Fundamentos Matematicos IV
Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver
Programacion Lineal
• Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b.
b
Tang(α)=a
• En general, las funciones lineales no estan acotadas.
• Si la funcion esta acotada, el maximo y el minimo estaria en alguno de sus extremos.
Region Factible
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
x+y ≤ 8x+y ≤ 8
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
x+y ≤ 8x+y ≤ 8
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
x+y ≤ 8x+y ≤ 8
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
x+y ≤ 8x+y ≤ 8
(8,0)
(1,7)(0,7)
(0,2)
(2,0)
Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:
y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2
x ≥0,y ≥0
Generalizacion a funciones de varias variables:
Y ≤ 7
x+y ≤ 8x+y ≤ 8
(8,0)
(1,7)(0,7)
(0,2)
(2,0)
f(1,7)=22
f(0,7)=21
f(8,0)=8
f(0,2)=6
f(2,0)=2
Max
Min
Ejemplo B: Dada la funcion B(x,y)=3x+8y con las restricciones x+y ≤ 3 2x+y ≤ 5 0≤ x, 0 ≤y
(i) Determinar cual de los siguientes puntos pertenece a la region factible y calcular es el valor de la funcion B: (1,1),(1,4),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(3,3),(6,6).(i) Encontrar el valor maximo de la funcion B sobre las restricciones del problema.
(1,1) pertenece ya que 1+1 ≤ 3 y 2+1 ≤ 5, B(1,1)=11(1,4) NO pertenece ya que 1+4 no es menor que 3(1,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 2 y el valor es 3 + 8a(2,1) pertenece ya que 2+1 ≤ 3 y 4+1 ≤5, el valor es 14(2,2) no pertenece ya que 2+2 no es menor que 3(2,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 1 y el valor es 6 +8a(3,3) no pertenece ya que 3+3 no es menor que 3(6,6) no pertenece ya que 6+6 no e menor que 3
x+y ≤ 3 2x+y ≤ 5 0≤ x, 0 ≤y
(0,3)
(3,0)
(2,1)
(5/2,0)
(0,5)(0,3)24
(2,1)14
(2.5,0)7,5
Maximizar B(x,y)=3x+8y
Una planta Industrial tiene tres tipos de maquinas M1, M2 y M3 que fabrican dos productos Pr1 y Pr2. Para producir una unidad de Pr1 se necesitan 2 horas de M1, 1 hora de M2 y 1 hora de M3. Para producir una unidad de Pr2 se necesita una hora de M1,1 hora de M2 y 3 horaw de M3. Si el numero de horas disponibles de M1 es 70, de M2 es 40 y de M3 es 90 y el beneficio de Pr 1 es 40 euros y el de Pr2 es 60 euros. ¿Cual es el numero de unidades de Pr1 y Pr2 que se necesitan para maximizar el beneficio?
Problema 1:
Maximizar X1*40+X2*60
2*X1+X2 ≤701*X1+X2 ≤401*X1+3*X2 ≤90
Maximizar X1*40+X2*60
2*X1+X2 ≤701*X1+X2 ≤401*X1+3*X2 ≤90
(30,10)
(35,0)
(15,25)(0,30)
(0,0)
(0,30)->1800(15,25)->2100(30,10)->1800(0,0)->0(35,0)->1400
Problema 2
Un fabricante de juegos produce dos juegos (Zip y Zap). El margen de los beneficios es de 30 euros y del segundo es 20 euros. Zip requiere 6 horas de elaboracion, 4 de ensamblaje y 5 de embalaje. Zap requiere 3 horas de elaboracion, 6 de ensamblaje y 5 de embalaje. Si se disponen de 54 horas de elaboracion, 48 de montaje y 50 de embalaje, ¿ Cuantas unidades de cada juego se deben producir para obtener el maximo beneficio?
Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 ≤ 544*X1 +6*X2 ≤ 485*X1 +5*X2 ≤ 50
Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 ≤ 544*X1 +6*X2 ≤ 485*X1 +5*X2 ≤ 50
(0,8) (6,4)
(8,2)
(9,0)
(0,8)->160(6,4)->260(8,2)->280(9,0)->270(0,0)->0
El metodo Simplex de optimizacion
Imaginemonos que queremos maximizar Z= 3x+5ySujeto a x≤42y ≤122x+3y ≤180 ≤x,0 ≤y
(0,6)
(2,6)
(0,0)
(4,3)
(4,0)
(0,6)
(2,6)
(0,0)
(4,3)
(4,0)
Empezamos en (0,0) y miramos si la funcion crece cuando nos desplazamos por alguna de las dos aristas que son incidentes a (0,0)
(0,6)
(2,6)
(0,0)
(4,3)
(4,0)
Iteracion 1:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 0,6)
(0,6)
(2,6)
(0,0)
(4,3)
(4,0)
Iteracion 2:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 2,6)
Maximizar Z=2x1+4x2-x3 con las restricciones3x2-x3 ≤ 302x1-x2+x3 ≤ 104x1+2x2-2x3 ≤ 400 ≤x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3
Primer Paso: Construir la matriz ampliada
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Ejemplo Simplex:
Segundo Paso: Construir la tabla asociada a lamatriz ampliada
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40
Iteracion I
Paso 1: Seleccionar la variable saliente (que tiene el coeficiente más negativo) x2
Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.
X4 30/3=10X5 10/-1=-10X6 40/2=20
(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 3 -1 1 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20
Iteracion I
Paso 3: Hacemos Gauss en la variable elegida
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20
Iteracion I
Paso 3: Hacemos que el pivote sea 1 para que luego seamas facil
Solucion iteracion 1: (0 10 0 0 20 20) Z=40
Prueba de optimalidad: Existen valores negativos en la ecuacion principal?
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20
Iteracion II
Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x1
Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.
X2 10/0=INFX5 20/2=10X6 20/4=5 (tiene el coeficiente positivo mas pequeño)
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5
Iteracion II
Solucion iteracion 2: (5 10 0 0 10 0) Z=50
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5
Iteracion II
Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x3
Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.
X2 10/(-1/3)=-30X5 10/(4/3)=30/4X1 5/(-1/3)=-15
(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)
Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40
Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes
Z 1 0 0 0 3/2 3/4 1/8 230/4 X2 0 0 1 0 1/2 1/4 -1/8 50/4X3 0 0 0 1 1/2 3/4 -3/8 30/4X1 0 1 0 0 0 1/4 1/8 30/4
Iteracion III
Sol Final: (30/4, 50/4, 30/4, 0 0 0) Z=230/4
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