by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG
THERMODYNAMIK TEIL 1
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Grundbegriffe der technischen Strömungslehre___________________________________ 5
Masse __________________________________________________________________ 5
Volumen ________________________________________________________________ 5
molares Volumen_________________________________________________________ 5
Dichte __________________________________________________________________ 5
Temperatur-Umrechnungen _______________________________________________ 5
Druck __________________________________________________________________ 5
Der Absolute Druck ______________________________________________________ 6
Luftdruck in der Höhe h___________________________________________________ 6
Z-Werte für trockene Luft _________________________________________________ 6
Zustandsgleichung________________________________________________________ 6
Allgemeine Gaskonstante __________________________________________________ 7
Spezielle Gaskonstante ____________________________________________________ 7
Tabelle: Gaskonstante, Dichte und spez.Wärmekapazität von Gasen______________ 7
Tabelle: Wahre spezifische Wärmekapazität cp von Gasen in kJ/kg*K ____________ 7
Dichte eines Gases bei Normzustand_________________________________________ 8
Dichte von Gasen_________________________________________________________ 8
Spezifische Wärmekapazität _______________________________________________ 8
Mittlere spez. Wärmekapazität _____________________________________________ 8
Mischen von Stoffen bei gleichbleibendem Aggregatszustand ____________________ 8
Schmelz- oder Erstarrungswärme (latent) ____________________________________ 9
Verdampfungs- oder Verflüssigungswärme (latent) ____________________________ 9
Längenausdehnung bei Temperaturänderung_________________________________ 9 Längenausdehnungskoeffizient_____________________________________________ 9 Länge bei erhöhter Temperatur ____________________________________________ 9
Volumenausdehnung bei Temperaturänderung _______________________________ 9
Wärmespannung _________________________________________________________ 9
Ausdehnung von Flüssigkeiten_____________________________________________ 10
Temperaturabhängige Änderung von Gasen _________________________________ 10
Thermodynamische Prozesse _________________________________________________ 10
Volumenänderungsarbeit pro kg___________________________________________ 11
Technische Arbeit pro kg _________________________________________________ 11
spezifische Enthalpie_____________________________________________________ 12
Zusammenhang zwischen cp und cv _________________________________________ 12
Enthalpiedifferenz beim Wärmetauscher____________________________________ 12
Gasmischung _____________________________________________________________ 12
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Masse einer Gasmischung ________________________________________________ 12
Volumen einer Gasmischung ______________________________________________ 12
Volumenprozent ________________________________________________________ 12
Das Gesetz von Dalton ___________________________________________________ 13
Partialdruck____________________________________________________________ 13
Dichte einer Gasmischung ________________________________________________ 13
spezielle Gaskonstante eines Gasgemisches __________________________________ 13
spezifische Wärmekapazität eines Gemisches ________________________________ 13
Zusammenhang zwische Massen und Raumanteil_____________________________ 13
Gas-Dampf-Gemisch_____________________________________________________ 14 Barometerdruck________________________________________________________ 14 Relative Feuchte _______________________________________________________ 14 Absolute Feuchte_______________________________________________________ 14 Masse der trockenen Luft ________________________________________________ 14 Zusammenhang von absoluter und relativer Feuchte ___________________________ 14 Dichte feuchter Luft ____________________________________________________ 15 Enthalpie feuchter Luft __________________________________________________ 15 Enthalpie des Wasserdampfes_____________________________________________ 15
H-x-Diagramm ____________________________________________________________ 15
Der Taupunkt __________________________________________________________ 17
Die Feuchtkugeltemperatur _______________________________________________ 17
Die Mischung von Luft ___________________________________________________ 17
Die Lufterwärmung______________________________________________________ 18 Temperaturerhöhung im Ventilator_________________________________________ 18
Die Dampfbefeuchtung ___________________________________________________ 19 Spezifische Enthalpie des Wasserdampfes ___________________________________ 19 Befeuchterleistung______________________________________________________ 19 notwendige Dampfmenge ________________________________________________ 19
Die Befeuchtung durch Wasserverdunstung _________________________________ 19 Befeuchterleistung______________________________________________________ 20 verdunstete Wassermenge ________________________________________________ 20 Befeuchter-Wirkungsgard ________________________________________________ 20
Kühlung der Luft _______________________________________________________ 20 Ohne Wasserausscheidung _______________________________________________ 20 Mit Wasserausscheidung_________________________________________________ 20 Kühleroberflächentemperatur _____________________________________________ 21 Mittlere Kühlwassertemperatur____________________________________________ 21 Bypassfaktor __________________________________________________________ 21 Kühlerleistung _________________________________________________________ 21 Auskondensierte Wassermenge____________________________________________ 21
Zustandsänderung der Gase _________________________________________________ 22
Begriffe ________________________________________________________________ 22 Isobare _______________________________________________________________ 22
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Isochore ______________________________________________________________ 22 Isotherme_____________________________________________________________ 22 Isentrope _____________________________________________________________ 22 Polytropen ____________________________________________________________ 22
Entropie-Änderung ______________________________________________________ 22
Isobare ________________________________________________________________ 23 Zu- abgeführte Energie __________________________________________________ 23 Entropieänderung ______________________________________________________ 23
Isochore _______________________________________________________________ 23 Zu- abgeführte Energie __________________________________________________ 23 Entropieänderung ______________________________________________________ 23
Isotherme ______________________________________________________________ 24 Wärmeenergie _________________________________________________________ 24 Zu- abgeführte Energie __________________________________________________ 24
Isentropen _____________________________________________________________ 24 Isentropenexponent _____________________________________________________ 24 Zustandsgleichung______________________________________________________ 24 Volumenänderungsarbeit ________________________________________________ 25 Technische Arbeit ______________________________________________________ 25
Polytropen _____________________________________________________________ 26 Wärmeenergie _________________________________________________________ 26 Volumenänderungsarbeit ________________________________________________ 26 Entropie ______________________________________________________________ 26
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Grundbegriffe der technischen Strömungslehre Masse
nMm *� [kg] M = molare Masse n = Stoffmenge Volumen
mvV *� [m3] v = spezifisches Volumen [m3/kg] m = Masse [kg]
molares Volumen
nVv � [m3/kmol] V = Volumen [m3]
n = Stoffmenge [kmol] Dichte
v1
�� [kg/m3] v = spezifisches Volumen [m3/kg]
TRp*
�� [kg/m3]
Temperatur-Umrechnungen
273�� tT [°C] T = Temperatur in [K] t = Temperatur in [°C]
� 3295
�� Ftt � [°C] tF = Tenmperatur in [°F]
ttF 5932 �� [°F]
Druck
AFp N
� [N/m2] = [Pa] FN = Normalkraft [N]
A = Fläche [m2]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Der Absolute Druck
Luftdruck in der Höhe h
0
0 **
0 * phg
epp��
� [bar] p0 = Normdruck 1,013 [bar] �0 = Normdichte 1,293 [kg/m3] Z-Werte für trockene Luft
TRVpz
**
�
Druck Temperatur Bar 0°C 100°C 200°C 0 1,0000 1,0000 1,0000
19,62 0,9895 1,0027 1,0064 49,05 0,9779 1,0087 1,0168 98,10 0,9699 1,0235 1,0364
Zustandsgleichung
.* konstTVp
�
TRvp ** � p = Druck [Pa]
v = spez. Volumen [m3/kg] R = spez. Gaskonstante [J/kg*K] T = Temperatur [K] Oder
TRmVp *** � V = Volumen [m3] m = Masse [kg]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Allgemeine Gaskonstante
8314�AR [J/kmol*K] Spezielle Gaskonstante
MMRR A 8314
�� M = Molarmasse [kg/kmol]
Tabelle: Gaskonstante, Dichte und spez.Wärmekapazität von Gasen Gas Symbol Mole-
Kulare Masse
M
MolaresNorm-
volumen
Gas- kon-
stanteR
Dichte bei 0°C,1013bar
�
Dichte-verhält-
nis Luft=1
Spez.Wärmekap.bei 0°C
K= cp/cv
m3/kmol J/kg*K kg/m3 cp kJ/kg*K
cv kJ/kg*K
Azetylen C2H2 26,04 22,23 319,5 1,171 0,906 1,51 1,22 1,26Ammoniak NH3 17,03 22,06 488,2 0,772 0,597 2,05 1,56 1,31Argon Ar 39,95 22,39 208,2 1,784 1,380 0,52 0,32 1,65Chlorwasserstoff HCl 36,46 22,20 228,0 1,642 1,270 0,81 0,58 1,40Ethan C2H6 30,07 22,19 276,5 1,356 1,049 1,73 1,44 1,20Enthylchlorid C2H5Cl 64,50 --- 128,9 2,880 2,228 --- --- 1,16Ethylen C2H5 28,03 22,25 296,6 1,261 0,975 1,61 1,29 1,25Helium He 4,003 22,43 2077,0 0,178 0,138 5,24 3,16 1,66Kohlendioxyd CO2 44,01 22,26 188,9 1,977 1,529 0,82 0,63 1,30Kohlenoxyd CO 28,01 22,40 296,8 1,250 0,967 1,04 0,74 1,40Luft (CO2-frei) --- 28,96 22,40 287,1 1,293 1,000 1,00 0,72 1,40Methan CH4 16,04 22,36 518,3 0,717 0,555 2,16 1,63 1,32Methylchlorid CH3Cl 50,48 --- 164,7 2,307 1,784 0,73 0,57 1,29Sauerstoff O2 32,00 22,39 259,8 1,429 1,105 0,91 0,65 1,40Schwefeldioxyd SO2 64,06 21,86 129,8 2,931 2,267 0,61 0,48 1,27Stickoxyd NO 30,01 22,39 277,1 1,340 1,037 1,00 0,72 1,39Stickoxydul N2O 44,01 22,25 188,9 1,978 1,530 0,89 0,70 1,27Stickstoff N2 28,01 22,40 296,8 1,250 0,967 1,04 0,74 1,40Wasserstoff H2 2,016 22,43 4124,0 0,0899 0,0695 14,38 10,26 1,41Wasserdampf H2O 18,02 (21,1) 461,5 (0,804) (0,621) 1,93 1,45 1,33 Tabelle: Wahre spezifische Wärmekapazität cp von Gasen in kJ/kg*K Bei konstantem Druck Temperatur °C O2 H2 N2 H2O CO2 Luft
0 0,915 14,10 1,039 1,859 0,815 1,004 50 0,925 14,32 1,041 1,875 0,864 1,007
100 0,934 14,45 1,042 1,890 0,914 1,010 200 0,963 14,50 1,052 1,941 0,993 1,024 500 1,048 14,66 1,115 2,132 1,155 1,092
1000 1,123 15,62 1,215 2,482 1,290 1,184 1500 1,164 16,56 1,269 2,755 1,350 1,235 2000 1,200 17,39 1,298 2,938 1,378 1,265
Die spez. Wärmekapazität cp je m3 erhält man durch Multiplikation mit der Dichte �.
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Dichte eines Gases bei Normzustand
414,22M
vM
n ��� [kg/m3] M = Molmasse [kg/kmol]
n
nn TR
p*
�� [kg/m3] pn = Normdruck 101300 [Pa]
R = spez. Gaskonstante [J/kg*K] Tn = Normtemperatur 273 [K] Dichte von Gasen
TT
pp n
nn **�� � [kg/m3]
Spezifische Wärmekapazität
tmQc�
�*
' [J/kg*K] [kJ/kg*K] Q’ = Wärmemenge [J] [kJ]
m = Masse [kg] �t = Temperaturdifferenz [K] cp = Spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck cv = Spez. Wärmekapazität bei konstantem Volumen Mittlere spez. Wärmekapazität
12
0102 )()( 1
0
2
0
tt
ttcttcc
tt
tt
m�
���
� [kJ/kg*K]
Für Wasser: 4,19 [kJ/kg*K] Für Luft: 1.006 [kJ/kg*K] Mischen von Stoffen bei gleichbleibendem Aggregatszustand
2211
222111
******
mcmctmctmctm
�
�� [°C]
Beim Mischen zweier gleichen Stoffe (c1=c2):
21
2211 **mm
tmtmtm�
�� [°C]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Schmelz- oder Erstarrungswärme (latent)
smQ *� [kJ] m = Masse [kg] s = spez. Schmelzwärme [kJ/kg] Verdampfungs- oder Verflüssigungswärme (latent)
rmQ *� [kJ] m = Masse [kg] r = spez. Verdampfungsw. [kJ/kg] Längenausdehnung bei Temperaturänderung Längenausdehnungskoeffizient
)( 121
121 ttl
ll�
��� [K-1] l = Länge [m]
t = Temperatur [K] Länge bei erhöhter Temperatur
)*1( 012 tll ��� � [m] l1 = Anfangslänge [m] a0 = Längenausdehnungskoeff. [K-1] �t = Temperaturdifferenz [K] Volumenausdehnung bei Temperaturänderung
)*1( 012 tVV ��� � [m3] V1 = Anfangsvolumen [m3] �0 = Raumausdehnungskoeff. [K-1] �t = Temperaturdifferenz [K] Wärmespannung
tE ��� **0� [N/mm2] �0 = Längenausdehnungskoeff. [K-1] E = Elastizitätsmodul [N/mm2] �t = Temperaturdifferenz [K]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Ausdehnung von Flüssigkeiten
t���
*1 0
0
�
�� [kg/m3] �0 = Dichte bei 0°C [kg/m3]
�0 = Volumenausd.Koeff. [K-1] �t = Temp.Differenz [K]
Temperaturabhängige Änderung von Gasen
00 TT
VV
� V = Volumen
T = Temperatur
Thermodynamische Prozesse
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Volumenänderungsarbeit pro kg
��ist die Arbeit, die zugeführt wird, um ein Volumen zu ändern (bei geschlossenen Systemen).
mWw � [kJ/kg] W = Volumenänderungsarbeit [kJ]
wobei gilt: dem System zugeführte Arbeit: w<0 (-) aus dem System abgeführte Arbeit: w>0 (+)
VpsApsFW **** ����� [kJ] F = Kraft [N] �s = Kolbenweg [m] A = Kolbenfläche [m2] P = Druck [Pa] V = Volumen [m3]
Technische Arbeit pro kg
��ist die Arbeit, die in eine offenen System zugeführt wird. Sie ist die dauernd zu- oder abgeführte Wellenleistung.
mWw t
t � [kJ/kg] Wt = technische Arbeit [kJ]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
spezifische Enthalpie
vpuh *�� u = innere Energie p = Druck [Pa] v = spez. Volumen
2,12,112 twqhhh �����
)( 12 TTch p ��� Zusammenhang zwischen cp und cv
vp ccR �� R = spezielle Gaskonstante Enthalpiedifferenz beim Wärmetauscher
tch p ��� *
Gasmischung Masse einer Gasmischung
...321 mmmm ��� Volumen einer Gasmischung
...321
VV
VV
VV
�� V1 = Volumen des Einzelagses
V = Volumen nach der Mischung Volumenprozent
VVr i
i � [-] Vi = Volumen d. Einzelgases vorher
V = Gesamtvolumen nachher
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Das Gesetz von Dalton
Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrücke.
321 pppp ��� Partialdruck
prp ii *� ri = Volumenprozent [-] p = Gesamtdruck des Gemisches Die Partialdrücke verhalten sich in einem idealen Gasgemisch wie die Raumanteile
2
1
2
1
pp
rr�
Dichte einer Gasmischung
...** 2211 ��� rrm �� [kg/m3] r = Volumenprozent [-] � = Dichte des Einzelgases spezielle Gaskonstante eines Gasgemisches
...** 2211 RgRgRm �� wobei:
mm
g 11 � m1 = Masse des Gases 1
m = Gesamtmasse d. Gemisches spezifische Wärmekapazität eines Gemisches
...** 2211 cgcgcm �� gilt für cp und cv Zusammenhang zwische Massen und Raumanteil
m
iii rg
�
�*�
i
mii RRrg *�
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Gas-Dampf-Gemisch Barometerdruck
DLb ppp �� pL = Druck der trockenen Luft pD = Druck des Wasserdampfes Relative Feuchte
s
D
pp
�� [%] pD = Dampfdruck
ps = Sättigungsdruck
s
D
mm
�� [%] mD = EnthalteneWasserdampfmenge
ms = max. mögliche Wasserdampf- menge
Absolute Feuchte
L
D
mmx � [g/kg] mD = Masse des Wasserdampfes [g]
mL = Masse der trockenen Luft [kg] Masse der trockenen Luft
1��
xmmL [kg] m = Masse der Luft (Gemisch) [kg]
x = Absolute Fechte [kg/kg] Zusammenhang von absoluter und relativer Feuchte
sb
s
pppx*
**622.0�
�
�
� ps = Sättigungsdruck
pb = Barometerdruck Wenn die Luft gesättigt ist:
sb
ss pp
px�
� *622.0
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Dichte feuchter Luft
TRp
Rpp
Vm
D
s
L
sb 1**���
����
��
�
��� [kg/m3]
oder
Tp
RxRx b
DL
**
1�
��� [kg/m3]
Enthalpie feuchter Luft
DL hxhh *�� [kJ/kg*K] hL = spez.Enthalpie der Luft bei Temp. t x = absolute Feuchte hD = spez.Enthalpie des
Wasserdampes bei Temp. t
)*86.12500(*006.1 txth ��� Enthalpie des Wasserdampfes
tcrh pDDD *�� rD = Verdampfungswärme bei 0°C
H-x-Diagramm
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
TS-Zürich Seite 16 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Der Taupunkt
Die Feuchtkugeltemperatur
Die Mischung von Luft
21
22112211
''*'*'*'*'
mmhmhm
mhmhmh
Mm
�
��
��
21
22112211
''*'*'
'*'*'
mmxmxm
mxmxmx
Mm
�
��
��
TS-Zürich Seite 17 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Die Lufterwärmung
hmtcmQ p ���� '**'*' Temperaturerhöhung im Ventilator
pcmPt'*
�� P = Motorenleistung [W]
m’ = Massenstrom Luft [kg/s] cp = spez. Wärmekapazität von Luft
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Die Dampfbefeuchtung Spezifische Enthalpie des Wasserdampfes (wird in den Randmassstab eingetragen) Sattdampf (aus Tabelle): "h Überhitzter Dampf: )(" sDD ttchh ���
tD = Dampftemperatur ts = Sattdampftemperatur
Befeuchterleistung
hmQ B �� '*' [kW] notwendige Dampfmenge
1000'*' xmm D�
� [kg/h]
Die Befeuchtung durch Wasserverdunstung
TS-Zürich Seite 19 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Befeuchterleistung
tcmhmQ pB ���� *'*'*' [kW] verdunstete Wassermenge
1000'*' xmmW�
� [kg/h]
Befeuchter-Wirkungsgard
1
2
xxxx
sB
�
�
��
Kühlung der Luft Ohne Wasserausscheidung Bedingung für eine Kühlung ohne Wasserausscheidung ist:
��tO > tp
��x1 = x2 (x = konstant) Mit Wasserausscheidung Bedingung für eine Kühlung mit Wasserausscheidung ist:
��tO < tp
��x1 � x2
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Kühleroberflächentemperatur
)(15.0 1 KKO tttt ��� [°C] tK = mittl. Kühlwassertemp. [°C] t1 = Lufteintrittstemp. In Kühler [°C] oder (für die Praxis)
][3 Ktt mO �� [°C] tm = mittl. Kühlwassertemp. [°C] Mittlere Kühlwassertemperatur
2RV
Kttt �
� [°C] tV = Vorlauftemperatur [°C]
tR = Rücklauftemperatur [°C] Bypassfaktor
01
02
xxxxfB
�
�
� [-]
Kühlerleistung
hmQ �� '*' [kW] m’ = Luftmassenstrom [kg/h] �h = Enthalpiediff. [kJ/kg] Auskondensierte Wassermenge
1000'*' xmm K�
� [kg/h] m’ = Massenstrom Luft [kg/h]
�x = abs. Feuchte-Differenz [kg/kg]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Zustandsänderung der Gase Begriffe Isobare = Zustandsänderung bei konstantem Druck (z. B. Lufterhitzer / Luftkühler / Befeuchter) Isochore = Zustandsänderung bei konstantem Volumen (z. B. Gasflasche) Isotherme = Zustandsänderung bei konstanter Temperatur (in Praxis nicht vorkommend) Isentrope = Zustandsänderung ohne Wärmeeinwirkung (z. B. Adiabate Kühlung) Polytropen = Zustandsänderung bei der sich gleichzeitig alle Grössen verändern können Entropie-Änderung � auf die absolute Temperatur bezogene Änderung der Wärmeenergie
TQS �
�� [kJ/K] �Q = reversible zu- oder abgeführte
Wärmeenergie [kJ] T = absolute Temperatur [K] Entropieänderung bezogen auf die Masseneinheit: �s [kJ/kg*K]
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FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Isobare
2
1
2
1
TT
vv
�
Isobare Expansion => Ausdehnung Isobare Kontraktion => Zusammenziehen Zu- abgeführte Energie
)( )(
12
12122,1
ttcTTchhq
p
p
��
����
Entropieänderung
1
212
1
212
ln
ln
TTcsss
odervvcsss
p
p
����
����
Isochore
2
1
2
1
TT
PP
�
Zu- abgeführte Energie
)( )(
12
12122,1
ttcTTcuuq
v
v
��
����
Entropieänderung
1
212
1
212
ln
ln
TTcsss
oderppcsss
v
v
����
����
TS-Zürich Seite 23 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Isotherme
1
2
2
1
VV
PP
�
Wärmeenergie
2
1112,12,1
1
212,12,1
ln**
ln**
ppvpww
oderVVTRww
t
t
��
��
Zu- abgeführte Energie
2,12,12,1 wwq t ���� Isentropen Isentropenexponent
v
p
cc
�� [-] cp = spez. Wärmekap. bei
konstantem Druck [kJ/kg*K] cv = spez. Wärmekap. bei konstantem Volumen [kJ/kg*K] aber auch
�
� 1��
pcR
1�� �
vcR
Zustandsgleichung
.* konstvp ��
TS-Zürich Seite 24 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
und deshalb:
�
���
����
��
1
2
2
1
vv
pp
1
2
1
2
1�
���
����
��
�
�
TT
pp
1
1
2
2
1
�
���
����
��
�
vv
TT
�
� 1
2
1
2
1
�
���
����
��pp
TT
�
1
2
1
1
2���
����
��pp
vv
1
1
2
1
1
2�
���
����
��
�
TT
vv
Volumenänderungsarbeit
� 212,1 1TTRw �
�
�
�� � �22112,1 *
11 vpvpw ��
�
�
�
Technische Arbeit
2,12,1 *wwt ��
TS-Zürich Seite 25 M. Laube
FORMELSAMMLUNG THERMODYNAMIK
Polytropen Wenn alle Zustandsänderungen auftreten.
.* konstvp n�
n ist der sogenannte Polytropenexponent. Er kann alle Werte zwischen �� annehmen. Es gilt:
- Isobare n = 0 - Isochore n = �� - Isotherme 1 - Isentrope �
Wärmeenergie
2,1122,1 )( wTTcq v ��� )(1 122,1 TT
nncq v �
�
�
�
�
Volumenänderungsarbeit
)(1 212,1 TT
nRw �
�
� )(11
212,1 TTn
cw v �
�
�
�
�
Entropie
2
112 ln*
1 TT
nncsss v �
�
���
�
�
����
�
1
2
1
2 ln*ln*ppR
TTcs p ���
1
2
1
2 ln*ln*vvR
TTcs v ���
TS-Zürich Seite 26 M. Laube