03.06 bonos iii (bb)

1

Préstamos y Bonos III

Universidad Católica Argentina

Relación Precio/ Yield

• Una característica fundamental de los bonos es que los precios se mueven en relación inversa a las tasas de interés.

• Cuando las tasas de interés sube, los precios de los títulos bajan y viceversa.

2


Yield

Prec

io

Riesgos de Cambio de Precio

• Riesgo de Tasa de Interés–Es un riesgo sistemático asociado a la suba

de las tasas de interés.

• Riesgo de Reinversión–Riesgo de no poder reinvertir los flujos de

fondos del bono a la yield a la cual se adquirió.

3

Valuación de Bonos

• P= precio del bono

• n= cantidad de períodos

• C= cupón (tasa de interés por M)

• y= rendimiento requerido

• M= valor nominal

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

yM

yC

yC

yC

yC

P+

++

+++

++

++

=11

...111 3

32

20

Sensibilidad Precio/Yield

Para poder estimar los cambios en el precio de un bono ante variaciones de

la yield, tenemos que calcular la derivada parcial del precio respecto de

la tasa de interés.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

yM

yC

yC

yC

yC

P+

++

+++

++

++

=11

...111 3

32

20

4

Sensibilidad Precio/Yield

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1143

32

2 1)(

1)(...

1)3(

1)2(

1)1(

++ +

−+

+−

+++−

++−

++

−= nn

n

yMn

yCn

yC

yC

yC

dydP

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

yM

yC

yC

yC

yC

P+

++

+++

++

++

=11

...111 3

32

20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PynM

ynC

yC

yC

yC

yPdydP

nnn 1

11...

13

12

1111

33

22

++

+++

++

++

++−=

Derivamos

Dividimos por P y reordenamos

Duration

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PynM

ynC

yC

yC

yC

yPdydP

nnn 1

11...

13

12

1111

33

22

++

+++

++

++

++−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P

ynM

ynC

yC

yC

yC

nnn

++

+++

++

++

+= 11...

13

12

1durationMacaulay 3

32

2

1

durationMacaulay 1yPdy

dP+

−= Modified Duration

5

Duration

• Originalmente fue concebida como una media de la vida promedio de un bono.Mide el tiempo promedio que toma a un bono, considerando un flujo de fondos descontado, el pago de la obligación original

• Es una medida de riesgo (mayor Durationmayor riesgo).

• También es una medida de elasticidad.Variación del precio ante un cambio de 1% en el rendimiento requerido (yield)

Propiedades de la Duration

• La duration de un bono siempre es menor que el vencimiento (maturity).

• La duration de bonos Zero Coupon es la misma que el maturity.

• Cuanto más pequeño sea el cupón mayor será la duration, y viceversa.

• Cuanto más alta sea la yield menos variará el precio, por lo tanto menor será laduration.

6


Yield

Prec

io Alta Duration

Baja Duration

Duration

∑=

++

=n

1t

ttt

P)1(

)M C (

*t (años)Duration y

t: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupónC+M: Cupón de interés y amortización del principaln: Período nP: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado) y: Yield (tasa de descuento de mercado)

7

Ejemplo de Cálculo de Duration

Duration: 5,1114 años

7654321

Año

1.120120120120120120120

Flujo de Fondos

1.000,0506,6

60,868,176,385,495,7

107,1

FF Desc.(yield 12%)

5,11143,54640,36480,34050,30500,25620,19130,1071

FFD*T/P

Cuando la tasa cambia al 13%

• Valor presente del bono 13%: $ 955,8

• Pérdida de capital: $44,2 (4.42%)

Notas: Pérdida de capital del bono: $1.000 – $955,8 = 44,2Pérdida en porcentaje: 44,2 / 1.000 = 4.42 %

8

Usando la duración modificada

• Duration Modified: -4,56%• Variación de precio real: -4,42%

• La fórmula no es totalmente exacta• La fórmula da resultados exactos ante

cambios muy pequeños

0,01 *)012,(1 5,1114 Variación

+−= Tasa *

)(1Duration Variación ∆

+−=

y

Duration de un Portfolio

( )∑=

=n

1t

* Duration Portfolio tt DurationPart

Part: Participacion en el portfolio del bono tn: Número total de bonost: Bono t Duration: Duration del Bono t

9

Duration de un PortfolioDado:

•Bono A, adquirido en $ 853. Valor nominal $ 1000. Valor actual $ 801. Duration 3,5 años.

•Bono B, adquirido en $ 1.500. Valor nominal $ 1.500. Valor actual $ 1.283. Duration 5,25 años.

•Bono C, adquirido en $ 1.350. Valor nominal $ 2.000. Valor actual $ 482. Duration 1.23 años.

¿Cual es el valor actual del porfolio?

Calcular la duration del portfolio

Duration de un Portfolio

Portfolio Duration: 3,95 años

CBA

Bono

2.566482

1.283801

Precio

1,235,253,50

Duration

3,950,232,631,09

DurationPond.

100,0%18,8%50,0%31,2%

Part.%

10

Dado:• Un bono A, de valor actual $ 1.450 con un duration 3,23

años.• Un bono B, de valor actual $ 742 con un duration de 9,5

semestres.• Tasa de mercado del 6.00 % equivalente semestral.• El bono A y B fueron emitidos a tasa fija.

Se pide:• Calcular el duration del porfolio en años• Calcular el valor actual teórico del bono A y B después

de una suba de tasas de 64 puntos básicos anuales

Duration modificada de un Portfolio

Portfolio Duration: 3,745 años

BA

Bono

2.566742

1.405

ValorActual

4,753,23

Duration

3,7451,6082,137

DurationPond.

100,0%33,85%66,15%Part.%


11


3,7454,753,23Duration (años)2.1927421.405Valor Actual

PortfolioBono BBono A

3,3334,2272,875Modified Duration0,00640,00640,0064Incremento Tasa-0,0184-0,0184-0,0184Variacion (MD*IT)-1,84%-1,84%-1,84%Variacion %

2.145,25721,931.423,32Nuevo Valor

46,7520,0726,68Pérdida


Yield

Prec

io

Error de convexity

Aproximación del Precio por Duration

12

Convexity• Herramienta utilizada para corregir la

diferencia que se produce al utilizar la duration modificada

• Matemáticamente es la segunda derivada de la curva precio-yield (precio-rendimiento)

• Convexity es el cambio incremental en el precio real del bono ante un cambio en la Tasa no atribuible a la duración modificada

Convexity

Tasa Precio Var%precio total -DM*varTasa Fact Convexity

10.00% 89,875 0,00% 0,00% 0,00%10.01% 89,850 -0,03% -0,03% 0,00%10.10% 89,600 -0.31% -0,32% 0,01%11.00% 87,180 -3,00% -3,48% 0,48%

La importancia de la convexity se hace más evidente cuanto más grandes son las diferencias respecto del precio inicial

13

Formula de Convexity

2

T

1n

n2

2

)(*Convexity*21Convexity Factor

)(1CF*t)(t*

y)(1*Precio1 Convexity

y

yn

∆=

++

+= ∑

=

T: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupónCF: Cupón de interés y/o amortización del principaln: Periodo nPrecio: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado)Y: Yield (tasa de descuento de mercado)

Duration + Convexity

2Tasa)(*convexity21 Tasa * DM- precio elen Cambio ∆+∆=

La incorporación del factor convexity al calculo de las variaciones en el precio nos permite

obtener una mejor estimación del comportamiento del bono de la que surge de emplear únicamente la duration modificada

14

Conclusiones

• El cálculo de duration es la base de los arbitrajes de títulos

• La duration otorga parte de la información necesaria para realizar coberturas ante el riesgo de tasa

• Convexity otorga mayor precisión a los calculos


• En un bono a 5 años que paga el 8% anual y se está vendiendo a $1041. VN $1000

• Determinar:1.Cual es la actual tasa de interés de mercado (Tasa efectiva anual)2.Cual es la duration del bono3.Cuanto es la duration modificada del bono4.Cual es la convexity del bono5.Suponga que hay un incremento en la tasa de interés de mercado del 2%. Determine el porcentaje de cambio en el valor del bono y el nuevo precio.(Determinarlo utilizando “duration” y “duration + convexity”)

15

Duration + ConvexityPeriodo

Precio 1 2 3 4 5Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080

Yield 7,00%

PeriodoPrecio 1 2 3 4 5

Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080

Yield 7,00%

FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02


16



Yield 7,00%

FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02

FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327

M Duration 4,044




Yield 7,00%

FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02

FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327

M Duration 4,044

(t+t^2) 2 6 12 20 30(t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,13 0,35 0,66 1,02 19,38 Convexity 21,541


17



Yield 7,00%

FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02

FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327

M Duration 4,044

(t+t^2) 2 6 12 20 30(t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,13 0,35 0,66 1,02 19,38 Convexity 21,541

Incremento Tasa 2,00%

F. Duration F. Convexity Nuevo PrecioDuration -0,080883 956,80Duration + Convexity -0,080883 0,0043082 961,29


Ejercicios de bonos

18

Portfolio durationDado:• Bono A. Valor técnico $876. Valor actual $750. Duration 3

meses.• Bono B. Valor técnico $1.400. Valor actual $1.500.

Duration 1.25 años.• Bono C. Valor técnico $2.500. Valor actual $1.200.

Duration 11.5 semestres.• La tasa de mercado es 4% cuatrimestral

1. Calcular el duration del portfolio en años2. Calcular en cuanto se perjudicara/beneficiara este

portfolio ante una baja de las tasa de 50 bp anual

Bono Valor Part.% Duration Duration Pond.A 750,0 21,74% 0,25 0,05 B 1.500,0 43,48% 1,25 0,54 C 1.200,0 34,78% 5,75 2,00

3.450,0 2,598 años

19

Bono A Bono B Bono C PortfolioVA 750 1.500 1.200 3.450 Duration (años) 0,25 1,25 5,750 2,598 Modified Duration 0,222 1,111 5,112 2,309 Incremento en Tasa -0,0050 -0,0050 -0,0050 -0,0050 Variacion (MD* Inc) 0,0011 0,0056 0,0256 0,0115 Variacion % 0,11% 0,56% 2,56% 1,15%Nuevo Valor 750,83 1.508,33 1.230,67 3.489,84 Ganancia 0,83 8,33 30,67 39,84

El 1 de enero del 2000 se emitió un bono de VN $100 a 5 años de plazo, pagando una tasa del 14% anual en forma semestral (30 de junio y 31 de diciembre) y amortizando el capital original al final de cada año de la siguiente manera:

DIC 2000 DIC 2001 DIC 2002 DIC 2003 DIC 20040% 10% 20% 30% 40%

1. Calcular la valuación del bono al 1 de enero 2003. La tasa demercado en este momento es del 3.5% equivalente trimestral.2. Determinar el “duration” y el “duration modificada” del bono expresado en años.3. Si se produce una suba en la tasa de interés de mercado de 115 puntos básicos. ¿Cual va ser el valor de mercado a julio 2003, una vez que se ajuste ante el cambio de las tasas de interés de mercado?


20

Duration + ConvexityJun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-04

0,5 1 1,5 2VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80

Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2

VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80

Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317


21

Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449


Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449

M Duration 1,263


22

Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449

M Duration 1,263

(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00


Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449

M Duration 1,263

(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12


23

Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449

M Duration 1,263

(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12 Convexity 2,915


Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2


Yield 14,75%

FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50

FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449

M Duration 1,263

(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12 Convexity 2,915

Incremento Tasa 1,15%Nuevo

F. Duration F. Convexity PrecioDuration -0,014525 68,75Duration + Convexity -0,014525 0,0001928 68,77


24

Estructura temporal de la tasa de intéres

Estructura temporal de la tasa de interés• Es la relación existente entre el tiempo

hasta la madurez de una serie de bonos y los correspondientes rendimientos de esos bonos

– La curva más conocida es la de los bonos del tesoro americano (Bonds, Notes y Bills)

• Las tasas de interés de corto plazo están implícitamente incluidas en yield curve

• La confección de la curva se realiza a partir de la TIR y la duration

25

US. Treasury Yield Curve Rates

3,0

3,23,43,63,8

4,04,2

4,44,64,8

5,05,2

1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr

PreviousCurrent


3,0

3,23,43,63,8

4,04,2

4,44,64,8

5,05,2


PreviousCurrent

Curva de rendimiento de títulos del tesoro americano

Fuente: Department of the Treasury – USA – 29/08/07

Curva de rendimiento de títulos Públicos Argentinos

26

Teorías que explican la forma de la curva de rendimientos

• Teoría de las expectativas

• Teoría de preferencia por la liquidez

• Teoría de la segmentación de los mercados

Teoría de las expectativas

• Explica la estructura temporal de las tasas de interés en función de las tasas de contado (spot rate)

• La tasa de interés de largo plazo es el promedio geométrico de las tasas actuales y futuras

(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2)..... (1 + fn)]rn = Retorno del bono con plazo a n añosn = años hasta el vencimientor1 = Tasa de interés actual a un añof = Tasa futura a un año entre J y J+1

27


2000 2005 2006

Bono a 6 años, retorno anual = 8%

Bono a 5 años, retorno =7% Bono a un añoretorno esperado a 5

años = ?


Suponiendo: (hoy año 2000)

– La tasa a 6 años es el 8% anual– La tasa a 5 años es el 7% anual– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año

cinco (2005)?

(1 + 0.08)6

(1 + 0.07)5

1.5869

1.40261+f5,1 = = =1.1314

f5,1 =13.14%

28

Teoría de preferencia por la liquidez

Los bonos de largo plazo pagan más alto retornos que los de corto porque son mas riesgosos

(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2-L2)..... (1 +f n-Ln)]

rn = Retorno del bono con plazo a n añosn = años hasta el vencimientor1 = Tasa de interés actual a un añofj = Tasa futura a un año entre J y J+1

Lj = Premio por la liquides en el año J


Suponiendo: (hoy año 2000)

– La tasa a 6 años es el 8% anual– La tasa a 5 años es el 7% anual– El premio por la liquidez de un bono a 5 años es 0,2%– El premio por la liquidez de un bono a 6 años es 0,25%– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año cinco (2005)?

(1 + 8%-0. 25%)6

(1 + 7%-0.2%)5

1.5649

1.3891+r5 = = =1.1262

r5=12.62%

29


Tasa de interés previstas

Curva de rendimiento observada

Premio por la liquidez

Plazo

TIR

Teoría de la segmentación de los mercados• Esta teoría resulta de la observación de

que tanto inversores como emisores de deuda parecen tener fuertes preferencias por cierto plazo.

• Las tasas de interés vigentes para cada plazo dependerán de las curvas de oferta y demanda de fondos

• Según esta teoría la forma de la curva no tendría que ser creciente

30

Usos de la estructura de la tasa de interés• Predecir las tasas de interés

– El mercado da el consenso sobre la predicción de las tasas de interés futuras

– La teoría de las expectativas domina la curva• Predicción de las recesiones

– Curva chata o invertida son buenos indicadores de recesiones

• Decisiones de inversión o financiamiento– Los tomadores o prestadores toman sus

decisiones en base a ella– Cobertura con bonos



3,0

3,23,43,63,8

4,04,2

4,44,64,8

5,05,2


PreviousCurrent


3,0

3,23,43,63,8

4,04,2

4,44,64,8

5,05,2


PreviousCurrent

Análisis de la Curva de Rendimientos


31

Análisis de la Curva de Rendimientos

Economy & Finance

03.06 bonos iii (bb)