Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Statika stavebních konstrukcí I
Téma 2Staticky neurčité
prutové konstrukce
2
Osnova přednášky
Osnova přednášky
Staticky neurčité konstrukce, stupeň statické neurčitosti
Silová metoda
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
Jednostranně a oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Staticky neurčitý rovinný rám
Výpočet deformace staticky neurčitého nosníku
(redukční věta)
3
• volný hmotný bod v rovině:
nv=2, určen [x, y], 2 různých poloh
• volný hmotný bod v prostoru:
nv=3, určen [x, y, z], 3 různých poloh
• volná tuhý prut (deska) v rovině:
nv=3, určen [x, y, g], 3 různých poloh
• tuhé těleso v prostoru:
nv=6, určeno [x, y, z, a, b, g], 6 různých
poloh
Pohybové možnosti volných hmotných objektů
+x
+z
m[xm,zm]
x’
z’
g
Stupeň volnosti nv
- možnost vykonat jednu pravoúhlou složku posunu nebo pootočení.
Stavební statika – téma č.3
4
Vnější vazby proti posunům
Vazby proti posunům znázorněné pomocí jehlanů a trojúhelníčků
Jednoduché a sdružené vazby proti posunům znázorněné pomocí kyvných prutů
(a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g)
(a) (b) (c) (d) (e)
Vazba proti posunu - znemožňuje posun podepřeného bodu prutu v zadaném směru.
Stavební statika – téma č.3
5
Vnější vazby proti pootočení
Sdružené vazby proti posunu i pootočení
Jednoduché vazby proti pootočení
(a) (b) (c)
(a) (b) (c)
Vazba proti pootočení - znemožňuje pootočení podepřeného bodu prutu v zadané rovině.
Úplné vetknutí v prostoru nebo rovině, posuvné vetknutí v rovině.
Stavební statika – téma č.3
6
Násobnost vazeb
Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti.
Název vazby Násobnost
vazby
Označení vazby,
složky reakcí
Kyvný prut
Posuvný kloub,
posuvná vazba
Neposuvný pevný
kloub, pevná vazba
Posuvné vetknutí
Dokonalé vetknutí
Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině a jejich složek reakcí
n-násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti (n=1, 2, 3)
a
Raz
aRaz
aRaz Rax
a Raz Rax May
a Raz May
1
2
2
3
1
Stavební statika – téma č.3
7
Zajištění nehybnosti prutu
K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily
všechny stupně volnosti nv.
v = nvPodepření objektu je kinematicky určité a staticky určité,
zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební
konstrukce.
v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité a staticky
přeurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební
konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb).
v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky
neurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako
stavební konstrukce (větší počet vazeb než je nezbytně
nutné).
Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost
objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určité nebo
přeurčité konstrukce.
Stavební statika – téma č.3
8
Kinematicky a staticky určitá konstrukce
Podepření objektu je kinematicky i staticky určité
b
Rbz
a
Raz
Rax
P1 P2
Raz
RaxMay
P1 P2
a
v = nv
v = 3, nv = 3
Stavební statika – téma č.3
9
Kinematicky a staticky určité případy podepření prutů
Kinematicky určité případy podepření prutů
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
nv = 6
nv = 3
nv = 3
nv = 2
Příčná úloha
nv = 1
Osová úloha
nv = 1
Krutová úloha
nv = 3
nv = 3
nv = 3
nv = 3
nv = 3
nv = 6
Stavební statika – téma č.3
10
Kinematicky přeurčitá konstrukce
Podepření objektu je kinematicky přeurčité
a staticky neurčité
b
Rbz
a
Raz
Rax
P1 P2
Raz
RaxMay
P1 P2
a
v = 4
nv = 3Rbx
Rbz
Rbx
Mby
b
v = 6
nv = 3
v > nv
Stavební statika – téma č.3
11
Kinematicky neurčitá konstrukce
b
Rbz
a
Raz
P1 P2
Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení
Ve stavební praxi nepoužitelné.
Podepření objektu je kinematicky neurčité
a staticky přeurčitév < nv
Stavební statika – téma č.3
12
Výjimkové případy podepření
Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové
případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.
b Rbxa
Raz
Rax
P1 P2
P1 P2
c
Rcz
a
Raz Rbz
b
Stavební statika – téma č.3
13
Kinematicky určité případy podepření prutů
Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(c) prut není zajištěn proti rotaci – 1 vazba proti vodorovnému posunu nadbytečná
(d) tři vazby proti posunutí, jejichž směry se protínají v jednom bodě
(e) tři vazby proti svislému posunutí v bodech, ležících v jedné přímce
Stavební statika – téma č.3
14
Podmínky rovnováhy uvolněného zatíženého prutu
Počet podmínek rovnováhy záleží na typu řešené úlohy, shoduje se s
počtem stupňů volnosti nepodepřeného prutu nv.
Podepřený prut musí být nehybný a v rovnováze.
Kolik stupňů volnosti v odebírají objektu vazby, tolik vzniká složek reakcí.
v = nv Počet neznámých složek reakcí se shoduje s počtem
podmínek rovnováhy, prut je staticky určitý a použitelný jako
stavební konstrukce.
v < nv
v > nv
Počet neznámých složek reakcí je menší než počet podmínek
rovnováhy, prut je staticky přeurčitý a nepoužitelný jako
stavební konstrukce (rovnováha nemůže být obecně zajištěna).
Počet neznámých složek reakcí je větší než počet podmínek
rovnováhy, prut je staticky neurčitý a může sloužit jako stavební
konstrukce. Stupeň statické neurčitosti s = v - nv .
Pokud je determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.
Stavební statika – téma č.3
Počet vnějších a vnitřních vazeb: v = ve + vi
15
Kinematická a statická (ne)určitost příhradového nosníku
Rovinný kloubový příhradový nosník jako
soustava hmotných bodů, vnitřních a vnějších vazeb
evps 2Podmínka kinematické (statické) určitosti:
Praktické pojetí – výpočtový model tvořen hmotnými body (ve styčnících)
a vnitřními vazbami (pruty), které brání vzájemnému posunutí obou
spojovaných styčníků.
Stavební statika – téma č.7
16
Kinematická a statická (ne)určitost
Raz
Raxa
Rbz
b
F3F2F1
N1 N5 N9
N3 N7 N11
N2 N6 N10
N4 N8
c d
e f g
s=7 počet styčníků (v každém z nich 2 podmínky rovnováhy)
p=11 počet vnitřních prutů (v každém z nich 1 neznámá osová síla)
a1=1
a2=1
počet jedno a dvojnásobných vazeb
(1 nebo 2 neznámé složky reakcí)
1422 21 aaps
Stavební statika – téma č.7
17
Kinematická a statická (ne)určitost
Raz
Rax
a
Rbz
b
N1
N3
N2
c d
s=4
p=5
a1=1
a2=1
82 s 82 21 aap
N4
N5
Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový
příhradový nosník
Staticky přeurčitý, kinematicky neurčitý rovinný
kloubový prutový nosník
F2F1
s221 2 aap
Stavební statika – téma č.7
18
Kinematická a statická (ne)určitost
s=4
p=6
a1=0
a2=2
82 s 102 21 aap2x staticky (1x vnitřně a 1x zevně)
neurčitý rovinný kloubový příhradový
nosník (kinematicky přeurčitý)
Raz
Rax
a
Rbz
b
N1
N3
N2
c d
N4
N5
N6
Není
kloubový
styčník
F2F1
Rbx
Stavební statika – téma č.7
19
Určení stupně statické neurčitosti
Rovinné rámové konstrukce a nosníky
1. Otevřené prutové soustavy:
ns = v – 3 – pk = a1 + 2∙a2 + 3∙a3 – 3 – pk
v … počet vnějších vazeb (reakcí)
ai ... počet i-násobných vnějších vazeb
pk … počet vnitřních kloubových připojení
přepočtených na jednoduché připojení
2. Uzavřené prutové soustavy:
ns = 3∙u + v – 3 – pk
u … počet uzavřených příhrad
20
Silová metoda
Silová metoda
Silová metoda (SM):
základní metoda k řešení staticky neurčitých prutových
konstrukcí, metoda přímá
určena k řešení staticky neurčitých konstrukcí, ns ≥ 1
využívá vedle podmínek rovnováhy i přetvárných
podmínek, princip superpozice a princip úměrnosti
21
Silová metoda
Silová metoda
Postup při řešení staticky neurčité konstrukce SM:
1) Určí se ns
2) Odebráním ns vazeb (vnějších nebo vnitřních) se vytvoří
základní staticky určitá konstrukce
3) Odebrané vazby se nahradí staticky neurčitými silami nebo
momenty (staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí)
4) Sestaví se ns přetvárných podmínek ve formě soustavy
lineárních rovnic
5) Řeší se soustava lineárních rovnic, jejich řešením jsou
staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí
6) Znalost staticky neurčitých složek reakcí nebo interakcí
umožní vypočítat reakce v ponechaných vazbách, složky
vnitřních sil, případně deformace
22
Jednoduchý staticky neurčitý nosník
Jednoduchý staticky neurčitý nosník
Předpoklady:
přímý prut s průřezem proměnlivým nebo konstantním
osa prutu identická s osou x, jedna z hlavních rovin prutu
leží v rovině xz
prut je podepřen ve dvou bodech
každá z vnějších vazeb proti posunutí je rovnoběžná
s některou ze souřadných os
každá z vnějších vazeb proti potočení působí v rovině, jejíž
normálou je některá ze souřadných os
prut může být zatížen prostorově
23
Jednoduchý staticky neurčitý nosník
Jednoduchý staticky neurčitý nosník
Prostorová úloha jednoduchého přímého nosníkuObr. 3.1. / str. 55
Stupeň statické neurčitosti ns = v - nv udává počet přebytečných
vazeb (tj. počet vazeb, které je nutno odebrat, aby se nosník stal
staticky určitým).
Každý jednoduchý staticky neurčitý
nosník v prostorové úloze lze rozdělit
na 4 jednodušší úlohy:
1) Osová úloha, nv = 1
2) Příčná úloha v rovině xz , nv = 2
3) Příčná úloha v rovině xy , nv = 2
4) Krutová úloha , nv = 1
24
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
bx
vs
RX
nvn
1
112
Silové zatížení
lll
xA
N
Ex
AE
NNx
AE
NN
0
0
0
10
0
010 d
1dd
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
Silová metoda v osové úlozeObr. 3.2. / str. 58
Silové
zatížení
ltxNt t
l
t 0
0
1010 d aa
Silové zatížení
Oteplení
bxRXX 11
10110111 0
Deformační podmínka:
ll
xAE
xAE
NN
00
111 d
11d
25
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
Popuštění podpor … posunutí ua, ub ve směru osy x
Deformační podmínka
110111 dX
110
11
1111
XRRR
Ruu
XuuX
axaxax
bxab
ba
Silová metoda v osové úlozeObr. 3.2./str.58
bud 1
V daném případě (X1 ve směru osy x):
ua a Rax,1 mají opačný směr
ub a Rbx mají stejný směr
aaaax uuuRR )1()()( 110
26
Příklad 2.1
kN10681,9 5EA
)(kN9,2)9,1(18,4
)(kN9,1)(kN9,13
7,5
10681,9
7,5
10681,9
2
122,1
2
11)2,48,4(
10681,9
1
10681,9
3
)(1
)(kN8,4
110
11
101
5510
3
0
050
010
50
111
1
0
XRRR
RXR
dxNdxAE
NN
AE
ldx
AE
NN
R
R
axaxax
bxbx
l
l
ax
ax
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 3.3. / str. 60
Silové zatížení
Deformační podmínka 010111 X
27
Příklad 2.1
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze
)(kN258,174
)(kN258,174
)(kN258,174)258,174(10
)(kN258,1743
10681,9104,5
10681,9
3
104,5315102,1d
110
54
11
10
511
45
00
0
10
bx
ax
axaxax
bx
tt
l
R
R
XRRR
R
EA
l
ltxtN
aa
Oteplení
• Na nosník působí oteplení t0=15oC konstantní po celé délce.
1021 ,kN10681,9 55 -
t ,αEA
Deformační podmínka 010111 X
Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 3.3. / str. 60
28
Příklad 2.1
ua = 5 mm = 0,005 m (doprava)
ub = 8 mm = 0,008 m (doprava)
• Posunutí ua a reakce Rax1 mají opačný směr
• Posunutí ub a jednotková síla X1 = 1 mají shodný směr
)(kN1,968 )(kN1,968
)(kN1,9680
)(kN1,96810681,93
005,0008,0
008,0
005,0)1()()(
10681,9
3
5
11
1
1
110
511
bxax
bxaxbxax
abbx
b
aaaax
RR
RRRR
uuXR
ud
uuuRR
EA
l
110111 dX
Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 3.3. / str. 60
Popuštění podpor
Deformační podmínka
29
Příčně zatížené staticky neurčité nosníky
Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze
Jednostranně vetknuté staticky neurčité nosníkyObr. 3.10. / str. 68
Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze
Stupeň statické neurčitosti ns = v – nv = 3 – 2 = 1
Přetvárná podmínka pro zatížení silové a změnou teploty
Přetvárná podmínka pro zatížení popuštěním podpor
010111 X
110111 dX
30
220222112
110212111
dXX
dXX
Příčně zatížený oboustranně vetknutý nosníkObr. 3.20. / str. 78
Příčně zatížené staticky neurčité nosníky
Oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze
Stupeň statické neurčitosti ns = v – nv = 4 – 2 = 2
Přetvárná podmínka pro zatížení silové a změnou teploty
Přetvárná podmínka pro zatížení
popuštěním podpor
ba
ab
MXXX
MXXX
220222112
110212111
0
0
31
Příklad 2.2
Nosník z profilu I200 je zatížen:
silově
lineárním oteplením t1=15oC
popuštěním podpor
Zadání a řešení příkladu 2.2
obr. 3.21, str. 80
32
Základní staticky určitá soustava:
prostý nosník dvoukloubově uložený
Staticky neurčité veličiny:
X1 = Ma a X2 = Mb
6,1 pro)6,1(5)6,1(14328)(
6,1 pro328)(
6,1 pro2
)()(
2)(
6,1 pro2
)(
kN6,278,4/)8,06,166,1142,32,310(
kN288,4/)6,12,3102,31446,16(
22
0
2
0
2
2
2
100
2
100
0
0
xxxxxxM
xxxxM
xxx
qxxFx
qxRxM
xx
qxRxM
R
R
FFaz
az
bz
az
Příklad 2.2, silové zatížení
0. zatěžovací stav:
33
8,0
6
d
8,0
6
8,4
6d
EI
1,6
3d
6,1
3
8,4
3d
0
1221
0
2112
0
2222
0
1111
EIEI
lx
IE
MM
EIEIEI
lx
IE
MM
EI
lx
IE
MM
EIEIEI
lx
IE
MM
l
l
l
l
Příklad 2.2, silové zatížení
8,411)(1
x
l
xxM
8,4)(2
x
l
xxM
Výpočet deformačních součinitelů:
1
1
M2
M1+
+
1. zatěžovací stav: X1 = 1
2. zatěžovací stav: X2 = 1
8,4
11
8,4
11
1
1
lR
lR
bz
az
8,4
11
8,4
11
2
2
lR
lR
bz
az
34
xx
xxxxEI
xx
xxEI
xEI
MM
xx
xxxxEI
xx
xxEI
xEI
MM
l
l
d8,4
)6,1(5)6,1(143281
d8,4
3281
d
d8,4
1)6,1(5)6,1(143281
d8,4
13281
d
8,4
6,1
22
6,1
0
2
0
2020
8,4
6,1
22
6,1
0
2
0
1010
Příklad 2.2, silové zatížení
Výpočet deformačních součinitelů:
EIEI
14044,58
30222,602010
Integraci lze provést: 1) analyticky
2) pomocí Vereščaginova pravidla
3) pomocí tabulek
35
Řešením lineárních rovnic:
kNR
R
XRXRRR
R
R
XRXRRR
bz
bz
bzbzbzbz
az
az
azazazaz
037,27
324,238,4
1027,26
8,4
16,27
kN563,28
324,238,4
1027,26
8,4
128
22110
22110
Příklad 2.2, silové zatížení
kNm324,23
kNm027,26
0
0
2
1
20222112
10212111
b
a
MX
MX
XX
XX
Zadání a řešení příkladu 2.2
obr. 3.21, str. 80
Reakce:
36
0
08,4
1
8,4
10
kNm045,4
kNm4494
4,2
10216
8,06,1
10216
10216d12,0
15102,1d
210
2
55
1211
10
58,4
0
5
0
1110
azbz
azazazaz
ba
l
t
RR
XXRXRRR
MMX
EI
EI
EIEI
X
xl
xx
h
Mt
a
Příklad 2.2, zatížení změnou teploty
Lineární oteplení po výšce průřezu t1 = 15°C
Jde o symetrickou úlohu, proto X1 = X2 = X
Řešení dvou lineárních rovnic lze zredukovat na jedinou rovnici:
00 10121110212111 XXX
Zadání a řešení příkladu 2.2
obr. 3.21, str. 80
37
4
20
2220
4
10
1110
22
1
1025,68,4
006,0003,0
8,48,4
1025,68,4
006,0003,0
8,48,4
004,0
0
ba
bbzaaz
ba
bbzaaz
bb
a
ww
wRwRR
ww
wRwRR
Xd
d
znaménko kladnésměrstejný majía
Příklad 2.2, zatížení poklesem podpor
Zadání a řešení příkladu 2.2
obr. 3.21, str. 80
Deformační podmínky
220222121
110212111
dXX
dXX
38
kN144,6
kN144,68,4
)491,18(
8,4
)001,11(0
kNm49118
kNm00111
004,01025,64494
6,1
4494
8,0
01025,64494
8,0
4494
6,1
22110
2
1
4
21
4
21
220222121
110212111
azbz
az
azazazaz
b
a
RR
R
XRXRRR
,MX
,-MX
XX
XX
dXX
dXX
Příklad 2.2, zatížení poklesem podpor
Zadání a řešení příkladu 2.2
obr. 3.21, str. 80
39Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Silová metoda v krutové úlozeObr. 3.24. / str. 85
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Deformační podmínka pro:
a) silové zatížení
b) zatížení popuštěním podpor
Stupeň statické neurčitosti:
112 vs nn
110111 dX
010111 X
40Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Zadání příkladu 2.3Obr. 3.25. / str. 87
2
4433
kNm9013
m1075,936,024,0196,0
t
t
IG
hbI a
h/b 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
a 0,1406 0,1540 0,1661 0,1771 0,1869 0,1958
h/b 1,6 1,7 1,8 1,9 2 3
a 0,2037 0,2109 0,2174 0,2233 0,2287 0,2633
Železobetonový nosník (G = 9,24∙106 kPa) konstantního obdélníkového
průřezu o šířce b = 0,24 m a výšce h = 0,36 m je zatížen:
a) zkrucujícím zatížením
b) popuštěním podpor rad. 002,0 rad, 001,0 ba
Příklad 2.3
Moment tuhosti v kroucení:
41
kNm25,675,7114
kNm75,74
31
312
5,13
2
5,2)914(
1
4
1
110
11
101
10
4
0
0
0
1010
0
1111
1
XTTT
T
IG
IGX
IGIG
dxTIG
dxIG
TT
IGIG
ldx
IG
TT
xT
aaa
b
t
t
tt
t
l
t
l
ttt
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Příklad 2.3, silové zatížení
Deformační podmínka 010111 X
Zadání příkladu 2.3Obr. 3.25. / str. 87
42
kNm 76,60
kNm 76,610438,4
003,0
10438,4
001,0002,0
rad 001,0001,01
rad/kNm10438,49013
44
rad 002,0
441
11
1011
110
4
11
11
baba
b
aa
t
bb
TTTT
X
dTX
T
GI
Xd
znaménko kladnésměrstejný mají a
Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze
Příklad 2.3, zatížení popuštěním podpor
Zadání příkladu 2.3Obr. 3.25. / str. 87
Deformační podmínka 110111 dX
43
Rámové konstrukce
Ukázky rámových konstrukcí
ŽB prostorový rám,
Aula, VŠB – TU Ostrava
44Základní vlastnosti rovinného rámu
Příklady jednoduchého otevřeného rovinného rámuObr. 5.1. / str. 126
Rovinný rám
Druhy rovinných rámů: 1) pravoúhlé (a)
2) kosoúhlé (b), (c)
3) rozvětvené (b)
4) otevřené (c)
45Základní vlastnosti rovinného rámu
Příklady jednoduchého uzavřeného rovinného rámuObr. 5.2. / str. 126
Druhy rovinných rámů: 1) pravoúhlé (a)
2) kosoúhlé (b), (c)
3) rozvětvené (c)
4) uzavřené (a), (b), (c)
Rovinný rám
46Základní vlastnosti rovinného rámu
Příklady pravoúhlého a kosoúhlého rovinného sdruženého rámuObr. 5.4. / str. 126
Druhy rovinných rámů
Rámy sdružené vznikají seřazením několika otevřených
jednoduchých rámů vedle sebe.
Vierendeelův nosník a patrový rámObr. 5.5. / str. 127
Vierendeelův rámový nosník vzniká seřazením několika
uzavřených rámových příhrad
vedle sebe.
Patrový rám dostaneme
seřazením několika uzavřených
rámových příhrad nad sebe.
47Jednoduchý otevřený rám
Různé způsoby vytvoření základní staticky určité soustavy
ve druhém kroku silové metodyObr. 5.7. / str. 128
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
První krok silové metodyObr. 5.6. / str. 127
48Jednoduchý otevřený rám
Náhrada odebraných vazeb složkami reakcí nebo interakcí
ve třetím kroku silové metodyObr. 5.8. / str. 128
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
49Jednoduchý otevřený rám
Obrázková rovnice znázorňující rozklad na nultý stav a jednotkové stavyObr. 5.9. / str. 128
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
0
0
0
30333232131
20323222121
10313212111
XXX
XXX
XXX
Přetvárné (deformační) podmínky:
• silové zatížení a zatížení změnou teploty
50
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
j
m
j
l
j
ij
m
j
l
j
ii, x
AE
NNx
IE
MMδ
jj
dd1 0
0
1 0
00
Přetvárné podmínky lze zapsat pro ns-krát staticky neurčitou
konstrukci ve tvaru
si
n
kki,k n, iXδ
s
,1pro 0,1
Výpočet deformačních součinitelů pro m prutů rámové konstrukce
ikkij
m
j
l
j
kij
m
j
l
j
kii,k x
AE
NNx
IE
MMδ
jj
,,1 01 0
dd
platí
• silové zatížení
• zatížení změnou teploty
m
j
l
j
j
,j
it
m
j
l
j,jiti,
jj
xh
ΔtMαxΔtNαδ
1 0
1
1 0
00 dd
51
330333232131
220323222121
110313212111
dXXX
dXXX
dXXX
Přetvárné (deformační) podmínky:
• zatížení popuštěním podpor
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
sii
n
kkki n...,,idX
s
1 pro 0,1
,
Přetvárné podmínky lze zapsat pro ns-krát staticky neurčitou
konstrukci ve tvaru
52Jednoduchý otevřený rám
Výpočet zatěžovacích členů od popuštění podporObr. 5.10. / str. 131
ba baba uuww
vuMuRu
lwMwRw
M
udwdd
aaaaaaxb
aaaaaazb
aaab
bbb
)(
)(
)(
33
*
30
22
*
20
1
*
10
321
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
Zatížení popuštěním podpor
53
vuuXXX
lwwXXX
XXX
dXXX
dXXX
dXXX
aab
aab
ab
333232131
323222121
313212111
330333232131
220323222121
110313212111
Přetvárné podmínky při zatížení popuštěním podpor
po dosazení:
Silová metoda, jednoduchý otevřený rám
Výpočet zatěžovacích členů od popuštění podporObr. 5.10. / str. 131
54Jednoduchý otevřený rám
Dvě vazby v ose téhož prutuObr. 5.11. / str. 132
Upozornění
Prut cd na obr. 5.11 je podepřen proti posunu ve směru osy
prutu. Je nezbytné počítat s vlivem normálových sil na
přetvoření prutu cd. V opačném případě, což se často
oprávněně dělá, je soustava kanonických rovnic singulární.
55Jednoduchý otevřený rám
Zadání příkladu 2.4 a znázornění prvních tří kroků silové metodyObr. 5.12. / str. 132
Příklad 2.4
4
32
4
1
m004,0
m002,0
II
I
6,03,5
2,1cos
8,05,3
8,2sin
m5,38,21,2 22
1
a
a
llac
56Jednoduchý otevřený rám
Dílčí stavy a průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.4Obr. 5.13. / str. 133
1kN7,5
8,2kN
7,5
8,2
0kN7,5
1kN
7,5
1
00kN30
222
111
000
axbzaz
axbzaz
axbzaz
RRR
RRR
RRR
Příklad 2.4
57Jednoduchý otevřený rám
EE
EE
EEE
EEE
EEE
4,64989
3
5,376842.163
002,0
1
6,41585
3
36842,063158,0
2
5,363
002,0
1
5,2762
3
6,376842,1
004,0
1
3
5,376842,1
002,0
1
4,15026,3
004,03
63158,076842,1
3
36842,063158,0
2
5,376842,1
002,0
1
1,1304
004,03
6,363158,036842,0
3
263158,0
2
5,3036842
2
63158,15,363158,0
002,0
1
20
10
22
22
2112
2
11
0
0
20222121
10212111
XX
XXDeformační podmínky
Příklad 2.4
Průběhy ohybových momentů v dílčích stavechObr. 5.13. / str. 133
58Jednoduchý otevřený rám
04,649895,27624,1502
06,415854,15021,1304
21
21
XX
XX
Příklad 2.4
Deformační podmínky po dosazení
bx
a
RX
X
MX
X
kN906,16
4,15024,15025,27621,1304
4,1502)6,41585()4,64989(1,1304
kN814,12
4,15024,15025,27621,1304
4,649894,1502)4,64989(1,1304
2
2
1
1
Řešení soustavy rovnic
59Jednoduchý otevřený rám
)(kN557,16
kN381,10)557,16(7,5
8,2)814,12(
7,5
10
kNm814,12
)(557,16)557,16(100
kN381,40)557,16(7,5
8,2)814,12(
7,5
130
2
22110
1
22110
22110
XR
XRXRRR
XM
kNXRXRRR
XRXRRR
bx
bzbzbzbz
a
axaxaxax
azazazaz
Reakce a složky vnitřních silObr. 5.14. / str. 134
Příklad 2.4, dokončení řešení
60Jednoduchý uzavřený rám
Odebrání vnitřních vazeb a jejich náhrada interakcemiObr. 5.15. / str. 135
Jednoduchý uzavřený rám
61Jednoduchý uzavřený rám
Zadání příkladu 2.5 a znázornění prvních tří kroků silové metodyObr. 5.16. / str. 136
Příklad 2.5
Stupeň statické neurčitosti ns = 3
EI = konst.
62Jednoduchý uzavřený rám
Dílčí stavy a průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137
Příklad 2.5
kN8
kN33320
kN6669
0
0
0
axax
bzbz
azaz
RR
,RR
,RR
Reakce nenulové pouze
v 0. zatěžovacím stavu.
Pozn. Složky vnitřních sil se v příkladu
vynášejí ke spodním vláknům příčlí
a k pravým vláknům sloupů.
63
Příklad 2.5
IEIE
IEIE
IEIE
IEIE
732,78)7,2(6,3)7,2(22
3
7,2)7,2(2
3
7,2)7,2(1
088,1016,34,56,3
3
6,36,3
3
6,3)6,3(1
0
0
40,326,314,5
2
6,316,3
2
6,316,3
1
18116,3)1()1(6,3114,5)1()1(4,5
1
22
33
22
22
3223
3113
2112
11
Výpočet deformačních součinitelů
Deformační podmínky
0
0
0
30333232131
20323222121
10313212111
XXX
XXX
XXX
Průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137
64
Příklad 2.5
kN6672
kN6028
kNm2092
3
2
1
,VVX
,NNX
,MMX
edec
edec
edec
Výpočet deformačních součinitelů
IEIE
IEIE
IEIE
952,209)7,2(
2
6,3)8,28(
6
9,547,2)7,2(
3
8,289,548,28
2
7,27,21
12,798)6,3(6,3
2
)8,28(6,37,2
2
9,546,37,2
2
9,548,281
95,23816,3
2
)8,28()1(7,2
2
9,54)1(7,2
2
9,548,281
30
20
10
Průběhy ohybových momentů v dílčích stavech příkladu 2.5Obr. 5.17. / str. 137
Dosazení do rovnic
95220932787
012798088101432
9523843218
3
21
21
,X,
,X,X,
,X,X
Řešení soustavy rovnic
65Jednoduchý uzavřený rám
Příklad 2.5, dokončení řešení
Průběhy složek vnitřních sil můžeme určit:
a) Z podmínek rovnováhy při znalosti
reakcí a staticky neurčitých veličin.
b) Superpozicí jednotlivých zatěžovacích
stavů po vynásobení složek vnitřních sil
každého zatěžovacího stavu (vyjma
0. stavu) příslušnou staticky neurčitou
veličinou.
Ad b):
xxxxx
xxxxx
xxxxx
NXNXNXN
VXVXVXVV
MXMXMXMM
3322110
3322110
3322110
N
66Jednoduchý uzavřený rám
Výsledné reakce, interakce a průběhy vnitřních sil v příkladu 2.5Obr. 5.18. / str. 139
Příklad 2.5, dokončení řešení
67
Výpočet deformace staticky neurčitého nosníku
Redukční věta:
Jednotkový virtuální stav sloužící k výpočtu deformace ns- krát staticky neurčitého nosníku může být vytvořen:
na původním staticky neurčitém nosníku
na staticky neurčitém nosníku s nsj < ns
(odebráno méně než ns vazeb)
na staticky určitém nosníku (odebráno ns vazeb)
Pozn. Redukční větu lze použít pro výpočet deformace libovolné staticky neurčité konstrukce při silovém zatížení.
Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
68Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
Příklady aplikace redukční větyObr. 3.26. / str. 89
Výpočet deformace, silový zatěžovací stav
Příklady volby virtuálního zatěžovacího stavu pro výpočet
posunutí středu oboustranně vetknutého nosníku.
69
Zdůvodnění redukční věty
Na libovolné staticky neurčité konstrukci lze odstranit přebytečné
vazby a nahradit jejich účinek silami nebo momenty.
Na stejné, tj. staticky určité konstrukci, lze pak určit virtuální stav
konstrukce pro výpočet deformace při využití principu virtuálních sil.
Pokud se virtuální stav konstrukce určí na staticky neurčité
konstrukci, pak jej lze při využití principu superpozice považovat za
výsledný stav na staticky určité konstrukci v řadě dílčích
zatěžovacích stavů odpovídajících stupni statické neurčitosti, kdy
nahrazujeme odstraněné vazby jejich účinkem.
Účinek virtuálních sil a momentů nahrazujících vazby je nulový,
neboť umožňují vypočítat v místě vazby nulovou deformaci
odpovídající nahrazené vazbě.
Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
70Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
Zadání a řešení příkladu 2.6Obr. 3.27. / str. 89
Příklad 2.6
IE
lPdxMM
IEx
IE
MMw
ll
s
1296
51d
3
00
Určete průhyb ws ve středu
oboustranně vetknutého nosníku.
Průběh M vypočten s využitím
tabulky 3.2 [1].
Virtuální jednotkový stav zvolen
jednostranně vetknutý nosník.
Integrál lze řešit:
a) analyticky
b) dle Vereščaginova pravidla
c) dle tabulky 2.2 [1]
71
Výpočet deformace, zatížení změnou teploty
tpr w ww
Výsledná deformace je dána superpozicí:
a) pružné deformace wpr
b) deformace vyvolané změnou teploty wt na základní
staticky určité konstrukci
U jednoduchého staticky neurčitého nosníku konstantního průřezu
jsou při konstantní změně teploty po délce nosníku:
a) v osové úloze (t0),
b) v příčné úloze při oboustranném vetknutí (t1),
c) v krutové úloze (změna teploty se neprojevuje)
deformace nulové, superponované deformace se vyruší.
Pozn. Tento poznatek nelze zobecňovat, např. u jednostranně
vetknutého nosníku již tomu tak není.
Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
72Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
Zadání a řešení příkladu 2.7Obr. 3.28. / str. 90m109310103263103952
m1032632
23215
20
181021
Δd
Δ
m103952
13522
2223215624
2
822321
4494
1
333
35
1
0
1
3
,,,w
,,
,
,w
Ah
tαx
h
Mtαw
,w
,,,
.,,
w
www
c
t
M
tl
tt
pr
pr
tprc
Příklad 2.7
Určete průhyb wc v bodě c u zadaného
nosníku zatíženého změnou teploty
(EI = 4494 kNm2).
Virtuální jednotkový stav zvolen prostý
nosník.
73
Výpočet deformace, popuštění podpor
Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
Výsledná deformace je dána superpozicí:
a) pružné deformace wpr
b) přemístěním základního staticky určitého nosníku
jako tuhého wp
ppr w ww
74Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
Řešení příkladu 2.8Obr. 3.29. / str. 91
Určete svislý průhyb v bodě coboustranně vetknutého nosníku
z příkladu 2.2 se zadaným
popuštěním podpor dle obr. 3.21 (h),
je-li již znám průběh ohybového
momentu dle obr. 3.29 (a).
Pro výpočet posunutí nosníku jako
tuhého tělesa i pro výpočet pružné
deformace umístíme do bodu cprostého nosníku svislou virtuální sílu
o velikosti 1.
Průběh virtuálního momentu je na
obr. 3.29 (b).
Příklad 2.8
Zadání příkladu 2.2 Obr. 3.21. / str. 80
75Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku
m10754006084
820030
84
2 3
11
,,,
,,
,w
wRwRδRw
p
bbzaazp
Posunutí wp jako tuhého tělesa
lze vypočítat při použití principu
virtuálních prací.
Pružné posunutí wpr se vypočte
známými postupy.
Příklad 2.8
Řešení příkladu 2.8Obr. 3.29. / str. 91
Zadání příkladu 2.2 Obr. 3.21. / str. 80
m10844,24494
78,12
299,102
2167,1468,0
2
8,2167,11
3
pr
pr
w
EIw
Celkové posunutí je dáno součtem.
m10594,710844,21075,4 333
c
prpc
w
www
76
Použitá literatura
[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005