k(A) >> 0.

47

▪ max é o maior autovalor de A em modulo▪ max e o maior valor singular de A, ou seja,

raiz quadrada do maior autovalor emmodulo da matriz ATA).

Análise e Erro na Solução de SL▪ Calcular k2(A) e k2(B) para:

▪ Pela definição de k2(A)

▪ A: sistema linear malcondicionado. B: sistema bem-condicionado.

48

Análise e Erro na Solução de SL Sensibilidade da Solução:

▪ Seja o SL Ax = b e uma perturbação b em b.

▪ A Modificação x na solução x = A-1b satisfaz

▪ Pelas propriedades das normas consistentes tem-se:

▪ Combinando:

▪ Essa solução fornece o limite superior ao erro relativo nasolução x devido a perturbação. Quanto mais malcondicionandoum SL maior será o erro relativo na solução.

e

49

Análise e Erro na Solução de SL▪ Exemplo: Seja Ax = b com:

▪ Sejam:

▪ O limite superior ao erro em termos da norma-2 é:

▪ Com b, x variou de [1 1]T para [100 -99]T significando:

50


▪ Considerando que , na realidade o errorelativo cometido foi:

▪ Está dentro do limite previsto.

51

Análise e Erro na Solução de SL▪ Perturbação em A:

▪ Seja:

▪ Tomando as normas consistentes tem-se:

▪ Maior malcondicionamento de Ax = b, maior a influência deA em A na solução x.

52

Análise e Erro na Solução de SL▪ Exemplo: Seja Ax = b com:

▪ Sejam:

▪ Erro relativo em termos da norma-2 é:

▪ Com A, x variou de [1 1]T para [2 – 1/99]T. Assim avariação na solução foi:

53

Análise e Erro na Solução de SL▪ Erro real relativo:

▪ Está dentro do limite previsto.

54

1. Aderito Luis Martins Araujo , Analise Numerica Engenharias Mecânica e de Materiais.

2. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas

55

Documents

étodos uméricos - ufsj.edu.br · max e o maior valor singular de A, ou seja, raiz quadrada do maior autovalor em modulo da matriz ATA). Análise e Erro na Solução de SL Calcular