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T Í T U L O
Matemática 6.a Classe
A U T O R E S
Isabel Ferreira do Nascimento
Wandanda Mbanza João
C O L A B O R A Ç Ã O E R E V I S Ã O
Cungatiquilo Cano
E D I T O R
ÁRVORE DO SABER
P R É - I M P R E S S Ã O , I M P R E S S Ã O
E AC A B A M E N T O S
Damer Gráficas, S.A.
M O R A D A
Rua Rainha Ginga, 182-A
Bairro Ingombotas
Luanda • ANGOLA
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© 2 0 1 0Á R V O R E D O S A B E RLUANDA, 2010 • 1.ª EDIÇÃO
REGISTADO NA BIBLIOTECA NACIONAL
DE ANGOLA SOB O N.º 9197/10
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INTRODUÇÃO
Os conteúdos seleccionados para esta classe visam adaptar o aluno
ao desenvolvimento e progresso com diferentes motivações, interes-ses, capacidades e conhecimentos; criando condições para a sua inser-ção num mundo em mudança.
Para melhor compreensão, iremos tratar os seguintes conteúdos:
1Números e operações
Multiplicação de números inteiros e números decimais; decompo-sição de números naturais em factores primos na forma potencial;critérios de divisibilidade por 10, 5 e 2; cálculo de m.m.c. e de m.d.c.de dois ou mais números naturais; números racionais, adição e sub-tracção de fracções; divisão de números em forma de fracções; ex-pressões numéricas e respectivas propriedades.
2Geometria
Paralelogramo; triângulo; eixo de simetria; bissectriz de um ângu-lo; área de círculo; medição de volumes cilíndricos; área do triângulo;área do paralelogramo.
3Proporcionalidade
Proporções, percentagens, gráficos circulares, escala. Esclarece-seque, nesta classe, a ordem de apresentação dos conteúdos é linear; istoquer dizer que os conteúdos se encontram em «blocos» e essa é a or-dem lógica por que devem ser tratados.
4Estatística
Noções elementares de estatística: a moda, a média aritmética, amediana, tabelas e gráficos.
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ÍNDICETema 1Números e operações
Multiplicação de números inteiros e de números decimais ................................................ 8Multiplicar um número inteiro por um número decimal ..................................................... 8Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção................ 11Números primos e números compostos .................................................................................. 14Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência........... 14Critérios de divisibilidade por 2 ............................................................................................... 15Critério de divisibilidade por 10 e 5......................................................................................... 16Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ............................................................ 17Ampliação de fracções................................................................................................................ 19Simplificação de fracções ........................................................................................................... 20Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções ...................................... 22Operações com números racionais ........................................................................................... 23Adição e subtracção de fracções................................................................................................ 23Fracções com denominadores diferentes................................................................................. 25Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista ..................................... 27Propriedades da adição de números fraccionários ................................................................ 28Propriedade associativa.............................................................................................................. 28
Propriedade comutativa ............................................................................................................. 29Existência de elemento neutro................................................................................................... 29Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais ................................ 30Adição de fracções decimais...................................................................................................... 30Adição escrita dos números decimais ...................................................................................... 31Subtracção de fracções decimais ............................................................................................... 31Multiplicação de números fraccionários.................................................................................. 33Multiplicação de uma fracção por um número inteiro.......................................................... 35Inverso de um número ............................................................................................................... 39Divisão de números fraccionários............................................................................................. 40
Multiplicação de números decimais......................................................................................... 43Divisão de números fraccionários representados por números decimais.......................... 44
Tema 2Geometria
Triângulos ..................................................................................................................................... 48Construção de triângulos ........................................................................................................... 48Construção de triângulos segundo os lados ........................................................................... 48Construção de triângulos segundo os ângulos e lados ......................................................... 53Quadriláteros................................................................................................................................ 58Propriedades dos quadriláteros ................................................................................................ 58
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ÍNDICEPropriedades dos paralelogramos ............................................................................................ 60Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo......................................................................... 63Eixo de simetria ........................................................................................................................... 63Bissectriz de um ângulo ............................................................................................................. 64Área do paralelogramo............................................................................................................... 67Área do triângulo ........................................................................................................................ 68Área do círculo............................................................................................................................. 69Cálculo da medida da área do círculo...................................................................................... 69O volume do prisma ................................................................................................................... 71Prisma cuja base é um paralelogramo ..................................................................................... 71Volume dos prismas triangulares rectos.................................................................................. 71
Volume de prismas rectos não triangulares ............................................................................ 72Volume do cilindro...................................................................................................................... 72
Tema 3Proporcionalidade
Sucessões numéricas ................................................................................................................... 76Sucessões numéricas proporcionais.......................................................................................... 76
Proporcionalidade directa .......................................................................................................... 77Sistema de coordenadas rectangulares .................................................................................... 79Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa .......................................................... 79Proporções .................................................................................................................................... 81Noção de proporções .................................................................................................................. 81Designação dos termos de uma proporção............................................................................. 82Propriedade fundamental das proporções.............................................................................. 82Percentagens................................................................................................................................. 84Percentagens e cálculo mental................................................................................................... 84Conversões de fracções ordinárias em percentagens............................................................. 85Gráficos circulares ....................................................................................................................... 86
Percentagens................................................................................................................................. 86Escala............................................................................................................................................. 87
Tema 4Estatística
Noções elementares de estatística............................................................................................. 92Medidas de tendência central.................................................................................................... 92
A moda.......................................................................................................................................... 92A média aritmética ...................................................................................................................... 93Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
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• Multiplicação de números inteiros e números decimais
• Propriedade distributiva da multiplicação em relaçãoà adição e à subtracção
• Números primos e números compostos• Decomposição de números inteiros em factores primos
sob a forma de potência
• Critérios de divisibilidade por 2
• Critérios de divisibilidade por 10 e por 5
• Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
• Ampliação de fracções
• Simplificação de fracções
• Uso do máximo divisor comum para a simplificação
de fracções
• Cálculo com números racionais
• Adição e subtracção de fracções representadassob a forma mista
• Propriedade de adição de números racionais
• Cálculo com números decimais envolvendo as fracçõesdecimais
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Números
e operações
TEMA 1
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TEMA 1Multiplicação de números inteiros e de números decimais
Observa a conversa entre amigos.
Repara: 4 × 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3Se 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,2
então, 4 × 0,3 = 1,2.
E se fosse 3 × 4,5 = 4,5 + 4,5 + 4,54,5 + 4,5 + 4,5 = 13,5
então, 3 × 4,5 = 13,5.
Multiplicar um número inteiro por um número decimal
1. Quantos metros de tecido terá de comprar a Dona Anita para fazer 2 vestidos,
se cada vestido levar 1,5 m?R.: ________________________________________________________________________________________________________
Multiplicam-se os números como se fossem inteiros.O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.
8
Oh! João,
é muito simples.Mário,
sabes calcular
4 × 0,3?
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2. Calcula mentalmente.
6 × 2,5 = 2,8 × 10 =5,5 × 2 = 19 × 0,5 =
2,5 × 4 = 0,15 × 5 =
3. A Dona Maria colocou uma renda à volta de uma toalha com a configuração dafigura abaixo apresentada.
Quanto gastou ela, se cada metro de renda custou 15 000 kz?
R.: ______________________________________________________________________________________________________________________
Observa os produtos.
0,6 × 3 = 1,8 5,2 × 8 = 41,6
3 × 0,6 = 1,8 8 × 5,2 = 41,6
Certamente observaste que o produto não se altera se trocarmos a ordem dosfactores. A isto chama-se Propriedade Comutativa da Multiplicação.
1. Resolve.
4,5 × 6 = 5 × 8,3 =
6 × 4,5 = 7,9 × 2 =
8,3 × 5 = 2 × 7,9 =
2. Completa utilizando a propriedade comutativa da multiplicação.
16,6 × 4 = 4 × ________
25,1 × ________ = 5 × 25,1
3,15 × 2 = ________ × 3,15________ × 9,6 = 7 × ________
2,50 m
1,20 m
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NÚMEROS E OPERAÇÕES
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TEMA 1 Já conheces também outra propriedade: a Propriedade Associativa.
Observa: (1,6 × 8) ________ = ________ × (8 × 4)
(2,3 × ________) × 5 = 2,3 × (10 × ________)
O cálculo de produto torna-se mais simples se utilizarmos a propriedade associa-tiva da multiplicação
Observa e completa, como nos exemplos.
1,5 × 1,2 × 4 × 2 =
= (1,5 × 2) × (1,2 × 4)
= 3 × 4,8
= 14,4
3,1 × 3 × 0,2 × 5 = (3,1 × 3) × (0,2 × 5)
= 9,3 × 1
= 9,3
8 × 7 × 9 × 5 = (8 × 5) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
18 × 6 × 9 × 3 = (________ × ________) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
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Propriedade distributiva da multiplicaçãoem relação à adição e à subtracção.
A Mónica tem 2 irmãos.Deu a cada um deles 3 rebuçados e 4 pastilhas.Ao todo, quantas guloseimas deu a Mónica?
1.° ProcedimentoObserva como é fácil calcular.Número total de guloseimas
3 + 4 = ________2 × (3 + 4) = ________ × ________
= ________
2.° ProcedimentoNúmero total de guloseimas para os dois irmãos
2 × 3 = ________
Número total de pastilhas para os dois irmãos
2 × 4 = ________
Número total de guloseimas e de pastilhas para os dois irmãos
2 × 3 + 2 × 4 = ________ + ________
Concluímos então que:
A Mariana comprou 5 bananas e 3 maçãs para levar para o hospital.Cada fruta custou 200 kwanzas.Quanto pagou a Mariana pelas frutas?
1.° ProcedimentoO número total de frutas
5 + 3 = ________
Quantia a pagar(5 + 3) × 200 = ________ × ________
2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4
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NÚMEROS E OPERAÇÕES
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TEMA 1Quantia total a pagar pelas bananas
5 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas maçãs:
3 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas frutas:
5 × 200 + 3 × 200 = __________ + __________ = __________
Concluímos então que:
Será que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção?
Observa
A Nanda comprou 4 cadeiras no Super África, cujo preço era de 15 000 kz cada. Noentanto, foi feito um desconto de 200 kz por cada cadeira. Quanto pagou a Nanda?
«Contas» feitas pela Nanda.Quantia a pagar por cada cadeira: 15 000 kz – 200 kzQuantia a pagar pelas 4 cadeiras:
4 cadeiras = 4 × (15 000 – 200) = ____________ × ____________ = ____________
Super África
Preços das cadeiras sem descontos: 4 × 15 000 = ______________
Total dos descontos: 4 × 200 = ______________
Total a pagar: 4 × 15 000 – 4 × 200 = ______________ – ______________ = ______________
Conclusão
4 × (15 000 – 200) = 4 × 15 000 – 4 × 200
Esta propriedade chama-se Propriedade Distributiva da Multiplica-ção em Relação à Adição.
(5 + 3) × 200 = 5 × 200 + 3 × 200
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Concluímos que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção.
Calcula como no exemplo:6 × (9 – 5) = 6 × 9 – 6 × 5= 54 – 30= 24
16 × (10 – 7) = (________ × ________) – (________ × ________)
= ________ – ________ – ________
= ________
5,2 × (6 + 4) = (________ × ________) + (________ × ________)
= ________ + ________
= ________
2,7 × (13 – 10) = (________ × ________) – (________ × ________)
= ________ – ________
= ________
6,7 × (9 + 7) = (________ × ________) + (________ × ________)= ________ + ________
= ________
Completa usando a propriedade distributiva:
5 × (13 + 6) = ________ × 13 + ________ × 6
Verificas que há um factor comum aos dois produtos. Este factor é o 5. Então, tam- bém podemos escrever:
5 × 13 + 5 × 6 = 5 × (13 + 6)
Põe em evidência o factor comum.
6 × 9 + 6 × 5 5,2 × 6 – 5,2 × 4 12 × 3 + 1,2 × 3 7 × 93 + 16 × 7
8 × 3 + 8 × 7 7,6 × 9 + 9 × 3 2,5 × 5 + 0,8 × 5 3 × 24 + 9 × 2417 × 4 + 4 × 8 4,8 × 2 + 4,8 × 4 10 × 2,3 – 3 × 2,3 32 × 8 + 14 × 8
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NÚMEROS E OPERAÇÕES
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TEMA 1Números primos e números compostos
Estudámos o conjunto de divisores de alguns números naturais.
Divisores de 3 = {1; 3}Divisores de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}Divisores de 17 = {1; 17}Divisores de 9 = {1; 3; 9}Divisores de 8 = {1; 2; 4; 8}
Verificamos que os números 3 e 17 só têm dois divisores, o número 1 e o próprionúmero. Esses números chamam-se números primos.
Os restantes números chamam-se compostos porque admitem mais de dois divi-sores.O número 1 nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: elepróprio.
Indica todos os números primos compreendidos entre os seguintes números:
a) 10 e 20 b) 50 e 60c) 30 e 40 d) 0 e 20e) 40 e 50 f) 70 e 80
Qual é o maior número primo inferior a 20?Diz o maior número primo compreendido entre 13 e 17.
Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência
Decomposição em factores primos
Repara:
30 = 2 × 15 ou 30 2 28 = 2 × 14 ou 28 215 3 14 25 5 7 71 1
2 × 3 × 5 2 × 2 × 730 = 2 × 3 × 5 28 = 2 × 2 × 7
Um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, o nú-
mero 1 e o próprio número.
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Número
Resto dadivisão por 2
7 16 23 39
1
72 92 45 144
0
60 113 40 17 98
O que verificaste?
Ao fazermos a decomposição de um número inteiro em factores de maneira quetodos os factores sejam números primos, efectuamos uma decomposição em fac-tores primos.
Decompõe como no exemplo:108 = 2 × 54
= 2 × 2 × 27= 2 × 2 × 3 × 9= 2 × 2 × 3 × 3 × 3108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
128 =
50 =
162 =
Decomposição sob a forma de potência
Observa o exemplo anterior.
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Nesta decomposição em factores primos, aparecem repetidos factores comuns quepodemos escrever sob a forma potencial.
2 × 2 = 22 (lê-se dois ao quadrado)
3 × 3 × 3 = 33 (lê-se três ao cubo)
Esta forma de escrever chama-se potência. Numa potência «an» em que «a» é a base e «n» é o expoente, o expoente indica o número de factores iguais à base.Escreve os números dos exercícios anteriores sob a forma de potência.
Critérios de divisibilidade por 2
Observa o quadro seguinte e completa.
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NÚMEROS E OPERAÇÕES
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TEMA 1Diz quais são os números que, ao serem divididos por 2, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em 0, 2, 4, 6 e 8.
Critério de divisibilidade por 10 e 5
Observa e completa o quadro seguinte.
Diz quais os números que, ao dividirmos por 10, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em zero.
Tal como na divisão por 10, 30, 660 e 810, os números também dão resto zero.Realizamos o mesmo raciocínio para encontramos um critério para a divisibilidadepor 5.
Utilizando os critérios de divisibilidade, escreve quais dos seguintes números sãodivisíveis por 2, por 5 ou por 10.
Número
924
96 500
4586
3670265 300
2 5 10
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.
Número
Resto dadivisão por 10
25 96 10 15 30 105 600 810
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidadesé 0, 2, 4, 6 e 8, se o número for par. Os outros números não sãodivisíveis por 2.
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Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Para conhecermos o m.d.c. e o m.m.c., podemos começar a organizar conjuntos dedivisores.
Observa:Escreve o conjunto de divisores comuns de 9 e 15.
D9 = {1; 3; 9}
D15 = {1; 3; 5; 15}
{divisores comuns de 9 e 15} = {1; 3}
Certamente irás perguntar qual será o m.d.c.Formamos, para cada um dos números dados, o conjunto dos respectivos divisorese, com base neste, determina-se o conjunto dos divisores comuns, sendo o seu ele-mento máximo o m.d.c.
No exemplo precedente, 3 é o m.d.c. de 9 e 15.Mas como calcular o máximo divisor comum?
Consideremos os números 18, 48 e 72.
17
NÚMEROS E OPERAÇÕES
18 = 2 × 3 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
18 = 2 × 32
48 = 24 × 3
72 = 23 × 32
2 e 3
2 × 3 = 6
m.d.c. (18, 48, 72) = 6
1. Decompor em factores primos
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
3. Seleccionar os factores primos comuns
(de menor expoente)
4. Formar o produto das potências
seleccionadas
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TEMA 1
Consideremos agora os múltiplos comuns de 3 e 5.Múltiplos de 3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …; 30; …}Múltiplos de 5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
Consideremos agora os múltiplos comuns dos números 3 e 5 = {15; 30; 45; …}Entre todos os múltiplos de 3 e 5, existe o menor múltiplo comum, que é 15.Assim, m.m.c. (3; 5) = 15
Como calcular o mínimo múltiplo comum?Consideremos os números 27 e 40.
1. Determina o m.d.c. dos seguintes números:a) 4; 9; 24 b) 6; 34; 221
2. Determina por meio de decomposição em factores primos o m.m.c. dos seguin-tes números:
a) 8; 10; 12 b) 44; 78; 143 c) 15; 18; 24
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números éo produto de factores comuns e não comuns de maior expoente.
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números
é igual ao produto de factores comuns de menor expoente.
18
27 = 3 × 3 × 3
40 = 2 × 2 × 2 × 5
27 = 33
40 = 24 × 5
23; 33 e 5
23 × 33 × 5 = 1080
m.d.c. (27, 40) = 1080
1. Decompor em factores primos
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
3. Seleccionar os factores primos comuns
(de maior expoente) e não comuns
4. Formar o produto das potências
seleccionadas
Exercíc ios
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Ampliação de fracções
Observa as seguintes fracções:
As fracções resultam da ampliação da fracção .
Essas fracções chamam-se fracções equivalentes.
Amplia as seguintes fracções por 2, 3 e 4:
a)
b)
c)
Vamos representar as fracções seguintes na semi-recta numérica: .
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.
0 321
32
64
128
2416
; ; e
Se multiplicarmos os dois termos da fracção pelo mesmonúmero, obteremos uma fracção ampliada.
32
2
6
12
3
2
6
4
12
8
24
16
= =
3 22 2
6 24 2
12 28 2
2416
××
= ×
× =
××
= …
33
64
128
2418
; ; e
19
NÚMEROS E OPERAÇÕES
32
64
128
2416
; ; ;
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TEMA 1
20
Exercíc ios
1. Amplia a fracção sucessivamente pelos números seguintes.a) 4
b) 2
c) 12
d) 7
2. Representa as fracções na semi-recta numérica.
Simplificação de fracções
Observa as seguintes fracções:
As fracções resultam da simplificação da fracção por 2.
Simplifica as seguintes fracções:
a) b) c)
d) e) f)
Se se efectuar a simplificação sucessiva às fracções por 2, obteremos a
fracção .32
24
16
12
8
6
4
; ;
140200
6090
1218
3648
1624
24
2416
128
64
32
; ;
2416
22
128
22
64
22
32
÷ = ÷ = ÷ =
24
16
12
8
6
4
3
2
; ; ;
1
2
3
4 0 5
7
6
6
3; ; , ; e
34
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NÚMEROS E OPERAÇÕES
35
27
49
34
; ; ;
24
16
12
8
6
4
3
2; ; ;
A fracção não pode mais ser simplificada, pois é uma fracção irredutível.
As fracções representam o mesmo número , portanto, são chamadas
fracções equivalentes.
Vamos representar as fracções na semi-recta numérica.
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.
1. Representa as fracções na semi-recta numérica.
2. Escreve algumas fracções equivalentes a:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) 1415
2122
39
1315
126
29
510
45
13
0 3 765421
128
12
43
568
; ; e
0 321
2416
128
64
32
; ; ;
3
2
24
16
12
8
6
4; ;
Uma fracção chama-se irredutível se os seus termosforem primos entre si.
32
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
22/96
TEMA 13. Demonstra por meio do desenho que:
a) b) c)
4. Completa as equivalências.
a) b) c) d)
e) f) g)
5. Simplifica.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
6. Determina as fracções equivalentes a cujos numeradores estão compreendi-dos entre 34 e 95.
Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções
A simplificação de fracções cujos termos são muito grandes torna a divisão suces-siva dos termos mais fastidiosa. Vamos usar o máximo divisor comum para sim-plificar as fracções.
Exemplo: para simplificar a fracção , decompomos em factores primos:
105 = 21 × 5 = 3 × 7 × 5 = 3 × 5 × 7
140 = 14 × 10 = 2 × 7 × 2 × 5 = 22 × 5 × 7
m.d.c. (105; 140) = 5 × 7 = 35
104140
79
90
900
=72
360
=48
96
=14
28
=
1618
=3672
=1248
=5
15 =
1514 28=99 19=16 82=
1 1236
=25 40
=14 12
=23
8=
14
312
=25
410
=13
39
=
22
105 335 57 71
140 270 235 57 7
1105 = 3 × 5 × 7 140 = 22 × 5 × 7
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
23/96
Dividimos os termos da fracção pelo m.d.c. (105; 140 = 35)
Simplifica as seguintes fracções (usando o m.d.c.):
a) b) c) d)
Operações com números racionais
Adição e subtracção de fracçõesFracções com o mesmo denominador
A Isabel comprou uma tablete de chocolateque dividiu em 5 partes iguais.
No primeiro dia comeu e no segundo dia . Qual é a parte de chocolate que a
Isabel comeu nos dois dias?
Para resolver este problema, vamos adicionar as duas fracções.
Conhecendo a parte de chocolate que a Isabel comeu, podemos calcular a parte queficou.
Já se sabe que o chocolate foi dividido em 5 partes iguais ou .
A parte de chocolate que ficou é igual a .
Para adicionar fracções de igual denominador, somam-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.
Para subtrair fracções de igual denominador, subtraem-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.
1522
922
15 922
622
– – = =4
525
4 25
25
– – = =
18
38
28
1 3 28
68
+ + = + +
=37
27
3 27
57
+ = +
=
55
45
15 – =
55
15
35
1 35
45
+ = +
=
35
15
300180
600630
153432
3690
105140
3535
34
÷ =
23
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
24/96
TEMA 1
1. Calcula as somas ou diferenças das fracções seguintes.A B
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) l)
f) m)
2. Completa com a fracção que falta.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i) + =9
29
22
29 –
3
11
11
11=
6
15
2
15
15
15+ + =
14
14
44
+ + =49
19
– =1915
715
– =
139 59 – =1825 825= +97 157+ =
13819
10219
1419
– – 17
27
37
+ +
32
63
17
63
– 8 2
15
4
15
++
101344
99344
– 1715
1815
+
2212
1112
1012
– – 1513
413
+
2953
2053
– 1513
413
–
2325
1225
– 24
14
–
24
Exercíc ios
a)
b)
c)
c)
d)697
173
45
173
28
173
– +
106
96
166
+ +
205120
150120
90120
+ –
106
96
166
+ –
135
25
45
+ +
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25/96
Fracções com denominadores diferentes
Como adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes.
Exemplo:
Já aprendeste a transformar as fracções noutras equivalentes.
Vamos transformar essas fracções em fracções equivalentes, ampliando-as, de
modo a obter fracções com denominadores iguais.
As fracções são equivalentes.
De modo igual, é equivalente a têm o mesmo denominador.
Assim, .
De modo igual, .
Para adicionar fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;
– calcular a soma dos numeradores, mantendo o denominador comum.
De igual modo, para subtrair fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;– calcular a diferença dos numeradores, mantendo o denominador comum.
810
25
810
410
8 410
410
– – –
= = =
32
57
2114
1014
21 1014
+ = + = +
1014
2114
1014
; e57
32
2114
e
32
64
96
128
1510
1812
2114
57
1014
= = = = = = …
=
32
57
810
25
+ = =; –
25
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
26/96
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
Calcula a soma das seguintes fracções:
Se os denominadores tiverem grandes números, temos de achar o m.m.c. dos de-nominadores.
m.m.c. (21, 35) = 105Assim:
De modo igual, para calcular , procedemos como no caso anterior.
m.m.c. (21, 35) = 105, logo:
1621
80105
1235
36105
1621
1235
805 3( ) ( )× ×
= =
= –
e
110536
10544
105 – =
1621
1235
–
1621
80105
1235
36105
1621
1235
805 3( ) ( )× ×
= =
+ =
e
110536
105116105
+ =
1621
1235
+ =
158
69
+ =34
27
– =
105
67
– =56
38
– =78
512
– =25
34
12
+ + =
14
56
+ =34
12
– =57
814
+ =23
12
+ =
26
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
27/96
Utilizando o m.m.c., calcula a soma ou a diferença dos dois números seguintes.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista
Exemplo:
a) b)
c) ou 9138
547
858
397
595 31256
28356
– –
–
=
=
=
9138
547
9 5138
47
491 32
56
45956
– – –
–
= ( ) +
= +
=
734
545
7 534
45
1215 16
20
123120
1311
2
+ = +( ) + +
= + +
=
=
00
312
1035
3 1012
35
2 5 10
13
+ =
+( ) + + ( ) =
+
. . . ,m m c
112
35
135
106
1013
5 610
141
105 2×( ) ×( )
+ = + + = +
=
17
66
3
44
2
33
7
55+ – –
4
7
1
6
5
14
16
21
1
3
17
8+ + + + +
11
24
17
36
7
81+ +
3940
4930
+3591
2565
– 1220
815
–
427
536
– 116
221
+5
12138
+
27
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
28/96
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
Propriedades da adição de números fraccionários
Propriedade associativa
A soma pode calcular-se da seguinte forma:
ou25
34
512
25
34
512
25
9 512
25
+ + = + +
= + +
= ++
= +
=
1414
24 7060
9460
= +
+
= +
= +
=
8 1520
512
2320
512
69 2560
9460
25 34 512 25 34 512+ + = + + =25 34 512+ +
7 4550
5 1428
+21 910
+
315
216
– 474
3 – 9 635
– 185
7520
35210
+
106
158
1260
+114
15
– 659
727
– 513
217
+
28
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
29/96
Logo, .
Esta igualdade traduz a propriedade associativa de adição dos números racionais.
De modo geral, se com são números fraccioná-
rios, temos:
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é associativa.
Propriedade comutativa
Esta igualdade traduz a propriedade comutativa da adição dos nú-
meros fraccionários.
De modo geral, se com são números fraccionários, temos:
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é comutativa.
Existência de elemento neutro
. 0 é o elemento neutro da adição dos números fraccionários.
Em geral, sendo um número fraccionário qualquer, tem-se:
a b
a b
a b+ = + =0 0
a b
710
0 0710
710
+ = + =
a b
cd
cd
a b
+ = +
b e d≠ ≠0 0a
be
cd
27
58
58
27
+ = +
a b
cd
ef
a b
cd
ef
+
+ = + +
b d e f ≠ ≠ ≠0 0 0,a
bcd
eef
;
25
34
512
25
34
512
+
+ = + +
29
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
30/96
TEMA 1
1. O tio André comprou um terreno a prestações. Na primeira prestação, pagoua quantia correspondente à metade do terreno. Na segunda prestação
. Que parte do terreno falta pagar?
2. Um bolo foi dividido em 15 partes iguais. O pai comeu de bolo, a mãecomeu . Que parte de bolo ficou?
3. O senhor Dias resolveu de exercícios de matemática de manhã. No perío-
do da tarde, resolveu . Que parte de exercícios fez no total? Que parte
de exercícios ficou por fazer?
4. Um auditório com 430 cadeiras está lotado com homens, mulheres e crian-ças. O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens édo número de mulheres. Quantas crianças estão no auditório?
5. As turmas A e B da 6.a classe têm no total 105 alunos. A turma A tem donúmero de alunos da 6.a B. Quantos alunos tem cada turma?
Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais
Adição de fracções decimais
José e Isabel estavam a pintar o pavimentoda sala, que se apresenta da seguinte forma:
No fim o pavimento ficou com este aspecto.
O José assinalou com J os quadrados que por ele foram pintados e com I os que
foram pintados pela Isabel.Determina a parte pintada pelos dois.
47
25
15
13
415
315
13
30
Problemas
J J I I
J I I
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
31/96
O José pintou 0,3 ou 3/10 do pavimento e a Isabel pintou 0,4 ou 4/10.
Os dois pintaram: 0,3 + 0,4 = 3/10 + 4/10
Outro exemplo de adição:
Adição escrita dos números decimais
Com o mesmo número de casas decimais, pode ser efectuada a adição escrita dos
números naturais.Colocam-se unidades por baixo de unidades, décimas por baixo de décimas, cen-tésimas por baixo de centésimas de forma que as vírgulas fiquem no mesmo ali-nhamento.
0,3 13,005+ 0,4 2,346
0,7 0,008+ 112,239
127,598
Subtracção de fracções decimais
No exemplo precedente sobre o pavimento, pode calcular-se a parte da sala quenão foi pintada.
Já sabemos que a parte pintada representa os de pavimento.Que fracção representa a restante parte?Sabemos que a sala foi dividida em 10 partes.
As 10 partes são representadas pela fracção .
foram pintadas. É claro que podemos calcular a parte que resta.710
1010
710
13 005 2 346 0 008 112 239
130051000
234610
, , , ,+ + +
= +000
81000
1122391000
13003 2346 8 112239100
+ +
= + + +00
1275981000
127 598
=
= ,
= +
=
=
3 4107100 7,
31
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
32/96
TEMA 1Assim, teremos:
Outro exemplo de subtracção:
A subtracção escrita dos números decimais com o mesmo número de casas deci-mais pode ser efectuada do mesmo modo que a adição escrita dos números natu-rais, respeitando as condições dadas na adição escrita.
1,0 15,269– 0,7 – 10,385
0,3 4,884
1. Calcula sob a forma fraccionária.1. a) 3,5 + 2,18 + 21,009 e) 0,7 + 0,25 + 4,008 + 1,572
b) 5,19 + 4,2 f) 3,5 + 6,01 + 0,8c) 6,4 + 10 + 1,38 g) 0,008 + 0,014 + 1,006d) 12 + 3,106 + 0,004 h) 6,4 + 1,25 + 0,425 + 1,4
2. a) 13,5 – 11,06 e) 5 – 0,03 b) 9,86 – 5,998 f) 1,4 – 0,76c) 0,8 – 0,567 g) 2,412 – 1,367
d) 3,2 – 1,289 h) 0,763 – 0,397
15 269 10 385152691000
103851000
15269 103
, – , –
–
=
=885
100048841000
4 884
=
= ,
1010 710 10 710
310
– –
=
=
32
Exercíc ios e Problemas
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
33/96
2. Calcula sob a forma de números decimais.
1. a) 5,7 +9,09 + 10,21 e) 18,23 – 7,615 b) 3,4 + 5,23 f) 12 – 0,09
c) 2,3 + 5,6 + 0,004 g) 3 – 0,003
d) 26,206 – 12,14 h) 75,2 – 68,54
3. Um motorista percorreu no 1.° dia 15 km, no segundo dia 19 km e 7 m e no ter-
ceiro 25 km e 8 m. Calcula a distância percorrida pelo motorista durante os trêsdias.
4. A Ana preparou um bolo que comeu da seguinte forma:
No primeiro dia comeu do bolo, no segundo dia comeu e no terceiro dia
comeu . Qual foi a parte do bolo que sobrou?
5. Quanto tenho de juntar a 15,7 para obter 20,5?
6. O José comprou 3,50 m de tecido para fazer duas calças, uma com 1,25 m e outracom 1,75 m. Quantos metros de tecido sobraram?
Multiplicação de números fraccionários
A Cecília cultivou de da área do seu quintal. Qual é a área total destinada à
plantação?
Para responder, precisamos de calcular de , ou seja, .
Considera o rectângulo seguinte, querepresenta a área total do quintal daCecília dividida em 3 partes iguais.
23
56
×56
23
5
6
2
3
210
510
510
33
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios e Problemas
23
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
34/96
TEMA 1Considera o mesmo rectângulo, dividido em 6 partes iguais.
Sobrepõe os dois rectângulos: obténs um rectângulo dividido em 18 partes iguais.
Assim, ou .
Calcula:
Para multiplicar dois números representados por fracções, mul-tiplicam-se os numeradores e os denominadores entre si.
12
53
1 52 3
56
× = ×
× =
23
56
2 53 6
1018
× = ×
× =
23
56
1018
× =
34
56
56
2
3
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
35/96
Multiplicação de uma fracção por um número inteiro
Exemplo 1:
Já sabes que todo o número inteiro pode escrever-se sob a forma de uma fracçãocom denominador 1. Assim:
Exemplo 2:
Usando a regra:
Podes também calcular deste modo:
1. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)16
0 36× ,23
1 5× ,34
0 5× ,1
189×
15
35×2530
414
×12
64
×57
19
×
12
1 5 0 5 1 5 0 7575
10075 25
100 25× = × = =
÷÷
=, , , , ou334
12
1 512
1510
1 151 10
1520
34
× = × = ×
× = =,
12
1 5× =,
Para multiplicar uma fracção por um número inteiro, multipli-
ca-se o número pelo numerador, mantendo o denominador.
25
825
81
2 85 1
165
25
82 8
5165
× = × ×
× = × =
×=, logo, ou
25 8× =
35
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
36/96
TEMA 1
2. Faz os cálculos indicados e simplifica os resultados obtidos para expressões sim-ples (fracções irredutíveis).
a) b) c) d)
e) f) g) h)
3. Calcula.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
4. Calcula.a) 15,2 × 14,8 × 5,3 b) 4,02 × 5,4 × 6 c) 12,8 × 13,2 × 4,7d) 1,2 × 1,5 × 3,9 e) 3,02 × 1,51 × 3,1 f) 1,6 × 4,1 × 5,07
Propriedades da multiplicação de números fraccionários
Completa a tabela seguinte.
Com base nos resultados obtidosna tabela, completa e tira uma con-clusão.
1 554
54
1 5, ,× = × =e
1512
3163
× ×153
128
22× ×
12
29
15× ×5
123
45
× ×
512
345
× ×53
47
2120
× ×58
84
15× ×
37
56
23
× ×
15 315
×315
10×54
15×
35
15×
334
8×1274
×213
6×4
153×
36
Exercíc ios
×
0
1
2
1,5
5
4
1
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1,5
0
5
4
0
1
0
4
5
0
6
7
0
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
37/96
A multiplicação dos números fraccionários é comutativa. Se a e b são númerosfraccionários, temos a × b = b × a.
0 é o elemento absorvente da multiplicação dos números fraccionários. Se a é umnúmero fraccionário, temos: a × 0 = 0 × a = 0
. 1 é o elemento neutro da multiplicação dos números frac-
cionários.
Se a é um número fraccionário, temos: a × 1 = 1 × a = a.
Considera a seguinte expressão:
Calcula este produto. É óbvio que obténs ou . Calculamos esta expressãoda seguinte forma:
Podes concluir que:
Já conheces esta propriedade: Propriedade Associativa.
Se a, b e c são números fraccionários, temos:a × (b × c) = (a × b) × c
25
37
34
27
37
34
× ×
= ×
×
25
37
54
25
37
54
25
1528
× ×
×
×
= × =
ou
6635
54
30140
×
=
314
30140
25
37
54
× ×
112
12
1× = × =e
067
67
0× = × =e
37
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
38/96
TEMA 1O Pedro e o André estiveram a fazer o seguinte cálculo:
Vejamos como os dois procederam:
Finalmente, os dois chegaram ao mesmo resultado.
O André utilizou um procedimento. Como se chama esta propriedade?
Logo, a propriedade que o André utilizou é a propriedade distributiva.
Tu também vais utilizar os dois procedimentos, procurando chegar ao mesmoresultado.
Com certeza que nos dois procedimentos chegaste ao mesmo resultado: ou .
Podes concluir o seguinte:
A multiplicação dos números fraccionários é distributiva emrelação à adição e à subtracção.
Se a × (b ± c) = a × b ± a × c
1415
2830
4
5
5
3
1
2
×
= –
André
32
15
46
32
15
32
46
310 12123
1
× +
= × + ×
= +
=00
1
310
1010
3 1010
13
10
+
= +
= +
=
Pedro
32
15
46
32
6 2030
32 26303 262
× +
= × +
= ×
= ×
××
=
÷÷
=
307860
78 669 6
1310
32
15
46× +
38
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
39/96
Inverso de um número
A São e a Laura estavam a fazer perguntas em Matemática.A Laura perguntou à São: Qual é o número que, multiplicado pelo número dado,dá 1?Exemplo: 7 × ? = 1
A São responde o seguinte: É , pois .
A São, por sua vez, fez a pergunta à Laura.
Se o número for a fracção :
A Laura respondeu que este número é , pois .
Assim, os números e são chamados inversos de 7 e .
O inverso de um número fraccionário é o número cujo produto com este é
igual a 1 ou o inverso de um número fraccionário é a fracção obtida, permu-tando os seus termos.O recíproco de .
Se é um número fraccionário diferente de zero, então temos:
. Todo o número tem inverso, excepto o 0.
1. Calcula, aplicando a propriedade distributiva.
a) b) c)
d) e) f)57
75 5
14 – ×
813
23
35 – ×
711
211
2325 – ×
75
34
1545
+
×
34
24
53
+
×3
52
25
× +
a b
ba
a b× = ≠ ≠( )1 0 0;
a b
ab
éba
57
75
17
57
75
1× =75
57
1× =57
717
1× =17
39
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
40/96
TEMA 1
2. Calcula, aplicando a propriedade comutativa.
a) b) c)
d) e) f)
3. Completa.
a) b) c)
d) e) f)
4. Aplica a propriedade associativa.
a) b) c)
d) e) f)
Divisão de números fraccionários
Determinação do quociente de dois números fraccionários
• D iv i são de um número nat ural por uma fracção
O Diogo comprou 7 laranjas e quer dividir cada uma em três partes. Quantos
terços terá o Diogo?
O problema consiste em dividir as 7 laranjas em três partes iguais.
Seja .7 13
21 7 31
21÷ = × =ou
3 1 2 5 4, ,× ×35
12
87
× ×23
15
49
× ×
1113
32
13
× ×32
610
4× ×15
27
12
× ×
1510
1× =3
141× =1
13
= ×
19
16= ×
5322
1× =169
1× =
15
9× =1213
25
× =32
68
× =
643
× =73
97
× =14
5× =
40
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
41/96
• D iv i são de uma f racção por um número nat ural
Se dividirmos um terço da laranja por dois alunos, cada um receberá:
(um sexto da laranja)
• D iv i são de doi s números f racci onári os
A divisão de
Para dividir dois números fraccionários diferentes de zero, multiplica-se odividendo pelo inverso do divisor.
• Cálcul o ment al da di v i são de números f raccionári os
O quociente de dois número fraccionários iguais, diferentes de zero, é 1.
Sabes que .
Qual é o valor de ?
Qualquer número dividido por 1 dá um resultado igual ao próprio número.
35
135
÷ =
35
1÷
713 21÷ =
13
13
1÷ =
35
92
35
29
645
215
÷ = × = ou
13 12 13 12 13 21 23por é: ÷ = × =
13
216
13
12
16
÷ = × =ou
41
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
42/96
TEMA 1
1. Calcula.
a) b) c)
d) e) f)
2. Faz o cálculo indicado e verifica o resultado.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
3. Calcula mentalmente.
a) b) c) d)
e) f) g) h)219
1100
÷12
11
÷6
101÷7
17
÷
315
÷114
÷15
16
÷25
25
÷
543
199
÷635
2210
÷435
4615
÷8113
1813
÷
4523
946
÷0
5838
÷34
25
÷14
13
÷
32
14
÷15
12
÷24
13
÷
17
115
÷14
5÷312
÷
42
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
43/96
Multiplicação de números decimais
• M ul t i pl i cação de um número nat ural por um número decimal
Já aprendeste a multiplicar um número inteiro por uma fracção e também a trans-formar números decimais em fracções decimais. Utiliza esta transformação paramultiplicar o que se segue.
Mais simplificado:
• M ul t i pl i cação de números nat urai s reduzi dos a fr acções decima i s
Exemplo a)
Exemplo b)
0 721 5 1
721
1000
51
10
36771
10000 3 6771, , ,
× = × = =
4 6 2 74610
2710
1242100
12 42, , ,× = × = =
5 2 3 523
1011510
11 5
× = ×
=
=
,
,
5 2 32310
2310
2310
2310
2310
23 23 23 23
× = + + + +
= + + + +
,
223
1011510
11 5
=
= ,
43
NÚMEROS E OPERAÇÕES
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
44/96
TEMA 1
1. Escreve os seguintes produtos em fracções decimais e calcula.a) 0,12 × 5 b) 0,125 × 8 c) 33,2 × 0,072
d) 0,24 × 0,25 e) 0,0084 × 13,7 f) 0,3 × 0,4 × 0,5
g) 33,2 × 0,072 h) 81,4 × 0,6 × 0,5 i) 0,01 × 0,01 × 0,01
2. Sabendo que 172 × 35 = 6020, escreve o valor dos seguintes produtos, sem efec-tuares cálculos.
a) 0,172 × 3,5 b) 1,72 × 0,35 c) 1,72 × 3,5d) 17,2 × 3,5 e) 17,2 × 0,35 f) 0,172 × 0,35
3. Ordena os produtos seguintes do menor para o maior, sem efectuares os cálcu-los.
a) 2,5 × 3,36 b) 25 × 3,36 c) 0,25 × 0,336
d) 2,5 × 33,6 e) 0,025 × 0,336 f) 25 × 336
Divisão de números fraccionários representados por números decimais
• D iv i são de fracção decimal por um número nat ural
A Mimi comprou 12,25 m de tecido, com os quais quer fazer 5 saias iguais paravender.Quantos metros utilizou a Mimi para cada saia?Para saber quantos metros a Mimi utilizou, dividimos 12,25 por 5.
Transformamos 12,25 em fracção decimal.
12 251225100
1225100
51225100
51
1225100
1
, =
÷ = ÷
= ×55
245
1002 45
=
= ,
44
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
45/96
• D iv i são de doi s números decima i s
Exemplo 1:Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
Exemplo 2:
Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
1. Efectua as seguintes divisões, transformando os números decimais em fracçõesdecimais.
a) 15,03 : 6 b) 5 : 0,2 c) 3,5 : 1,7d) 13,09 : 10,5 e) 0,5 : 0,001 f) 0,75 : 3,9
g) 98,6 : 0,6 h) 2,31 : 1,35
2. A mãe da Amélia comprou uma caixa de morangos de 350 kg. A caixa contémcaixinhas de 0,25 kg. Quantas caixinhas contém a caixa?
3. Com 1 kg de ouro, quantos anéis de 0,01 kg se podem fabricar?
4. Quantas tabletes de chocolate de 0,020 kg se podem fabricar com 30 kg de choco-late?
525100
1015
525
10 1535103 5
×
=
×=
= ,
5 25 1 5525100
1510
, ,÷ = ÷
122 5 4 9122510
4910
122510
1049
122549
25
, ,÷ = ÷
= ×
=
=
122 5 4 9, ,
÷
45
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
46/96
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
47/96
Geometria
TEMA 2
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
48/96
TEMA 2Triângulos
Construção de triângulos
Construção de triângulos segundo os lados
1.° caso: Construção de um triângulo equilátero dado o comprimento de um lado.Vamos construir o triângulo [ABC], conhecendo a medida do lado AB
____.
Dado: AB____
= 3 cm
Construção
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta AB____
de comprimento
3 cm.
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento (AB____
= 3 cm).
A B
A B
Sim! É mais
fácil!
Ó Bela, na 5.ª classe, aprendemos a classificaros triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados.Agora, vamos aprender a construção dos triângulos.
48
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
49/96
3.° Com o bico do compasso no ponto A do segmento de recta AB____
, traça o arco dacircunferência de raio 3 cm.
4.° Faz o mesmo na outra extremidade B. Assinala o ponto de intersecção C.
5.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
2.° caso: Construção de um triângulo isósceles dado o comprimento de dois lados
iguais.Vamos construir o triângulo [QRP], conhecendo as medidas dos lados PQ
____, PR
____e QR
____.
Dados: PQ____
= 4 cm; PR____
= 4 cm; QR____
= 2 cm.
Construção
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta QR____
de comprimento2 cm.
Q R
A B
C
A B
C
A B
49
GEOMETRIA
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
50/96
TEMA 22.° Com o compasso, mede o segmento traçado (QR
____= 2 cm).
3.° Com o bico do compasso no ponto
Q do segmento de recta QR____
, traça oarco da circunferência de raio 4 cm.
4.° Faz o mesmo na outra extremidade R.Assinala o ponto de intersecção P.
5.° Une os pontos Q, R e P e obténs otriângulo [QRP].
3.° caso: Construção de um triângulo escaleno, dado o comprimento de três lados.Vamos construir o triângulo [MRA], conhecendo as medidas dos lados MR
_____, RA
____e
MA
_____
.Dados: MR
_____= 4 cm; RA
____= 6 cm; MA
_____= 8 cm.
Q R
50
Q R
Q
P
R
Q
P
R
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
51/96
Construção
1.° Começa por traçar o segmento de recta MR_____
com 4 cm.
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento RA____
= 6 cm.
3.° Com o bico do compasso no ponto
R do segmento de recta MR
_____
, traça oarco da circunferência de raio 6 cm.
4.° Faz o mesmo colocando o bico docompasso no ponto M. Traça oarco da circunferência de raio8 cm e assinala o ponto deintersecção por A.
M
R A
R
M R
51
GEOMETRIA
M R
M R
A
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
52/96
TEMA 25.° Une os pontos A, M e R e obténs
o triângulo [MRA].
1. Completa, indicando o nome dos triângulos com as seguintes medidas.
2. Com o auxílio da régua, mede, em centímetros, o comprimento dos lados dotriângulo [ABC] e completa.
AB
____
= ________________________
BC____
= ________________________
AC____
= ________________________
O triângulo [ABC] é um triângulo __________________________________________________ .
a3 cm
4 cm3 cm5 cm
b5 cm
4 cm2 cm5 cm
c2 cm
4 cm3 cm2 cm
Nome do triângulo
52
Exercíc ios
A
B C
M R
A
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
53/96
Construção de triângulo segundo os ângulos e lados
1.° caso: Construção de um triângulo acutângulo com os comprimentos de doislados e a amplitude do ângulo por eles formados.
Vamos construir um triângulo [ABC], conhecendo as medidas dos lados AB____
== 4 cm, AC
____= 3,5 cm e a amplitude do ângulo BAC^ = 60°.
Construção
1.° Traça o lado AB____
= 4 cm.
2.° Com o auxílio do transferidor, marca o ângulo de 60° com vértice em A.
3.° Marca o ponto C, medindo o comprimento AC____
com a régua, AC____
= 3,5 cm.
4.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
A
C
B60°
A
C
B60°
A B60°
A B
53
GEOMETRIA
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
54/96
TEMA 22.° caso: Construção de um triângulo obtusângulo [MRA], conhecendo a medidade um lado e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado MR
_____= 4 cm.
RMA^ = 45° e MRA^ = 30°
Construção
1.° Traça o segmento de recta MR_____
= 4 cm.
2.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo RMA^ de modo que RMA^ = 45°.
3.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo MRA^ de modo que MRA^ = 30°.
4.° Prolonga as semi-rectas, com origens em M e R, até que se encontrem. No pontode intersecção, escreve A.
M
A
R45°
30°
M R45° 30°
M R45°
M R
54
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
55/96
5.° Une os pontos M, R e A e obténs o triângulo [MRA].
3.° caso: Construção de um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida de JK___
= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.
Vamos construir um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida do lado JK___
= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.
Construção
1.° Marca o segmento de recta KJ___
= 5 cm.
2.° Com a ajuda do transferidor, ou com umesquadro, marca o ângulo JKL^ de modoque JKL^ = 90°.
3.° A partir do ponto J, marca o ângulo
KJL^ = 35°.
K J
M
A
R° 0°
55
GEOMETRIA
K J
90°35°
K J
90°
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
56/96
TEMA 24.° Marca o ponto L, intersecção de KL
____e JL
___.
5.° O triângulo [JKL] é o triângulo procurado.
1. Completa e indica o nome dos triângulos formados.
Tipo de ângulos
Ângulo rectoÂngulo obtusoÂngulo agudo
Nome do triângulo
K J
L
°
°
K J
L
90°35°
56
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
57/96
2. Sendo o ângulo CAB^ = 40° e CBA^ = 30°, com ajuda da régua e do transferidor,constrói e classifica o triângulo [ABC], sendo AB
____= 4 cm.
3. Sendo um dos ângulos de um triângulo igual a 90° de amplitude:
a) Que tipo de triângulo se poderá construir?
b) Constrói-o.
4. Dado o comprimento do lado EF____
= 6 cm, constrói o triângulo [EFG] tal que osângulos EFG^ e GEF^ meçam, respectivamente, 110° e 40°. Classifica-o.
5. Constrói e classifica o triângulo [MNP]. MN_____
= 3,5 cm; MP_____
= 4 cm; PMN^ = 90°.
6. Constrói e classifica quanto aos lados os seguintes triângulos.a) O triângulo [ABC]AB____
= 4 cm
BAC^ = 50°
ABC^ = 50°
b) O triângulo [MNP]
MN_____
= 4,5 cm
MP_____
= 5 cm
PMN^
= 90°c) O triângulo [RST]
RT____
= 3 cm
SRT^ = 45°
ATR^ = 45°
d) O triângulo [XOP]
XP____
= 5 cm
XO____
= 3 cm
OXP^
= 45°
57
GEOMETRIA
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
58/96
TEMA 2Quadriláteros
Propriedades dos quadriláteros
Observa as figuras.
Quantos lados têm as figuras A, B, C, D, E, F e G?As figuras A, B, C, D, E, F e G têm 4 lados: são quadriláteros.
No conjunto dos quadriláteros, há diferenças.
Poderás «arrumar» os quadriláteros tendo em conta algumas características co-muns.
A
B
EF
C
G
D
Na 5.ª classe aprendemoso que eram linhas paralelase linhas perpendiculares.Agora vamos estudara classificação dosquadriláteros.
E agora?
58
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
59/96
Observaste certamente que há quadriláteros que têm, pelo menos, dois lados para-lelos. São trapézios.
Mas também há quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos. São paralelo-gramos.
No conjunto de paralelogramos, também há diferença.Quais são os que não têm os ângulos rectos?São os paralelogramos não rectângulos.
O paralelogramo F tem os seus lados geometricamente iguais, então, é um losango.
Os paralelogramos E e G têm os quatro ângulos rectos, são paralelogramos rectân-
gulos.
No conjunto dos paralelogramos rectângulos, também há diferença.Uns têm os quatro lados geometricamente iguais: são quadrados. É o caso do para-lelogramo G.
Outros têm os seus lados paralelos geometricamente iguais, dois a dois: são rectân-gulos. É o caso do paralelogramo F.
E G
D F
D E F G
B C
59
GEOMETRIA
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
60/96
TEMA 2Propriedades dos paralelogramos
Paralelogramo
obliquângulo
• lados opostos
• paralelos dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• ângulos opostos iguais dois a dois
e o
nãoqua ra o
• lados opostos paralelos dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• quatro ângulos rectos
nãoqua ra o
• lados opostos paralelos
dois a dois
• lados opostos iguais dois a dois
• ângulos opostos iguais dois a dois
Quadrado
• lados opostos paralelos dois a dois
• quatro lados iguais
• quatro ângulos rectos
60
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
61/96
61
GEOMETRIA
Exercíc ios
1. Completa o quadro, escrevendo o nome de cada paralelogramo na primeira co-luna e «sim» ou «não» nas outras colunas, atendendo às propriedades.
Paralelogramos 4 lados1 par de lados
paralelos2 par de lados
paralelos 4 ângulos 4 lados iguais
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
62/96
TEMA 2
2. Observa os polígonos.
Indica:
a) Os quadriláteros.
b) Os trapézios.
c) Os rectângulos.
d) Os paralelogramos rectângulos.
e) Os paralelogramos não rectângulos.
f) Os quadrados.
3. Diz se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:a) Os losangos têm lados iguais.
b) Os losangos são quadrados.
c) Os quadrados são rectângulos.
d) Todos os quadriláteros são trapézios.
e) Todos os trapézios são quadriláteros.
f) Todos os paralelogramos são quadriláteros.
g) Todos os quadriláteros são paralelogramos.h) Os rectângulos são paralelos.
i) Os trapézios são paralelogramos.
j) Os rectângulos não são quadrados.
4. Com ajuda da régua e, esquadro, desenha:a) Um paralelogramo.
b) Um quadrado.
c) Um rectângulo.
A B C D EF
62
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
63/96
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
64/96
TEMA 2Bissectriz de ângulo
Representa um ângulo numa folha de papel.Mede a sua amplitude e regista-a.
Dobra a folha de papel, sobrepondo os lados de um ângulo, e assinala o eixo desimetria.
Com um transferidor, mede a amplitude de dois ângulos.
Com certeza constataste que o ângulo AOB^ ficou dividido em dois ângulos com a
mesma amplitude; a semi-recta OC____
é o eixo de simetria.
O eixo de simetria de um ângulo chama-se bissectriz.
A bissectriz divide o ângulo em duas partes iguais.
Usa o transferidor para representar o eixo de simetria dos seguintes ângulos:
OB
A
C
OB
A
64
a)
b)
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
65/96
Bissectrizes de um ângulo
Sabes que o triângulo tem três ângulos. Podes traçar a bissectriz de cada ângulo.
Verificaste que as bissectrizes se intersectam num ponto.
Este ponto chama-se unicentro.
65
GEOMETRIA
c)
d)
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
66/96
TEMA 2
66
Exercíc ios
1. Traça a bissectriz de cada ângulo dos triângulos seguintes.
2. Traça o eixo de simetria das figuras seguintes.
Recorda: Os pontos e figuras do plano que coincidem quando se dobram pelarecta de dobragem estão situados simetricamente em relação a essa recta.
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
67/96
Área do paralelogramo
Nas classes anteriores, já aprendeste a calcular a área do rectângulo.Recordas também que as figuras equivalentes são as que têm a mesma área, em-
bora tenham formas diferentes.Vamos calcular a medida da área do paralelogramo, usando papel ponteado.Constrói um rectângulo equivalente. Cortamos o triângulo à direita e juntamos àesquerda, obtendo um rectângulo equivalente.O rectângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma base (b) e a mesma medidada altura (h).
Como sabes, a medida da área do rectângulo é b × a. Portanto, a medida da área
do paralelogramo será também A = b × a. A área do paralelogramo é igual ao pro-duto da base pela altura.
1. Calcula a área dos paralelogramos seguintes.
2. Se a área de um paralelogramo é igual a 17,68 cm2
e se a medida da altura é 3,4 cm, determinaa medida da base do paralelogramo.
3. Traça a altura dos paralelogramosapresentados à direita.
5 cm
10 cm
2,5 cm
5 cm
base
base
base
altura altura
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GEOMETRIA
Exercíc ios
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TEMA 2 Área do triângulo
Vais agora aprender como se obtém a área de um triângulo.Conta o número de quadrículas do rectângulo.Quantas quadrículas tem o triângulo colorido?
Observaste que há 180 quadrículas no rectângulo e 90 no triângulo. Como a áreado rectângulo é igual a b × a (b é a base e a é a altura), logo, a área do triângulo é
igual a ou (h é a altura).
1. Calcula a área de cada uma das superfícies coloridas.
2. Desenha no teu caderno vários triângulos de diferentes dimensões. Tira as di-mensões e calcula a área de cada um.
5 cm
7 cm
8 cm
9 cm
3 cm
2,5 cm
A b h
=
×
2A
a b =
×
2
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Exercíc ios
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Área do círculo
Cálculo da medida da área do círculo
Traça um círculo numa cartolina e divide-o em 12 sectores idênticos. Recorta essessectores e coloca-os, como se vê na figura à direita, de modo a obteres aproximada-mente um paralelogramo.
Podes concluir que:
• o comprimento da figura é aproximadamente metade do perímetro do círculo;
• a sua altura é aproximadamente idêntica ao raio do círculo;
• a área da figura é aproximadamente idêntica à área do círculo.
A r○ = ×Π 2
Área do círculoP
r
rr
r r
r
= ×
= ×
= × ×
=
2
22
2
Π
Π
Π
A área do círculo = metade do perímetro × raio
Metade da circunferência
Raio
69
GEOMETRIA
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TEMA 2
1. Calcula a área de um círculo cujo diâmetro mede 3 cm.
2. Completa a tabela seguinte.
3. Calcula a área da superfície colorida cujas circunferências que a limitam têmcomo medida de raio 16 cm e 46 cm, respectivamente.
4. De uma tábua de madeira com 32 cm de largura e 2 m de comprimento, foramrecortados discos com 16 cm de raio.a) Qual é o número máximo de discos que foram recortados?
b) Qual é a área da tábua de madeira que foi desperdiçada?
5. Determina a área da superfície colorida.
12 cm
14 cm
18 cm
Raio em cm5
Diâmetro em cm 13
124
Área em cm2
13
124
Perímetro
87,92
70
Exercíc ios
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TEMA 2 Volume de prismas rectos não triangulares
Qualquer prisma recto pode ser considerado uma composição aditiva de prismastriangulares rectos que têm a mesma altura que o prisma inicial e as bases cujasáreas somam a área da base do mesmo prisma.
O volume de qualquer prisma recto calcula-se multiplicando a medida de área de base pela altura.
1. Calcula o volume de um prisma recto cujas bases são triângulos rectângulos ecujos catetos medem, respectivamente, 4,2 cm e 3,8 cm. A altura do prisma é de5 cm.
2. Calcula o volume de um prisma quadrangular cuja área da base mede 25 cm2 ea sua altura 8 cm.
Volume do cilindro
base
base
altura
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Exercíc ios
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Vamos inscrever prismas nesses cilindros.
Observaste que, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta, oprisma inscrito se aproxima cada vez mais do cilindro.
Para calcular o volume do cilindro, aplica-se a fórmula do cálculo da medida dovolume do prisma. Como as bases do cilindro são círculos, o cálculo da medida dovolume do cilindro é dado por .
A medida do volume de um cilindro é igual ao produto da medida da área da basepela medida da altura.
Exemplo: calcula o volume do cilindro seguinte.
1. Calcula o volume de um cilindro que tem 10 cm de diâmetro e 10 cm de altura.
2. Completano quadroos dadosem falta.
V A h
A r cm
cm
c b
b
= ×
= × = × ( )
= =
Π 22 2
2
3 14 1 5
7 065
, ,
, 00 7065
0 7065 6 4 239
2
2 3
,
, ,
cm
V cm m mc = × =
V r hc = × ×Π2
V r alturac = × ×Π2
73
GEOMETRIA
6 cm
3 cm
Exercíc ios
Diâmetro13 cm
Raio
6 cm
Área
7,85 cm2
Volume
8,635 cm3
424,116 cm3
Altura3,5 cm4 cm
2,1 cm
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• Sucessões numéricas
• Sucessões numéricas proporcionais
• Proporcionalidade directa
• Sistema de coordenadas rectangulares
• Proporções
• Noções de proporção
• Propriedade fundamental das proporções
•Percentagens
• Percentagens e cálculo mental
• Conversão de fracções ordinárias em percentagens
• Gráficos circulares
• Escala
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Proporcionalidade
TEMA 3
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TEMA 3Sucessões numéricas
Um camponês cultivou durante seis dias as seguintes áreas:No 1.° dia cultivou 2,5 ha.
No 2.° dia cultivou 2 ha.
No 3.° dia cultivou 3 ha.
No 4.° dia cultivou 1 ha.
No 5.° dia cultivou 2,5 ha.
No 6.° dia cultivou 3 ha.
Representamos numa tábua os dias e as áreas cultivadas.
2,5; 2; 3; 1; 2,5; 3 é uma sucessão. Cada número natural 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspondea um só número da sucessão. Cada número da sucessão chama-se termo.1 é o quarto termo da sucessão.
Indica o 2.° e o 5.° termos da seguinte sucessão:
Completa as sucessões seguintes:
a) 2, 4, 6, 8, …, …, 14, …, …, …, 22
b) 0, 5, 10, 15, …, …
Sucessões numéricas proporcionais
Comparemos as seguintes sucessões:
a) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5
2.a Sucessão 3 5 6 7 10
b) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5
2.a Sucessão 2 4 6 8 10
13
23
33
43
53
63
73
; ; ; ; ; ;
Dias 1 2 3 4 5 6
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Mediante comparação, verificamos:
• Nos dois exemplos, cada termo da segunda sucessão é maior do que o seu cor-respondente na primeira.
• No exemplo b), obtemos cada termo da segunda sucessão multiplicando por 2 otermo correspondente da primeira ou, vice-versa, cada termo da primeira sucessão
obtém-se multiplicando por o termo correspondente da segunda.
• Isto não se verifica nas sucessões do exemplo a).
A relação que existe entre as duas sucessões do exemplo b) tem o nome de propor-cionalidade.
Definição: Duas sucessões numéricas são proporcionais, se cada termo de umasucessão se obtiver multiplicando por um factor constante o termo correspondenteda outra. Este factor denomina-se factor de proporcionalidade.
Para investigar se duas sucessões numéricas são proporcionais, formamos os quo-cientes de cada dois termos correspondentes. Se todos estes quocientes são iguais,
então as sucessões numéricas são proporcionais.
Proporcionalidade directa
Um automobilista percorre 30 km por dia. Quantos quilómetros percorre o auto-mobilista em dois, quatro, cinco, oito e dez dias?Colocamos os resultados numa tabela.
Obtemos assim duas sucessões: a sucessão representada pelo número de dias e adistância correspondente percorrida.
a) 2 4 5 8 10
b) 60 120 150 240 300
Dias 2 4 5 8 10
12
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PROPORCIONALIDADE
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TEMA 3Repara que em dois dias o automobilista percorreu 60 km:
2 × 30 km = 60 km.
Em 4 dias, o automobilista percorreu 120 km:
4 × 30 = 120 km.
As duas sucessões são proporcionais.
Porque, para obter a sucessão b), terá de se multiplicar cada termo da primeirasucessão por uma constante (neste caso por 30) e, vice-versa, para obter a primeira
sucessão, terá de se multiplicar cada termo da segunda sucessão por uma constante(neste caso por ).
As duas sucessões são chamadas proporcionalidades directas.
Duas sucessões são ditas proporcionalidades directas se os quocientes entre ostermos correspondentes dessas sucessões forem iguais.
1. Dos quadros seguintes, quais são proporcionalidades directas e porquê?
B 6 12 18 24 30
A 1 2 3 4 5
D 2 3 4 5 6
C 10 15 20 24 30
F 10 20 30 40 50
E 1 2 3 4 5
H 7 8 9 10 11
G 14 16 18 20 22
7
35
12
24
602 1204 1506 2408 30010 30= = = = =
130
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Exercíc ios
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Sistema de coordenadas rectangulares
Dois termos correspondentes de duas sucessões numéricas formam um par numé-rico.Sejam as duas sucessões numéricas proporcionais.
Se se determinar qual dos números de um par numérico se deve nomear primeiro,então o par denomina-se par numérico ordenado.Assim, os pares ordenados (x,y) são: (1,3); (2,6); (3,9); (4,12); (5,15); (6,18); (7,21);(8,24); (9,27). E os pares ordenados (y,x) serão: (3,1); (6,2); (9,3); (12,4); (15,5); (18,6);(21,7); (24,8); (27,9).
Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa
Sabes representar números fraccionários mediante pontos numa semi-recta numé-rica e podes representar graficamente pares numéricos ordenados numa parte deplano. Para os representar,traçam-se duas semi-rectasnuméricas perpendicula-res entre si e de origem 0.Estas duas semi-rectas nu-méricas formam o sistemade coordenadas rectangu-lares (sistema cartesiano).
Cada uma delas chama-seeixo de coordenadas. Oseixos de coordenadas re-presentam-se frequente-mente por x e y. O eixo decoordenadas representadopor x denomina-se eixodas abcissas; o eixo repre-sentado por y designa-se
por eixo das ordenadas.
x 1 2 3 4 5
18
6
21 24
7 8
27
9
79
PROPORCIONALIDADE
01 9 x8765432
27
y
24
21
18
15
12
9
6
3
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TEMA 3Representamos os pares ordenados das sucessões precedentes num sistema decoordenadas.
Todos os pontos da representação gráfica desta proporcionalidade estão situadosnuma mesma recta, que passa pela origem 0.Se não existe proporcionalidade directa, então os pontos da representação gráficanão estarão situadas numa recta.
Exemplo: o gráfico seguinte não representa o gráfico da proporcionalidade directa.
1. A tabela seguinte refere-se a duas sucessões.
a) Diz se nas duas sucessões há proporcionalidade directa.
b) No caso de serem proporcionalidades directas, calcula a constante de pro-porcionalidade.
2. Nas duas sucessões numéricas dadas a seguir, indica os 5 primeiros termos.
a) A cada número natural faz-se corresponder o seu duplo.
b) A cada número natural faz-se corresponder o número que se obtém ao mul-
tiplicá-lo por .
c) A cada número natural faz-se corresponder o seu triplo, diminuído em 2,5.
d) A cada número natural faz-se corresponder o seu quadrado.
32
Distância (km) 120 300 150 360 540 660
Tempo (h) 2 5 2,5 6 9 11
y
x
80
Exercíc ios
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3. Investiga as sucessões numéricas (I) e (II) e verifica se são proporcionais. Funda-menta as tuas afirmações. Indica em cada caso a constante de proporcionalidade.
a) (I) 1; 2; 3; 4; 5; 6.(II) 3; 6; 12; 15; 18.
b) (I) 2; 4; 6; 8; 10;12.(II) 3; 5; 7; 9; 11; 13.
c) (I) 48; 42; 36; 30; 24; 18.
(II) 24; 21; 18; 15; 12; 9.d) (I) 3; 5; 7; 9; 11
(II)
4. Representa num sistema de coordenadas rectangulares a relação entre suces-sões numéricas (I) e (II).
5. Determina o factor (constante) de proporcionalidade para as sucessões numéri-cas proporcionais.
a) 1; 2; 3; 4; 5; 63; 6; 9; 12; 15; 18
b) 2; 3,5; 5; 6,5; 83; 5,25; 7,5; 9,75; 12
c) 2; 4; 6; 8; 1018; 9; 6; 4,5; 3,6
Proporções
Noção de proporções
Numa turma da 6.a classe, há duas alunas para um total de 9 alunos, isto é, duas
alunas para cada 9 alunos ou ainda 2 para 9 ou 2 : 9 ou ou (2 : 9). Representa um
quociente que permita comparar dois números.
O quociente indicado entre dois números a e b (em que b =/ 0) chama-se razão entre
eles, a : b ou .
Na razão, a é o antecedente e b é o consequente.
a
b
29
2103
113
6223
; ; ; ;
81
PROPORCIONALIDADE
Exercíc ios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
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TEMA 3A Joana comprou 8 kg de carne a 80 kz num supermercado e a sua irmã comprou5 kg no talho e pagou 50 kz.
Exprimimos esses dados sob a forma de quocientes e comparamos.
As fracções são equivalentes porque as razões que apresentam são iguais.
Logo, podemos escrever ou 80 : 8 = 50 : 5.
Esta igualdade lê-se: 80 está para 8 como 50 está para 5.
Uma igualdade entre duas razões a : b = c : d ou chama-se proporção.
Designação dos termos de uma proporção
Consideremos, por exemplo, a proporção.
a, b, c e d são termos da proporção. O antecedente da primeira razão (a) e o conse-quente da segunda razão (d) são chamados extremos da proporção. O consequenteda primeira razão (b) e o antecedente da segunda razão (c) são chamados meios daproporção.
ou
Na proporção , 5 e 6 são extremos, 3 e 10 são meios.
Propriedade fundamental das proporções
Seja a proporção .
Multiplicamos os meios: 5 × 12 = 60Multiplicamos os extremos: 3 × 20 = 60
35
1220
=
53
106
=
a
b
c
d
=a
b
c
d
=a b c d: :=
a b cd ou a b c d= =: :
a b
cd
=
808
505
=
808
505
e
808
10505
10= =e
82
meios
extremos
extremos meios
8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe
83/96
Assim, 5 × 12 = 3 × 20Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Isto verifica-se para todas as proporções.
Se (b, d =/ 0), então b × c = a × d.
1. Forma duas razões iguais dos quatro números dados.
a) 14, 26, 28, 13 b) 4, 12, 6, 18c) 5, 4, 10, 8 d) 5, 3, 25, 15
2. A partir da propriedade fundamental das proporções, resolve as seguintes equa-ções.
a) b) c)
d) e) f)
3. Comprova se as seguintes propo