1
Mechanik
1 Kinematik
Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³
Masse m = endlich groß [m] = kg
Dichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m3
Folgen: - Ort genau angebbar
- Drehung um sich selbst nicht möglich!
1.1. Modell der Punktmasse und
Koordinatensysteme (KS)
- Beschreibung der Bewegung eines Körpers durch Ort, Geschwindigkeit und
Beschleunigung
- Körper wird als Punktmasse (PM) beschrieben
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Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):
hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)
Dimensionalität:
a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse
x<0 0 x>0 x
0z<0
z>0
z
x
b) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse
c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse
Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durch
Ortsvektor festgelegt:
),,( zyxkzjyixr i
j
k
kji
,,Einheitsvektoren:
mit 1 kji
und kji
0 kjkiji
222 zyxrr
mit Betrag (Länge)
(Wiederholung Vektorrechnung)
b)
a)
c)
zyx eee
,,oder
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1.2. Geradlinig (eindimensionale) Bewegung der PM
Physikalische Größen: - Zeit t, [t] = m/s
- Ort x(t), [x] = m
- Geschwindigkeit v(t) = vx(t), [v] = m/s
- Beschleunigung a(t) = ax(t) , [a] = m/s2
i
j
k
PM
P(x,t)
1.2.1. Definition Geschwindigkeit
t
x
tt
xxv
12
12Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
x1, x2 – Anfangs- u. Endort
Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel
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Momentangeschwindigkeit:
xdt
dx
t
xv
t
0lim
Differenzialquotient
“1. Ableitung von x nach t“
v hängt oft von der Zeit ab:
1txz.B.: =
0
x
t1t
(Gibt an, wie sich x mit t ändert,
Momentangeschwindigkeit)
t
txttxv
t
0lim
Anstieg “tan “ der
x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,
v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve
bei t1
Exp.: Momentangeschwindigkeit
5
1.2.2. Geradlinige, gleichförmige Bewegung
constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:
dt
dxv 0
Separation der Variablen (x, t)dtvdx 0
Integration
t
t
tx
x
dtvdx
00
0
000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der
gleichförmigen, geradlinigen
Bewegung
000 ttvxtx
x(t) - Gerade
x(t) ?
6
Definition Beschleunigung
t
v
tt
vva
12
12Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
v1, v2 – Anfangs- u.
Endgeschwindigkeit
[a] = m/s2
Momentanbeschleunigung:
xdt
xdv
dt
dv
t
va
t
2
2
0lim
(Gibt an, wie sich v mit t ändert,
Momentanbeschleunigung)
t
tvttva
t
0lim
0
v
t1t
“1.Ableitung von v nach t“
“2.Ableitung von x nach t“
a hängt oft von der Zeit ab:
Anstieg “tan “ der
v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1
a(t1) ist Tangente an v(t) Kurve
bei t1
1tvz.B.: =
Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf Luftkissenbahn
1.2.3. Geradlinige, beschleunigte Bewegung
Jetzt ist Geschwindigkeit zeitabhängig v = v(t).
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1.2.4. Geradlinige, gleichmäßig, beschleunigte Bewegung
constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:
dt
dva 0
Separation der Variablen (v, t) dtadv 0
Integration
t
t
tv
v
dtavd
00
0
000 ttavtv
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der
gleichmäßig beschleunigten,
geradlinigen Bewegung
,00 vtv
000 ttavtv
v(t) - Gerade
v(t) ?
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x(t) ?
dt
dxv
Separation der Variablen (x, t) dttvdx
Integration
t
t
tx
x
dttvdx
00
2000002
1ttattvxtx
Weg-Zeit-Gesetz der
gleichmäßig beschleunigten,
geradlinigen Bewegung
t
t
dtttavxtx
0
0000
000 ttavtv mit
x(t) - Parabel
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Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf Luftkissenbahn
Hinweis für geradlinige Bewegung:
aus gegebenen x(t) folgt aus gegebenen a(t) folgt
dt
dxv
dt
dva
t
t
dtavtv
0
00
t
t
dttvxtx
0
0
t
a(t)
t0 t
v(t) – v0
t
v(t)
t0 t
x(t) – x0
101010
1.3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM
1.3.1. Geschwindigkeitsvektor
tztytxktzjtyitxtr ;;
zeitabhäniger Ortsvektor:
kji
;; sind zeitunabhängige Einheitsvektoren, die zeitlich
konstantes KKS aufspannen
Beschreibung in kartesischen Koordinatensystem (KKS)
0 kjkiji
1 kji
x
y
z
i
k
j
tr
P(x, y, z, t)
Bahnkurve
der PM
•
1111
1.3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM
t
r
tt
rrv
12
12
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
– Anfangs- u. Endort
rdt
rd
t
rv
t
0lim
Differenzialquotient
21, rr
tv
ist Vektortangente an tr
t
trttrv
t
0lim
1.3.1. Geschwindigkeitsvektor
x
y
z
i
k
j
11 tr
P1(t1)
Bahnkurve
der PM
••
22 tr
r
P2(t2)
tztytx
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
;;
12
1.3.2. Beschleunigungsvektor
t
v
tt
vva
12
12
Momentanbeschleunigung:
Durchschnittsbeschleunigung:t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
– Anfangs- u.
Endgeschwindigkeit
rdt
rdv
dt
vd
t
va
t
2
2
0lim
21,vv
Differenzialquotient
ta
ist Vektortangente an
tv
ta
zeigt immer in Richtung des
Zentrums der gekrümmten Bahnkurve
t
tvttva
t
0lim
13
Winkelgeschwindigkeit ist
Vektor entlang Drehachse:
1.3.3. Spezialfall: Gleichförmige Kreisbewegung
Ortsvektor:2-dim. Bewegung in x-y Ebene – Kreisbahn
Drehachse entlang z-Achse
,tr
constrtr
Radius der
Kreisbahn
PM bewegt sich auf Kreisbogen:
trts
Definition Winkelgeschwindigkeit:
r
v
dt
ds
rdt
rtsd
dt
d B
1/
[] = rad s-1 = s-1
Bv
- Bahngeschwindigkeit,
tangentielle Geschwindigkeit
tr
tvB
t ts
x
y
PM
z
14
gleichförmige Kreisbewegung: const
dtd Integration
t
t
t
dtd00 00
tt
tr
t ts
x
y
PM
,0,0
dt
d
15
gleichförmige Kreisbewegung: const
Integration
t
t
t
dtd00 00
tt
tr
t ts
tx
ty
x
y
PM
,0,0
dt
d
dt
d
dtd
trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit
0,sin,cos ttrtr
Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler
16
gleichförmige Kreisbewegung: const
Integration
t
t
t
dtd00 00
tt
tr
tvB
t ts
tx
ty
x
y
PM
,0,0
dt
d
dtd
trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit
0,sin,cos ttrtr
Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler
0,cos,sin ttrdt
rdtvB
Bahngeschwindigkeit:
BB vrv ,rvB
0,0
BB vrvBv
ist Vektortangente
an Kreisbahn
rExp.: Schleifscheibe und
Vektorprodukt
1717
0,sin,cos2 ttrdt
vdta B
z
r
r
r
vrta B
z
2
2
Zentripetalbeschleunigung::
gleichförmige Kreisbewegung ist
beschleunigte Bewegung
0za
r
vadt
vdBz
B
Vektorprodukt (rechte Handregel)
tr
tvB
t ts
tx
ty
x
y
PM
taz
,0,0
rvB