1
Zadatak 181 (Dado, gimnazija)
Odredi ,x y R∈ tako da vrijedi 2 2 2 4.x y i y x i⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =
Rješenje 181
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
2 2 2 4 2 2 2 4x y i y x i x y y i x i⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 2 2 4 0x y y x i x y x y i i⇒ ⋅ + ⋅ + − − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⇒
metoda suprotnih
koe
2 2 44.
2 0 ficijenata
x yy
x y
⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ =
− ⋅ − =
Računamo x.
2 2 42 2 4 4 2 8 4 2 4 8 2 4
4
x yx x x x
y
⋅ + ⋅ =⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒
=
/ : 22 4 2.x x⇒ ⋅ = − ⇒ = −
Rješenje je:
( ) ( ), 2, 4 .x y = −
Vježba 181
Odredi ,x y R∈ tako da vrijedi 2 2 2 4 0.x y i y x i⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − =
Rezultat: ( ) ( ), 2, 4 .x y = −
Zadatak 182 (Nikola, srednja škola)
Dokazati da je ( )4
1k
i⋅
+ realan broj, ako je k prirodan broj.
Rješenje 182
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
2
( ) ( ) ( )2 2
,2 2
2 1, , .m nn n m n n
a a a b a a b b i a b a b⋅
= + = + ⋅ ⋅ + = − ⋅ = ⋅
( )2 2 2
2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 24 4 2 22
1 1 1 1 2 1 2 1
k kk k
ki i i i i i
⋅+ = + = + = + ⋅ + = + ⋅ − =
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2
2 2 21 1 4 1 4 .
k k k k ki i i= + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −−
( )Za slijedi 4 .k
k N R∈ − ∈
Vježba 182
Dokazati da je ( )4
1k
i⋅
− realan broj, ako je k prirodan broj.
Rezultat: Dokaz analogan, ( )4 .k
R− ∈
Zadatak 183 (Tomislav, gimnazija)
2
Ako je , onda iznosi1
iz z z
i
−= ⋅
−
2 13 3. . . 2 1 .
2 2 4A B C D
++
Rješenje 183
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
( ) ( ) 2, , .
21,
2a c a c a b a ba b a b a b i
b d b d n n n
⋅ +⋅ = − ⋅ + = − = − = +
⋅
( ) ( ) ( )2 2 22 22 2
,2 2
2 22
, , .a a
a b a a b b a b a a b b a ab b
= + = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ + =
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
3
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Odredimo standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja z:
( ) ( )
( ) ( )
22 12 2 2 21
2 21 1 1 1 1 1 1
i ii i i i iiz z z z
i i i i i
− ⋅ +− − + ⋅ − −+= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒
− − + − ⋅ + +
( )2 2 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2
i i i i i iz z z
+ ⋅ − − − + ⋅ − + + + ⋅ −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+
( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1.
2 2 2 2 2
iz z i z i
+ + − ⋅ + − + −⇒ = ⇒ = + ⋅ ⇒ = − ⋅
Sada je:
2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2z z i i z z
+ − + − + −⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 4 42 2
z z z z+ − + ⋅ + − ⋅ +
⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
4 4 4z z z z
+ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + + − ⋅ +⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒
2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 6
4 4 4z z z z z z
+ + + + + +⇒ ⋅ = ⇒
+ ⋅ − ⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
6
4
3.
2z z z z⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =
Odgovor je pod A.
Vježba 183
2
Ako je , onda iznosi1
iz z z
i
−= ⋅
+
2 13 3. . . 2 1 .
2 2 4A B C D
++
Rezultat: A.
Zadatak 184 (Cedric, Sean, Željko, Medox, Höhere Technische Lehranstalt)
Odredi kompleksan broj z = x + y · i za koji vrijedi 1 2 .z z i− = + ⋅
Rješenje 184
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
4
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
( ) ( )2 2 2
, .2
2a a a b a a b b= + = + ⋅ ⋅ +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
[ ] ( )1 2 1 2z z i x y iz x y x y ii i− = + ⋅ ⇒ ⇒ + ⋅ − + ⋅ = ++ ⋅ ⋅= ⇒
jednakost
kompleksnih
br
2 2 2
o
21 2 1
jeva
2x y x y i i x y x y i i⇒ + − − ⋅ = + ⋅ ⇒ + − − ⋅ = + ⋅ ⇒ ⇒
( )
2 22 2 2 211 1
22 2
metoda
zamjene/ 1
x y xx y x x y x
yy y⋅ −
+ − =+ − = + = +⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− =− = = −
( ) 2/
22 2 22 1 4 1 4 1x x x x x x⇒ + − = + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒
( )2
22 2 24 1 4 1 2 4 1 2
2 2x x x x xx x x⇒ + = + ⇒ + = + ⋅ + ⇒ + = + ⋅ ⇒+
34 1 2 1 2 4 2 4 1 2 3 2 3 .2
2/ :x x x x x x⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Traženi kompleksan broj glasi:
.
2
322
2
3x
y i z i
y
z x=
=
= + ⋅ ⇒
−
⇒ = − ⋅
Vježba 184
Odredi kompleksan broj z = x + y · i za koji vrijedi 1 2 .z i z− − ⋅ =
Rezultat: 3
2 .2
z i= − ⋅
Zadatak 185 (4A, 4B, TUPŠ)
Neka je z = 3 + 2 · i. Koliko je ( )4
?i z z⋅ ⋅
Rješenje 185
Ponovimo!
( ) ( ), .2
1,mn n n n n m
a b a b a a i⋅
⋅ = ⋅ = = −
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
5
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )43 24 4 42 2
3 2 3 2 3 2 9 43 2
i z z i i i i iz i
z i⋅ ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + =
= + ⋅
= − ⋅⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( )24 4 24 4 4 2 4 4 4
13 13 13 13 13 1 13 1 13 28561.i i i i= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅ = =
Vježba 185
Neka je z = 3 – 2 · i. Koliko je ( )4
?i z z⋅ ⋅
Rezultat: 28561.
Zadatak 186 (Tonka, gimnazija)
Dokaži da je ( )1000 500
1 2 .i+ =
Rješenje 186
Ponovimo!
( ) ( )2 2 2 2 4
2 1 1, , , , 1.mn n m
a a a b a a b b i i i⋅
= + = + ⋅ ⋅ + = − = =�
( ) .n n n
a b a b⋅ = ⋅
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Potencije imaginarne jedinice
Neka je k prirodni broj. Tada za potencije imaginarne jedinice i vrijedi:
4 4 1 4 2 4, , , .
31 1
k k k ki i i i i i
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ += = = − = −
Ako je eksponent potencije imaginarne jedinice djeljiv s 4, vrijednost potencije je 1. Ako je ostatak pri
dijeljenju eksponenta s 4 jednak 1, vrijednost potencije je i; ako je ostatak 2, vrijednost je – 1, a ako
je ostatak 3, vrijednost potencije je – i.
1.inačica
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )500 5001000 2 500 5002
1 1 1 2 11 2 2 11i i i i i i+ = + = + ⋅ + = + ⋅ −+ ⋅ − = =
( ) ( )125500 500 500 500 4 500 125 500 500
2 2 2 2 1 2 1 2 .i i i= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
6
2.inačica
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )500 5001000 2 500 5002
1 1 1 2 11 2 2 11i i i i i i+ = + = + ⋅ + = + ⋅ −+ ⋅ − = =
( )
500 : 4 125
10
20
500 500 500 500 500 5002 2 2 2 1 2 .
0
i i i= ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅
=
=
�
Vježba 186
Dokaži da je ( )100 50
1 2 .i+ =
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 187 (Patrik, gimnazija)
Izračunati .a b i
b a i
+ ⋅
− ⋅
Rješenje 187
Ponovimo!
1 2, , , .1
a c a cn m n ma a a a a i
b d b d
⋅+= ⋅ = = − ⋅ =
⋅
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
a b i b a ia b i a b i b a i a b a i b i a b i
b a i b a i b a i b a i b a i b a
+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ = = =
− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +
7
( )2 2 2 2 2 21
2 2 2 2 2 2
a b a i b i a b a b a i b i a b a i b i
b a b a b a
a b a b⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅= = =
⋅ − ⋅=
+ + +
( ) ( )2 22 2
.2 2 2 2
2 2
2 2
a b i ia i b
a bi
i
b a a bb a
+ ⋅ ⋅⋅ + ⋅
= =+
= =+
+
+
Vježba 187
Izračunati .a b i
b a i
+ ⋅
− + ⋅
Rezultat: .i−
Zadatak 188 (Maja, gimnazija)
Izračunati 1
.1
i
i
+
−
Rješenje 188
Ponovimo!
( )21 2 2 2
, 2, , .1n m n m
a a a a a i a b a a b b+
= ⋅ = = − + = + ⋅ ⋅ +
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a a n
n nb b n
⋅= ≠ ≠
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
8
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
1.inačica
( ) ( )( ) ( )
( )2 2
1 1 11 1 1 1 2
2 21 1 1 1 1
proširiti
razloma 11 1k 1
i i ii i i i i
i i i i i
+ ⋅ + ++ + + + ⋅ += = ⋅ = = = =
− − + − ⋅ + ++
1 2 1 2 2.
2
1 1 2
2 22
i i i ii
−+ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅= = = = =
2.inačica
Pretpostavimo da je zadani izraz jednak .x y i+ ⋅
Dalje slijedi:
( ) ( ) ( )/ 11 1
1 11 1
i ix y i x y i i x y i
i ii i
+ += + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒⋅ − + = + ⋅ ⋅ − ⇒
− −
( )21 1 1i x x i y i y i i x x i y i y⇒ + = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ + = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⇒
( ) ( )
jednakost
kompleksnih
brojev
1 1
a
1i x x i y i y i x y x y i⇒ + = − ⋅ + ⋅ + ⇒ + ⋅ = + + − + ⋅ ⇒ ⇒
metoda suprotnih
ko
1 12
eficije1 ta2
n1 a
x y x yy
x y x y
= + + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒
= − + − + =
/ : 22 2 1.y y⇒ ⋅ = ⇒ =
Računamo x.
11 1 11 0.
1
yx x x
x y
=⇒ + = ⇒ = ⇒
+ =+ =
Rezultat glasi:
1 1 10 1 .
1 1
0
1 1
i i ix y i i i
i i i
x
y
+ + += + ⋅ ⇒ ⇒ = + ⋅ ⇒
−
==
=− −
Vježba 188
Izračunati 1
.1
i
i
−
+
Rezultat: .i−
Zadatak 189 (Dodo, gimnazija)
Koliki je argument φ u trigonometrijskome prikazu kompleksnog broja z = 5 · i?
2 3. . . .
3 2 3 2A B C D
π π π π⋅ ⋅
Rješenje 189
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
9
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi. Svaki se kompleksan broj
z x y i= + ⋅
može prikazati u trigonometrijskom obliku
( )co sin ,sz r iϕ ϕ= ⋅ + ⋅
pri čemu je r modul kompleksnog broja
2 2,z r x y= = +
a kut φ argument kompleksnog broja za kojeg vrijedi
1i .0 2,li
y yarctg tg
x xϕ ϕ ϕ π
−= = ≤ < ⋅
Oznaka je g .ar zϕ =
Kompleksne brojeve predočujemo u koordinatnoj ravnini koju zovemo kompleksna ili Gaussova
ravnina.
1.inačica
05 0 5 .
5
xz i z i
y
== ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒
=
Računamo argument φ.
51 1.
0 2
y ytg tg tg
x x
πϕ ϕ ϕ ϕ
− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Odgovor je pod B.
2.inačica
Kompleksan broj z = 5 · i prikažemo u kompleksnoj ravnini i očitamo argument φ.
1
ϕϕϕϕ = ππππ
2
0
Im
Re
5 ⋅⋅⋅⋅ i
4 ⋅⋅⋅⋅ i
3 ⋅⋅⋅⋅ i
2 ⋅⋅⋅⋅ i
i
D
Odgovor je pod B
Vježba 189
Koliki je argument φ u trigonometrijskome prikazu kompleksnog broja z = 3 · i?
2 3. . . .
3 2 3 2A B C D
π π π π⋅ ⋅
Rezultat: B.
10
Zadatak 190 (Petra, gimnazija)
Nađi modul kompleksnog broja 1 1
.2 2
zi i
= −− +
Rješenje 190
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
2 1.,, ,0
a c a d b ca a a a a
b d b d
⋅ − ⋅− = = ≥ =
⋅
( ),2
.n m n m
a a a a a+
⋅ = =
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Za apsolutnu vrijednost vrijedi:
111 2 1 2
2
.
2
,zz
z z z zz z
= ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
Kompleksan broj napišemo u standardnom obliku.
( )( ) ( )2 21 1 2 2
2 22 2 2 2 4 12
2
1
2i i i i i iz z z z
i i i i
+ − − + − + + += − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
− + − ⋅ + +
−
+
2 2.
5 5
iz z i
⋅⇒ = ⇒ = ⋅
Modul iznosi:
0 22 2 22
0 02
5
22
5 55
z x y
x
z i z i zy
=
= ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ = + ⇒==
+
22 2
.5 5
z z⇒ = ⇒ =
11
2.inačica
Preoblikujemo kompleksan broj.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
i i i i i iz z z z
i i i i i i i i
+ − − + − −+ + += − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
− + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +
( ) ( )2
.2 2
iz
i i
⋅⇒ =
− ⋅ +
Modul iznosi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2
2 2 2 2 2 2
ii iz z z
i i i i i i
⋅⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +
( )
22 2 2
22 2 22 2 4 1 4 12 1 2 1
iz z z
i i
⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
− ⋅ + + ⋅ ++ − ⋅ +
( )
2 2 2.
2 55 55
z z z⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅
Vježba 190
Nađi modul kompleksnog broja 1 1
.2 2
zi i
= − −− + +
Rezultat: 2
.5
z =
Zadatak 191 (Petra, gimnazija)
Prikažite u trigonometrijskom obliku ( )sin 1 cos .z iα α= + ⋅ −
Rješenje 191
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Svaki se kompleksan broj z x y i= + ⋅
može prikazati u trigonometrijskom obliku
( )co sin ,sz r iϕ ϕ= ⋅ + ⋅
pri čemu je r modul kompleksnog broja
2 2,z r x y= = +
a kut φ argument kompleksnog broja za kojeg vrijedi
1i .0 2,li
y yarctg tg
x xϕ ϕ ϕ π
−= = ≤ < ⋅
Oznaka je
12
g .ar zϕ =
( )2 2 2 2 2 2
2 cos sin 1, , 1 cos 2 .sin2
a b a a b bα
α α α− = − ⋅ ⋅ + + = − = ⋅
( )2, 0 sin 2 2 sin c s, o, .a b a b a a a α α α⋅ = ⋅ = ≥ ⋅ = ⋅ ⋅
sin1
co, , , .
s
n m n ma a a a a tg tg tg
αα α β α β
α
+= ⋅ = = = ⇒ =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Računamo apsolutnu vrijednost zadanog kompleksnog broja.
( )sin
sin 1 cos1
2 2
cosz x
xz yi
y
αα α
α
== += + ⋅ − ⇒ ⇒ ⇒
= −
( )22 2 2
sin 1 cos sin 1 2 cos cosz zα α α α α⇒ = + − ⇒ = + − ⋅ + ⇒
2 2sin cos 1 2 cos 1 1 2 cos 2 2 cosz z zα α α α α⇒ = + + − ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒
( ) 22 22 1 cos 2 2 sin 2 sin
2 2z z z
α αα⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
2 22 sin 2 sin .
2 2z z
α α⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
Računamo argument φ.
22 sin1 cos 2
sin2 sin cos
2
o
i
2
1 c s
s n
ytg tg tg
x
y
x
αα
ϕ ϕ ϕα αα
α
α
⋅ −= ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ ⋅
= −
=
sin sin2 2 .
2 2cos cos
22
2 sin22 2
tg tg tg tg
α αα α
ϕ ϕ ϕα
ϕα α
⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
⋅ ⋅
Trigonometrijski oblik glasi:
( )2 sin
22 sin cos sin .
2 2 2o si
2
c s nz
z
z iz iϕ ϕ
α
α α α
αϕ
= ⋅
⇒ ⇒ = ⋅ ⋅
=
= ⋅⋅ + ⋅ +
Vježba 191
Prikažite u trigonometrijskom obliku ( )sin cos 1 .z iα α= − ⋅ −
Rezultat: 2 sin cos sin .2 2 2
z iα α α
= ⋅ ⋅ + ⋅
13
Zadatak 192 (Dubravko, gimnazija)
Izračunati:
21 1
, 1.1 1
a a aa i i i a
a a a a
−+ ⋅ + − ⋅ − − + >
− −
Rješenje 192
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ), ,1
, .
n n ma a n a c a d b cn n ma a nn
b b d b db
⋅ + ⋅⋅= = = + =
⋅
, , .aa c a d b c a
a b a bb d b d b b
⋅ − ⋅− = = ⋅ = ⋅
⋅
02., 0 0 , 0,a a a a
a= ≥ = ≠
2 21 1 1 1
11 1 1 1
a a a a a aa i i i a i i i
a a a a a a a a
− −+ ⋅ + − ⋅ − − + = + ⋅ + − ⋅ − − + ⋅ =
− − − −
222 2 21 12 2
11 1
a a aa
a a a a
−= + + + − − − + =
− −
( )
( )
( )( )
222 2
1 121
2 2 2 21 1
aa aa
a a a a
−= + + + − + =
− −
( )
( ) ( )
22 2 41 1 1
2 2 2 21 11 1
aa a a
a a a a
−= + + + − + =
− −
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 24 4 41 1 1
2 2 221 1
a a a a a a
a a a a
+ − − + + −= + − =
⋅ − −
14
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 24 4 41 1 1
2 2 221 1
a a a a a a
a a a a
+ − + − + −= + − =
⋅ − −
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 24 4 41 1 1
2 2 221 1
a a a a a a
a a a a
+ − + − + −= + − =
⋅ − −
( ) ( )
( )
( )2 2 24 4 4
1 1 1
22 11
a a a a a a
a aa a
+ − + − + −= + − =
−⋅ −
( ) ( )( )
( )2 2 24 4 4
1 1 1
1 1
a a a a a a
a a a a
+ − + − + −= + − =
⋅ − −
( ) ( )( )
( )2 2 24 4 4
1 1
1 1
1
a a
a a a a a a
a a= + − =
⋅
+ − + + −
−
−
−
( )( )
( )( )
1 1 1 1 12 24 41 1
1 1 1
a aa a a a
a a a a a a
− + −= + − ⋅ + − = + − ⋅ =
⋅ − − ⋅ −
( )( )
( )( )
( )02 2 24 4 4
1 1 1 01
01
.1 1
a a a a a aa a a a
a a= + − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ =
⋅ − −
−
⋅
− +
Vježba 192
Izračunati:
21 1
, 1.1 1
a a aa i i i a
a a a a
−+ ⋅ + + ⋅ − + >
− −
Rezultat: 0.
Zadatak 193 (Ana, medicinska škola)
Zadan je kompleksan broj ( )2
, gdje je .a
z a i a Ri
= + + ∈ Zapišite ga u standardnom obliku
( ), , .z x y i x y R= + ⋅ ∈
Rješenje 193
Ponovimo!
( )1 12 2 2 2
2 1, , , .a
a b a a b b i i ai b b
+ = + ⋅ ⋅ + = − = − = ⋅
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
( ) ( )12 2 2 2
2 2 1a
z a i z a a i i a z a a i a ii i
= + + ⇒ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⇒
15
2 22 1 1 .z a a i a i z a a i⇒ = + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⇒ = − + ⋅
Vježba 193
Zadan je kompleksan broj ( )2
, gdje je .a
z a i a Ri
= + − ∈ Zapišite ga u standardnom obliku
( ), , .z x y i x y R= + ⋅ ∈
Rezultat: 2
1 3 .z a a i= − + ⋅ ⋅
Zadatak 194 (Ana, medicinska škola)
Odredite apsolutnu vrijednost broja 2 2
2 cos 2 sin .7 7
z iπ π⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
Rješenje 194
Ponovimo!
( ) 2 2cos sin 1, .
n n na b a b x x⋅ = ⋅ + =
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
22 cos
72 2
22 cos 2 sin2 si7 7
2
n7
2z x y i x
z iy
z x y
π
π ππ
⋅= + ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅⋅= ⋅
=+ ⋅ ⋅
=
+
⋅
2 22 2 2 22 22 2
2 cos 2 sin 2 cos 2 sin7 7 7 7
z zπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒
2 2 2 22 2 2 24 cos 4 sin 4 cos sin
7 7 7 7z z
π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒
4 1 4 2.z z z⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
Vježba 194
Odredite apsolutnu vrijednost broja 2 2
3 cos 3 sin .7 7
z iπ π⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
Rezultat: 3.
16
Zadatak 195 (Darko, gimnazija)
Koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede jednakosti 2, 4 1?z i z i− = − ⋅ =
. 0 . 1 . 2 . 4A B C D
Rješenje 195
Ponovimo!
( ) ( )2 2 2 2
2 0, 0, .n
a a a b a a b b a a= − = − ⋅ ⋅ + = ⇒ =
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka je zadan kompleksan broj .z x y i= + ⋅
Tada vrijedi:
[ ]( )
( )
1 22 2
4 1 4 1 4 1z x y
x y iz i x y i i
z i x y i i x y ii
+ − ⋅ =− = + ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− ⋅ = + ⋅= +
− ⋅ = + ⋅ =⋅
−
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
222 2
2 2 1 22 21 2 1 2
22 22 2 22 24 1
/
2/4 1
4 1
x yx y x y
x y x yx y
+ − =+ − = + − =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ − = + − =+ − =
( )
( )
22 2 2 2 21 4 2 1 4 2 4 1
2 2 2 2 228 16 1 8 1 164 1
x y x y y x y y
x y y x y yx y
+ − = + − ⋅ + = + − ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ − ⋅ + = + − ⋅ = −+ − =
( )
metoda suprotnih
koeficijenat
2 22 22 32 3
2 22 28 18 /5 11 a5
x y yx y y
x y yx y y
+ − ⋅ =+ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ − ⋅ = −+ − ⋅ −⋅ = −
2 22 3
6 18 6 18 3.2 2
8 15
/ : 6x y y
y y y
x y y
+ − ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
− − + ⋅ =
Računamo x.
2 22 2 2 22 3
3 2 3 3 9 6 3 3 33
x y yx x x
y
+ − ⋅ =⇒ + − ⋅ = ⇒ + − = ⇒ + = ⇒
=
17
2 20 .3 03x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =+
Kompleksan broj je
0 , 30 3 3 .
x yz i z i
z x y i
= =⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅
= + ⋅
Dakle, postoji jedan kompleksan broj.
Odgovor je pod B.
Vježba 195
Koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede jednakosti 1, 3 1?z i z i− = − ⋅ =
. 0 . 1 . 2 . 4A B C D
Rezultat: B.
Zadatak 196 (4A, 4B, TUPŠ)
Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni
dijelovi različiti od 0.
Rješenje 196
Ponovimo!
( ) ,2
, , .a b a b a c a c a b a b
a an n n b d b d n n n
+ ⋅ −= + = ⋅ = = −
⋅
1 21, , .
n m n ma a a a a i
+= ⋅ = = −
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:
( ) ( ) .2 2
x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
1.inačica
Broj 5 možemo prikazati kao umnožak odgovarajućeg kompleksnog broja i pripadnog mu konjugirano
kompleksnog. Primjeri:
18
• ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 5i i+ ⋅ ⋅ − ⋅ = + = + =
• ( ) ( ) 2 22 2 2 1 4 1 5i i+ ⋅ − = + = + =
•
2 27 3 7 3 7 3 7 3 7 3 10
52 2 2 2 2
10
22 2 2 2 2i i
++ ⋅ ⋅ − ⋅ = + = + = = = =
itd.
2.inačica
Na početku možemo uzeti bilo koji kompleksan broj koji zadovoljava uvjete zadatka. Na primjer,
1 .z i= −
Sada moramo odrediti kompleksan broj w x y i= + ⋅
tako da vrijedi:
( ) ( )5 1 5.z w i x y i⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ =
Izračunat ćemo x i y na dva načina.
1. način rada
( ) ( ) ( ) ( )1
/1
51 5 1 5
1i x y i i x y i x y i
ii− ⋅ + ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ =
− −⋅ ⇒
( )( ) ( )
5 15 1 5 5
2 21 1 1 1 1 1
ii ix y i x y i x y i
i i i i
⋅ ++ + ⋅⇒ + ⋅ = ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒
− + − ⋅ + +
5 5 5 5 5 5 5 5.
1 1 2 2 2 2 2
i ix y i x y i x y i i w i
+ ⋅ + ⋅⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = + ⋅ ⇒ = + ⋅
+
Dakle, dva kompleksa broja
5 51 ,
2 2z i w i= − = + ⋅
pomnoženi daju umnožak 5.
2. način rada
( ) ( ) ( )21 5 5 1 5i x y i x y i x i y i x y i x i y− ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 0x y i x i y x y x y i x y x y i i⇒ + ⋅ − ⋅ + = ⇒ + + − + ⋅ = ⇒ + + − + ⋅ = + ⋅ ⇒
52 5
0
jednakost metoda suprotnih
kompleksnih brojeva koeficijenata
x yy
x y
+ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒
− + =
/ : 25
2 5 .2
y y⇒ ⋅ = ⇒ =
Računamo x.
( )/ 1
05 5 5 5
0 .52 2 2 2
2
x y
x x x xy
− + =
⇒ − + = ⇒ ⋅ −− = − ⇒ − = − ⇒ ==
Dakle, kompleksan broj w glasi:
5 5.
2 2w i= + ⋅
Vježba 196
Napišite 7 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni
dijelovi različiti od 0.
19
Rezultat: 5 2 , 5 2
.7 71 ,
2 2
z i w i
z i w i
= + ⋅ = − ⋅
= + = − ⋅
Zadatak 197 (Lana, gimnazija)
Odredite realan broj b ako je ( ) ( )4 2 1 10 .i b i i− ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅
Rješenje 197
Ponovimo!
.2
1i = −
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( ) 24 2 1 10 4 4 2 2 10i b i i b i i b i i− ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅ ⇒ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒
( )4 4 2 2 1 10 4 4 2 2 10b i i b i b i i b i⇒ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⇒ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 10 4 2 4 2 0 10b b i i i b b i i⇒ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒
4 2 0 2 4 2 4 2 4 22.
4 2 10 4 10 2 4
/ : 2
/8 :4 48 2
b b b b bb
b b b b b
− + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
⋅ + = ⋅ = − ⋅ = ⋅ = =
Vježba 197
Odredite realan broj b ako je ( ) ( )4 2 1 10 .i b i i− + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅
Rezultat: b = 2.
Zadatak 198 (Tea, gimnazija)
Koliki je argument φ u trigonometrijskome zapisu kompleksnog broja
cos sin ?3 3
z i iπ π
= ⋅ + ⋅
Rješenje 198
Ponovimo!
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
20
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Svaki se kompleksan broj z x y i= + ⋅
može prikazati u trigonometrijskom obliku
( )co sin ,sz r iϕ ϕ= ⋅ + ⋅
pri čemu je r modul kompleksnog broja
2 2,z r x y= = +
a kut φ argument kompleksnog broja za kojeg vrijedi
1i .0 2,li
y yarctg tg
x xϕ ϕ ϕ π
−= = ≤ < ⋅
Oznaka je g .ar zϕ =
Kompleksne brojeve predočujemo u koordinatnoj ravnini koju zovemo kompleksna ili Gaussova
ravnina.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama.
2 2 2 2 2 2 2 2 2, , .c a b a c b b c a= + = − = −
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut.
311 21 cos s, , , , in
3 2 3 2.
n m n ma a a a a i
π π+= ⋅ = = − = =
( )2 3
, , , , .6 2
a
a d a c a d b c a c a cb a a tgc b c b d b d b d b d
d
π⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= + = ⋅ = = =
⋅ ⋅ ⋅
, .1
n a c a d b cn
b d b d
⋅ − ⋅= − =
⋅
Preoblikujemo kompleksan broj tako da ga zapišemo u standardnom obliku.
21
1cos
3 2
3sin
3
31cos sin
3
2
3 2 2z i i z i i
π
π
π
π= ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒
=
=
( )3 3 3 31 1 1 12
12 2 2 2 2 2 2 2
z i i z i z i z i⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒ = − + ⋅ ⇒
3Re
2 .1
Im2
z
z
= −
⇒
=
Kompleksan broj z nalazi se u drugom kvadrantu kompleksne ravnine.
Re
Im
z ϕϕϕϕ
ππππ
ααααC
y
x
αααα
ππππ
ϕϕϕϕz
Im
Re
Sa slika vidi se:
racionalizacija2
nazivnika
2
1 1
12
3 3 3
2
ytg tg tg tg
xα α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒
( )
3 3 3 31 1.
2 3 3 63 33
tg tg tg tgπ
α α α α α−
⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Argument φ iznosi:
6 5.
6 1 6 6 6
π π π π π πϕ π α ϕ π ϕ ϕ ϕ
⋅ − ⋅= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
Vježba 198
Koliki je argument φ u trigonometrijskome zapisu kompleksnog broja
sin cos ?3 3
z i iπ π
= ⋅ ⋅ +
Rezultat: 5
.6
πϕ
⋅=
22
Zadatak 199 (Patrik, srednja škola)
Jednakost ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1a i i i b i+ ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ ispunjena je ako je:
. 3 . 1 . 4 . 2A a b B a b C a b D a b+ = + = − + = − + =
Rješenje 199
Ponovimo!
1 21, , .
n m n ma a a a a i
+= ⋅ = = −
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 2 1 1 1 2 2 1a i i i b i i a i a i b i i b i+ ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ⇒
2 21 1
2 22 2 2 2i a i a i b i i b i i a i a i b i i b i⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ⇒
( ) ( )2 2 1 1 2 2i a i a b i i b i a i a b i i b⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − = − ⋅ + − ⋅ − ⇒ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + + ⇒
( ) ( )jednakost kompleksnih
brojeva
22 2 1
2 1
a ba a i b b i
a b
⋅ =⇒ ⋅ + − + ⋅ = + − + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒
− + = − +
metoda suprotnih
koeficijenata
2 0 2 03 3
1 2 3
a b a ba
a b a b
⋅ − = ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒
+ = + + =
/ : 33 3 1.a a⇒ ⋅ = ⇒ =
Računamo b.
31 3 3 1 2.
1
a bb b b
a
+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =
=
Vidi se:
1 2 3.a b a b+ = + ⇒ + =
Odgovor je pod A.
Vježba 199 Jednakost ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1i a i b i i− + ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ ⋅ + ispunjena je ako je:
. 3 . 1 . 4 . 2A a b B a b C a b D a b+ = + = − + = − + =
Rezultat: A.
23
Zadatak 200 (Lara, gimnazija)
( )5
Iz 1 slijedi :i a b i− = + ⋅
. 1 . 0 . 1 . 0A a b B a b C a b D a b− = + = + = − − =
Rješenje 200
Ponovimo!
( ), ,1 2
1, .mn m n m n n m
a a a a a a a i+ ⋅
= ⋅ = = = −
( ) ( )2 .2 2
,2 n n n
a b a a b b a b a b− = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi.
Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im međusobno jednaki realni dijelovi i
međusobno jednaki imaginarni dijelovi, tj.
. ,a b i c d i a c b d+ ⋅ = + ⋅ ⇔ = =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
5 4 1 21 1 1 1 1i a b i i i a b i i i a b i− = + ⋅ ⇒ − ⋅ − = + ⋅ ⇒ − ⋅ − = + ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 22
1 2 1 1 2 1 1i i i a b i i i a b i⇒ − ⋅ + ⋅ − = + ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ − = + ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2
2 1 2 1 4 1i i a b i i i a b i i i a b i⇒ − ⋅ ⋅ − = + ⋅ ⇒ − ⋅ ⋅ − = + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − = + ⋅− ⇒
( ) ( ) ( )4 1 1 4 1 4 4i a b i i a b i i a b i⇒ ⋅ − ⋅ − = + ⋅ ⇒ − ⋅ − = + ⋅ ⇒ − + ⋅ = + ⋅ ⇒
jednakost kompleksnih
br
4 4.
4 4ojeva
a a
b b
− = = −⇒ ⇒ ⇒
= =
Tada je
.44 044a b a b a b+ = − + ⇒ + = ⇒ + =− +
Odgovor je pod B.
Vježba 200
( )5
Iz 1 0 slijedi :i a b i− − − ⋅ =
. 1 . 0 . 1 . 0A a b B a b C a b D a b− = + = + = − − =
Rezultat: B.