GFMT–Gruppo di Formazione Matematica della Toscana con CAFRE dell’Università di Pisa e Rete Sophia
SCUOLA ESTIVA di DIDATTICA della MATEMATICA
PROCESSI COGNITIVI DI NATURALOGICO-MATEMATICA E LINGUISTICA
NEI TEST INVALSI PER LA MATEMATICA
Franco Favilli [email protected]
25-26 Luglio 2017 – Mazara del Vallo
I.I.S. “Ruggiero D’Altavilla” – Piazzale S. Pertini
dalle Indicazioni Nazionali 2012
• Le stesse fondamenta delle discipline sono
caratterizzate da un’intrinseca complessità e da
vaste aree di connessione che rendono
improponibili rigide separazioni. [..]
• Lo studente al termine del primo ciclo…dimostra
una padronanza della lingua italiana tale da
consentirgli di comprendere enunciati e testi di
una certa complessità, di esprimere le proprie
idee, di adottare un registro linguistico
appropriato alle diverse situazioni.
dalle Indicazioni Nazionali 2012
• Un ruolo strategico essenziale svolge
l’acquisizione di efficaci competenze
comunicative nella lingua italiana che non è
responsabilità del solo insegnante di italiano ma
è compito condiviso da tutti gli insegnanti,
ciascuno per la propria area o disciplina, al fine
di curare in ogni campo una precisa espressione
scritta ed orale.
dalle Indicazioni Nazionali 2012
• ItalianoLo sviluppo di competenze linguistiche ampie e
sicure è una condizione indispensabile per la crescita della persona e per l’esercizio pieno della cittadinanza, per l’accesso critico a tutti gli ambiti culturali e per il raggiungimento del successo scolastico in ogni settore di studio. Per realizzare queste finalità estese e trasversali,è necessario che l’apprendimento della lingua sia oggetto di specifiche attenzioni da parte di tutti i docenti, che in questa prospettiva coordineranno le loro attività. …
Aree di competenza linguistica per il docente
• Contesto e Cultura: L’insegnamento ha sempre luogo in un contesto sociale e culturale … [ruolo della scuola e dell’istruzione: atteggiamenti, immagini, valori] – [lingua: dialetti – lingue minoritarie – lingue di tutto il mondo – italiano parlato e scritto con livelli diversi di padronanza e con varianti regionali]
• Bisogni degli allievi: Per il docente è importante prestare attenzione alle esperienze degli alunni, ai livelli linguistici, alle necessità nell’apprendimento della disciplina …
Aree di competenza linguistica per il docente
• Progettazione: La progettazione delle unità didattiche
deve muovere da minori a maggiori esigenze,
integrando obiettivi disciplinari e di lingua …
• Competenze disciplinari: L’insegnamento di
contenuti disciplinari implica l’utilizzo consapevole di
tipi di testo e modelli linguistici tipici e valorizzati nelle
differenti materie …
• Interazione: Al docente è richiesto di mediare fra la
lingua ed il contenuto disciplinare tramite l’utilizzo
della conversazione nell’aula (tipi di domande fatte, far
elaborare gli allievi, ampliare i tipi di interazione) …
Aree di competenza linguistica per il docente
• Collaborazione e Riflessione: Le scelte pedagogiche e la preparazione dei materiali è necessario che riflettano un’attività di collaborazione non solo fra insegnanti della stessa materia, ma anche con insegnanti di altre materie, lingua italiana compresa…
• Insegnamento ed apprendimento multimodale: L’insegnamento disciplinare coinvolge non solo la lingua ma altri modi di comunicare significati (disegni, tabelle, grafici, simboli, uso di strumenti e del corpo …) …
• Valutazione: La valutazione solleva questioni importanti riguardo alla relazione fra conoscenze disciplinari ed abilità linguistiche ...
dalle Indicazioni Nazionali 2012
• MatematicaLe conoscenze matematiche contribuiscono alla
formazione culturale delle persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in stretto rapporto il "pensare" e il "fare" e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.
analisi di OCSE-PISA / TIMSS / INVALSI
Scarsa capacità di comprendere pienamente il testo dei quesiti …
più che scarsa conoscenza degli elementi concettuali e operazionali della matematica per essi necessari.
Il linguaggio nell’aula di matematica
Consolidata attitudine e tendenza dell’insegnante di matematica a ricorrere all’uso, nella sua pratica di aula, di un linguaggio caratterizzato non solo e non tanto dalla presenza di un lessico specifico, ma anche e soprattutto da una sintassi e una struttura delle frasi che, pur espresse per il tramite della lingua naturale, non hanno un corrispettivo nel linguaggio comune.
La comunicazione matematica - 1
La comunicazione matematica tende a fare
ricorso anche ad altre forme espressive
(quali possono essere i simboli, le figure, i
grafici, i gesti) che rappresentano la
mediazione semiotica di un concetto o di
una situazione matematica, ma anche lo
strumento di sintesi per la loro
rappresentazione o descrizione.
Il discorso matematico
In un’aula di matematica il discorso è condotto
alternando tre tipologie di linguaggio:
• linguaggio ordinario e tecnico-informale,
caratterizzato da un discorso diretto e dialogico;
• linguaggio tecnico-semiformale, caratterizzato da
descrizioni ed accompagnato da rappresentazioni
grafiche, con frammenti di sintassi argomentativa,
con episodi del processo sequenziale “tema �
esposizione � domanda � risposta”;
Il discorso matematico
• linguaggio formale, con un grande utilizzo di
simboli: caratterizzato da un linguaggio
argomentativo nella forma ipotetico-deduttiva, da
participi passati con funzioni di costruzioni
subordinate implicite polivalenti (ipotetiche,
temporali, causali, concessive, condizionali…);
usato per formulare definizioni, per sintetizzare, per
astrarre e generalizzare.
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
Il codice simbolico (Laborde, 1985)
Nel linguaggio matematico la funzione dei simboli, al di là di una valenza puramente stenografica, rappresenta la volontà di rendere universale tale linguaggio (e, tramite esso, i contenuti stessi della matematica), di renderlo interpretabile indipendentemente dalla lingua naturale del lettore. Il ricorso a un codice simbolico, ivi compreso quello matematico, risponde a tre esigenze fondamentali:
• precisione,
• concisione,
• universalità.
Il codice simbolico viene utilizzato, con opportune regole di natura logica, tramite la combinazione di opportuni simboli e segni e ha due funzioni specifiche:
• funzione di designazione,
• funzione di localizzazione.
Il codice simbolico
L’eccessivo utilizzo di un linguaggio di tipo simbolico può però portare alla perdita di controllo delle proprietà e delle caratteristiche degli enti, dei concetti o delle procedure logiche che da tali simboli sono rappresentati.
Il lavoro di traduzione ed interpretazione dei simboli deve essere quindi costante, ancorché a volte difficile e faticoso…
Codice simbolico e linguaggio formale
Sia x con zero un punto di accumulazione per il
dominio di una funzione reale di variabile reale f; il
limite per x tendente a x con zero di f(x) è uguale a
l se e solo se (per definizione) per ogni ε maggiore
di zero esiste (almeno) un δ maggiore di 0 tale che
se il valore assoluto di x meno x con zero è minore
di δ e x è diverso da x con zero, allora il valore
assoluto di f di x meno l è minore di ε.
La comunicazione matematica - 2
• La comunicazione matematica presenta delle
difficoltà anche per la presenza, nel suo lessico,
di termini il cui significato non coincide, quando
non è addirittura in conflitto, con quello che a tali
termini viene attribuito nella lingua naturale:
angolo, similitudine, frazione, rapporto, ipotesi…
• Nell’uso stesso del linguaggio matematico vi può
essere diversa attribuzione di significato per
alcuni termini: altezza (ad esempio, di un
triangolo), uguale…
dalle Indicazioni Nazionali 2012
Per quanto riguarda la matematica fra le competenze al termine della scuola primaria vengono indicate le seguenti, che esplicitamente richiamano la necessità di una adeguata formazione e competenza anche in ambito linguistico :
• Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.
• Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.
• Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.
Lingua naturale e linguaggi della matematica
La saldatura tra l’aspetto logico-comunicativo della lingua naturale e i linguaggi della matematica (testuale, grafico, simbolico, gestuale) può essere uno strumento di crescita delle capacità di comprensione di un testo di matematica.
Occorre allora, in particolare:
• indagare sui processi cognitivi logico-testuali e semantici della lingua naturale e del discorso matematico, ad esempio controllando la gerarchia delle informazioni e comprendendo i legami logico-semantici di opposizione, di conseguenza, di generalizzazione, di esemplificazione, di localizzazione, di analisi;
• un modello di analisi del testo di matematica che evidenzi la correlazione tra la logica della lingua e la logica matematica, e la connessione tra l’insieme delle procedure e delle operazioni cognitive della lingua e le procedure e operazioni cognitive della matematica.
Rigidità dei(l) linguaggi(o) matematici(o)
• La traduzione da una ‘forma di concettualizzazione’ a un’altra, cioè da un linguaggio scientifico a un altro o da uno dei due al parlare comune e viceversa, appare collegabile al grado di riducibilità interna di ciascun campo concettuale.
• Quanto più un campo del sapere è fondato su assiomi (è assiomatizzato), è fatto di teoremi fondati su tali assiomi (è teoricamente coerente), consente di prevedere per vie analitiche, di calcolo, se sono vere o false certe asserzioni circa le materie di cui il campo si occupa, tanto più quel campo è internamente riducibile. E quanto maggiore è la sua riducibilità interna, la sua hardness, tanto più difficile è rendere le sue frasi in un campo di sapere meno riducibile. (De Mauro)
Troisi_Problema-di-matematica.mp4
Problema: un contadino si reca al mercato per vendere tre
sacchi di farina da chilogrammi settantadue e sei dozzine di
uova. Durante l'operazione di scarico, uno dei sacchi cadendo
sulle uova ne rompe la metà. Se la farina costa lire quindici al
chilogrammo, e le uova lire cinque l'una, e di tutta la merce ne
è stata venduta la metà, quanti soldi ha portato a casa il
contadino, tenendo conto che dalla tasca bucata ha perduto
lire trentacinque? Mannaggia 'a miseria! Ma 'sti contadini so'
cose 'e pazzi. Pure quando andavo io a scuola i contadini nun
se so' mai truvati cu 'e conti, mai. Sono passati tanti anni, e
ancora s'hanna 'mparà. Cioè, sacco di farina da una parte e
uova dall'altra, no, niente tengono le uova sotto 'o sacco da'
farina, 'na fissazione d' 'o contadino. Carica 'o sacco d' 'a
farina, che poi la le strade so tutte….Cade 'o sacco d' 'a farina
'ncoppa alle uova, e ne rompe la metà.
…Troisi!
Secondo me è colpa loro se l'agricoltura va sotto e 'ncoppa, ca
nisciuno cchiù vò faticà 'a terra pecché nun se trovano cu' 'e
conti, giustamente. Poi vanno a casa, è logico no…<<.Quanto
he' guadagnato?>> La moglie 'a sera.<< Non lo so.>> Se
scoraggiano proprio le mogli, no? Cioè le mogli hanno spinto i
contadini a lasciare…giustamente. Pecché quando dicono:
<<Nun 'o 's saccio, tenevo…, ho perso i soldi, l'ova ', a
farina>>…'a mugliera sa' che dice? Ma va'… a fà l'operaio
almeno 'a fernisce 'e schiattà ll'ova, 'e sord 'e danno int' a na
busta 'e e puort 'a casa. Così i problemi saranno sempre sui
contadini se loro continuano a….Quanto ha guadagnato un
contadino sarà sempre nu problema. Mah!…quante uova se
so' rotte sotto 'o sacco 'e farina? 'A tasca, 'o buco come era
grande….!? Boh!"
Perché gli allievi danno risposte errate?
Esame del percorso fatto dagli allievi di fronte ad un problema
carta-e-penna (Newmann, 1977): vera e propria procedura che
passa attraverso (nell’ordine)
•lettura (o decodifica) del problema;
•comprensione di ciò che è stato letto;
•trasformazione (o matematizzazione): passaggio dalle parole
del problema alla scelta di una strategia matematica
appropriata;
•abilità nel processo, da applicare in quanto richieste dalla
strategia scelta;
•codifica della risposta in una forma scritta accettabile, per
l’insegnante.
Perché gli allievi danno risposte errate?
La stragrande maggioranza degli errori fatti dagli
allievi avvengono al secondo e terzo livello:
comprensione e matematizzazione del problema.
•l’insegnante deve porre la maggiore attenzione
possibile nella proposizione (scrittura) del
problema;
•l’allievo deve esercitarsi (o deve essere abituato)
a trasferire i messaggi verbali in messaggi
concettuali, da associarsi a conoscenze e concetti
di natura strettamente matematica.
Problem posing vs Problem solving
• In re mathematica ars proponendi quaestionem
pluris facienda est quam solvendi (Georg
Cantor, 1867)
• La formulazione di un problema è spesso più
essenziale della sua soluzione, che può essere
semplicemente una questione di abilità
matematiche o sperimentali. Il porre nuove
questioni, l’aggiungere nuove possibilità, il
vedere vecchie questioni da una nuova
angolazione, richiedono immaginazione creativa
e segnano il reale avanzamento nella scienza
(Einstein & Infeld, 1938)
La comunicazione matematica
• Non solo lingua, ma anche altre forme
espressive (simboli, figure, grafici, gesti…).
• Mediazione semiotica di un concetto o di una
situazione matematica.
• Strumento di sintesi per la loro rappresentazione
o descrizione.
• Linguaggio matematico funzionale ed elegante.
• Riflessione sull’efficacia didattica dell’uso di
questo linguaggio disciplinare, specie se fatto in
modo eccessivamente precoce e/o quasi
esclusivo nell’aula di matematica.
Linguaggio matematico
• Con le sue peculiarità lessicali e strutturali, è di grande utilità per l’insegnante che, ben consapevole dei significati e dei processi logici insiti nel suo parlare, trova nell’uso di tale linguaggio sicurezza e facilità espressiva, spesso superiori a quelle che ritiene di poter trovare ricorrendo, invece, ad un linguaggio più vicino a quello comune.
• Per l’insegnante di matematica, parlare difficile è facile, parlare facile è difficile!
Esempi
• Dati un punto ed una retta, esiste una ed una solaretta passante per il punto e parallela alla retta.
• Una funzione si dice surgettiva se ogni elemento del suo codominio è immagine di almeno un elemento del suo dominio.
• Nella moltiplicazione, cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.
• Se un triangolo è rettangolo allora la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.
• In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa.
Discorso finalizzato
Discorso finalizzato a trasmettere un messaggio:
canoni non formali, attento a rendere efficace la
comunicazione.
Discorso finalizzato a raggiungere e soddisfare
l’ascoltatore:
percorsi e costrutti standardizzati, canonici, rigorosi
spesso usato dagli insegnanti di matematica
spesso gradito ed utilizzato dagli allievi (contratto
didattico, copertura della inconsistenza del messaggio
che vogliono trasmettere).
La lingua della matematica
Il teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati
costruiti sui cateti è uguale al quadrato
costruito sull’ipotenusa.
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati
costruiti sui cateti è equivalente al quadrato
costruito sull’ipotenusa.
In ogni triangolo rettangolo la somma dei
quadrati dei cateti è equivalente al quadrato
dell’ipotenusa.
Lingua naturale vs linguaggio matematico
• Angolo
• Simile
• Frazione
• Rapporto
• Ipotesi
• Altezza
• …
Una proposta…Lettura congiunta, tra docenti di italiano e di
matematica, delle prove INVALSI di italiano e di
matematica al fine di assegnare agli obiettivi cognitivi
trasversali, sottesi alle competenze testate nelle
prove, lo stesso valore degli obiettivi generali e
disciplinari.
La riflessione sulla trasversalità degli obiettivi cognitivi
consente ai docenti di comprendere la logica, non più
sequenziale ma ramificata, degli apprendimenti degli
allievi in modo da fornire agli stessi gli strumenti
culturali e di metodo per porsi con «atteggiamento
razionale, creativo, progettuale e critico di fronte alle
situazioni, ai fenomeni, ai problemi…” (I.N. 2012)
Una proposta…
I processi cognitivi sono unificati in un’operazione
mentale prevalente e, successivamente, sono
riuniti in un’unica macro-area di riferimento.
Le macro-aree rappresentano cinque
macroprocessi e precisamente: focalizzare,
collegare, interpretare, utilizzare, formulare, che
riassumono le singole operazioni mentali che sono
in gran parte comuni all’italiano e alla matematica.
Una proposta!
L’analisi delle prove consente di porre in evidenza
per ciascun studente la possibile messa in atto dei
processi cognitivi disciplinari e trasversali elaborati
nel rispondere correttamente alle domande.
Sulla base dei risultati dell’analisi effettuata e
soprattutto, al fine di condurre un’attenta analisi
dell’errore, è importante non limitarsi alla lettura
dei macroprocessi, ma riprendere i processi
cognitivi coinvolti nei quesiti e nelle risposte in cui
si è verificato un errore, al fine di progettare e
realizzare attività didattiche funzionali al recupero
delle carenze riscontrate e al potenziamento dei
processi trasversali individuati.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE