DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA
HDKGIKG & GF Zagreb
Vlasta Szirovicza
Ema Jurkin
UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU
MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS
Doc. dr. sc. Vlasta Szirovicza
Mr. sc. Ema Jurkin
Zagreb, 2005.
DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA
I. izdanje
Izdavai: Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu i
Hrvatsko drutvo za konstruktivnu geometriju i kompjutorsku grafiku
Recenzenti:
Doc. dr. sc. Ivanka Babi
Prof. dr. sc. Branko Kuini
Doc. dr. sc. eljka Milin ipu
Prof. dr. sc. Sanja Varoanec
Lektor:
Prof. dr. sc. Lada Badurina
Objavljivanje ovog sveuilinog udbenika odobrilo je Povjerenstvo za znanstveno-nastavnu literaturu
Sveuilita u Zagrebu rjeenjem broj 02-528/5-2005. od 23. lipnja 2005.
ISBN 953-98814-2-0
Grafiko oblikovanje ovitka:
Ranko eri, akad. slikar - grafiar
CIP - Katalogizacija u publikaciji
Nacionalna i sveuilina knjinica - Zagreb
UDK 514.18(075.8)(086) SZIROVICZA, Vlasta
Deskriptivna geometrija / Vlasta Szirovicza, Ema Jurkin. -
1. izd. - Zagreb : Graevinski fakultet
Sveuilita : Hrvatsko drutvo za
konstruktivnu geometriju i kompjutorsku
grafiku, 2005. - (Udbenici Sveuilita u
Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum
Zagrabiensis)
Zahtjevi sustava: Windows 2000, XP; MS
PowerPoint 2000 ili noviji. - Stv. nasl. s
nasl. zaslona. - Bibliografija. ISBN 953-98814-2-0 (Drutvo) 1. Jurkin, Ema
I. Nacrtna geometrija -- Udbenik
450704099
Predgovor
Ova je knjiga napravljena u programskom paketu Microsoft PowerPoint koji, iako nije crtaki
program, prua izuzetne edukacijske i didaktike mogunosti.
ini se da je upravo sada pravi trenutak za objavljivanje ovakva udbenika deskriptivne
geometrije, matematike discipline kojoj je primarni cilj razvijanje prostornog zora i matematikog
naina zakljuivanja, a tek onda izraavanje ideja crteom kao vanim komunikacijskim oblikom
to datira iz prapovijesti ovjeanstva. Znatan broj inenjera nije svjestan uloge deskriptivne
geometrije u vlastitoj naobrazbi. Nastanak ovakve knjige pokazuje prednost uporabe raunala, koje
je samo sredstvo komunikacije, a nipoto ne kreator.
Velika je prednost ove knjige animacija svake konstrukcije; animacija zamjenjuje tekst opisa
konstrukcije u klasinom udbeniku. Druga je prednost mogunost pozivanja na raniju
konstrukciju (zahvaljujui hipertekstnoj organizaciji, tj. linkovima), a to skrauje vrijeme uenja.
Knjigom se moe sluiti svaki korisnik koji ima pristup raunalu, i to bez ikakva prethodnog
znanja o raunalu i programskoj podrci.
Sadraj ove knjige zajednike su osnove dodiplomskog kolegija Deskriptivna geometrija koji se
izvodi na veini tehnikih fakulteta, napose na onima koji su znali procijeniti ulogu deskriptivne
geometrije u izobrazbi buduih inenjera. Knjiga je namijenjena studentima i profesorima, ali i
uenicima srednjih kola jer ne pretpostavlja prethodno znanje geometrije, osim elementarnog.
Pretpostavka je da e animacija i dopadljiv kolorit knjige zainteresirati i druge znatieljnike, a
moda neke potaknuti na slian pokuaj u nekom drugom podruju.
Autorice
U Zagrebu 2005.
Upute za koritenje udbenika
Ovu je knjigu mogue koristiti pod Microsoftovim operativnim sustavom Windows
2000 ili Windows XP pomou programa MS PowerPoint 2000 te vieg.
Kazalo otvarate dvostrukim klikom lijevom tipkom mia na ime 00-Kazalo.
eljenu prezentaciju otvarate dvostrukim klikom na broj u Kazalu uz naziv prezentacije. Svaki klik lijevom tipkom mia (ili pritisak na tipku ENTER) proizvodi jednu radnju na ekranu. Zavretkom prezentacije iste nas naredbe klik lijevom tipkom mia ili pritisak tipke ENTER vraaju u Kazalo.
Pritiskom tipke ESC u svakom je trenutku mogue prekinuti prezentaciju i vratiti se u Kazalo.
Pojedina prezentacija moe se otvoriti i neposrednim klikom na odgovarajui broj.
Unutar teksta podcrtan broj znai hipertekstnu vezu (link) s odreenim slajdom. Ako se taj slajd ne nalazi u istoj prezentaciji, pritiskom se tipke ESC vraamo na poetnu poziciju. Ako je pozvani slajd u istoj prezentaciji, povratak je na raniji slajd mogu klikom na crnu strelicu na desnoj strani tog slajda.
U gornjem desnom kutu svakog slajda ploica je s naredbama za kretanje unutar prezentacije. Naredbe su ove: otvoriti idui slajd, otvoriti prethodni slajd, vratiti se na poetak prezentacije, otii na kraj prezentacije.
KAZALO:
1. Konstrukcije krivulja 2. stupnja
O krivuljama drugog reda 18
Elipsa prema definiciji 21
Hiperbola prema definiciji 30
Parabola prema definiciji 41
Konstrukcije parabole 43
2. Neke ravninske konstrukcije
Rytzova konstrukcija 57
Tangente krunice 58
Rektifikacija krunice 64
Konstrukcija pravilnih mnogokuta 67
Konstrukcija nekih elemenata elipse 70
3. Geometrijske transformacije u ravnini
Perspektivna kolineacija i afinost 72
Afinost krunice i elipse 86
4. Mongeova metoda projiciranja
O projiciranju. Projekcije toke 97
Projekcije pravca 108
Ravnina 118
Pravac u ravnini 124
Zadavanje ravnine 138
Presjenica dviju ravnina 141
Probodite pravca i ravnine 147
Okomitost 157
Bokocrt 165
Stranocrt 175
Projiciranje ravninskih likova 188
2
5. Geometrijska tijela s osnovicom u jednoj od ravnina projekcija
a) uglata tijela
Prizme. Piramide 199
b) obla tijela
Valjci. Stoci. Kugle 202
6. Geometrijska tijela s osnovicom u opoj ravnini
Pravilna uglata geometrijska tijela 207
Kocka 208
Stoac 1 204
Stoac 2 205
Stoac 3 205
Kvadratska piramida 201
Valjak 202
3
8. Presjeci
a) Presjeci uglatih ploha
Prizmatine plohe. Prizme 265
Piramidalne plohe. Piramide 271
b) Presjeci oblih ploha
Oble plohe 278
Presjek stoca 283
Presjek valjka 300
Presjek kugle 311
Presjek elipsoida i hiperboloida 314
Presjek nekih oblih ploha 321
4
7. Aksonometrijske metode
Kosa aksonometrija 220
Kosa projekcija 234
Eckhartova metoda 248
Ortogonalna aksonometrija 251
Kupole 261
5
9. Probodita pravca i plohe. Dirne ravnine
a) Probodita plohe pravcem
Probodita stoca pravcem 321
Probodita valjka pravcem 329
Probodite kugle pravcem 330
b) Dirna ravnina plohe
O dirnoj ravnini plohe 331
Dirna ravnina stoca 332
Dirna ravnina valjka 334
Dirna ravnina kugle 335
Dirna ravnina elipsoida 336
Dirna ravnina torusa 337
6
11. Kotirana projekcija
O kotiranoj projekciji. Mjerilo 471
Ravnina 475
Okomitost 481
Rotacija 484
Pravilno geometrijsko tijelo 487
10. Prodori
O prodorima uglatih i oblih ploha 339
Vrste prodornih krivulja 4. reda. Prodor
stoca i valjka 348
Prodor rotacijskih valjaka 381
Prodor kosih krunih valjaka 399
Prodor rotacijskih stoaca 417
Prodori s kuglom. Metoda koncentrinih kugala 433
Prodori s torusom 459
7
12. Primjena kotirane projekcije. Metoda slojnica.
Idealni tereni. Topografske plohe 494
Horizontalna prometnica 505
Prometnica u nagibu 517
Raskrije 528
8Bibliografija
[1] I. Babi, S. Gorjanc, A. Sliepevi, V. Szirovicza: Konstruktivna geometrija
vjebe, HDKGIKG Zagreb, 1994.
[2] I. Babi, S. Gorjanc, A. Sliepevi, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija zadaci,
HDKGIKG Zagreb, 2002.
[3] V. Nie, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1971.
[4] V. Szirovicza, A. Sliepevi: Nacrtna geometrija I, Element HDKGIKG,
Zagreb, 1995.
[5] A. Sliepevi, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija II, Element HDKGIKG,
Zagreb, 1996.
[6] N. Sudeta, I. Petruni: Svodovi kao dijelovi kugline plohe u ortogonalnoj
aksonometriji, KoG7, 2003, 29-34.
O ravninskim krivuljama
Definicija 1. Svaki skup od 1 toaka ili pravaca u ravnini neprekinuto povezanih nekim
zakonom naziva se ravninskom krivuljom.
Ovisno o matematikom zakonu koji ih definira, krivulje se dijele na algebarske i
transcendentne, ve prema tome je li ih mogue u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom
sustavu predoiti algebarskom ili transcendentnom jednadbom. Algebarske krivulje mogu se
klasificirati u odnosu na neka svojstva: red, razred i stupanj.
Definicija 2. Red realne algebarske krivulje jednak je broju n svih sjecita, realnih i
imaginarnih, te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine.
Definicija 3. Razred realne algebarske krivulje jednak je broju m svih tangenata, realnih i
imaginarnih, koje je mogue poloiti na tu krivulju iz bilo koje toke njezine ravnine.
Ako su za neku krivulju red i razred jednaki, n = m, krivulja ima stupanj n.
Teorem. Dvije realne ravninske algebarske krivulje km i kn od kojih je jedna m-tog, a
druga n-tog reda sijeku se u m n toaka. Sjecita mogu biti realna i konjugirano
imaginarna.
O zakrivljenosti krivuljaSvaka krunica sijee svaku krivulju kn n-tog
reda svoje ravnine u 2n toaka.
Padnu li zajedno dva
realna sjecita krunice i
krivulje, krunica se zove
dirna krunica krivulje kn
u toj toki.
T T
Padnu li zajedno tri realna sjecita
krunice i krivulje, krunica se zove
oskulacijska krunica ili krunica
zakrivljenosti krivulje kn u toj toki.
Padnu li zajedno etiri
sjecita krunice i krivulje,
krunica se zove
hiperoskulacijska krunica
krivulje kn u toj toki.
T
Napomena. Hiperoskulacijska krunica postoji samo u tjemenima krivulje, odnosno u tokama u kojima
zakrivljenost poprima ekstremne vrijednosti.
Definicija 4. Zakrivljenost krivulje u toki T jednaka je recipronoj vrijednosti polumjera
oskulacijske krunice u toj toki.
Dvije krivulje 2. reda sijeku se u etiri toke.
rr
O krivuljama drugog stupnja
Krivulja drugog reda ima s nekim pravcem dva sjecita koja mogu biti:
realna i razliita
sekanta
konjugirano imaginarna
pasanta
realna koja su pala u istu
toku tangenta
Krivulje drugog stupnja zovu se jo unjosjenice ili konike.
Vano! Prostor u kojemu e se provoditi daljnja razmatranja bit e realni projektivni
prostor, odnosno uobiajeni prostor naeg zamiljanja, nadopunjen beskonano
dalekim elementima na sljedei nain:
Svaki pravac ima jednu beskonano daleku toku u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci.
Svaka ravnina ima jedan beskonano dalek pravac u kojem se sijee sa svima njoj paralelnim
ravninama. Sve beskonano daleke toke svih pravaca jedne ravnine lee na njezinu beskonano
daleku pravcu.
Klasifikacija krivulja 2. stupnja prema vrsti sjecita s beskonano dalekim pravcem ravnine:
1 21 2E E1 2g P = P H H
elipsa (krunica) parabola hiperbola
Svaki pravac ravnine, pa i beskonano dalek pravac, sijee svaku
koniku te ravnine u dvjema tokama. Slijedi:
konjugirano imaginarna sjecita realna sjecita pala zajedno realna i razliita sjecita
S
O promjerima krivulja drugog stupnja
Definicija 5. Promjer krivulje 2. reda skup je polovita meusobno paralelnih tetiva.
Sredite krivulje 2. reda polovite je svakog promjera.
Konjugirani promjeri konika
Definicija 6. Dva su promjera konike konjugirana ako prvi raspolavlja tetive paralelne s drugim
promjerom, i obratno.
Definicija 7. Dva su promjera konike konjugirana ako su tangente na koniku u krajnjim tokama
jednog promjera paralelne s drugim promjerom, i obratno.
Par konjugiranih promjera konike koji su meusobno okomiti zovu se osi konike.
Iz def.7. Svaka dva meusobno okomita promjera krunice konjugiran su par promjera.
S
S.
Elipsa
vrste toke F1 i F2 nazivamo aritima ili fokusima elipse,
a udaljenosti toke T elipse od arita radij-vektorima r1 i r2 te toke.
E = {T : r1 + r2 = 2a}
r1 = d(T,F1)
r2 = d(T,F2)
Elipsa je skup od neprekinuto povezanih toaka
ravnine za koje je zbroj udaljenosti od dviju vrstih
toaka te ravnine konstantan.
8
1
F1 F2SA B
aa
a
b
b
e e
T
r1
r2
mala os
velika os
a2 - b2 = e2
S sredite
F1, F2 arita, fokusi
A, B, C, D tjemena
r1 + r2 = 2a
a velika poluos
d(S,A) = d(S,B) = a
b mala poluos
d(S,C) = d(S,D) = b
e linearni ekscentricitet
d(S,F1) = d(S,F2) = e
a
a
C
D
k (S,b)
k (S,a)
S
C
D
BA
k (C,a)
F2F1
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
a = 5,5 cm, b = 3,5 cm
S F2F1 BA
C
D
r1 r2
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
k (F1,r1)
k (F2,r2)
k (F2,r1)
k (F1,r2)
a = 5,5 cm, b = 3,5 cm
S F2F1 BA
C
D
r1 r2
k (F2,r1) k (F1,r1)
k (F1,r2) k (F2,r2)
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
a = 5,5 cm, b = 3,5 cm
S F2F1 BA
C
D
r1 r2
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
k (F1,r1)k (F2,r1)
k (F1,r2) k (F2,r2)
a = 5,5 cm, b = 3,5 cm
S F2F1 BA
C
D
RB
RD
rA
rC
RC
RA
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
Konstrukcija sredita hiperoskulacijskih
krunica (krunica zakrivljenosti)
S F2F1 BA
C
D
t
T
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b:
Konstrukcija tangente u toki elipse kao
simetrale vanjskog kuta radij-vektora
S F2F1 BA
C
D
t
T
Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika
poluos a i mala poluos b: Konstrukcija normale u toki elipse te sredita oskulacijske
krunice (krunice zakrivljenosti)
.
RT
n
Hiperbola
Te dvije vrste toke F1 i F2 nazivamo aritima ili fokusima
hiperbole, a udaljenosti toke T hiperbole od arita radij-vektorima
r1 i r2 te toke.
r1 = d(T,F1)
r2 = d(T,F2)
H = {T : | r1 - r2 | = 2a}
Hiperbola je skup od neprekidno povezanih toaka
ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike
udaljenosti od dviju vrstih toaka te ravnine
konstantna.
8
1
F1 F2SA B
aae
b
b
e
e
T
r1
r2
asimptote tangente u beskonano dalekim tokama
imaginarna os
realna os
a2 + b2 = c2
S sredite
F1, F2 arita, fokusi
A, B tjemena
a realna poluos
d(S,A) = d(S,B) = a
b imaginarna poluos
e linearni ekscentricitet
d(S,F1) = d(S,F2) = e
| r1 - r2 | = 2a
S
k (S,e)k (S,a)
F2F1 BA
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e:
a = 2 cm, e = 3 cm.
S B F2AF1
asimptote
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e:
a = 2 cm, e = 3 cm.
S B F2AF1
r2r1
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
k (F2,r2)
k (F1,r1)
k (F2,r1)
k (F1,r2)
S B F2AF1
r2r1
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
S B F2AF1
r2r1
k (F1,r2) k (F2,r2)
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
k (F2,r1) k (F1,r1)
S B F2AF1
r2r1
k (F2,r2)
k (F1,r1)
k (F1,r2)
k (F2,r1)
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
S B F2AF1
r1
r2
t
T
Konstrukcija tangente
u nekoj toki T
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
S B F2AF1
t
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
T
R
Konstrukcija sredita hiperoskulacijskih
krunica (krunica zakrivljenosti)
../a) O krivuljama drugog reda.ppt../a) O krivuljama drugog reda.pptS B F2AF1
T
t
Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni
ekscentricitet e.
Na svakoj sekanti udaljenosti
su toaka hiperbole od asimptota jednake.
Parabola
Ta se vrsta toka F naziva aritem ili fokusom, a vrsti pravac
d ravnalicom ili direktrisom parabole.
d(T,F) = r r radij-vektor
P = {T : d(T,F) = d(T,d)}
p = d(F,d) = parametar parabole
Parabola je skup od neprekidno povezanih toaka u ravnini
koje su jednako udaljene od jednog vrstog pravca i jedne vrste
toke te ravnine.8
1
d (T,F) = d (T,d)d
o
A
T
F
F arite, fokus
A tjeme
o os
d ravnalica, direktrisa
p = d (F,d) = parametar
d
o
FA
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
p
d
o
FA
k (F,p)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
r
d
o
FA
k (F,r)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
r
d
o
FA
k (F,r)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
r
d
o
FA
k (F,r)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
r
d
o
FA
k (F,r)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
d
o
FA R
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
Konstrukcija sredita
hiperoskulacijske
krunice u tjemenu
d(F,d) = 14 mm
d
o
FA
t
T
K L
d (K,A) = d (A,L)
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
Konstrukcija tangente
u toki parabole kao
simetrale vanjskog
kuta radij-vektora.
d(F,d) = 14 mm
Napomena. Drugi je fokus
parabole u beskonano
dalekoj toki osi.
d
o
FA
t
T
Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.
d(F,d) = 14 mm
1. Razredna parabola
Definicija. Ravninska krivulja koju omata neprekinuti skup od 1 pravaca
povezanih nekim zakonom zove se omotaljka ili razredna krivulja, a pravci te
familije jesu tangente omotaljke.
Teorem. Sve tangente parabole sijeku svake njezine dvije tangente u slinim
nizovima.
Beskonano dalek pravac ravnine jest tangenta svake parabole u toj ravnini.
Neka su zadane dvije tangente parabole s diralitima T i T.
Konstruirati parabolu.
t
t T
T
P
Neka su zadane dvije tangente parabole s diralitima T i T.
Konstruirati parabolu.
t
t T
T
P
F
os
K
L
KA = AL
A
d
Konstruirani su arite, os, tjeme i ravnalica parabole na osnovi
sljedeih svojstava:
1. Polovite spojnice diralita dviju tangenata parabole spojeno sa sjecitem tih
tangenata ini promjer parabole (slijedi iz afinog preslikavanja parabole).
2. Svi promjeri parabole meusobno su paralelni.
3. Tangenta parabole u nekoj je toki simetrala kuta radij-vektora; jedan radij-vektor usporedan je s osi, odnosno promjerom parabole.
4. Sjecite bilo koje tangente parabole s njezinom osi udaljeno je od tjemena
parabole koliko i sjecite osi i okomice na os poloene tim diralitem (04-10).
04.pps04.pps04.pps2. Konstrukcija parabole pomou projektiviteta
Zadano je tjeme, tjemena tangenta i toka parabole. Konstruirati parabolu.
A a
B
C
Iz zadanog
smjer beskonano daleke
toke parabole
parabola je proizvod
projektiviteta dvaju pramenova
pravaca (A) (C )
Na temelju navedenog
slijedi konstrukcija.
04.ppt04.pptRytzova konstrukcija
Elipsa je zadana parom konjugiranih promjera. Konstruirati veliku i malu os elipse.
SM
N
P
Q
P1
a
a velika poluos
A
B
b
b mala poluos
C
D
Konstrukcija krunica zakrivljenosti u
tjemenima elipse.
Tangente krunice
Meusobni odnos pravca i krunice:
sekanta tangenta pasanta
t
Tangenta t jest pravac kroz T
okomit na ST.
t1
t2
prema Talesovu teoremu kutovi supravi.
TSDTSD21
,
c
Tangente povuene iz toke na krunicu
r
1. toka T na krunici k
S
Tk
S
k
2. toka T izvan krunice k
T
3. toka T unutar krunice k
Tangente nisu realne.
konstrukcija krunice c kojoj je duina ST promjer
D1
D2
sjecita krunica k i c diralita su D1 i D2tangenata t1 i t2.
Zajednike tangente dviju krunica
t1
Tangenta t1 paralelna je s t.
c
Konstrukcija zajednikih tangenata
krunica k1 i k2
21rrNeka je .
k3
Konstruirana je krunica k3 (S1,r3), r3 = r1- r2. Odreene su tangente t i t iz toke S2 na k3.
t2
Tangenta t2 paralelna je s t i prolazi kroz D21.
A
t
t
B
S2
k2
S1
k1
Diralite D11 sjecite je krunice k1 sa S1A.
D11
D12
D22
D21
t1
c
S2
k2
S1
k1
21rrNeka je .
t2
Konstruirana je krunica k4 (S1,r4), r4 = r1+ r2.
Tangente t3 i t4 paralelne su s tangentama iz toke S2 na k4.
t3
t4
k4
Konstrukcija zajednikih tangenata
krunica k1 i k2
t1
S2
k2
S1
k1
t2
t3
t4
Konstrukcija zajednikih tangenata
krunica k1 i k2
3. tangenta t u toki B
t
4. toka C na t takva da je 30CSB
C
30
Rektifikacija krunice
Prenoenje krunog luka na pravac
14159.3
14153.31 ADr
rrrrBDABAD
2
222
3
332
r
1. krunica k sa sreditem S
S
2. promjer AB krunice k
B
A
r
Konstrukcija A. Kochanskog priblina konstrukcija broja
5. toka D na t takva da je rCD 3
Dr r r
r r
2. toka C na pravcu p takva da je rAC 3
3. sjecite D tangente t i pravca BC
Prenoenje krunog luka na pravac
t
1. tangenta t krunice k u toki A
D
Duljina duine AD priblino
je jednaka duljini luka AB.
C
S
B
A
Dan je kruni luk krunice k nad sredinjim kutom .
r
k
p
to je kut manji, pogreka je manja.
Veliina pogreke ovisi o kutu .
Konstrukcija ima praktinu vrijednost
za
Napomena:
.300
2
3. prenoenje krunog luka A1B1 na tangentu t
Prenoenje krunog luka s jedne krunice na drugu
Kruni luk krunice k1 (S1,r1) nad sredinjim kutom 1treba prenijeti na krunicu k2 (S2,r2).
5. prenoenje duine AD na krunicu k2
r2 r2 C2
2. zajednika tangenta t u toki A
t
C1 r1r1
D
4. duljina duine AD priblino je jednaka duljini luka AB1
1. diralite A krunica k1 i k2
r2r1 S2
k2k1
B1
S1
1
A
B2
6. duljina luka AB2 priblino je jednaka duljini duine AD
Napomena. 030
Peterokut
Konstrukcija peterokuta, ako je poznat polumjer opisane krunice
SGP
a) konstruirati polovite
G duine PS
b) konstruirati krunicu
k(G,GQ)
Q
s5
Peterokut Konstrukcija peterokuta, ako je poznata stranica AB
a) konstruirati polovite G
stranice AB
b) konstruirati krunicu
k(G,GQ) NQ
A Ba
a
G d N
k(A,AN)k(B,AN)
D
c) C = k(B,a) k(D,a)
E = k(D,a) k(A,a)
CE
Sedmerokut
Konstrukcija stranice sedmerokuta, ako je poznat polumjer opisane krunice
OA
a) konstruirati simetralu
duine AO
b) duina PS priblino
je jednaka stranici
sedmerokuta
S
P
s7
B
C
D
E
F
H
A BS
T
k1
C
D
Konstrukcija male osi elipse ako je poznata velika os i bilo koja toka elipse
k2
T2
T1
k
Zadana je velika os elipse
AB=2a i toka T.
Krunica k(T,a)
sijee simetralu
duine AB pravac
na kojem je mala os
u dvije toke M i
N.
M
N
K Polumjer TM sijee
veliku os u toki K.
Duljina duine TK
mala je poluos elipse,
jer je jednaka duini
ST2.
Dokaz konstrukcije temelji se na (12-5).
12.pps12.pps12.ppsS
T
Konstrukcija tangente u toki elipse ako su poznate bilo koje dvije njene
meusobno paralelne tangente s diralitima
T1
T2
P1P2 G polovite T1P2
G
H polovite T2P1
Ht t tangenta elipse s
diralitem u toki T
Napomena. Analitiki dokaz konstrukcije izveden je u
knjizi H. Sachsa Ebene isotrope Geometrie.
Perspektivna kolineacija u ravnini
Kolineacija u ravnini jest transformacija ravnine koja uva kolinearnost toaka.
Ili: Kolineacija u ravnini bijektivno je preslikavanje ravnine na sebe koje
preslikava toke u toke, a pravce u pravce, pri emu je sauvana incidencija
toke i pravca. (Toka T1 na pravcu p1 preslikava se u toku T2 koja mora leati
na slici p2 pravca p1.)
Definicija: Kolineaciju u ravnini u kojoj postoji tono jedan fiksni pravac o,
ije se sve toke preslikavaju same u sebe, i tono jedna fiksna toka S o,
koja se preslikava sama u sebe, nazivamo perspektivnom kolineacijom.
Fiksni se pravac zove os perspektivne kolineacije, a fiksna toka sredite ili
centar perspektivne kolineacije. Pravci koji prolaze sreditem zovu se zrake
perspektivne kolineacije i jedini su pravci (osim osi) koji se preslikavaju sami
u sebe. Na njima lee parovi pridruenih toaka.
Teorem: Perspektivna kolineacija jednoznano je odreena sreditem S, osi o i
parom pridruenih toaka A1 i A2.
S1 S2
o1 o2
z1= z2
A1
A2
Napomena 1. Osim sredita i toaka na osi perspektivne kolineacije nema
daljnjih toaka koje se preslikavaju same u sebe.
Napomena 2. Os nije jedini pravac koji se preslikava sam u sebe. Zrake se
preslikavaju same u sebe, ali tako da su im fiksne samo dvije toke (sredite S i
sjecite s osi).
K1 K2
Preslikavanje toke perspektivnom kolineacijom
S
o
z
A1
A2
B2
q2
K1=K2q1
B1
Pri konstrukciji se koriste sljedea svojstva perspektivne kolineacije:
parovi pridruenih toaka lee na zrakama perspektivne kolineacije,
parovi pridruenih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije.
Trai se toka B1 kao perspektivno kolinearna slika toke B2.
o
A1
A2
S
Preslikavanje pravca perspektivnom kolineacijom
p1
Pravac preslikavamo pomou bilo koje njegove toke.
Sjecite s osi perspektivne kolineacije fiksna je toka.
B1
B2
p2
Konstruirati p2 ako je zadan p1.
o
A1
A2
S
p1
B1
B2
p2
P1
P2
n
Slike svih toaka beskonano daleka pravca ravnine lee na nedoglednom pravcu n.
Pravac koji se preslikava u beskonano dalek pravac ravnine zove se izbjeni pravac i.
Q1
i
Trai se slika beskonano daleke toke pravca p1.
Q2
Q2
Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom
S
oA1
A2
B1
C1
B2
C2
Konstrukcija se temelji na
svojstvima (11-3).
11.pps11.pps11.ppsPreslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom
S
oA1
A2
B2
C2
D2
D1
C1
B1
Trokut B2C2D2 sijee
izbjeni pravac!
i
Preslikavanje etverokuta perspektivnom kolineacijom
S
o A1
X2
X1
A2
B2C2
D2
D1
B1
C2
Zakljuak: perspektivno kolinearna
slika paralelograma nije paralelogram
jer preslikavanje ne uva paralelnost.
Preslikavanje krivulja perspektivnom kolineacijom
Budui da se perspektivnom kolineacijom beskonano daleke toke openito
preslikavaju u konane, te neke konane toke u beskonane (nedogledni i izbjeni
pravac /11-5/), krivulja drugog reda preslikava se u bilo koju drugu krivulju drugog
reda.
Pri tome je vaan poloaj krivulje koju preslikavamo prema izbjenom pravcu.
Ovisno o tome sijee li zadana konika izbjeni pravac u paru realnih ili
konjugirano imaginarnih toaka, ili ga dodiruje, slika te konike bit e hiperbola,
elipsa ili parabola.
Za razumijevanje treba znati klasifikaciju konika (01-4) u odnosu na vrste
sjecita s beskonano dalekim pravcem ravnine.
11.pps11.pps11.pps01.pps01.pps01.ppsDefinicija: Afinost je perspektivna kolineacija kojoj je
os u konanosti, a sredite u beskonanosti.
o
z
A1
A2
Teorem: Afinost u ravnini jednoznano je odreena s osi i parom
pridruenih toaka.
zrake afinosti paralelni su pravci
g je zraka svake afinosti
Svojstva:
uva paralelnost
uva djelini omjer
oA1
A2
Preslikavanje pravca pomou afinosti
p1M1
M2
p2
oX1
Preslikavanje trokuta pomou afinosti
X2
A2
B2
C2
B1
C1
A1
Parovi afino pridruenih stranica sijeku se na osi afinosti!
o
X1
Preslikavanje paralelograma pomou afinosti
X2
A1
B1
C1
D1
A2
D2
C2
B2
Afina slika paralelograma jest paralelogram. Zato? (11-10).
11.pps11.pps11.ppsPreslikavanje krivulja afinou
Budui da se afinou u ravnini toke u konanosti preslikavaju u toke u
konanosti, a beskonano daleke toke u beskonano daleke, slijedi da se
elipse preslikavaju u elipse (ili krunice), hiperbole u hiperbole, a parabole u
parabole (01-4).
Iz svojstava perspektivne afinosti slijedi:
promjer konike preslikava se u promjer pridruene konike
konjugirani promjeri konike preslikavaju se u konjugirane promjere
pridruene konike.
01.pps01.pps01.ppsos
C
BA
D
S
S1A1 B1
Konstruirati elipsu e1 kao
afinu sliku krunice k u
afinitetu (o, S, S1). Pri tome
vrijedi
D1
C1
Definicija 1. Dva su promjera
elipse konjugirana ako su pri
afinom preslikavanju krunice
u elipsu nastali kao afina slika
meusobno okomitih promjera
krunice (01-5).
Par okomitih promjera krunice
preslikava se u par konjugiranih
promjera elipse.
Afinost izmeu krunice i elipse
01.pps01.pps01.ppsos
C
BA
D
S
S1
A1B1
D1
C1
Konstruirati veliku i malu os elipse
zadane parom konjugiranih promjera
koja je afino pridruena danoj
krunici
Velika i mala os elipse
konstruiraju se pomou
Talesova teorema.
G
oT1
Preslikavanje krunice ortogonalnim afinitetom
T2
S1
S2
k1
BA S
C1
D1
Afinost krunice i elipse u kojoj je jedan promjer zajedniki zraka
afinosti okomita je na taj promjer.
AB = A1B1 svaka toka na tom pravcu
pridruena je sama sebi, pa je on os afinosti
A 1= =B1=S1
os
C
D
smjer zrake
CD = C2D2 zajedniki promjer krunice i
elipse, pa je taj pravac os afinosti
os
C
D
S
=C2
=S2
=D2
smjer zrake
A B
Elipsa je zadana velikom i malom osi.
a) b)
Promjeru CD elipse pridruen je onaj
promjer C1D1 krunice koji je okomit na
A1B1 def. 1 (12-1) .
Afinost je ovdje odreena osi i parom
pridruenih toaka C C1 (ili D D1).
k2
Promjeru AB elipse pridruen je onaj
promjer A2B2 krunice koji je okomit na
C2D2 def. 1 (12-1) .
B2A2
Afinost je ovdje odreena osi i parom
pridruenih toaka A A2 (ili B B2).
12.pps12.pps12.pps12.pps12.pps12.ppsElipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD.
Istodobnom kombinacijom obaju afiniteta
dobivamo toke afino pridruene elipse.
Toka T, koja je afino pridruena tokama T1i T2, sjecite je dviju zraka dvaju afiniteta.
C
D
SA B
k1
k2
1. U afinitetu izmeu zadane elipse i krunice
k1 os je incidentna s AB, a zrake su
paralelne s CD.
2. U afinitetu izmeu elipse i krunice k2 os
je incidentna s CD, a zrake su paralelne s
AB.
p1= p2
Moe se dokazati da je nekom pravcu p
kroz S u podruju elipse pridruen u oba
afiniteta isti pravac p1 p2.
p
TT2
T1
Na temelju navedenih zakljuaka izvodi se sljedea konstrukcija elipse.
Konstrukcija toaka elipse pomou afinosti
Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomou afiniteta
A B
C
D
S
T2
T1
t2 t1
t
T
Napomena. Konstrukcija toaka
elipse pomou afinosti izvodi se na
onim dijelovima krivulje na kojima
krivulja nije aproksimirana
hiperoskulacijskim krunicama.
Tangenta t u toki T elipse
afino je pridruena tangenti
t1 u afinitetu s krunicom k1,
odnosno tangenti t2 u
afinitetu s krunicom k2.
k1
k2
Zadaci
1. Konstruirati tangente iz toke P na elipsu koja je zadana velikom i malom osi.
A B
C
D
a) Odabran je afinitet nad krunicom k2(12-4) jer se u tom afinitetu toka P
nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi
pridruena.
k2
P
A2 B2
b) A-A2 (odnosno B-B2) u tom su
afinitetu par pridruenih toaka.
P2
o
c) Konstruiraju se tangente u2 i v2 iz
toke P (07-2) na krunicu k2.U2 V2
u2 v2
d) Diralita U2 i V2 preslikavaju se
u toke U i V elipse pomou para
pridruenih toaka ili prethodnom
konstrukcijom.
VU
u v
12.pps12.pps12.pps07.pps07.pps07.ppsZadaci
2. Konstruirati sjecita pravca p i elipse koja je zadana velikom i malom osi.
A B
C
Dk1
p
a) Odabran je afinitet izmeu elipse i
krunice k1 (12-4).
C1
o
b) Pravac p iz podruja elipse
preslikava se u pravac p1 iz podruja
krunice pomou neke toke X.
X
X1
p1
c) Odrede se sjecita M1 i N1 pravca
p1 i krunice k1.
M1
N1 d) Na zrakama afinosti odrede se
afino pridruene toke M i N, koje
su traena sjecita pravca p i elipse.
N
M
Napomena. Ta su sjecita geometrijski
tono odreena bez iscrtavanja elipse.
12.pps12.pps12.ppsAfinost izmeu elipse zadane parom konjugiranih promjera
i krunice nad veim promjerom
SM
N
P
Q
k1
P1
Q1
Iz def. 1 (12-1) slijedi:
MN je zajedniki promjer elipse i krunice MN je os afinosti,
promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 krunice P P1 je zraka afinosti.
Konstrukcija toke T (odnosno
R) elipse ako je zadana njezina
afina slika T1 k1 (R1 k1 ):
a) pomou para pridruenih
toaka P P1,
o
T1
T
Tangenta t elipse u toki T afina je slika
tangente t1 krunice s diralitem u toki T1.
t1
tb) koristei svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R R1).
Velika i mala os elipse moe se dobiti Rytzovom konstrukcijom (06).
R1
R
12.pps12.pps12.pps06.ppsAfinost izmeu elipse zadane parom konjugiranih promjera i
krunice nad manjim promjerom
SM
N
P
Q
k2
M2
N2
Par konjugiranih promjera
elipse jest afina slika para
konjugiranih promjera
krunice, a oni su uvijek
meusobno okomiti.
PQ zajedniki promjer
elipse i krunice PQ je
os afinosti. P2
Q2
o
MN je afina slika promjera
M2N2 krunice, pa su M i M2(odnosno N i N2) par
pridruenih toaka, a njihova
je spojnica zraka afinosti.
Tangenta u toki elipse jest afina
slika tangente afino pridruene
krunice u pridruenoj toki.
T2
T
t2
t
.
Zadaci
3. Konstruirati tangente iz toke izvan elipse na elipsu zadanu parom
konjugiranih promjera
SM N
P
Q
T
k1
P1
Opi princip:
a) uspostaviti afinost
elipse i jedne od
krunica sa
zajednikim
promjerom
b) preslikati toku T u
podruje krunice
c) zadatak rijeiti u
podruju krunice
(07-2)
d) rjeenja preslikati u
podruje elipse
T1
G1
H1HG
07.pps07.pps07.ppszrake projiciranja
O projiciranju
Dva osnovna naina projiciranja: centralno i paralelno
a) centralno
O centar projiciranja
A
B
C
AcBc
Cc
Trokut AcBcCc centralna je projekcija trokuta ABC.
ravnina projekcije
AcBc
Cc
O projiciranju
Trokut AcBcCc kosa je paralelna projekcija trokuta ABC.
b) paralelno koso projiciranje
A
B
C
Paralelno projiciranje kod
kojeg su zrake projiciranja
okomite na ravninu projekcije
naziva se ortogonalnim
projiciranjem.
Mongeova metoda projiciranjaT
Tc je ortogonalna projekcija toke T na
ravninu , koja se zove ravnina
projekcije ili ravnina slike.
Mongeova metoda metoda je ortogonalnog projiciranja na dvije meusobno
okomite ravnine projekcija, od kojih je jedna horizontalna, a druga vertikalna.
Horizontalna ravnina 1 zove se
tlocrtnom ravninom, a vertikalna
ravnina 2 zove se nacrtnom
ravninom.
2
1
.Tc
Projekcije toke
1
2
1x2
T tlocrt toke
T nacrt toke
T
T
T
Tx
Odredimo ortogonalne
projekcije toke T na
ravnine projekcija 1 i 2.
TT = TTx jest udaljenost toke T od ravnine 1.
TT = TTx jest udaljenost toke T od ravnine 2.
T
Projekcije toke
x
T
T
Tx
Spojnica TT okomita na os x
zove se ordinala toke T.
2
1
Kvadranti
I.
II.
III.
IV.
Toka T u I. je kvadrantu
T ispod osi x
T iznad osi x
Ravninama 1 i 2trodimenzionalan je prostor
podijeljen u etiri dijela
kvadranta.
B
B
III.
x
2
1
A
A
Toke u kvadrantima
2
1
x
II.
A
Ax
A
A
Toka A u drugom
je kvadrantu
B
B
x
Toka B u treem
je kvadrantu
B
B
C
Toke u kvadrantima
2
1
x
x
C
C
Toka C u etvrtom je
kvadrantu
C
C
C
IV.
2
1
x
E =E
Ex
E = E
E
E 1
F = F
F
F = F
F
F 2
Koordinate toke
2
1
I.
II.
III.
IV.
+x
+z
+y
0x
T( x,+y,+z)
0 1
x
y
y
zz
T
T
T
B
B
B( x,-y,+z) II. kvadrant
C
C
C( x,-y,-z) III. kvadrant
D
D D( x,+y,-z) IV. kvadrant
+x
+z
+y
0 1
+z
+y
+x
(-z)
(-y)
(-x)
Projekcije duine
1
2
1x2
A
B
A
Bx
A
B
A
B
Prava veliina duine, koja je u opem
poloaju prema ravninama projekcija,
odreuje se prevaljivanjem projicirajueg
trapeza ABBA oko AB u ravninu 1.
A0B0
d
A0
B0d
Openito vrijedi:
d d, d d
.
.
..A
B
Ista se prava veliina moe
dobiti prevaljivanjem trapeza
ABBA u 2.
x
A
BA
BA0
B0
d
Prava se veliina duine moe
odrediti i pomou tzv.
diferencijalnog trokuta.
x
C
D
C
D
D0
d
Posebni poloaji duina naspram ravnina projekcija
x
A
B
A B
AB || 1
x
C D
C D
CD || 1 CD || 2
x
E
F
E F
EF 1 EF || 2
x
G H
G
H
GH 2
b) Duina se projicira u pravoj veliini ako lei na ravnini projekcije ili je s njom
paralelna.
c) Duina se projicira u toku ako je okomita na ravninu projekcije.
Zakljuak
a) Ortogonalna projekcija duine na ravninu manja je od prave veliine duine.
Koje se projekcije gornjih duina vide u pravoj veliini ?
d
d
d
d
d
Projekcije pravca
1
2
1x2
p
P1
P2
p
P1 = p 1P1 prvo probodite pravca
P2 = p 2P2 drugo probodite pravca
p P1P2 tlocrt pravca
P1 P1 P2 1x2
P2
p
P1
P2 P2 P1 1x2
p P1P2 nacrt pravca
Ili: Tlocrt pravca dobije se tako da pravcem
poloena ravnina okomita na 1, koja se zove
prva projicirajua ravnina, presijee 1.
Ili: Nacrt pravca dobije se tako da pravcem
poloena ravnina okomita na 2, koja se zove
druga projicirajua ravnina, presijee 2.
P1
P2
Odreivanje prvog i drugog probodita
1x2
p
p
P1
P1
P2
P2
1x2
q
q
Q1
Q1
Q2
Q2
Posebni poloaji pravaca prema ravninama projekcija
Ako je pravac paralelan s nekom ravninom
projekcije, njegovo je probodite s tom
ravninom u beskonanosti.
1
2
xp
P1p
p
P1
P1
P1
p
p
x
a)
Pravac p na sl. a) paralelan je s 2, dok je q na sl. b) paralelan s 1.
Q2
Q2
x
q
q
b)
P2
Q1
Posebni poloaji pravaca prema ravninama projekcija
p
x
pa)
p || 1 p || 2
x
q
q
b)
q 2 q || 1
d)
x
t
t
t 2
f)
x
s = s
s 1x2
x
m
m
c)
m 2 m 1
x
e)
d
d
d 1
Prvi i drugi prikloni kut pravca
1
2
1x2
p
P1
P2
pP2
p
P1
Prvi prikloni kut pravca, 1= (p,p), kut je koji pravac zatvara sa svojim tlocrtom .
1
Prava veliina 1 u prvoj se projicirajuoj ravnini odreuje tako da pravac prevalimo u 1 (13-9).
p0
1
2P1
0
Prevaljivanjem pravca p u 2 odreuje se prava veliina drugog priklonog kuta 2= (p,p).
p0
2
Drugi je prikloni kut pravca, 2= (p,p), kut koji pravac zatvara sa svojim nacrtom.
.
13.pps13.pps13.pps.
Prvi i drugi prikloni kut pravca
1x2
p
p
P1
P1
P2
P2
P20
p0
1
P10
p0
2
1= (p,p)
2= (p,p)
A
A
Pravac se moe prevaliti
pomou bilo koje svoje
toke, ali je ponekad
jednostavnije koristiti
prvo ili drugo probodite.
A0
Toka i pravac
1x2
p
p
P
P
P
P
T
T a) T p
T p T p T p
N
Nb) N p
M
M
c) M p
d) P p i njegovo je drugo probodite
e) P1 p i njegovo je prvo probodite
1
1
Zadatak
x
p
p
Na pravac p od njegove toke
T nanijeti zadanu duinu d.
d
T
T
P1
P1
T0
p0
d
d
A0
B0
A
B
d
d
B
A
d
d
Uputa. Prava se veliina
duine vidi na projekciji
pravca samo onda ako taj
pravac lei u jednoj od
ravnina projekcija ili je
paralelan s njom.
U opem sluaju pravac je
potrebno prevaliti u jednu
od ravnina projekcija.
Dva pravca
Dva razliita pravca trodimenzionalnog prostora mogu biti:
a) paralelni,
b) ukrteni (ukrieni),
c) mimosmjerni (mimoilazni).
a || b a || b a || b
d
c d = S
a b
a
b
x
a)
x
c d
c
b)e
x
e
f
f
c)
S
S
Napomena. Ako su projekcije pravaca paralelne, pravci ne moraju
biti paralelni.
Primjer. Ako pravci okomiti na os x imaju paralelne projekcije, ne
moraju u prostoru biti paralelni (21-8 zad. d).
21.pps21.pps21.pps..\Deskriptivna geometrija sve\21.pptZadaci
a) Nacrtati projekcije pravca q
koji sadrava toku T, paralelan
je s ravninom 1 i sijee zadani
pravac p.
q
q
b) Nacrtati projekcije pravca p koji je
u toki A(1,-,-) ukrten s pravcem g, a
paralelan je s 1 i 2. Pravac g zadan
je tokama F(4,1,1) i G(0,3,3).
x0 1
G
F
F
G
p
p
g
g
x
p
p
T
T
S
S
A
A
RavninaZajedniki pravac dviju ravnina zove se presjenica tih ravnina. Presjenica ravnine s
ravninom 1 zove se prvi trag, a s ravninom 2 drugi trag ravnine.
1
2
1x2
r1
r2
Ravnina je svojim dvama tragovima u prostoru potpuno odreena, osim ako
prolazi kroz os 1x2 (21-8). Ravnine se oznaavaju velikim grkim slovima,
npr. (r1,r2), (s1,s2), (d1,d2), (a1,a2),...
x
r2
r1
r1= P 1
r2 = P 2
P
21.pps21.pps21.ppsPosebni poloaji ravnina prema ravninama projekcija
1
2
x
x
a)
r2
P 1 ( r2 1x2 )
P je prva projicirajua ravnina B je druga projicirajua ravnina
r1
r1
r2.
1
2
x
b)
x
b2
b1
b2
b1
B 2 ( b1 1x2 )
.
Posebni poloaji ravnina prema ravninama projekcija
1
2
x
a2
A
x
c)
a2
A 1 A 2 ( a1)
A je druga projicirajua ravnina
1
2
x
x
d)
s1
2 1 ( s2)
je prva projicirajua ravnina
s1
Posebni poloaj ravnine prema ravninama projekcija
e)
1
2
x
d1
d2
d1
x
d2
1x2
1
2
x
g1
g2
x
g2
g1
1x2 1 2
f)
Koordinatizacija ravnine
r1
1
2
r2
x
z
y
OX(x,0,0)
Ravnina P(X,Y,Z)
Y(0,y,0)
Z(0,0,z)
x
z
y
r1
r2
x
y
z
Ravnine zadane tragovima
A(5,2,3)
0 1
a1
a2
x
B(3,3,-4)
0 1 x
b2
b1
(4,2,)
0 1 x
s1
s2
(,2,1) (-2,,2)
x0 1
d1
d2x0 1
d1
d2
p
P1
pP2
Pravac u ravnini
s11
2
1x2
s2
Ako je pravac u ravnini, prvo mu je probodite na prvom tragu,
a drugo probodite na drugom tragu te ravnine.
p
P1
P2
p P1 s1, P2 s2 (1)
Pravac u ravnini
p P1 s1, P2 s2
s1
s2
p
p
P1
P1= p s1, P1 x P1 p
P1P2= p s2, P2 x P2 p
P2
P2Pravac u ravnini zadan je samo
jednom svojom projekcijom. Druga
je projekcija odreena gornjim
uvjetom.
x
Zadaci
Odrediti nacrt pravca a u ravnini .
s1
s2
aA1
A1A2
A2
aa)
b)
A2
A2 A1
A1
ac)
Napomena: ako je prva projicirajua
ravnina, nacrt pravca a nije odreen.
x
s2
s1
a
x
s1
s2
a
x
d)
s1
s2
x
= a
a
M2
m
m
m
Sutranice
r1
1
2r2
m
Pravac ravnine paralelan s 1, a time i s prvim
tragom, zove se sutranica prve skupine ravnine. x
r1
r2
m
M2
M2
m P m 1 m r1, m x
M2
Sve su sutranice prve skupine
ravnine P meusobno paralelne.
P
N1
n
n
Sutranice
r1
1
2r2
Pravac ravnine paralelan s 2, a time i s drugim
tragom, zove se sutranica druge skupine ravnine. x
r1
r2
n P n 2 n r2, n x
n
n
n
N1
N1
N1Sve su sutranice druge skupine
ravnine P meusobno paralelne.
n
Zadaci
a) Odrediti nacrt
sutranice a ravnine .
s1
s2
a
a
b) Odrediti nacrt
sutranice m ravnine P.
m
r1
r2
x
m
c) Nai nacrt sutranice n ravnine .
x
d2
d1
n
Uputa. Potrebno je
uzeti neki pomoni
pravac q ravnine
koji sijee n u nekoj
toki T.
qT
q
T
A2
A2
M1
M1
Q1
Q2
Q1
Q2
x
t
t
Priklonice
r1
1
2r2
Pravac ravnine okomit na prvi trag zove se
priklonica prve skupine ravnine. x
r1
r2
t
.
Sve su priklonice prve skupine ravnine P meusobno paralelne.
T1
T2
t.
T1
T1
T2
T2
t
t P t r1 t r1
Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom priklonom
kutu jedne njezine priklonice prve skupine.
1
t
t
Priklonice
r1
1
2r2
Pravac se ravnine okomit na prvi trag zove
priklonica prve skupine ravnine. x
r1
r2
t
.
Sve su priklonice prve skupine ravnine P meusobno
paralelne.
T1
T2
t.
T1
T1
T2
T2
t
Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom
priklonom kutu jedne njezine priklonice prve skupine.
1
1
T20
1t P t r1 t r1
Priklonice
Pravac ravnine okomit na drugi trag zove se priklonica druge skupine ravnine.
Sve su priklonice druge skupine ravnine meusobno paralelne.
q P q r2 q r2
Drugi prikloni kut ravnine
jednak je drugom priklonom
kutu jedne njezine priklonice
druge skupine.
r2
x
r1
q
2
q.Q2
Q1 Q2
Q1
Q10
m
m
x
Zadaci
a) Odrediti nacrt
priklonice prve skupine
a u ravnini .
s1
s2
b) Odrediti tragove
ravnine P kojoj je
pravac m priklonica
prve skupine.
a
a
M1
M1
M2
M2r2
c) Odrediti prvi prikloni kut
ravnine kojoj je pravac p
priklonica druge skupine.
s1
s2
.
Za odreivanje se prvog
priklonog kuta ravnine
moe odabrati bilo koja
priklonica t prve
skupine te ravnine.
t
1
.
A2
A1
A2 A1
r1
.
P1
P1P2
P2
T1
T2
T20
T2x
p
p
x
Toka u ravnini
s11
2
1x2
s2
p
P1
P2
T T p
Toka je u ravnini ako je na bilo kojem pravcu te ravnine (14-7).
T
14.pps14.pps14.ppsB
A
Toka u projicirajuoj ravnini
1
2
x
x
r2
r1
r1
r2.
A
A
A
A
Sve toke koje lee u prvoj
projicirajuoj ravnini imaju
tlocrt na prvom tragu te ravnine.
1
2
x
x
s2
s1
s2
s1
.B
B
B
B
Sve toke koje lee u drugoj
projicirajuoj ravnini imaju nacrt
na drugom tragu te ravnine.
s1
s2
T
x
Zadaci
a) Odrediti nacrt
toke T u ravnini
pomou priklonice
prve skupine.
s1
s2b
T
T
b) Odrediti tlocrt toke T u ravnini
pomou sutranice druge skupine.
m
m
T
c) Odrediti nacrt toke u ravnini koja je
zadana dvama ukrtenim pravcima.
Uputa. Svaki pravac
ravnine sijee sve
ostale pravce te
ravnine. Tokom T
poloen je bilo koji
pravac p.
p
b
.B1
B2
B1
B2
M1
M1
AB
pA
B
x
T a
a
b
bN
N
x
T
p
p
x
Pramen ravnina
Sve ravnine koje sadravaju jedan pravac ine pramen ravnina. Taj se pravac zove
nosilac pramena ravnina.
U pramenu ima 1 ravnina. Njihovi prvi tragovi prolaze prvim, a drugi tragovi drugim proboditem
pravca nosioca (16-1).
P1
P1
P2
P2
a1
a2
b1
b2
d2
d1e1
e2
g2
g1
16.pps16.pps16.ppsOdreenost ravnine
Ravninu odreuju:
dva ukrtena (ukriena) pravca,
dva paralelna pravca,
jedan pravac i toka izvan njega,
tri nekolinearne toke (tri toke koje ne lee na istom pravcu).
Konstrukcija tragova ravnine odreene
a) dvama ukrtenim pravcima
a
aA1
A1
A2
A2
B2
b
b
B2
B1
B1r1
r2
x
b) dvama paralelnim pravcima
x
m
m
n
n
N1
N1
N2
N2
M1
M1
M2
M2r2
r1
S
S
m
m
n
n
m
m
c) pravcem i tokom koja ne lei na pravcu
x
d) trima nekolinearnim tokama
p
p
T
T
Uputa. Tokom T poloimo bilo koji
pravac ukrten (ili paralelan) s pravcem
p. Odabrana je sutranica druge skupine.
M
M
M1
M1
P2
P2
P1
P1
s1
x
A
A
C
C
B
B
r1
r2
r2
M1
M1
M2
M2
N1
N1
N2
N2
Napomena. Zadaci c) i d) temelje se na zadacima a) i b).
Presjenica dviju ravnina
Zajedniki se pravac dviju ravnina zove presjenica tih ravnina.
Aa1
a2
Bb1
b2
Presjenica dviju ravnina
Zajedniki se pravac dviju ravnina zove presjenica tih ravnina.
q
Q1
Q2
Aa1
a2
Bb1
b2
q
q
Presjenica dviju ravnina
r1
r2
s1
s2
Q1
Q1
Q2
Q2
Q1 r1, Q1 s1 Q1 = r1 s1
Q2 r2, Q2 s2 Q2 = r2 s2
q
x
Napomena. Tlocrt presjenice
pada u prvi trag ravnine (prva
projicirajua ravnina).
Na temelju slijedi:
a)
s1 r1
r2
s2
x
b)
Q1
Q1
Q2
Q2
q
Presjenica dviju ravnina
r1
s2 q
q
Napomena 2. Q1 je u beskonanosti.
x
r2
r1
r2
x
s1
s2 p
p
Napomena 3. Presjenica drugih
projicirajuih ravnina okomita je
na 2.
Napomena 1. Presjenica je sutranica
prve skupine ravnine P jer je druga
projicirajua ravnina paralelna s 1.
Q2
Q2
Presjenica dviju paralelnih ravnina
|| d1 || s1 d2 || s2
Paralelne ravnine imaju
paralelne tragove.
d1
d2
s1
s2
x
Ne vrijedi obrat!
x
d2
d1
s2
s1
Ove dvije ravnine nisu paralelne,
iako su im tragovi paralelni (21-6).
Presjenica paralelnih ravnina
beskonano je dalek pravac.
21.pps21.pps21.ppsZadaci
a) Odrediti tragove ravnine koja je
paralelna sa zadanom ravninom P, a
sadri toku T.
r1
r2
x
T
T
m
m
M1
M1
b) Konstruirati tragove ravnine
koja sadri toku P, a paralelna
je s pravcima a i b.
x
b
b
a
a
P
P
Napomena. Pravac je paralelan s ravninom ako je
paralelan s bilo kojim pravcem te ravnine.
Uputa: Tokom P poloiti pravce p || b i q || a.
p
p q
q
r2
r1
s1
s2
P2
P2P1
P1
Q1
Q1
Probodite pravca i ravnine
Pravac koji ne lei u danoj ravnini ima s njom tono jednu zajedniku toku
koja se zove probodite pravca i ravnine.
Ako je pravac paralelan s ravninom, probodite je u beskonanosti.
Konstrukcija probodita
pravca p i ravnine P:
1. pravcem p poloi se bilo
koja ravnina ;
2. odredi se presjenica q
ravnina P i ;
3. sjecite pravaca p i q
traeno je probodite N.P
q
N
p
Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].
Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.
p
Nq
P
Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].
Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.
p
N
q
P
Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].
Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.
p
N
q
P
Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].
Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.
p
N
q
P
1. p
2. = q (18-3)
3. q p = N
1x2
r1
r2p
p = d1
d2
Q1
Q1
Q2
Q2
q
= q
N
N
a) Probodite pravca i ravnine
zadane tragovima
Shema rjeenja:
Radi jednostavnosti konstrukcije
je projicirajua ravnina.
18.pps18.pps18.ppsb) Probodite pravca p i ravnine
zadane ukrtenim pravcima (a, b)
1) p 1
Pravcem je postavljena prva
projicirajua ravnina .
2) P = q
Pravci a i b probadaju ravninu
u tokama 1 i 2, a njihova je spojnica presjenica q ravnina
P i .
a
bp
12
2
1
M
M
q
a
b
p
N
N
=q=d1
Napomena. Na isti se nain
konstruira probodite pravca i
ravnine zadane dvama
paralelnim pravcima.
3) q p = N
c) Probodite pravca i
projicirajue ravnine
r1
r2p
p
Zajednika toka N pravca p i
ravnine P projicirat e se u prvi
trag ravnine. Zato?
N
N
x
p
p
x
s1
s2
d2 q
Presjenica druge projicirajue
ravnine poloene pravcem p i
ravnine jest sutranica q ravnine
(18-4).
qS
S
Konstruirati probodite pravca p
(paralelan s osi x) i ravnine .
18.pps18.pps18.ppsProbodite trokuta pravcem
p
p
x
A
B
C
A
B
CUputa. Radi jednostavnosti
konstrukcije pravcem je
poloena druga projicirajua
ravnina , te konstruirana
njezina presjenica s
ravninom trokuta (19-7).
d2
d1
q
M
N
M
N
q
P
P
Napomena. Na isti se
nain konstruira
probodite pravca i
ravnine zadane
paralelogramom.
19.pps19.pps19.ppsTransverzala dvaju mimosmjernih pravaca
Definicija. Transverzalom mimosmjernih
pravaca nazivamo svaki pravac koji sijee
te pravce.
Zadatak. Konstruirati transverzalu
pravaca a i b koja sadri toku T.
a
b
T
Shema rjeenja:
1. (a, T) =
2. b = N
N
3. (T, N) = t
t
M
4. t a = M
x
a
a
T
T
sS
S
s
A1
A1
A2
A2
S2
S2
s1
s2
b
d1
= d2
bt
t
N
N
M
M
Okomitost
Neka je N toka ravnine P. Postoji samo jedan pravac koji prolazi tokom N i okomit je
na danu ravninu P. Taj se pravac zove okomica ili normala ravnine P u toki N.
Vane injenice:
Pravac je okomit na ravninu ako je
okomit na barem dva pravca te ravnine.
Ako je pravac okomit na ravninu, onda je
okomit na sve njezine pravce
(napomenimo pritom da se okomiti pravci
ne moraju nuno sjei, npr. n i q).N
P
. Svakom tokom prostora prolazi jedan i
samo jedan pravac okomit na zadanu
ravninu.
Ravnina je okomita na neku
ravninu ako sadrava barem jedan
pravac okomit na tu ravninu.
q
T
on
.
Okomitost pravca i ravnine
n P n r1 n r2
r2
r1
n
m
q
N n m P, m || 1 n r1
n q P, q || 2 n r2
Objanjenje. Projekcije su meusobno
okomitih pravaca okomite ako je barem jedan
od tih pravaca paralelan s ravninom
projekcije.
P
Pravac okomit na ravninu okomit je
na svaki njezin pravac, pa i na njezine
tragove pravac n okomit je i na sve
sutranice prve i druge skupine.
m sutranica 1. skupine
q sutranica 2. skupine
Zakljuak:
U trodimenzionalnom prostoru okomiti mogu biti:
1) pravac i ravnina
2) dva pravca
3) dvije ravnine
1) za pravac okomit na ravninu:
n P n r1 n r2
x
r2
r1
n
n
.
.
2) za dva meusobno okomita pravca: a b a b a b
3) za dvije meusobno okomite ravnine: P r1 s1 r2 s2
U projekcijama openito vrijedi sljedee:
Dva temeljna zadatka
1. Zadanom tokom postaviti
pravac okomit na zadanu
ravninu.
r2
r1
x
T
T
2. Zadanom tokom
postaviti ravninu okomitu
na zadani pravac.
x
p
p
T
T
Uputa. Za konstrukciju tragova ravnine koristi
se sutranica druge skupine (ili prve skupine!)
koja sadri toku T.
r1
r2
n
n
.
.
.
s
s S1
S1
Zadaci
a) Konstruirati tragove simetralne
ravnine duine AB.
Definicija. Skup toaka u prostoru od kojih
je svaka jednako udaljena od krajnjih toaka
duine lei u simetralnoj ravnini te duine.
A
B
A
B
Simetralna ravnina okomita je na duinu i
sadrava njezino polovite.
P
P
m
m
M1
M1
s1
.
s2.
Uputa. Koristiti bilo koje sutranice prve i druge skupine.
1 2
1
2
s
s
n
.m
3
3
m
.n
b) Zadanom tokom T postaviti
pravac okomit na ravninu zadanu
dvama ukrtenim pravcima (bez
uporabe tragova).
a
b
S
ba
x
T
T
S
Metriki zadaci
c) Odrediti udaljenost toke T od ravnine P.
r2
r1
x
T
T
n
n
Shema rjeenja: 1) T n, n P
2) n P = N (19-6)
d1
d2
q
q
N
N
3) d (T,N) (13-10)
T0N0
d
d) Odrediti udaljenost toke T
od pravca p.
x
T
T
p
p
Shema rjeenja: 1) T P p (20-4)
r2
r1
2) n P = N (19-6)
d1
d2
N
N
3) d (T,N) (13-10)
T0d
19.pps19.pps19.pps13.pps13.pps13.pps20.pps20.pps20.pps19.pps19.pps19.pps13.pps13.pps13.ppse) U toki S ravnine P uzdignuti
okomicu na ravninu duljine d.
x
r2
r1
S
s
sS
n
n
d
S0p0
n0
.
V0
V
V
f) Pravcem p postaviti ravninu
koja je okomita na ravninu P.
x
r1
r2
p
p
S
S
d
s2
Uputa! Ravnina je okomita na
drugu ravninu ako sadri barem
jedan pravac okomit na tu ravninu.
s1 n
.
n
.
g) Odrediti udaljenost toke T od ravnine .
s2
x
s1
T
T
Shema rjeenja: 1. T n, n
n
n
2. n = S (19-6)
S
S
3. d (T,S)
d
d = d
f) Odrediti udaljenost toke T od pravca p.
x
p
p
T
Td
d.
19.pps19.pps19.ppsBokocrt
1
2
+x3
T
T
T
T
T
Ravnina 3 zove se bokocrtna ravnina,
a okomita je na ravnine 1 i 2.
+z
+y
O-x
-z
-y
Ravnina 2 odabrana je za ravninu
slike ili projekcije, pa se u nju rotira
3 oko osi z. Dobiveni se bokocrt
naziva lijevim bokocrtom.1, 2, 3 dijele prostor na 8 oktanata.
Toka
+x
+y
+y
+z
T
T
T
+x
+z
+y
+y
U
U
U
Toka T nalazi se u prvom, dok se toka U nalazi u drugom oktantu.
Pravac
x
y
y
z
p
p
P2
P1
P1
P1
P2P2
p
P3
P3
P3
Odrediti trei prikloni kut pravca!
Trei prikloni kut pravca kut je koji tvori pravac sa svojom treom projekcijom.
P20
p0
3
b) Odrediti treu projekciju i
tree probodite pravca a.
y
y
z
x
a
a
A3
A3 A3
a) Odrediti probodita pravca p sa svim trima ravninama projekcije.
A2
A2
A2
a
Ravnina
r1
1
2r2
3
r3
z
x
r2
r1
r3
y
yr3 = P 3
Sutranice i priklonice tree skupine
x
y
y
z
s2
s1
r3
Sutranica tree skupine ravnine pravac je
ravnine paralelan s 3, dakle i s njezinim
treim tragom.
ss=s
Priklonica tree skupine ravnine pravac je
ravnine okomit na trei trag te ravnine.
x
z
y
y
s2s3
s1
p
Bilo koja priklonica tree skupine ravnine i njezina trea projekcija odreuju trei prikloni kut te ravnine.
Postoji 1 sutranica i priklonica tree skupine.
p.
p
Zadaci
x
y
y
z
a) Odrediti udaljenost
toke A od ravnine .
s2
s1
A
A
s3
A
NN
N
b) Odrediti presjenicu
dviju ravnina P i .
x
z
y
y
r2
r1
s1
s2r3
s3t
t
t
Napomena 1. Ravnina trea je projicirajua ravnina.
Napomena 2. Isti je princip rjeenja zadatka: U toki
ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.
d.
q q
Zadaci
c) Odrediti probodite pravca p i ravnine .
s1
s2
x
p= p
z
y
y
Napomena. Pravac paralelan s 3 nije jednoznano
odreen svojim tlocrtom i nacrtom, nego mu je
potrebno zadati projekcije nekih dviju toaka.
B
B
A
A
s3
A
B
p
NN
N
d) Konstruirati projekcije pravca q
koji sadrava toku A, a paralelan
je sa zadanim pravcem p.
x
y
y
z
p p
P2
M
M
P2
A
A
Napomena. Svi pravci q || 3tokom A ine pramen pravaca.
Svaki od njih ima projekciju q q.
Jednoznano rjeenje daje bokocrt.
P2
M
p
A
qB
B
B
Ravnina simetrije i ravnina koincidencije
1
2
A
Ravnina simetrije raspolavlja I. i III. kvadrant.
I.II.
III. IV.
A
AKB
Ravnina koincidencije raspolavlja II. i IV. kvadrant.
B B
C
C
D D
A, C B, D K
a = AC b = BD K
a
a
A1=A1=A2=A2
b = b
x s1 s2 k1 k2
a
a
a) Probodite pravca s ravninom
simetrije i ravninom koincidencije
x
p
p
s1 s2 k1 k2
A
A
B B
p = A
p K = B
b) Presjenica ravnine s ravninom
simetrije i ravninom koincidencije
x s1 s2 k1 k2
r1
r2
m
m
A
AB = B
b= b
P = a
P K = b
c) Probodite pravca s ravninom
simetrije i ravninom koincidencije
pomou bokocrta
x s1 s2 k1 k2
z
y
s3
k3
p
p
P1
P1
P2
P1
P2P2
p
N N
N
N = p
R
R = p K
R= R
d) Tokom T poloiti ravninu
paralelnu s ravninom simetrije
s1 s2 k1 k2
z
y
s3
T
TT
d3
d1=d2
1
2
x
.
Stranocrt
T
T
T3
Svaka se nova ravnina projekcije 3, okomita na jednu od ravnina projekcija ( 1 ili 2), zove
stranocrtna ravnina.Ortogonalna se projekcija toke na
stranocrtnu ravninu zove stranocrt toke.
T
1 3 = 1x3
1x3
Stranocrtnu ravninu prevalimo u tlocrtnu ravninu oko osi 1x3 na jednu ili drugu stranu.
3T
I. stranocrtna ravnina 3
T
T
1x2
.
T
Na isti bi se nain konstruirao stranocrt toke na
ravnini 3, okomitoj na ravninu projekcije 2.
P
P
1x2
2x3
1x3
P
Napomena. Openito je svejedno je li izabrana stranocrtna ravnina okomita na 1 ili 2.
3
s3
s1
s2
1
2
x
Stranocrtna projekcija ravnine
3
.
1x3T
T
s3
s3 = 3
T s3
T
T
T
T
3 1 3 3 s1
1x2
s1
s2
T
T
Ts3
1x3
.
Ravnina za stranocrtnu je ravninu projicirajua.
Zadaci
1) Odrediti udaljenost toke T od ravnine .
s2
s1
1x2
T
T
Uputa. Za stranocrtnu ravninu 3 odabrati takvu
ravninu koja je okomita na 1 i na . Time zadana
ravnina postaje trea projicirajua ravnina.
T
Za konstrukciju treeg traga s3 umjesto bilo
koje toke T ravnine P odabrana je toka G na
drugom tragu ravnine. Zato tako odabrana
toka pojednostavljuje konstrukciju?
G
G
G
s3.
dTraena se udaljenost projicira na stranocrtnu ravninu
u pravoj veliini (20-8). Zato?
N
N
N
1x3
.
Napomena. Na isti se nain rjeava zadatak: U toki ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.
.
.
20.pps20.pps20.pps2) Odrediti udaljenost toke T od pravca p.
Uputa. Budui da je pravac
paralelan s 1, zadatak je
mogue rijeiti uvoenjem
jedne stranocrtne ravnine
usporediti 20-8 f).
1x2
p
p
T
T
1x3
.
p
T
d
d.
N
N
d
20.pps20.pps20.pps3) Konstruirati probodite pravca p i ravnine .
s1
1x2
s2p
p
1x3
A
A
A
P1
P1
P1p
G
G
G
s3
Stranocrt traenog
probodita N na treem
je tragu s3 ravnine .
Zato? (20-8).
N
N
N
Napomena. Isti je zadatak
rijeen na drugi nain u
(19). Rjeavanje na ovaj
nain preporuuje se kod
onih zadataka kod kojih se
trae probodita vie
pravaca s istom ravninom.
20.pps20.pps20.pps19.pps4) Zadanom tokom D poloiti ravninu P paralelnu s
ravninom te odrediti udaljenost tih ravnina.
x
s1
s2
D
D
Napomena 1. Udaljenost dviju ravnina mjeri se po bilo kojem pravcu
okomitom na te dvije ravnine i
jednaka je udaljenosti probodita tog
pravca s ravninama.
2x3
D
M
M
M
s3P || r1 || s1 r2 || s2 r3 || s3 r3
r2
r1
d (P, ) = d (r3, s3)
d
II. stranocrtna ravnina 4
1
2
x
3
1x3
A
A
.
AA
4
3x4
4 3
3 4 = 3x4
. AIV
AIV
Druga stranocrtna ravnina 4 s prvom stranocrtnom ravninom 3 ini jedan novi sustav ortogonalnih
ravnina projekcija. On je neovisan o tlocrtnoj i nacrtnoj ravnini.
II. stranocrtna ravnina
1x2
1x3
.
T
T
T
3x4
.TIV
Po istom se principu mogu postavljati
nove stranocrtne ravnine projekcija.
I. stranocrtna ravnina 3 postavljena je
okomito na 1 i zatvara s 2 bilo koji kut.
II. stranocrtna ravnina 4 postavljena je
okomito na 3 i zatvara s 1 i 2 bilo koji kut.
pIV
3
1x3
II. stranocrtna projekcija pravca
1
2
x
4
3x4
4 3 4 p 3 4 = 3x4 p
.
p
p
P1
p
.
P1
3 || p 3 1
pIV
p || p
p 4 = pIV
Zadaci
4) Odrediti udaljenost toke T
od pravca p.
Uputa. Zadatak se rjeava
dvostrukom primjenom
stranocrta:
3 || p 3 1
p
1x2
p
T
T
1x3
T
A
A
A
P2
P2
P2
p
3x4
pIV
TIVd
d
.N
Nd
N
d
4 usporedi 22-5.
22.pps22.pps22.ppsPo istom se principu rjeavaju sljedei zadaci:
5) Odrediti najkrau udaljenost (odnosno najkrau transverzalu) dvaju mimosmjernih pravaca.
Uputa. Pomou dvije stranocrtne ravnine treba postii da se jedan od pravaca projicira u toku.
6) Odrediti udaljenost dvaju paralelnih pravaca.
Uputa. Dvostrukom se primjenom stranocrta pravci projiciraju u toke. Udaljenost je toaka
jednaka udaljenosti pravaca.
8) Odrediti pravu veliinu kuta dviju ravnina.
Uputa. Prva se stranocrtna ravnina postavlja paralelno s presjenicom dviju ravnina, a druga
okomito na nju, tako da je etvrta projekcija presjenice toka. etvrti tragovi ravnina odreuju
traeni kut.
7) Konstruirati projekcije pravca koji je jednako udaljen od triju paralelnih pravaca.
Uputa. Pomou dvije stranocrtne ravnine treba postii da se pravci projiciraju u tri toke.
Sredite krunice opisane tom trokutu etvrta je projekcija traenog pravca.
Odrediti pravu veliinu kuta dviju ravnina
zadanih trima nekolinearnim tokama
1x2
1x3
A
B
D
C
A
B D
C
q
q
C
B
D
q
3x4
qIV
DIV
BIV
Projiciranje ravninskih likova
a) Trokut. etverokut. Krunica.
A B
C
C
BA
A
B
C
AB
C
1a. 1b.
Trokut se ABC na sl. 1a. vidi u tlocrtu i nacrtu s razliitih strana,
dok se onaj na sl. 1b. vidi s iste strane u objema projekcijama.
Trokut na sl. 1c. paralelan je s 2, pa se u nacrtu vidi u pravoj veliini.
x x
A
B
C
B
A
C
1c.
x
A
B
CD
A
B
C x
Projiciranje ravninskih likova
a) Trokut. etverokut. Krunica.
A
A
B
C
D
B
C
Nacrt toke D odreen je iz injenice da projekcija
paralelograma mora biti paralelogram.
D
Trai se nacrt toke D.
D
S
S
x
Projiciranje ravninskih likova
a) Trokut. etverokut. Krunica.
S
S
Projekcija je krunice krunica
ako je ravnina krunice paralelna
s ravninom projekcije.
Projekcija je krunice duina ako je
ravnina krunice okomita na ravninu
projekcije.
x
Konstrukcija prave veliine ravninskog lika
b) Geometrijski likovi u projicirajuim ravninama
1. Odrediti pravu veliinu trokuta u prvoj projicirajuoj ravnini P.
r1
r2
x
A
B
C
A
C
B
r20
.
A0
C0
B0
2. Konstruirati projekcije krunice koja lei u drugoj projicirajuoj ravnini ako je zadan
tlocrt sredita i polumjer r.
r2
x
r1
S
r
S
A
B
C
D
C D
Uputa. Prava se veliina
lika odreuje
prevaljivanjem lika u 1.
r
r
t
St
Konstrukcija prave veliine ravninskog lika
b) Geometrijski likovi u opim ravninama rotacija ravnine oko traga
r1
1
2r2
.
(S)
Napomena. Uoite da ravnina P moe rotirati
oko traga r1 u 1 na dva naina!
P = t t r1
t
S
T1
T2
1 P r1
.
Rotacija jedne toke ravnine P oko r1 u 1
t priklonica prve
skupine ravnine P
ST1 polumjer
rotacije
Rotacija toke ravnine oko traga u 1.
r2
r1
x
S
S
S0
(S)
Antirotacija toke F
iz 1 u ravninu P.
Za antirotaciju se moe koristiti priklonica
prve skupine t tokom T.
t
t
t0T0
T
T
Napomena. Na isti bi se nain izvela rotacija oko
drugog traga u ravninu 2.
t
t0
(T)
(T)(S*)
T*0
T*
r1
r2
x
F
F
T1
T1
T2 T1
T2
T20
Zadaci
1) Konstruirati pravu
veliinu trokuta ABC.
A B
C
B
A
C
Uputa.
a) Odrediti tragove ravnine
trokuta pomou dvaju
ukrtenih pravaca (17-4 d).
r1
r2
b) Rotirati toku A u 1.A0
(A)
c) Toke (B) i (C) konstruirati
pomou afinosti (os r1) (11-12).(B)
(C)
17.pps17.pps17.pps11.pps11.pps11.ppsZadaci
2) Ravnina zadana je
tragovima s1 i s2. Konstruirati
projekcije krunice k
kojoj je sredite toka S, ako
je zadana duljina polumjera r.x
s2
s1
S
S
S0
(S)
r
(k)
Projekcija je krunice openito
elipsa kojoj treba odrediti
veliku i malu os.
VANO!
U svakoj je projekciji velika
os na sutranici, a mala na
priklonici odgovarajue
skupine (duljina se male osi
odreuje pomou prevaljene
priklonice).
rr
k
r
r
S0
k
Velika se i mala os tlocrtne
elipse projiciraju u konjugirane
promjere nacrtne elipse.
Zadaci
3) Konstruirati projekcije kvadrata
kojemu je jedna stranica na pravcu p,
a jedan vrh u toki A.
Uputa.
a) (p, q) = (pomou
dvaju paralelnih pravaca)
b) Rotirati toku A u 1.
c) p || q (p) || (q)
p
p
x
A
A
q
q
s1
s2
A0
(p)
d) (A)(B)(C)(D)
jedno od dvaju rjeenja
(A)
(B)(C)
(D)
C
D
B
B
C
D
(q)
Napomena. Projekcija je kvadrata uvijek paralelogram.
e) Pomou afinosti (11-13)
ABCD
f) Ordinalama
ABCD
11.pps11.pps11.ppsZadaci
4) Trokut ABC lei u
ravnini 1. Treba ga
rotirati u ravninu .
s2
s1
(A)
(B)
(C)
Uputa.
a) Konstruirati prevaljenu
priklonicu prve skupine
nekom tokom T zadane
ravnine (23-6).
T
T
T0
A0
A
c) Tlocrte preostalih
toaka odrediti pomou
afinosti (11-12.)C
B
d) Nacrti se toaka mogu
konstruirati pomou
sutranica, ali i na razne
druge naine. Istrai kako!
C
B
A
b) Sve su prevaljene
priklonice prve
skupine meusobno
paralelne.
23.pps23.pps23.pps11.pps11.pps11.pps../11.pptGeometrijska tijela
Dio prostora omeen ravnim i oblim plohama, ili samo ravnim, ili samo oblim
plohama geometrijsko je tijelo koje moe biti uglato ili oblo, pravilno ili
nepravilno, uspravno ili koso.
Kaemo da je geometrijsko tijelo pravilno ako mu je baza pravilan
geometrijski lik, a os tijela okomita na ravninu baze sve izvodnice
odnosno bridovi pravilnog tijela jednake su duljine.
Uglata geometrijska tijela zovemo poliedrima. (O pravilnim poliedrima 26. )
Pri projiciranju tijela na neku ravninu nisu vidljive projekcije svih njegovih
ploha. Bridovi se, odnosno crte koje dijele vidljive dijelove tijela od nevidljivih
pri projiciranju na neku ravninu projekcije, zovu konture toga tijela.
Neka je toka na plohi geometrijskog tijela ako je na pravcu odnosno krivulji
koja pripada toj plohi.
Napomena. Neka tijela imaju bazu koja je pravilan geometrijski lik i izvodnice ili bridove jednakih
duljina, ali je os tijela kosa u odnosu na ravninu baze, pa se nazivaju kosim tijelima (25-2).
26.pps25.pps25.pps25.ppsPrizmePrizme mogu biti trostrane, etverostrane,..., pravilne ili nepravilne, uspravne ili kose.
a) uspravna pravilna trostrana
A= D
B=E
C=F
x
A B C
D E F
T
T
Napomena. Iz tlocrta se toke ne moe
zakljuiti o njezinu poloaju u nacrtu.
b) kosa trostrana
x
A
B
C
CA B
E
F
D
D F E
Nacrt se toke T na poboki ABDE moe nai
pomou bilo koje duine te poboke.
T
T
Trostrane
tlocrtna kontura
nacrtna kontura
tlocrtna kontura
nacrtna kontura
etverostrane prizme
c) paralelopiped (kvadar)
A= E B= F
x
C= GD= H
A= B C= D
E= H F= G
x
d) kosa kvadratska
Oznake vrhova pokazuju da je rije o kvadru.
T
Pravac nosilac toke T pokazuje na kojoj se
poboki ona nalazi. Ovdje je taj pravac sutranica
prve skupine ravnine poboke. Toka T na gornjoj
je strani poboke koja je u nacrtu nevidljiva.
Paralelopiped je etverostrana prizma
kojoj je baza paralelogram. Moe biti
uspravni ili kosi.
tlocrtna kontura
nacrtna konturaT
Rjeenje. Dodati bokocrtnu projekciju!
Piramide
Piramide mogu biti trostrane, etverostrane, peterostrane,..., pravilne ili nepravilne,
uspravne ili kose.
x
a) pravilna trostrana
A B
CCA B
V
V
Toka T lei na poboki ABV. Odrediti joj tlocrt.
T
T
b) kosa kvadratska
x
T
T
Zakljuak: Toka T nalazi se na
donjoj prednjoj strani piramide.
tlocrtna kontura
nacrtna kontura
tlocrtna kontura
nacrtna kontura
Valjci
a) uspravni kruni ili rotacijski
x
M
M
N
N
Nacrt toke M na vidljivoj izvodnici
nije jednoznano odreen.
Tlocrt je toke N na nevidljivoj
izvodnici jednoznaan.
a b
a b
Izvodnice su a i b konturne za nacrt;
sve su izvodnice valjka, ija su prva
probodita (noita) na prednjem dijelu
krunice baze, u nacrtu vidljive.
Valjci mogu biti uspravni ili kosi; kruni, eliptiki, paraboliki, hiperboliki, ...
to ovisi o krivulji baze.
Valjci
b) kosi kruni
x
N
M
M
N
U tlocrtu su vidljive one izvodnice
ija prva probodita lee na vidljivom
dijelu krunice baze izmeu izvodnica
a i b.
a
b
U nacrtu su vidljive one izvodnice
ija prva probodita lee na prednjem
dijelu krunice baze izmeu izvodnica
c i d. c d
c d
Toka T na donjem je dijelu
valjka. Odrediti njezin nacrt
pomou izvodnice.
T
T
Tlocrt se toke P, koja je na stranjem
dijelu valjka, moe geometrijski tono
odrediti pomou izvodnice
S
S
P
P
ili krunog presjeka.
Stoci
a) uspravni kruni ili rotacijski
V
V
xToka T zadana nacrtom moe leati s
prednje ili stranje strane stoca. Njezin
poloaj pokazuje vidljivost izvodnice
koja njome prolazi.
T
T Nacrt se toke P moe odrediti pomou
izvodnice ili krunog presjeka.
U tlocrtu su vidljive sve izvodnice stoca.
U nacrtu su vidljive one izvodnice
ija prva probodita lee na prednjem
dijelu krunice baze izmeu izvodnica
a i b.
P
P
Stoci mogu biti uspravni ili kosi; kruni, eliptiki, paraboliki, hiperboliki, ...
to ovisi o krivulji baze.
a b
a b
Stoci
b) kosi kruni
x
U tlocrtu su vidljive one izvodnice
ija druga probodita lee na
gornjem dijelu krunice baze
izmeu izvodnica a i b.
a b
a b
U nacrtu su vidljive one izvodnice
ija druga probodita lee na
vidljivom dijelu krunice baze
izmeu izvodnica c i d.
(Konstrukcija konturnih izvodnica
07-2).
c
d
c d
Nacrt se toke P, koja je na gornjem
dijelu stoca, moe geometrijski
tono odrediti pomou izvodnice ili
krunog presjeka.
S
S
P
P
07.pps07.pps07.ppsKugle
x
S
S
Kontura kugle u tlocrtu je krunica
e, koja se u nacrt projicira u duinu.
e
e
Kontura kugle u nacrtu krunica je m,
koja se u tlocrtu projicira u duinu.
m
m
Toka je na kugli ako je na nekoj
krunici kugle. Pogodne su one
krunice koje su paralelne s
jednom od ravnina projekcija.
Odrediti nacrt toke T koja je na
gornjoj strani kugle.
e ekvator
m - meridijan
k
k
k - paralela
T
T
Pravilna uglata geometrijska tijela
Pravilna uglata geometrijska tijela omeena su pravilnim, meusobno sukladnim
geometrijskim likovima i zovu se pravilni poliedri. Moe im se upisati i opisati kugla.
Pet pravilnih poliedara jesu:
TETRAEDAR
Sastoji se od:
4 jednakostranina trokuta
6 jednakih bridova
4 vrha; svakim prolaze po 3 brida
Sastoji se od:
6 sukladnih kvadrata
12 jednakih bridova
8 vrhova; svakim prolaze po 3 brida
OKTAEDAR
Sastoji se od:
8 sukladnih jednakostraninih trokuta
12 jednakih bridova
6 vrhova; svakim prolaze po 4 brida
3 jednake, meusobno okomite
dijagonale triju k