Volatilità e informazione implicita
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
2
Il modello di Black & Scholes• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di
distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)
tTdd
tT
tTKtYFd
dKNTtvdNtYTKtYcall
12
2
1
21
2/1/,ln
,,;,
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
3
Prezzi di opzioni put
• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo
tTdd
tT
tTKtYFd
dKNTtvdNtYTKtYput
12
2
1
21
2/1/,ln
,,;,
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
4
Volatilità implicita• La volatilità utilizzata è selezionata per ottenere
prezzi coerenti con quelli osservati sul mercato.
• Questo concetto è noto come volatilità implicita e rappresenta un esempio di informazione implicita estratto dai dati di mercato.
• Si noti che il modello di Black e Scholes è basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante.
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
5
Il mondo di Black e Scholes
• La volatilità è costante, che equivale a dire che i rendimenti sono distribuiti normalmente
• I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo nel tempo continuo, e i derivati possono essere replicati esattamente (mercati completi)
• I derivati non sono soggetti a rischio di controparte cioè il rischio che la controparte possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni.
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
6
Oltre Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato
• Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati– La volatilità implicita varia per diversi strike
(smile effect)– La volatilità implicita varia per diverse date di
esercizio (struttura a termine di volatilità)• Il sottostante non ha distribuzione log-normale.
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
7
Smile, please!Smiles in the equity markets
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3
Moneyness
Imp
lied
Vo
lati
lity
Mib30
SP500
FTSE
Nikkei
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
8
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
9
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
10
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
11
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
12
Informazione implicita
• Nel mondo di Black e Scholes, a volatilità costante, e distribuzione normale dei rendimenti, la volatilità implicita di una opzione qualsiasi racchiude tutta l’informazione implicita nei mercati.
• Dopo Black e Scholes, si prova a estrarre da tutte le opzioni scambiate sul mercato per una stessa data di esercizio l’intera distribuzione aggiustata per il rischio dei prezzi (informazione implicita) utilizzando l’approccio di Breeden e Litzemberger.
• Più recentemente prezzi di opzioni con strike e tempi di esercizio diversi sono stati utilizzati per estrarre la dinamica implicita dei prezzi (alberi impliciti)
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
13
Digitali…Digital CoN
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
48 48,5 49 49,5 50 50,5 51 51,5 52
Digital CoN
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
14
…e spread verticali (super-replica)Spread verticali e opzioni digitali
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
48 48.5 49 49.5 50 50.5 51 51.5 52
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
15
Probabilità implicita nelle call…
• Ricordiamo che il valore dell’opzione digitale cash-or-nothing (CoN) è dato da
Digital Call CoN = P(t,T)Q( S(T) > K)• Sappiamo anche che il pay-off può essere
approssimato da
…da cui
Kh
hh
KCall
KCall-KCalllim CoN Call Digital
0
KTtP
KTSQ
KCall
,
1
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
16
…e nelle put
• La stessa analisi può esser fatta per l’opzione put digitale, cioè che paga un’unità di valuta se S(T) K
Digitale Put CoN = P(t,T)Q( S(T) K)• Allo stesso modo l’approssimazione da dati di
mercato è
…da cui
Kh
hh
KPut
-KPutKPutlim CoNPut Digitale
0
KTtP
KTSQ
KPut
,
1
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
17
Probabilità implicita S&P Mib – Aprile
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
Smile
Gaussian
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
18
Probabilità implicita S&P Mib Maggio
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
Smile
Gaussian
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
19
Eventi estremi: aprile
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15
Smile
Gaussian
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
20
Eventi estremi: maggio
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15
Smile
Gaussian
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
21
Alberi ImplicitiNumero Livelli
3
Tasso
Step4
3756480,5336
3700049,7143110
35000 19,46643466548,6742440 48,7698
33000 50,285733000875 36,81320
51,325831000 51,230231415414 80,4157
63,229000630
19,584319083
Indietro Calcola
DATI DI ESEMPIOMercato: Opzioni CALL sul Mib30 - Fonte: Il Sole 24 Ore 11 Marzo 1999Tasso = 0STEP 1Mib30 = 36500, Call es. APRILE con strike = 36500 prezzo=1764STEP2Call es. GIUGNO con strike = 40000 prezzo = 1347Put es. GIUGNO con strike = 32000 prezzo = 960
Reset