AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA W KRAKOWIE
WYDZIAŁ FIZYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ
JERZY CACHEL
ZADANIA
Z PRĘDKOŚCIĄ
KRAKÓW 2011
2
Zadanie 1
Rowerzyści podczas wycieczki rejestrowali swoją szybkość. Oblicz szybkości średnie kaŜdego rowerzysty jeŜeli: a) rowerzysta A przez pierwszą godzinę jechał z prędkością 30km/h, a podczas drugiej na skutek zmęczenia jechał z prędkością 10km/h, b) rowerzysta B pierwsze 20km jechał z prędkością 30km/h, a kolejne 20km z prędkością 10km/h, c) rowerzysta C godzinę jechał z prędkością 30km/h, a następnie 20km z prędkością 10km/h.
a) km/h 10 km/h, 30 h, 1 h, 1 :dane 2121 ==== vvtt
h
km 20
h 2
km 10km 30
21
21. =+=
++
=tt
ssvśr
b) km/h 10 km/h, 30 km, 20 km, 20 :dane 2121 ==== vvss
h
km 15
h 3
8km 40
h
km 10
km 20
h
km 30
km 20km 20km 20
2
2
1
1
21
21
21. ==
+
+=+
+=
++
=
v
s
v
sss
tt
ssvśr
c) km/h 10 km/h, 30 km, 20 h, 1 :dane 2121 ==== vvst
h
km
3
216
h 3
km 50
h
km 10
km 20h 1
km 20km 30
2
21
21
21
21. ==
+
+=+
+=
++
=
v
st
ss
tt
ssvśr
Zadanie 2
Motocyklista odbył drogę z Myślenic do Krakowa ze średnią prędkością 1v , a z powrotem
z Krakowa do Myślenic z przeciętną prędkością 2v . Obliczyć średnią prędkość jazdy
motocyklisty na trasie Myślenice-Kraków-Myślenice.
1
1 t
sv =
22 t
sv =
21
21
2121
21
211
222
vv
vv
vvv
s
v
ss
tt
sv
+=
+=
+=
+=
Średnia prędkość jazdy v jest średnią harmoniczną obu prędkości 21,vv .
3
Zadanie 3
Połowę pewnej drogi samochód jechał z prędkością 60km/h, drugą połowę z prędkością
średnią 90km/h. Z jaką prędkością przejechał całą drogę?
dane: h
km 90 ,
h
km 60 21 == vv
1
1 t
sv =
22 t
sv =
h
km 72
h
km 150
h
km 90
h
km 6022
11222
21
21
2121
21
=⋅⋅
=+
=+
=+
=+
=vv
vv
vvv
s
v
ss
tt
sv
Zadanie 4
Koń biegnący kłusem osiąga prędkość 5 m/s, a cwałem 8 m/s. Koń biegł kłusem przez
4 minuty, a następnie 2 minuty cwałował. Z jaką średnią prędkością biegł koń przez
te 6 minut?
Wprowadźmy dane: s
m 8 ,
s
m 5 21 == vv
s 120 ,s 240 21 == tt
Wtedy dostajemy:
s
m 6
s
m
3
18
s 360
m 1208m 2405
21
2211
21
21. ==⋅+⋅=
++
=++
=tt
tvtv
tt
ssvśr
Zadanie 5
Rajdowiec miał do przejechania trzy odcinki specjalne, kaŜdy tej samej długości. Odcinki te
pokonał odpowiednio z prędkościami .,, 321 vvv Jaka była średnia prędkość rajdowca na całej
trasie?
Niech s oznacza długość odcinka specjalnego, a )3,2,1( == iv
st
ii - czasem przejazdu
i –tego odcinka specjalnego.
4
Wtedy
321321
321. 111
333
vvvv
s
v
s
v
ss
ttt
svśr
++=
++=
++=
Zadanie 6
Statek przepłynął 40km z prądem rzeki w 2 godziny a 35km pod prąd w 2,5 godziny.
Oblicz prędkość statku względem wody i prędkość prądu rzeki.
v – prędkość statku u – prędkość prądu rzeki
h 5,2 h, 2
km 35 km, 40 :dane
21
21
====
tt
ss
=−
=+
2
2
1
1
t
suv
t
suv
h
km 3
h
km 17
h 2
km 40
h
km 17
h 2,5h 22
km 35h 2h 2,5km 40
2
2
1
1
21
2121
2
2
1
1
=−=−=
=⋅⋅
⋅+⋅=+=
+=
vt
su
tt
sttsv
t
s
t
sv
Odp. km/h 3
km/h 17
==
u
v
Zadanie 7
Odległość między dwoma przystaniami na rzece wynosi 80km. Statek przepływa tę drogę
w obie strony w ciągu 8 godzin i 20 minut. Obliczyć prędkość statku w wodzie stojącej, jeŜeli
woda w rzece płynie z prędkością 4km/h.
km/h 4 h, 3
18 km, 80 :Dane === wvtd
Niech sv oznacza szukaną prędkość.
Wtedy ws vv + – oznacza prędkość statku z prądem
ws vv − – oznacza prędkość statku pod prąd
tvv
d
vv
d
wsws
=−
++
5
( )
( )
2025
654240
25
42254240
3
25
62594003
480
3
253
1008080
2
22
44
02
)()(
22
22
222
22
22
=⋅+=+=
=+⋅+
=
++=
+=
+=∆
=−−
−=++−
t
tvddv
vtd
tvdvtv
vvtvvdvvd
ws
w
wss
wswsws
m
Odp. Szukana prędkość wynosi 20 km/h.
Zadanie 8
Łódź musi płynąć 60km w dół rzeki, a następnie 10km w górę rzeki. Prędkość prądu rzeki
wynosi 5km/h. Jaka powinna być prędkość własna łodzi, aby cała podróŜ nie trwała dłuŜej
niŜ 10 godzin?
h 10 ,h
km 5 ,
h
km 10 ,
h
km 60 :Dane 21 ==== tvss r
JeŜeli przez v oznaczymy prędkość łodzi to otrzymujemy równania
( )
( )r
r
rr
vv
sttvvs
vv
sttvvs
−=⇒−=
+=⇒+=
2222
1111
gdzie 21,tt to odpowiednio czasy podróŜy w dół i w górę rzeki.
Mamy zatem nierówność
rr vv
s
vv
sttt
−+
+=+≥ 21
21
7
07
125
257
105
10
5
60
2
2
≥≥−
≤−−
≤−
++
v
vv
v
vvv
Skorzystaliśmy z faktu, Ŝe 5>v - inaczej statek nie popłynąłby w górę rzeki.
Odp. Co najmniej 7 km/h.
6
Zadanie 9
Po okręgu o długości 80m poruszają się 2 punkty ze stałą prędkością. JeŜeli kierunki ruchów
są zgodne, to punkt pierwszy wyprzedza punkt drugi co 5 sekund. JeŜeli zaś kierunki ruchów
są przeciwne, to punkty mijają się co 2 sekundy. Obliczyć prędkości tych punktów.
s 2 s, 5 m, 80 :dane 21 === tts
Oznaczmy przez v i u szukane prędkości.
Wtedy
=+=−
sutvt
sutvt
22
11
=+
=−
2
1
t
suv
t
suv
( ) ( )
s
m 12
s
m 28
s 2
m 80
s
m 28
s 2 s 52
s 2s 5 m 80
2
2
2
21
21
21
=−=−=
=⋅⋅+=
+=
+=
vt
su
tt
ttsv
t
s
t
sv
Odp. Szukane prędkości wynoszą 28 m/s i 12 m/s.
Zadanie 10
Po okręgu o długości 800m poruszają się dwa ciała. Pierwsze wykonuje pełny obrót
o 5 sekund szybciej niŜ drugie. Gdyby te ciała poruszały się w tym samym kierunku,
to spotkałyby się co 10 sekund. Oblicz prędkość kaŜdego ciała.
21,vv - szukane prędkości ciał
21,tt - czas pełnego obrotu danych ciał
10 s, 5 m, 800 :dane 12 =+== ttts
stvtv =− 21
512 += tt 1
1 t
sv =
22 t
sv =
15 22
21
=−−
=⋅−⋅
t
t
t
t
st
st
t
st
7
( ) ( )
s
m 80
s 10
m 800
s
m 160
s 5
m 800
s 5 )s( 102
20255
2025
055
55
22
11
12
22
2
2222
======
==++=
+=∆=−−
−=−−⋅
t
sv
t
sv
tt
t
t
ttt
tttttt
Zadanie 11
Prędkość własna pewnego samolotu wynosi v. Samolot ten leciał z miasta A do miasta B
z wiatrem wiejącym z prędkością u (u<v), a następnie wracał do miasta A, lecąc pod wiatr,
wiejący nadal z tą samą prędkością. Jak prędkość wiatru wpływa na łączny czas przelotu
samolotu na trasie A-B-A?
Niech sAB = , 21,tt - oznaczają odpowiednio czasy przelotu samolotu z A do B i z B
do A.
PoniewaŜ v+u jest prędkością samolotu z wiatrem, a v-u – prędkością pod wiatr, więc
mamy
uv
st
+=1 i
uv
st
−=2
Stąd 2221
2
uv
sv
uv
s
uv
stt
−=
−+
+=+ .
Zatem im większa prędkość wiatru, tym czas przelotu na trasie A-B-A dłuŜszy.
Natomiast najkrócej będziemy lecieć, gdy u=0, czyli przy bezwietrznej pogodzie.
Zadanie 12 Turysta odbył podróŜ kajakiem na trasie Kraków-Warszawa-Kraków. Część podróŜy
z biegiem Wisły zajęła mu 4 dni, powrót – 5 dni. Ile dni płynie woda Wisły z Krakowa
do Warszawy?
Oznaczmy:
v – prędkość kajaka na wodzie stojącej w km/dzień,
u – prędkość nurtu Wisły w km/dzień,
s – odległość Kraków-Warszawa wzdłuŜ Wisły w km
21,tt - czas podróŜy odpowiednio z biegiem Wisły i z powrotem
Zatem v+u i v-u oznaczają odpowiednio prędkość kajaka w dół i w górę Wisły.
8
Zgodnie z warunkami zadania mamy:
1t
suv =+ i
2t
suv =−
Stąd ( )
202
21
12
21
s
tt
tts
t
s
t
su =
−=−= ,
Zatem 40=u
s jest liczbą dni, którą płynie woda Wisły z Krakowa do Warszawy.
Zadanie 13
Motocyklista drogę z miasta A do miasta B pokonał ze średnią prędkością 84 km/h.
Pokonanie drogi powrotnej zajęło mu o godzinę dłuŜej, a średnia prędkość wyniosła 56 km/h.
Oblicz odległość między miastami A i B.
h 1 ,h
km 56 ,
h
km 84 :Dane 021 === tvv ,
JeŜeli przez t oznaczymy czas przejazdu motocyklisty z miasta A do miasta B,
a przez s szukaną odległość między miastami A i B, to mamy układ równań
( )
=+=
sttv
stv
02
1
( )
km 168h 2h
km 84
h
km 56
h
km 84
h 1h
km 56
h
km 84
21
0211
21
02
021
=⋅=−
⋅⋅=
−==
−=
+=
vv
tvvtvs
vv
tvt
ttvtv
Odp. Odległość między miastami wynosi 168 km.
Zadanie 14
Marek poŜyczył od taty samochód, którym wyruszył z domu na spotkanie ze swoją
dziewczyną. Przed wyjazdem obliczył, Ŝe jadąc ze średnią prędkością 60 km/h przybędzie na
spotkanie dokładnie o umówionej godzinie. Po przejechaniu z zaplanowaną prędkością 60%
drogi zepsuł się samochód. Naprawa samochodu zajęła mu 16 minut. Teraz, aby zdąŜyć na
spotkanie, musiałby jechać z prędkością 120 km/h. Oblicz odległość od domu Marka
do miejsca spotkania z ukochaną.
9
Niech s oznacza szukaną odległość a t – planowany czas przejazdu.
Z obliczeń Marka wynika, Ŝe s=60t.
Z treści zadania wynika ponadto
30015
4
100
120
4,0
60
16
60
6,0
sst
sst
++=
++=
Z porównania t otrzymujemy
8030015
4
10060=
++=
s
sss
Odp. Szukana odległość wynosi 80 km.
Zadanie 15
W biegu narciarskim na 30 km róŜnica czasów między zwycięzcą i ostatnim zawodnikiem
była równa 20 minut. Po biegu obliczono, Ŝe średnia prędkość zwycięzcy była o 3 km/h
większa od prędkości ostatniego biegacza. Oblicz prędkość zwycięzcy.
JeŜeli oznaczymy średnią prędkość zwycięzcy przez v, to ostatni zawodnik biegł
z prędkością v-3. Zatem całą trasę przebiegli odpowiednio w czasie v
30 oraz
3
30
−v
godzin. Dostajemy zatem równanie:
3
1
3
3030 −−
=vv
( ) ( )
182
333
33
02703
390390
2
2
=+=
=∆
=−−−−=−
v
vv
vvvv
Czyli h
km 18=v .
Zadanie 16
W biegu motocyklowym zawodnik, który zwycięŜył, przejechał trasę z prędkością o 20 km/h
większą niŜ drugi zawodnik i o 25 km/h większą od trzeciego zawodnika. Zawodnicy
wystartowali jednocześnie. Na mecie drugi zawodnik był o 18 minut później niŜ zwycięzca
i o 6 minut wcześniej niŜ trzeci zawodnik.
10
Oblicz: a) długość trasy rajdu,
b) prędkość jazdy kaŜdego zawodnika,
c) czasy przejazdu tych zawodników.
a) Niech v będzie prędkością najwolniejszego zawodnika, s długością trasy,
t czasem w jakim najwolniejszy zawodnik pokonał całą trasę.
Wtedy 25,5, ++ vvv - prędkości zawodników,
24,6, −− ttt - czasy (w minutach) zawodników,
4,0,1,0, −− ttt - czasy (w godzinach) zawodników.
Dostajemy zatem układ równań:
( )( )( )( )
=−+=−+
=
stv
stv
svt
4,025
1,05
Skąd mamy
=−−+=−−+
=
svtvt
svtvt
svt
104,025
5,01,05
h 6,1
0104,025
05,01,05
=
=−−=−−
t
vt
vt
km/h 75=v
km 120=s
b) Z poprzedniego podpunktu dostajemy prędkości: 75 km/h, 80 km/h, 100 km/h.
c) Czasy wynoszą 1,6 h, 1,5 h, 1,2 h.
Zadanie 17
Trasa rowerowa wokół jeziora ma długość 15 km. Dwóch rowerzystów wyrusza z tego
samego miejsca i okrąŜa jezioro poruszając się w tym samym kierunku. Średnia prędkość
drugiego z nich jest większa od średniej prędkości pierwszego o 5 km/h. Oblicz po jakim
czasie dojdzie do ponownego spotkania rowerzystów.
Oznaczmy przez v prędkość pierwszego rowerzysty. JeŜeli rowerzyści spotkają
się po czasie t, to pierwszy rowerzysta przejedzie w tym czasie vt, a drugi
(v+5)t kilometrów. Skoro to ma być moment spotkania, to druga z tych liczb
musi być większa od pierwszej o długość toru. Daje to nam równanie:
( )
3
155
=+=+
t
vttv
Odp. Po 3 godzinach dojdzie do ponownego spotkania.
11
Zadanie 18
Po torze wodnym o długości 10 km pływają w kółko dwie łodzie motorowe, przy czym druga
z nich płynie z prędkością o 5 km/h większą od prędkości pierwszej łodzi. Łodzie te
wystartowały z tego samego punktu i ponownie spotkały się, gdy pierwsza z łodzi wykonała
pełne 3 okrąŜenia toru. Oblicz prędkości obu łodzi.
Czas jaki upływa między kolejnymi spotkaniami łodzi to dokładnie czas,
w którym druga łódź przepłynie o 10km więcej od pierwszej łodzi.
JeŜeli oznaczymy przez v prędkość pierwszej łodzi to dostajemy układ równań
( )
=+=
405
30
tv
vt
152
30
2
40530
405
==
==+=+
v
t
t
tvt
Odp. Prędkości obu łodzi wynoszą 15 km/h i 20 km/h.
Zadanie 19
Pomiędzy miastami A i B kursuje autobus. Droga między tymi miastami prowadzi przez
wzgórze. Autobus jadąc pod górę rozwija prędkość 25 km/h, a z góry 50 km/h. PodróŜ z A
do B trwa 3,5 h, a z B do A 4 h. Jaka jest odległość z miasta A do miasta B?
h 4 h, 5,3 ,h
km 50 ,
h
km 25 :Dane 2121 ==== ttvv
Oznaczmy przez x długość drogi od A do szczytu, a przez y od szczytu wzgórza
do B. Wtedy dostajemy układ równań:
=+
=+
221
121
tv
x
v
y
tv
y
v
x
⇒
=+=+
21212
21121
vvtxvyv
vvtyvxv ⇒
2
1211
v
yvvvtx
−=
( )75
4
35,3825
2
1
4
11
255,3504
50
25
12
2
1
1122
2
1
2
21
2
211212
21222
212
112
=−⋅=−
⋅−⋅⋅=
−
−⋅=
−
−=
=−+
v
v
vtvt
v
v
v
vv
vtvvty
vvtyv
vvtyv
12
( )
5050
755,35025
50
752550255,3 =−⋅=⋅−⋅⋅=x
50,75 == xy
Odp. Szukana odległość wynosi 125 km.
Zadanie 20
Samochód wyrusza z punktu P w południe z prędkością 90 km/h. O której godzinie dogoni
rowerzystę, który wyruszył o siódmej rano i jedzie z prędkością 15 km/h?
Oznaczmy przez t czas spotkania. Rowerzysta do godziny 12.00 pokonał 75 km.
1 901575 =⇒=+ ttt
Samochód dogoni rowerzystę o godzinie 13.00
Zadanie ma interpretację geometryczną.
Niech ( ) ( )5901 −= tts , tts 15)(2 = .
JeŜeli narysujemy wykresy funkcji 21,ss , czyli wykresy pokonywanej drogi
w zaleŜności od czasu, to miejsce i czas spotkania odpowiada punktowi wspólnemu
tych wykresów.
( ) 615590)()( 21 =⇔=−⇔= ttttsts
Zadanie 21
Pociąg osobowy mija obserwatora w ciągu 5 s, a obok peronu długości 300 m przejeŜdŜa
w ciągu 25 s.
a) Oblicz długość pociągu i jego prędkość.
b) Oblicz, jak długo pociąg będzie mijał pociąg towarowy długości 150 m jadący
równoległym torem w przeciwnym kierunku z prędkością 36 km/h?
a) Oznaczmy przez d – długość pociągu, a przez v jego prędkość.
m 300 s, 25 s, 5 :dane 21 === ltt
Wtedy
=+=
vtld
vtd
2
1
m 75s
m 15s 5
s
m 15
s 20
m 300
1221 =⋅===
−==+ d
tt
lvvtlvt
13
b) m 150 :dane 1=l m/s 10s 3600
m 100036km/h 361 =⋅==v
s 9
s
m 10
s
m 15
m 75m 150
1
1 =+
+=++
=vv
dlt
Zadanie 22
Z dwóch miejscowości jadą naprzeciw siebie dwa pociągi: jeden długości 100 m z prędkością
36 km/h, drugi długości 150 m z prędkością 54 km/h. Obliczyć czas mijania tych pociągów.
Wprowadźmy dane: h
km 54,
h
km 36 21 == vv
m 150,m 100 21 == ll
Wtedy otrzymujemy:
s 1090
s 3625
s 36
m 900m 250
s 3600
m 100090
m 250
h
km 90
m 150m 100
21
21 =⋅==⋅
=+=++
=vv
llt
Zadanie 23
Z miasta A wyrusza pociąg z prędkością 60 km/h, z miasta B wyrusza pociąg z prędkością
40 km/h. Odległość między miastami wynosi 12 km. Po jakim czasie i w jakiej odległości
od miast spotkają się te pociągi?
km 12 ,h
km 40 ,
h
km 60 :Dane 21 === svv
Niech t – oznacza czas spotkania
21,ss - przebyte drogi pociągów wyruszających odpowiednio z miast A i B
Wtedy dostajemy:
2
2
1
1
v
s
v
st ==
=+=
sss
svsv
21
2112
( )21222
2122
21
svsvsv
svssv
sss
=−=−
−=
14
km 2,7
km 8,4
h
km 100
km 12h
km 40
21
21
22
=−=
=⋅
=+
=
sss
vv
svs
h 25
3h
5
6,0
h
km 40
km 8,4
2
2 ====v
st
Zadanie 24
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km.
Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niŜ jadący z miasta B
do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi.
Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Sposób 1
Oznaczmy przez v – prędkość pierwszego pociągu,
t – czas w jakim przejechał on połowę drogi
Mamy zatem
270=vt
O drugim pociągu wiemy, Ŝe jechał z prędkością v+9 oraz Ŝe połowę drogi przejechał
w czasie t-1. Stąd
( )( ) 27019 =−+ tv
Czyli 27099 =−−+ vtvt . PoniewaŜ 270=vt , to dostajemy
99099 −=⇒=−− tvvt
( )
4599 62
111
030
270992
=−==+=
=−−
=−
tvt
tt
tt
Pociągi jechały z prędkością: 45 km/h i 54 km/h.
Sposób 2
JeŜeli przez v oznaczymy prędkość pierwszego pociągu, to połowę drogi przebył on
w czasie v
270. Drugi pociąg dotarł do połowy drogi po czasie 1
9
270 ++v
.
15
Mamy więc równanie:
19
270270 ++
=vv
( ) ( )
452
999
99
024309
92709270
2
2
=+−=
=∆
==+++=+
v
vv
vvvv
Zadanie 25
Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie
po dwóch równoległych torach i spotykają się w punkcie S. Mijanie się pociągów trwa 20 s,
a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu
przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, Ŝe poruszają się
ruchem jednostajnym.
s 25 s, 20 m, 210 m, 490 :Dane 21 =∆=== ttll
Oznaczmy przez 1v – prędkość pierwszego pociągu, 2v – prędkość drugiego
pociągu.
Mijając się, kaŜdy z pociągów pokonuje dystans równy sumie ich długości.
Dostajemy zatem równanie ( ) 2121 llvvt +=+ .
Czas przejazdu pierwszego pociągu przez punkt S to 1
1
v
l, a czas przejazdu
drugiego pociągu to 2
2
v
l. Daje nam to drugie równanie
tv
l
v
l∆+=
2
2
1
1 .
Podstawiając dane rozwiązujemy układ równań:
+=
=+
25210490
20
700
21
21
vv
vv
+==+
2112
21
54298
35
vvvv
vv
16
( ) ( )
1435 212
357 35
02947
355354298
35
2
22
2
2222
21
=−==+==∆
=−−
−+−=−=
yxy
vv
vvvv
vv
Odp. Prędkości pociągów wynoszą s
m 21,
s
m 14 .
Zadanie 26
Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeŜdŜają naprzeciw siebie dwaj
rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią
prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B
wyjeŜdŜa o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej
prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, Ŝe rowerzysta
jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 13
9 całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi
prędkościami jechali obaj rowerzyści?
Punkt spotkania rowerzystów jest oddalony od miejscowości A o 12618213
9 =⋅
kilometrów. JeŜeli oznaczymy średnią prędkość rowerzysty jadącego z A do B
przez v, a czas w godzinach, po jakim spotkał się z drugim rowerzystą przez t,
to z danych zadania otrzymujemy układ równań:
( )( )
=−=−−=
5612618217
126
tv
vt
Przekształcając drugie równanie dostajemy
vt
vt
vtvt
=−=+−−
=+−−
777
5677126
5677
Podstawiając otrzymaną zaleŜność do równania pierwszego mamy
( )
149
126 3263
2
126
92
711 2
2
711
49 01811
126777
21
21
2
==>==
=+==−=
=∆=+−
=−
vv
tt
tt
tt
Odp. Prędkości rowerzystów wyniosły 14 km/h i 7 km/h.
17
Zadanie 27
Dwa samochody odbyły podróŜ z miejscowości A do odległej o 480 km miejscowości B.
Drugi z samochodów jechał ze średnią prędkością większą o 20 km/h od średniej prędkości
pierwszego samochodu, a czas przejazdu pierwszego samochodu był o 72 minuty dłuŜszy od
czasu przejazdu drugiego samochodu. Oblicz ile czasu zajęła podróŜ kaŜdemu z samochodów.
JeŜeli oznaczymy średnią prędkość pierwszego samochodu przez v, a jego czas
przejazdu przez t, to dostajemy układ równań
( )
=
−+
=
48060
7220
480
tv
vt
−=⇒=−−
=
=−−+
=
203
50 024
5
620
480
0245
620
480
tvvt
vt
vtvt
vt
6
3
10182
324
04823
5
480203
50
2
=+=
=∆
=−−
=
−
t
tt
tt
Odp. Czas podróŜy pierwszego samochodu wynosił 6 godzin a drugiego 4 godziny
i 48 minut.
Zadanie 28 Turysta Nowak wyrusza z miasta A do miasta B, w tym samym czasie turysta Kowalski
wyrusza z miasta B do miasta A i po pewnym czasie spotykają się. W momencie spotkania
turysta Nowak miał do miasta B jeszcze 40 minut marszu, zaś turystę Kowalskiego czekało
jeszcze 90 minut marszu do miasta A. Ile trwała podróŜ kaŜdego z turystów?
Niech sAB = , zaś t – oznacza czas w minutach, który upłynął od momentu
wyruszenia turystów do chwili ich spotkania.
18
Niech ponadto u i v oznaczają odpowiednio prędkości marszu turystów Nowaka
i Kowalskiego.
Wówczas svtut =+ (*)
Ponadto stv
stu
=+=+
)90(
)40(
Zatem 40+
=t
su
90+=
t
sv
Po podstawieniu wyznaczonych u i v do równania (*) otrzymujemy
st
t
st
t
s =⋅+
+⋅+ 9040
19040
=+
++ t
t
t
t
Po przekształceniach otrzymujemy równanie
36002 =t , czyli 60=t
Wobec powyŜszego marsz turysty Nowaka trwał 60+40=100 minut, zaś marsz turysty
Kowalskiego trwał 60+90=150 minut.
Zadanie 29 Karawana o długości 1 km jedzie przez pustynię z prędkością 4 km/h. Co jakiś czas od czoła
karawany do jej końca i z powrotem jedzie goniec z prędkością 6 km/h. Oblicz długość drogi
tam i z powrotem, którą pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.
Oznaczmy:
v – prędkość gońca
t – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie ku końcowi karawany
T – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie od końca karawany ku jej przodowi
km 1 km/h, 4 km/h, 6 :Dane 1 === dvv
ZauwaŜmy, Ŝe jadąc ku końcowi karawany posłaniec przebywa drogę długości vt km,
o tv1 krótszą niŜ długość karawany.
h 10
1
11 =
+=⇒=+
vv
dtdtvvt
ZauwaŜmy, Ŝe w drodze powrotnej posłaniec przebywa drogę długości vT km,
o Tv1 km dłuŜszą niŜ długość karawany.
19
h 2
1
11 =
−=⇒=−
vv
dTdTvvT
Obliczamy czas, w ciągu którego posłaniec pokonuje drogę tam i z powrotem:
)h( 5
3
2
1
10
1 =+=+ Tt min 36h 5
3 =
Obliczamy długość pokonywanej przez posłańca drogi:
( ) km 6,3h
km 6h
5
3 =⋅=⋅+= vTts
Zadanie 30 Kolumna wojska ma długość 80 m i porusza się względem szosy z prędkością 7,2 km/h.
Dowódca z końca kolumny wysyła gońca do czoła kolumny z meldunkiem. Goniec wraca
po czasie 30 s. Jaka była prędkość gońca względem szosy?
Wprowadźmy oznaczenia:
s
m 2
s
m
36
72
s 3600
m 10002,7
h
km 2,71 ==⋅==v m 80=d s 30=t
v - szukana prędkość gońca względem szosy
Wtedy:
11 vv
d
vv
dt
++
−=
Czyli:
( ) ( ) ( )
h
km 6,21
h 1000
km 36006
h 3600
1km 001,06
s
m 6
630
1000080
44
02
21
22
21
22
21
2
21
221
=⋅=⋅=
=+=++
=
+=∆
=−−
−=−++
t
vtddv
vtd
tvdvtv
vvtvvdvvd
Odp. Prędkość gońca wynosiła 21,6 km/h.
Zadanie 31
Po zelektryfikowaniu linii kolejowej prędkość pociągów osobowych zwiększyła się
o 10 km/h, a czas jazdy na trasie o długości 200 km zmniejszył się o 1 h.
W ciągu ilu godzin pociąg przebiega trasę 200 km po zelektryfikowaniu linii?
20
Niech
v – prędkość pociągu przed zelektryfikowaniem
t – czas przejazdu 200km przed zelektryfikowaniem
Wtedy
( )( )
=−+=⋅
200110
200
tv
tv
Zatem
( )
52
91 81
020
02001010
010200
10
200110200
200
2
2
=+==∆
=−−
=−−
=−−
=−
+
=
t
tt
tt
tt
tt
tv
Zadanie 32 (Egzamin maturalny z matematyki, 2011) Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc kaŜdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu kaŜdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę.
( )( )
=−+=
112123
112
yx
xy
( )
284
112
42
113
121
0283
11212112
3
112
2
==
=+−=
=∆=−+
=
−+
=
y
x
xx
xx
xy
( )
428
112
282
4412
44
044812
112123112
112
2
2
==
=+=
=∆
=−−
=−
+
=
x
y
yy
yy
yx
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
21
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę. Liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę opisujemy równaniem
x
y112=
Turysta moŜe przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc kaŜdego dnia o 12 km mniej, wówczas zapisujemy równanie:
123
112112 ++
=xx
Przekształcamy to równanie do postaci 02832 =−+ xx .
Zadanie 33 (Egzamin maturalny z matematyki, 2007) Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
km 210 h, 2
1 km/h, 10 :Dane 00 === stv
Sposób 1
Wprowadźmy oznaczenia: v – średnia prędkość samochodu,
v
s– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością v,
0vv
s
+– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością 0vv + .
Warunki zadania zapisujemy za pomocą równania:
0tvv
s
v
s =+
− , czyli
2
1
10
210210 =+
−vv
które po przekształceniu przyjmuje postać:
04200102 =−+ vv
Rozwiązaniem równania są liczby: 70,60 21 −== vv .
Odrzucamy rozwiązanie ujemne, które jest niezgodne z warunkami zadania. Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością 60 km/h.
22
Sposób 2
( )( )
=−+=
sttvv
svt
00
( )
=
−+
=
2102
110
210
tv
vt
JeŜeli v
t210= , to
( )
60655
65
0210052
1
0420010
2102
121010
2
2
2
=+−==∆
=−+
=−+
=
−+
v
vv
vv
vv
Zadanie 34 (Egzamin próbny maturalny z matematyki, 2010) Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niŜ samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość kaŜdego samochodu do chwili spotkania. I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B i niech t oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A: 174 km. Zapisujemy układ równań
( )( )
=−−=⋅
174117
300
tv
tv
Przekształcając drugie równanie uwzględniając warunek 300=⋅ tv otrzymujemy: tv 17143−= Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy: 030014317 2 =+− tt Rozwiązaniami tego równania są liczby:
17
74
17
751 ==t 42 =t
Stąd 75,68 21 == vv .
Odpowiedź: pierwsze rozwiązanie: km/h 68,km/h 51 == BA vv
23
drugie rozwiązanie: km/h 75km/h, 58 == BA vv
gdzie Av oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta A, a Bv oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta B.
Uwaga. MoŜemy otrzymać inne równania kwadratowe z jedną niewiadomą:
,017410917 2 =+− AA tt lub 029581092 =+− AA vv lub 051001432 =+− BB vv
II sposób rozwiązania Niech Av oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,
zaś Bv oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B oraz niech t oznacza czas od chwili wyjazdu samochodu z miasta B do chwili spotkania samochodów. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A:
174 km.
Zapisujemy równania: 1
174
−=
tvA
tvB
300=
wówczas otrzymujemy równanie tt
30017
1
174 =+−
.
Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 030014317 2 =+− tt .
III sposób rozwiązania Niech Av oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,
zaś Bv oznacza średnią prędkość samochodu.
Wiedząc, Ŝe pierwszy samochód wyruszył o godzinę później niŜ drugi
samochód otrzymujemy równanie:
BA vv
3001
174 =+
Czyli ABAB vvvv 300174 =+ . (*)
Wiemy takŜe, Ŝe 17−= BA vv , co po podstawieniu do równania (*) daje
( ) ( )
752
7143 68
2
7143
49
05100143
17300171742
=+=∨=−=
=∆=+−
−=−+
BB
BB
BBBB
vv
vv
vvvv
51=Av lub 58=Av
24
Zadanie 35
Zwiększywszy prędkość pociągu o 10 km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeśli jednak
prędkość zostanie zmniejszona o 10 km/h, traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy?
Niech
v – prędkość pociągu, s – długość trasy
Wtedy
=−−
=+
−
110
3
2
10
v
s
v
sv
s
v
s
Stąd
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
200605015
1
50
255
101510010
151010
10
110
30
2
10
1030
2
1030
2
103
210
2
=⋅⋅=
==
−=+−+
=+−−+
=+−−
+
+=
+=−+
s
v
v
vvvv
vv
vvv
vv
v
vv
vvs
vvsvvs
Odp. Długość trasy wynosi 200 km.
Zadanie 36 (Egzamin maturalny z fizyki, 2008) Rowerzysta pokonuje drogę o długości 4 km w trzech etapach, o których informacje
przedstawiono w tabeli. Przez d oznaczono całą długość drogi przebytej przez rowerzystę.
Przebyta droga Wartość prędkości średniej
w kolejnych etapach w m/s
etap I 0,25d 10
etap II 0,50d 5
etap III 0,25d 10
Oblicz całkowity czas jazdy rowerzysty.
25
Niech 321 tttt ++=
Z danych z tabeli dostajemy m 1000,m 2000,m 1000 321 === sss
Zatem
st 100
s
m 10
m 10001 == s 400
s
m 5
m 20002 ==t s 100
s
m 10
m 10003 ==t
s 600s 100s 400s 100 =++=t
Zadanie 37 (Egzamin maturalny z fizyki, 2005) Po rzece, której nurt ma prędkość 1 m/s, płynie pod prąd motorówka. Wartość prędkości motorówki względem wody wynosi 3 m/s. Oblicz, ile sekund będzie trwał rejs motorówką między przystaniami odległymi od siebie o 2000 m.
Wyznaczamy wartość v prędkości motorówki względem brzegu
s
m 2
s
m 1
s
m 3 =−=v
Obliczamy czas ruchu motorówki
s 1000==v
st
Zadanie 38 (Egzamin maturalny z fizyki, 2009) Samochód porusza się po prostoliniowym odcinku autostrady. Drogę przebytą przez
samochód opisuje równanie: 25,115 tts += (w układzie SI z pominięciem jednostek).
Ile wynoszą wartości prędkości początkowej i przyspieszenia tego samochodu?
2
2
0
attvs +=
Odp. s
m 150 =v
2s
m 3=a
Zadanie 39 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Dwaj rowerzyści poruszając się w kierunkach wzajemnie prostopadłych oddalają się od siebie z prędkością względną o wartości 5 m/s. Wartość prędkości jednego z nich jest równa 4 m/s. Ile wynosi zatem wartość prędkości drugiego rowerzysty?
Odp. s
m 3
26
Zadanie 40 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Samochód rusza z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem
o wartości 3 2s
m i porusza się po prostoliniowym, poziomym odcinku autostrady. Oblicz
wartość prędkości średniej samochodu po pierwszych czterech sekundach ruchu.
2
2ats
t
sv
=
= ⇒
s
m 6
2
s 4s
m 3
22
22
=⋅
=== at
t
atv
Zadanie 41 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Lokomotywa manewrowa pchnęła wagon o masie 40 ton nadając mu początkową prędkość o wartości 5 m/s. Wagon poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym zatrzymał się po upływie 20 s. Oblicz wartość siły hamującej wagon.
N 10s 20s
m 5
kg 1040 43 =⋅⋅=∆∆=⇒
=
∆∆=
t
vmF
m
Fa
t
va
Zadanie 42 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Gimnastyczka wyrzuciła pionowo w górę piłkę z prędkością o wartości 4 m/s. Piłka w momencie wyrzucania znajdowała się na wysokości 1 m licząc od podłogi. Oblicz wartość prędkości, z jaką piłka uderzy o podłogę. ZałóŜ, Ŝe na piłkę nie działa siła oporu.
ghvvghvv
mvmgh
mvEEE kpk
22
222
02
02
220
00
+=⇒+=
=+⇒=+
s
m 6m 1
s
m 102
s
m 16
22
2
=⋅⋅+=v
Zadanie 43 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006) Dwaj kolarze zbliŜali się do mety, jadąc jeden obok drugiego ruchem jednostajnym z prędkością 15 m/s. W odległości 100 m od mety jeden z nich przyspieszył i jadąc ruchem jednostajnie przyspieszonym po sześciu sekundach minął metę. W jakiej odległości od mety znajdował się wówczas drugi kolarz jadący do końca z niezmienną prędkością?
m 90s 6s
m 15 =⋅== vts
Odp. 10m
27
Zadanie 44 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006) Dwie rakiety poruszają się wzdłuŜ tej samej prostej naprzeciw siebie z prędkościami (względem pewnego inercjalnego układu odniesienia) o wartościach cv 3,01 = i cv 3,02 = . Względną prędkość rakiet moŜna obliczyć w sposób relatywistyczny, korzystając z równania
c
vvvv
v21
21'
1+
+= lub klasyczny.
a) Oblicz w sposób klasyczny i relatywistyczny wartość prędkości względnej obu rakiet.
b) Zapisz, jak zmieni się stosunek prędkości względnej obliczonej w sposób relatywistyczny do wartości prędkości obliczonej w sposób klasyczny, jeśli wartości prędkości rakiet zostaną zwiększone.
a) Obliczenie prędkości względnej klasycznie:
s
m 108,16,0 8
21 ⋅==+= cvvv
Obliczenie prędkości względnej relatywistycznie:
s
m 1052,155,0 8' ⋅=≈ cv
c) Stosunek wartości prędkości będzie malał.
28
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI ĄZANIA
1. Samochód przejechał trasę długości 84 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą
o 12 km/h, to przejechałby te trasę w czasie o 21 minut krótszym.
Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
2. Pociąg o długości 120 m porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 18 km/h. Jak długo
pociąg będzie się znajdował na moście, którego długość wynosi 480 m?
3. Z miasta A do miasta B jadą motocykliści ze stałymi prędkościami. Jeden z nich ma
prędkość o 8% większą od prędkości drugiego i czas przejazdu o 10 minut krótszy.
Obliczyć czas przejazdu z A do B kaŜdego z motocyklistów.
4. Ile czasu potrzebuje motocyklista jadący z prędkością 90 km/h na wyprzedzenie cięŜarówki
z przyczepą o łącznej długości 20 m, jadący z prędkością 84 km/h?
5. Prędkość samolotu lecącego z wiatrem wynosi 280 km/h. Gdy ten samolot leci pod wiatr,
to jego prędkość wynosi 250 km/h. Jaka jest prędkość własna samolotu, a jaka prędkość
wiatru?
6. Statek przepłynął z prądem rzeki, drogę z miasta A do miasta B w ciągu 8 godzin.
Z powrotem przepłynął tę drogę w ciągu 10 godzin. Ile godzin będzie płynęła do B piłka
rzucona do rzeki w mieście A?
7. Z miejscowości A wyjechał rowerzysta, a w ślad za nim, po upływie 1 godziny i 20 minut
motocyklista. Po jakim czasie od chwili wyjazdu rowerzysty nastąpi spotkanie, jeŜeli
prędkość rowerzysty wynosi 15 km/h, a motocyklisty 45 km/h?
8. Dwaj turyści idą sobie naprzeciw z dwóch miejscowości A i B odległych o 30 km. Jeśli
Pierwszy turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ drugi, to spotkają się po upływie 2,5 h od
chwili wyruszenia drugiego turysty. Jeśli zaś drugi turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ
pierwszy, to spotkają się po upływie 3 h od wyruszenia pierwszego turysty.
Jaka jest średnia prędkość kaŜdego turystów?
9. Piotr i Paweł ścigają się na 100 metrów. Piotr wygrywa o 10 metrów. Decydują się ścigać
Jeszcze raz, ale tym razem, aby wyrównać szanse, Piotr startuje 10 metrów przed linią
startu. ZałóŜmy, Ŝe obaj biegną z taką samą stałą prędkością, jak poprzednio. Kto wygra?
10. Oblicz wartość średniej prędkości motocyklisty na prostoliniowym odcinku drogi jeśli
pierwszą połowę odcinka drogi przebył z średnią prędkością o wartości 40 km/h, a drugą
połowę z prędkością o wartości 60 km/h.
11. Oblicz średnią szybkość pociągu, który połowę czasu podróŜy pomiędzy dwiema stacjami poruszał się z szybkością 80 km/h, a drugą połowę czasu z szybkością 60 km/h.