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Derivada enun punto
Interpretaciongeometrica
Funcionderivada
Derivadaselementales
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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Indice
Derivada en un punto
Interpretacion geometrica
Funcion derivada
Algebra de derivadas
Regla de la cadena
Tabla de derivadas
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Derivada en un punto
Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite
lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(equivalente a lım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
)El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por
f ′(a) odf
dx(a)
De modo que:
Definicion
f ′(a) = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
o bien
f ′(a) = lımx→a
f(x)− f(a)
x− a
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Derivada en un punto
Ejemplo
Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:
f ′(1) = lımh→0
f(1 + h)− f(1)
h=
= lımh→0
(1 + h)2 − 1
h=
= lımh→0
1 + h2 + 2h− 1
h=
= lımh→0
h(h+ 2)
h=
= lımh→0
h+ 2 = 2
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Interpretacion geometrica
La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe
Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a
y − f(a) = f ′(a)(x− a)
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Interpretacion geometrica
Ejemplo
La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:
y − f(1) = f ′(1)(x− 1)
es decir,y − 1 = 2(x− 1)
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Funcion derivada
La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto
Funcion derivada
f ′(x) = lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h
Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.
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Funcion derivada
Ejemplos de derivadas de funciones elementales
f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1
Ejemplo
Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3
f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34
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Funciones derivadas elementales
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Funciones derivadas elementales
Funcion seno
y = sen(x) y′ = cos(x)
Funcion coseno
y = cos(x) y′ = −sen(x)
Funcion tangente
y = tg(x) y′ =1
cos2(x)
Funcion logaritmo
y = L(x) y′ =1
x
Funcion exponencial
y = ax y′ = ax · L(a)
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Algebra de derivadas
Suma de funciones
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
Producto de una funcion por un numero λ
(λf(x))′ = λf ′(x)
Producto de funciones
(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Cociente de funciones(f(x)
g(x)
)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)
(g(x))2
Composicion de funciones (regla de la cadena)
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
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Funciones derivadas elementales
Ejemplos
(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)
(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)
(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(x2
sen(x)
)′=
2xsen(x)− x2 cos(x)
(sen(x))2
(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x
(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2
(tg(x2))′ =1
cos2(x2)· 2x
(L(x4))′ =1
x4· 4x3
(3x2
)′ = 3x2
· L(3) · 2x
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Teorema
Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto
Ejemplo
f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.
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Teorema de Rolle
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
f(a) = f(b)
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0
Ejemplo
Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0
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Teorema del valor medio de Lagrange
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
}entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = f(b)−f(a)b−a
Ejemplo
Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)
4−1= 2 = f ′(2′5)
Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).
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Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))
Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c)
es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.
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Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.
Regla de L’Hopital
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,
O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞
g′(x) no se anula en el entorno reducido,
∃ lımx→a
f ′(x)
g′(x),
entonces existe lımx→a
f(x)
g(x)y
lımx→a
f(x)
g(x)= lım
x→a
f ′(x)
g′(x)
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La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .
Ejemplo
Para calcular el siguiente lımite
lımx→0
sen(x)
x
podemos utilizar la Regla de L´Hopital:
lımx→0
sen(x)
x= lım
x→0
sen′(x)
x′= lım
x→0
cos(x)
1= 1
La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:
Ejemplo
lımx→0+
L(x)
x= lım
x→0+
L′(x)
x′= lım
x→0+
1/x
1=∞