Modélisation et Analyse des
systèmes par Bond Graphs
Pr Haffaf Hafid
Laboratoire de Recherche en Informatique Industrielle et Réseaux
Un outil géneral de modélsation• Pour la modélisation des systèmes mécatroniques un outil pluri-
disciplinaire et unifié, modélisation hiérarchique
• Modélisation proche des systèmes physiques et thermodynamiques
• Pour l’analyse des propriétés structurelles des systèmes
(observabilité et commandabilité)
• Pour la conception des lois de commande
• Conformité avec les formalismes mathématiques connus de
modélisation analytique (hamiltonien, lagrangien, …
• Pour la simulation (couplage avec des logiciels dédiés) facilite la
simulation (couplage avec les outils classiques)
• Pour l’analyse de la surveillabilité des systèmes
• Offre une approche théorique fondamentale en tant qu’outil
graphique de base (graphe biparti, matroide, hypergraphe, ..)
• Se prête à une généralisation systémique (autre types de systèmes)
ainsi qu’à une modification (pseudo-BG)
Modélisation des systèmes
• Définition d’un modèle- Théorie / pratique
• Objectif d’un modèle
• Outils ou langages de modélisation
• Aspects de la modélisation (structurel, fonctionnel,
comportemental, ..)
• Niveaux d’abstraction
• Démarche méthodologique
• 1637 Descartes (le discours de la méthode)
• Modélisation des systèmes complexes: approche
systémique ou de conjonction (différente des systèmes
compliqués
• Exp de conjonction: Energie, Jeu, l’organisation, …
Domaines d’application Bond-graph
• Electro-mécanique
• Electro-hydraulique
• Acoustique
• Assemblages mécaniques
• Thermiques et thermodynamiques
• Robotiques
• Pneumatiques
• Systèmes d’information
• Economie
• ….etc
Modélisation multi-niveaux
• Niveau technologique
• Niveau phénoménologique
• Niveau mathématique
• Niveau informatique
En génie des procédés
Langage graphique
♦ unifié pour tous les domaines physiques et techniques ;
♦ fondé sur une étude des transferts de puissance au sein d’un système ;
♦ modélisant les systèmes à paramètres localisés.
Avantage par rapport à la modélisation analytique: modification
Permettant les approches
♦ fonctionnelle : bond graphs à mots ;
♦ structurelle : visualisation des propriétés de causalité ;
♦ comportementale : déduction des modèles mathématiques.
Modeling: Bond Graph Basic Elements
• The Power Bond: basé sur la thérmodynamique
The most basic bond graph element is the power arrow or
bond.
There are two generic variables associated with every power
bond, e=effort, f=flow.
e*f = power.e
fA B
Power moves from system A to B
Cas particulier un lien d’information ou bond dégénéré porte une seule variable
e
f
Modeling: Bond Graph Basics
• effort/flow definitions in different engineering domains
Effort e Flow f
Electrical Voltage [V] Current [A]
Translational Force [N] Velocity [m/s]
Rotational Torque [N*m] Angular Velocity
[rad/sec]
Hydraulic Pressure [N/m2] Volumetric Flow
[m3/sec]
Chemical Chemical Potential
[J/mole]
Molar Flow
[mole/sec]
Thermodynamic Temperature
[K]
Entropy Flow
dS/dt [W/K]
Domaine Effort e Flux f Moment p Déplacement q
Mécanique translation force F(N) vitesse V(m/s) impulsion p(N-s) déplacement x(m)
Mécanique rotation couple τ(N-m) vitesse angulaire
ω(rad/s)
impulsion angulaire
pτ (N-m-s)
angle ϴ(rad)
Hydraulique pression P(N/s²) débit volumique
Q(m3/s)
impulsion pression
pP (N-s/m²)
volume V(m3)
Électrique Tension U(V) courant i(A) flux magnétique Ф(V-s) charge q(A-s)
Thermodynamique
Acoustique
Chimie
Temperature T (k)
Pression N/m2
Potentiel chimique
Flux d’entropie W/K
Vitesse volumique Qv
Flux molaire
…
Implusion Ns/m2
Entropie S J/K
Volume v
Nombre de moles
Théorie des analogies
Éléments Bond-graphs
• Représentent les phénomènes énergétiques que sont:
• Source
• Dissipation
• Transformation
• Stockage
• Mesure ou détection
• Éléments ou noeuds de jonction
• Certains éléments sont dits 1-port d’autres n-ports
• Basé sur la théorie des analogies, ces phénomènes peuvent
concerner d’autres domaines que la physique
SE
SF
Element Résistif R
Stockage d’énergie: élement capacitif
Stockage de l’énergie: élément Inductif
Transformation de l’énergie
Modeling: Bond Graph Basic Elements
• Power Bonds Connect at Junctions.
• There are two types of junctions, 0 and 1.
0 11
2
3
45
11
12
13
Efforts are equal
e1 = e2 = e3 = e4 = e5
Flows sum to zerof1+ f2 = f3 + f4 + f5
Flows are equal
f11 = f12 = f13
Efforts sum to zeroe11+ e12 = e13
Éléments du langage bond graph: les jonctions
Les jonctions 0 et 1 représentent la mise en commun de l’effort et du flux
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
Tétraèdre de Paynter
e
f
p q
C
I
R
dt
dt
Moment généralisé Déplacement généralisé
effort
flux
• laCausalité determine la direction dans le bond des
variables effort et flux on a power bond.
• Le trait causal indique (par convention) le sens de
l’effort
Modeling: Bond Graph Construction
Causalité
e
f
f
e
Modeling: Bond Graph Construction
Contraintes causales
e
fI
e
f sI1
f
eC
f
e
sC1
TF
GY
e1
f1e2
f2
e1
f1
e2
f2
e2=m * e1; f1= m *f2
f2 = r * e1; f1 = r* e2
e1= 1/m * e2; f2= 1/m *f1
e1 = 1/r * f2; e2 = 1/r* e1
Modeling: Bond Graph Construction
Necessary Causality
0 11
2
3
45
11
12
13
e
Efforts are equal
f
Flows are equal
e1 = e3 = e4 = e5 ≡ e2 f11 = f13 ≡ f12
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
éléments de base & schémas blocs
e
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m
1
m
1f edt
m
e
f
Se : F
e = F 0
e1
e2
e3e4
f1f2
f3
f4
2 1 3 4e e e e
2 1 3 4f f f f
f1f2
f3
f4
-+
++
e1
e2
e3
e4
TF : m
m
m
e1 e2
e1 e2
f1
f1
f2
Source d’effort
1 2
2 1
e me
f mf
Transformateur
Élément I Jonction 0
e
f2
e
f
f
Cas linéaire
1. Imposer la causalité aux sources et détetcteurs
2. Assigner les I et C en intégrale et propager
3. Si conflit causal revenir à l’étape 2 pour modifier
en causalité dérivée
4. Affecter au TF et GY et propager
5. Continuer sur toute la structure de jonction et
les éléments R
6. Si certains bonds restent non assignés (boucle
algébrique) assigner aléatoirement
Procédure SCAP:
assignation et propagation de la causalité
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
exemple de base
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m1
m1m2
x
I : m2C : 1/k
k
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
exemple de base
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m1
m1m2
x
I : m2
C : 1/k
0 : Fe1 e2
e3
f1 f2
f3
Système conservatif
1 2 3
1 2 3 0
e e e F
f f f
k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
0
0
P P P
e f e f e f
or
donc
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
exemple de base
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m1
m1m2
x
I : m2
C : 1/k
0 : F
e1 e2
e3
f1 f2
f3
k
Effort imposé par le ressort
Cinématique
du ressort
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
exemple de base
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m1 I : m2
C : 1/k
0 : F
e1e2
e3
f1 f2
f3
1 : v2
R : m
e5 f5
e4
f4
m1m2
x
k
m
v1 v2
Prise en compte
des dissipations
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
exemple de base
Journées UPSTI – 2006 – Grenoble
I : m1 I : m2
C : 1/k
0 : F
e1e2
e3
f1 f2
f3
1 : v2
R : f
e5 f5
e4
f4
1 1
1
1f e dt
m
4 5 2 2
2 4 5
f f f v
e e e
1 4 3
3 1 4
e e e F
f f f
5 5e f m
2 2
2
1f e dt
m
3 3e k f dt
Théorème de la résultante
dynamique à m2
Cinématique
du ressort
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
Pignon
Crémaillère
Coulisseau
Cred wred
F0 v0
Ressort
Amortisseur
Instrument
F0 v0
F1 v1
TF : F1/2
1 : wred
1 : v0
0 : Fr
1 : v1
1 : v0
0 : Fa
I : m1
C : 1/k0R : f0
Approche structurelle
Théorème de la
résultante dynamique
au coulisseau
Théorème de la
résultante dynamique
à l’instrument
Modeling: Bond Graph Construction
SE 1
R:R1
0
C:C1
1
R:R2
I:L1
SineVoltage1
Modeling: Bond Graph Construction
SE 1
R:R1
0
C:C1
1
R:R2
I:L1
SineVoltage1
This bond graph is Causal
Règles de simplification
• Voir page 104 (Bond graph methodology)
• Définition d’un chemin causal
• Définition d’une boucle causale
• Définition d’une boucle de causalité
Modeling: Bond Graph Construction From
the System Lagrangian
• Power flow through systems of complex geometry is
often difficult to visualize.
• Force balancing methods may also be awkward due to
the complexity of internal reaction forces.
• It is common to model these systems using an energy
balance approach, e.g. a Lagrangian approach.
Question: Is there a method for mapping the Lagrangian of a
system to a bond graph representation?
0 VTL0
dt
d
ii qq
LL
Modeling: Lagrangian Bond Graph
Construction
1. Assume that the system is conservative.
2. Note the flow terms in the Lagrangian. The kinetic
energy terms in the Lagrangian will have the form ½
I * f 2 where I is an inertia term and f is a flow term.
3. Assign bond graph 1-junctions for each distinct flow
term in the Lagrangian found in step 2.
4. Note the generalized momentum terms.
5. For each generalized momentum equation solve for
the generalized velocity.
i
iq
p
L
iq
Modeling: Lagrangian Bond Graph
Construction (cont.)
6. Note the equations derived from the Lagrangian
show the balance of efforts around each 1-junction.
7. If needed, develop the Hamiltonian for the
conservative system.
8. Add non-conservative elements where needed on the
bond graph structure.
9. Add external forces where needed as bond graph
sources.
10. Use bond graph methods to simplify if desired.
BG exemple
Tank2
0
C:C1
De2
6
Tank1
0
C:C1
De1
2
Pump
MSf11
T2
On-Off
Valve1
1
R:R1
4
3 5
Valve 2
1
R:R1
Se17
8
9
PI
u1
On-off
USER
u3
PI
T1
Vo
QO
Ou
tflo
w t
o c
on
sum
er
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
Épreuve SI A Banque PT 2005 – partie 6 –
Bond Graphs : un outil pour la modélisation et la simulation en CPGE
Icônes-diagrammedans 20-sim
Modélisation LFT
nqnqm II
uSHFy
,...,,,...,
,
111
H(S)
Δ
u yzw
Représentation LFT
Fonction de transfert
M
Δ
u yzw
Représentation LFT
Représentation d’état
11 1
,
: matrice augmentée d'état
,..., , ,...,nm q n q
y F M u
M
I I
La représentation Linear Fractional Transformations est une forme standard demodélisation des systèmes incertains qui regroupe tous les types d’incertitudes pouvantintervenir sur le système, des incertitudes due a la dynamique négligée, des incertitudesparamétriques, des incertitudes de modélisation des capteurs ou actionneurs. Δ : lapartie incertaine du modèle
Pseudo Bond-Graph
Hydraulic thermodynamics
Effort Pressure Temperature
Flow MassFlow Heat /Enthalpy Flow
Systèmes multi-ports: un élément Reçoit plusieurs liens
Systèmes multi-énergies: un lien peut porter plusieurs énergies
Représentation d’état (cas linéaire)
Déterminer le rang Bond-graph de A: nombre de variables indépendantes
Détecter la présence des boucles causales algébriques et/ou différentielles
Écrire les équations en utilisant les équations constitutives et celles des jonctions