Teorema de Green
George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo ytrabajo influenció notablemente el
desarrollo de importantes conceptos en físicap
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Teorema de Green
Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C
y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.
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TERMINOLOGÍA
1.‐ CURVA CERRADA Y SIMPLE
TERMINOLOGÍA
C
Sea C una curva suave definida por una pfunción vectorial : [a, b] ,Se dice que es cerrada si: (a)= (b)Si además es uno a uno en [a, b), C es
2R
[ , ),cerrada y simple.
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2.‐ UNA CURVA CERRADA QUE NO ES SIMPLE
C es cerrada si: (a)= (b)No es uno a uno en [a, b), C se corta a si misma C no es simplea si misma, C no es simple.
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3.‐ UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)
4.‐ UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA NEGATIVA (Sentido Horario)
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Hipótesis del Teorema de Green
• C: CURVA SUAVE (O SUAVE A TROZOS), CERRADA, SIMPLE Y ORIENTADA POSITIVA
•D: REGIÓN LIMITADA POR C
ORIENTADA POSITIVA EN EL PLANO.
•P y Q SON FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES: x, y DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
ABIERTOA QUE CONTIENE A LA REGIÓN D Y CONABIERTO A QUE CONTIENE A LA REGIÓN D Y CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN A.
Tesis del Teorema de Green
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Teorema de Green : DEMOSTRACIÓN PARA UNA REGION SIMPLE QUE PUEDE DEFINIRSE
COMO TIPO I o IICOMO TIPO I o II
Procedimiento: demostrar primero 1, luego 2 para después
1
primero 1, luego 2 para después sumar
22
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Demostración de 1:
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Demostración de 1:
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Parametrización de C :Parametrización de C1:
Parametrización de(‐C 2):2
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Conclusión Primera Parte
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Demostración de 2:
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CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE
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CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA
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Conclusión Segunda Parte
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Conclusión FinalConclusión Final
1
2
De 1 y 2, sumando:
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EXTENSIÓN DE LA PRUEBA A OTRAS REGIONES
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OTRAS REGIONESOTRAS REGIONES
Ejercicio Propuesto:Verificar que se cumple el teorema de Green en la regiónteorema de Green en la región dada, con a= 1, b=2,
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PARA OTRAS REGIONES
El teorema de Green puedepaplicarse a cualquier región quese pueda considerar como launión de un número finito deregiones simples como lasanteriormente tratadas.
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PARA OTRAS REGIONES
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Se Extiende a Regiones que no son simplemente conexas
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APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN
CÁLCULO DE ÁREAS• CÁLCULO DE ÁREAS
ÁREA:ÁREA:
• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DE LÍNEA
• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
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