Sätze und Definitionen LinA
Kapitel 1 Grundlagen
Abschnitt 1.1 Aussagenlogik und Quantoren
Triviales Allerlei
Abschnitt 1.2 Mengenlehre
Triviales Allerlei
Abschnitt 1.3 Relationen und Funktionen
Definition 1.3.1 Geordnetes Paar
Satz 1.3.2 Gleichheit von Paaren
Definition 1.3.3 Kartesisches Produkt
Definition 1.3.4 Binäre Relation
Definition1.3.5 reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv
Definition 1.3.6 Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation
Definition 1.3.7 Partition
Satz 1.3.8 Äquivalenzklassen ~ Partitionen
Beispiel 1.3.9 Modulo
Definition 1.3.10 Funktion
Definition 1.3.11 Injetivität, Surjektivität, Bijektivität, Bild, Urbild
Definition 1.3.12 Verkettung
Satz 1.3.13 Assoziativität der Verkettung
Abschnitt 1.4 Gruppen, Ringe, Körper
Definition 1.4.1 binäre Verknüpfung
Definition 1.4.6 kommutativ, assoziativ
Definition 1.4.7 Halbgruppe
Definition 1.4.9 Gruppe
Bemerkung 1.4.10 Eindeutigkeit des Neutralelemnts und Inversen
Beispiel 1.4.11 Beispiele für Gruppen
Definition 1.4.12 Ring
Beispiel 1.4.13 Beispiele für Ringe
Definition 1.4.14 Körper
Beispiel 1.4.15 Beispiele für Körper
Abschnitt 1.4.1 Restklassenringe und endliche Körper von Primzahlordnung
Satz 1.4.17 Restklassenring ist ein Körper
Satz 1.4.18 Restklassenring ist Körper für m prim
Kapitel 2 Vektorräume
Abschnitt 1 Definitionen und erste Beispiele
Definition 2.1.1 Vektorraum
Bemerkung 2.1.2 Modul
Beispiel 2.1.3/4 einfache Beispiele
Abschnitt 2.2 Linearkombinationen
Definition 2.2.1 Linearkombination, Affinkombination, Konvexkombination
Definition 2.2.2 Konvexkombination
Definition 2.2.3 Lineare Unabhängigkeit
Lemma 2.2.4 Jede Permutation und Teilfamilie ist linear unabhängig
Beispiel 2.2.5/ lineare Abhängigkeit
Definition 2.2.6 Lineare Unabhängigkeit für unendliche Familien
Proposition 2.2.9 Lineare Abhängigkeit einer der Vektoren ist darstellbar
Abschnitt 2.3 Unterräume
Definition 2.3.1 Unterraum
Bemerkung 2.3.2 Jeder Unterraum enthält die Null, Notation
Beispiel 2.3.3
Proposition 2.3.4 Unterraumsumme und Schnitt sind Unterräume
Definition 2.3.5 Lineare Hülle
Proposition 2.3.6 Lineare Hülle ist kleinster Unterraum der eine Menge enthält
Proposition 2.3.7 Gestalt der Unterräume durch R²
Abschnitt 2.6 Basen und Erzeugendensysteme
Defintion 2.6.1 Erzeugendensystem, Basis
Beispiel 2.6.2-4
Definition 2.6.5 endlich erzeugt
Satz 2.6.6 Äquivalente Aussagen über Basen
Korollar 2.6.7 Basisauswahlsatz
Abschnitt 2.7 Lineare Gleichungssysteme
Definition 2.7.1 Homogenität, Inhomogenität
Bemerkung 2.7.2 Motivation
Beispiel 2.7.3/4
Abschnitt 2.8 Gauß-Jordan-Algorithmus
Definition 2.8.1 Rang eines linearen Gleichungssystems
Beispiel 2.8.2/3
Proposition 2.8.4 Basis des Lösungsraums
Beispiel 2.8.5
Abschnitt 2.9 Basisaustauschsatz
Lemma 2.9.1 Austauschlemma
Satz 2.9.2 Basisaustauschsatz
Korollar 2.9.3 Jede Basis von V ist endlich
Korollar 2.9.4 Jede Basis von V hat dieselbe Länge
Korollar 2.9.5 Basisergänzungssatz
Abschnitt 2.10 Dimensionsbegriff
Definition 2.10.1 Dimension
Beispiel 2.10.2
Proposition 2.10.3 Dimension eines echten Teilraums
Exkurs: Matroide
Kapitel 3 Lineare Abbildungen und Matrizen
Abschnitt 3.1 Definitionen und erstes Beispiel
Definition 3.1.1 Lineare Abbildung
Definition 3.1.2 Bild, Kern
Beispiel 3.1.3
Proposition 3.1.4 Injektivität ker=0
Abschnitt 3.2 Dimensionsformel und Rang
Satz 3.2.1 Dimensionformel
Satz 3.2.2 Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität
Definition 3.2.4 Rang
Abschnitt 3.3 Der Hauptsatz über lineare Abbildungen
Proposition 3.3.1 Vorbereitung für HS
Satz 3.3.2 Hauptsatz über lineare Abbildungen
Definition 3.3.3 K-Vektorraum-Isomorphismus
Korollar 3.3.4 jeder n-dimensionale K-VR ist isomorph zu K^n
Abschnitt 3.4 Matrizen
Definition 3.4.1 Matrix
Definition 3.4.3 darstellende Matrix
Abschnitt 3.5 Vektorräume von linearen Abbildungen
Definition 3.5.1 Homomorphismen, Endomorphismen
Propositionen 3.5.2 Raum der Homorphismen bilden UVR
Proposition 3.5.3 Linearität von Identität, Umkehrung und Verkettung
Proposition 3.5.4 Distributivität und Verträglichkeit der Verkettung mit Skalarmultiplikation
Satz 3.5.5 Endomorphismen bilden Ring, K-Algebra
Abschnitt 3.6 Die allgemeine lineare Gruppe
Definition 3.6.1 GLK(V)
Bemerkung 3.6.2 Allgemeine lineare Gruppe
Abschnitt 3.7 Vektorräume von Matrizen
Definition 3.7.1 Menge aller mxn Matrizen
Proposition 3.7.2 Matrizen bilden Vektorraum
Proposition 3.7.3 Matrixmultiplikation ist assoziativ
Proposition 3.7.6 Distributivität und Verträglichkeit der Matrixmultiplikation mit Skalarmultiplikation
Definition 3.7.7 GLnK
Proposition 3.7.8 Gruppe der invertierbaren Matrizen
Proposition 3.7.11 Invertierbarkeit von Diagonalmatrizen
Satz 3.7.12 Quadratische Matrizen bilden Ring mit Eins
Abschnitt 3.8 Lineare Abbildungen aus Matrizen
Bemerkung 3.8.1 Matrixschreibweise Ax = b
Lemma 3.8.2 Linearität von Matrizen
Lemma 3.8.3 Bild der Einheitsvektoren sind Spalten der Matrix, img = Spaltenraum
Definition 3.8.4 Rang der Matrix
Satz 3.8.6 Rang invariant ggü GJA
Satz 3.8.7 Kanonischer Isomorphismus
Korollar 3.8.9 Dimension des Homomorphismenraums
Satz 3.8.11 Veträglichkeit von Verkettung und Matrixmultiplikation
Abschnitt 3.9 Transponierte einer Matrix
Definition 3.9.1 Transponierte
Proposition 3.9.2 Transponierte einer Produktmatrix=Produkt der Transponierten
Korollar 3.9.3 Transponierte der Inversen gleich Inverse der Transponierten
Bemerkung 3.9.4 Zeilenrang
Korollar 3.9.5 Zeilenrang äquivalent zu Spaltenrang
Abschnitt 3.10 Matrizen aus linearen Abbildungen
Proposition 3.10.1 Darstellende Matrix mal Kappafunktion gleich Kappafunktion des Bildes
Satz 3.10.2 Kanonischer Isomorphismus von Abbildungen nach Matrizen
Proposition 3.10.4 Kommutatives Diagramm
Abschnitt 3.11 Basiswechsel
Proposition 3.11.2 darstellende Matrizen des Basiswechsels
Abschnitt 3.12 nochmals LGS
Proposition 3.12.1 Äquivalenz E-Lösung, b im Spaltenraum, rank b-invariant
Proposition 3.12.2 für jedes b lösbar, Surjektivität, voller rank
Proposition 3.12.3 eindeutig lösbar, für alle lösbar, voller rank, invertierbarkeit der Matrix
Kapitel 4 – Affine Geometrie
Kapitel 5 Determinanten
Abschnitt 5.1 Vorüberlegungen
Bemerkung 5.1.1 gewünschte Eigenschaften
Abschnitt 5.2 Multilinearformen
Definition 5.2.1 Multilinearformen, alternierend, normiert
Bemerkung 5.2.2 schwächere Definition für alternierend
Beispiel 5.2.3 zur obigen Bemerkung
Beispiel 5.2.4/5 einfache Determinantenformen
Satz 5.2.6 alternierende Multilinearformen werten linear abhängige Spalten zu 0 aus.
Satz 5.2.7 alternierende Multilinearformen mit f(en)=0 sind die Nullabbildung
Korollar 5.2.8 alternierende Linearformen, die auf En identisch sind, sind gleich
Abschnitt 5.3 Konstruktion der Determinantenform
Beispiel 5.3.1 Beispiel Laplace
Proposition 5.3.2 Laplace ist eine Determinantenform
Definition 5.3.3 Determinante
Abschnitt 5.4 Eigenschaften der Determinante
Proposition 5.4.1 Invariant gegenüber Transposition
Proposition 5.4.2 Multiplikativität der Determinante, Determinante der Inversen
Satz 5.4.3 Invertierbarkeit, det !=0, eindeutigkeit, unabhängigkeit, rank=n
Satz 5.4.4 Leibnizform
Abschnitt 5.5 Ähnlichkeit von Matrizen
Definition 5.5.1 Ähnlichkeit
Proposition 5.5.2 Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante
Abschnitt 5.6 Determinanten und der Gauß-Jordan‘sche Eliminationsalgorithmus
Proposition 5.6.1 Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
Satz 5.6.2 Berechnung der Determinante einer Matrix mit GJA
Abschnitt 5.7 Matrixinversion und Adjunkte
Proposition 5.7.1 Matrix mal Adjunkte = Einheitsmatrix * Determinante
Korollar 5.7.2 Berechnung der Inversen
Abschnitt 5.8 Determinanten aus dem Blickwinkel der Analysis
Proposition 5.8.1 Determinante ist diffbar
Proposition 5.8.2 Matrix auf Inverse ist diffbar
Abschnitt 5.9 Cramer’sche Regel
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume
Abschnitt 7.1 Bilinearformen
Definition 7.1.1 K-Bilinearformen, ausgeartet
Beispiel 7.1.2 Standardskalarprodukt
Abschnitt 7.2 Das euklidische Skalarprodukt
Definition 7.2.1 euklidisches Skalarprodukt
Proposition 7.2.2 Das euklidische Skalarprodukt ist bilinear, symmetrisch, positiv-definit
Definition 7.2.3 euklidische Norm
Abschnitt 7.3 Das hermitesche Skalarprodukt
Beispiel 7.3.1 Konjugation, Betrag komplexer Zahlen
Definition 7.3.2 das hermitesche Skalarprodukt
Proposition 7.3.3 hermitesches SKP ist semi-bilinear, hermitesch und positiv definit
Bemerkung 7.3.4 Sesquilinearformen
Abschnitt 7.4 Euklidische und unitäre Räume
Definition 7.4.1 euklidischer Raum
Definition 7.4.2 unitärer Raum
Beispiel 7.4.3 Teilräume von euklidischen Räume sind euklidische Räume
Definition 7.4.4 Norm über Skalarprodukt
Bemerkung 7.4.5 Norm ist homogen
Bemerkung 7.4.6 Polarisierungidentitäten
Abschnitt 7.5 geometrische Eigenschaften euklidischer und unitärer Räume
Satz 7.5.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Definition 7.5.2 Winkel
Bemerkung 7.5.3 Aus CSU folgt Wohldefiniertheit
Satz 7.5.4 Satz Phytagoras
Abschnitt 7.6 Metrische Räume
Definition 7.6.1 Metrik
Satz 7.6.2 Metrik durch Norm definiert
Proposition 7.6.3 Hausaufgabe, Norm und CSU mit linearer Abhängigkeit
Lemma 7.6.4 Mittelpunkt
Satz 7.6.5 Isometrie in euklidischem Raum ist linear
Abschnitt 7.7 Weitere Beispiele
7.7.1 Bilinearformen und Matrizen
Beispiel 7.7.1 Bilinearformen definieren Matrizen
Beispiel 7.7.2 Matrizen definieren Linearformen
7.7.2 Bilinearformen auf Funktionenräumen
Beispiel 7.7.3 Vektorraum C[0,1]
Proposition 7.7.4 C[0,1] mit 0S1 ist euklidischer Raum
Bemerkung 7.7.5 Es folgt CSU etc
Abschnitt 7.8 Orthonormalbasen
Definition 7.8.1 Orthogonalsystem, Orthonormalsystem, Orthonormalbasen
Lemma 7.8.2 Jedes Orthogonalsystem ist linear unabhängig
Beispiel 7.8.3 Beispiele für Orthonormalbasen
Bemerkung 7.8.4 Koordinaten bzgl. Orthonormalbasis
Beispiel 7.8.5 Orthonormalbasis
Abschnitt 7.9 Trigonometrische Polynome
Lemma 7.9.1 Werte der Skalarprodukte für Sinusterme
Lemma 7.9.2 Sinus und Cosinusterme orthogonal
Lemma 7.9.3 Werte der Skalarprodukte für Cosinusterme
Propositionen 7.9.4 Cosinus und Sinusterme bilden ein Orthonormalsystem mit Skalierung
Definition 7.9.5 Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad <= n
Abschnitt 7.10 Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt
Satz 7.10.1 GS liefert Orthonormalbasis
Korollar 7.10.2 Jeder endlich-dimensionaler Teilraum von V besitzt eine Orthonormalbasis
Abschnitt 7.11 Orthogonale Teilräume
Definition 7.11.1 Orthogonales Komplement
Lemma 7.11.2 Orthogonales Komplement ist ein linearer Teilraum von V
Lemma 7.11.3 Aussagen übers Orthogonale Komplement
Bemerkung 7.11.4 Orthogonales Komplement einer endlichen Menge ist Schnitt der Komplemente
Lemma 7.11.5 Komplement einer Menge gleich Komplement ihres Aufspanns
Satz 7.11.6 Orthogonale Projektion
Abschnitt 7.12 Fouriertransformation
Abschnitt 7.13 Summen von Vektorräumen
Definition 7.13.1 Minkowski-Summe
Lemma 7.13.2 Summe von Unterräumen ist Unterraum
Beispiel 7.13.3
Lemma 7.13.4 Dimension von Vektorraumsummen
Definition 7.13.5 Innere direkte Summe
7.13.2 Äußere direkte Summe von Vektorräume
Erklärung einer Bilinearform auf äußerer Vektorraumsumme
Lemma 7.13.7 Sind f und g beide symmetrisch/reflexiv/nicht ausgeartet so ist auch Summe der
Bilinearformen….
Lemma 7.13.8 Darstellende Matrix von Billinearformen auf äußeren Vektorraumsummen
7.13.3 Orthogononale Summe in euklidischen und unitären Räumen
Proposition 7.13.11 V = U + U°
Korollar 7.13.12 U°°=U
Abschnitt 7.14 Orthogonale und unitäre Abbildungen
Definition 7.14.1 Orthogonale und unitäre Abbildungen
Lemma 7.14.2 Injektivität
Definition 7.14.3 orthogonale und unitäre Transformationen
Definition 7.14.4 die orthogonale Gruppe, unitäre Gruppe
Beispiel 7.14.6 Spiegelungen
Bemerkung 7.14.7 Jede Isometrie ist orthogonale Transformation
Proposition 7.14.8 Orthogonalität/Unität Bild einer Orthonormalbasis ist Orthonormalbasis
Definition 7.14.9 Spezielle lineare/orthogonale/unitäre Gruppe
Definition 7.14.10 Orthogonale, unitäre Matrix
Lemma 7.14.11 Determinante von Orthogonalen und unitären Matrizen
Aufgabe 7.14.12 ANSCHAUEN
Satz 7.14.13 Äquivalente Eigenschaften von Matrizen
Satz 7.14.14 QR Zerlegung
Kapitel 8 Eigenwerte und Eigenvektoren
Abschnitt 8.1 Definitionen und Beispiele
Definition 8.1.1 Eigenwerkt, Eigenvektor, Eigenraum, geometrische Vielfachheit
Bemerkung 8.1.2 Praxis
Definition 8.1.3 Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus
Beispiel 8.1.4/6
Bemerkung 8.1.7 λ Eigenvektor Eigenraum nichttrivial
Satz 8.1.8 Charakteristische Gleichung
Definition 8.1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Beispiel 8.1.10 Matrix ohne Eigenwerte
Beispiel 8.1.11 Eigenwerte im Komplexen
Bemerkung 8.1.12 λ Eigenwert zu v gilt auch für komplexe Konjugation
Beispiel 8.1.13
Abschnitt 8.2 Diagonalisierbarkeit von Matrizen
Satz 8.2.1Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
Korollar 8.2.2 Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten schneiden sich nur in der Null
Korollar 8.2.3 Summe der Dimensionen der Eigenräume = Dimension des Raumes folgt Summer der
Eigenräume = Raum
Abschnitt 8.3 Das charakteristische Polynom
Defintion 8.3.1 Vielfachheit einer Nullstelle
Bemerkung 8.3.2 Jedes Polynom lässt sich in Linearfaktoren und Restpolynom ohne Nullstellen
aufteilen
Definition 8.3.3 charakteristisches Polynom
Beispiel 8.3.4/5
Satz 8.3.7 Gestalt des charakteristischen Polynoms
Bemerkung 8.3.8 Leibnizformel gilt durch Einbettung in den Quotientenkörper auch für Polynome
Bemerkung 8.3.9 Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Definition 8.3.10 Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes
Proposition 8.3.11 Geometrische VF <= algebraische VF
Beispiel 8.3.12
Satz 8.3.13 Matrix diagbar ch. Polynom zerfällt in Linearfaktoren
Bemerkung 8.3.14 Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom
Korollar 8.3.15 Matrix diagbar gdw. Geometrische VF und algebraische VF übereinstimmen
Korollar 8.3.16 Jede komplexe Matrix hat einen Eigenwert.
Defintion 8.3.17 Begleitmatrix
Satz 8.3.18 ch. Polynom der Begleitmatrix = +- ch. Polynom
Abschnitt 8.5 Der Satz von Cayley-Hamilton
Bemerkung 8.5.1 Abbildung von Polynom auf Auswertungsabbildung in Vektorraum ist ein K-Algebra
Homomorphismus
Beispiel 8.5.2
Satz 8.5.3 Satz von Cayley-Hamilton
Satz 8.5.4 Satz von Minimalpolynom
Bemerkung 8.5.5 Existenz annulierender Polynome nur im Endlichdimensionalen
Satz 8.5.6 Ähnliche Matrizen haben dasselbe Minimalpolynom
Satz 8.5.7 Minimalpolynom und ch. Polynom haben dieselben Nullstellen
Abschnitt 8.6 Diagonalisierung
Definition 8.6.0 adjungierte Matrix, symmetrische, schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch
Beispiel 8.6.1
Lemma 8.6.2 Zerlegung in real- und imaginärteil, analog für symmetrisch, hermitesch
Bemerkung 8.6.3
Definition 8.6.4 Normale Matrix
Beispiel 8.6.5
Lemma 8.6.6 A-yEn und QAQ sind normal
Lemma 8.6.7 Lambda Eigenwert zu A folg Lambda konjugiert zu A* (Beweis mit voriger Bemerkung)
Lemma 8.6.8 Hermitesche Matrizen haben nur reele Eigenwerte
Bemerkung 8.6.9
Lemma 8.6.10 Eigenvektoren zu verschieden Eigenwerten normaler Matrizen sind orthogonal
Lemma 8.6.11 „orthogonale Komplemente von Eigenvektoren sind invariant ggü Normalen Matrizen“
Satz 8.6.12 Hauptsatz über normale Matrizen (NOU)
Satz 8.6.13 Hauptsatz über hermitesche Matrizen (HNU)
Beispiel 8.6.14 Beispiel
Lemma 8.6.15 Matrix mit reelen Eigenwerten genau dann über R diagbar wenn über C diagbar
Satz 8.6.16 Hauptsatz über reelle symmetrische Matrizen (SOD)
Beispiel 8.6.17
Lemma 8.6.18 Eigenwerte von invertierbaren Matrizen
Satz 8.6.19 Hauptsatz über unitäre Matrizen (U BEW D)
Beispiel 8.6.20
Bemerkung 8.6.21 Schreibweise komplexer Zahlen
Bemerkung 8.6.22 A reell und lambda eigenwert folgt lambda konjugiert EW
Satz 8.6.23 Normalform orthogonaler Matrizen (PND-Form)
Kapitel 9 Quadratische Formen
Definition 9.1.1 Quadratische Form/Polarform
Lemma 9.1.2 Symmetrische Bilinearform induziert Quadratische Form
Beispiel 9.1.3
Bemerkung 9.1.4/5
Beispiel/Aufgabe 9.1.6/7 Quadratische Form aus Polynom
Abschnitt 9.2 Hauptachsentransformation
Satz 9.2.1 Polarform einer Quadratischen Form ist diagonalisierbar
Definition 9.2.2 Quadrik
Hauptachsentransformation
Satz 9.2.4 Trägheitssatz von Sylvester
Kapitel 10 Jordansche Normalform
Abschnitt 1 Schursche Normalform
Satz 10.1.1 Eine Matrix ist genau dann ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix, falls das char.
Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Abschnitt 2 Jordanblöcke
Definition 10.2.1 Jordanblock
Lemma 10.2.3 Jordanblock ist nicht diagbar
Lemma 10.2.4 Minimalpolynom eines Jordanblocks
Definition 10.2.5 Jordansche Normalform
Abschnitt 3 Jordansche Normalform einer komplexen Matrix
Satz 10.3.1 Jede komplexe Matrix über C besitzt Jordannormalform
Korollar 10.3.2 Jede komplexe Matrix ist ähnlich zu einer Jordannormalform
Korollar 10.3.3 Ähnliche Matrizen haben selbe JNF
10.3.1 Jordanketten und verallgemeinerte Eigenräume
Definition 10.3.4 Jordankette
Lemma 10.3.5 Jordanketten sind linear unabhängig
Definition 10.3.6 Verallgemeinerter Eigenvektor
Definition 10.3.7 Verallgemeinerter Eigenraum
Proposition 10.3.8 Eigenraum Invariant ggü kommutierenden Abbildungen
10.3.2 Kurze Vorüberlegungen zum Minimalpolynom
Satz 10.3.9 Kerne der Auswertung Teilerfremde Polynome die zusammen Minimalpolynom ergeben
sind Partition von V
Lemma 10.3.11 Minimalpolynom eines Jordanblocks teilt Minimalpolynom der gesamten Matrix
10.3.3 Zerlegung von C entlang der verallgemeinerten Eigenräume
Satz 10.3.12 V ist direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume
Lemma 10.3.14 Jordanketten sind linear unabhängig falls EV linearunabhängig
Lemma 10.3.15 falls Jordanketten linear abhängig sind kann man sie verkürzen und erhält wieder
jordanketten
Satz 10.3.16 Jeder verallgemeinerte Eigenraum besitzt Basis aus Jordanketten