Download pdf - Exemplo Chamadas Telefônicas - IME-USPgiapaula/slides_exemplo_chamadas.pdf · Ajuste Mínimos Quadrados Modelo Linear Normal Descrição Nota-se um aumento do número de chamadas

Exemplo Chamadas Telefônicas

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

[email protected]

2o Semestre 2016

G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2o Semestre 2016 1 / 25

Chamadas Telefônicas

Sumário

1 Chamadas Telefônicas

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Mínimos Quadrados

4 Diagnóstico Modelo Ajustado

5 Ajuste Crítério Robusto

6 Conclusões

7 Referências




Descrição dos Dados

Para motivar a comparação do procedimento de estimação demínimos quadrados com o procedimento de estimação robustaproposto por Huber vamos considerar o conjunto de dados disponívelno software R sobre






chamadas telefônicas (em milhões) na Bélgica no período de1950 a 1973.






chamadas telefônicas (em milhões) na Bélgica no período de1950 a 1973.

Esses dados são discutidos, por exemplo, em Venables e Ripley(2003, Capítulo 8).


Análise de Dados Preliminar

Sumário






6 Conclusões

7 Referências



Medidas Resumo

Descrição

Medida Chamadasn 24Média 50,00D.Padrão 65,53CV 131%

Mínimo 4,401o Quartil 7,90Mediana 15,503o Quartil 62,00Máximo 232,00



Dispersão Chamdas versus Ano

50 55 60 65 70

050

100

150

200

Ano

Cha

mad

as



Boxplot Chamadas

050

100

150

200

Cha

mad

as

050

100

150

200

Cha

mad

as


Ajuste Mínimos Quadrados

Sumário






6 Conclusões

7 Referências



Modelo Linear Normal

Descrição

Nota-se um aumento do número de chamadas telefônicas com o ano,havendo forte destaque para 6 anos consecutivos (64 a 69) em que onúmero de chamadas é bastante acentuado. Vamos considerar parailustração o seguinte modelo linear:




Descrição


yi = β1 + β2 × anoi + ǫi ,




Descrição


yi = β1 + β2 × anoi + ǫi ,

para i = 1, . . . , 24, em que yi denota o número de chamadas

telefônicas no i-ésimo ano com ǫiiid∼ N(0, σ2).



Estimativas

Descrição

As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo.



Estimativas

Descrição


Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante -260,059 102,607 -2,53 0,02Ano 5,041 1,658 3,04 0,00R2 0,30R2-ajustado 0,26s 56,22F 9,25 (1 e 22 g.l.) 0,00



Estimativas

Descrição


Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante -260,059 102,607 -2,53 0,02Ano 5,041 1,658 3,04 0,00R2 0,30R2-ajustado 0,26s 56,22F 9,25 (1 e 22 g.l.) 0,00

Todas os parâmetros são marginalmente significativos.




50 55 60 65 70

050

100

150

200

Ano

Cha

mda

s


Diagnóstico Modelo Ajustado

Sumário






6 Conclusões

7 Referências




50 55 60 65 70

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Ano

Dis

tânc

ia d

e C

ook



Resíduos Modelo Ajustado

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

3

Percentil da N(0,1)

Res

iduo

Stu

dent

izad

o


Ajuste Crítério Robusto

Sumário






6 Conclusões

7 Referências




Descrição

A fim de reduzir a influência das observações discrepantes seráaplicado o critério de Huber para ajustar o seguinte modelo linear:




Descrição


yi = β1 + β2 × anoi + ǫi ,




Descrição


yi = β1 + β2 × anoi + ǫi ,

para i = 1, . . . , 24, em que yi denota o número de chamdas no i-ésimo

ano com ǫiiid∼ N(0, σ2).




Critério de Huber

O critério de Huber consiste em minimizar a função




Critério de Huber


Sρ(β) =n

∑

i=1

ρ(zi),




Critério de Huber


Sρ(β) =n

∑

i=1

ρ(zi),

em que zi =ǫis com




Critério de Huber


Sρ(β) =n

∑

i=1

ρ(zi),

em que zi =ǫis com

ρ(z) ={

z2

2 se |z| ≤ cc{|z| − c

2} se |z| > c.



Estimativas

Descrição

As estimativas dos parâmetros pelo critério de Huber com c=1,345são dadas abaixo.



Estimativas

Descrição


Efeito Estimativa Erro padrão valor-z valor-PConstante -102,622 26,608 -3,86 0,00Ano 2,041 0,430 4,75 0,00s 9,032



Estimativas

Descrição


Efeito Estimativa Erro padrão valor-z valor-PConstante -102,622 26,608 -3,86 0,00Ano 2,041 0,430 4,75 0,00s 9,032

Todas os parâmetros são altamente significativos.



Peso versus Chamadas

0 50 100 150 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Chamadas

Peso



Peso versus Ano

50 55 60 65 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ano

Peso



Comparação Métodos de Estimação

50 55 60 65 70

050

100

150

200

Ano

Cha

mad

as

M.Q.

Ruber


Conclusões

Sumário






6 Conclusões

7 Referências


Conclusões

Conclusões

Considerações Finais


Conclusões

Conclusões


Neste conjunto de dados há 6 observações discrepantes com altainfluência nas estimativas do intercepto e inclinação da retaajustada pelo método de mínimos quadrados.


Conclusões

Conclusões



O procedimento de estimação usando o critério de de Huberreduz consideravelmente a influência desses anos que recebemos menores pesos no processo de estimação.


Conclusões

Conclusões



O procedimento de estimação usando o critério de de Huberreduz consideravelmente a influência desses anos que recebemos menores pesos no processo de estimação.

Os últimos três anos também têm uma redução dos pesos noprocesso de estimação.


Referências

Sumário






6 Conclusões

7 Referências


Referências

Referências

Referência


Referências

Referências

Referência

Venables, W. N. e Ripley, B. D. (2003). Modern Applied Statisticswith S-Plus, Fourth Edition. New York: Springer.
