Modelos demecanicaquantica
Nelson Faustino
Comecandopelas Equacoesde Maxwell
Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Modelos de mecanica quanticabaseados em calculo multivetorial
e estatıstica Bayesiana
Nelson Faustino
Centro de Matematica, Computacao e Cognicao, UFABC
Seminario da POSMAT da UFABC, 27 de fevereiro de 2018
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Comecandopelas Equacoesde Maxwell
Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
1 Comecando pelas Equacoes de Maxwell
2 Passando ao Oscilador Harmonico Quantico
3 Simetrias em termos de superalgebras de Lie
4 Conexao com Estatıstica Bayesiana
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Comecandopelas Equacoesde Maxwell
Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Na figura abaixoEstatua em homenagem a Paul A.M. Dirac, Florida State University
”Negative energies and probabilities should not be considered asnonsense. They are well-defined concepts mathematically, like anegative of money, since the equations which express the importantproperties of energies and probabilities can still be used when they arenegative.”Paul A.M. Dirac, Bakerian Lecture. The Physical Interpretation ofQuantum Mechanics (1942)
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Lei de Faraday: rot−→E = −iω
−→B
Lei de Ampere:rot−→H = iω
−→F +
−→J
Leis Materiais:−→F = ε(x)
−→E e
−→B = µ(x)
−→H .
Lei de Ohm:−→J = σ
−→E +
−→J 0
Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div
−→H
Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,
pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.
Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗
Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω
−→F +
−→J )
Leis Materiais:∫
Ω
−→B ∧−→E ′ = aε(
−→E ,−→E ′) and∫
Ω
−→H ∧−→B ′ = a1/µ(
−→B ,−→B ′)
Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.
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Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.
Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗
Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω
−→F +
−→J )
Leis Materiais:∫
Ω
−→B ∧−→E ′ = aε(
−→E ,−→E ′) and∫
Ω
−→H ∧−→B ′ = a1/µ(
−→B ,−→B ′)
Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.
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Equacoes de MaxwellLeis fundamentais
Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.
Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗
Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω
−→F +
−→J )
Leis Materiais:∫
Ω
−→B ∧−→E ′ = aε(
−→E ,−→E ′) and∫
Ω
−→H ∧−→B ′ = a1/µ(
−→B ,−→B ′)
Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.
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Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.
Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗
Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω
−→F +
−→J )
Leis Materiais:∫
Ω
−→B ∧−→E ′ = aε(
−→E ,−→E ′) and∫
Ω
−→H ∧−→B ′ = a1/µ(
−→B ,−→B ′)
Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.
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Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.
Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗
Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω
−→F +
−→J )
Leis Materiais:∫
Ω
−→B ∧−→E ′ = aε(
−→E ,−→E ′) and∫
Ω
−→H ∧−→B ′ = a1/µ(
−→B ,−→B ′)
Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.
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Modelo Fısico
Equacao de Schrodinger Estacionaria
n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Modelo Fısico
Equacao de Schrodinger Estacionaria
n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Equacao de Schrodinger Estacionaria
n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Modelo Fısico
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n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
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2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Equacao de Schrodinger Estacionaria
n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Modelo Fısico
Equacao de Schrodinger Estacionaria
n∑j=1
− 12m
(aj )2F (x) +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2F (x) = εF (x).
m - massa
ω- frequencia1
2m (aj )2 - termo energia cinetica
mω2
2 (a†j )2- termo energia potencial
ε - nıveis de energia (autovalores)
F (x)- estados proprios de energia (autovetores)
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Solucao da Equacao de Schrodinger
Fatoracao do Oscilador Harmonico
H =n∑
j=1
− 12m
(aj )2 +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2
Operadores escada: a±j =√
mω2
(a†j ∓
1mωaj
). Estes operadores
permitem-nos obter a seguinte fatoracao:
H =12
n∑j=1
(a+
j a−j + a+j a−j
).
Simetrias de Heisenberg-Weyl: Conjunto de relacoes decomutacao
[a+j , a
+k ] = [a−j , a
−k ] = 0, [a−j , a
+k ] = δjk id.
Daqui resulta que H =n∑
j=1
a+j a−j +
n2
id.
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Solucao da Equacao de Schrodinger
Fatoracao do Oscilador Harmonico
H =n∑
j=1
− 12m
(aj )2 +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2
Operadores escada: a±j =√
mω2
(a†j ∓
1mωaj
). Estes operadores
permitem-nos obter a seguinte fatoracao:
H =12
n∑j=1
(a+
j a−j + a+j a−j
).
Simetrias de Heisenberg-Weyl: Conjunto de relacoes decomutacao
[a+j , a
+k ] = [a−j , a
−k ] = 0, [a−j , a
+k ] = δjk id.
Daqui resulta que H =n∑
j=1
a+j a−j +
n2
id.
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Solucao da Equacao de Schrodinger
Fatoracao do Oscilador Harmonico
H =n∑
j=1
− 12m
(aj )2 +
n∑j=1
mω2
2(a†j )2
Operadores escada: a±j =√
mω2
(a†j ∓
1mωaj
). Estes operadores
permitem-nos obter a seguinte fatoracao:
H =12
n∑j=1
(a+
j a−j + a+j a−j
).
Simetrias de Heisenberg-Weyl: Conjunto de relacoes decomutacao
[a+j , a
+k ] = [a−j , a
−k ] = 0, [a−j , a
+k ] = δjk id.
Daqui resulta que H =n∑
j=1
a+j a−j +
n2
id.
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
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n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
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Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Comecandopelas Equacoesde Maxwell
Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
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Teoria Quantica de Campos (QFT)
Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).
Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:
1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+
j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.
2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+
jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+
j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.
Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+
j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.
Lemma basico de QFT: Os vetores daforma
ηα :=
n∏j=1
(a†j )αj
Φ
formam uma base ortogonal em F .
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn
Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:
xα = xα11 xα2
2 . . . xαnn
Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):
∂αx := ∂α1x1 ∂
α2x2 . . . ∂
αnxn ∈ End(R[x ]).
Propriedade: Para |α| > |β| obtemos
(∂x )βxα =α!
(α− β)!xα−β
Produto escalar:
〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0
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ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn
Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:
xα = xα11 xα2
2 . . . xαnn
Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):
∂αx := ∂α1x1 ∂
α2x2 . . . ∂
αnxn ∈ End(R[x ]).
Propriedade: Para |α| > |β| obtemos
(∂x )βxα =α!
(α− β)!xα−β
Produto escalar:
〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0
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ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn
Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:
xα = xα11 xα2
2 . . . xαnn
Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):
∂αx := ∂α1x1 ∂
α2x2 . . . ∂
αnxn ∈ End(R[x ]).
Propriedade: Para |α| > |β| obtemos
(∂x )βxα =α!
(α− β)!xα−β
Produto escalar:
〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0
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ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn
Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:
xα = xα11 xα2
2 . . . xαnn
Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):
∂αx := ∂α1x1 ∂
α2x2 . . . ∂
αnxn ∈ End(R[x ]).
Propriedade: Para |α| > |β| obtemos
(∂x )βxα =α!
(α− β)!xα−β
Produto escalar:
〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0
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ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn
Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:
xα = xα11 xα2
2 . . . xαnn
Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):
∂αx := ∂α1x1 ∂
α2x2 . . . ∂
αnxn ∈ End(R[x ]).
Propriedade: Para |α| > |β| obtemos
(∂x )βxα =α!
(α− β)!xα−β
Produto escalar:
〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0
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ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)
Produto interno em Rn:
〈f , g〉 =
∫Rn
f (x)g(x)dx
Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√
2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.
Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√
2(xj + ∂xj ) e a+
j = 1√2
(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+
j g〉.
Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula
operatorial ηα(x) =
n∏j=1
2−αj2(xj − ∂xj
)αj
Φ(x) correspondem as
funcoes de Hermite de ordem |α|.
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ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)
Produto interno em Rn:
〈f , g〉 =
∫Rn
f (x)g(x)dx
Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√
2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.
Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√
2(xj + ∂xj ) e a+
j = 1√2
(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+
j g〉.
Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula
operatorial ηα(x) =
n∏j=1
2−αj2(xj − ∂xj
)αj
Φ(x) correspondem as
funcoes de Hermite de ordem |α|.
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ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)
Produto interno em Rn:
〈f , g〉 =
∫Rn
f (x)g(x)dx
Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√
2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.
Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√
2(xj + ∂xj ) e a+
j = 1√2
(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+
j g〉.
Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula
operatorial ηα(x) =
n∏j=1
2−αj2(xj − ∂xj
)αj
Φ(x) correspondem as
funcoes de Hermite de ordem |α|.
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ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)
Produto interno em Rn:
〈f , g〉 =
∫Rn
f (x)g(x)dx
Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√
2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.
Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√
2(xj + ∂xj ) e a+
j = 1√2
(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+
j g〉.
Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula
operatorial ηα(x) =
n∏j=1
2−αj2(xj − ∂xj
)αj
Φ(x) correspondem as
funcoes de Hermite de ordem |α|.
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Conexao comEstatısticaBayesiana
Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg
O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg
O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg
O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg
O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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O Hamiltoniano12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(−1
2∂2
xj+
12
x2j
)satisfaz as
seguintes propriedades:
Fatoracao:12
(−∆ + |x |2
)=
n∑j=1
(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2
.
Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2
sao os autovalores de12
(−∆ + |x |2
)associados aos
autovetores ηα(x).
Energia mınima: A menor energiade − 1
2 ∆ + 12 |x |
2 (igual a n2 ) esta
associada a funcao Gaussiana
Φ(x) = π−n4 e−
|x|22 .
Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
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Conexao comEstatısticaBayesiana
Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.
Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra
Alg
xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n
,
1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk
]= [xj , xk ] = 0 and
[∂xj , xk
]= δjk I.
2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:
ej ek + ek ej = −2δjk .
Derivada multivetorial: D =n∑
j=1
ej∂xj corresponde ao operador de
Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).
Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑
j=1
ejxj f(x)
corresponde ao operador de multiplicacao pelo vetor de Clifford
x =n∑
j=1
xj ej .12 / 27
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Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.
Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra
Alg
xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n
,
1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk
]= [xj , xk ] = 0 and
[∂xj , xk
]= δjk I.
2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:
ej ek + ek ej = −2δjk .
Derivada multivetorial: D =n∑
j=1
ej∂xj corresponde ao operador de
Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).
Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑
j=1
ejxj f(x)
corresponde ao operador de multiplicacao pelo vetor de Clifford
x =n∑
j=1
xj ej .12 / 27
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Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.
Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra
Alg
xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n
,
1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk
]= [xj , xk ] = 0 and
[∂xj , xk
]= δjk I.
2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:
ej ek + ek ej = −2δjk .
Derivada multivetorial: D =n∑
j=1
ej∂xj corresponde ao operador de
Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).
Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑
j=1
ejxj f(x)
corresponde ao operador de multiplicacao pelo vetor de Clifford
x =n∑
j=1
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Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.
Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra
Alg
xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n
,
1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk
]= [xj , xk ] = 0 and
[∂xj , xk
]= δjk I.
2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:
ej ek + ek ej = −2δjk .
Derivada multivetorial: D =n∑
j=1
ej∂xj corresponde ao operador de
Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).
Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑
j=1
ejxj f(x)
corresponde ao operador de multiplicacao pelo vetor de Clifford
x =n∑
j=1
xj ej .12 / 27
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Representacao de sl(2,R)
Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Representacao de sl(2,R)
Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Nelson Faustino
Comecandopelas Equacoesde Maxwell
Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Representacao de sl(2,R)
Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
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Representacao de sl(2,R)
Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
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Representacao de sl(2,R)
Derivada radial: E =∑n
j=1 xj∂xj
Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=
∑nj=1 ∂
2xj
= −D2
2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n
2 id).
Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,
p† = 12 X 2 e q = E + n
2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[
p,p†]
= q,[q,p†
]= p†, [q,p] = −p.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)
Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1
2 (D2 − X 2)
Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√
2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.
Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.
Propriedades
Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:
XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0
Γ = E + nI + DX , Γ,X = −(n + 1)X , Γ,D = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,
[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
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Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)
Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1
2 (D2 − X 2)
Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√
2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.
Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.
Propriedades
Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:
XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0
Γ = E + nI + DX , Γ,X = −(n + 1)X , Γ,D = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,
[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.
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Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1
2 (D2 − X 2)
Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√
2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.
Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.
Propriedades
Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:
XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0
Γ = E + nI + DX , Γ,X = −(n + 1)X , Γ,D = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,
[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.
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Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)
Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1
2 (D2 − X 2)
Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√
2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.
Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.
Propriedades
Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:
XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0
Γ = E + nI + DX , Γ,X = −(n + 1)X , Γ,D = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,
[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.
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Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)
Simetrias em termos de superalgebras de Lie:
Os geradores p,p†,q, r, r† da forma
p = − 12 ∆, p† = 1
2 X 2, q = 12
(E + n
2 I)
r† = 12√
2iX , r = 1
2√
2iD
correspondem a uma representacao da algebra ortosimplectica deLie osp(1|2) = osp(1|2)par⊕
[·,·] osp(1|2)ımpar. As relacoes decomutacao sao dadas por[
r†,p†]
= 0,[r†,p
]= r, [q,p†] = p†[
r,p†]
= r†, [r,p] = 0, [q, r] = −r[p,p†
]= q,
[q,p†
]= p†, [q,p] = −p
Observacao: osp(1|2)par = sl(2,R).
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) =1
2µ
n∑j=1
(2
qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )
)+ q Φh(x)f(x).
µ - massa
q- carga eletrica
ah(x) =n∑
j=1
ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.
Φh(x)- potencial eletrico discreto.
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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) =1
2µ
n∑j=1
(2
qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )
)+ q Φh(x)f(x).
µ - massa
q- carga eletrica
ah(x) =n∑
j=1
ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.
Φh(x)- potencial eletrico discreto.
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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) =1
2µ
n∑j=1
(2
qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )
)+ q Φh(x)f(x).
µ - massa
q- carga eletrica
ah(x) =n∑
j=1
ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.
Φh(x)- potencial eletrico discreto.
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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) =1
2µ
n∑j=1
(2
qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )
)+ q Φh(x)f(x).
µ - massa
q- carga eletrica
ah(x) =n∑
j=1
ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.
Φh(x)- potencial eletrico discreto.
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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) =1
2µ
n∑j=1
(2
qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )
)+ q Φh(x)f(x).
µ - massa
q- carga eletrica
ah(x) =n∑
j=1
ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.
Φh(x)- potencial eletrico discreto.
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Aproximacao assintotica do operador deSturm-Liouville
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) = − h2
2µ
n∑j=1
∂
∂xj
(w(
xj
qh
)∂f∂xj
(x)
)+ V
(xh
)f(x) + O
(h3).
A aproximacao assintotica e satisfeita, desde que:
1 ah(x) =n∑
j=1
ej w(
1q
xj
h
)(1 + O (h)) .
2 qΦh(x) +1
2µ
n∑j=1
(2
qh− ah(xj )− ah(xj − h)
)= V
(xh
)+ O
(h3).
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Aproximacao assintotica do operador deSturm-Liouville
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) = − h2
2µ
n∑j=1
∂
∂xj
(w(
xj
qh
)∂f∂xj
(x)
)+ V
(xh
)f(x) + O
(h3).
A aproximacao assintotica e satisfeita, desde que:
1 ah(x) =n∑
j=1
ej w(
1q
xj
h
)(1 + O (h)) .
2 qΦh(x) +1
2µ
n∑j=1
(2
qh− ah(xj )− ah(xj − h)
)= V
(xh
)+ O
(h3).
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Aproximacao assintotica do operador deSturm-Liouville
Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn
Lhf(x) = − h2
2µ
n∑j=1
∂
∂xj
(w(
xj
qh
)∂f∂xj
(x)
)+ V
(xh
)f(x) + O
(h3).
A aproximacao assintotica e satisfeita, desde que:
1 ah(x) =n∑
j=1
ej w(
1q
xj
h
)(1 + O (h)) .
2 qΦh(x) +1
2µ
n∑j=1
(2
qh− ah(xj )− ah(xj − h)
)= V
(xh
)+ O
(h3).
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Um Problema InversoEstados Vinculados vs. Potenciais Eletricos & Magneticos associados ao operadoreletromagnetico de Schrodinger
Dado um par de operadores (A+h ,A
−h ) com valores na algebra de Clifford
que satisfazem a propriedade de fatoracao
Lh =12(A+
h A−h + A−h A+h
),
sera possıvel determinar os potenciais eletricos e magneticos deLh, Φh(x) e ah(x) respetivamente, a partir dos k−estados vinculadosψk (x ; h) (k ∈ N0) de Lh?
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Fatoracao do operador de SchrodingerEletromagneticoRelacoes Isospectrais
Par de operadores escada
Considere agora o par (A+h ,A
−h ) de operadores escadas definidos por
A+h =
n∑j=1
ejA+jh with A+j
h =
√qh4µ
(ah(xj )T
+jh −
2qh
I)
A−h =n∑
j=1
ejA−jh with A−j
h =
√qh4µ
(2
qhI − ah(xj − h)T−j
h
).
Assumindo que o vetor de vacuum ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)) euma solucao nula de A+
h , segue prontamente que o par de operadoresescada (A+
h ,A−h ) e iso-espectralmente equivalente ao par de
operadores (D+h ,Mh), com
D+h f(x) =
n∑j=1
ej∂+jh , Mh =
n∑j=1
ej
(hah(xj − h)2T−j
h −4
q2hI).
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Abordagem de Fatoracaoquasi-monomios vs. estados vinculados ao operador eletromagnetico de Schrodinger
Adicionalmente, para o caso em que os potenciais eletricos emagneticos sao determinados por
Φh(x) =h
8µ
n∑j=1
4q2h2
(φ(x ; h)2
φ(x + hej ; h)2 +φ(x − hej ; h)2
φ(x ; h)2
)
ah(x) =n∑
j=1
ej2
qhφ(x ; h)
φ(x + hej ; h)
segue diretamente da propriedade de fatoracao Lh = 12 (A+
h A−h + A−h A+h )
que Lh e o equivalente iso-espectral do anti-comutador MhD+h + D+
h Mh.De fato, a formula iso-espectral
φ(x ; h)−1Lh(φ(x ; h)f(x) = − q4µh
(MhD+h + D+
h Mh)
resulta naturalmente da combinacao da propriedade de fatoracao comas relacoes iso-espectrais mencionadas acima.
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Um resumo de alguns dos meus resultadospublicados recentemente em ’Applied Mathematics and Computation’ (2017)
A partir da condicao de energia associada ao espaco de Fock Fh
induzido pelo modulo de Clifford `2(hZn; C`0,n) := `2(hZn)⊗ C`0,n,para vetores vacuo da forma ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)), aquantidade
Pr
n∑j=1
ejXj = x
= hnψ0(x ; h)†ψ0(x ; h)
pode ser considerada como uma lei discreta dequasi-probabibilidade no reticulado hZn, carregando um conjuntode variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas(i.i.d.) X1,X2, . . . ,Xn.Foi utilizada a formulacao de probabilidade Bayesiana baseadana nocao de quasi-probabilidade a la Dirac (podem existir valoresde probabilidade negativa) para calcular alguns exemplosenvolvendo as conhecidas distribuicoes de Poisson ehypergeometricas, bem como distribuicoes de quasi-probabilidadedistributions envolvendo as funcoes generalizadasMittag-Leffler/Wright (de calculo fracionario).
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Um resumo de alguns dos meus resultadospublicados recentemente em ’Applied Mathematics and Computation’ (2017)
A partir da condicao de energia associada ao espaco de Fock Fh
induzido pelo modulo de Clifford `2(hZn; C`0,n) := `2(hZn)⊗ C`0,n,para vetores vacuo da forma ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)), aquantidade
Pr
n∑j=1
ejXj = x
= hnψ0(x ; h)†ψ0(x ; h)
pode ser considerada como uma lei discreta dequasi-probabibilidade no reticulado hZn, carregando um conjuntode variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas(i.i.d.) X1,X2, . . . ,Xn.Foi utilizada a formulacao de probabilidade Bayesiana baseadana nocao de quasi-probabilidade a la Dirac (podem existir valoresde probabilidade negativa) para calcular alguns exemplosenvolvendo as conhecidas distribuicoes de Poisson ehypergeometricas, bem como distribuicoes de quasi-probabilidadedistributions envolvendo as funcoes generalizadasMittag-Leffler/Wright (de calculo fracionario).
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ExemplosGeneralizacao da distribuicao de Poisson
hnφ(x ; h)2 =
n∏
j=1
Eα,β(
4q2−αh2
)−1 4xjh q
(2−α)xjh h−
2xjh
Γ(β + α
xjh
) , se x ∈ hZn≥0
0 , caso contrario
Observe que funcao generalizada de Mittag-Leffler
Eα,β(λ) =∑∞
m=0λm
Γ(β + αm)e bem definida para valores Re(α) > 0,
Re(β) > 0.1 Potencial eletrico discreto:
Φh(x) =h
8µ
n∑j=1
1qα
Γ(α + β + α
xjh
)Γ(β + α
xjh
) +Γ(β + α
xjh
)Γ(β − α + α
xjh
).
2 Potencial magnetico discreto:
ah(x) =n∑
j=1
ej
√√√√√ 1qα
Γ(α + β + α
xjh
)Γ(β + α
xjh
) .
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ExemplosGeneralizacao da distribuicao de Poisson
hnφ(x ; h)2 =
n∏
j=1
Eα,β(
4q2−αh2
)−1 4xjh q
(2−α)xjh h−
2xjh
Γ(β + α
xjh
) , se x ∈ hZn≥0
0 , caso contrario
Observe que funcao generalizada de Mittag-Leffler
Eα,β(λ) =∑∞
m=0λm
Γ(β + αm)e bem definida para valores Re(α) > 0,
Re(β) > 0.1 Potencial eletrico discreto:
Φh(x) =h
8µ
n∑j=1
1qα
Γ(α + β + α
xjh
)Γ(β + α
xjh
) +Γ(β + α
xjh
)Γ(β − α + α
xjh
).
2 Potencial magnetico discreto:
ah(x) =n∑
j=1
ej
√√√√√ 1qα
Γ(α + β + α
xjh
)Γ(β + α
xjh
) .
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Propriedade de AppellExtensao hipercomplexa dos polinomios de Charlier
1 Observacao: Para as escolhas de q = 2 e λ = 1h2 , o operador de
escada resultante da distribuicao de Mittag-Leffler
Mh =n∑
j=1
ej
((xj +
1h
)T−j
h −1h
I)
corresponde a uma
aproximacao envolvendo diferencas finitas do operador de
Clifford-Hermite xI − D = − exp
(|x |2
2
)D exp
(−|x |
2
2
).
2 Os quasi-monomios gerados a partir da formula operatorialmk (x ; h) = µk (Mh)k s (s ∈ Pin(n)), associadas as constantes
µ2m = (−1)m
( 12
)m( n
2
)m
(k = 2m) e µ2m+1 = (−1)m
( 32
)m( n
2 + 1)
m
(k =
2m + 1)
satisfaz a propriedade de Appell D+h mk (x ; h) = kmk−1(x ; h).
Estes quasi-monomios correspondem a uma extensaohipercomplexa para os polinomios de Poisson-Charlier.
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Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
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Propriedade de AppellExtensao hipercomplexa dos polinomios de Charlier
1 Observacao: Para as escolhas de q = 2 e λ = 1h2 , o operador de
escada resultante da distribuicao de Mittag-Leffler
Mh =n∑
j=1
ej
((xj +
1h
)T−j
h −1h
I)
corresponde a uma
aproximacao envolvendo diferencas finitas do operador de
Clifford-Hermite xI − D = − exp
(|x |2
2
)D exp
(−|x |
2
2
).
2 Os quasi-monomios gerados a partir da formula operatorialmk (x ; h) = µk (Mh)k s (s ∈ Pin(n)), associadas as constantes
µ2m = (−1)m
( 12
)m( n
2
)m
(k = 2m) e µ2m+1 = (−1)m
( 32
)m( n
2 + 1)
m
(k =
2m + 1)
satisfaz a propriedade de Appell D+h mk (x ; h) = kmk−1(x ; h).
Estes quasi-monomios correspondem a uma extensaohipercomplexa para os polinomios de Poisson-Charlier.
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Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico
Simetrias emtermos desuperalgebras deLie
Conexao comEstatısticaBayesiana
Mais ExemplosA distribuicao generalizada de Wright
n∏j=1
1Ψ1
[(δ, γ)(β, α)
γγ
αα4
q1+γ−αh2
]−1
×
Γ(δ + γ
xjh
)Γ(β + α
xjh
) ααxj
h γ−γxj
h 4xjh q−
(1+γ−α)xjh h−
2xjh
Γ(
xjh + 1
) , x ∈ hZn≥0
0 , caso contrario
.
1 Note que a funcao de Wright 1Ψ1
[(δ, γ)(β, α)
λ
]corresponde a
uma serie de potencias, que e absolutamente convergente para
valores de |λ| < αα
γγe de |λ| =
αα
γγ, Re(β)− Re(δ) > 1
2 para o caso
de h2 >γ2γ
α2α
4q1+γ−α e de h2 =
γ2γ
α2α
4q1+γ−α , Re(β)− Re(δ) > 1
2
sempre que α− γ = −1.
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Distribuicoes Generalizas de WrightAlgumas observacoes adicionais
Para γ = δ = 1, a funcao de verossimilhanca acima coincide a,menos de uma constante, com a distribuicao de Mittag-Lefflerdefinida anteriormente. Adicionalmente, se α = Re(α) > 0, α→ 0+
e h >2q
, a funcao de verossimilhanca definida anteriormente
simplifica-se para
hnφ(x ; h)2 =
n∏
j=1
(1− 4
q2h2
)−1
q−2xjh h−
2xjh , if x ∈ hZn
≥0
0 , caso contrario
.
Para β = δ, a funcao de verossimilhanca da-nos a distribuicao dePoisson (α = γ = 1), bem como a distribuicao hipergeometricano reticulado hZn
≥0, de parametros λ = 4q2h2 (α→ 0+, γ = 1 e
h > 2q ).
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Distribuicoes Generalizas de WrightAlgumas observacoes adicionais
Para γ = δ = 1, a funcao de verossimilhanca acima coincide a,menos de uma constante, com a distribuicao de Mittag-Lefflerdefinida anteriormente. Adicionalmente, se α = Re(α) > 0, α→ 0+
e h >2q
, a funcao de verossimilhanca definida anteriormente
simplifica-se para
hnφ(x ; h)2 =
n∏
j=1
(1− 4
q2h2
)−1
q−2xjh h−
2xjh , if x ∈ hZn
≥0
0 , caso contrario
.
Para β = δ, a funcao de verossimilhanca da-nos a distribuicao dePoisson (α = γ = 1), bem como a distribuicao hipergeometricano reticulado hZn
≥0, de parametros λ = 4q2h2 (α→ 0+, γ = 1 e
h > 2q ).
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BibliografiaAlguns artigos adicionais
Faustino, Nelson (2013). Special Functions ofHypercomplex Variable on the Lattice Based on SU (1, 1).Symmetry, Integrability and Geometry: Methods andApplications 9, no. 0 : 65-18.
Faustino, N. (2014). Classes of hypercomplex polynomials ofdiscrete variable based on the quasi-monomiality principle.Applied Mathematics and Computation, 247, 607-622.
Faustino, Nelson (2017). Symmetry PreservingDiscretization Schemes through Hypercomplex Variables,Conference: 15th International Conference of NumericalAnalysis and Applied Mathematics , DOI:10.13140/RG.2.2.35900.74882
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BibliografiaAlguns artigos adicionais
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Faustino, Nelson (2017). Symmetry PreservingDiscretization Schemes through Hypercomplex Variables,Conference: 15th International Conference of NumericalAnalysis and Applied Mathematics , DOI:10.13140/RG.2.2.35900.74882
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Faustino, Nelson (2013). Special Functions ofHypercomplex Variable on the Lattice Based on SU (1, 1).Symmetry, Integrability and Geometry: Methods andApplications 9, no. 0 : 65-18.
Faustino, N. (2014). Classes of hypercomplex polynomials ofdiscrete variable based on the quasi-monomiality principle.Applied Mathematics and Computation, 247, 607-622.
Faustino, Nelson (2017). Symmetry PreservingDiscretization Schemes through Hypercomplex Variables,Conference: 15th International Conference of NumericalAnalysis and Applied Mathematics , DOI:10.13140/RG.2.2.35900.74882
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Obrigado pela vossa atencao!Questoes e comentarios sao bem-vindos!
http://professor.ufabc.edu.br/∼nelson.faustino/
Figure: ’Selfie’ com Paul A.M. Dirac, Florida State University(Tallahassee), 15 de dezembro de 2014
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