1
Logica & Verzamelingen
Prof. Dr J.-J. Ch. MeyerICS - UU
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 2
Logica & Verzamelingen
� Logica:� Verplicht boek “The Essence of Logic” door
John Kelly, Prentice Hall
� Verzamelingen:� Verplicht boek “Set Theory and Related
Topics” door Seymour Lipschutz, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 3
Logica
� λογικη (logikè) = de logos (rede) betreffend� Definities van ‘logica’
� De kunst van het redeneren� Leer omtrent het opstellen van begripsoordelen en
het trekken van gevolgtrekkingen uit tweebijeenbehorende oordelen
� Denkleer� Leer van het juist redeneren
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 4
Raakvlakken
� Argumentatieleer� Kennisrepresentatie� Inferentie(systemen)� Cognitieve psychologie & AI
� descriptief gebruik van logica
� Normatieve wetten� prescriptief gebruik van logica
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 5
Geschiedenis van de logica
� Aristoteles syllogismen� Leibniz characteristica universalis,
ars combinatoria� Boole boole’se algebra
� Frege Begriffschrift� Peano axioma’s rekenkunde
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 6
Geschiedenis van de logica
� Russell & Principia MathematicaWhitehead
� Hilbert formalistische wiskunde� Gödel (on)volledigheidsstellingen
� Tarski semantiek� Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus
waarheidstafels
2
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 7
Correspondentie
� Syntax ↔ Semantiek (betekenis)
� taal ↔ wereld� propositie ↔ feit� prim. prop. ↔ stand van zaken� naam ↔ object
� Bewijsbaarh. ↔ Waarheid� Formalisme ↔ Model
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 8
Logica & (wiskundig) redeneren
� Contrapositie� Stelling: P ⇒ Q� Bewijs: bewijs ¬Q ⇒ ¬P
� Reductio ad absurdum (bewijs uit hetongerijmde)� Stelling: P� Bewijs: neem aan ¬P. Dan … :
contradictie. ∴ P
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 9
Logica & (wiskundig) redeneren
Voorbeeld contrapositie:� Stelling: even(n2) ⇒ even(n)� Bewijs: we bewijzen:� ¬even(n) ⇒ ¬even(n2)
� Bewijs: oneven(n) ⇒n = 2a + 1 (a ∈ N) ⇒n2 = 4a2 + 4a + 1 ⇒oneven(n2) Q.E.D.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 10
Logica & (wiskundig) redenerenVoorbeeld Reductio ad absurdum� Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen
(P)� Bewijs: Stel ¬P: er zijn slechts eindig veel
priemgetallen: p1, …, pn.� Beschouw nu m = (p1• …• pn) + 1. Nu pi is
geen deler van m (voor alle i). Dus m is priem. Echter m ≠ pi (voor alle i) omdat m>pi(alle i). Contradictie. Dus P: er zijn oneindigveel priemgetallen. Q.E.D.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 11
Logica & informatica
� Hardware poorten, circuits� Software programma’s
� i.h.b. logisch programmeren (PROLOG)
� Theorie wiskundig en logisch van aard
� i.h.b. programmacorrectheid
� Applicaties� Gegevens- en kennisbanken� Kunstmatige intelligentie en
kennisrepresentatie (expertsystemen)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 12
Waarschuwing vooraf!
� Object van studie van de logica is hetredeneren, maar om erover te pratenredeneren we vaak ook in ‘meta-taal’.
� Soms gaan we zelfs op nog hogereniveaus praten: redeneren over eenmeta-notie…
� Dit kan soms verwarrend zijn. Houdaltijd het niveau goed in de gaten!
3
Basistheorie propositielogica
waarheidstafelslogische equivalentie
logisch gevolg
consistentie en geldigheidLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 14
Basisingrediënten logica
� Logische connectieven� ∧ en
� ∨ of
� ¬ niet
� → impliceert, als … dan …
� ↔ bi-impliceert, als en slechts als
� Proposities worden opgebouwd m.b.v. dezelogische connectieven (en atomen)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 15
Waarheidswaarden
� Een propositie heeft eenwaarheidswaarde: waar (T) of onwaar(F)
� We schrijven v(A) voor de waarheidswaarde (‘value’) van A
� T en F worden soms ook welaangegeven met 1 resp. 0
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 16
Waarheidstafels
� Waarheidstafels geven een uitputtendeopsomming van waarheidswaarden van de constituerende proposities van eenlogische uitdrukking
� Bijv. voor de negatie geldt:� v(¬A) = T als v(A) = F� v(¬A) = F als v(A) = T
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 17
Waarheidstafel van ‘niet’
FT
TF
¬AA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 18
Waarheidstafel voor ‘en’
TTT
FFT
FTF
FFF
A∧BBA
4
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 19
Waarheidstafel voor ‘of’
TTT
TFT
TTF
FFF
A∨BBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 20
Waarheidstafel voor ‘als-dan’
TTT
FFT
TTF
TFF
A→BBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 21
Waarheidstafel voor ‘aesa’
TTT
FFT
FTF
TFF
A↔BBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 22
Opmerking over implicatie� De implicatie in klassieke propositielogica
komt niet helemaal overeen met de ‘als …dan’ in natuurlijke taal!
� Vergelijk:� Als de maan van kaas is, dan zal het oppervlak
wel lekker smaken� Als de maan van kaas is, dan is 2 x 2 = 5
� Beide proposities zijn waar omdat de premisse onwaar is, maar de eerste lijkt veel‘zinniger’ dan de tweede!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 23
Alternatieve representatie
� Boomvorm� Bijv. voor ‘en’:
A
B B
F
F F
T
TT
TFFF
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 24
Alternatieve beschrijvingwaarheidstafelsGegeven v: atomen → {F, T}, breid v uit op
complexe proposities:� v(¬A) = T ⇔ niet v(A) = T
� v(A ∧ B) = T ⇔ v(A) = T en v(B) = T
� v(A ∨ B) = T ⇔ v(A) = T of v(B) = T
� v(A → B) = T ⇔ als v(A) = T dan v(B) = T
� v(A ↔ B) = T ⇔ v(A) = T aesa v(B) = T
� v(0) = F
5
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 25
WaarheidstoekenningsfunctieGegeven valuatiefct v: atomen → {0,1}, breid v
uit tot complexe proposities als volgt:� v(¬A) = 1 − v(A)� v(A ∧ B) = min {v(A), v(B)}� v(A ∨ B) = max {v(A), v(B)}� v(A → B) = max {1 − v(A), v(B)}� v(A ↔ B) = min{ max {1 − v(A), v(B)},
max {1 − v(B), v(A)} }� v(0) = 0
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 26
Nog een alternatieve definitie
� Door i.p.v. v(A) = T te schrijven v ⊨ A (“v maakt A waar”), krijgen we de zgn. Tarskiaanse waarheidsdefinitie voorpropositielogica
� Tarskiaanse definities kunnen worden gegeneraliseerd tot de meer complexelogica’s die we later nog zullen zien(predicatenlogica en de logica’s in het vakLogica voor AI).
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 27
Waarheidsdefinitie à la Tarski� v ⊨ p ⇔ v(p) = T voor atoom p� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B
� v ⊭ 0
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 28
Model van een bewering
� De waarheidswaarde van een beweringhangt af van de waarheidstoekenning aan deatomen die erin voorkomen.
� Een waarheidstoekenning aan de atomenzodanig dat v(A) = T wordt een model van de bewering A genoemd� [Met de Tarskiaanse waarheidsdefinitie (v ⊨ A) in
gedachten, kunnen we in feite dat model (die waarheidstoekenning) aanduiden met v zelf]
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 29
Model van een verzamelingbeweringen� Zij {A1, …, An} een verzameling
beweringen. � Een waarheidstoekenning aan atomen
is een model van de verzameling{A1, …, An} als geldt dat die waarheidstoekenning elke Ai waarmaakt, d.w.z. v(A1) = … = v(An) = Tonder die waarheidstoekenning.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 30
Tautologie en contradictie
� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde T heeft, noemen we deze expressie eentautologie.
� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde F heeft, noemen we deze expressie eencontradictie.
6
31
Voorbeeld: (A∧∧∧∧B)→→→→ (C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))
TTTFFTTTT
TTTTFTFTTTTFFTFTFTTTTTTFFFTTTTFFFTTFTTTTFFFTFTTFFTFTFF
TTTTTFFFF
(A∧∧∧∧B)→→→→(C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))
C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C)
¬B→→→→¬C¬C¬BA∧BCBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 32
Voorbeeld: P∧¬P
FFT
FTF
P∧¬P¬PP
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 33
N.B.
� Een contradictie A heeft geen modellen, d.w.z. geen waarheidstoekenning aande atomen zodat v(A) = T.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 34
Logische equivalentie
� Twee logische expressies zijn logischequivalent als ze dezelfdewaarheidstafel hebben (d.w.z. bij elketoekenning van waarheidswaarden aande atomen dezelfde waarheidswaarde)
� Notatie: A ≡ B : A en B zijn logischequivalent
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 35
Voorbeeld
TTT
FFT
FTF
FFF
A∧BBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 36
Voorbeeld
TFFFTT
FTTFFT
FTFTTF
FTTTFF
¬(¬A∨¬B)¬A∨¬B¬B¬ABA
7
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 37
Voorbeeld
� Dus:
A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 38
Stelling
A ≡ B
⇔
A ↔ B is een tautologie
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 39
Bewijs
A ≡ B ⇔
[voor alle v: v(A) = T ⇔ v(B) = T] ⇔
[voor alle v: v(A ↔ B ) = T] ⇔
A ↔ B is een tautologie
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 40
Nogmaals tautologie en contradictie
� We gebruiken het symbool 1 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde T (1) heeft.
� We gebruiken het symbool 0 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde F (0) heeft.
� Voor een tautologie A geldt dus A ≡ 1� En voor een contradictie A geldt A ≡ 0
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 41
Wetten van logischeequivalentie
� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 42
Wetten van logischeequivalentie� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A� A ∧ ¬A ≡ 0� A ∨ ¬A ≡ 1� ¬¬A ≡ A
� A ∧ B ≡ B ∧ A� A ∨ B ≡ B ∨ A� A ∧ (A ∨ B) ≡ A� A ∨ (A ∧ B) ≡ A� A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B� A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B� (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ≡ A� A → B ≡ ¬A ∨ B� A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B)
8
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 43
Wetten van logischeequivalentie (2)
� Distributiviteit� A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)� A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
� Wetten van De Morgan� ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B� ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
� Logische equivalentie voldoet aan de wetten van een Boole’se algebra.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 44
Eliminatie van connectieven� We hebben gezien dat A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)
� Dat wil dus zeggen dat uitdrukkingen met ∧kunnen worden uitgedrukt in ¬ en ∨, en dus‘geëlimineerd’.
� Verder geldt: A → B ≡ ¬A ∨ B� En A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ (¬A ∨ B) ∧
(¬B ∨ A)� Dus we kunnen volstaan met de
connectievenverzameling {¬, ∨}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 45
Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling
� {¬, ∨} heet een voldoende (in Kelly ‘sufficient’ genoemd) verzamelingconnectieven. Andere van zulkevoldoende connectievenverzamelingenzijn:
� {¬, ∧}� {→, 0}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 46
Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling� {¬, ∧} is voldoende:
� A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B)� A → B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …
� {→, 0} is voldoende:� ¬A ≡ A → 0� A ∨ B ≡ ¬(¬A) ∨ B ≡ ¬A → B ≡ (A → 0) → B� A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B) ≡ ¬(A → ¬B) ≡
(A → (B → 0)) → 0� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 47
Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling
� {|}, waarbij ‘|’ de zgn ‘nand’ is� P | Q ≡ ¬(P ∧ Q)
� ¬P ≡ P | P� P ∧ Q ≡ ¬(P | Q) ≡ (P | Q) | (P | Q)
� {↓}, waarbij ‘↓’de zgn ‘nor’ is� P ↓ Q ≡ ¬(P ∨ Q)
� ¬P ≡ P ↓ P� P ∨ Q ≡ ¬(P ↓ Q) ≡ (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 48
Consistentie
� Een verzameling beweringen is consistent als ze alle tegelijk waarkunnen zijn; anders inconsistent
� Om de consistentie van {A1, …, An} te controleren maken we dus eenwaarheidstafel van de bewering A1∧ …∧ An en kijken of v(A1∧ … ∧ An) = T in de tafel ergens voorkomt.
9
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 49
Voorbeeld
� {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent
� {P, Q, Q →¬P} is inconsistent
50
{P, ¬Q, Q →¬P} is consistent
F
F
T
T
¬P
FTFTF
FTTFF
FFFTT
TTTFT
P ∧¬Q ∧(Q→¬P)
Q →¬P¬QQP
51
{P, Q, Q →¬P} is inconsistent
F
F
T
T
¬P
FTTF
FTFF
FFTT
FTFT
P ∧ Q ∧(Q→¬P)
Q →¬PQP
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 52
N.B.
� We merken dus op dat geldt:
{A} is inconsistent ⇔ A ≡ 0
� Niet: {A} is consistent ⇔ A ≡ 1� (alleen ‘⇐’)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 53
Argumenten: geldigheid
� Beschouw het argument:� Als het regent, dan worden de daken nat� Het regent� Dus: de daken worden nat
� In formele logica:� R → N� R� ∴∴∴∴ N
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 54
Checken van geldigheid
� Om de geldigheid van een argument te controleren moeten we nagaan of als de premissen waar zijn ook de conclusievan het argument waar is
� Formeler: bekijk argument A1, …, An ∴∴∴∴ B
� Dit is geldig als v(A1) = T en … en v(An) = T impliceert dat v(B) = T
10
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 55
Logisch gevolg
� Als de conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T
geldt, dan noemen we B een logischgevolg van A1, …, An
� Notatie: A1, …, An ⊨ B� Dus: als A1, …, An ⊨ B geldt dan is het
argument A1, …, An ∴∴∴∴ B geldig!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 56
Voorbeeld
� Het argument
R → N, R ∴∴∴∴ Nis geldig, omdat geldt dat
R → N, R ⊨ N(en dit kunnen we weer checken m.b.v. waarheidstafels.)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 57
Voorbeeld
TTTTT
FFFFT
TFTTF
FFTFF
N(R → N) ∧ R
R → NNR
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 58
Voorbeeld
T
T
T
T
((R → N) ∧ R) → N
TTTT
FFFT
TFTF
FFFF
N(R → N) ∧ R
NR
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 59
Observatie
� We zien dus� Enerzijds:
R → N, R ⊨ N
� Anderzijds:
((R → N) ∧ R) → N is een tautologie
� Dit is niet toevallig
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 60
Stelling
A1, …, An ⊨ B
⇔
(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologie
11
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 61
BewijsA1, …, An ⊨ B ⇔
[voor alle v: v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔
[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔
[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An → B ) = T] ⇔
(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologieLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 62
Nogmaals logisch gevolg
� De conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T
zegt in feite dat een willekeurig model van {A1, …, An } ook een model van B is.
� M.a.w. A1, …, An ⊨ B
zegt dat:“elk model van A1, …, An is ook ‘n model van B”
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 63
Ongeldige argumenten� Om te laten zien dat een argument
A1, …, An ∴∴∴∴ Bongeldig is, moeten we dus aantonen dat
A1, …, An ⊭ B.� D.w.z. dat er een model van {A1, …, An} is dat
geen model van B is!!!� M.a.w. we moeten in de waarheidstafel
zoeken naar een rij waar v(A1) = … = v(An) = T en v(B) = F.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 64
Voorbeeld
� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.
� Bewijs: we laten zien A, B → A ⊭ B
� M.a.w. dat er een model is van {A, B →A} dat geen model van B is
� M.a.w. dat er in de waarheidstafel eenrij is met v(A) = v(B → A) =T en v(B) = F.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 65
Voorbeeld
TTTTT
FTTFT
TFFTF
FFTFF
B(B → A) ∧ A
B → ABA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 66
Refutatiestrategie voorgeldigheid
� Om te zien of een argument A1, …, An∴∴∴∴ B geldig is moeten we dus nagaan of A1, …, An ⊨ B geldt.
� Hiervoor moeten we dus nagaan of elk model van {A1, …, An} ook een model van B is.
� We kunnen ook kijken of er een model van de verzameling {A1, …, An, ¬B} is.
12
67
Refutatiestrategie voorgeldigheid� Als dit niet het geval is (en dus de
verzameling {A1, …, An, ¬B} inconsistent is!), dan: voor alle waarheidstoekenningen v aanatomen geldt: � v(A1 ∧ …∧ An ∧ ¬B) = F, d.w.z. � v(A1 ∧ …∧ An ) = F of v(¬B) = F. D.w.z. � Als v(A1 ∧ …∧ An ) = T (≠ F) dan v(¬B) = F, dus
v(B) = T.
� D.w.z. elk model van {A1, …, An} is een model van B.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 68
Refutatiestrategie voorgeldigheid
� Dus voor geldigheid van A1, …, An ∴∴∴∴ Bkun je ook laten zien dat de verzameling{A1, …, An, ¬B} inconsistent is!!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 69
Stelling
A1, …, An ⊨ B
⇔
{A1, …, An, ¬B} is inconsistent
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 70
Voorbeeld: R → N, R ∴∴∴∴ N:inconsistentie {R → N, R, ¬N}
FFTTT
FTFFT
FFTTF
FTTFF
(R → N) ∧R∧¬N
¬NR → NNR
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 71
Toepassing: logische circuits
∧
∧A
A
A
B
BA∧B
¬A
A∨B
¬
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 72
Van waarheidsfct naar circuit
� Gegeven een (waarheidstafel voor een) waarheidsfunctie R kunnen we op systematische manier een logischcircuit maken dat R realiseert:� Beschouw alle rijen waarvoor v(R) = T:
� Iedere rij levert een disjunct op die zelf bestaatuit een conjunctie van zgn literals.
� Vereenvoudig zo mogelijk mbv regels voor≡.
13
73
Voorbeeld
FTTTTFTTTTFTFFFTFTTF
TFTFFTFFFFFFR(A,B,C)CBA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 74
Voorbeeld
� Deze procedure levert nu op voor R:(¬A ∧B ∧ ¬C) ∨(A ∧¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C)
� Een formule in zgn ‘Disjunctieve Normaalvorm’(DNF)
� Dit is logisch equivalent (≡) met:(B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C)
� Hiervoor circuit maken
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 75
Rechtvaardiging methode
� Beschouw tafel voor R uit het voorbeeld: uitdeze tafel blijkt: (voor alle v):� v(R) = T ⇔
(v(A) = F en v(B) = T en v(C) = F) of(v(A) = T en v(B) = F en v(C) = T) of
(v(A) = T en v(B) = T en v(C) = F) ⇔(v(¬A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) of(v(A) = T en v(¬B) = T en v(C) = T) of
(v(A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) ⇔
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 76
Rechtvaardiging methodev(¬A ∧ B ∧ ¬C) = T ofv(A ∧ ¬B ∧ C) = T ofv(A ∧ B ∧ ¬C) = T ⇔v((¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨(A ∧ ¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C))= T
� D.w.z.
R ≡ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 77
Functionele volledigheid� Gevolg: Elke waarheidsfunctie R (zoals
weergegeven door een waarheidstafel) is uitdrukbaar m.b.v. de logische connectieven¬, ∧ en ∨.
� Daarom heet een verzameling connectievenals {¬, ∧, ∨} ook wel functioneel volledig(functionally complete).
� Maar met wat we eerder hebben gezien zijndus ook verzamelingen als {¬, ∨}, {¬, ∧}, {→, 0}, {|} en {↓} functioneel volledig!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 78
Alternatieve methoden om geldigheid formules te bepalen
� In de praktijk is het werken met waarheidstafels onhandig omdat ze erg grootworden in een beetje realistische toepassing: een waarheidstafel met n atomen heeft 2n
rijen.� Voor het vaststellen van geldigheid alle rijen
te bekijken: (te)veel werk.� Zoeken naar alternatieven: bijv. zgn.
semantische tableaux en (natuurlijke) deductie.
14
Semantische tableaux
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 80
Semantische tableaux� Een semantisch tableau is een (vertakkende)
sequentie van propositionele vormen, geconstrueerd volgens bepaalde regels, vaakgerepresenteerd in een boom
� Deze methode levert modellen voor eenformule als deze bestaan: ze geeft op systematische wijze aan welke atomen waarmoeten worden gemaakt om een formulewaar te maken, en geeft ook aan als dit nietkan!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 81
Regels semantische tableaux
� Regel 1 (A ∧ B)
A ∧ BA
B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 82
Regels semantische tableaux
� Regel 2 (A ∨ B)
A ∨ B
A B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 83
Regels semantische tableaux
� Regel 3 (A → B)
A → B
¬A B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 84
Regels semantische tableaux
� Regel 4 (A ↔ B)
A ↔ B
A ∧ B ¬A ∧ ¬B
15
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 85
Regels semantische tableaux
� Regel 5 (¬¬A)
¬¬AA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 86
Regels semantische tableaux
� Regel 6 (¬(A ∧ B))
¬(A ∧ B)
¬A ¬B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 87
Regels semantische tableaux
� Regel 7 (¬(A ∨ B))
¬(A ∨ B) ¬A
¬B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 88
Regels semantische tableaux
� Regel 8 (¬(A → B))
¬(A → B) A
¬B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 89
Regels semantische tableaux
� Regel 9 (¬(A ↔ B))
¬(A ↔ B)
A ∧ ¬B ¬A ∧ B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 90
Regels semantische tableaux
� Regel 0� Als een logische vorm A en z’n negatie ¬A
in een tak van tableau voorkomt is dezeinconsistent en wordt deze gesloten(‘closed’).
16
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 91
Voorbeeld: {¬(A → B), ¬A ∨ B} is inconsistent
¬(A → B)¬A ∨ B
¬A B
A A¬B ¬B
closed closed Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 92
Nogmaals en nu handiger
¬(A → B)¬A ∨ B
A¬B
¬A Bclosed closed
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 93
Wel of geen modellen?
� Als alle takken ‘sluiten’ dan is de verzameling proposities waar je meebegon inconsistent (d.w.z. heeft geenmodel)
� Als minstens een tak ‘open’ blijft, geeftdit een model voor de verzamelingproposities!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 94
Voorbeeld: {P, Q, Q →¬P} is inconsistent
PQ
Q →¬P
¬Q ¬Pclosed closed
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 95
Voorbeeld: {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent
P¬Q
Q →¬P
¬Q ¬P
closedModel: v(Q)=F, v(P)=T
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 96
Geldigheid van een formule
� Semantische tableaux leveren eensystematische manier om modellen van een propositie te vinden
� Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent
� Geldigheid is indirect te checken via:� A is geldig ⇔ ¬A is inconsistent
(contradictie)
17
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 97
Voorbeeld: A ∨ (¬B → ¬A) is geldig (tautologie)
¬(A ∨ (¬B → ¬A))¬A
¬(¬B → ¬A)¬B
¬¬AA
closedLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 98
Semantische tableaux en argumenten� We kunnen de semantische tableaux
methode ook gebruiken om te checken of argumenten geldig zijn
� Beschouw weer het argument:R → N, R ∴∴∴∴ N
� We hebben eerder gezien dat om de geldigheid hiervan aan te tonen hetvoldoende is om aan te tonen dat de verzameling {R → N, R, ¬N} inconsistent is, d.w.z. geen modellen heeft.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 99
Semantische tableaux en argumenten� We doen dit nu met semant. tableaux:
R → NR
¬N
¬R Nclosed closed
� Dwz geen modellen: {R → N, R, ¬N} incon-sistent, dus argument R → N, R ∴∴∴∴ N geldig
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 100
Semantische tableaux en argumenten
� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.� We laten met sem. tableaux zien dat de verzameling
{A, B → A, ¬B} consistent is, d.w.z. een model heeft:A
B → A¬B
¬B Anot closed not closed model v(A)=T, v(B)=F
Natuurlijke deductie
Gentzen systeemSequentencalculus
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 102
Deductie
� Tot nu toe voornamelijk ‘semantisch’naar logica gekeken:
� De noties waarheid, geldigheid, model, tautologie, logisch gevolg (⊨) stondencentraal
� Nu meer syntactisch (formeel in letterlijke zin): deductie of afleidbaarheidin een formeel systeem
18
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 103
Natuurlijke deductie
� Voorgesteld als ‘natuurlijk’ alternatiefvoor de Hilbert-stijl axiomatischesystemen van het volgend hoofdstuk
� Deductie zonder axioma’s maar loutermet regels
� Notatie: ⊥ = 0 (falsum)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 104
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (1): ∧I (∧-introductie)
A B
A ∧ B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 105
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (2): ∧E (∧-eliminatie)
A ∧ BA
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 106
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (3): ∧E (∧-eliminatie)
A ∧ BB
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 107
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (4): ∨I (∨-introductie)
A____A ∨ B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 108
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (5): ∨I (∨-introductie)
B____A ∨ B
19
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 109
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (6): ∨E (∨-eliminatie)
A B. .
. .
A ∨ B C CC
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 110
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (7): →I (→-introductie)A..
C_____A → C
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 111
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (8): →E (→-eliminatie)
A A →CC
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 112
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (9a): ⊥-introductie
A ¬A
⊥
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 113
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (9): ⊥-eliminatie
⊥C
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 114
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (10): RAA (Reductio Ad Absurdum)
¬A..⊥_____A
20
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 115
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (10a): RAA (Reductio Ad Absurdum)
A..⊥_____
¬A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 116
Regels van natuurlijkedeductie
� Regel (11): Id (Identiteit)
A A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 117
Natuurlijke deducties
� Deductie C uit assumpties A1, …, An
� Notatie: {A1, …, An} ⊢ C� Notatie: ⊢ C i.p.v. Ø ⊢ C
� L&V.natdeduct.ppt
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 118
Voorbeeld natuurlijke deductie
� {A∧B} ⊢ B ∧ A� Bewijs:
A∧B A∧BB A___________
B ∧ A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 119
Voorbeeld natuurlijke deductie� ⊢ (A ∧ B) → (B ∧ A)� Bewijs:
A∧B A∧BB A___________
B ∧ A______________(A ∧ B) → (B ∧ A)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 120
Voorbeeld natuurlijke deductie
� {B} ⊢ (A → B) � Bewijs:
AB_____B_____
A → B
21
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 121
{¬A} ⊢ (A → B)
� Bewijs:¬A A_____
⊥_____B_____
A → B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 122
{A ∨ B, ¬B} ⊢ A
B ¬B______A ⊥_____
A∨B A A__________A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 123
⊢ ¬¬A → A
� Bewijs:¬A1 ¬¬A2_______
⊥_______A_______
¬¬A → A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 124
⊢ (¬B → ¬A) → (A → B)
¬B1 ¬B → ¬A3_____________
¬A A2_______
⊥____B_____
A → B__________________(¬B → ¬A) → (A → B)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 125
Sequentencalculus
� De sequentencalculus combineert tweezaken:� De ‘natuurlijke’ wijze van bewijzen (zoals in
natuurlijke deductie)� Het gebruik van de strategie om een
tegenmodel te trachten te vinden (zoals bijsemantische tableaux)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 126
Sequent
� Een sequent is een paar (L,R) waarbij L en R beide (evt. lege) rijen proposities zijn
� Notatie: L ⇒ R� Deze notatie is ingegeven door de
interpretatie van een sequent:� L ⇒ R betekent dat minstens één van de
proposities in L onwaar zijn of minstens één van de proposities in R waar zijn
22
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 127
Interpretatie van sequenten
� Bijv. A, B, C ⇒ D, E� (Equivalente) interpretaties:
� Als A en B en C waar dan D of E waar� A of B of C onwaar of D of E waar� Als D en E onwaar dan A of B of C onwaar
� Een sequent kan worden gezien als eenargument gecodeerd in een objecttaal
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 128
Onwaarheid van een sequent
� Bijv. de sequent
A, B, C ⇒ D, E� is onwaar als:� A en B en C waar en D en E onwaar
� [v(A) = v(B) = v(C) = T en v(D) = v(E) = F]
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 129
Deductie van sequenten
� We gaan in de calculus sequentenafleiden met behulp van regels
� Bewijzen zien er dus uit als:
L0 ⇒ R0
L1 ⇒ R1
.
Ln ⇒ Rn
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 130
Regels van de sequentencalculus
� Regel (1): R∧
Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2_______________________________
Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 131
Rechtvaardiging Regel (1)
� We laten zien: als conclusie onwaar dan (minstens een) premisse onwaar.
� Stel dus Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2 onwaar.� Dan: v(Γ1) = v(Γ2) = T en v(A ∧ B) = v(∆1) =
v(∆2) = F� Notatie: v(∆) = T/F ⇔ v(D) = T/F voor alle D ∈ ∆.
� Dus v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en [v(A) = F of v(B) = F] en v(∆1) = F en v(∆2) = F
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 132
Rechtvaardiging Regel (1)� Dus:
� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(A) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]
� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(B) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]
� Dus:� Of: v(Γ1) = T en v(A) = v(∆1) = F� Of: v(Γ2) = T en v(B) = v(∆2) = F
� Dus Γ1 ⇒ A, ∆1 is onwaar of Γ2 ⇒ B, ∆2 is onwaar Q.E.D.
23
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 133
Regels van de sequentencalculus
� Regel (2): L∧
Γ, A ⇒ ∆________________
Γ, A ∧ B ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 134
Regels van de sequentencalculus
� Regel (3): L∧
Γ, B ⇒ ∆________________
Γ, A ∧ B ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 135
Regels van de sequentencalculus
� Regel (4): R∨
Γ ⇒ A, ∆________________
Γ ⇒ A ∨ B, ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 136
Regels van de sequentencalculus
� Regel (5): R∨
Γ ⇒ B, ∆________________
Γ ⇒ A ∨ B, ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 137
Regels van de sequentencalculus
� Regel (6): L∨
Γ1, A ⇒ ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________
Γ1, Γ2, A ∨ B ⇒ ∆1, ∆2
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 138
Regels van de sequentencalculus
� Regel (7): R→
Γ, A ⇒ B, ∆__________________
Γ ⇒ A → B, ∆
24
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 139
Regels van de sequentencalculus
� Regel (8): L→
Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________
Γ1, Γ2, A → B ⇒ ∆1, ∆2
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 140
Regels van de sequentencalculus
� Regel (9): R¬
Γ, A ⇒ ∆______________
Γ ⇒ ¬A, ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 141
Regels van de sequentencalculus
� Regel (10): L¬
Γ ⇒ A, ∆______________
Γ, ¬A ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 142
Regels van de sequentencalculus
� Regel (11): RT
Γ ⇒ ∆____________
Γ ⇒ A, ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 143
Regels van de sequentencalculus
� Regel (12): LT
Γ ⇒ ∆____________
Γ, A ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 144
Regels van de sequentencalculus
� Regel (13): RC
Γ ⇒ A, A, ∆________________
Γ⇒ A, ∆
25
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 145
Regels van de sequentencalculus
� Regel (14): RC
Γ, A, A ⇒ ∆________________
Γ, A ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 146
Regels van de sequentencalculus
� Regel (15): RR
Γ ⇒ A, B, ∆________________
Γ⇒ B, A, ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 147
Regels van de sequentencalculus
� Regel (16): LR
Γ, A, B ⇒ ∆________________
Γ, B, A ⇒ ∆
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 148
Regels van de sequentencalculus
� Regel (17): Cut
Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, A ⇒ ∆2_______________________________
Γ1, Γ2 ⇒ ∆1, ∆2
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 149
Regels van de sequentencalculus
� Regel (18): Id
A ⇒ A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 150
Voorbeeld bewijssequentencalculus
� ⇒ A → (B → A)� Bewijs:
� A ⇒ A� A, B ⇒ A� A ⇒ B → A� ⇒ A → (B → A)
26
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 151
Voorbeeld bewijssequentencalculus
� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� Bewijs:
� A ⇒ A B ⇒ B� ⇒ ¬A, A ¬B, B ⇒� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 152
Bewijsstrategie
� Zo’n bewijs is i.h.a. nog best moeilijk te vinden
� Gelukkig is er een bewijsstrategie die ons kan helpen: nl. probeer de te bewijzen formule te falsificeren!
� Zet de formules die dan waar moeten zijnlinks en de formules die onwaar moeten zijnrechts, en ga dan door met het achterwaartsconstrueren van het bewijs
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 153
Bewijsstrategie� Ik moet bewijzen de sequent L ⇒ R� Stel L ⇒ R onwaar� Dan alle wff in L waar en alle wff in R onwaar� Analyse levert een nieuwe sequent L’ ⇒ R’
die dan ook onwaar is� Maar dan betekent als L’ ⇒ R’ waar dan ook
L ⇒ R waar (“contrapositie op metaniveau”)� Maar dan een stukje bewijs gevonden:
L’ ⇒ R’L ⇒ R Logica &
Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 154
Voorbeeld� We willen bewijzen:� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� De rechtse formule (en dan ook de sequent)
is onwaar als:� (¬A → ¬B) waar en (B → A) onwaar� zet (¬A → ¬B) links en (B → A) rechts
� ¬A → ¬B ⇒ B → A� [als vorige sequent onwaar, ook deze onwaar; en
dus omgekeerd, als deze waar ook vorige waar!]
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 155
Voorbeeld
� Rechtse formule B → A is onwaar als� B waar en A onwaar� Zet B links en A rechts
� ¬A → ¬B, B ⇒ A� Linkse formule ¬A → ¬B is waar als
� ¬A onwaar of ¬B waar� Splitsing in 2 sequenten:
� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ ALogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 156
Voorbeeld
� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� Linker sequent ¬A onwaar maken, dus A
waar maken en links zetten� Rechter sequent ¬B waar maken, dus B
onwaar maken en rechts zetten
� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� Deze volgen direct uit A ⇒ A en B ⇒ B via LT
en RT, en zijn dus niet onwaar te maken!
27
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 157
Voorbeeld
� Dus bewijs:� A ⇒ A B ⇒ B� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� ¬A → ¬B, B, B ⇒ A, A� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 158
Voorbeeld
� Bewijs te vereenvoudigen:� A ⇒ A B ⇒ B�
� ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒�
� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)
Axiomatische propositielogica
Hilbert systeem
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 160
Axiomatische systemen
� Een axiomatisch (Hilbert) systeembestaat uit:� Alfabet Σ van symbolen� Verzameling WF van welgevormde
formules (wff’s): WF ⊆ Σ*� Verzameling Ax van axioma’s: Ax ⊆ WF� Verzameling R van (afleidings)regels
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 161
Deductie (afleiding)
� Deductie in een axiomatisch systeem� Een rij van wff F1, F2, …, Fn, zdd. voor elke
i:� Fi is een axioma in Ax� Fi is een hypothese in H� Fi kan worden afgeleid uit voorgaande formules
m.b.v. de afleidingsregels
� Notatie: H ⊢⊢⊢⊢ Fn
� Notatie: ⊢⊢⊢⊢ Fn i.p.v. Ø ⊢⊢⊢⊢ Fn (Fn is theorema)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 162
MIU systeem (Hofstadter)
� Σ = {M, I, U}� WF = {M, I, U}*� Ax = {MI}� R = {
}
xI___
xIU
Mx___
Mxx
xIIIy___
xUy
xUUy_____
xy
28
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 163
Alleidingen in MIU
� Eenvoudig volgende theorema’s te bewijzen:� ⊢ MUI� ⊢ MUIIU� ⊢ MIUU
� (Meta-)Stelling: ⊬⊬⊬⊬ MU
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 164
Een Hilbert systeem voorpropositielogica
� Systeem AL is gedefinieerd door:
� Σ = {¬, →, (, ), p0, p1, p2, …, pn, …}
� WF = {x ∈ Σ* | x = pi (voor i ∈ N)of x = ¬A (voor een A ∈ WF) of x = A → B (voor A, B ∈ WF)}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 165
Systeem AL
� Axioma’s Ax:� A →→→→ (B →→→→ A)� (A →→→→ (B →→→→ C)) →→→→ ((A →→→→ B) →→→→ (A →→→→ C)) � (¬A →→→→ ¬B) →→→→ (B →→→→ A)
� Regels R:� Uit A, A →→→→ B is B afleidbaar (Modus Ponens)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 166
Voorbeeld deductie
� ⊢((p2 → p3) → (p2 → p2))� Bewijs:1. p2 → (p3 → p2)2. (p2 → (p3 → p2)) → ((p2 → p3) → (p2 → p2))3. ((p2 → p3) → (p2 → p2))
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 167
Gezondheid van AL� Met behulp van het axiomatische systeem AL
kun je theorema’s afleiden� Wil het systeem AL nuttig zijn zou je
verwachten dat alle af te leiden theorema’stautologieen zijn!
� D.w.z. voor alle F ∈ WF geldt:⊢F ⇒ ⊨F
� Dit heet de gezondheid (‘soundness’) van AL� Stelling: AL is gezond.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 168
Volledigheid van AL
� Nog mooier is het natuurlijk als ook hetomgekeerde geldt:
� Alle tautologieen zijn afleidbaar in AL, d.w.z. voor alle F ∈ WF geldt
⊨ F ⇒ ⊢ F� Dit heet de volledigheid
(‘completeness’) van AL� Stelling: AL is volledig.
29
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 169
Bewijzen van gezondheid en volledigheid
� De gezondheid van AL is eenvoudig te bewijzen met inductie naar de lengte van afleidingen:� Basis: bewijs: axioma’s zijn geldig (tautologieën)� Inductiestap: het toepassen van de regel MP
behoudt geldigheid: bewijs dat als ⊨ A en ⊨ A → B dan ⊨ B.
� Het bewijzen van de volledigheid van AL is veel moeilijker en vereist veel techniek.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 170
Andere axiomatischesystemen� Er zijn naast AL vele andere gezonde en
volledige axiomatische systemen voor de propositielogica voorgesteld.
� Voorbeeld (Lukasiewicz):� Axioma’s:
� (¬A →→→→ A) →→→→ A� A →→→→ (¬A →→→→ B)� (A →→→→ B) →→→→ ((B →→→→ C) →→→→ (A →→→→ C))
� Regel� Modus ponens
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 171
Extreme voorbeelden� Meredith
� Axioma� [(((A →→→→ B) →→→→ (¬C →→→→ ¬D)) →→→→ C) →→→→ E] →→→→ [(E →→→→ A) →→→→ (D →→→→ A)]
� Regel� Modus ponens
� Nicod� Axioma
� (A | (B | C)) | {[D |(D | D)] | [(E | B) | ((A | F) | (A | F))]}
� Regel� Uit A en A | (B | C) kunnen we C afleiden
Resolutie in propositielogica
normaalvormenresolutie
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 173
Introductie
� Resolutie is een mechanischebewijsmethode ontwikkeld door Robinson in de zestiger jaren.
� Het vormt de basis voor een heel programmeerparadigma: het zgn. logisch programmeren (met alsbekendste voorbeeld PROLOG).
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 174
Normaalvormen
� Literal� Atoom of negatie van een atoom
� Conjunctieve normaalvorm (CNF)� Conjunctie van disjuncties van literals� Vb. (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)
� Disjunctieve normaalvorm (DNF)� Disjunctie van conjuncties van literals� Vb. (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ s ∧ t) ∨ (¬p ∧ r)
30
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 175
Clauses � Clause
� (Eindige) disjunctie van literals� Clause vaak als een verzameling literals
gerepresenteerd� N.B. De lege clause stelt dus een disjunctie met 0
disjuncten voor, d.w.z. ⊥ = 0!!
� Een wff in CNF is een conjunctie van clauses� Representatie: verzameling clauses� N.B. De lege verz. clauses is een conjunctie met 0
conjuncten en stelt 1 (true) voor!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 176
Converteren naar CNF
� Stappen:1. Elimineer ↔ dmv A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)2. Elimineer → dmv A → B ≡ ¬A ∨ B3. Zorg ervoor dat de negatietekens direct voor
atomen staan mbv De Morgan’s wetten¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B en ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
4. Elimineer dubbele negaties mbv ¬¬A ≡ A5. Gebruik de distributieve wet A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨
B) ∧ (A ∨ C)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 177
Voorbeeld� (¬p ∧ (¬q → r)) ↔ s� ((¬p ∧ (¬q → r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬q → r)))� ((¬p ∧ (¬¬q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬¬q ∨ r)))� ((¬p ∧ (q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (q ∨ r)))� (¬(¬p ∧ (q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((¬¬p ∨ ¬(q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((p ∨ (¬q ∧ ¬r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r)) ∨ s) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∨ s) ∧ ((p ∨ ¬r) ∨ s)) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))
� (p ∨ ¬q ∨ s) ∧ (p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ q ∨ r)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 178
Representatie van een CNF� Een formule in CNF is een conjunctie van
clauses, gerepresenteerd als verzamelingclausesBijv. Formule in CNF: � (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)wordt gerepresenteerd als:� {(p ∨ q ∨ ¬r), (¬q ∨ s ∨ t), (¬p ∨ r)}En zelfs als verzameling van verzamelingen:� {{p, q, ¬r}, {¬q, s, t}, {¬p, r}}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 179
Complementair paar, resolvent
� Literals p en ¬p heten eencomplementair paarZij C1 en C2 clauses die eencomplementair paar λ, ¬λ bevatten
� Resolvent van clauses C1 en C2:� res(C1, C2) = (C1 \ {λ}) ∪ (C2 \ {¬λ}) � Vb. res({p, ¬q}, {q, ¬r}) = {p, ¬r}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 180
Resolutieprincipe� Stelling: C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2)
� Bewijs: Zij C1= {p1, p2, …, pm, λ} en C2 = {q1, q2, …, qn, ¬λ}. Dan: res(C1, C2) = {p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}. Beschouw nu een valuatie v met v(C1) = v(C2) = T. Twee gevallen:
� v(λ) = F: dan v(pi) = T voor een i, omdat v(C1) = T. Dusdan ook v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T. Dusv(res(C1, C2)) = T
� v(λ) = T: dan v(¬λ) = F, en dus v(qi) = T voor een i, omdat v(C2) = T. Dus ook v(res(C1, C2) )= v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T.
Dus C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2) q.e.d.
31
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 181
Resolutie-deductie
� Een resolutie-deductie van een clause C uit een verzameling S van clauses:� is ‘n eindige rij clauses C1, C2, …, Cn = C,
zdd. iedere Ci is:� Hetzij een element van S� Hetzij een resolvent van twee clauses uit S of
eerdere elementen uit de rij
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 182
Voorbeeld� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� Afleiding (in boomrepresentatie):
{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s}
{p, r, s}
{r, s}
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 183
Resolutie-refutatie
� Om S ⊨ C te bewijzen kunnen we ookrefutatie bewijzen van S ∧ ¬C, die we dan evt. eerst even in CNF moeten brengen. D.w.z. we bewijzen dan: S ∧ ¬C ⊨⊥.
� Voorbeeld: � (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬(r ∨ s) ⊨⊥� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 184
Voorbeeld (vervolg)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥� Afleiding:{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s} {¬r} {¬s}
{p, r, s}
{r, s}
{s}{ }
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 185
Geldigheid van een argument� We kunnen resolutie ook gebruiken voor het
checken van de geldigheid van een argument� We bezien weer het voorbeeld:
R → N, R ∴∴∴∴ N� We weten dat dit argument geldig is als
R → N, R ⊨ N� Equivalent: als
R → N, R, ¬N ⊨ ⊥Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 186
Geldigheid van een argument
� (R → N) ∧ R ∧ ¬NEerst omschrijven naar CNF:
� (¬R ∨ N) ∧ R ∧ ¬NGerepresenteerd als
� {(¬R ∨ N), R, ¬N} Of ook:� {{¬R, N}, {R}, {¬N}}
32
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 187
Geldigheid van een argument
� Afleiding:{¬R, N} {R} {¬N}
{N} {¬N}
{ }
Introductie predicatenlogica
objecten, predicaten, functieskwantoren
1e orde talen
substituties, interpretaties
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 189
Syllogistische redeneringen
� Syllogistische redeneringen zoals� Alle mensen zijn sterfelijk� Socrates is een mens∴∴∴∴ Socrates is sterfelijk
kunnen niet met propositielogicaworden geanalyseerd
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 190
Objecten, predicaten, kwantoren
� Nodig:� Objecten, zoals Socrates� Predicaten, zoals sterfelijk� Kwantoren, zoals ‘alle’
� Redenering wordt nu formeel:� ∀x : M(x) → S(x)� M(s)∴∴∴∴ S(s)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 191
Kwantoren
� Universele kwantor� Notatie: ∀� “voor alle”� Bijv. “(∀x)M(x)” of “(x) M(x)” of “∀x : M(x)”
� Existentiële kwantor� Notatie: ∃� “er is een”� Bijv. “(∃x)M(x)” of “∃x : M(x)”
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 192
Belangrijke formules
� Alle A zijn B:� Voor alle x: als x is A dan x is B� (∀x)(A(x) → B(x))
� Sommige A zijn B:� Er is x: x is A en x is B� (∃x)(A(x) ∧ B(x))
33
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 193
N.B.
� Volgorde kwantoren essentieel:� Groot verschil:
� (∀x)(∃y)A(x,y)� Voor elke x is er een y zdd A(x,y)
� (∃y)(∀x)A(x,y)� Er is een y zdd voor elke x A(x,y)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 194
Kwantoren en eindig domein
� Als het domein van kwantificatie eindigis, zeg {a1, …, an}, zijn de universele en existentiele kwantoren eigenlijk nietsmeer dan een afkorting van een eindigeconjunctie resp. disjunctie:� (∀x)A(x) = A(a1) ∧ … ∧ A(an) � (∃x)A(x) = A(a1) ∨ … ∨ A(an)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 195
Verband tussen ∀ en ∃� (∃x)A(x) ↔ ¬(∀x)¬A(x)
� (∀x)A(x) ↔ ¬(∃x)¬A(x)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 196
Functiesymbolen
� We kunnen in de predicatenlogicafuncties (of liever functiesymbolen) gebruiken om te verwijzen naarobjecten
� Voorbeeld: Moeder(a), Succ(n)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 197
1e orde talen
� Een 1e orde taal L bevat de volgendeingrediënten:� Alfabet
� Termen
� Welgevormde formules (wff’s)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 198
Alfabet
� Alfabet van L:� Constanten c1, …, cn, …� Variabelen x1, …, xn, …� Functiesymbolen f11, …, fn1
1, …, f12, …, fn22, …, f13,
…, fn33, …, …
� Predicaatsymbolen P11, …, Pm1
1, …, P12, …, Pm2
2, …, P1
3, …, Pm33, …, …
� Logische symbolen ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃� Punctuatiesymbolen (, ), ,
34
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 199
Ariteit
� Het superscript bij de predicaten- en functiesymbolen slaat op de zgn. ariteit, d.w.z. het aantal argumenten
� Bijv. P73(x, y, z)
� Bijv. f52(x, y)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 200
Termen
� Termen worden recursief gedefinieerd:� Iedere constante is een term� Iedere variabele is een term� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is ook
fin(t1, t2, …, tn) een term� Niets anders is een term
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 201
Welgevormde formules
� Ook welgevormde formules (wff) worden recursief gedefinieerd:� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is
Pin(t1, t2, …, tn) een wff
� Als A en B wff’s zijn, dan zijn ook ¬A, A ∧ B, A ∨B, A → B en A ↔ B wff’s
� Als A een wff is, dan zijn ook (∀xi)A en (∃ xi)A wff’s
� Niets anders is een wff
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 202
Kwantoren: scope en binding
� Scope van een kwantor� In (∀x)A en (∃x)A is A de scope van de
betreffende kwantor
� Binding van voorkomens van variabelen� Als een variabele x voorkomt in de scope
van een kwantor (∀x) of (∃x), heet ditvoorkomen gebonden; anders vrij
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 203
Voorbeelden
� In (∃x)A(x,c) komt x gebonden voor� In (∃x)(A(x,c) ∧ B(y)) komt x gebonden
voor en y vrij
� In (∃x)(A(x,y) ∧ (∀y)B(y)) komt x gebonden voor en y zowel gebondenals vrij!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 204
Gesloten wff’s
� Een wff is gesloten als deze geen vrijevoorkomens van variabelen bevat
� Voorbeelden:� A(c1, f(c2)) gesloten� (∀x)(∀y) A(x, f(y)) gesloten� (∀x) A(x, f(y)) niet gesloten
35
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 205
Substitutie� Substitutie van term t voor variabele x in
formule A : � Vervang elk vrij voorkomen van x in A door t� Officiële notatie: A[t/x]� Kelly’s notatie: A(x) --substitutie t voor x--> A(t)
� Bij substitutie moeten we uitkijken dat we geen ongewenste verbanden tussenvariabelen aan brengen, bijv.� (∀x) A(y) --substitutie x voor y--> (∀x) A(x) !
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 206
Substitutie, vrij voor x
� We mogen alleen t voor x in A substitueren als t vrij is voor x in A.
� Een term t is vrij voor xi in een wff A� Als geen vrije voorkomens van xi binnen
de scope van (∀xk) of (∃xk) vallen, waarbijxk in t voorkomt
� Bijv. term x is niet vrij voor y in (∀x) A(y),want er is een vrij voorkomen van y binnende scope van (∀x)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 207
Semantiek
� Tot nu toe hebben we het alleen gehadover de syntax van een 1e orde taal.
� Nu gaan we over naar de semantiek(betekenis).
� Hiertoe hebben we 2 dingen nodig:� Een niet-leeg domein D van objecten� Een interpretatie-functie I
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 208
Interpretaties
� Een interpretatie(functie) I interpreteert
� Constante ci: I(ci) = ci ∈ D� Functiesymbool fin : I(fin) = fin : Dn → D� Predicaatsymbool Pi
n: I(Pin) = Ri
n ⊆ Dn
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 209
Valuaties (bedelingen)
� Een valuatie (of bedeling) m.b.t. eeninterpretatie I is een functie v van de termen van L naar het domein D zdd.� v(ci) = I(ci) voor constante ci
� v(fin(t1, t2, …, tn)) = fin(v(t1), v(t2), …, v(tn))� v(xi) ∈ D, d.w.z. iedere variabele heeft een
waarde in D
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 210
Voorbeeld
� D = N (verz. natuurlijke getallen)� Gegeven I, v met
� I(S) = Succ, I(+) = +, I(0) = 0
� v(+(S(0), x)) =+(v(S(0)), v(x)) =+(Succ(v(0)), v(x)) =+(Succ(0), v(x)) =+(1, v(x)) = v(x) + 1
36
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 211
Varianten van valuaties� Gegeven een valuatie v� We definieren een relatie op valuaties
v’ =x v� “v’ is een x-variant van v” of “v’ is gelijk aan v, evt.
op x na” (Kelly spreekt van ‘x-equivalent’)� voor alle variabelen y ≠ x: v’(y) = v(y) (en voor alle
constanten, functie- en predicatensymbolen zijn v en v’ ook gelijk)
� M.a.w. v’ en v kunnen alleen in hun waarde voor x verschillen, dus niet noodzakelijk v(x) = v’(x)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 212
Satisfactierelatie ⊨� Zij I een interpretatie van L, en v een valuatie
mbt I. Dan definieren we vervolgens v ⊨ A (vmaakt A waar, ‘v satisfies A’) zoals op de volgende slide.
� N.B. eigenlijk meer correcte notatie: I, v ⊨ A� Notatie: alhoewel v als functie eigenlijk alleen
op termen is gedefinieerd, schrijven we ookwel v(A) voor de waarheidswaarde van wff A:� v(A) = T ⇔ v ⊨ A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 213
Satisfactie (Tarskiaansesemantiek)
� v ⊨ Pin(t1, t2, …, tn) ⇔ Ri
n(v(t1), v(t2), …, v(tn)) geldt� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B� v ⊨ (∀xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor alle v’ =xi v� v ⊨ (∃xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor een v’ =xi v
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 214
Voorbeeld: Er is een even natuurlijk getal� D = N, geg. I, v met I(Even)= Even� v ⊨ (∃x) Even(x) ⇔� v’ ⊨ Even(x) voor een v’ met v’ =x v ⇔� er is v’ en m ∈ D : v’ ⊨ Even(x) en v’(x)=m en
v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is v’ en m ∈ D : Even(v’(x)) en v’(x)=m en
v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is een m ∈ D : Even(m) ⇔� true
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 215
Waarheid
� Een wff A is waar in een interpretatie I� Notatie: I ⊨ A� Als voor elke valuatie v mbt I geldt: v ⊨ A
� Een wff A is onwaar in een interpretatie� Als voor elke v mbt I geldt: v ⊭ A� N.B. Dit is niet hetzelfde als I ⊭ A
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 216
Geldig en contradictoir
� Een wff A van een 1e orde taal L is logischgeldig (valid) � Notatie: ⊨ A� Als I ⊨ A voor elke interpretatie I, d.w.z. waar voor
elke valuatie v mbt elke I
� Een wff A van een 1e orde taal L is contradictoir� Als A onwaar is in elke interpretatie I, d.w.z.
onwaar voor voor elke valuatie mbt elke I
37
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 217
Geldige formules� ⊨(∀x)A ↔ ¬(∃x)¬A� ⊨(∃x)A ↔ ¬(∀x)¬A � ⊨(∀x)A → (∃x)A� ⊨(∀x)(∀y)A ↔ (∀y)(∀x)A� ⊨(∃x)(∃y)A ↔ (∃y)(∃x)A� ⊨(∃x)(∀y)A → (∀y)(∃x)A
� ⊨(∀x)A ↔ (∀y)A[y/x] als y niet in A voorkomt
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 218
Geldige formules
� ⊨(∀x)(A ∧ B) ↔ (∀x)A ∧ (∀x)B � ⊨(∃x)(A ∨ B) ↔ (∃x)A ∨ (∃x)B� ⊨(∀x)A ∨ (∀x)B → (∀x)(A ∨ B)� ⊨(∃x)(A ∧ B) → (∃x)A ∧ (∃x)B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 219
Geldige formules
� ⊨(∀x)(A → B) → ((∀x)A → (∀x)B) � ⊨(∀x)(A → B) → ((∃x)A → (∃x)B)� ⊨(∀x)(A → B) ↔ (A → (∀x)B)
als x niet vrij voorkomt in A� ⊨(∀x)(A → B) ↔ ((∃x)A → B)
als x niet vrij voorkomt in B
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 220
Volledige (wiskundige) inductie� Stel we willen bewijzen:� ∀n ∈ N : P(n)� Dan is het voldoende te bewijzen:
� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : P(n) →→→→ P(n+1) [inductiestap]
� Alternatief (equivalent!):� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : (∀∀∀∀k ∈∈∈∈ N : 1≤k<n: P(k)) →→→→ P(n)
[inductiestap]
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 221
Volledige inductie
� Volledige inductie is een zeer krachtigmiddel om eigenschappen te bewijzenover oneindige domeinen (zoals de natuurlijke getallen, maar ook bijv. oneindige verzamelingen formules!)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 222
Voorbeeld� P(n) ⇔ 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2� Claim: ∀n ∈ N+ : P(n)� Bewijs:
� Basis: Geldt P(1)? 1 = (1×2)/2 ok� Inductiestap: Stel P(n) voor n≥1. Dan te bew.
P(n+1): 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) =(n(n+1) + 2(n+1))/2 =((n+1)(n+2))/2 ok
38
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 223
Voorbeeld: Elke term heefteen even aantal haakjes� P(t) ⇔ t bevat even aantal haakjes� Claim: P(t) voor alle termen t
� Basis: t heeft lengte 1: P(t) geldt voor alleconstanten c en variabelen x (aantal = 0: even) ok
� Inductiestap: bekijk het geval t = fin(t1, t2, …, tn) en stel dat P(t’) geldt voor alle termen met kleinerelengte dan t. Het aantal haakjes in t is 2 + de somvan de aantallen haakjes in t1 t/m tn. Ind.hyp: alle tihebben kleinere lengte dan t en hebben dus eeneven aantal haakjes. Maar dan heeft ook t eeneven aantal haakjes. ok
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 224
Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt termen
� Termen t en s, valuatie v� Def. valuatie v{d/x} door:
� v{d/x}(x) = d� v{d/x}(y) = v(y) voor y ≠ x
� Dan geldt:v{v(s)/x}(t) = v(t[s/x])
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 225
Bewijs� Met inductie naar opbouw t:
� Basis:� t = x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(x) = v(s) = v(x[s/x])
= v(t[s/x])� t = y ≠ x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(y) = v(y) = v(y[s/x]) =
v(t[s/x])� t = c: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(c) = v(c) = v(c[s/x]) = v(t[s/x])
� Inductiestap:� t = f(t1,…tn): v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(f(t1,…,tn)) =
v{v(s)/x}(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = v(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = (IH:) v(f)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) = v(f(t1[s/x],…tn[s/x])) = v(f(t1,…tn)[s/x]) =v(t[s/x])
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 226
Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt formules
� A wff, s term die vrij is voor x in A� Dan geldt, voor alle v:
v{v(s)/x} ⊨ A(x) ⇔ v ⊨ A(s)� Officiele notatie:
v{v(s)/x} ⊨ A ⇔ v ⊨ A[s/x]ofwel
v{v(s)/x}(A) = v(A[s/x])
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 227
Bewijs
� Met inductie naar opbouw formule A:� Basis:
� A = Pi(t1,…, tn): v{v(s)/x} ⊨ Pi(t1,…, tn) ⇔v{v(s)/x}(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔v(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔ (stell.) v(Pi)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) ⇔ v ⊨ Pi(t1[s/x], …, tn[s/x]) ⇔ v ⊨ Pi(t1, t2, …, tn)[s/x]
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 228
Bewijs� Inductiestap:
� A = ¬B: v{v(s)/x} ⊨ ¬B ⇔ v{v(s)/x} ⊭ B ⇔ (IH:) v ⊭ B[s/x] ⇔ v ⊨ ¬B[s/x]
� A = B ∧ B’, B ∨ B’, B → B’, B ↔ B’ analoog� A = (∀x)B: v{v(s)/x} ⊨ (∀x)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x
v{v(s)/x} ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x v ⇔ v ⊨ (∀x)B ⇔ v ⊨((∀x)B)[s/x]
� A = (∀y)B met y≠x: v{v(s)/x} ⊨ (∀y)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’=y v{v(s)/x} ⇔ (IH:) v” ⊨ B[s/x] voor alle v” =y v ⇔ v ⊨(∀y)B[s/x] ⇔ v ⊨ ((∀y)B)[s/x]
� A = (∃x)B, (∃y)B analoog
39
Semantische tableaux
voor de predicatenlogica
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 230
Semantische tableaux
� Ook voor de predicatenlogica kunnenwe werken met semantische tableaux
� In feite gebruiken we dezelfde regels alsvoor de propositielogica, aangevuld met een aantal regels voor de kwantoren.
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 231
Regels semantische tableaux
� Regel 10 (∀)
(∀x)A(x)A(t)
waarbij t een (willekeurige) term is
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 232
Regels semantische tableaux
� Regel 11 (∃)
(∃x)A(x)A(t)
waarbij t een term is die tot nu toe nogniet is gebruikt in de afleiding!!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 233
Regels semantische tableaux
� Regel 12 (¬∀)
¬(∀x)A(x)(∃x)¬A(x)
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 234
Regels semantische tableaux
� Regel 13 (¬∃)
¬(∃x)A(x)(∀x)¬A(x)
40
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 235
(∀x)A(x)→(∃y)A(y)
¬((∀x)A(x)→(∃y)A(y))(∀x)A(x)¬(∃y)A(y)(∀y)¬A(y)
¬A(a)A(a)
closed
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 236
Tot slot van het logica-deel� Dit was een inleiding in de logica en logische
technieken� Zoals we hebben gezien, zijn er vele logische
technieken, alleen al voor de klassiekepropositielogica (semantisch, bewijstheoretisch, computationeel)
� Belangrijk is die techniek(en) te gebruiken die voor de toepassing handig is en te allen tijdegoed in de gaten te houden waar je preciesmee bezig bent!!
Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 237
Mixed Engineering Principle (MEP)
� Het door elkaar gebruiken van verschillendetechnieken is uiterst gevaarlijk (er spelen dan diverse noties en interpretaties van formulesdoor elkaar) en is alleen voorbehouden aangevorderden (als je meer dan 3 cursussen(voortgezette) logica achter de kiezen hebt en precies begrijpt wat je aan het doen bent)!
� Dus niet doen op het tentamen!