SEMESTRIWYKTAD 5 TWIERDZENIE 0311T 4I 30
LOKALNEJ ODWRACALNOS .ci
Twierdzenie o lokolng. odwracalnosci jest banochowskim odpowieol
nikiemtwierdzenie o istmieuiu iviznicskowaluosa.
funkyi odwnot .
nej , Ktoregoczgsciq byr wzir ( f' '
)'
(g) = 11ft ( fyy , ).
Od strong praktycsng.
trierdzenie tojest wazhe pmy noawazaniu
Kmywoliniowyoh ukiadiw wspitmgdnyar me pmestmeni skoniseniewy .
miarowq:
TWIERDZENIE ( o LOKALNE ] ODWRACALNOSCI ) X. Ypmestmenie Banoche
f :X > U - > Y odwsorowanie Klasy d, xo EU
, yo= f( xD EY
f'
( xo ) :X → Y jest odwracolne . Wteoby istniejq otwowte otocsenie
Opunktu xo ,0am i Vpunktu yo take
,ze
fhg jest bijekcjq One V, fh : r→O jest keasyc
1i
fyev (f)'
( y )=[f'( f. '
( y ) ) ]-1
DOW '0D Down jcstowsi aiuoj , podzielimy go wigc me pewne etapy :
(1) f'
( x ) jest odwnawlne mie tyuw w xo ale takze me pewnymotocseniu Xo
W teovii pmestmeni Barware fuukqbnuje twierdzenie o wykresie domknigtymKtore mswi ze
.
T : V → w jest hniowe I ciggre wteolyi tylko wteay gayG= { ( J ,T(v ) ) : JEV } c Vxw jest podpmestmenig domkmigtg .
2bion+
GtnaaywaSig wyknaem T. Dowd ⇒ jest tatwy ,
⇐ wudny . festi T jestodwracalne to Gt i Gt . , noznig nice o tromspozycjg w iloosynie
kowtezjanskim , wigc jeili Tjestcigge to T'
tez .
2 tegotwierdzenie wynike wigc ,Ze [ f
'
( xo ) ]' 1
jest odwzovowaniem liniowymiciggrym . Wykazemy terror
,ze sbior odwsorowavi odwnawlnym w
B ( ×, 'D jest sbiorem otuartym .
We '2my TE B ( x. D i T 't
istnieje .
2 nozwazan n.t.tw . owykresie domknigtymwiemy ,
Ze T 's
jest ciggfe satem 11 T -111 jest dobme okreslona. Weimy
dowolne SEB ( × ,y ) take Ze HSHC,,¥y,
wtaty zf
It'S HE 1151111T 'll < 1
W takin pmypadkuisthieje ( atT
' ' SJL .Istotnie
,niech F= - T's
.
Pokazemy ze isthieje (11 - Fy'
. 2apropomy.my ten operator w postedheregu ftp. ( At F + F2+ . . . + an ) . Szeregteu jest ahiezny gdyz HF 11<1
HEfills IZHF HisE- Hein -T.tt#m - so
Many ( A- F)nligno ( ttft . . . + F" )=nk;g[( A-F) H+F+. . .+FY]=n.biz (A - ftp.FFH
..
. - Fm" ) - ftp.H - F
" ) = 11 ( podobniew dmgiejtoeejnosa.
)
Wiemy wise ,ze istnieie ( Itt 's )".
T . ( 11 + T 's )= ( its )
(To( a + Fts )) '
= (H + Fsj 'T '=(T+S5'
satem istniejeodwnotne do
Tts dbe dowolnyar S : 11511 <,,f=,,,
2br.ir odwaorowan'
odwrawlnycnzawiera wigc Knee o srodku w T i promieniu %T→|,
Wrawjgc do problem pochodnych , zebywytazai ,Ze ftx ) jest odwnaaoene
mietylko w xo ale i w poblizu xo mussing wykazai ze ftx ) jest bhsko
f'
Ho) whormie operator owej . 2 zaiozeuie jednak wiemy ze fix ) sale zyod × w Sposito ciggy satem HE > o JS > 0 take izejisli HX - xo 11<8 to
Hf 'H ) . f'
Ho Hs E. Wystaraywigc wsigi e= 1-
211#ix.D-
'
y My uzyskaiwhiosek
, ze isthieje S take,
Ze Ollie Tnateraz wystarcsy 1,
2 pmydasig piiniej .
xeK(×o, 8) f
'
He K( f'No )
, %¢y×# ) wkt.org.
sg jedynie odwsonowa .
2hie odwracalue
. Jako O weizmiemy wigc K(×o , 8) .
(2) f jest ndzhowartosciowe me 0 32D he YEY sdefiniujmy pomocmise odwzonowanie Oly : U → X
¢y(×)=
xt#I x ,)j1( y
- f- At ) ← Dlauego take funky.ie?maTgpneshone
many ytffx)⇐> $y(x)=× Odwsorowanie $y jest rdzhicskowalne :
¢yH=1× - #Ho)] 'f'C x ) = [fixoD" ( f 'Ho) - ftxi )←XEO to ma moving mniejhgniz
'1211 ftxd
'
'll
dlo . xeo H$yHH s 21
Weimy terror xz , x. E 8 wteoly
Htylxd - QYKDH - H$(xa+cx÷xs) -
lolxdlkllxixdfsgpo,
.pl#ylxsttAixD)H '
f£Hz . x. 11
Odwsorowanie $y|g jest odwzorowaniem,
ktorehazywamy onblizajgcym
Dla odwzorowan .
zblizojgcycu many twierdzenie, Ktoretuposiuzy
ham one lemat :
TWIERDZENIE Niece X
zupeinupmestheuipmetryay
:X - > X ablizajgcetzn istnieje 0<X< L take ,ze txs , xz d ( ylxz ) , ylxd ) fxd (×
, ,y )wtedy y ma dokioudniejeden puukt Hoey ,
ton F ! to : ylxo )=×o
DOWOD
XZEX dowolny Xjy( tz ) . . . ×n=y( Xn . , )
dkn ,×m+k)= d ( ymcxd , yh"(xk+ ,) ) { Mildly ,×k+ , ){
e Ni '
( dlx , ,x .)+dK
, ,x ,)+ ... + dark ,xk+ . ) ){ in ( xt.it ... +
xk"
)dK , ,x . )=
= N. ' f# dkz , E) - > 0
32 a .
ctycxkxtfflxo)j1( y.fo ) Wykasanie bijektywnosci moze
polegoi up me pokoisaniu ,Ze
isthieje olobme okre's lone
$y(× ) - x = [ ftxo ) ]"
( y . fat ) odwzorouanie odwrotne.
f'
( xo )[$yG) - × ]= y- f ( × ) Laiozmy ze many pours
( X. f C × ) ) i dla whalouego ye f ( O ) takiego ,Ze
y jestwpobwzuftx ) cnceiuy sualezic
.
peO take,
Ze f ( p ) - 0.
s.se#tEkfo,t / O
LIYXODEY.
fcxij.
skoro ndzniae fkoth) - flyiestpnyblizaua pmez f'
( Xo )h
if 'Ao ) jest odwracoliue to h jest pnyblizaue pmez
[f'( xD ]"
( flxoth ) . fat )
Pnyjmujemy to pnyblizeuie Szukojqo p . Ouywiscie okazuyieh's Ze
$yC×) mieiest doktaoluiep ,ale obigki temu ze Objet ablizajpce
so . Kazolp itcracjg $y jestes.my blizejcclu .
( Xu ) jest
ciggiemGmchjego up . zupeinq : Moi granicq , ozuaczmy jq xo.
Dlo , xo many ,2 ciggfosa
.
y. 33y ( ×o)= y ( limxn ) , limylxu ) = him xn+ ,
= xo i. e ylxo )=×o
Iaiozmy ze Fy :
y (y ) .
-
y . wtedy
ol ( Xo, y) { X d ( y ( x
. ), yly ) )
"
d ( yard , y ( y ) )+ > d ( xoiy ) - 0 → y
- xoa
Wviimy do Oly Jest to odwsovowanie ablizojqce , wise the tych y she
ktorylr $y| ,Mo . wowtosa
.
W O odwsorowanie to me dokiadnie jeden punkt
story . Dlajiakicuytak jest ? Patmgc www.r Oykkx + (f'
Ho ) )"
( y- FHD
stwierdsamy ,Ze due takin the Klingon y
- fk ) jest nieduze, ugh
.
they
w poblizu f ( x ) ( the XEO ) ,a wtq pewnoscip dla ye f ( O ) .
Puukt statyto puukt x : y=fA ) , jednoznocshie wyanouonyoue y . Wnioskujemy ,
ze
fly jest riznowartosciowe.
(3) wez.my V=f( O ) . Zdefiniyi ✓ is punktu (2) f :O → V jest Gjekqig .
Poka -
zai nalezy ,Ze V list otoueuiem
yo , ayli w sacsegiluosci , ze V jestsbiarem otwowlymw Y
.
Weimy yer i odpowiedni , jedyny xe O taki,
ze fk ) .'
y . Wiemyize O jestotoarty wigc isthicje v : I ( x ,r ) a O
. Weizmy promien D= % , fyxoyyPokazemy ,
Ze
tzeK (y , d) ze V
Weizmywigc dowolne } [ K ( y ,d ) i rozwazmy $3 (5) dhe gek ( × ,r )
Hold} ) -xllf 11103C 5 ) - 431×111+11431×1 - ×H{ 12115×11+11 fkrojy s . fix# s
f Ent Hf'1×05111113 - yll f tzrttzn =r as (5) ek (×
,n )< J
IT
§|k( ×, . ,
me wowtosu .
w KANKO satem 01,
me puuktnaiy w
0,34a nonet wigcg
.
w K( X. v ) . Nazwijmytenpuukt Stony }o .
Wiaowmo satem ,
ze Pg ( 3.1=5 , ayii f( g) = g .
Wniosek : Se f ( 0 ) .
- V . sbyrodowolne a Kly , d) ,
sateen Kly , d) cri Votwowty .
(4) Wiemy juz ze istniejq Oi V otoczenie xo iyo take, ze f :O → V
jest kjekqiq ,ton f
"
istnieje . Dowodzimyleraz rdznicskowalewsa.
f-1
.
Dla wiatwienie uotagi oznacsmy f- '
= : g
Weizmy yet I KEY taki, zeby ytke V
, ayli 111<11 Maia. spodziewa -
my sig , sgodnie 2 tesg ,Ze g
'
( y ) = (f'
( x ) )"
the × : flx )=y
rg ( y ,k)= g(y+k ) - gay ) - ( f 'H)" K = #¥- ffHJK .
.
xth.pl#giytk = h - ( f 'Hj'
K = #'
(xD"
( f 'Hh - k) =
=[ f 'Hj' ( f'
A) h - [f ( xth ) - flx )] ) = - [ FYHJ'
( flxth ) - flx ) - f 'Hh ) =
= - [ f 'Hj'
rffx ,h )
ng ( h,
K ) = - [ fllyjlr ( × ,n ) k→o
y poupgah - so
"
msn.tw = ¥ ,
H #HJHHNTH ,HH{ Itf'exs5 'll"
he " HAD
jaksiq me h do kJoFanicsone"h€hoHctylxth) -PYHHE 2111 nil
Olylxth) . byk )= xtht#
top"(y- flxtn )) - (× + [ f
'
#]" ( y. fix , ))=ft
h +
AT. AHATH)
-
A #at+ Afk )= h - a ( ftp.ffxl)= h - [ftxfjlk
3511h- F
'ED"
klktzhn-
A
h= ht Ak - AK 11h11 f 11h - AKH t HAKH f tz 11h11 t HAKH
tz11h11 f HAKH f HAHHKH
11h11 f ZHAHHKH.
satem k→o pociqgeh→0
lhYhTf 211 All tzn ogranicsone .
Pokazalismy wigc ,Ze rent sachowuje sig wtasciwie
.
(5) Udowodnilismynozhicskowalusc F'
. Posostoje wykazoi "
w sposobcigopy
"Poniewaz many wziv ( f
- '
)'
( y ) = #( f-' ( y ) ) ]
"i wiemy ize
f jest rdzniczkowalne W sposob apgry wystaruy pokazai ,
Ze
ciqgfe jest odwaonowanie
D
B ( x. 4) at 1- > T'
e B ( Y ,x )W celach ogilnorozwojowych pokazemywigcg
.
-
jest to odwzorowanie
vizhia .
kowalnei
DCT )H= - T' 1. Ho T
' ' ( He BC ×, 4) - pmynost )
- 1
D ( Tt H ) - D ( t ) = ( Tt H )"
- T-1
= (11 + T- LH ) T- 2
- T- 1
==L( 11 + TIHJ1
- A) T " =[ a - TH + if '
Hj'
. ... - a ]T "=
-Jesili 11521111<1 = - T
'sHT
- h+ if
' '
H )2T -1.1 . . .
-+ 2h HHH ( %, ,
-
y , pochodno -1
H(T±H)' T.tt ( T" HPT 't
+ . . . HE 11T"
111111T' '
#112 ( 1+11 Tit H 11 + . . . ) f
f HT' 11311
HH' L
- 1- HTHHJten csannik gwarantnie aaaiowanierehty . a